高中数学 1章末 精品同步导学 新人教B版必修5
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【解析】 设 E 为 BC 的中点，连接 DE， 则 DE∥AB，且 DE＝21AB＝236， 设 BE＝x，在△BDE 中，利用余弦定理可得 BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED，
5＝x2＋83＋2×236× 66x， 解得 x＝1 或 x＝－73(舍去)． 故 BC＝2，从而
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝238，
四、几何计算 求解三角形中的几何计算问题，要首先确定与未知量之 间相关联的量，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA 及平面几何知识来解决．
• 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9 ，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
45°，
解得
BD＝9 2
2 .
• 五、正、余弦定理的实际应用
• 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用． 常见的测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决 的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意 图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪 个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注 意近似计算的要求．
已知△ABC 中，cosA＝45，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝ 1∶2∶3，试判断三角形的形状．
【解析】 令a－1 2＝2b＝c＋3 2＝k， 则 a＝k＋2，b＝2k，c＝3k－2， 又 cosA＝45，由 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝54， 得 k＝0(舍去)或 k＝4. 此时，a＝6，b＝8，c＝10. ∴c2＝a2＋b2，∴△ABC 为直角三角形．
• 1．正弦定理和余弦定理 • (1)了解正弦定理的几何意义，了解余弦定理的几种变形公 式． • (2)掌握正弦定理及正弦定理的推导，掌握余弦定理及余弦 定理的推导． • (3)会利用正、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
• 2．应用 • (1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题． • (2)通过定理的推导和应用，培养分析、综合、归纳等思维 能力，渗透数形结合、化归等数学思想，以及从特殊到一般 、类比等方法．
• 一、正弦定理的应用
• 正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两 个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另 一个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；二是已知 三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以 计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其 他的边和角，值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一 边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不唯一，可结合三 角形中大边对大角的性质或结合图形来判断解的个数．
• 二、余弦定理的应用 • 余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它 们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角 ；二是已知三角形的三边求三角；三是利用余弦定理列方程 ．
在△ABC 中，已知 AB＝436，cos∠ABC＝ 66，AC 边 上的中线 BD＝ 5，求 sinA 的值．
即 AC＝2 321，又 sin∠ABC＝ 630，
2 21
故si2nA＝
3 30
，sinA＝
70 14 .
6
• 三、判断三角形的形状 • 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统 一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角 的关系，用三角知识求解，在解三角形时常用的结论有：
1．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB ⇔cosA＜cosB. 2．在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝π，∠A＋∠B＝π－ ∠C，∠A＋2 ∠B＝π2－∠2C，则 cos(A＋B)＝－cosC.sin(A＋B) ＝sinC，sinA＋2 B＝cosC2. 3．在△ABC 中，a2＋b2＜c2⇔π2＜∠C＜π，a2＋b2＝c2 ⇔cosC＝0⇔∠C＝π2，a2＋b2＞c2⇔cosC＞0⇔0∠C＜π2.
在△ABC 中，已知 b＝6 3，c＝6，∠C＝30°，求 a.
【解析】
由正弦定理得sibnB＝sincC，sinB＝bsicnC＝
3 2.
因为 b＞c，所以∠B＞∠C＝30°，所以∠B＝60°或∠B
＝120°，
当∠B＝wk.baidu.com0°时，∠A＝90°，则 a＝cssiinnCA＝12.
当∠B＝120°时，∠A＝30°，则 a＝cssiinnCA＝6ssiinn3300°°＝6. 所以 a＝6 或 a＝12.
【解析】 在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得sin∠ABBCA＝sin∠ACABC， sin∠ABC＝ACsinA∠B BCA＝9sin530°＝190.
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是
sin∠BAD＝－sin∠ABC＝190.
同理，在△ABD 中，AB＝5，sin∠BAD＝190，∠ADB＝
• 从近几年高考命题的形式看，本节知识是高考必考内容． • 1．内容上重点为正弦定理及三角形的面积公式，考题灵活 多样． • 2．题型方面选择和填空题型以考查用正、余弦定理解三角 形为主，难度不大，有时与其他知识综合命题，涉及了数列 内容．解答题型主要与三角函数相结合实现边角互化或用以 解决实际问题，难度中等． • 3．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．
• 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向的B处 ，距A有9海里，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行 驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多 少小时能最快追上乙船？(精确到度)
【解析】 假设用 t 小时，甲船在 C 处追上乙船， 在△ABC 中， AC＝28t，BC＝20t，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°， 由余弦定理， 得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC， 即(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×－21， 整理，得 128t2－60t－27＝0， 即(4t－3)(32t＋9)＝0. ∴t＝43或 t＝－392(舍去)，
5＝x2＋83＋2×236× 66x， 解得 x＝1 或 x＝－73(舍去)． 故 BC＝2，从而
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝238，
四、几何计算 求解三角形中的几何计算问题，要首先确定与未知量之 间相关联的量，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA 及平面几何知识来解决．
• 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9 ，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
45°，
解得
BD＝9 2
2 .
• 五、正、余弦定理的实际应用
• 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用． 常见的测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决 的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意 图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪 个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注 意近似计算的要求．
已知△ABC 中，cosA＝45，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝ 1∶2∶3，试判断三角形的形状．
【解析】 令a－1 2＝2b＝c＋3 2＝k， 则 a＝k＋2，b＝2k，c＝3k－2， 又 cosA＝45，由 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝54， 得 k＝0(舍去)或 k＝4. 此时，a＝6，b＝8，c＝10. ∴c2＝a2＋b2，∴△ABC 为直角三角形．
• 1．正弦定理和余弦定理 • (1)了解正弦定理的几何意义，了解余弦定理的几种变形公 式． • (2)掌握正弦定理及正弦定理的推导，掌握余弦定理及余弦 定理的推导． • (3)会利用正、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
• 2．应用 • (1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题． • (2)通过定理的推导和应用，培养分析、综合、归纳等思维 能力，渗透数形结合、化归等数学思想，以及从特殊到一般 、类比等方法．
• 一、正弦定理的应用
• 正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两 个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另 一个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；二是已知 三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以 计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其 他的边和角，值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一 边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不唯一，可结合三 角形中大边对大角的性质或结合图形来判断解的个数．
• 二、余弦定理的应用 • 余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它 们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角 ；二是已知三角形的三边求三角；三是利用余弦定理列方程 ．
在△ABC 中，已知 AB＝436，cos∠ABC＝ 66，AC 边 上的中线 BD＝ 5，求 sinA 的值．
即 AC＝2 321，又 sin∠ABC＝ 630，
2 21
故si2nA＝
3 30
，sinA＝
70 14 .
6
• 三、判断三角形的形状 • 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统 一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角 的关系，用三角知识求解，在解三角形时常用的结论有：
1．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB ⇔cosA＜cosB. 2．在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝π，∠A＋∠B＝π－ ∠C，∠A＋2 ∠B＝π2－∠2C，则 cos(A＋B)＝－cosC.sin(A＋B) ＝sinC，sinA＋2 B＝cosC2. 3．在△ABC 中，a2＋b2＜c2⇔π2＜∠C＜π，a2＋b2＝c2 ⇔cosC＝0⇔∠C＝π2，a2＋b2＞c2⇔cosC＞0⇔0∠C＜π2.
在△ABC 中，已知 b＝6 3，c＝6，∠C＝30°，求 a.
【解析】
由正弦定理得sibnB＝sincC，sinB＝bsicnC＝
3 2.
因为 b＞c，所以∠B＞∠C＝30°，所以∠B＝60°或∠B
＝120°，
当∠B＝wk.baidu.com0°时，∠A＝90°，则 a＝cssiinnCA＝12.
当∠B＝120°时，∠A＝30°，则 a＝cssiinnCA＝6ssiinn3300°°＝6. 所以 a＝6 或 a＝12.
【解析】 在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得sin∠ABBCA＝sin∠ACABC， sin∠ABC＝ACsinA∠B BCA＝9sin530°＝190.
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是
sin∠BAD＝－sin∠ABC＝190.
同理，在△ABD 中，AB＝5，sin∠BAD＝190，∠ADB＝
• 从近几年高考命题的形式看，本节知识是高考必考内容． • 1．内容上重点为正弦定理及三角形的面积公式，考题灵活 多样． • 2．题型方面选择和填空题型以考查用正、余弦定理解三角 形为主，难度不大，有时与其他知识综合命题，涉及了数列 内容．解答题型主要与三角函数相结合实现边角互化或用以 解决实际问题，难度中等． • 3．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．
• 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向的B处 ，距A有9海里，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行 驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多 少小时能最快追上乙船？(精确到度)
【解析】 假设用 t 小时，甲船在 C 处追上乙船， 在△ABC 中， AC＝28t，BC＝20t，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°， 由余弦定理， 得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC， 即(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×－21， 整理，得 128t2－60t－27＝0， 即(4t－3)(32t＋9)＝0. ∴t＝43或 t＝－392(舍去)，