实际问题与二次函数——销售问题(说课)PPT
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人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第2课时) 课件
人教版 数学 九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数/
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
导入新知
22.3 实际问题与二次函数/
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际 问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商 场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 2 限定取值范围中如何确定最大利润
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段
时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销
售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每 月的总利润最多是多少元？
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
22.3 实际问题与二次函数/
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
导入新知
22.3 实际问题与二次函数/
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际 问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商 场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 2 限定取值范围中如何确定最大利润
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段
时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销
售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每 月的总利润最多是多少元？
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
九年级数学实际问题与二次函数(利润类)课件
格上涨
〔200-10x〕
x元(3，0+那x-么20销)(2售0量0-1为0x)
件，利润为
④假设价格每下降1元，销元售量增加20件，现
价格下降x元，那(2么0销0+售20量x)为
件，
利润为 (30-x-20)(200+20x) 元；
新知探究
某商品的进价为每件40元。现在的售价 是每件60元，每星期可卖出300件。场 调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，
3、关于销售问题的一些等量关系. 〔单件商品〕 利润=售价—进价 总利润=单件商品利润×销售量
新课小热身：
某商品本钱为20元，售价为30元，卖出200件，
那么利润为2000 元，
①假设价格上涨x元，那么利20润0〔为30+x-20〕
②假设价格下降x元，那么利20润0〔为30-x-20〕
③假设价格每上涨1元，销售量减少10件，现价
每星期要少卖出10件；每降价一元，每 星期可多卖出20件。如何定价才能使利 润最大？
解〔1〕涨价时：
设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60+x-40)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
y\元
=-10x2+100x+6000 6250
=-10(x2-10x-600) 6000 =-10［(x-5)2-25-600］
〔1〕〔3分〕求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 〔2〕〔3分〕求该公司销售 该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数 关系式． 〔3〕〔4分〕当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元 ？
课堂小结：
人教版数学实际问题与二次函数ppt优质课件1
y=(300+20x)(60-40-x)
变量之间的二次函数的性质求最值。 y=(300+20x)(60-40-x)
利用函数思想求几何图形中的最值问题 （1）题目中有几种调整价格的方法？
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。
利总润利率 润==单个商根品利润=据盈×利销实率售量=际总销问售利润题—总求成本出； 自变量的取值范围，确定对称轴的位置，再根据增
怎样确定x的 取值范围？
∵-10＜0，开口向下 ∴当x=5时，y最大值=6250
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
x
b 2a
5时，y最大值
4ac b2 4a
6250
当x = ____5____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价__5__元，
即定价____6_5____元时，利润最大，最大利润是___6__2_5__0___.
探究2：某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨 价1元，每星期少卖出10件；每降价1元， 每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每 件40元，如何定价才能使利润最大？
思考：
（1）题目中有几种调整价格的方法？调整价格包括涨价和降价两种情况
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 售价是自变量，销量是随着售价的变化而变化。
构建二次函数模型，解决几何极值类问题
（60-40 -X） ______ 件，实际卖出 ____ 件,单个利润为____ 10x (300-10x) 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
二次函数说课ppt课件
总结词：基础工具
详细描述：在数学问题中，二次函数常常作为解决其他复杂问题的基础工具。例如，在解代数方程时，可以通过配方将方程 转化为二次函数的形式，从而方便求解。
科学问题中的二次函数
总结词：常见模型
详细描述：在科学问题中，二次函数常常被用作描述事物变 化规律的模型。例如，在物理学中，自由落体运动的速度可 以用二次函数来描述；在生态学中，种群数量的变化可以用 二次函数来模拟。
06 课堂练习与答疑
练习题
基础练习
综合题
针对二次函数的基本概念和性质，设 计一些简单的填空、选择和计算题， 帮助学生巩固基础。
设计一些涉及多个知识点的二次函数 综合题，引导学生综合运用所学知识 ，提高解题能力。
应用题
设计一些与实际生活相关的二次函数 问题，如最优化问题、运动轨迹问题 等，培养学生运用知识解决实际问题 的能力。
二次函数说课ppt课 件
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像变换 • 二次函数的应用 • 课堂练习与答疑
01
引言
主题介绍
主题名称：二次函数 主题内容：二次函数的概念、性质、图像、应用等
教学目标
01
知识目标
掌握二次函数的基本概念、性质和图像特征
02
能力目标
交点式
总结词
交点式是二次函数的一种特殊形式，适用于已知函数与x轴交 点的情况下求解函数表达式。
详细描述
交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1,0)和(x2,0)为函数与x轴 的交点坐标。通过代入交点坐标，可以求解出函数的表达式 。
04 二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面 坐标系中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述：在数学问题中，二次函数常常作为解决其他复杂问题的基础工具。例如，在解代数方程时，可以通过配方将方程 转化为二次函数的形式，从而方便求解。
科学问题中的二次函数
总结词：常见模型
详细描述：在科学问题中，二次函数常常被用作描述事物变 化规律的模型。例如，在物理学中，自由落体运动的速度可 以用二次函数来描述；在生态学中，种群数量的变化可以用 二次函数来模拟。
06 课堂练习与答疑
练习题
基础练习
综合题
针对二次函数的基本概念和性质，设 计一些简单的填空、选择和计算题， 帮助学生巩固基础。
设计一些涉及多个知识点的二次函数 综合题，引导学生综合运用所学知识 ，提高解题能力。
应用题
设计一些与实际生活相关的二次函数 问题，如最优化问题、运动轨迹问题 等，培养学生运用知识解决实际问题 的能力。
二次函数说课ppt课 件
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像变换 • 二次函数的应用 • 课堂练习与答疑
01
引言
主题介绍
主题名称：二次函数 主题内容：二次函数的概念、性质、图像、应用等
教学目标
01
知识目标
掌握二次函数的基本概念、性质和图像特征
02
能力目标
交点式
总结词
交点式是二次函数的一种特殊形式，适用于已知函数与x轴交 点的情况下求解函数表达式。
详细描述
交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1,0)和(x2,0)为函数与x轴 的交点坐标。通过代入交点坐标，可以求解出函数的表达式 。
04 二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面 坐标系中沿x轴或y轴方向进行移动。
二次函数与销售问题.最全优质PPT
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
因为a=-20＜0，所以抛物线开口向下，顶点（2.5,6125）为最高点 当x=2.5时，y的最大值是6125元. 定价为：60-2.5=57.5元时，利润最大为6125元
6125＜6250
答：商品定价为65元，商品利润最大为6250元。
二次函数与销售问题
活动一：基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k).
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是 直线x 2ba，顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b
2
.
当a>0时，抛
物线开口向上 ，有最 低 点，函数有最小 值，是 4ac ；b2当
_6_0_+x___元，每件商品的利润为__60_+_x_-_40___元,现销量为源自_30_0_-_10_x_件，
y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000
60 x
40
40
40 100
60 x
①此商品的价格有两种调整方案：涨价方案和降价方案
②分别求出涨价时的最大利润和降价的最大利润，再比较 两个最值的大小，从而决定调价方案。
①涨价时：
解：设总利润为y元，每件商品涨价x元，则现售价为
_6_0_+x___元，每件商品的利润为__60_+_x_-_40___元,现销量为
二次函数--销售问题
即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)
∴当x=5时，y最大值=6250
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1） 的过程得出答案。
解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，实 际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，因 此，得利润
b=(300+20a)(60-40-a)
想一想
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发 生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖
出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星
期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖
出20件，已知商品的进价为每件40元，如何
定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
=-20(a²-5a+6.25)+6150 =-20（a-2.5）²+6150（0＜a＜20）
∴a=2.5时，b极大值=6150
你能回答了吧！
怎样确定 a的取值
范围
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
使利润最大了吗?
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：如调整价 格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每 降价1元，每星期可多卖出20件，已知商 品的进价为每件40元，(商店规定加价不得 超过进价的60﹪，不得少于进价的40﹪) 如何定价才能使利润最大？
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y
也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星
期少卖10x件，实际卖出(300-10x)件,每件利润为 (60+x-40) 元，
∴当x=5时，y最大值=6250
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1） 的过程得出答案。
解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，实 际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，因 此，得利润
b=(300+20a)(60-40-a)
想一想
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发 生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖
出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星
期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖
出20件，已知商品的进价为每件40元，如何
定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
=-20(a²-5a+6.25)+6150 =-20（a-2.5）²+6150（0＜a＜20）
∴a=2.5时，b极大值=6150
你能回答了吧！
怎样确定 a的取值
范围
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
使利润最大了吗?
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：如调整价 格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每 降价1元，每星期可多卖出20件，已知商 品的进价为每件40元，(商店规定加价不得 超过进价的60﹪，不得少于进价的40﹪) 如何定价才能使利润最大？
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y
也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星
期少卖10x件，实际卖出(300-10x)件,每件利润为 (60+x-40) 元，
22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册
巩固练习
该怎么解这个题 目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的 实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语， 对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑 单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？ 即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。 由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健 是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。
28.3实际问题与二次函数(第2课时销售利润问题)(同步课件)-九年级数学上册同步(人教版五四制)
y
∵-1<0，对称轴x=10，
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
小试牛刀
人教版（五四制）数学九年级上册
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种 服装每天销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)可看 成是一次函数关系：t＝－3x＋204. (1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售 价x(单位：元)之间的函数解析式为_y_＝__－__3_x_2_＋__3_3_0_x_－__8__5_6_8_； (2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为__5_5__ 元最合适，最大利润是__5_0_7_元．
y=-20x2+100x+6000(0≤x≤20）， 当x=2.5时，y最大， 也就是说，在降价的情况下，降价2.5元， 即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
合作探究
人教版（五四制）数学九年级上册
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何 定价能使利润最大了吗？
解：定价为65元时，利润最大.
直__线__x_=_h_，顶点坐标是_(_h_,_k_)__.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_抛__物__线__，它的对称轴是 _直__线__x___2_ba__，顶点坐标是___2b_a_，_4a_c4_a_b_2 _.当a＞0时，抛物线开 口向_上__，有最_低__点，即当x=__2_ba_时，y最小值=__4_ac_4a_b_2；当a＜ 0时，抛物线开口向_下__，有最_高__点，即当x=__2_ba_时，y最大值
期少卖1_0_x_件，实际卖出(_3_0_0_－__1_0_x_)_件，销售额为 _(_6_0_＋__x_)_(_3_0_0_－__1_0_x_)元，买进商品需付怎_样4_0确_(_定3_0_x0_的－_取_1_值0_x_范)_围元?．因 此，所得利润_y_＝__(_6_0_＋__x_)_(_3_0_0_－__1_0_x_)_－__4_0_(_3_0_0_－__1_0_x_)， 即 y＝－10x2＋100x＋6 000，其中，_0_≤__x_≤__3_0_.
二次函数的应用于销售业问题
二次函数的应用于销售业问题销售业作为商业领域的重要一环，对于销售额的预测和分析非常重要。
而二次函数作为数学中的一种函数类型，在销售业的应用中具有广泛的应用价值。
本文将结合实际案例，探讨二次函数在销售业问题中的应用。
一、销售业问题的背景以某公司某产品的销售业绩为例，假设该产品销售量与售价之间存在着一定的关系。
随着售价的不同，销售量也会发生相应的变化。
我们希望通过建立二次函数模型，来预测销售量与售价参数的关系，并进一步分析其在销售业中的应用。
二、建立二次函数模型假设销售量用x表示，售价用p表示，可以假设销售量与售价之间存在以下二次函数关系：x = ap^2 + bp + c其中，a、b、c为待确定的常数。
三、数据采集和拟合为了建立二次函数模型，我们首先需要采集一定数量的销售数据。
根据实际情况，可以收集到一组售价和销售量的数据，并通过线性回归等方法对二次函数模型进行参数的拟合。
通过最小二乘法等统计方法，可以求解出模型中的常数a、b、c，从而确定二次函数模型。
四、模型分析与应用1. 预测销售量通过建立的二次函数模型，可以根据给定的售价参数，预测销售量的数值。
例如，当提供一个售价参数时，根据二次函数模型，即可计算出对应的预测销售量。
这对于企业决策和市场战略的制定具有重要的参考价值。
2. 销售业绩分析基于建立的二次函数模型，可以对销售业绩进行深入分析。
通过对模型中的常数a、b、c进行解释和理解，可以得到销售业绩受售价的影响程度以及对应的变化规律。
这有助于企业优化定价、促销策略等，以提升销售业绩。
3. 销售预测与决策支持二次函数模型可以进一步用于销售预测和决策支持。
通过对模型的扩展和参数调整，可以建立更加复杂的销售预测模型，辅助企业进行市场规划、销售策略的制定等决策过程，帮助企业提高销售效益。
五、案例分析为了更好地说明二次函数在销售业中的应用，我们以某电子产品的销售为例进行案例分析。
根据历史销售数据，我们建立了二次函数模型，并通过参数拟合得到了三个常数的值。
二次函数说课ppt课件ppt课件ppt课件
详细描述
二次函数在日常生活中有着广泛的应用，如最优化问题、经济模型、物理学中的抛物线 运动等。通过这些实际应用场景，学生可以更好地理解二次函数的实际意义和重要性。
物理中的二次函数
总结词
运动轨迹、能量变化
VS
详细描述
在物理学中，二次函数经常用于描述物体 的运动轨迹，如抛物线运动。此外，在能 量守恒问题中，二次函数也经常出现，用 于描述能量随时间的变化关系。通过与物 理学的结合，学生可以更深入地理解二次 函数的物理意义。
因式分解法
要点一
总结词
通过因式分解将二次函数转化为两个一次函数的乘积，便 于分析函数的零点、单调性和值域。
要点二
详细描述
因式分解法是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 两个一次函数的乘积，如 $f(x) = (ax + b)(cx + d)$。通 过因式分解，可以方便地找到函数的零点（即 $f(x) = 0$ 的解），分析函数的单调性（根据导数符号判断）和值域 （根据函数图像和定义域判断）。
数学竞赛中的二次函数
总结词
难度高、技巧性强
详细描述
在数学竞赛中，二次函数经常作为压轴题目 出现，难度较高，技巧性强。通过解决这类 问题，学生可以提高自己的数学思维能力和 解决问题的能力，为未来的学习和竞赛打下 坚实的基础。
CHAPTER 04
二次函数的解题策略
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分 析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时 ，抛物线开口向下。系数$b$和$c$决定了抛物线的位置和顶点。通过研究二次 函数的图像，我们可以更好地理解其性质和特点。
22.3.2二次函数与商品利润问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
最大利润是多少？
知识讲解
知识点1 二次函数的最值在销售问题中的应用
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，
这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的
变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx
＋n，其变化趋势如图②所示．
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润
是1250元.
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
(3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销
售量各是多少？
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这
种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变
化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，
其变化趋势如图②所示．
(1)求y2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
知识讲解
知识点1 二次函数的最值在销售问题中的应用
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，
这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的
变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx
＋n，其变化趋势如图②所示．
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润
是1250元.
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
(3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销
售量各是多少？
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这
种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变
化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，
其变化趋势如图②所示．
(1)求y2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
二次函数与销售问题
利用二次函数模型，可以预测未来特定时间段源自的销售量，帮助企业做出明智 的决策。
3
二次函数对销售问题的优势
二次函数模型具有灵活性和准确性，能 够提供对未来销售的预测，并为决策提 供有力支持。
案例研究：二次函数在销售中的应用
销售数据分析
二次函数模型构建
通过对销售数据进行分析和挖掘， 我们可以发现销售趋势中的潜在 规律和关键因素。
二次函数与销售问题
二次函数是数学中重要的概念之一。本次演示将深入探讨二次函数的定义、 图像特征以及如何运用它们解决销售问题。
二次函数概述
二次函数定义
二次函数是一个以 x2 为最高次项的多项式函数。
二次函数图像特征
二次函数的图像呈现出抛物线状，具有顶点、对称轴以及开口方向等特征。
销售问题背景
1 销售问题的重要性
通过预测未来销售趋势，企 业能够及时调整销售策略， 提前做好市场准备。
提供决策
基于二次函数模型的分析结 果，企业可以制定更有效的 销售策略和决策，以提升销 售绩效。
销售是任何企业的核心活动，更好地理解销售问题可以帮助企业制定更有效的销售策略。
2 销售问题的挑战
销售问题常常涉及市场需求、竞争分析和销售预测等方面，需要综合考虑多个因素。
利用二次函数解决销售问题的方法
1
利用二次函数建模销售趋势
通过分析历史销售数据，可利用二次函
利用二次函数预测销售量
2
数建立模型来预测销售趋势的变化。
利用收集到的数据，我们可以构 建二次函数模型，以准确预测销 售趋势的变化。
预测销售趋势
通过应用建立的二次函数模型， 我们可以预测未来销售趋势，为 企业的决策提供有力支持。
二次函数对销售问题的优势
最新人教版初中数学九年级上册《实际问题与二次函数(第2课时商品销售最大利润问题)》优质教学课件
故300 − 10 ≥ 0，且 ≥ 0,因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 30.
（3）涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？
= −102 + 100 + 6 000，
当 = −
100
2× −10
= 5时, = −10 × 52 + 100 × 5 + 6 000 = 6 250.
模型，相信所有的题目都万变不
离其宗。
谢谢聆
听
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
涨价销售
20
+
每星期利润（元）
300
6000
−
( + )( − )
建立函数关系式： = (20 + )(300 − 10),
即 = −102 + 100 + 6000.
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格上涨，则销量下降，因此只考虑销售量即可，
当 =−
=
时，二次函数
−
.
= + + 有最小（大）值
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
22.3实际问题与二次函数课件
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式1与例题有什么不同？
x
x
60-2x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
设垂直于墙的边长为x米
问题3 面积S的函数关系式是什么？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
探究新知
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对
此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值？
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
探究新知
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的
面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如
2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的
栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为
ym²．
40 x
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
40 x
解：
(1) y x(
)
2
40 x x 2
∴S= x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；
当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2．
问题1 变式1与例题有什么不同？
x
x
60-2x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
设垂直于墙的边长为x米
问题3 面积S的函数关系式是什么？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
探究新知
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对
此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值？
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
探究新知
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的
面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如
2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的
栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为
ym²．
40 x
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
40 x
解：
(1) y x(
)
2
40 x x 2
∴S= x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；
当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2．
实际问题与二次函数_课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：销售问题中的利润最大问题综合训练
活动2 提升型例题
例2.某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月 可卖出100件；如果每件商品售价每上涨1元，则每个月少卖2 件。设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利 润为y元。 （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大 月利润是多少元？ （3）当售价的范围是多少时，使得每件商品的利润率不超过 80%且每个月的利润不低于2250元？
探究一： 销售问题中的利润最大问题
重点、难点知识★▲
活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式。
销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的 数量关系是什么？
成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；
利润=每件利润×销售量 每件利润=每件售价﹣每件进价。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究一： 销售问题中的利润最大问题 活动2 整合旧知，探究利润最大问题。
重点、难点知识★▲
例1.小红的爸爸出售一批衬衣，这批衬衣现在的售价是 60元每件，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何 定价才能使利润最大？
思考 1.问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获
（2）若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为
__6_0_-_x_ 元 ， 每 件 利 润 为 __6_0_-_x-_4_0___ 元 ， 每 星 期 多 卖 __2_0_x__ 件 ， 实 际 卖 出 __3_0_0_+_2_0_x____ 件 。 所 以 利 润 _y___60___x__4_0__30_0__2_0_x______________；
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、教学过程
（四）探求新知
设计意图：现代数学教学论指出， 有效的数学教学 必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教 学中必须展现思维的过程性。在这里，通过学生 观 察分析、独立思考、课堂展 示 等活动，引导学生 建立数学模型，共同经历 二次函数解决最大利润问 题的过程。 通过前面的学习，学生已基本把握了本节课所要学 习的内容，此时，他们急于寻找一块用武之地，以 展示自我，体验成功，于是我把学生导入下一环节。
四、教学流程
（三）创设情境，提出问题 活动1:师生共探
1.调整价格包括哪些方式? 2.在这个问题中，总利润是不是一个变量？如果是， 它随着哪个量的改变而改变？ 如何计算利润？等量关系是什么？ 3.先看涨价的情况：设涨价为x元，利润为y元 y是x的什么函数？x的取值范围是什么？
活动2：自主解决降价问题
四、教学过程
(七)深化训练1、2、3与作业布置
设计意图：其中深化训练1、2、3是由浅入深、 各有侧重，是三种不同一次函数表达形式的实际 问题与二次函数的综合利润最大问题，难度递增， 体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不 同发展的教学理念。我设计了必做题和选做题， 必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对 本节课知识的一个拓展。总的设计意图是反馈教 学，巩固提高。
地位：
二次函数的最大利润 问题，在初中数学中 占有重要的地位。
一、教材分析
2 2
教学目标
1
会运用 二次函数将实际问题转 化为数学模型，解决最大利润的 实际问题 ； 通过经历探索销售中最大利润问 题的过程，发展学生运用数学知 识解决实际问题的能力；
通过问题串 让学生主动探究，师 生合作交流，感受探索的乐趣和 成功的体验，体会数学的合理性 和严谨性，使学生养成积极思考， 独立思考的好习惯。
四、教学过程
(七)深化训练1、2、3与作业布置
深化训练2：商场对某种商品进行市场调查，1至6月该种商品的销 售情况如下： ①销售成本p（元/千克）与销售月份x的关系如图所示； ②销售收入q（元/千克）与销售月份x满足q=-1.5x+15； ③销售量m（元/千克）与销售月份x满足m=100x+200; ⑴根据图形，求出p与x之间的函数关系式 ⑵求该商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系式， 并求出哪个月的利润最大？
知识掌握方面 ：学生在此之前
已经学习了 二次函数与最大面
积问题 ，对 利用二次函数求
最值 已经有了初步的认识，这
为顺利完成本节课的教学任务 打下了基础。
三、教法学法分析
引导启发式 互动探究式 独立思考
教法 学法
教 学 手 段
合作交流 反思归纳
多媒体辅助教学，提高教学效率
四、教学过程
复习回顾
出示学习目标 创设情境，提出问题 探求新知 强化训练 归纳总结
函数模型，建立正确的函数关系式，这一点应让学生有深刻的体会。 在教学过程中，本节课将一个问题分解成列，每个问题的处理 都引导学生积极参与，亲身体验，获得感知几个小问题，通过小步 骤、密台阶，有计划有步骤的展现学生的思维序，使得知识的呈现
发展全程展现。
四、教学过程
(五) 强化训练
某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包。 起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个。 后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨1 元，每个月就少卖出10个。现在请你帮帮他，如何 定价（定价至少为47元）才使他的利润最大？ 辨析下面两位同学的解题过程是否正确？若不对， 请指出，并改正。 设计意图：这道训练习题是反馈教学，内化知识，辨 析题从两种不同设未知数的方法对问题进行解决，并 在自变量的取值进行错误设置，能进一步突出重点， 突破难点，以及为下一环节归纳方法步骤作准备。
目标
2
3
一、教材分析
3
重点难点
重点
分析和表示实际问题中变量之 间的二次函数关系(等量关系)
难点
1.找等量关系列函数解析式； 2.求出实际取值范围内的利润 最大值。
二、学情分析 学情分析
学生年龄特点 ：
九年级学生具有一定 的自主学习能力，容 易开发他们的主观能 动性，适合自主探究、 合作交流的数学学习 方式。
四、教学过程
(七)深化训练1、2、3与作业布置
深化拓展3：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： 15 20 30 … x(元)
y(件) 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时每日销售利润是多少元？
作业布置
四、教学流程 （一）复习回顾
1.求下列二次函数的最大值或最小值： ⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=（x－2）2+4（ -1≤x≤1 ） 2. 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元， 每星期可卖出300件。那么一周的利润是多少？
设计意图：建构主义主张教学应从学生已有的知 识体系出发， 二次函数求最值问题和 销售问题中 的等量关系 是本节课深入研究 二次函数解决最大 利润问题 的认知基础，这样设计有利于引导学生 顺利地进入学习情境。
四、教学过程
(六)归纳总结：解决利润最大化问题
基本思想：转化、建模、分类讨论 基本方法：二次函数 基本步骤: 1.设自变量 、函数 2.建立函数解析式 3.确定自变量取值范围 4.利用顶点公式（或顶点式） 求出最值（在自变量取值范围内） 设计意图：课堂 总结不应该仅仅 是知识的简单罗 列，而应该是优 化认知结构，完 善知识体系的一 种有效手段，我 通过再次出示学 习目标的方式让 学生自己总结， 教师再总结。
五、板书设计
22.3实际问题与二次函数（销售问题）
转化成
实际问题
等量关系
二次函数（数学建模） 的自 取变 值量 数学结论
回归实际 问题
六、教学反思
二次函数的应用综合体现了二次函数性质的应用，这类综合题 与其他学过的知识有着密切的关系，最大利润问题是实际生活中常
见的最优化问题，综合性强，解题的关键在于如何建立恰当的二次
四、教学过程 （二）出示学习目标
1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关 系(等量关系) 2.能够运用二次函数的知识求出实际取值范围内的最 大（小）值，解决实际问题。
设计意图： 目标前置有利于学生对本节 课的重点任务的把握有所了 解。
四、教学流程
（三）创设情境，提出问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市 场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出 10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进 价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
本节课你是否达标呢？
四、教学过程
(七)深化训练1、2、3与作业布置
深化训练1： 某商场以每件42元的价钱购进一种服 装，根据试销得知这种服装每天的销售量t（件） 与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204 (1)写出商场卖这种销售价x（元）间的函数关系式； (2)通过对所得服装每天销售利润 y（元）与每件 的函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得 最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合 适？最大利润为多少？
新人教版义务教育课程标准 数学教科书九年级上册
说课流程
一
教材分析 学情分析 教法学法 教学过程 板书设计 教学评价
1 二
三 四 五 六
一、教材分析
地位 作用
教学
地位作用 作用：
上节学习最大面积后，已经 奠定了 求实际问题最值 的 基础知识，本节课的学习也 是进一步研究 拱桥问题 的 过渡性内容。所以，本节课 不仅有着广泛的实际应用， 还具有承前启后的作用。
活动1:师生共探 1.调整价格包括哪些方式? 2.在这个问题中，总利润是不是一个变量？如果是，它随着哪个量 的改变而改变？ 如何计算利润？等量关系是什么？ 3.先看涨价的情况：设涨价为x元，利润为y元， y是x的什么函数？x的取值范围是什么？ 活动2：自主解决降价问题 1.降价时，情况怎样？请你参考涨价的情况的讨论，得出答案。 2.综合两种情况，如何定价才能使利润最大？
1.降价时，情况怎样？请你参考涨价的情况的讨论， 得出答案。 2.综合两种情况，如何定价才能使利润最大？
四、教学流程
（三）创设情境，提出问题 设计意图：以 问题串 的形式把复杂 问题分梯度进行，减轻学生对实际问 题的畏难情绪，激发学生强烈的求知 欲望，产生强劲的学习动力，此时我 把学生带入下一环节——