高数易混淆概念
高考数学易错易混淆考点总结
高考数学易错易混淆考点总结数学高考易错易混淆考点汇总一、集合和功能1.在进行集合的交、并、补运算时，不要忘记完备集和空集的特例，不要忘记借助数轴和文氏图求解。
2.在应用条件时，易A忽略了它是一个空集的情况。
3.用补集的思想能解决相关问题吗？4.简单命题和复合命题有什么区别？这四个命题之间是什么关系？如何判断充分必要条件？你知道“无命题”和“命题的否定形式”的区别。
6.在解决与功能相关的问题时，很容易忽略域优先原则。
7.在判断一个函数的奇偶性时，很容易忽略检查函数域关于原点是否对称。
8.在求解函数的解析表达式和函数的反函数时，很容易忽略标记函数的定义域。
9.如果原函数在区间[-a，a]内单调递增，则必然存在反函数，反函数也单调递增；但函数中有反函数，不一定单调。
例如：10.熟练掌握函数单调性的证明方法了吗？定义法(取值、求异、判断正负)和求导法1.在求函数的单调性时，容易在多个单调区间之间误加符号“”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示。
12.要找到函数的取值范围，必须先找到函数的定义范围。
13.如何应用函数的单调性和奇偶性解决问题？比较函数值；求解抽象函数不等式；求参数范围(常数问题)。
这些基础应用你掌握了吗？14.在解对数函数问题时，有没有注意到实数和基数的限制？(实数大于零，基数大于零不等于1)字母基数需要讨论。
15.三次方(哪三次方？)你掌握了关系和应用吗？如何用二次函数求x值？16.用代换法解题时，容易忽略代换前后的等价性和参数的取值范围。
17.在“实数解的实系数二次方程”的转化过程中，你有没有注意到：当时“有解的方程”还不能转化为。
如果原问题没有表明是二次方程、二次函数或二次不等式，你考虑过二次项的系数可能为零吗？二.不等式18.你注意到了吗：“一个是积极的；第二，设定；等等。
”。
19.绝对不等式的解法及其几何意义是什么？20.解分式不等式要注意什么？用“根轴法”解代数表达式(分式)不等式有哪些注意事项？21.带参数不等式求解的一般方法是“定义域是前提，函数单调性是基础，分类讨论是关键”。
高中数学教材易错易混知识点总结
高中数学教材易错易混知识点总结
高中数学教材中，有些知识点容易出现混淆或易错的情况，下面是一些具体的例子：
1. 函数中的自变量和函数值——在函数中，自变量是输入值，而函数值是输出的结果。
因此，在题目中应当清楚地区分清楚自变量和函数值，避免将两者混淆。
2. 向量的模和方向角——向量的模是向量的长度，而方向角是向量与某个标准方向的夹角。
在计算向量时，要注意区分开二者，避免混淆。
3. 三角函数中的“正弦角”和“余弦角”——正弦角指的是该角的正弦值，余弦角指的是该角的余弦值。
在题目中应当清楚地说明所要求的是哪一个，以避免混淆。
4. 平面向量和空间向量——平面向量与空间向量的概念不同，因此在计算过程中需要注意是否为平面向量或空间向量。
5. 图像对称和函数对称——在二次函数等函数的图像中，有关对称的问题，有的是关于 x 轴对称，有的是关于 y 轴对称。
在解题时需要认真分析，以免混淆。
总之，为了避免容易混淆的情况，在解题时需要认真分析、区分各种概念，尤其是需要注意相似、相同但概念不同的词语，以避免在解题时容易混淆。
高考数学最易混淆知识点归纳
高考数学最易混淆知识点归纳高考数学作为高中数学的重要组成部分，在高考中占据着很重要的位置。
一些题目可能会涉及到一些知识点的混淆，因此我们必须要对这些混淆的知识点进行整合和分类，以便于我们更好地理解和掌握。
下面，我们来分析一下高考数学中最易混淆的知识点。
一、函数的分段定义在高考数学中，我们经常涉及到函数的分段定义。
如果我们没有认真地学习和理解分段函数的定义，就很容易在相关的题目中出现混淆。
另外，有些题目需要用到二次函数、三角函数等相关的知识点，如果我们没有对这些函数进行系统化的学习，也很容易出现混淆。
二、导数的概念和应用在高考数学中，导数的概念和应用也是很重要的一个知识点。
例如，在求解变化率、极值等相关的问题时，需要用到导数的概念和应用，如果我们对这些相关的知识点没有进行归纳和整理，就很容易出错。
三、立体图形的计算在高考数学中，我们还需要涉及到立体图形的计算。
例如，在计算长方体、圆柱体、圆锥体以及球体的面积和体积等问题时，如果我们没有将这些相关的知识点进行分类、整理，就很容易出现混淆。
四、复合函数的概念在高考数学中，复合函数的概念也是很重要的一个知识点。
例如，在单项式的运算、幂函数、指数函数和对数函数的运算中都用到了复合函数的概念。
如果我们没有对这些相关知识点进行整理和分类，也很容易出现混淆。
五、统计学问题与数学知识的结合在高考数学中，我们还经常遇到同样涉及到一些统计学问题与数学知识的结合。
例如，我们需要对数据进行分析和统计，同时需要运用到平均值、标准差、方差、概率等知识点。
如果我们没有对这些知识点进行系统化的学习和整理，那么也很容易出现混淆。
综上所述，高考数学中最易混淆的知识点包括函数的分段定义、导数的概念和应用、立体图形的计算、复合函数的概念以及统计学问题与数学知识的结合。
如果我们没有对这些相关的知识点进行整理和分类，那么在做相关的题目时就很容易出现混淆。
因此，在备考高考数学时，我们需要认真复习和整理这些知识点，以便于我们更好地掌握和理解。
高考数学复习容易混淆的知识点
高考数学复习容易混淆的知识点
高考数学复习容易混淆的知识点之一：
不等式：利用均值不等式求最值时，你是否注意到：一正;二定;三等。
绝对值不等式的解法及其几何意义是什幺?解分式不等式应注意什幺问题?用根轴
法解整式(分式)不等式的注意事项是什幺。
解含参数不等式的通法是定义域
为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键，注意解完之后要写上：综上，原不等式的解集是在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要
用集合或区间表示;不能用不等式表示。
两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意同号可倒即a>b>0，a。
高考数学复习容易混淆的知识点之二：集合与函数
进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘
记了借助数轴和文氏图进行求解。
在应用条件时，易A忽略是空集的情况。
你会用补集的思想解决有关问题吗?简单命题与复合命题有什幺区别?四种命
题之间的相互关系是什幺?如何判断充分与必要条件?
高考数学复习容易混淆的知识点之三：数列
解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论
了吗。
在已知，求的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
你知道存在的条件吗?数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。
高考数学复习容易混淆的知识点之四：三角函数。
高中易错的数学概念
高中易错的数学概念
以下是一些高中易错的数学概念：
1. 指数与对数的运算法则：很多学生容易混淆指数和对数的运算法则，例如，误认为log(a-b)等于log(a) - log(b)。
正确的法则是log(a-b)等于log(a) + log(1-b/a)，因为log(a-b) = log[(a-b)/1] = log(a/b) - log(1) = log(a/b) = log(a) - log(1-b/a)。
2. 二次方程解的形式：在解二次方程时，学生有时会忘记区分平方根的正负值。
例如，在解方程x^2 = 9时，正确的解应该是x = ±3，但有些学生只写出x = 3。
3. 因式分解：因式分解是高中数学中的一个重要概念，但很多学生在因式分解时容易出错。
常见的错误包括忽略最大公因数、错误地使用分配律、错误地分解差平方和等。
4. 幂指函数的性质：幂指函数的性质是高中数学中的一个重要概念，但很多学生容易搞混。
例如，他们可能不记得幂指函数的导数是幂次乘以常数因子，或者混淆指数函数和对数函数的图像。
5. 三角函数的关系式：学生常常会弄混三角函数之间的关系式，例如sin^2(x) + cos^2(x) = 1，tan(x) = sin(x)/cos(x)。
这些关系式是三角函数的基本性质，但
学生可能会忘记或混淆它们。
6. 统计概率：统计概率是易错的数学概念之一。
学生可能容易误解统计概率的概念，例如，将独立事件的概率相乘，而不是相加，或者将条件概率的关键概念忽略掉。
以上只是一些常见的易错概念，具体还要根据学生的情况和具体的学习内容进行分析。
2024年高考数学易混淆知识点总结(2篇)
2024年高考数学易混淆知识点总结一、函数与方程1. 函数与方程的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素；方程是一个等式，将一个表达式与0相等。
2. 一次函数与一元一次方程：一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数；一元一次方程是形如ax+b=0的方程。
3. 二次函数与一元二次方程：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a≠0；一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程。
4. 指数函数与指数方程：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1；指数方程是形如a^x=b的方程。
5. 对数函数与对数方程：对数函数是指底数为正实数a的函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1；对数方程是形如log_a(x)=b的方程。
二、数列与数列极限1. 等差数列与通项公式：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列；通项公式是指能够用一个式子表示数列的第n项的公式。
2. 等差数列的前n项和：等差数列前n项和Sn=n(a+l)/2，其中a为首项，l为末项，n为项数。
3. 等比数列与通项公式：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列；通项公式是指能够用一个式子表示数列的第n项的公式。
4. 等比数列的前n项和：等比数列前n项和Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比，n为项数。
5. 数列极限的概念：数列极限是指随着数列项数的增加，数列中的项趋于某个常数或正无穷或负无穷的情况。
三、平面几何1. 三角形的内角和：三角形的内角和为180度，即三个内角的和等于180度。
2. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
4. 圆的性质：圆的直径是圆上任意两点间的最大距离，半径等于直径的一半，圆的周长等于2πr，圆的面积等于πr^2。
高中数学函数中最易混淆的11对概念
式．
(II ）若函数 j(x）对一切实数X都有 j(x+8)=-f(-2 -x），且 x 主 3 日才有 j(x)=x2一 7x+4.求 j(x） 解析式．
。g（，α） >[f（ 功］ 皿
六、 单调区间与区间单调
例6.
(I)若函数j(x)
=
2
x
- (3α－1x) ＋α2
在区间［1何， 刀）上单调递增，
求实数α的取值范围．
(II）若函数j(x)
=
2
x
- (3α－1)x＋α2
单调递增区间是［1+, oo ），
求实数α的取值范围．
分析：（I)j(x)
=
2
x
- (3α－1)x＋α2
分析：(I）若函数 j(x）对一切实数X都有 j(x+8) = j(-2 -x） ，则有y = j(x）的图象关于直线 x=3 成轴对称：
又 x 主 3 日才有j(x)=x2 -7x+4; 所以 x<3 时，有－ x+6> 3 , j(x)= j(6-x)=(6-x) 2 -7(6-x) +4=x2 -5x- 2.
[ x 2 -7x+ 4(x三巧，
l j(x） 解析式为 j(x)=才 x"钊' -Sx- 2(x < 3).
(II ）函数 j(x）对一切实数X都有 f(x+8)=-f(-2 -x），那么 f(x）的图象关于点（3, 0）成中心对称：又 x 主 3 时
容易混淆的概念-数学一11页
高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==． 例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ②① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x xf x →=∞②如果0lim ()x xf x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim ()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x xf x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则01lim()x xf x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
《高等数学》常见易混淆概念梳理
《高等数学》常见易混淆概念梳理摘要概念教学是培养数学核心素养的重要手段，也是高等数学课堂教学的重要一环，只有准确把握概念的内涵与外延，才能够正确理解概念以及应用概念。
《高等数学》作为工科、理科学生必修的基础课程，对于高等数学的学习不仅是对高等数学知识的学习，同时也是对能力与素质的培养，也可以说，高等数学是解锁其他学科的一把钥匙。
高等数学的学习是从对概念的学习开始的，因此，准确把握概念，理清概念之间的区别与联系尤为重要。
本文将讨论三组常见易混淆概念，分析易混淆概念产生原因以及该如何解决。
关键词：高等数学、易混概念一、函数的导数与微分根据同济大学出版的第七版《高等数学》中给出的定义，导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量；如果与之比当时的极限存在，那么称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即.也就是说导数是自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量的增量比的极限，而微分的定义为：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可表示为，其中A是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作dy,即.由此可见，微分的实质是函数值增量的近似值。
很多学生在学习过导数与微分的概念过后，常常会产生，“学习了导数为什么还要学习微分？函数的微分与导数有什么区别？”等等诸如此类的问题，还有部分学生存在对微分概念理解不透彻，对函数的微分与导数的区别与联系理解模糊的问题。
产生以上问题主要有三方面原因：第一、目前，国内大部分教材对于函数的导数与微分的内容安排一般都是首先介绍导数的概念以及导数的相关知识，再介绍求导法则以及求高阶导数、隐函数和参数方程求导数等问题，最后再介绍函数的微分，由于经过前期的学习，学生对于导数及其相关计算熟悉程度较高，在学习到微分的概念时，容易发现函数可导与可微之间的充分必要关系，且在计算微分的过程中，微分的计算又可以借助导数的计算来进行，因此导致学生过多地关注导数的相关知识，忽视了对微分概念的学习，久而久之，导致学生对函数微分的概念理解模糊；第二、函数在一点处可导与函数在一点处可微是充分必要关系，，若只强调导数与微分的计算则会加重对两个概念的混淆，所以，教师若未对函数的微分与导数的区别与联系进行强调，只是强调两者的计算，也会导致对微分的概念理解模糊的问题。
高考数学易混淆的知识点总结
高考数学易混淆的知识点总结今天整理了高考数学易错知识点总结，希望对大家有帮助哦！集合与简单逻辑1、易错点遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=A，φ≠B，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
2、易错点忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
3、易错点四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。
4、易错点充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=＞B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=＞A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A＜=＞B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条。
高等数学易混淆概念
《高等数学》易混淆概念一、函数、极限、连续1.1 无界变量一定是无穷大量吗？答：不一定是．无界变量：设函数的定义域为，如果存在正数，使得，则称函数在上有界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界．无穷大量：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当（或）时的无穷大．注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量.根据以上叙述, 很容易举出无界变量不一定是无穷大变量的反例:例1.1．，，即当时, 是无穷大量；对于, 当时, 的值总可以大于任何的正数M, 但是也总有可能等于0 . 所以当时, 是无界变量但不是无穷大量.例1.2．当时, 是无界变量, 不是无穷大量.1.2 当时，，可以推出成立；反之，若，可以推出成立吗？当的时候呢？答：当时，反过来是不一定成立的．例如：若,则此时的绝对值极限为1，而本身极限不存在．当时，，并且对于任意的极限过程都是成立的．1.3 设，且一定存在吗？答：不一定存在．分析：若，由夹逼定理可得．取，，则，且，但不存在．遇到此类问题一定要会用反例．1.4 和函数的极限一定等于函数的极限和吗？答：不一定．例1.3：，对吗？显然不对．原因在于：错用了极限的运算法则中“和的极限等于极限的和”，这一法则只适用于有限项的和，不适用无限项的和．正确答案：因为，所以，而，，故由夹逼准则得，例1.4：求极限解答：因为，其中，，所以，原式如何求此类函数的极限值呢？通常有两种方法：①用“夹逼准则”，适当的“放大”和“缩小”所求的式子，求出其极限．如例1.3；②用“定积分定义”，把所求的式子看做是某个函数在某个区间上的积分，利用积分求出其极限值．如例1.4．1.5 函数乘积的极限等于各个函数极限的乘积吗？答：不一定．只有当各个函数的极限都存在时，该命题才成立．例1.5：，对吗？这样做的错误在于不存在，从而不能利用“函数乘积的极限等于极限的乘积”这一结论．正确的做法：因为=0，（无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量）．而=1，所以，原函数极限为0.虽然结果一样，但是也要运用正确的求解方法求解．1.6 含参数的数列极限中常见的问题.例1.6：，这样做对吗？这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论.正确解答，当时, .当时,注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？答：不一定．当（或）时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例1.7：函数，当时的极限不存在．1.8 如果，那么是否有？答：不一定．例1.8：，则，但由于在的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在的极限．结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，则．反之，为无穷大，则为无穷小．1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．例1.9：求极限解：，因而时极限不存在．，因而时极限不存在．1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．例1.10：求极限解：利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若,则.考察这个命题，，当时,这个命题是真命题；当时,命题是假命题．对于例1.10，因为，，所以，证明的结论是错误的．正确解答:.例1.11：求错误解答:错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：而根据无穷小的比较的定义，当和均为0，所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当时，，所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例1.12：求极限解：本题切忌将用等价代换，导致结果为1．应该为：.注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．1.11 函数连续性的判断（1）设在间断，在连续，则在间断．而在可能连续．例如，设，，则在间断，在连续，在连续．若设，在间断，但在均连续．（2）“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件．分析：由“若，则”可得“如果，则”，因此，在点连续，则在点连续．再由上例可得，在点连续并不能推出在点连续．（3）在连续，在连续，则在连续．其余结论均不一定成立．。
高等数学部分易混淆概念考研数学恶补
高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ②① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而 故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确． 由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim ()0x x f x →=不能退出01lim ()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则01lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
高考数学易混淆知识点总结
高考数学易混淆知识点总结数学是高考科目中一个相对容易失分的科目，很多学生在数学考试中容易混淆一些知识点，导致失分。
为了帮助大家更好地复习数学，我总结了一些容易混淆的知识点，希望对大家有所帮助。
一、代数知识点1. 二次函数与二次方程的区别二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，a≠0，其中a、b、c 是常数，x是自变量，y是因变量。
二次函数的图像是抛物线。
二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，a≠0，其中a、b、c 是常数，x是未知数。
解二次方程就是找到方程的根，也就是方程的解。
混淆的原因：二次函数和二次方程的公式都带有x²，容易让人混淆。
解决方法：理解二次函数和二次方程的概念和特点，二次函数是一个函数关系，而二次方程是一个方程，要求找到方程的解。
2. 整式与多项式的区别整式是由有限个数的项用加法和减法连接起来的代数表达式，每一项的指数必须是非负整数。
多项式是特殊的整式，是由若干项用加法和减法连接起来的代数表达式，每一项的指数必须是非负整数，并且不能有分式以及根式。
混淆的原因：整式是多项式的一种特殊情况，容易被误认为整式就是多项式。
解决方法：了解整式和多项式的定义和概念，多项式是整式的一种常见形式。
3. 幂的混淆正整数次幂：a^n=a×a×...×a，其中a是底数，n是指数。
零次幂：a^0=1，其中a≠0。
负整数次幂：a^(-n)=1/(a^n)，其中a≠0。
混淆的原因：容易混淆正整数次幂、零次幂和负整数次幂的概念。
解决方法：理解正整数次幂、零次幂和负整数次幂的定义和特点，注意在计算幂时要遵循相应的规律。
二、几何知识点1. 长度与面积的混淆长度是表示一条线段的大小，通常用单位长度来度量，如厘米、米等。
面积是表示一个平面图形大小的量，通常用单位面积来度量，如平方厘米、平方米等。
混淆的原因：长度和面积都是度量物体大小的量，容易混淆。
解决方法：理解长度和面积的概念和计算方法，注意在计算时要根据题目中的要求选择适当的计算方式。
考研人最易混淆的那些高数概念定理
考研人最易混淆的那些高数概念定理高数向来是考研数学最难的一个要点，它不仅考察内容多，并且考察的角度也深。
对于初期备考的考研人来说，更是有很多易混淆点扰乱大家复习时的视线。
因此，在备考初期，这些概念定理务必要理清。
高数基础复习一定要垫好基础，有些概念定理必须搞清楚，以免后续复习漏洞太大。
本店铺整理了一些易混的概念定理，大家来梳理梳理。
►几个易混概念连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。
►罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f'(ξ)=0。
罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。
罗尔定理的三个已知条件的意义：①f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;②f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;③f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴;罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。
►泰勒公式有的同学，看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。
其实在搞明白一下几点后，原来的症状就没有了第一：什么情况下要进行泰勒展开;第二：以哪一点为中心进行展开;第三：把谁展开;第四：展开到几阶?►中值定理应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。
经常会去复习，那样渐渐地你对中值定理的题目就没有那种刚学高数时的害怕之极。
高数易混概念辨析
高数易混概念辨析高等数学（简称高数）作为大学数学的重要组成部分，内容繁杂而抽象，常常导致学生在学习过程中容易将一些概念混淆。
本文旨在对高数中常见易混概念进行辨析，帮助读者更好地理解和应用这些概念，从而提高学习效果。
1. 极限与连续极限和连续是高数中重要的概念，它们经常一起出现，但又有着本质上的区别。
极限是指当自变量逼近某个值时，函数取得的稳定值。
也可以说，一个函数在某一点$x=a$的极限是指当$x$趋近于$a$时，函数的值也趋近于某个常数。
连续是指函数在一个区间内没有断点。
换句话说，如果一个函数在某一点处极限存在且等于这一点处的函数值，那么这个函数就是连续的。
以函数$f(x)=\frac{1}{x}$为例，当$x$趋近于正无穷时，函数的极限为0，但在$x=0$点处，函数的极限不存在，因此这个函数在$x=0$处不连续。
2. 导数与微分导数和微分是微积分中的两个重要概念，它们在实际应用中常常被混淆。
导数是指函数在某一点处的变化率。
也可以说，一个函数在某一点$x=a$的导数是指函数曲线在该点处的切线斜率。
微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
也可以说，对于一个函数$f(x)$，在某一点$x=a$处的微分$df$表示函数$f(x)$在该点处的局部变化量。
导数和微分的关系可以用微分方程来描述：$df=f'(x)dx$。
它们之间的关系是密不可分的，但是它们在概念上是有区别的。
3. 定积分与不定积分定积分和不定积分是高数中的两个重要概念，它们经常同时出现，但是具有不同的含义和性质。
定积分是指函数在一个区间内的积分结果。
也可以说，对于一个函数$f(x)$，在区间$[a,b]$上的定积分$\int_{a}^{b} f(x)dx$表示函数$f(x)$在该区间上的累积和。
不定积分是指函数的原函数。
也可以说，对于一个函数$f(x)$，其不定积分$\int f(x)dx$表示函数$f(x)$在某个常数项的不确定情况下的原函数。
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概念区别：1．无界与无穷大无界是对任一M(无论多大),总存在x,使得f(x)>M,这里x任意，存在即可，不强调存在方式。
无穷大是对任一M(无论多大)，总存在x0,当x>x0时，f(x)>M(注，这里的无穷大时x趋近正无穷时，其他同理)，这里的存在有限制。
从定义，再结合图像，无穷算是无界的一种。
但是无界不一定无穷无界是一个区间而无穷是针对一个趋势，举个例子1/x,在(0,+∞)是无界而同是这个函数x趋近0是无穷而趋近无穷则是0第二个例子xsinx,x趋近无穷满足无界的定义，是无界，但不是无穷，因为无论怎样取x0,x>x0总有函数等于0，也就是不存在这样的函数。
也就是说对于一个无界的区间你如果有意识的话可以挑选一些数，有一定顺序组成一个新的函数的话完全可以成为无穷了。
正如例子中你选π/2,5π/2,9π/2……是不是无穷？这也涉及到一元函数的极限概念，考虑一下二元函数极限是x,y无论哪条路径都可以趋近某个值，其实一元函数也有个路径，不过这个路径指的是在x轴无论0，2，4，6……还是1，3，5……等等都是趋近同一值，这是想通之处了。
而对于某一类的无界它也不过是挑取某个路径达到无穷。
不能满足所有路径都是。
2．无穷小和零无穷小是趋势，一定条件下的趋势，同是一个函数在不同条件下地位不同比如x趋近0时时无穷小x趋近1就是，0是无论那种情况都是趋近0，所以0是无穷小。
但是无穷小和0不是等价的，这点把握到这里就可以了。
3．常见的几种点驻点：导数为0的点，不仅有定义，而且导数必须存在且为0极值点：相对点，相对于附近某一小临域，它是最大〔小〕的值，这里强调这个临域存在，临域不是区间；这样的点有一些性质，若可导则导数必为0，但导数为0不全是极值点(x^3)但是这不是判断极值点的唯一条件，还要根据定义，这就属于不可导的点了(|x|的0点)，所以极值点穿插很多，多重考虑，别忘了必须有定义。
拐点：性质有点类似极值点只是要求不同，它是某一临域左右凸凹性改变，同理既要考虑二阶导数是0还有二阶导不存在的穿插，还要注意最基本，有定义4．可积，原函数，变限积分可积指定积分存在〔注意是定积分不包括反常积分广义积分〕，按几何意义，曲线与x轴面积〔这里也可以说是负面积〕存在。
原函数是函数，不是一个值，判定是否存在原函数，对它求导后导函数是该函数。
变限积分定积分下限为常数，上限是自变量，集合两者，把x确定为一个值它就是定积分，某种意义上它可以算是某个原函数，但是这是一般情况，总体来说它还是一个函数。
可积不一定有原函数〔一个值存在怎么断定一个趋近有函数呢，〕，有第一类间断点是没有原函数但是可以有定积分，可积。
有原函数不一定可积〔1/x〕，它们之间关系颇为复杂，求一个定积分我们有能力的就是利用奇偶性或者间接利用原函数〔牛顿，来布尼次公式〕，一马归一马，注意区别。
而可积和变限积分联系挺大的，一般区间可积的话变限积分不仅存在而且连续，不深入讨论。
原函数和变限积分是最易混淆的，两者都是函数，求的过程容易觉得变限积分算是原函数的其中一个，一般函数可以这么以为，不过深入讨论，决不这么简单，对于存在原函数的上述结论正确，可是最大的区别就是有第一类间断点没有原函数，但是变限积分存在且连续，图形上理解就是有间断点，不影响面积存在性而且不影响连续性，这点可以证明。
5．一元与二元函数的可微，可导和连续一元函数和二元函数在连续，可微，可导虽然从书上看性质不太一样但这决不违背定理，两个之间有莫大的关系。
一元函数和二元函数的连续都要求极限存在且等于函数值，不同就是因为不同元函数因为空间的分布不同决定了极限的趋近方式不同，因为一元只有x是一条轴，一根线，那么教材上强调的更多是左右趋近，其实另一角度看，正如概念区别1来说其实方式也有很多，因为别看只是一条轴它却有无穷多个点，极限是要求连续取的，可是为了区别，我们有时候会跳跃取。
正如数列极限中2n,2n+1,只有同时取尽才保证极限存在，而二元函数分布于一个平面这就决定了方向的无穷性了，随意一个一元函数都可以决定一个方向y=x,y=x^2等等，作为一条曲线可以作为一条方向只要它过所确定的点即可，一元函数其实就是沿着(x,0)对二元函数的极限，这也就说明二元函数连续，那么在该点确定的一元函数也连续。
举个例子f(x,y)在0,0连续，那么f(x,0)肯定在x=0连续，一般到特殊，但是反之却不可以，这也从一定程度说明证明二元函数不连续，可以选取不同y,x关系，极限不同则不连续。
可导，一元函数中有可导必连续，这是因为导数的定义决定了极限只能是0/0型的极限，自变量趋近，函数必然趋近，可导必连续，可是二元函数却没有可导必连续，为什么呢？那是因为二元函数中的可导指的是偏导，偏导就说明是作为一元函数求导的，尽管它是二元的，既然作为一元函数求导，根据一元函数可导必连续概念，我们自然会有连续的概念，不过这里的连续不是说二元函数连续，而是它作为一元函数连续，什么意思呢？还是上面说的f(x,y)在0,0处对x偏导存在，说明f(x,0)在x为0处连续而不是f(x,y)在x,y=0,0连续，因为连续作用的单位不是整个二元函数，而二元函数中的某个小分支是一元函数，连续只作用到一个分支上了。
再说可微，因为一元和二元函数的可微定义是不一样的，一元函数定义可微和导数关系拉的很近，Δx将它们穿在一块，有着可微等价于可导的结论，这也是极限定义。
而二元函数定义可微时则是将Δx,Δy同时定义在内，无穷小也与两者都相关，所以单从二元函数可导〔偏导〕不能得到可微，因为偏导只是和某个有关，既然涉及两个那么两个关系没那么大了，可微是更深层次考察函数，单从定义式我们就可以得到两个结论，1连续(x趋近x0,y趋近y0试试)，2可导〔另某个Δ为0再对照定义〕从分析看，其实一元和二元差别之处就在于定义不同，研究范围不同，你如果把二元特殊为一元研究一元函数的性质它都有了。
6．定积分与面积可能大家对它俩关系有了明确的界定，但是我还是想说下，对不太明白的人或许有点用。
从定义看定积分是Δx与f(xi)的乘积和，可能由于定积分是从面积引出来的大家或许有错觉，它就是面积，但从定义来Δx我们规定若为正那么f(x)不一定全部为正，这样也不是面积了，假如我们将面积也矢量话(注意，面积只能是正)，那么这里的定积分就是矢量面积和了，这只帮助理解。
在研究定积分中会出现积分上下限颠倒，上面小于下边，这就更说明定积分不是面积了，只有积分上限大于下限，f(x)>0,才是真正意义的面积，所以给你一个题目求面积可不是单纯求定积分，需要你自己分段加符号。
二重积分也天然不是体积，同理7．定积分和二重积分看上去区别很大的，从几何意义上讲，定积分是矢量面积(方便叙述用的)，二重积分是矢量体积(同理)。
区别大家很容易看到，着重说联系。
二重积分的累次积分中我们就看到了它与定积分的某种联系，两次积分，补充下，如果你掌握了定积分求法，那么二重积分你还要掌握的是积分区域的划分，保持清醒的是积分区域中x,y的关系不要应用到f(x,y)中，两者关系不大〔虽然我不学曲面积分，但我隐约明白去年积分区域和函数关系很大，注意区别〕在极坐标换元中易出错。
求法决定二重积分与定积分关系，二重积分写法有好多种，但你要明白求法是固定的∫∫f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dx)dy或∫(∫f(x,y)dy)dx,明白了吗？就是说二重积分是定积分特殊的一种，积分函数是个特别的函数，这样定积分常用的方法二重积分也可以用，尤其是分布积分法，不过用时注意一定要明白积分变量是哪个别混了，这效果和换积分次序差不多一样，不过你换必须不得主观变换上下限，这里避免主观，可以少出错。
这个有什么用呢，当然是面对你积分积不出来时如e^(x^2)8．二阶非齐次微分方程的两个类型(e^(rx)和sinwx+coswx)注意，不多说，想说的是在求特解的时候不要弄混了，为了避免混淆，这样理解：不论那种形式都看作f(x)e^(rx)(acoswx+bsinwx)r取0看是什么，x取0看又是什么，两个同时取零呢？这样在找特征方程解对照时注意如果实根，把虚部看做0这样把实部和虚部同时对比两者同时符合则同，不符合则一般9．二元函数中的两类求极值第一类，不带条件求极值，判定方法：偏导都为0，再根据二阶偏导，A,B,C……判断第二类，附带条件，注意此类求极值其实质仍为一元函数求导，不过有隐函数的性质，注意推导过程与第一类有很大的区别，比如偏导可以都不为0，做题不要混淆了。
10．等价，合同，相似矩阵A,B等价指A经过初等变换变换可变为B,性质就是秩相同，当然没有要求矩阵必须是n阶的，可以m*n，还有就是向量组等价定义是甲向量组每个向量都可以用乙向量组向量线性表示，乙的也可以用甲的表示称为甲乙向量组等价。
两个等价有区别有联系。
首先，研究对象不同，前者是矩阵后者是向量组。
然后性质不同，矩阵等价必须同型，都是m*n，向量组等价不一定向量个数相同，但维数相同。
当然，也有联系，如果两个向量组等价而且向量个数相同，由这些向量组成的矩阵等价〔秩相等〕，但是如果两个矩阵等价，矩阵组成的列向量却不一定等价，除非某组由另一组线性表示〔利用合并向量组极大无关组〕相似和合同都是针对n阶方阵而言，P^(-1)AP=B,P可逆，A,B相似P^TAP=B,P可逆，那么A,B合同。
易知，相似，合同必等价。
而相似和合同联系的核心公式则是P^(-1)=P^T，也就是实对称正交单位化那部分，他是联系的中心环节，所以相似不需要正交，而合同必须单位正交化了。
理解下，这就是相似中为什么正交的原因，而相似必正交也来源于此。
容易出错的：1．极限这一块容易出错的不少，洛必达判定条件，这是低级错误小心就是了，容易出错的是等价无穷小的代换，等价无穷小代换是有条件的，最少明白是等价无穷小，必须极限都趋近0，然后代换的量必须是整个式子的某一个因式，作为乘除代换，例：limx->0sin3x/x=3x/x错误的有(sinx-x)/x^3=(x-x)/x^3=0;[(sin2x/x)-x]/x=(2-x)/x第二个虽然某种意义是乘除，但是相对整个式子还是加减错误原因：如果你深知泰勒公式会明白，其实等价无穷小就是泰勒公式第一部分代换sinx=x-x^3/6……,作为一个因式有没有后者没关系，这点你可以从多项式求极限中看出来，次数最小的项决定，一旦放入加法中就必须注意了，某一项是极有可能约掉了正如错误例子，你带入试试，把后者省了结果完全不同。
所以加减法中要用只能是泰勒公式，因为等价无穷小太简了，后来想了想，如果非要用等价代换，保证以下条件：代换后尽量分子分母不为0，而且代换出来的没运算前保证x次数大于分母的，当然这有些罗嗦了，总之，要注意。