集合代数与粗糙集之间的关系研究【文献综述】

文献综述

信息与计算科学

集合代数与粗糙集之间的关系研究

粗糙集理论是波兰数学家Pawlak于1982年提出的用于数据分析的理论. 由于该理论能够处理模糊和不确定性信息, 因此作为一种有效的知识获取工具受到了人工智能研究者的关注. 目前粗糙集理论已被成功应用在机器学习与知识发现、过程控制、数据挖掘、决策分析、模式识别等领域, 成为信息科学的研究热点之一.

1965年, 美国加利福尼亚大学控制论专家扎德(L. A. Zadeh)教授在《信息与控制》杂志上发表了一篇开创性论文<模糊集合>, 这标志着模糊数学的诞生. L. A. Zadeh教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研究, 集中思考了计算机为什么不能象人脑那样进行灵活的思维与判断问题. 计算机为什么不能象人脑思维那样处理模糊信息呢? 其原因在于传统的数学. 例如精确数学, 是建立在经典集合论的基础之上, 一个研究的对象对于某个给定的经典集合的关系要么是属于, 要么是不属于, 二者必居其一. [2]19世纪, 由于英国数学家布尔(Bool)等人的研究, 这种基于二值逻辑的绝对思维方法抽象后成为布尔代数, 它的出现促使数理逻辑成为一门很有适用价值的学科, 同时也成为计算机科学的基础. 但是, 1923年, 大哲学家罗素(Russell)就在其著名论文<论模糊性>中提出“整个语言或多或少是模糊的”及“所有二值逻辑都习惯上假定使用精确符号. 因此它仅适用于虚幻的存在. 而不适用于现实生活. 逻辑比其他学科使我们更接近天堂”[1]时认识到二值逻辑的不足. 二值逻辑无法解决一些逻辑悖论, 如著名的罗素(Russell)“理发师悖论”、“秃头悖论”、“克利特岛人说谎悖论”等等悖论问题. 这就是目前计算机不能象人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信息的重要原因. 为克服这一障碍, L. A. Zadeh教授提出了“模糊集合论”. 在此基础上, 现在已形成一个模糊数学体系.

1960年柏克莱加州大学电子工程系扎德(L. A. Zadeh)教授, 提出“模糊”的概念. 1965年发表关于模糊集合理论的论文. 1966年马里诺斯(P. N. Marinos)发表关于模糊逻辑的研究报告. 以后, 扎德(L. A. Zadeh)又提出关于模糊语言变量的概念. 1974年扎德(L. A. Zadeh)进行有关模糊逻辑推理的研究. 1978年, 国际上第一本以模糊数学为主题的学术刊物《Fuzzy Sets

and Systems》在欧洲创刊. 模糊数学于1976年传入我国后得到了迅速发展: 1980年成立了中国模糊数学与模糊系统学会, 1981年创办了《模糊数学》(武汉, 华中工学院)杂志, 1987年创办了《模糊系统与数学》(长沙, 国防科技大学)杂志. 2005年8月20日, 中国运筹会Fuzzy信息与工程分会正式成立, Fuzzy数学的创始人扎德教授的出席会议. 同年经国际模糊系统协会(IFSA)专家评审, 最终授予中国四川大学副校长刘应明院士“FuzzyFellow奖”. 中国科研人员在Fuzzy领域中取得了卓越成就.

模糊数学是一门新兴学科, 可是由于模糊数学突破了传统精确数学绝不允许模棱两可的约束, 使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科都有可能用定量化和数学化加以描述和处理, 从而显示了强大的生命力和渗透力. 自1965年以来, 模糊集理论几乎已经渗入到基于经典集合理论的纯数学的所有分支中: 拓扑、代数结构、几何、算术、测皮论、概率论、范畴论等, 更引人注目的是这一新理论应用领域的广泛性: 近似推理模型、专家系统、语言学、定理证明技术以及逻辑编程、学习系统、信息检索、数据库、病理诊断、模式识别、聚类与分类技术、图像处理与计算机视觉、控制论与系统论、决策与偏好结构、可靠性理论、心理学、社会学等. 而且在模糊数学最重要的应用领域是计算机智能, 不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系.

关系是一个基本概念. 在日常生活中有“朋友关系”、“师生关系”等, 在数学上有“大于关系”、“等于关系”等, 而序对又可以表达两个对象之间的关系. 普通关系是序偶的经典集合, 模糊关系则是序偶的模糊集合. 所以关系是集合论中的一个重要概念, 同时在模糊集合论中, 模糊关系也是很重要的一部分. 模糊关系是模糊理论中最重要的内容之一, 其应用范围十分广泛, 几乎遍及模糊数学的所有应用领域. 事实上, 模糊关系, 作为集论中普通关系概念的推广, 不仅描述客观事物之间有无关系, 而且描述其程度. 诸如“x比y大得多”, “x熟悉y”, “x与y相似”等用模糊语言表达的关系, 都是模糊关系.

因为模糊关系应用的广泛性, 如模糊聚类分析、模糊选择、模糊量排序、模糊偏好结构等, 其研究都是建立在模糊关系基础之上的. 而在对模糊关系及其应用的研究中, 模糊关系性质的讨论又占据着举足轻重的地位, 如前面所提及的应用中, 均须讨论模糊关系性质中的传递性. 本文首先定义了各种类型的经典二元关系和模糊二元关系, 再给出了它们的多种性质并予以证明, 同时说明二者的联系.

集合代数是经典命题演算形式系统的语义解释[4], 而经典命题演算系统（CPC）的公式只是一些形式符号, 其意义是由具体的解释给出的. 逻辑代数和集合代数都是布尔代数, 都

是CPC的解释. 集合代数是CPC的集合语义, 其中对联结词的解释就是集合运算；对形式公式的解释就是集合函数; 对逻辑蕴涵、逻辑等价的解释就是集合包含和集合相等. 标准概率逻辑是在标准概率集合语义上建立的逻辑体系, 命题表示随机事件, 随机事件是集合, 开率空间中的事件域是集合代数, 概率逻辑就是CPC集合语义的实际应用.

在粗糙集理论中有两种方式来推广定义近似算子: 构造性方法和公理化方法. 构造性方法是以论域上的二元关系[6]、领域系统或布尔子代数作为基本要素构造性地定义近似算子, 然后导出粗糙集代数系统. 由于二元关系常用来表示信息系统中的可利用信息, 所以目前所见的粗糙集在数据分析中的应用基本上都是用构造性方法去定义近似算子. 公理化方法的基本要素是满足某些公理集的近似算子, 即粗糙集代数系统是事先给定的, 然后定义二元关系使得由二元关系通过构造性方法定义的近似算子及其导出的粗糙集代数系统恰好就是事先给定的近似算子和粗糙集代数系统. 这种粗糙集代数[5]系统是由集合代数系统中的三个集合算子（交、并、补）加上两个粗糙近似算子（下近似算子和上近似算子）形成. 在这种意义, 粗糙集理论可以看成是集合论的又一推广形式. 另外粗糙集理论中的下近似算子和上近似算子与模态逻辑学中必然性（box）算子和可鞥性（diamond）算子、拓扑空间中的内部算子和闭包算子、Dempster-Shafer证据理论中的信任函数与似然都有着密切的联系. 因此, 公理化方法更有助于我们深入了解粗糙集和数学结构.