弹性力学应变分析
弹性力学中的应变能函数和其数学处理
弹性力学中的应变能函数和其数学处理
在弹性力学中，应变能函数是描述材料在受力下发生形变时所储存的能量的数学函数。
这一函数是弹性力学分析中的关键参数，能够描述材料在受力后的应变状态，并能通过对它的数学处理获得许多有价值的信息。
应变能函数的数学定义是材料的弹性应变能与受到的外部载荷之间的关系。
通常情况下，应变能函数可以被表示为材料的应变张量与弹性常数之间的线性组合。
在弹性力学中，常见的应变能函数包括体积弹性势能、剪切弹性势能等。
这些函数的确定可以通过实验测定材料的力学性质来获得。
对于线性弹性材料，应变能函数通常是与应变张量的二次方相关。
这种关系可以通过材料的弹性模量和泊松比来确定。
通过对应变能函数进行数学处理，可以获得材料在受力下的变形规律以及应力分布情况。
这对于工程实践中的设计和分析非常重要。
除了线性弹性材料，非线性材料的应变能函数也可以采用更为复杂的形式来描述。
在这种情况下，数学处理的难度会增加，但通过适当的数值模拟和数学建模方法，依然可以对材料的响应进行准确预测。
总的来说，应变能函数在弹性力学中扮演着重要的角色，它的数学处理不仅可以帮助我们理解材料受力时的行为规律，还可以为工程实践提供有益的参考。
深入研究应变能函数和其数学处理方法，有助于提高材料设计的效率和准确性，推动整个领域的发展和进步。
弹性力学与材料的应变与应力关系研究
弹性力学与材料的应变与应力关系研究材料科学是一门研究物质的性质和结构的学科，而弹性力学是其中重要的一个领域。
弹性力学的研究主要关注材料在受力作用下的变形以及变形所产生的应力。
这种变形和应力之间的关系在材料的设计和使用中起着至关重要的作用。
首先，我们可以从一个简单的弹簧模型开始，了解应变与应力之间的关系。
考虑一根弹簧，我们可以通过施加一个外力来使其发生变形。
这个外力会产生一个内部力，即弹性力，使弹簧恢复到原始的形状。
弹簧的变形程度可以用应变来描述，而内部的弹性力可以用应力来表示。
弹簧的应变与应力之间存在线性关系，即应力等于弹性模量乘以应变。
这个关系被称为胡克定律。
然而，材料的力学性质往往比弹簧更为复杂。
在实际应用中，材料常常需要承受更大的力和变形。
由于这种情况下，材料不再服从线性的胡克定律，因此弹性力学的研究也就更为复杂。
材料科学家通过实验和理论分析，发现了不同材料在不同应力状态下的应变与应力之间的关系，并提出了一系列描述这种关系的模型。
其中最常用的模型之一是线弹性模型。
线弹性模型假设材料在小应力范围内呈现线性弹性，即应变与应力之间存在线性关系。
这在实际应用中是非常有用的，例如在建筑结构中，我们可以通过线弹性模型来估计材料的变形和承载能力，从而保证结构的安全性。
然而，当应力超过一定范围时，线弹性模型就无法准确描述材料的力学性质了。
这时，材料会发生塑性变形，即不可逆的变形。
塑性变形与应力之间的关系可以通过简单的拉伸试验来确定。
拉伸试验是一种将材料加以拉伸直至破裂的试验，通过测量材料在不同应力下的应变，可以得到材料的应力-应变曲线。
这个曲线描述了材料在不同应力下的塑性行为，可以帮助工程师选择合适的材料设计和制造产品。
除了线弹性和塑性变形，还存在一些特殊的力学性质。
例如，某些材料在受力时会发生形状记忆效应，即经历过变形后能够恢复到原来的形状。
这种材料被称为形状记忆合金，具有广泛的应用前景。
还有一些材料如液晶，具有流变性质，即受到剪切力时会出现非线性的变形行为。
弹性应变能基本概念及原理
实际问题识别和解决方案设计
识别工程中的实际问题
如结构刚度不足、变形过大、能量耗散过快等，分析其原因和影 响。
设计针对性的解决方案
根据问题性质，提出加强结构刚度、优化变形控制、提高能量利用 效率等具体措施。
方案实施与效果评估
将解决方案应用于实际工程中，通过对比分析和实验验证，评估其 效果和可行性。
创新思路在解决实际问题中应用
弹性波传播速度与介质参数关系
分析波速与介质密度、弹性模量等参数的关系。
弹性波在界面上的反射与透射
探讨波在两种不同介质界面上的性应变能与振动能量关系
阐述弹性应变能在振动过程中的作用，以及其与振动能量的关系 。
弹性体振动时的能量转换
分析弹性体在振动过程中，动能与弹性应变能之间的转换。
弹性应变能基本概念 及原理
汇报人： 2024-02-05
目录 CONTENTS
• 弹性应变能基本概念及原理 • 材料力学中的弹性应变能问题 • 结构力学中的弹性应变能问题 • 弹性波传播与振动问题中弹性应变
能应用 • 实验方法及测量技术探讨 • 工程案例分析与实际问题解决方案
01
弹性应变能基本概念及 原理
数据处理技术
介绍实验数据的处理方法，如数据平 滑、异常值剔除、误差修正等，以提 高数据质量和可靠性。
误差分析和提高测量精度措施
误差来源分析
分析实验中可能产生的误差来源，如仪器误差、操作误差、环境误差等，以及各种误差对实验结果的影响程度。
提高测量精度措施
根据误差分析结果，采取相应的措施来减小误差，提高测量精度。例如，优化实验方案、改进测量方法、提高仪 器精度等。
01
结构力学是研究结构在荷载作用下的内力和变形规律的学科。
弹性力学的变分原理和应用
弹性力学的变分原理和应用1. 弹性力学的基本原理•弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。
•弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。
1.1 胡克定律•胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。
•胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。
•弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。
1.2 平衡条件•在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。
•平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。
1.3 应变能最小原理•应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。
•应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。
2. 弹性力学的变分原理•变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。
•弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。
2.1 广义虚功原理•广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。
•广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。
•广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。
2.2 最小势能原理•最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。
•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。
•最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。
3. 弹性力学的应用•弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。
3.1 结构力学•弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。
•结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。
3.2 地质力学•地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。
弹性力学-空间问题的应变分析 (第三章)
x y z yz zx xy 0
（ a）
代入几何方 程，有
v w u 0, 0, 0, y z x u w v u w v 0, 0 0, z x x y y z
积分式（a）中前三式，有
2
N l x m y n z mn yz nl zx lm xy
2 2 2
（3-5）
—— 任意方向线应变计算公式 任意点线应变的张量与矩阵表示：
N l 2 x m2 y n2 z mn yz nl zx lm xy
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
y
x
y
V (x x x) (y y y) (z z z ) xyz (1 x )(1 y )(1 z )
体积应变（相对体积改变） ：
V V0 xyz (1 x )(1 y )(1 z ) xyz e V0 xyz x y z x y y z z x x y z
弹性力学应变状态
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质-变形协调方程
目录
§3.1 变形与应变概念 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
使用张量符号，几何方程可以表达为：
ij
1 2
ui, j u j,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
弹性力学应变分析
12
土木工程专业：弹性力学
df dy
dg dx
得到
u f ( y) u0 y v g ( x) v0 x
u0、v0为平移分量
为绕 z 轴转动的角度
• 位移为零或常数，应变一定为零 • 应变为零，位移未必为零。 存在刚体位移时，位移有平动分量和转 动分量。 不存在刚体位移（约束限制）时，位移 亦为零。
y
y方向的正应变 v v dy v l PTy y y dy l PT
v y
y
v
T
v dy y
v
P
Q
v u
v dx x u dx x
u
o
x
转角
2013-7-26
tan
u u dy u u y dy y
4
土木工程专业：弹性力学
新旧坐标系应变分量之间的关系
• 张量指标方程 或
ij aim a jn mn
ij a pi aqj pq
ε aT ε a
12 13 a11 22 23 a12 32 33 a13
a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
T
1 ε (D DT ) 2
土木工程专业：弹性力学
• 应变张量的矩阵表达
11 12 ε 21 22 31 32
u x 对
2013-7-26
x 13 1 23 xy 2 33 1 2 zx
v w yz 0.0001 0.0001 0.0002 y xz z y w u zx 0.0001 0.00005 0.00005 yz x z
弹性力学中的应力与应变关系
弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。
在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。
本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。
一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。
它可以分为正应力和剪应力。
正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。
应力的大小一般采用希腊字母σ表示。
应变是描述物体形变情况的物理量。
它可以分为线性应变和体积应变。
线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。
应变的大小可以用希腊字母ε表示。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。
其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。
其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。
胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。
例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。
三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。
其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。
当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。
非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。
它可以更好地描述材料的实际变形情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。
本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。
弹性力学_3-应变分析
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3
弹性力学中的应力与应变理论
弹性力学中的应力与应变理论弹性力学是研究物体在受力作用下的变形与恢复的力学分支。
应力与应变理论是弹性力学的重要组成部分，它描述了物体在受到外力作用时产生的应力和应变之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨弹性力学中的应力与应变理论。
一、应力的概念与分类应力是物体在受力作用下产生的单位面积的内力。
根据受力方向的不同，应力可以分为三类：拉应力、压应力和剪应力。
1. 拉应力：拉应力是指物体在受到拉伸力作用下产生的应力。
拉应力可分为轴向拉应力和切向拉应力。
轴向拉应力是指沿物体轴线方向产生的应力，而切向拉应力则是指垂直于轴线方向产生的应力。
2. 压应力：压应力是指物体在受到压缩力作用下产生的应力。
与拉应力类似，压应力也可分为轴向压应力和切向压应力。
3. 剪应力：剪应力是指物体在受到剪切力作用下产生的应力。
剪应力沿着物体内部平面的切线方向产生。
二、应变的概念与分类应变是物体在受力作用下发生的长度、面积或体积的变化。
根据变形形式的不同，应变可分为三类：线性应变、平面应变和体积应变。
1. 线性应变：线性应变是指物体在受力作用下产生的长度变化与初始长度之比。
它是最基本的应变形式，常用符号ε表示。
线性应变假设变形产生的应力与应变之间呈线性关系。
2. 平面应变：平面应变是指物体在受到外力作用下产生的面积变化与初始面积之比。
平面应变常用符号γ表示。
3. 体积应变：体积应变是指物体在受到外力作用下产生的体积变化与初始体积之比。
体积应变常用符号η表示。
三、胡克定律与应力应变关系胡克定律是弹性力学中最基本的定律之一，它描述了由于外力作用下物体的弹性变形情况。
胡克定律可以简要表述为：应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得出应力与应变的数学关系，即应力等于弹性模量与应变之积。
根据具体的应力类型和应变类型，应力与应变的关系可以用不同的公式来表示。
四、应力与应变的计算方法在实际应用中，为了计算物体在受力作用下的应变情况，可以使用不同的方法来计算应力和应变。
弹性力学中的应力和应变
弹性力学中的应力和应变弹性力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
在弹性力学中，应力和应变是两个关键的概念。
本文将详细介绍弹性力学中的应力和应变，并探讨它们之间的关系和物体在外力作用下的行为。
一、应力的概念与分类在弹性力学中，应力是描述物体内部受力状况的物理量。
它的定义是单位面积上的力，即单位面积上所受的力。
在材料力学中，通常将力的作用面积取无限小，这样就可以得到面积趋于无穷小的情况下的应力。
根据作用方向的不同，应力可以分为三种类型：正应力、剪应力和体应力。
1. 正应力：即垂直于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
正应力可以分为正拉应力和正压应力，正拉应力是指物体上的拉力，正压应力是指物体上的压力。
2. 剪应力：即平行于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
剪应力是指物体上的切力，它使得物体相对于截面沿切应变方向发生形变。
3. 体应力：即物体内部体积元素上的力在该体积元素上单位体积的作用力。
体应力是指物体中各个点处的压力或拉力。
二、应变的概念与分类应变是描述物体变形程度的物理量，它是物体的形状改变相对于初始形状的相对变化量。
应变也可以分为三种类型：线性应变、剪应变和体应变。
1. 线性应变：即物体在受力下沿作用力方向产生的长度变化与初始长度的比值。
线性应变通常用拉伸应变表示。
2. 剪应变：即物体在受剪力作用下发生的相对位移与物体初始尺寸的比值。
3. 体应变：即物体受力时体积的相对变化量与初始体积的比值。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，它们之间通过杨氏模量来联系。
杨氏模量是描述物体在拉伸应力作用下的应变程度的物理量。
弹性体的材料有两个重要的杨氏模量：弹性模量（或称杨氏模量）和剪切模量。
1. 弹性模量（E）：它描述的是物体在正应力作用下的正应变情况。
根据材料的不同，弹性模量也不同。
2. 剪切模量（G）：它描述的是物体在剪应力作用下的剪应变情况。
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
工程力学中的弹性力学分析
工程力学中的弹性力学分析弹性力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
它的应用广泛，涉及到许多领域，如结构设计、材料科学等。
本文将介绍弹性力学的基本概念、应力和应变的关系以及一些常见的弹性力学分析方法。
一、弹性力学的基本概念1.1 响应函数在弹性力学中，响应函数描述了物体对外力的响应。
它是外力和物体的变形之间的关系，通常用应力-应变关系表示。
响应函数的形式根据物体的几何形状和材料的性质而定。
1.2 弹性力学模型弹性力学模型用于描述物体的变形行为。
常见的模型有胡克定律、泊松比等。
胡克定律指出应力和应变成正比，泊松比描述了材料在受拉伸或压缩时横向收缩或扩张的程度。
1.3 应力集中与材料破坏应力集中是指物体中某一点受到的应力远大于其周围区域的应力。
当应力集中超过了材料的极限强度时，材料可能发生破坏。
弹性力学分析常考虑应力集中和材料的极限强度，以保证结构的安全性。
二、应力和应变的关系应力和应变是弹性力学中的核心概念，用于描述物体受力后的变形行为。
应力是单位面积上的力，可以分为正应力、剪应力等。
应变是物体长度或体积相对变化的度量，可以分为线性应变、剪应变等。
三、常见的弹性力学分析方法3.1 静力学方法静力学方法是最基本的弹性力学分析方法之一，根据力平衡定律和物体的几何特征来求解应力和位移。
通常适用于简单的静力学问题，如梁的弯曲和轴的伸缩。
3.2 弹性势能法弹性势能法是一种能量方法，将物体的变形看作是内能的变化。
通过最小化弹性势能的原理，可以得到物体的平衡位置和应力分布。
这种方法适用于复杂的弹性力学问题，如结构的稳定性分析。
3.3 有限元方法有限元方法是一种数值分析方法，将实际物体离散为有限数量的单元，通过求解单元边界的约束条件来获得整个物体的应力和位移分布。
这种方法适用于复杂的几何形状和材料非均匀性的问题。
四、弹性力学在工程中的应用弹性力学在工程领域有广泛的应用。
例如，在结构设计中，弹性力学分析用于确定结构的强度和稳定性。
弹性力学中的应变能和位移能
弹性力学中的应变能和位移能弹性力学是研究固体物体在外力作用下产生的形变和应力分布的一门学科。
在弹性力学中，应变能和位移能是两个重要的概念，它们在分析物体的弹性行为和能量转化过程中起着关键的作用。
应变能是指物体在外力作用下发生形变时所储存的能量。
当外力作用结束后，物体会恢复到原始形状，而储存的应变能也会被释放出来。
应变能的大小与物体的形变程度有关，一般来说，形变越大，应变能也越大。
应变能可以通过应变能密度来表示，即单位体积内的应变能。
应变能密度与物体的体积有关，体积越大，应变能密度也越大。
应变能密度可以用来计算物体在外力作用下的弹性势能，它是弹性力学中的一个重要参数。
位移能是指物体在外力作用下产生的位移所储存的能量。
当外力作用结束后，物体会恢复到原始位置，而储存的位移能也会被释放出来。
位移能的大小与物体的位移程度有关，一般来说，位移越大，位移能也越大。
位移能可以通过位移能密度来表示，即单位体积内的位移能。
位移能密度与物体的体积有关，体积越大，位移能密度也越大。
位移能密度可以用来计算物体在外力作用下的弹性势能，它也是弹性力学中的一个重要参数。
应变能和位移能在弹性力学中具有相似的性质和计算方法，但它们所描述的物理现象略有不同。
应变能主要描述了物体的形变过程，而位移能主要描述了物体的位移过程。
在实际应用中，应变能和位移能常常同时存在，相互转化。
例如，当一个物体被拉伸时，它的形变能会转化为位移能，而当物体恢复到原始形状时，位移能会再次转化为形变能。
这种能量的转化过程是弹性力学中的一个基本原理。
应变能和位移能在工程和科学领域中有广泛的应用。
在结构设计中，通过计算物体的应变能和位移能，可以评估结构的稳定性和安全性。
在材料研究中，通过研究物体的应变能和位移能，可以了解材料的弹性性质和破坏机制。
在地震学中，通过研究地震波的传播和物体的应变能和位移能，可以预测地震的破坏程度和影响范围。
总之，应变能和位移能是弹性力学中重要的概念，它们在分析物体的弹性行为和能量转化过程中起着关键的作用。
材料力学手册
材料力学手册材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，是材料科学的重要组成部分。
材料力学的研究对象包括金属材料、非金属材料、复合材料等各种材料的结构、性能和变形规律。
本手册将介绍材料力学的基本原理、应力分析、应变分析、弹性力学、塑性力学、断裂力学等内容，帮助读者全面了解材料力学的基本知识和理论。
1. 材料力学基本原理。
材料力学的基本原理是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律。
材料的力学性能包括强度、韧性、硬度、塑性等指标，而变形规律则包括材料的拉伸、压缩、弯曲、扭转等变形形式。
了解材料力学的基本原理对于材料的设计、加工、应用具有重要意义。
2. 应力分析。
应力是材料在外力作用下的内部反抗力，是描述材料抵抗外力破坏的能力。
应力分析是研究材料在受力状态下的应力分布规律，包括正应力、剪应力、主应力、主应力方向等内容。
通过应力分析可以了解材料在受力状态下的强度和稳定性，为材料的设计和选用提供依据。
3. 应变分析。
应变是材料在外力作用下的形变量，是描述材料变形程度的指标。
应变分析是研究材料在受力状态下的应变分布规律，包括线性弹性应变、非线性塑性应变、剪切应变等内容。
通过应变分析可以了解材料在受力状态下的变形特点和变形规律，为材料的加工和成形提供依据。
4. 弹性力学。
弹性力学是研究材料在受力状态下的弹性变形规律，包括胡克定律、泊松比、杨氏模量等内容。
了解材料的弹性力学特性对于材料的设计和使用具有重要意义，可以预测材料在受力状态下的变形程度和变形形式。
5. 塑性力学。
塑性力学是研究材料在受力状态下的塑性变形规律，包括屈服点、应力应变曲线、硬化规律等内容。
了解材料的塑性力学特性对于材料的加工和成形具有重要意义，可以预测材料在受力状态下的变形特点和变形规律。
6. 断裂力学。
断裂力学是研究材料在受力状态下的断裂规律，包括断裂韧性、断裂强度、断裂形式等内容。
了解材料的断裂力学特性对于材料的设计和安全具有重要意义，可以预测材料在受力状态下的断裂特点和断裂规律。
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
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分别为体积应变和体积应力。
如果用应变来表示应力，有下列关系：
x 2 x y 2 y z 2 x xy 2 xy yz 2 yz zx 2 zx
张量形式为
其中
E (1 )(1 2 ) E 2(1 )
zx
1 u w 2 z x
1 v u xy 2 x y
若记坐标变形前后的坐标x, y, z为Xi、xi， 位移为ui=Xi-xi,上式可以缩记为：
u j 1 u i ij 2 X j X i
如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
dx
dx
我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后 为P'A'，P'点的位移为(u,v)，A'点x方向的位移为
y方向上的位移为
u u dx x v v dx x
称为拉密常数。
x y z
ij ij kk 2 ij
其矩阵形式为σ= Dε
其中
σ [ x y z xy yz zx ]T ε [ x
y z xy yz zx ]T
注意这里我们假定材料是线弹性、各向同性 的，于是应力应变的关系是线性的，其中弹性常 数只有两个。在各向异性的情况下，D的上述表 达式不再成立，具有更多的弹性常数。
一般称为Cauchy应变，保留的是一阶项，适 用于小应变的情况，在有限变形时，应变有多 种定义，常见的有：
Green
Almansi Euler
对于应力应变σ= Dε的这种较为简单 的关系，注意这里我们假定材料是线弹 性、各向同性的，于是应力应变的关系 是线性的，其中弹性常数只有两个。在 各向异性的情况下，D的上述表达式不再 成立，具有更多的弹性常数。其中横观 各向同性是常见的一种。 在一定条件下，材料不再保持为弹性 变形，将出现塑性变形，这时应力应变的 关系，不再是上述的简单关系，这将是塑 性力学研究的内容。
空间的应变分量共九 个分量，是一个对称张量， 和应力张量一样，它们遵 从坐标变换规则，同样存 在着三个互相垂直的主方 向，对应的主应变值是该 张量的特征值。这些互相 垂直的主方向构成的直角 在该应变张量的变形时， 角度不变，由主平面组成 的单元体，由正方体变为 直角长方体。在主方向构 成的坐标系中，张量分量 构成对角阵，切应变分量 为零。
第三章 应变分析
第二节 应力应变的关系
应力应变的物理关系:
在线弹性力学中，应 力应变的物理关系成线性 的广义胡克关系，对于各 向同性材料，其中，只有 两个弹性常数. 张量形式为
1 ij ij ij kk E E
当坐标系为主方 向时，切应力为零， 切应变也为零，公式 简化为
总
结
应力是物体内部的内力，是看不见的， 而变形是可以测量和观察的，尤其在平面 应力状态，我们经常通过实验的办法，测 出应变，然后，通过应力应变的物理关系， 求得应力。通过加力前后物体表面网格的 变化，也可大致判断应变的大小等情况， 从而判断应力的情况。
u x v y y w z z
v y
A
v 线段PA的转角是 x
线段PB的转角是
u y
于是，直角APB的改变量为
v u xy x y
P B A
有时用张量分量
xy
1 v u 2 x y
这样，平面上一点 的变形我们用该点x方 向上的正应变、y方向 上的正应变和xy方向构 成的直角的变化—切应 力来描述，称为应变分 量。
u x x v y y
xy
1 v u 2 x y
同样，空间一 点的变形我们用该 点x、y、z方向上 的正应变和xy、yz、 zx方向构成的直角 的变化－切应变来 描述。 张量形式为
u j 1 u i ij 2 x j xi
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 上三式相加可得到： E
其中
1 2 E
x y z
1 2 3
x
1 w v yz 2 y z
应变和位移的关系：
已知位移，可以通过 微分关系很方便的求得应 变，但是反过来，已知应 变求位移就要通过积分， 困难大得多。 有应变就有位移，但是 有位移不一定就有应变，应 变是位置的相对变化决定的， 位移中有刚体位移和刚体转 动与相对位置的变化同时发 生，这就给分析带来很大的 困难。
在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，我们如何来描 述？
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。
第三章 应变分析
第一节 位移与应变
如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移；
如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。
dx
dx
PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所 引起的，因此PA正应变为
u x x v x
PA的转角为
我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 P'B'，B'点y方向的位移为 v v dy y x方向上的位移为
u u dy y
PB的正应变在小变形时是由y方向 的位移所引起的，因此PB正应变为