北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
北京市西城区2015届高三上学期期末考试物理试题 Word版含解析
北京市西城区2015届高三上学期期末考试物理试卷一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．）1．关于加速度，下列说法正确的是（）A．物体速度变化越大，加速度越大B．物体速度变化越快，加速度越大C．物体位置变化越大，加速度越大D．物体位置变化越快，加速度越大考点：加速度；速度．专题：直线运动规律专题．分析：根据加速度的定义式a=，加速度等于速度的变化率．物体的速度变化量大，加速度不一定大．加速度与速度无关．解答：解：A、物体的速度变化量大，加速度不一定大．只有当变化所用时间相同时，加速度才大．故A错误．B、加速度等于速度的变化率，速度变化越快，加速度越大．故B正确．C、物体位置变化越大，则位移越大，加速度不一定大．故C错误．D、物体位置变化越大，则速度越大，加速度不一定大．故D错误．故选：B点评：本题考查对加速度的物理意义理解能力，可以从数学角度加深理解加速度的定义式a=．A．他始终处于超重状态B．他始终处于失重状态C．他先后处于超重、平衡、失重状态D．他先后处于失重、平衡、超重状态考点：超重和失重．分析：失重状态：当物体对接触面的压力小于物体的真实重力时，就说物体处于失重状态，此时有向下的加速度，合力也向下；超重状态：当物体对接触面的压力大于物体的真实重力时，就说物体处于超重状态，此时有向上的加速度，合力也向上．解答：解：A、一个人乘电梯从一楼直达十楼，电梯先向上做加速运动，再匀速向上运动，后向上做减速运动，所以加速度方向先向上，再为零，后向下，则人先超重再正常后失重，则人对地板的压力先增大后不变再减小，故C正确故选：C点评：本题考查了学生对超重失重现象的理解，掌握住超重失重的特点，本题就可以解决了．3．（3分）一列简谐横波沿x轴传播，某时刻的波形如图所示，质点a、b均处于平衡位置，质点a正向上运动．则下列说法正确的是（）A．波沿x 轴负方向传播B．该时刻质点b正向上运动C．该时刻质点a、b的速度相同D．质点a、b的振动周期相同考点：横波的图象；波长、频率和波速的关系．专题：振动图像与波动图像专题．分析：由A质点A的振动方向结合波动图象判断波的传播方向．传播过程中的介质质点都做简谐运动，周期相同，但不同时刻的速度不同．解答：解：A、由a质点的振动振动方向沿y轴正方向，则波沿x轴正向传播，故A错误．B、由波沿x轴正向传播，结合波动图象，则该时刻质点b正向下运动，故B错误．C、速度为矢量，ab的速度方向相反，故C错误．D、质点a、b的振动周期相同，都等于波源的周期，故D正确．故选：D点评：根据振动图象读出各时刻质点的振动方向，由质点的振动方向判断波的传播方向是基本功，要熟练掌握．4．（3分）一物体质量为m，在北京地区它的重力为mg．假设地球自转略加快，该物体在北A．m g′＞mgB．m g′＜mgC．m g′和mg的方向都指向地心D．m g′和mg的方向都指向北京所在纬线圈的圆心考点：重力．分析：物体仅受重力时运动的加速度就是自由落体的加速度，在地球上不同的纬度、不同的高度的物体的重力加速度不同，重力加速度的方向总是竖直向下．在地面上时，物体的重力为万有引力的一个分力．解答：解：AB、在地面上时，物体的重力为万有引力的一个分力，地球自转略加快，该物体随地球自转的向心力要加大，在北京地区的重力mg′＜mg，故A错误，B正确；CD、重力的方向总是竖直向下，竖直向下是指与当地的水平面垂直，故重力加速度的方向也总是竖直向下，并非指向地心或指向北京所在纬线圈的圆心，故C错误，D错误；故选：B．点评：明确重力加速度随着纬度和高度的增加而减小和万有引力和重力的关系是关键，基础题．5．（3分）如图所示，大小相同的力F作用在同一个物体上，物体分别沿光滑水平面、粗糙水平面、光滑斜面、竖直方向运动一段相等的距离s，已知力F与物体的运动方向均相同．则上述四种情景中都相同的是（）A．拉力F对物体做的功B．物体的动能增量C．物体加速度的大小D．物体运动的时间考点：动能定理；牛顿第二定律；功的计算．专题：动能定理的应用专题．分析：根据功的计算公式W=FScosθ可知做功情况；根据动能定理可知动能变化；根据牛顿第二定律可知加速度大小；根据匀变速直线运动规律可知时间．解答：解：A、根据功的计算公式W=FScosθ可知F、S、θ相同，故功相同，A正确；B、根据动能定理知W合=△E k，只拉力做功相同，其他力做功不同，故动能增量不同，故B错误；C、根据F合=ma知只有拉力F同，加速度不一定相同，故C错误；D、根据s=知加速度不相同，t不相同，故D错误；故选：A点评：此题考查对功的计算公式W=FScosθ、动能定理、牛顿第二定律、匀变速直线运动规律等，注意公式中的符号含义即可解得．6．（3分）把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C（图丙），途中经过位置B时弹簧正处于原长（图乙）．忽略弹簧的质量和空气阻力．则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是（）A．经过位置B时小球的加速度为0B．经过位置B时小球的速度最大C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小考点：功能关系；机械能守恒定律．分析：A到B的过程，小球先加速后减速，当加速度为零，即弹力与重力大小相等的位置时，速度最大，整个过程中，球只受重力和弹力做功，故小球和弹簧组成的系统机械能守恒．解答：解：A、A到B的过程中小球要先加速后减速，当加速度为零，即弹力与重力大小相等的位置时，速度最大，动能最大，该位置位于AB之间，不在B点，故AB错误．C、小球从A到C的过程中，小球只受重力和弹力做功，故小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒，故C正确，D错误．故选：C．点评：小球与弹簧相互作用的问题，关键要根据小球的受力情况来分析小球的运动情况，要抓住弹簧的弹力随压缩量增大而增大的，注意小球的机械能不守恒，系统机械能守恒．7．（3分）如图所示，线圈L与小灯泡A并联后接到电源上．先闭合开关S，稳定后，通过线圈的电流为I1，通过小灯泡的电流为I2．断开开关S，发现小灯泡闪亮一下再熄灭．则下列说法正确的是（）A．I1＜I2B．I1=I2C．断开开关前后，通过小灯泡的电流方向不变D．断开开关前后，通过线圈的电流方向不变考点：自感现象和自感系数．分析：稳定后开关S再断开，小灯泡要闪亮一下，这是因为线圈产生自感电动势来阻碍磁通量的减小，这时线圈相当于电源，电流突然增大到原来线圈的电流I L，可比较线圈电阻和灯泡电阻关系，进而确定线圈电阻值．解答：解：A、B、稳定时，灯泡A与线圈L并联，两者电压相等，通过线圈的电流为I1，通过小灯泡的电流为I2，由于稳定后开关S再断开，小灯泡要闪亮一下，这是因为线圈产生自感电动势来阻碍磁通量的减小，这时线圈相当于电源，电流突然增大到原来线圈的电流I1，所以可判断出I1＞I2，故AB错误；C、D、在断开开关后，线圈中将产生自感电动势，所以线圈中的电流不会发生突变，通过线圈的电流方向不变；而灯泡的电路中没有自感，所以电流可以发生突变；由于灯泡与线圈构成回路，所以断开开关前后，通过小灯泡的电流方向相反．故C错误，D正确．故选：D．点评：该题关键是抓住“小灯泡闪亮一下”来判定感应电流与原电流的关系，其余都是基本关系应用．8．（3分）如图所示，物块M在静止的传送带上匀速下滑时，传送带突然顺时针（图中箭头所示）转动起来，则传送带转动后，下列说法正确的是（）A．M受到的摩擦力不变B．M受到的摩擦力变大C．M可能减速下滑D．M可能减速上滑考点：摩擦力的判断与计算．专题：摩擦力专题．分析：在传送带突然转动前后，对物块进行受力分析解决问题．解答：解：传送带突然转动前物块匀速下滑，对物块进行受力分析：物块受重力、支持力、沿斜面向上的滑动摩擦力．传送带突然转动后，对物块进行受力分析，物块受重力、支持力，由于上面的传送带斜向上运动，而物块斜向下运动，所以物块所受到的摩擦力不变仍然斜向上，所以物块仍匀速下滑，故A正确，BCD错误．故选：A．点评：判断物体的运动必须对物体进行受力分析，还要结合物体的运动状态．9．（3分）如图，在M、N处固定两个等量同种点电荷，两电荷均带正电．O点是MN连线的中点，直线PQ是MN的中垂线．现有一带正电的试探电荷q自O点以大小是v0的初速度沿直线向Q点运动．若试探电荷q只受M、N处两电荷的电场力作用，则下列说法正确的是（）A．q将做匀速直线运动B．q的加速度将逐渐减小C．q的动能将逐渐减小D．q的电势能将逐渐减小考点：电场的叠加；电势能．专题：电场力与电势的性质专题．分析：本题要根据等量同种点电荷电场线的分布情况，抓住对称性，分析试探电荷的受力情况，分析其运动情况，根据电场力做功情况，分析其电势能的变化情况．解答：解：A、两等量正电荷周围部分电场线如右图所示，其中P、Q连线的中垂线MN上，从无穷远到O过程中电场强度先增大后减小，且方向始终指向无穷远方向．故试探电荷所受的电场力是变化的，q由O向Q的运动做非匀加速直线运动，加速度先增大后减小，故AB错误．C、从O到Q过程，电场力做正功，电势能减小，则动能增大，故C错误．D正确．故选：D点评：本题考查静电场的基本概念．关键要了解等量同种点电荷电场线的分布情况，运用动能定理进行分析．10．（3分）一束带电粒子沿水平方向匀速飞过小磁针上方时，磁针的N极向西偏转，这一束A．向南飞行的正离子束B．向南飞行的负离子束C．向西飞行的正离子束D．向西飞行的负离子束考点：通电直导线和通电线圈周围磁场的方向．分析：小磁针N极受力方向与磁场方向相同．电流方向与与正电荷定向移动方向相同，与负电荷定向移动方向相反．根据安培定则，将选项逐一代入检查，选择符合题意的选项．解答：解：A．向南飞行的正离子束，带正电，形成的电流方向向南，根据安培定则可知，在下方产生的磁场方向向东，则N极转向东，S极转向西，不符合题意．故A错误．B．向南飞行的负离子束，带负电，形成的电流方向向北，根据安培定则可知，正离子束在下方产生的磁场方向向西，则N极转向西，S极转向东，符合题意．故B正确．C．向西飞行的正离子束，带正电，形成的电流方向向西，根据安培定则可知，正离子束在下方产生的磁场方向向南，则N极转向南，不符合题意．故C错误．D．向西飞行的负离子束，带负电，形成的电流方向向东，根据安培定则可知，在下方产生的磁场方向向北，则N极转向北，不符合题意．故D错误．故选：B．点评：本题考查应用物理基本定则的能力，掌握电流方向与正负离子的运动方向，同时理解右手螺旋的内容．11．（3分）如图中有A、B两个线圈．线圈B连接一电阻R，要使流过电阻R的电流大小恒定，且方向由c点流经电阻R到d点．设线圈A中电流i从a点流入线圈的方向为正方向，则线圈A中的电流随时间变化的图象是（）A．B．C．D．考点：楞次定律．专题：电磁感应与电路结合．分析：闭合电路中产生感应电流的条件是穿过闭合回路的磁通量发生变化．解答：解：A、要产生流过电阻R的电流大小恒定，且方向由c点流经电阻R到d点，则有先从b电流流入，且大小减小，根据楞次定律，与右手螺旋定则可知，符合要求，故A 正确．B、当电流i从a点流入线圈，且大小减小时，根据楞次定律可知，电流从d点流经电阻R到c点，故B错误．C、要使流过电阻R的电流大小恒定，根据法拉第电磁感应定律，则通入电流必须均匀变化，故CD错误；12．（3分）从1822年至1831年的近十年时间里，英国科学家法拉第心系“磁生电”．在他的研究过程中有两个重要环节：（1）敏锐地觉察并提出“磁生电”的闪光思想；（2）通过大量实验，将“磁生电”（产生感应电流）的情况概括为五种：变化着的电流、变化着的磁场、运动的恒定电流、运动的磁铁、在磁场中运动的导体．二、多项选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．每小题全部选对的得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．）点评：本题考查电磁波与机械波的区别，要注意电电磁波可以在真空中传播．14．（3分）冰壶运动深受观众喜爱，图1为2014年2月第22届索契冬奥会上中国队员投掷冰壶的镜头．在某次投掷中，冰壶甲运动一段时间后与对方静止的冰壶乙发生碰撞，如图2．若两冰壶质量相等，则碰后两冰壶最终停止的位置，可能是下图中的哪几幅图？（）A．B．C．D．考点：动量守恒定律．专题：动量定理应用专题．分析：两冰壶碰撞过程动量守恒，碰撞过程中机械能不会增加，碰撞后甲的速度不会大于乙的速度，据此分析答题．解答：解：A、如果两冰壶发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，两冰壶质量相等，碰撞后两冰壶交换速度，甲静止，乙的速度等于甲的速度，碰后乙做减速运动，最后停止，最终两冰壶的位置如图所示，故B正确；AC错误；D、两球碰撞过程动量守恒，两球发生正碰，由动量守恒定律可知，碰撞前后系统动量不变，两冰壶的动量方向即速度方向不会偏离甲原来的方向，由图示可知，A图示情况是不可能的，故D错误；故选：B．点评：本题考查了动量守恒定律的应用，两物体发生碰撞时，内力远大于外力，外力可以忽略不计，系统动量守恒，碰撞过程机械能不可能增加、碰撞后后面的物体速度不可能大于前面物体的速度，据此分析答题．15．（3分）空间有一磁感应强度为B的水平匀强磁场，质量为m、电荷量为q的质点以垂直于磁场方向的速度v0水平进入该磁场，在飞出磁场时高度下降了h．重力加速度为g．则下列A．带电质点进入磁场时所受洛伦兹力可能向上B．带电质点进入磁场时所受洛伦兹力一定向下C．带电质点飞出磁场时速度的大小为v0D．带电质点飞出磁场时速度的大小为考点：带电粒子在混合场中的运动；功能关系；洛仑兹力．分析：根据左手定则判断出洛伦兹力的方向；根据功能关系即可计算出带电质点飞出磁场时速度的大小．解答：解：A、B、该题中由于不知道磁场的方向，所以不能判断出洛伦兹力的方向．带电质点进入磁场时所受洛伦兹力可能向上．故A正确，B错误；C、D、粒子运动的过程中只有重力做功，由功能关系可知：，所以：．故C错误，D正确．故选：AD点评：该题中考查带电粒子在混合场中的运动，由于不知道磁场的方向，仅仅知道粒子的运动方向，不能使用左手定则判断出洛伦兹力的方向．16．（3分）如图1所示，物体A以速度v0做平抛运动，落地时水平方向的位移和竖直方向的位移均为L，图1中的虚线是A做平抛运动的轨迹．图2中的曲线是一光滑轨道，轨道的形状与图1中的虚线相同．让物体B从轨道顶端无初速下滑，B下滑过程中没有脱离轨道．物体A、B都可以看作质点．重力加速度为g．则下列说法正确的是（）A．A、B两物体落地时的速度方向相同B．A、B两物体落地时的速度大小相等C．物体B落地时水平方向的速度大小为D．物体B落地时重力的瞬时功率为mg考点：功率、平均功率和瞬时功率；平抛运动．专题：功率的计算专题．分析：根据平抛运动的竖直位移与水平位移的时间相等，求出竖直速度和水平速度的大小即可求出B速度的大小和方向．解答：解：A、因为轨迹相同，所以在落地时的速度方向一致，故A正确；B、由动能定理得，AB的都是重力做功，且大小相同，所以B的末速度小于A的末速度，故B错误；C、根据平抛运动的知识，求得B的末速度v=2v0，所以B的落地速度为2v0，又v=2gL，所以v=2，因为B与A的落地速度方向相同，所以B的水平分速度为，故C正确；D、因为B的落地速度为2，所以物体B落地时重力的瞬时功率为2mg，故D错误；故选：AC点评：此题考查的是平抛运动的规律的应用，基础类题目，关键是竖直位移与水平位移的时间关系．三、计算题（本题共5小题．解答应有必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的，答案中必须写出数值和单位．）17．（9分）在如图所示的电路中，电源的电动势E=1.5V，内阻r=0.5Ω，电流表满偏电流I g=10mA，电流表的电阻R g=7.5Ω，A、B为接线柱．（1）用一条导线把A、B直接连起来，此时，应把可变电阻R1调节为多少才能使电流表恰好达到满偏电流？（2）调至满偏后保持R1的值不变，在A、B间接入一个150Ω的定值电阻R2，电流表的读数是多少？（3）调至满偏后保持R1的值不变，在A、B间接入一个未知的定值电阻R x，电流表的读数为I x，请写出I x随R x变化的数学表达式．考点：多用电表的原理及其使用．专题：恒定电流专题．分析：（1）根据闭合电路的欧姆定律即可求得电阻；（2）根据闭合电路的欧姆定律即可求得电流（3）根据闭合电路的欧姆定律即求的表达式解答：解：（1）根据闭合电路欧姆定律可得R1=142Ω（2）根据闭合电路欧姆定律可得I=5mA（3）根据闭合电路欧姆定律可得答：（1）用一条导线把A、B直接连起来，此时，应把可变电阻R1调节为142Ω才能使电流表恰好达到满偏电流（2）调至满偏后保持R1的值不变，在A、B间接入一个150Ω的定值电阻R2，电流表的读数是5mA（3）调至满偏后保持R1的值不变，在A、B间接入一个未知的定值电阻R x，电流表的读数为I x，请写出I x随R x变化的数学表达式．点评：本题主要考查了闭合电路的欧姆定律，注意公式的灵活运用18．（9分）一小孩自己不会荡秋千．爸爸让他坐在秋千板上，将小孩和秋千板一起拉到某一高度，此时绳子与竖直方向的偏角为37°，然后由静止释放．已知小孩的质量为25kg，小孩在最低点时离系绳子的横梁2.5m．重力加速度g=10m/s2．sin37°=0.6，cos37°=0.8．忽略秋千的质量，可把小孩看做质点．（1）假设小孩和秋千受到的阻力可以忽略，当摆到最低点时，求：a．小孩的速度大小；b．秋千对小孩作用力的大小．（2）假设小孩和秋千受到的平均阻力是小孩重力的0.1倍，求从小孩被释放到停止经过的总路程．考点：机械能守恒定律；向心力．专题：机械能守恒定律应用专题．分析：（1）不计阻力，小孩和秋千机械能守恒，据机械能守恒定律求出小孩的速度大小．以小孩为研究对象，根据牛顿第二定律求解秋千对小孩作用力的大小．（2）对于整个过程，运用动能定理，即可求解总路程．解答：解：（1）a．根据机械能守恒定律得：mgL（1﹣cos37°）=可得：v=m/sb．以小孩为研究对象，根据牛顿第二定律得：F﹣mg=m可得：F=350N（2）对全程，根据动能定理得：mgL（1﹣cos37°）﹣fs=0其中f=0.1mg可得：s=5m答：（1）a．小孩的速度大小是m/s；b．秋千对小孩作用力的大小是350N．（2）假设小孩和秋千受到的平均阻力是小孩重力的0.1倍，从小孩被释放到停止经过的总路程是5m．点评：本题是生活中的圆周运动，掌握机械能守恒定律、分析向心力来源、空气阻力作功与路程有关是求解的关键．19．（9分）示波器是一种用来观察电信号的电子仪器，其核心部件是示波管，如图1所示是示波管的原理图．示波管由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空．电子从灯丝K 发射出来（初速度可不计），经电压为U0的加速电场加速后，以垂直于偏转电场的方向先后进入偏转电极YY′、XX′．当偏转电极XX′、YY′上都不加电压时，电子束从电子枪射出后，沿直线运动，打在荧光屏的中心O点，在那里产生一个亮斑．（1）只在偏转电极YY′上加不变的电压U1，电子束能打在荧光屏上产生一个亮斑．已知偏转电极YY′的极板长为L，板间的距离为d，YY′间的电场可看做匀强电场．电子的电荷量为e，质量为m，不计电子的重力以及电子间的相互作用力．求电子刚飞出YY′间电场时垂直于极板方向偏移的距离．（2）只在偏转电极YY′上加u=U1sinωt的交流电压，试在图2中画出荧光屏上的图形．（3）在YY′上加如图3所示的正弦交流电压，同时在XX′上加如图4所示的周期性变化的电压，假设U XX′=﹣U2和U XX′=U2时，电子束分别打在荧光屏上的A、B两点，试在图5中画出荧光屏上的图形．考点：示波管及其使用．分析：（1）由动能定理求的在加速电场中获得的速度，由运动学公式求的在偏转电场中的偏移量（2）（3）通过交流电压的变化，通过运动分析即可画出荧光屏上的图形解答：解：（1）在加速电场中在偏转电场中平行于极板方向L=v0t垂直于极板方向可得（2）如答图1所示．（3）如答图2所示．答：（1）电子刚飞出YY′间电场时垂直于极板方向偏移的距离为（2）（3）荧光屏上的图形如上图所示．点评：题考查对示波器工作原理的理解，其基本原理是电场的加速和偏转，根据偏转距离与偏转电压的关系，分析荧光屏上光斑的变化．20．（12分）如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，即F=﹣kx，其中k是由系统本身特性决定的线性回复力常数，那么质点的运动就是简谐运动．（1）图1所示为一理想单摆，摆球的质量为m，摆长为L．重力加速度为g．请通过计算说明该单摆做简谐运动的线性回复力常数k=？（2）单摆做简谐运动的过程中，由于偏角很小，因此可以认为摆球沿水平直线运动．如图2所示，质量为m的摆球在回复力F=﹣kx作用下沿水平的x轴做简谐运动，若振幅为A，在平衡位置O点的速度为v m，试证明：mv m2=kA2．（3）如图3所示，两个相同的理想单摆均悬挂在P点．将B球向左拉开很小的一段距离由静止释放，B球沿水平的x轴运动，在平衡位置O点与静止的C球发生对心碰撞，碰撞后B、C 粘在一起向右运动．已知摆球的质量为m，摆长为L．释放B球时的位置到O点的距离为d．重力加速度为g．求B、C碰撞后它们沿x轴正方向运动的最大距离．考点：动量守恒定律；动能定理；机械能守恒定律．专题：动量定理应用专题．分析：（1）对小球受力分析，则可得出回复力的大小，由回复力公式可求得回复力常数；（2）分析外力做功情况，由动能定理即可证明；（3）由动量守恒求得碰后的速度，再由动能定理可求得最大距离．解答：解：（1）如图所示，以平衡位置O点为坐标原点，沿水平方向建立x轴．。
北京市西城区高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =I （ ）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2.已知复数z 满足2i =1i z +，那么z 的虚部为（ ）（A ）1- （B ）i - （C ）1 （D ）i3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（）（A ）4 （B 15 （C ）3 （D 174.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）15.已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）（A ）22y x =+- （B ）12y x =+-（C ）22y x =-+（D ）12y x =+-6.若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ）（A ）22a b > （B ）11a b < （C ）0a b << （D ）0b a <<7.．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ）（A ）116- （B ） 18- （C ） 14- （D ） 08.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A ）[26,66] （B ）[26,18] （C ）[36,18] （D ）[36,66]【答案】D【解析】 试题分析：棱长为23，故体对角线1BD =6，根据对称性，只需研究[1,3]x ∈，函数()y f x =的值域，连接11,,AB B C AC ，则1BD ⊥面1AB C ，此时2BP =，当1BP =时，截面周长为截面1AB C 周长的一半，即36，当3BP =时，即当截面过体对角线1BD 中点时，此时截面为正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为66.，所以函数()y f x =的值域为[36,66].考点：1、直线和平面垂直的判定；2、截面周长.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数k = _____．【答案】4【解析】试题分析：=1,3(3OA AB =-u u u r u u u r （），，k-3)，因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，故0OA AB ⋅=u u u r u u u r ，即-3+3(k-3)=0，解得4k =.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.10.若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=L ______．11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13.如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；AC AB=______．14.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v .（1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ；（2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．考点：1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分） 已知函数()3f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π. （Ⅰ）若6()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f xg x =+的单调增区间.16.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a 时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．甲组乙组 8 91 a8 2 2所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望.17.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. 因为 ED BD D =I ，所以 AC ⊥平面BDEF .（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得133()22BH =-u u u r ，(2,0,0)DB =u u u r .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ， 所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即1111330,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,3,1)=n . 由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-u u u r ， 则00(3)01(3)1cos ,2ED ED ED⋅⨯+-⨯+⨯-<>===-u u u r u u u r u u u r n n n . 由图可知二面角H BD C --为锐角， 所以二面角H BD C --的大小为60o .考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、直线和平面所成的角；3、二面角.18.（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，()(1)e x f x x a '=++，因为0x e >，所以'()0f x >的解集为(1,)a --+∞，即单调递增区间；'()0f x <的解集为(,1)a -∞--，即单调递减区间；（Ⅱ）函数2()x a g x xe x -=-，令()0g x =，得()0x a x e x --=，显然0x =是一个零点，记()e x a F x x -=-，求导得()e 1x a F x -'=-，易知(,)x a ∈-∞时()F x 递减；(,)x a ∈+∞时()F x 递增，故()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-，又1a <，故10a ->，即()0F x >，所以函数()g x 的零点个数1个.试题解析：（Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++．令()0f x '=，得1x a =--．当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：x(,1)a -∞-- 1a -- (1,)a --+∞ ()f x ' -0 + ()f x↘ ↗ 故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．19.（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.【答案】（Ⅰ）34k <；（Ⅱ）55. 【解析】考点：1、直线的方程；2、直线和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.20.（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若11 4,2a q==，求nT；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n，都有21nT n=+，证明：120122()13q<<.（Ⅲ）证明：n nS T=（1,2,3,n=L）的充分必要条件为1,a qN N**挝.【答案】（Ⅰ）,6,2,4,17, 3.nnnTn==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.（Ⅱ）证明：因为201421()nT n n=+≤，所以113b T==，120142(2)n n nb T T n-=-=≤≤.因为[]n nb a=，所以1[3,4)a∈，2014[2,3)(2)na n∈≤≤.由21aqa=，得1q<.因为 201220142[2,3)a a q =∈， 所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q <<，即 120122()13q <<.考点：1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件.。
北京市西城区-第一学期期末考试高三数学理及答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4)（D ）(8,)侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）2 x3ya321258zE FCB A已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p，16q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则CAB AB AB ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A ，()P B p .所以()()()()P C P AB P AB P AB ……………… 5分111(1)222p pp1122p . ……………… 6分 因为114()225P C p ， 所以35p. ……………… 7分 又因为113p q ，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k )8)(8(32)(102212121--++-=x x k x x k x kx 0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ， 所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
北京市西城区2015届高三二模数学理考试试题
北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设集合，集合，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．847．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞3B ．a ＜ 3C ．a ＞ 4D ．a ＜ 4 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最 小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ． 12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则PA ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数，其中a∈R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分13 分）无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知＝46，求的值．。
北京市西城区2015届高三一模考试数学理试卷(word)-含答案
北京市西城区2015 年高三一模试卷数学（理科）2015.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
＝，则实数a的取值范围是（）1．设集合A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若A BA．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤02．复数z 满足z ⋅i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（）A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．半于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数f (x)为增函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )7． 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )A ．2 枝玫瑰的价格高B ．3 枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定8． 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A (0，a )，若 在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(1，3)B ．(2，4)C ．（32，3）D ．（52，3） 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9． 已知平面向量a , b 满足a = (1, −1), (a + b ) ⊥ (a − b ),那么｜b ｜＝ .10．已知双曲线()222210x y a b a b=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2 = 8x 的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .11．在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若则a = .12．若数列{a n }满足a 1 = 2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a +=+ , 则3a = ； 数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .13．某种产品的加工需要 A , B , C , D , E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）14．如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F (x )，则函数F(x)的单调增区间是；最大值为.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）设函数（Ⅰ）当，时，求函数 f (x)的值域；（Ⅱ）已知函数y = f (x)的图象与直线y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．16．（本小题满分13 分）2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD是边长为4 的正方形，EF∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC = 2EF ，AE = AF ，点G 是EF 的中点。
2015西城区高三二模数学(理)试题及答案
北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷 3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I卷（选择题共40 分）1．设集合，集合 ，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A ．B ．21C ．42D ．847．若“ x ＞1 ”是“不等式2x> a - x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞3B ．a ＜ 3C ．a ＞ 4D ．a ＜ 4 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最 小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．12．如图，P 为O 外一点，P A 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2P A ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则P A ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13 分）已知函数，其中a∈R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分13 分）无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知＝46，求的值．。
北京市西城区2015届高三上学期期末考试物理试题 Word版含答案
北京市西城区2014—2015学年度第一学期期末试卷高三物理 2015.1本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
共100分。
考试时间为120分钟。
第一卷（共48分）一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
） 1．关于加速度，下列说法正确的是 A ．物体速度变化越大，加速度越大 B ．物体速度变化越快，加速度越大C ．物体位置变化越大，加速度越大D ．物体位置变化越快，加速度越大2．小明家住十层，他乘电梯从一层直达十层。
则下列说法正确的是 A ．他始终处于超重状态 B ．他始终处于失重状态C ．他先后处于超重、平衡、失重状态D ．他先后处于失重、平衡、超重状态3．一列简谐横波沿x 轴传播，某时刻的波形如图所示，质点a 、b 均处于平衡位置，质点a 正向上运动。
则下列说法正确的是A ．波沿x 轴负方向传播B ．该时刻质点b 正向上运动C ．该时刻质点a 、b 的速度相同D ．质点a 、b 的振动周期相同4．一物体质量为m ，在北京地区它的重力为mg 。
假设地球自转略加快，该物体在北京地区的重力为mg'。
则下列说法正确的是A ．mg' > mgB ．mg' < mgC ．mg'和mg 的方向都指向地心D ．mg'和mg 的方向都指向北京所在纬线圈的圆心5．如图所示，大小相同的力F 作用在同一个物体上，物体分别沿光滑水平面、粗糙水平面、光滑斜面、竖直方向运动一段相等的距离s ，已知力F 与物体的运动方向均相同。
粗糙水平面光滑水平面光滑斜面竖直方向FFFFab则上述四种情景中都相同的是 A ．拉力F 对物体做的功 B ．物体的动能增量 C ．物体加速度的大小 D ．物体运动的时间6．把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A 位置，如图甲所示。
迅速松手后，球升高至最高位置C （图丙），途中经过位置B 时弹簧正处于原长（图乙）。
忽略弹簧的质量和空气阻力。
北京市西城区高三数学上学期第一次模拟试卷 理(含解析)
北京市西城区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，若A∩B=∅，则实数a的范围是( )A．a≤1B．a≥1C．a≥0D．a≤02．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ是( )A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．关于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为( )A．4 B．5 C．6 D．75．设函数f（x）的定义域为R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )A．B．C．D．77．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同D．不确定8．已知抛物线y=和y=﹣x2+5所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a的取值范围是( )A．（1，3）B．（2，4）C．（，3）D．（，4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知平面向量，满足=（1，﹣1），（+）⊥（﹣），那么||=__________．10．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为__________．11．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，cosB=，b=2，则a=__________．12．若数列{a n}满足a1=﹣2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=__________；数列{a n}前10项的和S10=__________．13．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有__________种．（用数字作答）14．如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是__________；最大值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=4cosxsin（x﹣）+，x∈R（Ⅰ）当x∈[0，]，时，求函数 f （x）的值域；（Ⅱ）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．16．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）17．如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（1）证明：AG⊥平面ABCD．（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG 的长．（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．设n∈N*，函数f（x）=，函数g（x）=，x∈（0，+∞），（1）当n=1时，写出函数y=f（x）﹣1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值．19．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称．（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．20．已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P k（x k，y k）（k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），与（i=2，3，4…k）中有且只有一个成立．（1）写出满足k=4且P4（1，1）的所有点列；（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得+=2k；（3）当k=2n﹣1且P2n﹣1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求的最大值．北京市西城区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，若A∩B=∅，则实数a的范围是( ) A．a≤1B．a≥1C．a≥0D．a≤0考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A∩B=∅，可知集合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，即得答案．解答：解：∵集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，且A∩B=∅，∴集合B中最小元素要大于等于集合A中最大元素，从而a≥1，故选：B．点评：本题考查集合的运算，弄清交集的定义是解决本题的关键，属基础题．2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ是( )A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．关于极点对称的图形 D．关于极轴对称的图形考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，可得（x﹣1）2+y2=1，即可得出．解答：解：曲线ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，因此表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆，关于极轴对称．故选：D．点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，n的值，当x=243时，满足条件x ＞100，退出循环，输出n的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=3，n=1不满足条件x＞100，x=9，n=2不满足条件x＞100，x=27，n=3不满足条件x＞100，x=81，n=4不满足条件x＞100，x=243，n=5满足条件x＞100，退出循环，输出n的值为5．故选：B．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的x，n的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．设函数f（x）的定义域为R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若函数f（x）为增函数，则f（x+1）＞f（x）成立，若f（x）=x，满足∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”，则函数f（x）为增函数不成立，即“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义是解决本题的关键．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )A．B．C．D．7考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，故几何体的体积V=8﹣=，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同D．不确定考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m，n，即可得出．解答：解：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m=5，n=8，∴2x﹣3y=5（2x+y）+8（﹣x﹣y）＞5×8﹣5×8=0，因此2x＞3y，∴2枝玫瑰的价格高．故选：A．点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知抛物线y=和y=﹣x2+5所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a的取值范围是( )A．（1，3）B．（2，4）C．（，3）D．（，4）考点：定积分在求面积中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由图可知过两曲线的交点的直线与x轴的交点为（0，4），所以a＜4．当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x1，），则其对称点为（﹣x1，2a﹣），将其代入曲线y=﹣x2+5，得到的关于x1的方程的解有且只有两个，由根的判别式大于0得，从而可得结果．解答：解：显然，过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一曲线上．当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x1，y1），其中，且﹣4≤x1≤4，则其关于点A的对称点为（﹣x1，2a﹣y1），所以这个点在曲线y=﹣x2+5上，所以2a﹣y1=﹣x12+5，即2a﹣=﹣x12+5，所以2a=x12+5，即x12+5﹣2a=0，此方程的x1的解有且只有两个，从而，解得．当=﹣x2+5，即点A（0，4）时，此时只有一对满足题意的关于A点的对称点，故a＜4，所以，故选：D．点评：本题考查点的对称性、一元二次方程根的判别式，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知平面向量，满足=（1，﹣1），（+）⊥（﹣），那么||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直，数量积为0，得到两个向量的模相等；向量的模等于坐标平方和的算术平方根．解答：解：因为（+）⊥（﹣），所以（+）•（﹣）=0，所以=0，所以||=||=；故答案为：．点评：本题考查了向量垂直的性质以及向量模的求法，属于基础题．10．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的标准方程y2=8x，可得焦点为（2，0）．进而得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．解答：解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为（2，0）．由题意双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，∴c=2．又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线的方程为．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质与方程，考查抛物线的性质，熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．11．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，cosB=，b=2，则a=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：cosB=，B∈（0，π），可得sinB=．再利用正弦定理可得：，即可得出．解答：解：∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==．由正弦定理可得：，∴==．故答案为：．点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．若数列{a n}满足a1=﹣2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=﹣6；数列{a n}前10项的和S10=﹣110．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，取m=1，则a n+1﹣a n=a1=﹣2，可得数列{a n}是等差数列，首项为﹣2，公差为﹣2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解答：解：∵对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，∴取m=1，则a n+1﹣a n=a1=﹣2，∴数列{a n}是等差数列，首项为﹣2，公差为﹣2，∴a n=﹣2﹣2（n﹣1）=﹣2n．∴a3=﹣6，∴数列{a n}前10项的和S10==﹣110．故答案分别为：﹣6；﹣110．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有24种．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，结合A必须在D的前面完成，可得结论．解答：解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，故答案为：24．点评：本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．14．如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是，；最大值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离．分析：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，OE==．∴S△OBC==．∴F（x）==×1=（0＜x＜）．F′（x）=，令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．因此当x=时，F（x）取得最大值，==．故答案分别为：，．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=4cosxsin（x﹣）+，x∈R（Ⅰ）当x∈[0，]，时，求函数 f （x）的值域；（Ⅱ）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），由x∈[0，]和三角函数的性质可得值域；（Ⅱ）由题意可得sin（2x﹣）=，可得2x﹣=2kπ+或2x﹣=2kπ+，解方程可得x的值，可得答案．解答：解：（Ⅰ）化简可得f（x）=4cosxsin（x﹣）+=4cosx（sinx﹣cosx）+=2sinxcosx﹣2cos2x+=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x﹣）∈[﹣，2]，∴函数 f （x）的值域为[﹣，2]；（Ⅱ）由题意可得2sin（2x﹣）=1，∴sin（2x﹣）=，∴2x﹣=2kπ+或2x﹣=2kπ+，解得x=kπ+或x=kπ+，k∈Z∴相邻两个交点间的最短距离为．点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的值域，属中档题．16．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论．（Ⅱ）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论．（Ⅲ）根据条件直接写出结论．解答：解：（Ⅰ）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（Ⅱ）X的可能值为6，7，8，9，10．统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）==，P（X=7）=，P（X=8）==，P（X=9）==，P（X=10）==，则X的分布列为：X 6 7 8 9 10P则EX=6×+7×=．（Ⅲ）s∈（20，22]．点评：本题主要考查概率和统计的综合应用，以及离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的运算能力．17．如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（1）证明：AG⊥平面ABCD．（2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG 的长．（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理得到线面垂直．（2）利用题中的已知条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步以相面的夹角为突破口求出AG的长．（3）首先假设存在点，进一步利用线面平行建立等量关系，利用法向量求出点的存在．解答：证明：（1）因为：AE=AF，点G是EF的中点，所以：AG⊥EF，又因为：EF∥AD，所以：AG⊥AD，由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，所以：AG⊥平面ABCD．（2）解：由（1）得：AG⊥平面ABCD．所以：AG、AD、AB两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，四边形ABCD是边长为4的正方形，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．所以：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t＞0），则：E（0，1，t），F（0，﹣1，t），所以：，，，设平面ACE的法向量为：，由，解得：，所以：，直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以：==解得：t2=1或，所以：AG=1，或AG=，（3）解：假设线段AC上存在一点M，使MG∥平面ABF，设，则：，由，得：，设AG=t（t＞0），则：，所以：=（﹣4λ，﹣4λ，t），设平面ABF的法向量为：，，解得：，由于：MG∥平面ABF，所以：，即：﹣4λt+t=0，解得：，所以：，此时，即当时，MG∥平面ABF．点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理．空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，利用向量的共线证明线面平行，存在性问题的应用．主要考查学生的空间想象能力及问题的应用能力．18．设n∈N*，函数f（x）=，函数g（x）=，x∈（0，+∞），（1）当n=1时，写出函数y=f（x）﹣1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，且求出f（x）的定义域，分别令导函数大（小）于0列出关于x的不等式，求解即得函数的递增（减）区间，由最大值小于零及函数的图象可知函数不存在零点；（2）同（1）分别求出函数f（x）的最大值与g（x）的最小值，根据题意，只需曲线在直线l：y=1的下方，而曲线在直线l：y=1的上方即可．解答：（1）证明：结论：函数y=f（x）﹣1不存在零点．当n=1时， f（x）=，求导得，令f′（x）=0，解得x=e．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：x （0，e） e （e，+∞）f′（x）+ 0 ﹣f（x）↑ ↓所以函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．则当x=e时，函数f（x）有最大值f（e）=，所以函数y=f（e）﹣1的最大值为f（e）﹣1=，所以函数y=f（x）﹣1不存在零点；（2）解：由函数求导，得，令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：x （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣f（x）↑ ↓所以函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，则当x=时，函数f（x）有最大值；由函数g（x）=，x∈（0，+∞）求导，得，令g′（x）=0，解得x=n，当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：x （0，n）n （n，+∞）g′（x）﹣0 +g（x）↓ ↑所以函数g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增，则当x=n时，函数g（x）有最小值g（n）=，因为对任意的n∈N*，函数f（x）有最大值，所以曲线在直线l：y=1的下方，而曲线在直线l：y=1的上方，所以，解得n＜e，又n∈N*，所以n的取值集合为：{1，2}．点评：此题考查学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数零点的判断方法，是一道综合题．19．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称．（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先求F1（﹣1，0），再根据椭圆定义求得a、b即可；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y﹣=k（x﹣1），分别与椭圆方程联立，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），由韦达定理及PB与AQ的中点重合，可解得，从而直线l方程为3x﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．解答：解：（1）∵点P（1，）和F1关于点C（0，）对称，∴F1（﹣1，0），∴椭圆E的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=4，从而a=2，b==，故椭圆E的方程为；（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分．理由如下：由题可知直线l、直线PQ的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y﹣=k（x﹣1），由消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，根据题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2=，x1x2=，由消去y，得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣12k）x+4k2﹣12k﹣3=0，由△＞0，可知，设Q（x3，y3），又P（1，），则1+x3=，1•x3=，若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ的中点重合，所以，即x1﹣x2=1﹣x3，故，所以（）2﹣4•=（1﹣）2，解得，从而直线l方程为3x﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．20．已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P k（x k，y k）（k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），与（i=2，3，4…k）中有且只有一个成立．（1）写出满足k=4且P4（1，1）的所有点列；（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得+=2k；（3）当k=2n﹣1且P2n﹣1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求的最大值．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由新数列的定义，列举即可得到；（2）首先判断数列{x i+y i}是公差为1的等差数列，再假设存在点列T，使得+=2k，即k（k+3）=2k，推出矛盾即可得证；（3）化简整理，可令t=x1+x2+…+x2n﹣1，则=t[（n+1）（2n﹣1）﹣t]，考虑f（t）=t[（n+1）（2n﹣1）﹣t]，①当n为奇数时，可得（n+1）（2n﹣1）为正整数，②当n为偶数时，可得（n+1）（2n﹣1）不为正整数，（n+1）（2n﹣1）﹣是离其最近的正整数，构造数列，即可得到结论．解答：解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；（2）证明：由已知x i+y i=x i﹣1+y i﹣1+1，则数列{x i+y i}是公差为1的等差数列，由x1+y1=2，可得x i+y i=i+1（i=1，2，…，k），+=（x i+y i）=2+3+…+（k+1）=k（k+3），若存在点列T，使得+=2k，即k（k+3）=2k，即k（k+3）=2k+1，由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，故对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得+=2k；（3）由已知y i=i+1﹣x i（i=1，2，…，2n﹣1），=（x1+x2+…+x2n﹣1）（2﹣x1+3﹣x2+…+2n﹣x2n﹣1）=（x1+x2+…+x2n﹣1）（（2+3+…+2n）﹣（x1+x2+…+x2n﹣1）），令t=x1+x2+…+x2n﹣1，则=t[（n+1）（2n﹣1）﹣t]，考虑f（t）=t[（n+1）（2n﹣1）﹣t]，①当n为奇数时，可得（n+1）（2n﹣1）为正整数，构造数列{x i}：1，2，…，（n+1），…，（n﹣1），（n﹣1）+1，…，n，对应数列{y i}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．而此时x1+x2+…+x2n﹣1，=1+2+…+n+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）=1+2+…+n+（n+1）（n﹣1）=n（n+1）（2n﹣1），所以t=（n+1）（2n﹣1），的最大值为（n+1）2（2n﹣1）2；②当n为偶数时，可得（n+1）（2n﹣1）不为正整数，（n+1）（2n﹣1）﹣是离其最近的正整数，构造数列{x i}：1，2，…，n，…，n，n+1，n+2，…，n，对应数列{y i}：1，1，…，1，2，…，n+1，n+1，n+2，…，n+n，…，n．而此时x1+x2+…+x2n﹣1，=1+2+…+n+n+…+n+n+1…+n+1=（n+1）（2n﹣1）﹣，所以t=（n+1）（2n﹣1）﹣，的最大值为（n+1）2（2n﹣1）2﹣．点评：本题考查递推数列的求和，同时考查考查等差数列的求和公式，理解新数列和分类讨论的思想方法是解题的关键，属于难题．。
北京市西城区高三数学上学期期末试卷 理(含解析)
北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}2．（5分）设命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+|| C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+|| 3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．sinA=D．sinA=4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2 B．1 C．0 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az12．（5分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且AC=2AE，那么=；∠A=．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是．（用数字作答）14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m ＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：B={x|x2﹣x＜2}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+|| C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由命题的否定的定义知命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．解答：解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．点评：本题考查命题的否定，解题时要熟练掌握基本定义．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．sinA=D．sinA=考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：把a=2b，利用正弦定理化简得：sinA=2sinB，将sinB=代入得：sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．解答：解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．5．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若b=0，则f（x）=3x为奇函数，则充分性成立，若函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣3x+bcosx=﹣3x﹣bcosx，即b=﹣b，解得b=0，即“b=0”是“函数f（x）为奇函数”充分条件和必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC=OD=OA=1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2 B．1 C．0 D．3考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由不等式组作出平面区域D，结合得到，再一次作出可行域，然后求线性目标函数z=a+b的最大值．解答：解：由作出平面区域D如图，联立，解得D（﹣1，﹣1），由，得，作出可行域如图，令z=a+b，由图可知，当b=﹣a+z过R（1，1）时z最大为2．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=1．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数可得z=﹣i，由模长公式可得．解答：解：化简可得复数===﹣i∴|z|=|﹣i|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的b=4，由双曲线的定义可得a=2，进而得到双曲线方程，由a，b，c的关系求得c，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：=1（a＞0）的b=4，由双曲线的定义，可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即a=2，c==2．则双曲线的方程为，离心率e==．故答案为：，．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先利用每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，再利用每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=，进而求出x，即可求出x+y+z．解答：解：因为每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，又因为每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=由第一列，可得x=，所以x+y+z=．故答案为：．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力．12．（5分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且AC=2AE，那么=；∠A=．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：证明△AEF∽△ACB，可得===，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴===，∴EF=1，故∠EOF=，故∠B+∠C=，∴∠A=，故答案为：，点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是96．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决解答：解：先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96，故答案为：96点评：本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理，属于基础题14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13条．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解答：解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．故答案为：13．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=，易得最小正周期为4π，解不等式可得单调递增区间；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，易得要求正切值．解答：解：（Ⅰ）化简可得==，由周期公式可得．∴函数f（x）的最小正周期为4π，由可解得，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，∴．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据p++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的范围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．解答：（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．…（2分）又因为，所以q=．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 ﹣2P…（9分）则．…10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 ﹣1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，从而A1F∥EC，由此能证明A1F∥平面B1CE．（Ⅱ）以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣EC﹣D的余弦值．（Ⅲ）过点F作FM⊥A1B1于点M，则FM⊥平面A1ABB1，由此能求出当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．解答：（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1．又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F，所以A1F∥EC．…（2分）又因为A1F⊄平面B1CE，EC⊂平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE．…（4分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系．…（5分）则A1（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），所以，．设平面A1ECF的法向量为，由，，得令z=1，得．…（7分）又因为平面DEC的法向量为，…（8分）所以，由图可知，二面角A1﹣EC﹣D的平面角为锐角，所以二面角A1﹣EC﹣D的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）解：过点F作FM⊥A1B1于点M，因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，FM⊂平面A1B1C1D1，所以FM⊥平面A1ABB1，所以…（12分）=．因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．…（14分）点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as2﹣as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标．解答：（Ⅰ）解：由题意，得，且f'（x）=2ax﹣b，，由已知，得，即，解得a=2e2，b=3e；（Ⅱ）解：若a=b，则f'（x）=2ax﹣a，，设切点坐标为（s，t），其中s＞0，由题意，得 as2﹣as=lns，①，②由②，得，其中，代入①，得．（*）因为，且s＞0，所以．设函数，，则．令F'（x）=0，解得x=1或（舍）．当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，x （，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗极大值↘所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当时F（x）＜0．因此，当且仅当x=1时F（x）=0．所以方程（*）有且仅有一解s=1．于是t=lns=0，因此切点P的坐标为（1，0）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m ＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出，|FA|=2，|AP|=m﹣4，利用求m的值；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明∠MPF=∠NPF，求出面积，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为，所以a=4，，，…（2分）则，|FA|=2，|AP|=m﹣4．…（3分）因为，所以m=8．…（5分）（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，则有S1=S2，|PM|=|PN|，符合题意．…（6分）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，…（7分）可知△＞0恒成立，且，．…（8分）因为…（10分）===，所以∠MPF=∠NPF．…（12分）因为△PMF和△PNF的面积分别为，，…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知中变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），将n0=2015，代入可得答案．（Ⅱ）由函数，可得对于非负整数x，均有f（x）=x（9﹣x）≤20．当x=4或5时，取到最大值，故 A（n）≤20m，令 g（m）=10m﹣1﹣20m，分析函数的最值上，可得结论；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），则n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．解答：解：（Ⅰ）n1=14+0+8+20=42，n2=20+14=34，n3=18+20=38，n4=18+8=26，n5=14+18=32，n6=18+14=32，…所以 n2015=32．…（3分）证明：（Ⅱ）因为函数，所以对于非负整数x，知f（x）=x（9﹣x）≤20．（当x=4或5时，取到最大值）…（4分）因为 A（n）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m），所以 A（n）≤20m．…（6分）令 g（m）=10m﹣1﹣20m，则g（3）=103﹣1﹣20×3＞0．当m≥3时，g（m+1）﹣g（m）=10m﹣20（m+1）﹣10m﹣1+20m=9×10m﹣1﹣20＞0，所以 g（m+1）﹣g（m）＞0，函数g（m），（m∈N，且m≥3）单调递增．故 g（m）≥g（3）＞0，即10m﹣1＞20m≥A（n）．所以当m≥3时，对于任意的m位自然数n均有A（n）＜10m﹣1．…（9分）解：（Ⅲ）n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…（14分）点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正解理解变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f （a m）．及规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1）的含义是解答的关键．- 21 -。
北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)AqUwMq
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =I （ ） （A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，3sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C ）3sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天2．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥a =2，x =3开始 x y a =x =x +1103y x >+ 输出x结束否是13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ） （A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱7． 设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（ ）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤（D ）2||d AB <A BE CD GH F侧(左)视图正(主)视图俯视图 22111 11长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-． （Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=o，BC AD //，且122A A AD BC ===，B CA 1 D 1 DA B 1C 1E F1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ； （Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1） 投资股市：投资结果 获利不赔不赚亏损概 率121838（2） 购买基金：投资结果 获利不赔不赚亏损概 率p13q（Ⅰ）当2p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由；（Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．22 10．2π311. 22 12．221416x y -=513．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分（Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分 理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤，解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增， 所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+， 所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分 因为 55T S <， 所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分 又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞U ． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD I 平面1A ECF EC =， 平面1111A B C D I 平面11A ECF A F =，所以1A F∥CE.…………………3分又 1A F ⊄平面1B CE ，CE ⊂平面1B CE ，所以 1A F ∥平面1B CE . …………………6分 （Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=o ，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =， 所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，B CA 1 D 1 DAB 1C 1EF所以 90ACD ∠=o ，即AC CD ⊥. …………………7分 因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ， 所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CD C C C =I ，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种 且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =， 所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 38q <， ……………… 4分 因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分 又因为 113p q ++=，0q ≥， 所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分 （Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种， 它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,23b =,222c a b =-=, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅, 所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ， 即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ， 解得 25±=k . ……………… 13分 所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………4分 由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分 因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，x1(,1)21 (1,)+∞()F x '+0 -()F x↗↘…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞U 时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分 当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相 切. …………………13分。
北京市西城区2015(1)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第一部分 易错题4. 在数列}{n a 中，“对任意的*n ∈N ，221++=n n n a a a ”是“数列}{n a 为等比数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点分析：本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，所涉及的知识是等比数列的判断，充要条件的判断是高考的热点，常与函数的单调性、奇偶性、不等式的性质或解集、立体几何、解析几何、数列、概率等知识交汇命题. 解题方法：本题从两个方面判断：一、221++=n n n a a a 是“数列}{n a 为等比数列”的充分条件吗？即221++=n n n a a a 能否推导出“数列}{n a 为等比数列”；二、221++=n n n a a a 是“数列}{n a 为等比数列”的必要条件吗？即“数列}{n a 为等比数列”能否推导出221++=n n n a a a 。
如2015年北京（理科）高考题第4题设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件考点分析：考查了充分条件、必要条件的判定，所涉及的知识是平面与平面平行的判，定和性质。
解题方法：从两个方面判断：一、m β∥能否推出αβ∥； 二、αβ∥能否推出m β∥。
易错题8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）A ．(0,7)B ．(4,7)C ．(0,4)D ．(5,16)-考点分析：本题主要考查了平面向量数量积的运算，在近几年的各省的高考题中出现的频率较高，常与三角函数、数列、解析几何等知识交汇命题.E F D P C A B解题方法：几何图形中的向量数量积运算，一是建立坐标系，借助向量的坐标运算处理，二是取基底，将所涉及的向量全部用基底表示，再进行运算。
2015-2016年北京市西城区高三上学期期末数学(理)试卷
北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○16. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-E FD P C A BB OC A NM第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.F CADPMB E18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2， ，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos 222x x =+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠= ， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠= ，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，z又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =- ，(2,2,2)PD =-- ，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=-- ， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅= n ，0PB ⋅= n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<> m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分 所以 2|22|||3λλ-=， 解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)tt(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d - 与排列1121,,,,n n D d d d d - ：， 因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2， ，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a - ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++ ，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +， 所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ， 先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a - ， 由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a - ， 由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a - ， 以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ， 即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案
北京市西城区 2 0 1 5年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设会合，会合?，则 A I B＝（）（－1? 3）?（1? 3］?［?（－］A ．B ．C． 1? 3） D ．1? 32．已知平面向量，则实数 k ＝（）A ． 4B．－ 4C． 8D．－ 83．设命题 p ：函数在 R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则以下命题中真命题是（）4．履行如下图的程序框图，若输入的，则输出的 s属于（）A．{ 1?2}?B．{1?3}?C．{2?3}?D．{1?3?9}?5．某生产厂商更新设施，已知在将来x 年内，此设施所花销的各样花费总和y（万元）与 x知足函数关系，若欲使此设施的年均匀花销最低，则此设施的使用年限x为（）A ． 3B． 4C．5D． 66．数列为等差数列，知足，则数列前 21项的和等于（）A ．B．21C． 42D． 847．若“x＞ 1 ”是“不等式建立”的必需而不充足条件，则实数a的取值范围是（）A ． a ＞ 3B ． a ＜ 3C． a ＞ 4 D ．a ＜ 48．在长方体，点 M 为AB1的中点，点 P 为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q能够重合），则MP＋PQ的最小值为（）第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线 C ：的离心率为；渐近线的方程为．．已知角的终边经过点（－，）； cos 2 ＝．11 3 4 ，则 cos ＝ ?12．如图， P 为O 外一点， PA是切线，A为切点，割线PBC 与O订交于点B、C，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点，AD 的延伸线交O于点 E．若PB＝3? ，则4PA ＝； AD·DE ＝．13．现有 6 人要排成一排照相，此中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两头，则不一样的排法有种．（用数字作答）14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2， O为AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记， OP 所经过的在正方形 ABCD 内的地区（暗影部分）的面积S ＝ f （x），那么关于函数 f （x）有以下三个结论：①；②随意，都有③随意此中全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13分）在锐角△ ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b ， c ，已知 a ＝7 ，b＝3，．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求△ ABC 的面积．16．（本小题满分 13分）某厂商检查甲、乙两种不一样型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并依据这10个卖场的销售状况，获得如下图的茎叶图．为了鼓舞卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据均匀数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当 a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数目为m，乙型号电视机的“星级”n，比较m，n的大小关系；卖场数目为（Ⅱ）在这 10个卖场中，随机选用 2 个卖场，记 X 为此中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 X 的散布列和数学希望．（Ⅲ）若 a ＝ 1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，依据茎叶图推测 b为什么值时， s2达到最小值．（只要写出结论）17．（本小题满分 14分）如图 1，在边长为 4的菱形 ABCD中，于点 E ，将△ADE沿DE 折起到的地点，使，如图2．⑴求证：平面 BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段 EB 上能否存在一点 P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明原因．18．（本小题满分 13分）已知函数，此中 a R ．⑴当时，求 f (x)的单一区间；⑵a0m0x f (x)｜≤m建立．当＞时，证明：存在实数＞，使得关于随意的实数，都有｜19．（本小题满分 14分）设分别为椭圆 E：x2y21(a b0) 的左、右焦点，点 A 为椭圆 E 的左极点，a2b2点 B 为椭圆 E 的上极点，且｜AB｜＝ 2．⑴若椭圆 E 的离心率为，求椭圆 E 的方程；⑵设 P 为椭圆 E 上一点，且在第一象限内，直线与y轴订交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分 13 分）无量数列P：，知足，关于数列P ，记，此中表示会合中最小的数．（Ⅰ）若数列P:1?3?4?7?，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前 n项的和；（Ⅲ）已知＝ 46，求的值．欢迎接见“高中试卷网”——。
北京市西城区2015届高三二模数学(理)试题 含解析
汽车租赁中的车辆保险费用分摊范本近年来，汽车租赁行业的发展迅速，租车已成为一种常见的出行方式。
然而，在租车过程中，车辆保险费用分摊问题一直备受争议。
为了明确车辆保险费用的分摊范本，保障租车双方的权益，本文将对汽车租赁中的车辆保险费用分摊进行探讨。
一、保险费用的定义及计算方式在汽车租赁中，保险费用指的是为了保障车辆投保人和驾驶人的车辆安全而支付的费用。
计算保险费用时，通常会考虑车辆的价值、车型、驾驶人的驾龄和行驶记录等因素。
二、车辆保险费用的责任划分1.基本强制保险根据我国法律规定，每一辆机动车都必须购买基本强制保险，即交强险。
交强险保障的是在道路交通事故中由被保险人负责的人身伤亡、财产损失责任，费用由所有机动车车主共同分摊。
2.商业保险除了基本强制保险外，车辆租赁公司还可以按照客户的需求为租车提供商业保险，例如车损险、第三者责任险等。
商业保险的费用由租车双方通过协商决定，并在租车合同中明确注明。
三、车辆保险费用分摊的原则1.保险费用由使用方承担汽车租赁中，保险费用应由租车使用方承担。
使用方在租车之前应明确了解并同意支付相应的保险费用。
2.按照使用时间分摊车辆保险费用的分摊应根据租车的使用时间进行合理划分。
通常情况下，按照天数进行分摊是一种常见的方式。
四、车辆保险费用的分摊例子假设小明在租赁一辆汽车，租期为7天，每日租金为100元，保险费用为50元/天。
则车辆保险费用的分摊可以按照以下方式计算：保险费用总额 = 每日保险费用 ×租期天数保险费用总额 = 50元/天 × 7天 = 350元小明需要支付的保险费用 = 每日租金 ×租期天数 ×保险费用占租金比例小明需要支付的保险费用 = 100元 × 7天 × 50% = 350元五、车辆保险费用的支付方式车辆保险费用的支付方式可以根据租车双方的协商而定。
一种常见的做法是，在租车时支付全部保险费用，然后在还车时根据实际使用天数进行退还或调整。
北京市西城区2015届高三一模考试数学理试题--答案
北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．2213y x -=11．7 12．8- 682 13．2414．6(0,]2 (或写成6(0,)2) 18注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3)cos 23sin 21(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分 3cos 32cos sin 22+-=x x xx x 2cos 32sin -= ……………… 3分=π2sin(2)3x -， ……………… 5分因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， ……………… 6分所以 sin(3π2)123x --≤≤， 即3()2f x -≤≤， 其中当5π12x =时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为]2,3[-. ……………… 9分（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， ……………… 10分 所以ππ22π36x k -=+或 π5π22π36x k -=+， ……………… 12分所以ππ4x k =+或 7ππ12x k =+()k ∈Z ，所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为π3. …… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． ………………4分 （Ⅱ）解：X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. ……………… 5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120， 20120，即12，13，16，……………… 6分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16．所以 111(6)224P X ==⨯=，11111(7)23323P X ==⨯+⨯=，1111115(8)26623318P X ==⨯+⨯+⨯=，11111(9)36639P X ==⨯+⨯=，111(10)6636P X ==⨯=，……………… 8分所以随机变量X 的分布列为： X 678910 P14 13 518 19 136FCAD BG Ez xy……………… 9分所以1151122()67891043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. ……………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.……………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -， 所以(4,1,)BF t =--，(4,4,0)AC =，(0,1,)AE t =. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =，由 0AC n ⋅=，0AE n ⋅=，得440,0,x y y tz +=+=⎧⎨⎩令 1z =, 得(,,1)n t t =-. ……………7分因为BF 与平面ACE 所成角的正弦值为69，所以 6cos ,9||||BF n BF n BF n ⋅<>==⋅， ……………8分即222691721t t t =+⋅+， 解得21t =或2172t =.所以1AG =或342. ……………9分（Ⅲ）解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，设AM ACλ=，则 AM AC λ=，由 (4,4,0)AC =，得(4,4,0)AM λλ=， ……………10分 设 (0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =，所以 (4,4,)MG AG AM t λλ=-=--. ……………11分 设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =， 因为 (0,1,)AF t -=，(4,0,0)AB =， 由 0AF m ⋅=，0AB m ⋅=，得1110,40,y tz x -+==⎧⎨⎩令 11z =, 得(0,,1)t m =， ……………12分 因为 MG //平面ABF ，所以 0MG m =⋅，即04t t λ+=-，解得 14λ=. 所以14AM AC =，此时13AM MC =， 所以当13AM MC =时， MG //平面ABF . ……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x-'=， ……………2分 令()0f x '=，解得e x =. ……………3分 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x (0,e) e (e,)+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当e x =时，函数()f x 有最大值1(e)e f =. ……………4分 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分 （Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘……………7分 所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减， 则当1e nx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =； ……………8分 由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x +-'=， ……………9分令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：x(0,)n n(,)n +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()ng n n=. ……………11分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<， 所以曲线ln n xy x =在直线1l y =：的下方，而曲线e x n y x=在直线1l y =：的上方，所以e()1nn>， ……………12分 解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，223b a c =-=. ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. …………… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y , 得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分 （Ⅱ）证明：由已知，得111i i i i x y x y --+=++，所以数列{}i i x y +是公差为1的等差数列．由112x y +=，得1i i x y i +=+（1,2,,i k =）． ……………… 3分故11kki i i i x y ==+∑∑1()ki i i x y ==+∑23(1)k =++++1(3)2k k =+． ……………… 5分 若存在点列T ，使得112k kki i i i x y ==+=∑∑，则1(3)22k k k +=，即1(3)2k k k ++=． 因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥， 而整数12k +中不含有大于1的奇因子，所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足112kkk i i i i x y ==+=∑∑． ………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，1(1,2,,21)i i y i x i n =+-=-，所以1221122111()(232)kki i n n i i x y x x x x x n x --==⨯=+++-+-++-∑∑12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++， 令1221n t x x x -=+++，则11[(1)(21)]kki i i i x y t n n t ==⨯=+--∑∑. ……………… 10分考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--．（1）当n 为奇数时，可得1(1)(21)2n n +-是正整数，可构造数列{}i x ：1111,2,,(1),,(1),(1)1,,222n n n n n ++++项，对应数列{}i y ：1,1,,1,2,,,,n n n 项．（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)11112(1)(1)(1)222n n x x x n n n n --+++=++++++++++个112(1)(1)2nn n =+++++-1(1)(21)2n n =+-， 所以当1(1)(21)2t n n =+-时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值221(1)(21)4n n +-．……………12分（2）当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而11(1)(21)22n n +--是离其最近的正整数，可构造数列{}i x ：(221,2,,,,,(1),,(1),2,,22222nn n n n n n n ++++1)项项，对应数列{}i y ：221,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222nn n n n n nn ++++（+1)项项，（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)2212(1)(1)2222n n nn n nn x x x n --+++=+++++++++++个个12(1)(1)2222nn n nn=++++⨯++⨯-11(1)(21)22n n =+--，所以当11(1)(21)22t n n =+--时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值2211(1)(21)44n n +--．……………… 13分。
2015西城一模 北京市西城区2015届高三一模考试数学(理)试题及答案
北京市西城区2015年高三一模试卷数 学（理科）2015西城一模2015.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1a ≤（B ）1a ≥（C ）0a ≥（D ）0a ≤3. 在极坐标系中，曲线2cos ρ=θ是（ ）（A ）过极点的直线 （B ）半径为2的圆 （C ）关于极点对称的图形 （D ）关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3， 则输出的n 的值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限8. 已知抛物线214y x =和21516y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ）5．若函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）476（B ）233（C ）152（D ）77. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定（A ）(1,3) （B ）(2,4) （C ）3(,3)2（D ）5(,4)2侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____. 11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π3A =，cos B =2b =，则a =____. 12．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．13. 某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答）14. 如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1， 记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单 调增区间是____；最大值为____.BADC三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设函数π()4cos sin()3f x x x =-x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘乘公共电汽车 方案 10公里（含）内2元； 10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.乘坐地铁方案（不含机场线） 6公里（含）内3元； 6公里至12公里（含）4元； 12公里至22公里（含）5元； 22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.O票价(元)345坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =, AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为9，求AG 的长；（Ⅲ）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG //平面ABF ？若存在，求出AM MC的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不FCADBG E存在，说明理由.20．（本小题满分13分）已知点列111222:(,),(,),,(,)k k k T P x y P x y P x y (*k ∈N ，2k ≥)满足1(1,1)P ，且111,i i ii x x y y --=+⎧⎨=⎩与11,1i i ii x x y y --=⎧⎨=+⎩(2,3,,i k =) 中有且仅有一个成立．（Ⅰ）写出满足4k =且4(3,2)P 的所有点列；（Ⅱ） 证明：对于任意给定的k （*k ∈N ，2k ≥），不存在点列T ，使得112k kki i i i x y ==+=∑∑；（Ⅲ）当21k n =-且21(,)n P n n -（*,2n n ∈N ≥）时，求11k ki i i i x y ==⨯∑∑的最大值．北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 10．2213y x -=11 12．8- 68213．2414． (或写成) 18注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3)cos 23sin 21(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分 3cos 32cos sin 22+-=x x xx x 2cos 32sin -= ……………… 3分=π2sin(2)3x -， ……………… 5分因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， ……………… 6分所以 sin(π2)123x --≤，即()2f x ≤， 其中当5π12x =时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为]2,3[-. ……………… 9分（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， ……………… 10分 所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36x k -=+， ……………… 12分 所以ππ4x k =+或 7ππ12x k =+()k ∈Z ， 所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为π3. …… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． ………………4分 （Ⅱ）解：X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. ……………… 5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120， 20120，即12，13，16， ……………… 6分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16．所以 111(6)224P X ==⨯=，11111(7)23323P X ==⨯+⨯=，1111115(8)26623318P X ==⨯+⨯+⨯=，11111(9)36639P X ==⨯+⨯=，111(10)6636P X ==⨯=，……………… 8分所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分所以1151122()67891043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. ……………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. ……………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -， 所以(4,1,)BF t =--，(4,4,0)AC =，(0,1,)AE t =. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =， 由 0AC n ⋅=，0AE n ⋅=，得440,0,x y y tz +=+=⎧⎨⎩令 1z =, 得(,,1)n t t =-.……………7分因为BF 与平面ACE 9所以 6cos ,9||||BF n BF n BF n ⋅<>==⋅，……………8分即=， 解得21t =或2172t =.所以1AG =或2. ……………9分（Ⅲ）解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，设AM ACλ=，则 AM AC λ=，由 (4,4,0)AC =，得(4,4,0)AM λλ=， ……………10分 设 (0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =，所以 (4,4,)MG AG AM t λλ=-=--. ……………11分 设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =， 因为 (0,1,)AF t -=，(4,0,0)AB =， 由 0AF m ⋅=，0AB m ⋅=，得1110,40,y tz x -+==⎧⎨⎩令 11z =, 得(0,,1)t m =， ……………12分 因为 MG //平面ABF ，所以 0MG m =⋅，即04t t λ+=-，解得 14λ=. 所以14AM AC =，此时13AM MC =， 所以当13AM MC =时， MG //平面ABF . ……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x-'=， ……………2分 令()0f x '=，解得e x =. ……………3分 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当e x =时，函数()f x 有最大值1(e)e f =. ……………4分 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分 （Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x+-'=， 令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：……………7分 所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减， 则当1e nx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =； ……………8分 由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x +-'=， ……………9分令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()ng n n=. ……………11分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<， 所以曲线ln n xy x =在直线1l y =：的下方，而曲线e x n y x=在直线1l y =：的上方，所以e ()1nn>， ……………12分解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. …………… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y , 得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分 （Ⅱ）证明：由已知，得111i i i i x y x y --+=++，所以数列{}i i x y +是公差为1的等差数列．由112x y +=，得1i i x y i +=+（1,2,,i k =）． ……………… 3分故11kki i i i x y ==+∑∑1()ki i i x y ==+∑23(1)k =++++1(3)2k k =+． ……………… 5分 若存在点列T ，使得112k kki i i i x y ==+=∑∑，则1(3)22k k k +=，即1(3)2k k k ++=． 因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥， 而整数12k +中不含有大于1的奇因子，所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足112kkk i i i i x y ==+=∑∑． ………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，1(1,2,,21)i i y i x i n =+-=-，所以1221122111()(232)kki i n n i i x y x x x x x n x --==⨯=+++-+-++-∑∑12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++，令1221n t x x x -=+++，则11[(1)(21)]kki i i i x y t n n t ==⨯=+--∑∑. ……………… 10分考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--． （1）当n 为奇数时，可得1(1)(21)2n n +-是正整数，可构造数列{}i x ：1111,2,,(1),,(1),(1)1,,222n n n n n ++++项，对应数列{}i y ：1,1,,1,2,,,,n n n 项．（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)11112(1)(1)(1)222n n x x x n n n n --+++=++++++++++个112(1)(1)2n n n =+++++-1(1)(21)2n n =+-，所以当1(1)(21)2t n n =+-时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值221(1)(21)4n n +-．……………12分（2）当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而是离其最近的正整数，可构造数列{}i x ：(221,2,,,,,(1),,(1),2,,22222nn n n n n n n ++++1)项项，对应数列{}i y ：221,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222nn n n n n nn ++++（+1)项项，（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)2212(1)(1)2222n n nn n nn x x x n --+++=+++++++++++个个12(1)(1)2222n n n n n =++++⨯++⨯-11(1)(21)22n n =+--，所以当11(1)(21)22t n n =+--时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值2211(1)(21)44n n +--．……………… 13分。
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北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4) （D ）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 120．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==. ………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =.所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-.设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角， 所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >, 由题意，得 2ln as as s -=， ①12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠， 代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分 因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =,2c , ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k )8)(8(32)(102212121--++-=x x k x x k x kx 0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ， 所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。