结构力学：第十章结构动力学6
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§10-7 近似法求自振频率
1、能量法求第一频率——Rayleigh法
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动 能T 和应变能U 之和应等于常数。 ※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动 能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间 （变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最 初两个 频率近 似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%） 说8 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代 替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效 的集中质量法。
E(xI )]2
精dx
确
(mx)]2 d解x3
例 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
h0
解：
截面惯性矩：
I
1
h0
x
3
12 l
单位长度的质量： m h0 x
l
x l
设位移形状函数： Y (x)a(1 x )2 l
满足边界条件：Y (l) 0,Y (l) 0
越准。
5
例 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频 率方程：
[k] 2[m] 0
计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可 能组合，确实获得了最小的ω2值。
所选的a1，a2，…，an使ω2 获得最小值的条件是
2 0, (i 1,2,, n)
ai
这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式
等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附 加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y (x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率
频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形
式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为
Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，
即
U
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
0l
q(
x)Y
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
取两项
1 x2 12; 2 x3 2 6x
精确解：m1
3.516 EI l 2
EI m
xl2
22.03 l2
EI m
l
代入： kij 0 EIi jdx,
l
mij 0 mi jdx
说求代明2得：入故)R1k频第a)i由jy，二率le于i频g方mφh率—i1程j、：不Rφ：[i准t2kz均法。]近所似得6于4结EE第果IIl一仍l2振然1型6偏2E，E高I由I，ll2它3其们原, 组因合[同m的瑞]第利二法 振mm。65型ll 65自然mm很76ll差76 ，
定律得：
Umax=Tmax
ω
※求Umax ，Tmax 位移幅值 设： y(x,t) Y (x)sin(t )
v y. Y (x) cos(t )
U如TUmm梁aaxx上12120l还1212m0l0l有EE(2xII集)[0lYvm中2d((x2x质xx2y))]Y量2122d2m(xdxi，x2)dcxo12s2s(※Yiin为求t22集频(中)0率lt0lm质m[Y0l(量Ex)()0lIxmYE[)Yi2]处I2([xd(Y的)xxd)位x](2x移d)mx]幅2iYd值i2x1。
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型
相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似 的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高
2 5Eh02 , 1.581h0 E
2l 4
l2
与精确解
1.534h0 l2
E
相比误差为3%
2 0l EI[Y (x)]2 dx
0l m[Y (x)]2 dx
Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲 线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某 种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当 于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。 4
l
mij 0 mi jdx
k11 4EIl,
m11
ml 5
5
4EIl 2
ml5 5
0 2
20EI ml4
,
1
1 4.472
l2
EI m
其精确解：
1
3.516 l2
EI m
与精确解相比，误差为27%。
7
例 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解： Y a11 a22 a1x2 a2 x3
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
2
0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9
9.87 l2
EI m
3）假设 Y (x)asin
第一振型的精确解。
l
2
4EIa2 2l3
4EI
ma2l 2
ml4
29.0l80lE62m9I6[[YY
1、能量法求第一频率——Rayleigh法
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动 能T 和应变能U 之和应等于常数。 ※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动 能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间 （变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最 初两个 频率近 似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%） 说8 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代 替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效 的集中质量法。
E(xI )]2
精dx
确
(mx)]2 d解x3
例 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
h0
解：
截面惯性矩：
I
1
h0
x
3
12 l
单位长度的质量： m h0 x
l
x l
设位移形状函数： Y (x)a(1 x )2 l
满足边界条件：Y (l) 0,Y (l) 0
越准。
5
例 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频 率方程：
[k] 2[m] 0
计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可 能组合，确实获得了最小的ω2值。
所选的a1，a2，…，an使ω2 获得最小值的条件是
2 0, (i 1,2,, n)
ai
这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式
等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附 加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y (x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率
频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形
式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为
Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，
即
U
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
0l
q(
x)Y
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
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2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
取两项
1 x2 12; 2 x3 2 6x
精确解：m1
3.516 EI l 2
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22.03 l2
EI m
l
代入： kij 0 EIi jdx,
l
mij 0 mi jdx
说求代明2得：入故)R1k频第a)i由jy，二率le于i频g方mφh率—i1程j、：不Rφ：[i准t2kz均法。]近所似得6于4结EE第果IIl一仍l2振然1型6偏2E，E高I由I，ll2它3其们原, 组因合[同m的瑞]第利二法 振mm。65型ll 65自然mm很76ll差76 ，
定律得：
Umax=Tmax
ω
※求Umax ，Tmax 位移幅值 设： y(x,t) Y (x)sin(t )
v y. Y (x) cos(t )
U如TUmm梁aaxx上12120l还1212m0l0l有EE(2xII集)[0lYvm中2d((x2x质xx2y))]Y量2122d2m(xdxi，x2)dcxo12s2s(※Yiin为求t22集频(中)0率lt0lm质m[Y0l(量Ex)()0lIxmYE[)Yi2]处I2([xd(Y的)xxd)位x](2x移d)mx]幅2iYd值i2x1。
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型
相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似 的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高
2 5Eh02 , 1.581h0 E
2l 4
l2
与精确解
1.534h0 l2
E
相比误差为3%
2 0l EI[Y (x)]2 dx
0l m[Y (x)]2 dx
Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲 线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某 种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当 于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。 4
l
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其精确解：
1
3.516 l2
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与精确解相比，误差为27%。
7
例 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解： Y a11 a22 a1x2 a2 x3
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
2
0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
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2
31 630
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9
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3）假设 Y (x)asin
第一振型的精确解。
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2
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ml4
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