第10章 能量法

AB连线的变化量为： D AB l (12 ) pl / E
2)设弹性体表面各点由力F引起的沿
压应力p方向的位移为d；弹性体的
表面积为A，由功能互等定理：
F |D AB | A[( pdA)d
DV 1E2 Fl
] F 12 pl
E
pAddA
pDV
§10-3 互等定理
例10-3 图示悬臂梁，欲用一个固定位置的挠度计，测量1、2、3、4各 点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？
(
(x
) )
FRsin Fs
FRFs ( R
Rx)(，1cMosF(sx)，)M( RF(s
) x)
R(1cos
)
fCH
(
U Fs
) Fs
0
1 EI
0/2F
R3
sin
(1cos
)d 0aFR( R
x )dx
FR( Ra)2 EI
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知，
2)组合变形的应变能
dU
FN2
(
x
) dx
M(x)
2 EA
M 2 ( x)dx 2EI z
T 2 ( x)dx 2GIp
FN(x)
T(x) T (x) dx
M(x) FN(x)
U
l
FN2 ( x 2 EA
) dx
l
M2(x 2EI z
)d
x
lT2G2 (Ixp)dx
上式指圆截面情况。若截面并非圆形，则右第三
1．广义力和广义位移 1)广义力泛指力与力矩； 广义位移为广义力所 F1 d1 直接产生的位移和转 角，如力产生位移， 力矩产生转角；
2)线弹性情况下，广义力与 广义位移成线性关系。
d2
F2
d3 F3
2．弹性应变能 1)弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值， 与加力的次序无关；
§10-2 弹性应变能的计算
2)同时加F1和F2 ，二 力作的总功为
F1
d11 d12
F1
d11+d12
F2
d21 d22
F2
d21+d22
U
2
W2
12F1
(d
11
d
12
)
1 2
F2
(d
21
d
22
)
3)两种加载次序下的应变能相同： 4)如F1=F2，则
U1 U2 F1d12 F2d 21
d 12 d 21
5)位移角标约定
第一角标表示产生位移的点位置，第二角标为产
u
1
2
1
1
非线性
U W
d 0
1
Fdd
非线性
u
1
0
d
余能：线弹性 U*U 12F1d1 余比能：线弹性 u*u 12 11
非线性
U
*
F1 0
d
dF
非线性
u*
0
1
d
§10-3 互等定理
一、功和位移互等定理
1．推导：以简支梁为例
1)先加F1再加F2 ，二 力作的总功为
U1 W1 12F1d11 12F2d 22 F1d12
项中的Ip应为It。
§10-2 弹性应变能的计算
例10-1 图示矩形梁，比较弯曲 和剪切两种应变能，并 求中点C的挠度。
解：1)将M(x)=Fx/2和
l/2 x
F l/2 C
h b
FQ(x)=F/2代入弯曲和
剪切应变能公式，并考虑对称性
U
弯
20l
/
2
2
1 EI
(
Fx 2
)
2
dx
F 2l3 96EI
3)应变能是内力的函数，是外力的复合函数，计算偏微分
时，可先求内力对Fi的导数再积分
U
l
FN2 ( x 2 EA
)dx
l
M2(x 2 EI
)dx
lT2G2 (Ixp)dx
d
i
U Fi
l
FN ( EA
FN Fi
)dx
l
M EI
(
M Fi
)dx
lGTI
p
(
T Fi
)dx
§10-4 卡氏第二定理
a)只有轴力的桁架
3K 2
F3 3 A3 K
2
4)由克罗第—恩格塞定理：d
BV
U * F
5F 2b A2K 2
2．扭转圆轴
1)应变能
U W
1 2
M
e
U T 2l 2GIp
若扭矩或截面直径为变量时
Me
l
a)分段变化
U
n
U
i1
i
in12TGi2Ilpi i
b)为杆长x的函数
U
0ldU
0l
T2 2GI
(
p
x) (x
dx )
2)比能
u
dU dV
0.5(A)(
dV
d
x)
A
2 G 2
2 2G 2
dx
dx
§10-2 弹性应变能的计算
Fs
,
)
Fs 0
l
M EI
( M Fs
) Fs 0
dx
2．克罗第—恩格塞定理：
d
i
U * Fi
1)克罗第—恩格塞定理适用于非线性结构；
2)在线弹性情况下：U=U*，即卡氏第二定理是克罗
第—恩格塞定理的特例。
§10-4 卡氏第二定理
二、例题
例10-4 求图示结构C点的铅垂与水平位移，已知结构的EI为常数。
U
U
弯
U
剪
F 2l3 96EI
F 2l
8GA
U
剪
2
l/2
0
2G A(
F 2
)2
dx
F 2l
8GA
U
剪
:U
弯
12EI
GAl 2
152(1
)(
h l
)
2
矩形截面梁： 6/5，I / Ah2 /12，G E/[2(1 )]
取 =0.3，h/l=0.1，上述比值为0.0312。可见对长梁可不考虑剪
切应变能。
克拉贝依隆原理：线弹性体应变能等于每一广义外力
与其产生广义位移乘积二分之一的总和。
§10-2 弹性应变能的计算
3)弹性应变能可以表达成外力或位移的唯一表达式，
称为外力的二次齐函数或位移的二次齐函数。
二、杆件应变能的计算
1．轴向拉伸或压缩
l
1)应变能
U
W
12FDl
U
FN2 l 2 EA
F Dl
若轴力FN或截面面积A为变量时
)
Fx2
F
0
(
x2
l) 2
，
M ( x2 F
)
x2
f
B
1 EI
l/ 0
2
Fx12dx1
l l/2
Fx2
F
0
(
x2
l 2
)
x2dx2
7Fl 3 16EI
§10-4 卡氏第二定理
例10-6 图示桁架用幂强化材料制造，应力、应变关系为 =K 1/2(K为常
数)。两杆的横截面面积均为A，求集中力F作用点B处的位移。
1)问题：求Fi作用力方
向的位移d i
a)加DFi后应变能的增量
DU
1 2
DFi
Dd
i
n
Fi
i1
Dd
i
n
Fi Dd i
i1
Dd2
F2
F1 d 1 Dd 1
d2
d
F3
3
DFi
Fi
Dd 3 Dd i
di
b)将F1、 F2 …Fi …看作第一组
力，DFi看作第二组力，由功能互等定理有
n
Fi Dd i
i1
DFid i
生该位移的力，如d ij表示j力在i位置产生位移。
§10-3 互等定理
2．互等定理的一般形式及表述
1)功的互等定理：Fid ij Fjd ji
第一组力在第二组力产生的位移上所作的功等于 第二组力在第一组力产生的位移上所作的功。
2)位移互等定理：d ij d ji
作用在1点的力在2点位置产生的位移等于作用在2 点的相同大小的力在1点位置产生的位移。 3．注意 1)两互等定理均只适用于线弹性情况； 2)两互等定理中的力与位移应理解为广义力和相应的 广义位移。则位移互等定理中的相同大小的力为数 值相同，位移相同也仅代表数值相同。
C
R F
B x a
Fs
解：1)求铅垂位移fCV
CB段：M ( )
FRsin
，M (
F
)
Rsin
BA段：M ( x)FR，M ( x) R
F
fCV
1 EI
0/2F R3 sin2 d 0aFR2dx
FR2 ( R a) EI 4
2)求水平位移fCH：C点无水平力，虚加Fs
A
CB段：M BA段：M
§10-1 概 述
一、功能原理
U W：应变能无能量损失 外力功
二、能量法
用功能原理求解结构位移、变形等力学问题的方法
三、重要性
1．解题简单、适用性广； 2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题； 3．可求解静定与非静定问题； 4．学习后续课程的基础。
§10-2 弹性应变能的计算
一、弹性应变能的一般公式 广义力与广义位移
F
A ① B dBH
解：1)使用节点分析法知： FN1 F ，FN2 2F
45o
dBV
=K 1/2
b
②
各杆中的应力为
1 F / A， 2 2F / A
2)①杆的余比能为
C 3)桁架总余能：U * (u1*
2u2*
)
Ab
5F 3 A2
3b K2
u1*
1 0
d
1 2
0 K2
d
3 1
)
，
M ( x2 Fs
)
0
fC
1 EI
x
0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6 EI
(3l
x)
x2
xA
F=F0 D
F
B x1
l/2
l/2
§10-4 卡氏第二定理
2)梁中点再作用F，求fB：将中点的F用F0表示，以同梁端F区分。
BD段：M (
x1
)
Fx1
，
M ( x1 F
)
x1
DA段：M
(
x2
第十章 能 量 法
• §10-1 概 述 • §10-2 弹性应变能的计算 • §10-3 互等定理 • §10-4 卡氏第二定理 • §10-5 虚功原理*
第十章 能 量 法
• §10-6 单位载荷法 • §10-7 图乘法(维利沙金法) • §10-8 瑞利—李兹法* • §10-9 超静定结构的基本解法 • §10-10 力法 正则方程* •小 结
2)弹性应变能
a)等比例加载，使Fi同时由零到终值，则d i也同时由零
到终值；
b)引进参数b (0～1)，则有b Fi和与之对应的bd i，给b 一个增量db，则位移有相应的增量dbd i。
外力在位移增量上作的功为
dW (bFi dbFi )•(dbdi ) (Fid i )bdb c)外力总功 W dW (Fid i )01bdb (12Fid i ) d)弹性体中的应变能 U W (12Fid i )
DUd i
DU DFi
DFi 0 d i
U Fi
§10-4 卡氏第二定理
2)卡氏第二定理公式及含义：d
i
U Fi
若结构的应变能U表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
a)d i为沿广义力Fi方向的广义位移，d i为正表示与Fi方向
相同，为负表示与Fi方向相反，U是整个结构的应变能； b)仅适用于线弹性结构。
a)分段变化
b)为杆长x的函数
U
n
U
i1
i
in12FEN2iAlii
U
ldU
0
l FN2 ( x) dx 02EA( x)
2)比能
u dU dV
[FN2 ( x)dx]/[2EA( x)] A( x)dx
2
FN2 ( x EA2 (
) x
)
2 1
2E 2
1E
2
2
§10-2 弹性应变能的计算
1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)；
2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。 x2
Fl+Fsx
x1 Fs
A
C
F Bx
x
F+Fs
l
解：1)求梁的挠曲线方程 在距梁左端x处虚加Fs
AC段：M (
x1 )
F (l
x1
) Fs
(
x
x1
)
，
M ( x1 Fs
)
x
x1
CB段：M ( x2
) F (l
x2
§10-3 互等定理
二、互等定理的应用
例10-2 任意形状弹性体承受一对等值、反向、共线的力F作用，材料的
弹性常数为E、，试用功的互等定理，求弹性体的体积改变。
A F
d
A
B
F
p
p
p
B
p
解：1)设在同一个弹性体的表面上作用均匀压应力p
此时弹性体处于三向均压状态： 1 2 3 p
任意方向的线应变为： [ 1 ( 2 3 )]/ E (12 ) p/ E
3．弯曲
1)dx段应变能
d
dU
12 M
(
x
)d
1 2
M
(
x )dx
M(x)
M(x)
M 2 ( x)dx
2 EI
2)l 段应变能
dx
U
ldU
0
l 0
M2(x 2 EI
)dx
§10-2 弹性应变能的计算
4．剪切
1)dx段应变能
dU
12(A)(
d
x
)
2 d xA 2G
FQ2dx 2GA
A
2)l 段应变能
2)求C点挠度：由外力功等于应变能(W=U)，并忽略剪切应变能有
W
1 2
Ff
C
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
三、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
非线性
与比能
U*
线性
u*
线性
2．余能与 余比能
F1
1
U
u
d
d1
1
应变能：线弹性
U W
1 2
F1d
1
比能：线弹性
b)弯曲梁
d
i
U Fi
jn1FEN2Aj ljj
FNj Fi
d
i
l
M(x EI
)(
M ( x Fi
)
)dx
wenku.baidu.com
4)若外力符号相同，则需将求位移点的外力进行标定，
以便在求偏导时区别于其它外力
5)若所求位移方向无Fi，则需沿所求位移方向加一个
广义力Fs(虚加，求偏导数后，即令其为零)
d
s
U
( F1
,F2 , Fs
U
0ldU
0l
FQ2 dx 2GA
dx
dx
FQ——横截面剪力，A——横截面面积。
——截面系数，
矩形：=6/5；实心圆： =10/9；薄圆环：=2。
3)注意：在细长梁中，剪切应变能远小于弯曲应变 能，通常忽略不计。
§10-2 弹性应变能的计算
5．组合变形下的应变能
1)各广义力只在自己相应广义位移上做功，互不相干；
F
F
F
F
F
1
2
3
4
5
挠度计
d 15=d 51 d 25=d 52
d 35= d 53 d 45= d 54
d 54123
解：1)挠度计应安装在梁端5点处； 2)将F依次作用于1、2、3、4点，测出梁端5点挠度即为F 作用于梁端时1、2、3、4各点的挠度。
§10-4 卡氏第二定理
一、卡氏第二定理
1．卡氏第二定理