结构力学：第十章结构动力学6
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结构力学课后答案第10章结构动力学
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
结构动力学
§1.3 体系振动的自由度
象静力计算一样，在动力计算时，首先需要选取一个 合理的计算简图。但由于需要考虑惯性力，因此在动力计 算的简图中，多了一项关于质量分布的处理问题。当体系 振动时，它的惯性力与质量的运动情况有关，所以确定质 量在运动中的位置具有重要的意义。 振动的自由度：我们把确定体系上全部质量位置所需 的独立几何参变数的数目，称为该体系的振动自由度。 例1.1 如图(a)所示跨中置一质量为m电动机的简支梁，当 梁自身的质量远小于电动机的质量时，梁的质量可忽略不 计。其计算简图如图(b)所示。
Fp
如：具有偏心质量的回旋机器它所传递 给结构上的横向力就是时间 t 的函数。
t
这类荷载称为动力荷载
图(a)
显然，结构在动力荷载作用下的计 算与静力荷载作用下的计算将有很大的 的区别，而且要复杂的多。
Fpsin t
图(b)
这是因为，在进行动力计算时，除了需要考虑惯 性力外，还需取时间作为自变量。在动力问题中，内 力与荷载不能构成静力平衡，但根据达朗伯原理，可 以将动力问题转化为静力问题，方法是任一时刻在结 构上加入假想的惯性力作为外力。即结构在形式上处 于“平衡状态”，这样，就可以应用静力学的有关原 理和方法计算在给定时刻的内力和位移等。 在实际工程中，大多数荷载都是随时间的改变而 变化的，但有一些荷载使结构产生很小的振动，以至 于其上的惯性力可以忽略不计，此时为了简化计算， 可将其视为静力荷载。仅将那些随时间变化，且使结 构产生较大的振动的荷载才作为动力荷载来考虑。
dmy Fp t dt
1 2
t m y 1 3
当质量m不随时间变化时，有 Fp
0 即：Fp t m y
因此，如果把惯性力(-mÿ)加到原来受力的质量上，则动 力学问题就可以按静力平衡来处理，这种列运动方程的 方法常称为动静法。这种方法较为方便，因此得到广泛 应用。 （2）拉格朗日(Lagrange)方程 应用虚位移原理，作用在任意质量mi上的所有力 （包括惯性力），对任意的虚位移所作的虚功总和应 等于零，得
《结构力学》-龙驭球-10-动力学(6)
当 m1 = m2 = m，k1 = k2 = k
Y1
FP
(k
D0
2m)
D0 (2k m 2 )(k m 2 ) k 2
Y2
FP k D0
D0
k2k11k2k22132 mk2m1kmk2222k1m2k22mm 24
2 mD214 FPk1 2k22 2m2 m2D(2mk22 FP32 mkk11 2 2m41)
m1
m2
同作用下的位移。
Y1
Y2
y1(t) m1 y1(t)11 m2 y2 (t)12 1p sin t
y2 (t) m1 y1(t)21 m2 y2 (t)22 2 p sin t
m1 y1(t)11 m2 y2 (t)12 Y1 1p sin t
m1 y1(t)21 m2 y2 (t)22 Y2 2 p sin t
由此可得位移的幅值为
Y1
D1 D0
Y2
D2 D0
D0
(m1
2 11
1)
m1 221
m2
2 12
(m2
2 22
1)
D1
1P 2P
m2
2 12
(m2
2 22
1)
D2
(m1
2 11
1)
m1 221
1P 2P
如图示对称结构在对称荷载作用下。
k11 k22 , k12 k21
l/3 与ω2相应的振型是
Psinθt m
荷载幅值： FP1 = FP , FP2 = 0 。
Y1
D1 D0
FP1
k22 2m2
D0
k12FP2 FP (k2 2m2 )
D0
结构力学第10章-结构动力计算基础
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于 动力平衡状态，则有 FI + Fs = 0 ,即m& y& (t)+k11y(t)=0，此式可改写为
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学课后答案第10章结构动力学
题10-39图题10-40图
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度 ＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2，t1＝0.1s，FP0＝8×104N。
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
解：
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
解：
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度 ＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2，t1＝0.1s，FP0＝8×104N。
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
解：
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
解：
第10章 结构动力学
5.与其它课程之间的关系
结构动力学以和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的知识和数学知识（微分方程的求解）。 结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2014-1-10
第10章
10.2体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系中全部质量位置所需要的独立几何参数数目，成为体系的动力自由 度。
4 ( x) sin
2014-1-10
…
广义坐标法是一种数学简化方法
第10章
10.2体系的动力自由度
有限单元法：
可以看作是分区的广义坐标法，其要点与静力问题一样，是先把结构划分 成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行广义坐标法。详见 有限单元法参考资料，这里不再赘述。 一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠 的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的 方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 有限单元法也是一种数学简化方法
2014-1-10
第10章
10.1 概述
2.动力荷载及其分类
动力荷载分类方法有很多种，常见的是按动力作用随时间的变化规律来分。 周期性荷载：其特点是在多次循环中荷载相继呈现相同的时间历程。如旋 转机械装置因质量偏心而引起的离心力。 周期性荷载又可分为简谐荷载和非简谐周期荷载，所有非简谐周期荷载均 可借助Fourier级数分解成一系列简谐荷载之和。 冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。 随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。 前两种荷载属于确定性荷载，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一 步求出应力的时间历程。 随机荷载属于非确定性荷载，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确 定的时间历程，因而~92层之间有一颗巨 大的‘金色大球’，由实 心钢板堆焊而成，直径约 5.4米，重达680吨，价值 400W美元。其实质是调质 阻尼器TMD（Tuned Mass Damper），作用是减轻飓 风、地震给大楼带来的震 动。
结构力学教学课件-10-2结构动力响应
t 0 单自由度体系的自由振动 0 1
无阻尼体系 0 （1）当初速度和初位移均不为零
y (t ) y0 cos t
0 y
sin t
其中
或 y(t ) C sin(t )
C y ( ) 1 y0 arctan y0
• 变分法（variation method）
振动方程的建立
10.2.1单自由度体系的力学模型
• 任何振动系统一般都含有三个组成部分：质量系统、弹性 系统和阻尼系统。
1)质量体系
(t ) 惯性力FI m y 1 2 (t ) T my 2 2)弹性体系
FS ky(t )
振动方程的建立
• 在结构动力分析中，首先需要建立描述体 系所有质量运动的方程即体系质量运动的 数学方程，称为体系的运动方程 （ equation of motion ）。该方程的解答给 出了各自由度方向位移随时间的变化规律。
振动方程的建立
• 直接平衡法（direct equilibrium method）：该法根据达朗 伯尔原理（d'Alembert principle）和所采用的阻尼理论， 将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结 构上的动荷载，结果使动力问题转化成任一时刻都动平衡 的静力问题，此即理论力学中的动静法。利用动静法，建 立体系的运动方程与静力学中建立平衡方程相似，即作用 于质量上的所有力保持平衡；另外，当要进行体系在动荷 载、惯性力和阻尼力作用下的位移和内力等响应计算时， 按动平衡概念，仍采用结构静力学方法计算。 • 虚功法（virtual work method）
10.3 单自由度体系的自由振动
10.3.2低阻尼和无阻尼体系 初始时刻只有初速度而无初位移
无阻尼体系 0 （1）当初速度和初位移均不为零
y (t ) y0 cos t
0 y
sin t
其中
或 y(t ) C sin(t )
C y ( ) 1 y0 arctan y0
• 变分法（variation method）
振动方程的建立
10.2.1单自由度体系的力学模型
• 任何振动系统一般都含有三个组成部分：质量系统、弹性 系统和阻尼系统。
1)质量体系
(t ) 惯性力FI m y 1 2 (t ) T my 2 2)弹性体系
FS ky(t )
振动方程的建立
• 在结构动力分析中，首先需要建立描述体 系所有质量运动的方程即体系质量运动的 数学方程，称为体系的运动方程 （ equation of motion ）。该方程的解答给 出了各自由度方向位移随时间的变化规律。
振动方程的建立
• 直接平衡法（direct equilibrium method）：该法根据达朗 伯尔原理（d'Alembert principle）和所采用的阻尼理论， 将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结 构上的动荷载，结果使动力问题转化成任一时刻都动平衡 的静力问题，此即理论力学中的动静法。利用动静法，建 立体系的运动方程与静力学中建立平衡方程相似，即作用 于质量上的所有力保持平衡；另外，当要进行体系在动荷 载、惯性力和阻尼力作用下的位移和内力等响应计算时， 按动平衡概念，仍采用结构静力学方法计算。 • 虚功法（virtual work method）
10.3 单自由度体系的自由振动
10.3.2低阻尼和无阻尼体系 初始时刻只有初速度而无初位移
结构力学 第10章 (四川大学)讲解
（3）采用集中质量法和广义坐标法都可使无限 自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用 的手法是不同的。 集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集 中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没 有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性 质，称为“无重杆”。
10.2 单自由度体系运动方程的建立
研究单自由度的目的： 单自由度体系的动力分析虽然比较简单，但 非常重要。这是因为： （1） 很多实际的动力问题常可按单自由度 体系进行计算，或进行初步的估算。 （2）单自由度体系的动力分析是多自由度 体系动力分析的基础。
Fb cy
式中，c为体系的粘滞阻尼系数
（ 3 ）惯性力 FI ：根据达朗伯原理，惯性 力是质量与加速度的乘积，但与加速度方 向相反。即 F m y
I
建立振动微分方程有两种基本方法： （ 1 ） 根据达朗伯原理 ( 动静法、惯性力 法）列出瞬时动力平衡方程，又称为刚度法 （列平衡方程）。 （2）另一种方程是列位移方程，又称为柔 度法。
cy ky 0 m y
研究单自由度体系自由振动的目的在于： 研究体系振动运动的基本特性，确定其固有特 性，以便进行结构的动力设计时加以控制及改 进结构的动力特性。
产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的 干扰。初始的干扰有两种情况： （1）一种是由于体系具有初始位移； （2）另一种则是由于体系具有初始速度；或者 这两种初始干扰同时存在。
无限个自由度体系
图示为一块形基础，计算时可简化为一刚性块。 当考虑基础在平面内的振动时，体系共有三个自由度， 包括水平位移x、竖向位移y和角位移。当仅考虑基础 在竖直方向的振动时，则只有一个自由度。 自由度数与集中质量的个数并不一定彼此相等
自由度的数目不完全取决于质点的数 目，也与结构是否静定或超静定无关。
河南城建学院 结构力学 结构动力学(6)
§14-7 计算频率的近似法
1. 能量法 结构在振动过程中，具有两种形式的能量，一种是由于具有质量 和速度而构成的动能，另一种是由于结构变形而储存的应变能。由 能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动过程中的任一时刻，其动能 T和应变能 V 之和应等于常数，即 T (t ) V (t ) 常数。 在最大振幅处，动能为0，应变能达到最大；在静力平衡位置， T 动能达到最大，应变能为0，则有，max 0 V max 0 =常数，亦即，
第一频率相应振型对体系的动力反应，远大于第二频率相应振 型对体系的动力反应。
振型分解法的意义：
1、利用振型分解法，可使具有耦联关系的运动微分方程解耦。 2、从广义坐标的角度分析，低频率相应振型对体系的动力影 响远大于高频率相应振型对体系的动力影响。
3、若有阻尼时，高频率反应衰减比低频率衰减迅速得多。 在工程抗震设计中，只需考虑前几个振型对体系动力反应的 贡献。
m( x) y
0
l
( x)dx mi y
2 i
(10-56)
假设一个位移幅值函数y(x)代入上式求频率。
通常可取结构在某个静荷载（如自重）作用下的弹性曲线作 为 y（x）的近似表达式。此时应变能可用外力功来代替，即
V max 1 l 1 n m( x) gy ( x)dx mi gyi 2 0 2 i 1
由 Tmax V max得：
2
m( x ) y
0 l 0
l
EI [ y ''( x)]2 dx
2
(10-55)
( x)dx
如果结构上除分布质量m(x)外，还有集中质量mi (i 1, 2, n)，上式 应为 ： l
结构力学 第10章结构动力计算基础
结构力学
10.3 单自由度体系的强迫振动
结构在动力荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
1.简谐荷载
设体系承受如下的简谐荷载： 式中θ是简谐荷载的圆频率，F是荷载的最大值，称为幅值。
2.一般动荷载
一般动荷载FP(t)作用下所引起的动力反应分两步讨论：首 先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的 动力反应。
1.自由振动微分方程的建立
这就是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程。这种推 导方法称为刚度法。 用F1表示惯性力，用δ表示弹簧的柔度系数，即在单位力作用下 所产生的位移，其值与刚度系数k互为倒数：
从位移协调的角度建立自由振动微分方程的推导方法称为柔度法。
结构力学 2. 自由振动微分方程的解
单自由度体系自由振动微分方程式的通解为
3. 主振型的正交 性 主振型的位移幅值就是体系在此主振型惯性力幅值作
结构力学
对多自由度体系的每一个自振频率ω i，可得到相应的主振 型Y(i)，利用虚功原理可以证明不同的主振型是相互正交的。 第一正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于质量矩阵M正 交，即
第二正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于刚度矩阵K正 交，即
(1) 突加荷载:当t>0时，
(2) 简谐荷载
其中两个常数C1和C2，由初始条件确定。
结构力学
10.5 多自由度体系的自由振动
按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各 有其适用范围。
1. 刚度法
结构力学
将动力荷载的幅值q=2kN/m作为静力荷载作用在结构上，求在其 作用下柱顶的水平位移(先作出由它引起的弯矩图，如图10.3 (b)，再选做力法一基本结构在单位力作用下的弯矩，图如图 10.3(c)，两图图乘即得)
同济大学朱慈勉-结构力学第10章-结构动力学
机动力荷载).
分析过程：
第1阶段:位移时间历史 y y(x)
第2阶段: 应力、应变及内力 （如何求？）
已知荷载的类型
周期荷载: 简谐荷载
复杂荷载
F
t
F
t
建筑物上的偏心电机
内燃机连杆
任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载
非周期荷载:
F
t
F
t
爆破
地震
§10-2 体系振动的自由度
（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参 数的数目
确定体系阻尼比的一种方法
▪ 阻尼体系动力反应：
y(t) et sin(dt )
▪ 体系的阻尼比可以通过测试体 系运动的衰减规律得到：
▪ 体系从任一时刻经几个周期后 的振幅比为：
y (t)
e tk
e (tk nT )
t
0 tk
t k + nT
e t
T 2/d
y e tk
tk
n T
2nπ d
my cy ky 0
（3-2）
▪ 特征方程：
s c
c
2
2
2m 2m
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m< ，这时，特 征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为：
s c i 2 c 2
2m
2m
▪ 引入符号： c c cc 2m
c 2m
▪ 其中 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：
y3 y2
y1
忽略楼板变形
3个自由度
y1 y2
2个自由度
1个自由度
y1
忽略杆件轴向变形
4个自由度
y1
分析过程：
第1阶段:位移时间历史 y y(x)
第2阶段: 应力、应变及内力 （如何求？）
已知荷载的类型
周期荷载: 简谐荷载
复杂荷载
F
t
F
t
建筑物上的偏心电机
内燃机连杆
任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载
非周期荷载:
F
t
F
t
爆破
地震
§10-2 体系振动的自由度
（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参 数的数目
确定体系阻尼比的一种方法
▪ 阻尼体系动力反应：
y(t) et sin(dt )
▪ 体系的阻尼比可以通过测试体 系运动的衰减规律得到：
▪ 体系从任一时刻经几个周期后 的振幅比为：
y (t)
e tk
e (tk nT )
t
0 tk
t k + nT
e t
T 2/d
y e tk
tk
n T
2nπ d
my cy ky 0
（3-2）
▪ 特征方程：
s c
c
2
2
2m 2m
▪ 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m< ，这时，特 征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为：
s c i 2 c 2
2m
2m
▪ 引入符号： c c cc 2m
c 2m
▪ 其中 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：
y3 y2
y1
忽略楼板变形
3个自由度
y1 y2
2个自由度
1个自由度
y1
忽略杆件轴向变形
4个自由度
y1
10结构动力学概论
当 FP (t)为简谐荷载时，其解的形式为
第十章 结构动力学简介
y(t)
y0
cos ωt
ν0 ω
sin ωt
F
θ sin ωt
F
sin θt
m(ω2 θ 2 ) ω
m(ω2 θ 2 )
前两项为初始条件引起的自由振动;第三项为荷载（干扰力）引起的自由振 动，称为伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快 衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。第四项为按荷载频率 进行的振动，此阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。
2、平衡方程的建立
平衡方程的建立有两种方法：一是刚度法；一是柔度法。
my
y k
k
m
刚度法：根据达兰贝尔原理，沿位移正向，在质点上加上惯性力，列动态平 衡方程
ky my
k y ——总是与位移方向相反，指向平衡位置
平m衡y 方—程—与加速m度y方向相k反y 0
第十章 结构动力学简介
柔度法：在惯性力作用下，质点的位移等于实际位移
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十章 结构动力学简介
§10-1 概述
一、动力计算的内容
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
纯受迫振动解的讨论请同学们课下自学完成！
第十章 结构动力学简介
三、阻尼对振动的影响
§10-3 单自由度体系的振动分析
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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取两项
1 x2 12; 2 x3 2 6x
精确解：m1
3.516 EI l 2
EI m
xl2
22.03 l2
EI m
l
代入： kij 0 EIi jdx,
l
mij 0 mi jdx
说求代明2得：入故)R1k频第a)i由jy，二率le于i频g方mφh率—i1程j、：不Rφ：[i准t2kz均法。]近所似得6于4结EE第果IIl一仍l2振然1型6偏2E，E高I由I，ll2它3其们原, 组因合[同m的瑞]第利二法 振mm。65型ll 65自然mm很76ll差76 ，
§10-7 近似法求自振频率
1、能量法求第一频率——Rayleigh法
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动 能T 和应变能U 之和应等于常数。 ※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动 能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间 （变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
越准。
5
例 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频 率方程：
[k] 2[m] 0
频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形
式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为
Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，
即
U
1 2
0l
q(
x)Y
E(xI )]2
精dx
确
(mx)]2 d解x3
例 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
h0
解：
截面惯性矩：
I
1
h0
x
3
12 l
单位长度的质量： m h0 x
l
x l
设位移形状函数： Y (x)a(1 x )2 l
满足边界条件：Y (l) 0,Y (l) 0
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型
相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似 的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高
2 5Eh02 , 1.581h0 E
2l 4
l2
与精确解
1.534h0 l2
E
相比误差为3%
2 0l EI[Y (x)]2 dx
0l m[Y (x)]2 dx
Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲 线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某 种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当 于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。 4
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
2
0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9
9.87 l2
EI m
3）假设 Y (x)asin
第一振型的精确解。
l
2
4EIa2 2l3
4EI
ma2l 2
ml4
29.0l80lE62m9I6[[YY
定律得：Βιβλιοθήκη Umax=Tmaxω
※求Umax ，Tmax 位移幅值 设： y(x,t) Y (x)sin(t )
v y. Y (x) cos(t )
U如TUmm梁aaxx上12120l还1212m0l0l有EE(2xII集)[0lYvm中2d((x2x质xx2y))]Y量2122d2m(xdxi，x2)dcxo12s2s(※Yiin为求t22集频(中)0率lt0lm质m[Y0l(量Ex)()0lIxmYE[)Yi2]处I2([xd(Y的)xxd)位x](2x移d)mx]幅2iYd值i2x1。
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最 初两个 频率近 似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%） 说8 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代 替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效 的集中质量法。
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附 加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y (x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率
l
mij 0 mi jdx
k11 4EIl,
m11
ml 5
5
4EIl 2
ml5 5
0 2
20EI ml4
,
1
1 4.472
l2
EI m
其精确解：
1
3.516 l2
EI m
与精确解相比，误差为27%。
7
例 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解： Y a11 a22 a1x2 a2 x3
计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可 能组合，确实获得了最小的ω2值。
所选的a1，a2，…，an使ω2 获得最小值的条件是
2 0, (i 1,2,, n)
ai
这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式
等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往
1 x2 12; 2 x3 2 6x
精确解：m1
3.516 EI l 2
EI m
xl2
22.03 l2
EI m
l
代入： kij 0 EIi jdx,
l
mij 0 mi jdx
说求代明2得：入故)R1k频第a)i由jy，二率le于i频g方mφh率—i1程j、：不Rφ：[i准t2kz均法。]近所似得6于4结EE第果IIl一仍l2振然1型6偏2E，E高I由I，ll2它3其们原, 组因合[同m的瑞]第利二法 振mm。65型ll 65自然mm很76ll差76 ，
§10-7 近似法求自振频率
1、能量法求第一频率——Rayleigh法
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动 能T 和应变能U 之和应等于常数。 ※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动 能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间 （变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
越准。
5
例 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频 率方程：
[k] 2[m] 0
频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形
式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为
Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，
即
U
1 2
0l
q(
x)Y
E(xI )]2
精dx
确
(mx)]2 d解x3
例 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
h0
解：
截面惯性矩：
I
1
h0
x
3
12 l
单位长度的质量： m h0 x
l
x l
设位移形状函数： Y (x)a(1 x )2 l
满足边界条件：Y (l) 0,Y (l) 0
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型
相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似 的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高
2 5Eh02 , 1.581h0 E
2l 4
l2
与精确解
1.534h0 l2
E
相比误差为3%
2 0l EI[Y (x)]2 dx
0l m[Y (x)]2 dx
Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲 线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某 种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当 于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。 4
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
2
0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9
9.87 l2
EI m
3）假设 Y (x)asin
第一振型的精确解。
l
2
4EIa2 2l3
4EI
ma2l 2
ml4
29.0l80lE62m9I6[[YY
定律得：Βιβλιοθήκη Umax=Tmaxω
※求Umax ，Tmax 位移幅值 设： y(x,t) Y (x)sin(t )
v y. Y (x) cos(t )
U如TUmm梁aaxx上12120l还1212m0l0l有EE(2xII集)[0lYvm中2d((x2x质xx2y))]Y量2122d2m(xdxi，x2)dcxo12s2s(※Yiin为求t22集频(中)0率lt0lm质m[Y0l(量Ex)()0lIxmYE[)Yi2]处I2([xd(Y的)xxd)位x](2x移d)mx]幅2iYd值i2x1。
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最 初两个 频率近 似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%） 说8 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代 替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效 的集中质量法。
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附 加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y (x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率
l
mij 0 mi jdx
k11 4EIl,
m11
ml 5
5
4EIl 2
ml5 5
0 2
20EI ml4
,
1
1 4.472
l2
EI m
其精确解：
1
3.516 l2
EI m
与精确解相比，误差为27%。
7
例 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解： Y a11 a22 a1x2 a2 x3
计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可 能组合，确实获得了最小的ω2值。
所选的a1，a2，…，an使ω2 获得最小值的条件是
2 0, (i 1,2,, n)
ai
这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式
等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往