有效数字及数值修约
有效数字及有效数字计算修约基础知识
有效数字及有效数字计算、修约基础知识一、有效数字1、末的概念末：指任何一个数最末一位数字所对应的单位量值。
例：用分度值为0.1mm的卡尺测量物体的长度，结果为19.8mm，最末一位的量值0.8mm，即为最末一位数8与所对应的单位量0.1mm的乘积，故19.8mm的末为0.1mm。
2、有效数字的界定1～9都为有效数字，数字之间的0、末尾的0也为。
二、近似数计算1、“+-”以小数位数最少为准，修约比该数多一位，计算后修约以小数点最少数的位数为准。
如：18.3+1.4545+0.876≈18.3+1.45+0.88=20.63≈20.62、“×÷”各数修约到有效数字最少多一位，最后结果以有效数字最少的那个为准。
如：3.670×45.3×5.6735≈3.670×45.3×5.674=943.31≈9433、乘方、开方，参加运算有几位有效数字，结果就得保留几位数字。
81=9.000 9.002=81.0.00如几级运算，乘方开方多保留一位。
0.81+4.359=9.000=4.3594、混合运算：不管如何运算，结果必须以位数最少为准。
三、修约规则1、舍去数第一位小于5则舍，大于5则进。
4.254→4.25 38.735→392、舍去数第一位为5，5后并非全为0则进。
9.55033→9.63、舍去数第一位为5，5后无数或全为0，奇进偶舍。
0.0415→0.042 0.0425→0.0424、注意不得连续修约。
如：37.4546→37.455→37.46→37.5→385、按GB 8170-2008《数值修约规则》对“1”“2”“5”修约间隔做了规定，即k×10n（k=1、2、5，n为正、负整数）另外，0.5、0.2修给采用分别乘以2与5，修约后再除以2与5来修约。
如：以0.5修约60.2560.25×2得120.5修约为120,再除以2得60.0练习题：一、说出下列数值有几位有效数字？1、60.0002、0.60003、0.06004、6.001×107二、近似数计算：1、19.3+1.5837+0.9762、3.780×47.5×6.57453、00025.三、数值修约：1、5.256、5.254、5.255、5.265保留三位有效数字？2、60.25以0.2修约。
有效数字和数值的修约
有效数字和数值的修约一、目的阐述如何把数字修约至适当的有效位数从而得出合理的报告结果.二、定义1、有效数字在检验工作中所能得到的有实际意义的数值，其最后一位数字牵住你是允许的，这种由可靠数字和最后一位估计值组成的数值，即为有效数字。
2、有效数位从左边第一个非零数字算起，所有的有效数字的个数。
3、数字修约对拟修约数值中超出需要保留位数时的舍弃，根据保留位数来保留最后一位或最后几位数。
4、测量的估计值在测量过程中介于测量/称量器具最小分度值之间的数值为估计值。
5、报告阈值为一限度,高于此限度的杂质需要报告6、忽略限为一限度，在色谱检测中，等于或小于此数值的峰/信号不被计入总杂质中。
通常情况下，忽略限与报告阈值是相同的。
7、积分阈值为一限度，在色谱检测中，数据采集系统设置的阈值,至少为报告阈值的一半。
三、读数的规定1、对于有数显的测量/称量器具，直接读取数值并记录。
（天平的使用，直接读取数值）2、对于非数显的测量/称量器具，仪器读数的最后一位是读数误差所在的一位。
最小分度值的末位为1，则其读数记录至下一位的估值;否则,则其读数记录至相同位的估计值。
①最小分度值的末位为1，按1/10估读原则；例如:分度值为0。
1ml的滴定管，读数的最小估计值为0。
01ml.可以读为0.15ml.②最小分度值的末位为2,按1/2估读原则；例如:分度值为0。
2的称读数的最小估值为0.1kg.可以读为0.3kg、0。
4kg、不能读0。
35kg。
③最小分度值末位为5，按1/5估读原则。
例如：机械称最小分度值为5g，游码刻度值在5g-10g 之间，可以读为6g、7g、8g，不能读5。
5g。
④最小分度值为50,按1/5估读原则。
最小分度值为200，按1/2估读原则。
四、修约规定1、四舍五入原则。
例如：将下列数字修约为四位有效数字,结果为0。
53664---———0。
536612.7450——---—12。
752、拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，不允许多次按规则修约.例如：将下列数字保留为两位有效数字17。
有效数字和数值的修约及其运算
有效数字和数值的修约及其运算本规程系根据中国药典2010年版凡例和国家标准GB 8170-2008《数值修约规则与极限数值的表示和判定》制订，适用于药检工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。
1.数值修约通过省略原数值的最后若干位数字，调整所保留的末位数字，使最后所得到的值最接近原数值的过程。
2.修约间隔确定修约保留位数的一种方法。
注:修约间隔的数值一经确定，修约值即为该数值的整数倍。
例1:如指定修约间隔为0.1，修约值应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到一位小数。
例2:如指定修约间隔为100，修约值应在100的整数倍中选取，相当于将数值修约到“百”数位。
2.3极限数值limiting values标准(或技术规范)中规定考核的以数量形式给出且符合该标准(或技术规范)要求的指标数值范围的界限值。
3数值修约规则3. 1确定修约间隔a)指定修约间隔为10-n(n为正整数)，或指明将数值修约到n位小数;b)指定修约间隔为1，或指明将数值修约到“个”数位;c)指定修约间隔为10n (n为正整数)，或指明将数值修约到10n数位，或指明将数值修约到“十”、“百”、“千”……数位。
3. 2进舍规则3.2.1拟舍弃数字的最左一位数字小于5，则舍去，保留其余各位数字不变。
例:将12. 149 8修约到个数位，得12;将12. 149 8修约到一位小数，得12.l。
3.2.2拟舍弃数字的最左一位数字大于5，则进一，即保留数字的末位数字加1.例:将1 268修约到“百”数位，得13 × 102(特定场合可写为1 300)。
注:本标准示例中，“特定场合”系指修约间隔明确时。
3.2.3拟舍弃数字的最左一位数字是5，且其后有非0数字时进一，即保留数字的末位数字加1。
例:将10. 500 2修约到个数位，得1。
3.2.4拟舍弃数字的最左一位数字为5，且其后无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数(1,3,5,7,9)则进一，即保留数字的末位数字加1;若所保留的末位数字为偶数((0,2,4,6,8)，则舍去。
有效数字、数值修约及运算法则
数值修约及其进舍规则
拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无 数字或皆为0时，若所保留末位数为奇数（1， 3，5，7，9）则进一，为偶数（2，4，6， 8，0）则舍弃。 修约间隔（rounding interval）—— 修约 值的最小数值单位。属于确定修约保留位数 的一种方式。 注：修约间隔的数值一经确定，修约值即
质量控制部 2013.04.25
主要依据
中国药典2010 年版“凡例” 中国药品检验操作规范（2010年 版） 国家标准GB8170—2008《数值 修约规程》
主要适用于
适用于药检工作中除生物检定统 计法以外的各种测量或计算而得 的数值。
有效数字的基本概念
注意事项
要根据取样的要求，选择相应的量具。
（ 1 ） “精密称定”系指称取重量应准确到所取 重量的 0.1％，可根据称量选用分析天平或半微量 分析天平；“精密量取”应选用符合国家标准的移 液管；必要时应加校正值。 （ 2 ）“称定”（或“量取”）系指称取的重量 （或量取的容量）应准确至所取重量（或容量）的 百分之一。
甲氧基、乙氧基和羟丙基测定法（P187189）
气相色谱法：供试品应测定2份，相对偏差 不得过2.0%； 容量法：供试品应测定2份，相对偏差不得 过0.5%；
干燥失重测定法（二部P221）
供试品称取：干燥失重在1.0%以下的品种 可只做一份，1.0%以上的品种应同时做平 行实验两份。 干燥至恒重，除另有规定外，系指在规定条 件下连续两次干燥后称重的差异在0.3mg以 下。
数值修约及其进舍规则
数值修约
是指对拟修约数值中超出需要保留位数时的 舍弃，根据舍弃学来保留最后一位数或最后 几位数。
有效数字及有效数字计算修约基础知识
有效数字及有效数字计算、修约基础知识一、有效数字1、末的概念末：指任何一个数最末一位数字所对应的单位量值。
例：用分度值为0.1mm的卡尺测量物体的长度，结果为19.8mm，最末一位的量值0.8mm，即为最末一位数8与所对应的单位量0.1mm的乘积，故19.8mm的末为0.1mm。
2、有效数字的界定1～9都为有效数字，数字之间的0、末尾的0也为。
二、近似数计算1、“+-”以小数位数最少为准，修约比该数多一位，计算后修约以小数点最少数的位数为准。
如：18.3+1.4545+0.876≈18.3+1.45+0.88=20.63≈20.62、“×÷”各数修约到有效数字最少多一位，最后结果以有效数字最少的那个为准。
如：3.670×45.3×5.6735≈3.670×45.3×5.674=943.31≈9433、乘方、开方，参加运算有几位有效数字，结果就得保留几位数字。
81=9.000 9.002=81.0.00如几级运算，乘方开方多保留一位。
0.81+4.359=9.000=4.3594、混合运算：不管如何运算，结果必须以位数最少为准。
三、修约规则1、舍去数第一位小于5则舍，大于5则进。
4.254→4.25 38.735→392、舍去数第一位为5，5后并非全为0则进。
9.55033→9.63、舍去数第一位为5，5后无数或全为0，奇进偶舍。
0.0415→0.042 0.0425→0.0424、注意不得连续修约。
如：37.4546→37.455→37.46→37.5→385、按GB 8170-2008《数值修约规则》对“1”“2”“5”修约间隔做了规定，即k×10n（k=1、2、5，n为正、负整数）另外，0.5、0.2修给采用分别乘以2与5，修约后再除以2与5来修约。
如：以0.5修约60.2560.25×2得120.5修约为120,再除以2得60.0练习题：一、说出下列数值有几位有效数字？1、60.0002、0.60003、0.06004、6.001×107二、近似数计算：1、19.3+1.5837+0.9762、3.780×47.5×6.57453、00025.三、数值修约：1、5.256、5.254、5.255、5.265保留三位有效数字？2、60.25以0.2修约。
检测结果数值修约与有效数字保留
检测结果数值修约与有效数字保留1目的保证检测结果能够合理地反映测量精度。
2范围适用于大连环境事业部。
3规范性引用文件《地表水和污水监测技术规范》（HJ/T91-2002）《地下水环境监测技术规范》（HJ/T164-2004）《海洋监测规范》（GB17378.2-2007）《数值修约规则与极限数值的表示和判定》（GB/T8170-2008）4定义4.1有效数字所谓有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。
把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。
5内容5.1有效数字的判断5.1.1第一个非零数字前的零不是有效数字.5.1.2第一个非零数字以及之后的所有数字(包括零)都是有效数字.5.1.3当计算的数值为lg或者pH、pOH等对数时，由于小数点以前的部分只表示数量级，故有效数字位数仅由小数点后的数字决定。
例如lgx=9.04为2位有效数字，pH=7.355为三位有效数字。
5.1.4л等常数，具有无限位数的有效数字，在运算时可根据需要取适当的位数。
5.2有效数字的处理5.2.1数据的修约应采用“四舍六入五成双”的原则。
5.2.2拟舍弃数字的最左一位数字小于5，则舍去，保留其余各位数字不变。
5.2.3拟舍弃数字的最左一位数字大于5，则进一，即保留数字的末位数字加1。
5.2.4拟舍弃数字的最左一位数字是5，且其后有非0数字时进一，即保留数字的末位数字加1。
5.2.5拟舍弃数字的最左一位数字是5，且其后无数字或者皆为0时，若保留的末位数字为奇数（1，3，5，7，9）则进一；若所保留的末位数字为偶数（0，2，4，6，8），则舍去。
5.2.6有效数字的修约是按照“四舍六入五成双”的原则一次修约的结果，不得多次按“四舍六入五成双”的原则连续修约。
如：97.46保留2位有效数字正确的做法：97.46→97不正确的做法：97.46→97.5→985.3有效数字运算规则5.3.1许多数值相加减时，每个数及它们的和或差的有效数字保留，以小数点后面有效数字位数最少的数据为准。
有效数字和数值的修约及其运算1
有效数字的修约及其运算规则本规程系根据中国药典2015年版和国家标准GB 8170-2008《数值修约规则》制订，适用于药检工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。
有效数字：是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
其中包括所有的准确数字和最后一位可疑数字。
保留有效数字的位数，受到测量仪器的精度和分析方法的准确度限制。
因此，有效数字不仅反应数值的大小，还反应了测量结果的准确度。
1.数字的俢约：根据有效数字的要求把多余数字的处理过程称为数字的俢约。
2.修约间隔修约值的最小数值单位。
注:修约间隔的数值一经确定，修约值即为该数值的整数倍。
例1:如指定修约间隔为0.1，修约值应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到一位小数。
例2:如指定修约间隔为100，修约值应在10的整数倍中选取，相当于将数值修约到“百”数位。
3. 2有效数字俢约规则：按照国家标准GB8170-2008《数字俢约规则》，“采用四舍六入五留双”的规则。
3.2.1被俢约的数字小于4或等于4时，则该数字舍去。
3.2.2被俢约的数字大于6或等于6时，则进1。
3.2.3被俢约的数字等于5时，若5后数字不为零，则进1；若5后无数字或零，则看5前一位数字，前一位是奇数则进1，是偶数则舍去。
3.2.4拟舍弃数字的最左一位数字为5，且其后无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数(1,3,5,7,9)则进一，即保留数字的末位数字加1;若所保留的末位数字为偶数((0,2,4,6,8)，则舍去。
例如：将下列数据俢约为四位有效数字2.87435 2.8740.37426 0.37431.50250 1.5021.50150 1.5022.38351 2.3844.5245 4.5243.2.5负数修约时，先将它的绝对值按3.2.1～3.2.4的规定进行修约，然后在所得值前面加上负号。
例1:将下列数字修约到“十”数位:拟修约数值修约值-355 -36× 10(特定场合可写为-360)-325 -32 × 10(特定场合可写为-320)例2:将下列数字修约到三位小数，即修约间隔为10-3；拟修约数值修约值-0.036 5 -36 × 10-3(特定场合可写为-0. 036)3. 3不允许连续修约3.3.1拟修约数字应在确定修约间隔或指定修约数位后一次修约获得结果，不得多次按3. 2规则连续修约。
有效数字和数字修约
有效数字和数值的修约1.有效数字的基本概念1.1定义：系指在检验工作中所能得到有实际意义的数值。
其最后一位数字欠准是允许的，这种由可靠数字和最后一位欠准数字组成的数值，即为有效数字。
最后一位数字的欠准程度通常只能是上下差1个单位1.2有效数字的定位（位数），是指确定欠准数字的位置。
这个位置确定后，其后面的数字均为无效数字。
欠准数字的位置可以由十进位的任何数位，用10n来表示:n可以是正整数，如n=1、101=10（十位数），n=2、102=100（百位数），······；n可以是负数，如n=-1、10-1=0.1（十分位），n=-2、10-2=0.01（百分位），······。
1.3有效位数1.3.1在其他十进位数中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数。
例如：2.6、0.26、0.026、0.0026均为两位有效位数，0.260为三位有效位数，2.600为四位有效位数。
1.3.2非连续型数值（个数、分数、倍数、名义浓度或标示量）是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位。
例如：H2SO4、π、含量测定项下“每1ml的xx滴定液（0.1mol/l）中，1为位数，0.1为名义浓度，其有效位数为无限位。
1.3.3 pH等对数值，其有效位数是由小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其真数的乘方次数。
（pH=6.32）1.3.4有效数字首位数字为8或9时，其有效数字要多计一位。
例如：85%、105%，都是三位有效数字，95.0%、101.0%都是四位有效数字。
2. 数值的修约及进舍规则2.1 定义：指对拟修约数值中超出需保留位数时的舍弃，根据舍弃数来保留最后一位数或最后几位数。
2.2修约间隔：是确定修约保留位数的一种方式，修约间隔的数值一经确定，修约值应为该数值的整数倍。
例如：指定修约间隔为0.1，修约值应在0.1的整数倍中选取，也就是说，将数值修约到小数点后一位。
有效数字修约和计算
练习： ➢ 0.23452、0.28350、0.55278、0.45500001、0.01500
两位有效数字：0.23、0.28、0.55、0.46、0.15 三位有效数字：0.235、0.284、0.553、0.455、0.0150
（3）只进不舍规则 在相对标准偏差（RSD）中采取“只进不舍”的规则，如0.162%，0.52%修约时
解析：
计算公式应为乘除运算，其中0.0408的有效数字位数最少，为三位有效数字， 以此为准进行进算（在运算过程中暂时多保留一位）。
0.0408÷1.004×100.0%=4.064%
因标准规定的限度为不得过4.0%，故将计算结果4.064%修约为4.1%，大于 4.0%，应判为不符合规定。（切忌不能以最后标准的有效位数为准则进行运算，运 算是应先按照运算规则修约计算后将计算结果修约到标准中所规定的有效位数，而 后进行判定。）
最后对计算结果进行修约，应只保留至百分位，故： 13.65 + 0.00823 + 1.633 = 13.65 + 0.008 + 1.633 = 15.291，修约为15.29
二、有效数字的运算法则
2、乘除法 许多数值相乘除时，所得积或商的相对误差必较任何一个数值的相对误差大，因
此相乘除时应以诸数值中相对误差最大(即有效位数最少)的数值为准，确定其他数值 在运算中保留的位数和决定计算结果的有效位数。
3、有效数字的修约规则
在多数情况下，测量数据本身并非最后的要求结果，一般需要经一系列运算后才能 获得所需的结果。在计算一组准确度不等（即有效数字位数不同）的数据之前，应先按 照确定了的有效数字将多余的数字修约或整化。 （1）四舍五入法则
如按照英、美、日药典方法修约时，按照四舍五入进舍即可。 （2）四舍六入五成双法则（源自我国科学技术委员会颁布的《数字修约规则》）
药品有效数字、数字修约及运算法则管理规程
目的：用于规范本公司的有效数字判断、数值修约及运算法则管理。
范围：适用于公司质量检验过程中的有效数字、数值修约及运算法则的管理。
职责：质量管理部。
依据：《药品生产质量管理规范》（2010年修订）第二百二十三条、《中国药典》2015年版。
内容：1有效数字的定义：有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示：有效数字=所有的可靠数字+一位可疑数字表示的含义：如果一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
2、有效数字中“0”的双重意义：作为普通数字使用或作为定位的标志。
2.1例如:滴定管读数为20.30毫升,两个0都是测量出来的数,算作普通数字,都是有效数字,这数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升,前面两个0起定位作用,不是有效数字, 此数据是四位有效数字。
3非连续型数值（如个数、分数、倍数、名义浓度或标示量）是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位。
例如分子式“H2S04”中的“2”和“4”是个数，含量测定项下“每1ml的××××滴定液（0.1mol／L）”中的“0.1”为名义浓度，规格项下的“0.76g”或“l00ml：25mg”中的“0.76”、“100”和“25”为标示量，其有效位数均为无限多位。
即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。
4有效数字记录4.1所有数显的测量仪表,实际记录以显示的来记录。
4.2非数显的测量仪表（钢尺、卷尺、温度计、压差表、温湿度表、量筒、移液管等），读数时如果需要，须进行估读一位。
4.3 最小刻度是5的(包括0.5,0.05等),估读位的数值为1、2、3、4、6、7、8、9，例如：仪表指针在0.5与1之间,此时应估计为0.7,而不是0.75.因为0.75中7已估读,不应再估读至其下一位.5 数值修约规则:四舍六入五考虑,五后非零则进一,五后皆零视奇偶,五前为偶应舍去,五前为奇则进一,或只进不舍,不允许连续修约。
有效数字 数值修约及运算法则
原子吸收分光光度法（P70）
供试品要求制备2份样品溶液，各测定3次， 测定的相对标准偏差（RSD）应不大于3%
石墨炉法可适当放宽
谢谢大家！
注意事项
4. 在判定药品质量是否符合规定 之前，应将全部数据根据有效数 字和数值修约规则进行运算，将 计算结果修约到标准中所规定的 有效位数，而后进行判定。
注意事项
例如： 异戊巴比妥钠的干燥失重，规定不得过4.0％，今
取样1.0042g，干燥后减失重量0.0408 g，请判 定是否符合规定？ 本例为3个数值相乘除，其中0.0408的有效位数最 少，为三位有效数字，以此为准（在运算过程中暂 时多保留一位）。 0.0408÷1.004×100.0 % = 4.064% 因药典规定的限度为不得过4.0%，故将计算结果 4.064％修约到千分位为4.1％，大于4.0％，应判 为不符合规定（不得大于4.0％）。
注意事项
将上述规定的限度改为“不得大于4％”， 而其原始数据不变，则
0.0408÷1.004×100.0 % =
4.064%
4%
未超过4％的限度，应判为符合规定（不 得大于 4％）。
在实验中要求：
1. 正确地记录分析数据 2. 正确地选取用量和选用适当的分析仪器 3. 正确地表示分析结果 定量分析(滴定和重量分析)一般要求四位有
数值修约及其进舍规则
数值修约 是指对拟修约数值中超出需要保留位数时的
舍弃，根据舍弃学来保留最后一位数或最后 几位数。
数值修约及其进舍规则
进舍规则口诀：
四舍六入五考虑，五后非零则进一， 五后全零看五前，五前偶舍奇进一， 不论数字多少位，都要一次修约成。
注意：按英、美、日药典方法 修约时，按四舍五入
分析实验中的有效数字和数值修约
分析实验中的有效数字和数值修约
在科学研究和计算机应用中，有效数字和数值修约会发挥着至关重要的作用。
它们可以有效地帮助科学家们准确地阐明研究内容，还能够给计算机提供必要的准确性。
有效数字是指科学研究中比较重要的数字，它包含了研究者比较关心和在研究报告中考虑的数据，当你报告出现相同的数字时，可以采取有效数字的方式进行报告。
例如，有一项研究的结果是987，如果用有效数字的方式报告，就可以报告为980。
数值修约是为了帮助科学家更容易理解数字而引入的一种策略，它允许研究者以更加简洁和精确的方式表达研究结果。
通常情况下，数值修约可以将不同的数值表示为小数或定点小数，也可以将比较大的数值修约为更小的数值，如将20改为2十或二十。
有效数字和数值修约被广泛应用于计算机程序中，计算机程序设计人员可以设置程序来限制用户输入的有效数字的位数，而且可以通过这些有效数字来计算出精确的结果。
此外，它们也可以用于衡量某件事物的变化性和它的大小，从而使研究者更好地理解它们。
从以上可以看出，有效数字和数值修约在实验中起着至关重要的作用，能够帮助科学家们更精确地确定研究内容和结果，也能够在当今的广泛的计算机应用中发挥关键作用。
有效数字及数值修约
有效数字定义：通常把只保留最后一位不准确数字，而其余数字均为准确数字的这种数字称为有效数字。
也就是说，有效数字是实际上能测出的数字。
例如，我们用毫米尺测量一个物体的长度，读出物体的长度为32.31 cm，这个读数的前三位32.3 cm是直接从尺上读出，称为可靠数字，而最末一位0.0l cm则是从尺上最小刻度之间估计来的，称为存疑数字。
可靠数字和存疑数字合起来，称为有效数字，所以，32.31cm 一共有四位有效数字。
但是，如果用其他精确度高一些的仪器（如大型千分尺），还能够更准确地进行测量。
例如，测得的数值为32.3142 cm，这时有效数字增加到六位。
可见，有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，与一定的测量工具有关。
2.有效数字位对于一个有效数字，从左边的第一个非零数字算起，到最末一位数字为止，有几位数即为几位有效数字。
例如：7.4000 54609 5位有效数字33.15 0.07020 4位有效数字0.0276 2.56×10-4 3位有效数字49 0.00040 2位有效数字0.003 4×105 1位有效数字63000 200 有效数字位数不定“0”在有效数字中的作用（1）“0”在数字前，仅起定位作用，“0”本身不是有效数字，如0.0275中，数字2前面的两个0都不是有效数字，这个数的有效数字只有3位。
（2）“0”在数字中，是有效数字。
如2.0065中的两个0都是有效数字，2.0065有5位有效数字。
（3）“0”在小数的数字后，也是有效数字如6.5000中的3个0都是有效数字。
0.0030中数字3前面的3个0不是有效数字，3后面的0是有效数字。
所以，6.5000是5位有效数字。
0.0030是2位有效数字（4）以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不定。
如54000，可能是2位，3位或4位甚至5位有效数字。
这种数应根据有效数字的情况改写为指数形式。
如为2位，则写成 5.4×104；如为3位，则写成5.40×104，等等。
有效数字的修约规则
有效数字的修约规则有效数字是指用于表达测量结果的数字中，有效地反映了测量值的准确程度和精确性的数字。
在科学研究、工程设计以及日常生活中，有效数字的修约规则被广泛应用。
在这篇文档中，我们将讨论有效数字的修约规则，以及其在实际应用中的重要性。
有效数字的修约规则有以下几个方面：1. 确定有效数字的个数：有效数字的个数由测量设备的精确度决定。
例如，使用精确到小数点后一位的仪器所测量的数值，它的有效数字就是一位。
2. 整数的有效数字：当数值为整数时，我们要保留所有的数字。
例如，数值1234有4个有效数字。
3. 小数的有效数字：当数值为小数时，我们从非零数字开始，一直到最后一个非零数字，都是有效数字。
例如，数值0.00345有3位有效数字。
4. 零的有效数字：当数值以零开头时，所有前导的零都不计算在内。
例如，数值0.00456有3位有效数字。
5. 末位的有效数字：当最后一位数字为5时，根据就近原则，决定末位的有效数字的修约规则。
如果末位之后的数字大于5，则末位向前进位；如果末位之后的数字小于5，则末位舍去不进位；如果末位之后的数字等于5，则根据末位前面的数字的奇偶性来判断，奇数则进位，偶数则舍去不进位。
例如，数值3.145将被修约为3.14。
6. 有效数字的舍入：当我们需要将一个数值修约到指定的有效数字个数时，我们需要进行舍入运算。
舍入运算有以下几个规则：如果舍弃的数字小于5，则末位不进位；如果舍弃的数字大于5，则末位进位；如果舍弃的数字等于5，分为奇数和偶数两种情况：当舍弃的数字后面没有其他数字时，舍弃；当舍弃的数字后面还有其他数字时，判断舍弃的数字前面的数字是奇数还是偶数，奇数则进位，偶数则舍弃。
7. 连续运算中有效数字的保留：在连续的计算过程中，每一步计算都会引入一定的误差。
为了减小误差的累积，我们可以在每一步计算的结果中保留更多的有效数字，然后在最终结果中进行修约。
这样可以提高运算的准确性。
有效数字的修约规则在科学研究和实验测量中非常重要。
有效数字和数值的修约及其运算
目的：规范标准溶液（滴定液）管理规程范围：适用于公司检验用标准溶液职责：质量管理部对本规程实施负责内容：本规程系根据国家标准GB8170—87《数值修约规程》制订，适用于检验工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。
1.有效数字的基本概念1.1. 有效数字系指在检验工作中所能得到有实际意义的数值。
其最后一位数字欠准是允许的，这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值，即为有效数字。
1.2. 有效数字的定位(数位)，是指确定欠准数字的位置。
这个位置确定后，其后面的数字均为无效数字。
欠准数字的位置可以是十进位的任何位数，用10n来表示：n可以是正整数，如n＝1、101＝10(十数位)，n=2、102＝100(百数位)；n也可以是负数，如n=-1、10-l=0.1(十分位)，n＝-2、10-2＝0.01(百分位)。
1.3. 有效位数1.3.1. 在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。
例如35000中若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或3.50×104；若有三个无效零，则为两位有效数，应写作35×103或3.5×104。
1.3.2. 在其它十进位数中，有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数。
例如3.2、0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数，0.320为三位有效位数、10.00为四位有效位数，12.490为五位有效位数。
1.3.3. 非连续型数值(如个数、分数、倍数、名义浓度或标示量)是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位。
例如分子式“H2S04”中的“2”和“4”是个数；常数π、e和系数2等数值的有效位数也可视为是无限多位；含量测定项下“每1ml的XXXX滴定液(0.1mol/L)”中的“0.1”为名义浓度，规格项下的“0.3g”或“1ml”、“25mg”中的“0.3”、“1”和“25”为标示量，其有效位数也均为无限多位。
有效数字及数值修约
有效数字定义：通常把只保留最后一位不准确数字，而其余数字均为准确数字的这种数字称为有效数字。
也就是说，有效数字是实际上能测出的数字。
例如，我们用毫米尺测量一个物体的长度，读出物体的长度为32.31 cm,这个读数的前三位32.3 cm是直接从尺上读出，称为可靠数字，而最末一位0.01 cm则是从尺上最小刻度之间估计来的，称为存疑数字。
可靠数字和存疑数字合起来，称为有效数字，所以，32. 31cm 一共有四位有效数字。
但是，如果用其他精确度高一些的仪器（如大型千分尺），还能够更准确地进行测量。
例如，测得的数值为32. 3142 cm,这时有效数字增加到六位。
可见，有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，与一定的测量工具有关。
2.有效数字位对于一个有效数字，从左边的第一个非零数字算起，到最末一位数字为止，有几位数即为几位有效数字。
例如：7. 4000 54609 5位有效数字33. 15 0. 07020 4位有效数字0. 0276 2. 56X10-4 3位有效数字49 0. 00040 2位有效数字0. 003 4X105 1位有效数字63000 200 有效数字位数不定“0”在有效数字中的作用（1）“0”在数字前，仅起定位作用，“0”本身不是有效数字，如0. 0275中，数字2前面的两个0都不是有效数字，这个数的有效数字只有3位。
（2）“0”在数字中，是有效数字。
如2. 0065中的两个0都是有效数字，2. 0065有5位有效数字。
（3）“0”在小数的数字后，也是有效数字如6. 5000中的3个0都是有效数字。
0. 0030中数字3前面的3个0不是有效数字，3后面的0 是有效数字。
所以，6. 5000是5位有效数字。
0. 0030是2位有效数字（4）以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不定。
如54000,可能是2位，3位或4位甚至5位有效数字。
这种数应根据有效数字的情况改写为指数形式。
如为2位，则写成5.4X104；如为3位，则写成5.40X104,等等。
有效数字、修约、精密度、准确度
II. 有效数字的意义：
8
有效数字：是指实际上能够测到的数字，其保留的位数由测量仪器、分析方法的准确度来决定； 保留原则是只有最后一位可疑数字。
组成=全部准确数字+最后一位可疑数字
溶液体积24.41ml
读数误差 ±0.01ml
II. 有效数字的意义：
9
1.能表示测量数值的大小，可反映出用于测量的量具。
74.6334g ±0.0001g
II. 有效数字的意义：
10
2.记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反映测量的精确程度。
0.5100g
0.510g
绝对误差 相对误差
0.0001 0.0001/0.5100= 0.02%
0.001 0.001/0.510= 0.2%
I. 有效数字的定义：
4
2. 特点： A. 位数与小数点的位置无关。
35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km B. 0 的地位
0.0003576 3.005 3.000 都是四位
0在数字中间和末位 有效,在小数点前面
或紧接小数点后的 是无效的.
I. 有效数字的定义：
5
0.0109？ 前面两个0不是有效数字，后面的1、0、9均为有效数字。 0.0230？ 前面的两个0不是有效数字，后面的2、3、0均为有效数字。 3.109*10^5？ 3、1、0、9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字。 5.2*10^6？ 5、2是有效数字。
II. 数值修约的间隔
17
修约间隔 修约值的最小数值单位。 注：修约间隔的数值一经确定，修约值即为该数值的整数倍。 例1：如指定修约间隔为0.1，修约值应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到一位小数。 例2：如指定修约间隔为100，修约值应在100的整数倍中选取，相当于将数值修约到百位数。
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有效数字定义：
通常把只保留最后一位不准确数字，而其余数字均为准确数字的这种数字称为有效数字。
也就是说，有效数字是实际上能测出的数字。
例如，我们用毫米尺测量一个物体的长度，读出物体的长度为32.31 cm，这个读数的前三位32.3 cm是直接从尺上读出，称为可靠数字，而最末一位0.0l cm则是从尺上最小刻度之间估计来的，称为存疑数字。
可靠数字和存疑数字合起来，称为有效数字，所以，32.31cm 一共有四位有效数字。
但是，如果用其他精确度高一些的仪器（如大型千分尺），还能够更准确地进行测量。
例如，测得的数值为32.3142 cm，这时有效数字增加到六位。
可见，有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，与一定的测量工具有关。
2.有效数字位
对于一个有效数字，从左边的第一个非零数字算起，到最末一位数字为止，有几位数即为几位有效数字。
例如：
7.4000 54609 5位有效数字
33.15 0.07020 4位有效数字
0.0276 2.56×10-4 3位有效数字
49 0.00040 2位有效数字
0.003 4×105 1位有效数字
63000 200 有效数字位数不定
“0”在有效数字中的作用
（1）“0”在数字前，仅起定位作用，“0”本身不是有效数字，如0.0275中，数字2前面的两个0都不是有效数字，这个数的有效数字只有3位。
（2）“0”在数字中，是有效数字。
如2.0065中的两个0都是有效数字，2.0065有5位有效数字。
（3）“0”在小数的数字后，也是有效数字如6.5000中的3个0都是有效数字。
0.0030中数字3前面的3个0不是有效数字，3后面的0是有效数字。
所以，6.5000是5位有效数字。
0.0030是2位有效数字（4）以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不定。
如54000，可能是2位，3位或4位甚至5位有效数字。
这种数应根据有效数字的情况改写为指数形式。
如为2位，则写成5.4×104；如为3位，则写成5.40×104，等等。
有效数字的计算规则
(1) 进行数值加减时,结果保留小数点后位数应与小数点位数最少者相同。
例如, 0.0121+12.56+7.8432
可先修约后计算,即
0.01+12.56+7.84=20.41
(2) 进行数值乘除时,结果保留位数应与有效数字位数最少者相同。
例如, (0.0142×24.43×305.84)/28.67
可先修约后计算,
(0.0142×24.4×306)/28.7=3.69。
(3) 进行数值乘方或开方时, 结果有效数字位数不变。
例如, 6.542=42.8
数值修约：
现在被广泛使用的修约规则主要有四舍五入规则和四舍六入五留双规则。
1. 拟舍弃数字的最左一位数字小于5时则舍去，即保留的各位数字不变。
2.拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或等于5，而其后跟有并非全部为0的数字时则进一即保留的末位数字加1。
3.拟舍弃数字的最左一位数字等于5，而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数则进一，为偶数（包含0）则舍弃。
4.负数修约时，取绝对值按照上述1～3规定进行修约，再加上负号。
不允许连续修约
数值修约简明记忆口诀：
「4舍6入5看右，5后有数进上去，尾数为0向左看，左数奇进偶舍弃」。
四舍六入五留双规则的具体方法是：
（一）当尾数小于或等于4时，直接将尾数舍去。
例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：
0.53664——0.5366 10.2731——10.27 18.5049——18.50 0.58344——0.5834 16.4005——16.40
（二）当尾数大于或等于6时，将尾数舍去并向前一位进位。
例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：
0.53666——0.5367 8.3176——8.318 16.7777——16.78 0.58387——0.5839 10.29501——10.30
（三）当尾数为5，而尾数后面的数字均为0时，应看尾数“5”的前一位：若前一位数字此时为奇数，就应向前进一位；若前一位数字此时为偶数，则应将尾数舍去。
数字“0”在此时应被视为偶数。
例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：
0.153050——0.1530 12.6450——12.64 18.2750——18.28 0.153750——0.1538 12.7350——12.74
（四）当尾数为5，而尾数“5”的后面还有任何不是0的数字时，无论前一位在此时为奇数还是偶数，也无论“5”后面不为0的数字在哪一位上，都应向前进一位。
例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：
0.326552——0.3266 12.73507——12.74 21.84502——21.85 12.64501——12.65 18.27509——18.28
按照四舍六入五留双规则进行数字修约时，一次性修约到指定的位数，不可以进行数次修约，否则得到的结果也有可能是错误的。
例如：
将数字10.2749945001修约为四位有效数字时，应一步到位：10.2749945001——10.27（正确）。
10.2749945001——10.274995——10.275——10.28（错误）。