不变子群,商群

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近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2

近世代数课后习题参考答案第二章群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证不一定相同例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3.而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→:ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4．证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。

不变子群的判别条件

不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈∀,都有Ha aH =,那么，就说H 是G 的一个不变子群. 记为：G H .设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭.3．正规化子：N G (H)={g ∈G ︱H g =H}={g ∈G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。

4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系R 满足：aRb, cRd ⇒ acRbd ∀a,b,c ∈A 则称R 为A的一个同余关系。

一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.㈠．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。

10 不变子群商群

§10 不变子群商群定义设G 是一个群，N G ≤，称N 为群G 的子群，若,Na aN a G =∀∈.不变子群N 的一个左（右）陪集称为H 的一个陪集.N 是G 的不变子群，记为.N G例1 设G 为一个群，则G 和{}e 都是群G 的不变子群.{}{}{},.Ga aG G a e e a a ====例2 设G 是一个群，{}|,N n na an a G ==∀∈，则.N G,ea ae a G =∀∈,.e N N ∴∈≠∅12,n n N ∀∈，则1122,,,.n a an a G n a an G =∀∈=∀∈()()()()()()121212121212,.n n a n n a n an n a n an n a n n G ∴=====∀∈ 12.n n N ∴∈n N ∀∈，则,.na an a G =∀∈于是1,,a nan a G -=∀∈()1111,.n a n nan an a G ----==∀∈1,.n N N G -∴∈∴≤下证,.aN Na G =∀∈在aN 中任取一个元素an ，这里.n N ∈n N ∈故an na Na =∈.aN Na ∴⊂同理，.Na aN ⊂.aN Na ∴=.N G ∴该不变子群称为群G 的中心.例3 交换群G 的任一子群H 都是不变子群.设H G ≤，下证.aH Ha =ah aH ∀∈，这里h H ∈.因G 是交换群，故ah ha Ha =∈.aH Ha ∴⊂同理，.Ha aH ⊂例4 3,G S =设()()(){}1,123,132N =，则.N G()()()()()()111,1123123,==()()()1132132,=()()()()()()1231123,123123132,==()()()1231321,=()()()()()()1321132,1321231==都属于N ，N G ∴≤又()()()(){}()()()(){}()()()(){}()()()(){}11,123,132,11,123,132,1212,13,13,1212,13,23,N N N N ==== 故()()()()()()11231321123132,N N N N N N =====()()()()()()122313122313.N N N N N N =====.N G ∴定义设G 是一个群，12,,,m S S S 为集合G 的m 个子集，则把集合{}121122|,,,m m m s s s s S s S s S ∈∈∈称为12,,,m S S S 的乘积，记为12.m S S S 易知()()123123.S S S S S S =这是因为在()123S S S 中任取一个元()123s s s ，这里112233,,s S s S s S ∈∈∈， ()()()123123123.s s s s s s S S S =∈()()123123S S S S S S ⊂.同理()()123123.S S S S S S ⊂定理1 设G 是一个群，N G ≤，则1,.N G nNa N a G -⇔=∴∈注：,,a b G S G ∀∈⊂，把{}{}a S b 记为aSb .把{}a S 记为aS .把{}S b 记为.Sb 易知{}|.aSb asb s S =∈证 “⇒”设N G ，a G ∀∈，则,aN Na G =∀∈.故()()()1111.aNa aN a Na a N aa Ne N ----=====“⇐”设1,aNa N a N -=∀∈，下证1.aNa N -=易知1.aNa N -⊂n N ∀∈，有()1111111.n aa n aa naa a a n a a -------⎡⎤===⎢⎥⎣⎦1a G -∈，()111.a n a N ---∴∈ 1.n aNa -∴∈11..N aNa aNa N --∴⊂∴=设G 是一个群，N G ，{}|S aN a G =∈（即S 为不变子群N 的所有陪集所成的集合）,xN yN S ∀∈，这里,x y G ∈，规定S 的乘法如下：()()().xN yN xy N =这在逻辑上没有问题.设 ,xN x N yN y N ''==，下证()().xy N x y N ''=,,x xe xN x N y ye yN y N ''=∈==∈=()1212,,.x x n y y n n n N ''∴==∈12.xy x n y n ''=N G ，1n y Ny y N '''∴∈=，()()()()133123232,n y y n n N xy x n y n x y n n x y n n x y N ''''''''''∴=∈===∈. ()().xy N x y N ''∴=定理3 色环G 是一个群，N G ，{}|,S aN a G =∈则S 对于以上规定的乘法来说成为一个群.证 1）√2）()()()()()()(),xN yN zN xy N zN xy z N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()().xN yN zN xN yz N x yz N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3）()()().eN xN ex N xN ==4）()()()11.x N xN x x N eN --==定义定理3中的群S 称为群G 的一个商群，记为/.G N 若G 为有限群，N G ，则/.GG N N =习题P741.假定群G 的不变子群N 的阶是2 ，证明，G 的中心包含.N 证设C 为群G 的中心，则{}|,.C c G ca ac a G =∈=∀∈2,N =∴可设{},,N e n =其中e 为群G 的单位元.显然，.e C ∈N G ，∴1,.ana N G -∈∀∈显然，不存在a G ∈使得1anae -=，不然,.an a ae n e ===故1,ana n G -=∀∈，即 ,an na a G =∀∈,.n C N C ∴∈∴⊂2. 证明，两个不变子群的交集还是不变子群.证设G 是一个群，12,N G N G ，则12.N N G ≤12n N N ∀∈，则1,n N ∈且2.n N ∈因12,N G N G ，故,a G ∀∈有 1112,.ana N ana N --∈∈112,.ana N N a G -∴∈∀∈ 12.N N G ∴3. 证明，指数是2的子群一定是不变子群.证设G 是一个群，(),: 2.N G G N ≤=设a G ∈，但a N ∉，因():2G N =，故()()()(),eN aN Ne Na =∅=∅，且()()()().G eN aN Ne Na ==但.eN Ne N ==aN Na ∴=，或.b aN Na ∈=b G ∀∈，b eN ∈或.b aN Na ∈=若b eN ∈，则,.b Ne bN eN Ne Nb ∈===若b aN ∈，则b Na ∈，故.bN aN Na Nb ===∴由不变子群的定义得，.N G4.设H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明，HN 是G 的子群. 证在HN 中任取一个元素11h n ，22h n ，这里1212,,,.h h H n n N ∈∈ 则()11111221122.h n h n h n n h ---=但N G ，H G ≤，1111122212,,n n N Nh h N h h H ----∴∈=∈111111221212.h n n h h Nh h h N HNHN G ----∴∈=⊂∴≤ 5.举例证明，G 的不变子群N 的不变子群1N 未必是G 的不变子群（取4G S =）. 解取4G S =，()()()()()()(){}()()(){}11,1234,1324,1423,1,1234N N ==，则 1,N G N N ，但1N 不是G 的不变子群.。

§3.2 不变子群和商群

1 , i , j , k . 而 1 G显然.又令 N i , x G , 则由于N {1,1, i,i, }, 故易知 {x , x , xi , xi } {x , x , ix ,ix }, 即xN Nx , 从而 i G. 同理可证 j 与 k 也是G的正规子群. 因此G是一个哈密尔顿群 .
G S {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} 3 例4 H {(1), (12)} N {(1), (123), (1 3 2)}
解：因为 H (13) {(13), (123)}
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
G.
r
r r
bN a N ( aN ) 所以 G / N {bN | b G} (aN ) 为循环群.）
b G , b a
练习：
1. 设G 为整数加群, N 5 g g G （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2. G S3 , N {(1), (123), (132)}
性质3 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G的不变子群.
四、不变子群的性质（续）
定理2 群 G 与 G 同态，的同态满射，则
(1)
是G
G
到G
H
G H (H )
G H (H )
1
(2) H
G
四、不变子群的性质（续）定理3 不变子群与子群的乘积是子群；
不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
五、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.

群论第二章ppt

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§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表的重排定理。若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称的。下面给出几个例子例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为自己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。我们称群G与反演群同构。
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§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘积 ug a ，给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
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§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd

近世代数第15讲

近世代数第15讲第15 讲§11 同态与不变⼦群（Homomorphism and normal subgroup)本讲的教学⽬的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任⼀个不G。

由此，我们变⼦群，都可极其⾃然地得到⼀个新的群——商群N都不会怀疑与商群具有密切的联系。

⽽本节的基本内容就是要揭⽰这个内在联系——群的同态基本定理。

该定理确⽴了不变⼦群与商群在群的理论中的重要地位。

在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。

群G的同态象G可以设想是G的⼀个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异⽽⼜维持了中的运算关系。

都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的⼀个⼦群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有⾮单⾮同态，则在同构意义下意味着G的⼀个商群与的⼀个⼦群⼀样。

上述存在的关系就是本节的重点。

为此需要弄清：1、每⼀个同态核都是不变⼦群（这与同态是否为单、满⽆关）2、利⽤⾃然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。

3、真正了解“同态三⾓形”的可交换问题。

4、⼦群（不变⼦群）的同态象和同态完全原象之间的联系。

本讲的重点和难点：本节是以⼦群和商群为基本语⾔，⽤群同态映射为纽带建⽴了⼀套同态理论。

所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。

⼀、群同态及同态核定义1：设G G →:?是⼀个群同态映射，（即G b a b a ab ∈?=,)()()( ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈?叫做?的核，记为)(?Ker 。

即 })(|{)(e x G x K e r =∈=??.结论1：设G G →:?是群同态映射，那么G Ker )(?.证明：设)(?Ker N =.N e e e ∈?=)(? .∴?≠N .N y x G N ∈?≤,:)(.故e e e y x xy ===)()()(.∴N xy ∈.N x ∈?.e e x x ===---111))(()(??.∴N x ∈-1.由上知G N ≤.G g N x G N ∈∈?,)( .e g g g e g g x g gxg ====----)()()()()()()()(1111∴N gxg ∈-1由上知G N结论2：设)(?Ker N =是G G →:?的群同态映射的核，那么?是单同态 }{e N ?.证明：N x ∈?? )(. ∴e x =)(?.⽽显然N e ∈且e e =)(?.于是 )()(e x ??=.但?是单射e x =?.由x 的任意性知}{e N =.)(? 设G y x ∈,且有e y x y x =?=-1)()()()(,即e xy =-)(1? ∴ e xy e N xy =?=∈--11}{.即y x =. ∴?是单射.⼆、群的同态基本定理（FHT ）定理1 设G 为群，⽽N 是G 的任⼀个不变⼦群，那么必有群同态满射N G G →:?，其中：xN x =)(?.证明：显然xN x G x =∈?)(.?（这⾥与教材⼀致，⽤左陪集的形式出现）是⼀个映射，（因为以x 为代表元的做陪集的唯⼀确定的）⼜因为N G aN ∈? ，那么=aN a )(是满射最后, )()()()(,,y x xNyN N xy xy G y x ===∈?∴)()()(y x xy = 即N G G →:?⼀个群同态满射，即N G G ～，或者说，N G 是G 的同态象，及G 与N G 同态。

近世代数复习

第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。

群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。

8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。

9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。

交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。

元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。

若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。

有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。

一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。

定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。

若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。

正规子群,商群与同态基本定理

（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。

·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。

二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群（当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。

群的阶与群中元素的阶的关系

群的阶与群中元素的阶的关系群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements目录１绪论 (1)1.1 群论的概括 (1)1.2 群论的来源 (1)1.3 群论的思想 (2)2 预备知识 (2)2.1 群和子群 (2)群的定义 (2)群的阶的定义 (3)元的阶的定义 (4)子群、子群的陪集 (6)同构的定义 (6)2.2 不变子群与商群 (7)不变子群与商群 (7)Cayley(凯莱)定理 (7)内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (9)3.1 有限群中关于元的阶 (9)有限群中元的阶的有限性 (9)有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)3.2 无限群中关于元的阶 (10)无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 (11)拉格朗日定理 (11)相关结论 (12)4.2 有限交换群的结构定理 (13)有限交换群的结构定理 (13)相关例子 (14)参考文献 (16)致谢·········································································错误!未定义书签。

群论第二章考前复习总结

群论第⼆章考前复习总结第⼆章考前复习总结1.1节群1.对称变换：保持系统不变的变换。

（背）群，，所有对称变换只有6个：2. 群是⼀个集合，其中定义了元素的“乘积”法则，这个集合G满⾜4个条件：封闭性、结合律、存在恒元、逆元，这个集合就称为群。

（背）任何两个元素相乘还在这个集合中（背）任意元素乘恒元等于这个元素（背）元素乘逆元等于恒元。

（背）U(n)群：全体n维⼳正矩阵的集合。

⼳正：O(n)群：全体n维实正交矩阵的集合。

正交：，实正交：矩阵元是实数6)乘积的逆：9)有限群的阶：有限群中的元素数⽬4.循环群及其⽣成元1）循环群：由⼀个元素 Rn：循环群的阶，即有限群的元素个数。

R：循环群的⽣成元循环群的阶和其⽣成元的阶相等。

⽣成元的阶是满⾜的最⼩正整数n。

循环群都是阿贝尔群（阿贝尔群不⼀定是循环群）。

R⽣成的群是⼀个nn R是系统的对称变换，则轴称为n次固有转动轴（n次轴），此时转动R称为n次转动轴的⽅向：转动R由右⼿螺旋法则得到，⼤拇指指向轴的正⽅向。

1）元素R 的周期：由有限群的任⼀元素 R 及其幂次⽣成的集合。

2）有限群的⽣成元：有限群的群元素可以由最⼩数⽬个群元素的乘积⽣成3）有限群的秩：⽣成元的个数4）有限群⽣成元的选择并不唯⼀，但秩不变。

在验证B=DA 这种关系时，正三⾓形的三个字母必须画成：这种情况。

6.有限群的重排定理1）复元素：把有限群部分元素的集合2）群的重排定理（考试简答题）设T 是群G = {E, R, S, …}中任⼀确定元素，则下⾯三个集合与原群G 相同（背）复元素的逆是每个元素取逆7.同构元素是对应的，在这种对应规则下，元素的乘积也是对应的。

群G3）循环群的乘法表4）四阶群（即有4群群：⼀个恒元加3个2阶元素。

其为：5a.含零个三阶元素，即群只含⼀个恒元加5个⼆阶元素。

这种情况不成⽴。

称），⼆阶、三阶、四阶、五阶的群都是阿贝尔群。

6）正N 边形对称变换群1个N 次轴，N 个⼆次轴。

《近世代数》教学大纲

《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程概况适用专业：数学与应用数学课程名称：近世代数课程编码：0741123090教学时数：72二、总则1.本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。

其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。

群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。

2.本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。

要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。

能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。

3.教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。

4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。

本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。

三、课程说明1. 课程代码：（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra2. 课程类别：专业必修课3.学分:4学分4. 学时：72学时5.适用专业：数学与应用数学6. 适用对象：本科7.首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。

二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。

8. 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。

四、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。

学时分配五、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

群论小结

19
定义2 设是A到A’的满射定义到的满射, 的满射称为S在之下的象若SA, 则S’={(a)|a∈S}称为在之下的象; ∈ 称为称为S在若S’A’, 则S={a∈S |(a) ∈S’}称为在之下 ∈ 称为逆象; 的逆象定理3 是两个群, 同态, 定理设G和G’是两个群并且同G’同态那和是两个群并且G同同态么在这个同态满射之下, 么在这个同态满射之下的一个子群H的象的子群; ⑴G的一个子群的象是G’的子群的一个子群的象H’是的子群的一个不变子群N的象的不变子群. ⑵G的一个不变子群的象是G’的不变子群的一个不变子群的象N’是的不变子群定理4 是两个群, 同态, 定理设G和G’是两个群并且同G’同态那么和是两个群并且G同同态在这个同态满射之下, 在这个同态满射之下的一个子群H’的逆象的子群; ⑴G’的一个子群的逆象是G的子群的一个子群的逆象H是的子群的一个不变子群N’的逆象的不变子群. ⑵G’的一个不变子群的逆象是G的不变子群的一个不变子群的逆象N是的不变子群
是一个群, 第一定义 <G, *>是一个群,如果 , *>是一个群 Ⅰ.运算封闭运算封闭； Ⅰ.运算封闭； Ⅱ.结合律成立结合律成立； Ⅱ.结合律成立； Ⅲ.对中任意的中任意的a，方程 * = Ⅲ.对G中任意的，b,方程 a*x=b ， y*a=b 在G中都有解。中都有解。 * = 中都有解
3
2-1 群的定义
群的第二定义是一个群, <G, *>是一个群,如果 , *>是一个群 Ⅰ.运算封闭运算封闭; Ⅰ.运算封闭; Ⅱ.结合律成立结合律成立; Ⅱ.结合律成立; 中存在一个左单位元e; Ⅳ．G中存在一个左单位元中存在一个左单位元 Ⅴ. 对任意 ∈G ,存在一个左逆元 -1 ∈G , 对任意a∈ 存在一个左逆元存在一个左逆元a 使a-1 a=e.

1.4群的各种子集

4）对任意给定的 S G 当Rj取遍所有元素时 SRj S 1 不会有重复
故
类中每个元素只出现一次，仍为自身。
5）对给定的Rj，让S取遍群G所有元素， SRj S 1 会有重复且可证明 Rk SRj S 1 重复次数m(α)都相同 6）类中包含的元素数目是群G阶的因子n(α)=g/m(α) 7）由于共轭关系具有传递性，两个不同的类没有公共元素可将群G按照共轭类进行分割
一个元素R就可以求出R类的所有元素，即
n(α): 类中所含元素数目 gc : 群G所包含的类的数目
性质：
S G, SES1 SS1E E 1）恒元自成一类 2）阿贝尔群的每个元素自成一类 S，R G, SRS1 SS1R R
12
3）若R的阶为m，即Rm=E，则R类所有元素的阶都是m。
7
3. 不变子群（正规子群）定义：若群G的子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等
R j H HRj， R j S S R j
则称子群H为不变子群。
说
明
1） S , S 不一定是同一元素 2）阿贝尔群的所有子群都是不变子群（所有群元素对易） 3）指数为2的子群必为不变子群（d=2，则只有一个陪集） 4）阶为素数的群没有非平庸不变子群证明！
3
2. 陪集的性质
（1）H的两个左（右）陪集，要么有完全相同的元素
要么没有任何公共元素 ——陪集定理证明：设 R1, R2 G,
R1H {R1S ,
R2 H {R2 S ,
R1 , R2 H
S H}
S H}
则由R1,R2生成H两个左陪集
假设两个左陪集有一个公共元素，即
9
例：C4v群

近世代数基础第二章群论

第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。

在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。

学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。

六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。

定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。

（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。

定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。

例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。

例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。

例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。

习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。

●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。

●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。

●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。

（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。

群论所有答案

•任取H3中的某元素Ri 则Ri ∈H1 且 Ri ∈H2 •Ri-1 ∈H1 且 Ri-1 ∈H2 Ri-1 ∈H3 •四个性质都符合即可证明H3也是群G的子群。
2.4 证明当群G的阶数为5，6，或7时，除恒元外，不可能所有元素的阶数都是2 .
d
e
f
1
0
0
sin sin sin cos
0 g h i g h i 0 0 0
进行矩阵乘法运算得到：
d cos g sin sin ecos hsin sin f cos sin sin b a 0
acos g sin cos
asin sin d sin cos
bcos hsin cos bsin sin esin cos
对于H3中的元素Ri、Rj∵H3是H1和H2的交集∴ Ri∈H1 Rj∈H1 Ri∈H2 Rj∈H2∵H1、H2是G的子群满足封闭性∴H1、H2包含Ri、 Rj的乘积即Ri Rj ∈ H1 Ri Rj ∈H2∴Ri Rj ∈H3 H3包含Ri、 Rj的乘积，封闭性即可得到证明 3、恒元
H1、H2是子群，所以必包含恒元E 恒元E是H1、H2的公共元素 E∈H3 4、逆元
X
0
d
0
d
'
b 0 b' 0
令（2）式的两侧同时左乘X，则展开可知：
2 0 0 0
BX
1 2
X
0 0 0
2 0 0
0 1
3
0
3 1
a 3b
3c 3d a' 3b'
3c' 3d ' 2a 0
1 3a 3b
4
3a
3b
3a b

商群

1 因为H是G的子群，所以 aha H .
又因为K是G的不变子群，所以 aha 1 K
1 即 aha H K，
由定理2知H ∩ K是H的不变子群
例6，假定H是G的子群，N是G的不变子群，则HN是G的子群证明： hn HN , h H , n N , 因为H是G的子群，所以h 1 H
意思为：子群H的包含元a的右陪集为a右乘H的每一个元。为什么这样写呢？
看剩余类，含1的类即为H+1={…,-n+1,1,n+1,2n+1,…}
对于一般的G、H和元a： Ha {ha G | h H } 假定 b∈Ha， b～a 即 ba-1=h ∈ H
b=ha
反之 b=ha，h∈H，则 ba-1=h ∈ H b～a b Ha
例1， G = S3 = {（1），（12），（13），（23），
（123），（132）}]
H = {（1），（12）}
则 H（1）={（1），（12）}
H（13）={（13），（123）} H（23）={（23），（132）}
H（12）={（1），（12）}=H（1）
H（123）={（13），（123）}=H（13） H（132）=H（23）
即{a, an}={a, na}
由n≠e得a≠an, a≠na（否则由消去律得n=e） ∴an=na，由a的任意性知n属于G的中心。单位元属于G的中心是很明显的事，所以G的中心包含N
作业1 G=S3，找出S3的所有不变子群。
从上面的例子可以看出，任意一个群G的不变子群是存在的，
并且不是唯一的。那么G的子群中究竟有哪些是不变子群呢？或者说一个子群作为不变子群究竟应该具备什么条件呢？为此，我们先规定一个符号

特殊群的子群、不变子群与商群

特殊群的子群、不变子群与商群摘要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容.关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群引言在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可.1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。

因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x ，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。