初等数论资料
初等数论
3 同余
性质：同余关系是等价关系。 模m等价类: 在模m同余关系下的等价类. [a]m, 简记作[a]。 Zm: Z在模m同余关系下的商集。 在Zm上定义加法和乘法如下: a, b, [a]+[b]=[a+b], [a]· [b]=[ab]. 例6：写出Z4的全部元素以及Z4上的加法表和乘法表. 解 Z4={[0],[1],[2],[3]}, 其中[i]={4k+i |k∈Z}, i=0,1,2,3. + [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [0] [2] [3] [0] [1] [3] [0] [1] [2] · [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b
例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
RSA公钥密码
私钥密码:加密密钥和解密密钥都必须严格保密 公钥密码 (W.Diffie,M.Hellman,1976 ):加密密钥公开,解密 密钥保密
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
初等数论
定理及推论 • 定理1:任何大于1的整数a都至少有一个素约数.
证明 : 若a是素数, 则定理是显然的. 若a不是素数, 那么它有两个以上的正的非平凡约数, 可设它们为d1 , d 2 , , d k ( k 2). 不妨设d1是其中最小的, 若d1不是素数, 则存在e1 , e2 , 使得d1 e1e2 ,因此, e1和e2 也是a的正的非平凡约数, 这与d1 的最小性矛盾.
练习题
1 证明 : 若3 | n且7 | n, 则21| n.
1证明 : 3 | n,可设n 3m, 由7 | n得, 7 | 3m, 而7 | 7 m, 所以7 | (7 m - 2 3m), 即7 | m, 21| 3m, 即21| n.
2 设a 2k -1, k Z , 若a | 2n, 则a | n.
推论1 推论2
• 如果a是大于1的正整数,则a的大于1的最小约数必为素数.
任何大于 1 的合数a必有一个不超过 a的素约数.
证明 : 若a d1d 2 , 其中d1 1是最小素约数, 则d12 a, 成立.
定理2:素数的个数是无限的.
证明 : 假设正整数中只有有限个质数, 设为p1 , p2 , , pk , 令N p1 p2 pk 1, N 1, 若N 是质数, 结论显然成立; 若N 不是质数, 则N 有一质因数p, 这里p pi , i 1, 2, , k , 否则p | p1 p2 pk , 又 p | N p1 p2 pk 1, 因此p | 1, 这与p是质数矛盾, 故p是上面k 个质数以外的质数, 得证.
证明 : (1) a | b, b aq, b aq, a | b; (2) a | b, b | c, b q1a, c q2b, c q1q2 a , a | c; (3) b | ai (i 1, 2, , k ), ai qi b(i 1, 2, , k ), ai xi qi xi b(i 1, 2, , k ), a1 x1 a2 x2 ak xk b (q1 x1 q2 x2 qk xk ) b | a1 x1 a2 x2 ak xk (其中xi是任意的整数);
《初等数论》复习资料
《初等数论》 考试复习资料一、叙述题1.完全剩余系2.二次反转定律3.雅可比符号4.费马小定理5.平方非剩余6.欧拉定理二、计算和证明题1.已知正整数a=35,b=21,求(a,b),并将其表成a,b 的线性组合。
2.求同余式)32(m od 172≡x 的解. 3.求同余式组1(mod 4)2(mod5)3(mod 7)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的解。
4.已知正整数,a b 满足(,)7,[,]105a b a b ==，求,.a b5.求不定方程9125200.x y z +-=的通解.6.证明： 176212535|(17631254).-7.若今天是星期天，证明：再过101010天是星期四。
参考答案一、叙述题1.完全剩余系从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系2.二次反转定律设a,b是两个非零整数，我们定义雅克比符号括号下a除b，若存在整数x，使得x的平方恒等于a，那么就记括号下a除b等于1；否则就记括号下a除b等于负13.雅可比符号4.费马小定理费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：假如n和a的最大公约数是1的话，那么a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod在这里φ(n)是欧拉商数。
欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的量。
假如n是一个质数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。
5.平方非剩余设x为任意正整数，若p为4k+1型素数，且g是素数p的最小原根，设g^(2n-1) mod p = r（1<=n<=(p-1)/2）,则y^2=p*x+r 与y^2=p*x -r 都无整数解。
设x为任意正整数，若p为4k-1型素数，且g是素数p的最小原根，设g^(2n-1) mod p = r（1<=n<=(p-1)/2）则y^2=p*x+r 都无整数解，但y^2=p*x -r 都有整数解。
6.欧拉定理二、计算和证明题1.已知正整数a=35,b=21,求(a,b),并将其表成a,b 的线性组合。
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
初等数论-第一章
例 2 、 证 明 ： 若 n 是 正 整 数 ， 则 2 1 n 4 是 既 约 分 数 。 1 4 n 3
证 明 ： 因 为 （ 2 1 n 4 , 1 4 n 3 ) ( 7 n 1 , 1 4 n 3 )
( 7 n 1 ,7 n 2 ) ( 7 n 1 ,1 ) 1 所以，命题得证。
第一章 整数的可除性
一、整除的概念 带余数除法 二、最大公因数与辗转相除法 三、整除的进一步性质
四、质数 算术基本定理 五、取整函数及其在数论中的一个应用
第一节 整除的概念 带余数除法
定义 设a,b是任意两个整数，其中b0，如果 存在一个整数q使得等式
aqb 成立，就说b整除a或a被b整除，记作ba， 此时把b 叫作a的因数，把a叫作b的倍数. 如 果 不 存 在 整 数 q 使 得 a b q 成 立 ， 则 称 a 不 被 b 整 除 ， 记 为 b † a 。
推 论 2.2 、设 a 1,a2, ,an及 b 1,b 2,,bm 是 任 意 两 组 整 数 ， 若 前 一 组 中 任 一 整 数 与 后 一 组 中 任 一 整 数 互 质 ， 则
(a 1a2 an,b 1b 2 bm )1
定 义设 a 1,a 2, ,a n是 n (n2 )个 整 数 ， 若 整 数 d是 这 n 个 数 的 倍 数 ， 则 d 就 叫 作 a 1,a 2, ,a n 的 一 个 公 倍 数 。 所 有 公 倍 数 中 最 小 的 一 个 叫 最 小 公 倍 数 ， 记 作 [a 1,a 2, ,a n] 。
证 ： 设 这 5个 数 为 ai,i1, ,5， 记 ai 3qi ri， 0ri 3, i1, ,5。 分 别 考 虑 以 下 两 种 情 形 ：
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论知识点总结
初等数论知识点总结初等数论是数论中的一个分支，它主要研究自然数的整除性质以及其它基本性质。
初等数论主要包括素数与合数、整数表示、整数方程、模运算、同余方程、数乘次幂循环节等内容。
下面将对初等数论的关键知识点进行总结。
1.素数与合数：素数（质数）是只能被1和自身整除的自然数，合数是除了1和自身以外还能被其它数整除的自然数。
质数有无穷多个，这个结论由欧几里得证明。
常见的质数有2、3、5、7等。
2.素因子分解：任何一个自然数都可以唯一分解成若干个素数的乘积形式，这个分解过程称为素因子分解。
例如，24可以分解为2^3*3，其中2和3是24的素因子。
3.最大公约数与最小公倍数：最大公约数（GCD）是指两个或多个数中最大的能够整除所有这些数的自然数，最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的自然数。
GCD可以通过欧几里得算法进行计算，而LCM可以通过两个数的乘积除以它们的GCD得到。
4.模运算与同余方程：模运算是将一个数除以另一个数所得到的余数，同余方程是指具有相同余数的整数关系。
例如，如果a除以n与b除以n得到相同的余数，即a≡b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。
5.素数定理与欧拉定理：素数定理是指当自然数x趋于无穷大时，小于等于x的素数的数量约等于x / ln(x)，其中ln(x)是自然对数。
欧拉定理是指当正整数a与自然数n互质时，a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是小于n且与n互质的自然数的个数。
6.立方与四方数：立方数是指一个数的立方，四方数是指一个数可以表示为四个整数的平方和。
高斯数学说是指四方数的性质，它由高斯证明，表示为四个整数的平方和的非负整数解的个数等于该数的除以8的余数。
7.费马小定理与小费马定理：费马小定理是费马定理的一个特殊情况，它表明如果p是一个素数，a是一个与p互质的整数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
小费马定理是费马小定理的推广，它表明如果a是一个整数，m是一个大于1的自然数，且a与m互质，那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)是小于m且与m 互质的自然数的个数。
(完整word版)《初等数论》
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
初等数论
第一章 整除理论§1.1 整数与自然数及整除的基本性质整数集},3,2,1,0,1,2,3,{ ---=Z ，整数中的四则运算我们已在中小学学习过，需要注意的是，任何下有界的非空整数集总含有它的最小元，这一性质也称为最小整数原理.同样地，一个上有界的非空整数集总含有它的最大元，自然数即是正整数，全体自然数集用N 表示.定义1.1.1 设0,,≠∈a Z b a ,如Z d ∈∃使得b ad =，则称a 整除b ，记为b a ，这里a 称为b 的约数或因数(或因子),b 称为a 的倍数.如果a 不能整除b ,则记为b a |/.例如3|1010|312|924|6,15|536|126|3///--，，，，，等等。
值得注意的是，由于Z a ∈∀，有00=⋅a ,若,0≠a 则0|a ,所以0被任何整数整除.定理1.1.1 (i ) .||||b a b a b a b a ⇔-⇔-⇔(ii )(传递性) c a c b b a ||,|⇒.(iii ) 若b d a d |,|,则by ax d Z y x +∈∀|,,有.(iv ) bn an b a n ||,0⇔≠∀(v ) b a a b b a ±=则若,|,|.(vi ) b a b b a ≤≠则且若,0,|.证明 仅证(iii ).因为,,|,|2,1Z d d b d a d ∈∃故使得a dd =1,b dd =2,⇒∀)(,,2121y d x d d y dd x dd by ax Z y x +=+=+∈有,而Z y d x d ∈+21,故by ax d +|.证毕.在此定理中的(iii )显然有如下推广:定理1.1.2 若Z x m i a d i i ∈∀=则),,,2,1(| ,有∑=mi i i x a d 1|.例1 证明 若2|n, 3|n, 则6|n.证明 由于2|n,得n=2k(Z k ∈),由条件知3|2n,又由定理1.1.1中(iv )与(ii )可得3|3k,所以由定理1.1.1(iii )知3|(3k-2k),即3|k,再由定理1.1.1(iv )知k ⨯⨯2|32,即6|n.证毕.定理1.1.3 设b a ,是两个整数,其中0>b ,则存在两个唯一得整数r q 和,使得r bq a +=, b r <≤0 (1)成立证明 考虑数列,3,2,,0,,2,3,b b b b b b ---那么a 必在上述序列的某两之间,或是其中某一项,即存在一个整数q 使得b q a qb )1(+<≤ 成立.令.0,b r r qb a <≤=-则有故有(1)成立.再证唯一性.设11,r q 是满足(1)的另一对整数,因为r bq r q b +=+111,于是r r q q b -=-11)(.所以r r q q b -=-11.由于1r r 与都是小于b 的非负整数.故上式右边小于b ,如果q q ≠1,则上式左边b ≥,这不可能,故必q q =1.由此及上式知r r =1.证毕.定义1.1.2 我们把(1)式中q 叫做a 被b 除得出的不完全商,r 叫做a 被b 除所得到的余数.也叫做非负最小剩余.常记作r a b =><.以后总假定除数0>b 以及因数为正.在不致引起混淆的情况下,b a ><中的b 常略去不写.显然有如下结论:定理1.1.4 对于整数0,,,21>b b a a 其中,有(i ) 〉〉〈+〉〈〈=〉+〈2121a a a a .(ii ) 〉〉〈-〉〈〈=〉-〈2121a a a a .(iii ) 〉〉〉〈〈〈=〉〈2121,a a a a .证明 仅证(i )与(iii ).(ii )读者自证.设〉〈+=111a bq a ,〉〈+=222a bq a . 〉〉〈+〉〈〈+=〉〈+〉〈21321a a bq a a .于是〉〉〈+〉〈〈+++=〉〈+〉〈++=+21321212121)()(a a q q q b a a q q b a a .所以由定理1.1.3知(i )成立.又设 〉〈+=2121,a a bq a a ,于是))((221121〉〈+〉〈+=a bd a bd a a〉〉〈〈+-〉〈+〉〈+=21122121)(a a q a d a d d bd b从而 〉〉〉〈〈〈=〉〉〈〈2121,a a a a ,由定义知〉〉〉〈〈〈=〉〉〉〈〈〈=〉〈212121,a a a a a a由此(iii )得证.§2 最大公因数与辗转相除法定义1.2.1 设n a a a ,,,21 是n 个不全为零的整数.若整数d 是它们之中每一个因数,那么d 就叫做n a a a ,,,21 的一个公因数(或称为公约数).整数n a a a ,,,21 的公因数中最大的一个叫做最大公因数(或称为最大公约数),记作(n a a a ,,,21 ),若(n a a a ,,,21 )=1,我们称n a a a ,,,21 互素.注: n(n>1)个整数的公因数必有限.由最大公因数的定义知(n a a a ,,,21 )=),,,(21n a a a .而一组不全为零的整数的最大公因数等于它们当中全体不为零的整数的最大公因数,所以只须讨论全体正整数的最大公因数.首先将介绍辗转相除法求最大公因数.定理1.2.1 设c b a ,,是任意三个不全为零的整数,且c bq a +=,其中q 是整数,则),(),(c b b a =.证明 b d a d |,|∀,则由定理1.1.1知c d bq a d |).(|即-+,由d 的任意性知c b a |),(,故),(),(c b b a ≤.反之,c d b d |,|∀,由定理1.1.1知a d |,由d 的任意性知a c b |),(,于是),(),(b a c b ≤.综上),(),(c b b a =.证毕.设0,0>>b a ,由定理1.1.3(带余数除法)则有11r bq a +=, )|(01a b b r /<<221r q r b +=, )|(0112b r r r /<<3321r q r r +=, )|(01223r r r r /<<(1) n n n n r q r r +=--12, )|(0211---/<<n n n n r r r r 11+-=n n n q r r , )|(1-/n n r r 由于余数)1(n i r i ≤≤是正整数且逐次减小,所以经有限步后必有一个余数为零.即01=+n r .由(1)及定理1.2.1则得下述结论: 定理1.2.2 若任给整数0,0>>b a ,则n r b a =),(. 证明 由定理1.2.1得),(),(),(),(),0(2111b a r r r r r r r r n n n n n n n n ======---+ . 证毕.定理1.2.3 设0,0>>b a ,对于如上辗转相除法(1).有 n k r b U a V k k k k ,,2,1,)1(1 =-=-- (2) 这里⎩⎨⎧+===+===----211021110,1,1,,1k k k k k k k k V V q V V V U U q U q U U (3) 证明 可用数学归纳法来证明.由(1) 11r bq a +=,可写成 11111)1(r b U a V --=-. 由b q q a q r r b q a q r q r b )1()(1222212221+-=-+-=+=得,即21222)1(r b U a V --=-. 所以当2,1==k k 定理成立.下证由1+k k 到也成立.由于 111-k +++=k k k r r q r , )()1()()1(111121b U a V q b U a V r k k k k k k k k -----=-+---+ 所以)()1(1111b U a V q b U a V r k k k k k k k -+-=-+--+ b U a V b U U q a V V q k k k k k k k k 111111)()(++-+-+-=+-+=证毕.例1.2.1 求(299,247) 解.013339,1339152,39524247,522471299+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=故 13)247,299(=由定理1.2.3即得如下推论: 推论1.2.1 若Z y x d b a ∈=,,),(则有使得 d by ax =+.证明 令k k k k U y V x )1(,)1(1-=-=-则有 d r by ax k ==+. 证毕.由例1.2.1知 13,3,247,299====k r n b a .由上面的等式 333b b U a V =-.而1,4,1321===q q q ,由(3)可得6,533==U V ,即1324762995=⨯-⨯. 所以d by ax y x =+-==有6,5.推论1.2.2b a 与的因数是),(b a 的因数. 证明 b a ,∀的公因数d ',则.|,|.|,|d d by ax d b d a d '+'''即所以证毕.定理1.2.4 设),(),(,1),(c b c ab c a ==则. 证明 设1),(,,,),(1111====c b d c c d b b d c b 且则(否则,若1),(11>c b ;反证d 不是b a 与的最大公因数),于是),(),(),(1111c ab d d c d ab c ab ==. 再证若.1),(11=c ab .|,|.1),(111c d ab d d c ab ''>'=则若d '无大于1的因子整除1b .则a d |',又c c |'.c d c d |,|1''于是.所以1),(>'≥d c a .此与1),(11=c b 矛盾.总之,.1),(11=c ab 于是d c ab d c ab ==),(),(11.证毕.推论1.2.3 设b c ab c c a |,|,1),(则=. 证明 因为.|,),(),(b c c c b c ab 即==证毕.。
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第一章考点1、会求最大公因数与最小公倍数解法：最大公因数用辗转相除法最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出两者的最大公约数2、判别一个数是为质数还是合数判别法：用小于√x的所有质数除此数，看能否被整除3、证明整除（最好用同余证）例1证：73|8n+2+92n+1（n∈N）解：法一 8n+2+92n+1=64×8n+9×81n=64×8n+9×（73+8）n=64×8n+9×（C0n73n+C1n73n-1×8+…+C n n8n）=64×8n+9(73q+8n)( q∈Z)=73×8n+9q×73所以73|8n+2+92n+1法二 8n+2+92n+1≡64×8n+9×81n≡64×8n+9×8n≡73×8n≡0（mod73）所以73|8n+2+92n+1例2已知17|2x+3y,证明17|9x+5y解：因为9x+5y=17（x+y）- 4(2x+3y) 且17|2x+3y所以17|9x+5y例3设k为正奇数，证：1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)证：记S=1k+2k+3k+ (9)则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+…+（9k+1k）=（1+9）q1 （q1∈Z)所以10|2S又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+…+(9k+0k)=（0+9）q2（q2∈Z）所以9|2S又因为（9,10）=1所以90|2S 即45|S从而1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)4、证明某种类型的质数有无穷多个例：证明4n+1形的质数的个数为无穷。
（最后一节课讲的）第三章同余考点：1、同余的性质；（应用在同余解题中）P482、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P583、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61具体分析：一、同余的性质1、a≡a (mod m)2、若a≡b (mod m),则b≡a (mod m)3、若a≡b (mod m) b≡c (mod m) 则 a≡c (mod m)4、i.若a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1+a2≡b1+b2 (mod m)ii. a+b≡c (mod m) 则 a≡c-b (mod m)5、a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1a2≡b1b2 (mod m)特别的，若a≡b (mod m) 则 ak≡bk (mod m)6、若a≡b (mod m) 且a=a1d b=b1d (d,m)=1 则 a1≡b1 (modm)7、i.若a≡b (mod m) k>0 则 ak≡bk （mod mk）ii.若a≡b (mod m) d为a,b及m的任一正公因数，则a/d≡b/d (mod m/d)8、若a≡b (mod m) i=1、2…k 则a≡b(mod m1m2…m k)例：一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。
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第二十章 初等数论本章简要地介绍了初等数论的基础知识.共分六节.前五节讨论了整数的性质与辗转相除法,连分数与费波那奇序列,同余式与孙子定理,介绍了几种重要的数论函数和麦比乌斯变换,并列出几类不可约多项式的判别方法.最后一节对代数数等基本概念和性质作了简单的介绍.§1 整数[整数部分与分数部分] 设α为一实数,不超过α的最大整数称为α的整数部分,记作[]α.而{}[]ααα=−称为α的分数部分. 例如 [],[11=.]232=,[等等 .]−=−354 整数部分具有下列关系式: [][]ααα≤<+1[][]n n αα⎡⎣⎢⎤⎦⎥=,n 为自然数 [][ααααn n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11L ]]，n 为自然数 [][][][][22αβααββ+≥+++ [][][]αβαβ−=− 或 []αβ−+1注意,在计算机程序中的“取整运算”与这里的“整数部分”意义是有差别的:当α≥0时是一致的;当α<0时不一致,例如[.]−=−354,但计算机上−35.取整后为−3. [整除性] 若有一整数c ,使得整数a 与b 之间适合于bc a =则称b 可整除a ,记作b a 。
这时a 称为b 的倍数,b 称为a 的因数(或约数). 若b 不能整除a ,则记作b a .整除性具有下列性质(下列各式0,0≠≠c b ): 1° 若b a ,c b , 则c a ; 2° 若b a , 则bc ac ;3° 若c d ,c e ,则对于任意整数m,n 有c d m ea +4° 若b 是a 的真因数(即b ),则a ≠1, 1<<b a[素数与爱拉托斯散筛法] 恰有1和本身两个自然数为其因数的大于1的整数称为素数,记作.除2为偶素数外,其余素数都是奇数. p 素数具有性质:1° 素数有无限多个. 如果不超过自然数n 的素数个数记作 π(n),则当时,有n ≥21812⋅≤≤⋅n n n n nlog ()log π*,进一步有 1log )(lim =∞→nnn n π*数论中通常把自然对数记作.x ln x log2° 设p 为素数,若p ab ,则p a 或pb . 3° 中含素数p 的方次数等于n ! [][][]n p n p np+++23L4° 若n N ≤为正整数,它不能被不超过N 的所有素数所整除,则n 必为素数.这种判别自然数是否为素数的方法称为爱拉托斯散筛法.由此法可建立素数表.[唯一分解定理] 大于1的自然数都可唯一地分解为素数幂的积.设n ,为自然数,则n 可唯一地表为>1s a s a a p p p n L 2121⋅= (为自然数) 0,,0,021>>>s a a a L (为素数)s p p p <<<L 21这称为n 的标准分解式。
初等数论
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的正整数 使得他们中的任意三个的和都是质数？证明你的结论。
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的 正整数使得他们中的任意三个的和都是质数？证明 你的结论。 特殊化猜想：1 3 7 9 一般化证明：假设存在5个符合题意的正整数。考 虑他们除以3的余数，设余数为0,1,2的分别为 a b c 个则 （1）若a b c均不为0则一定存在三个数，他们的余 数分别为0 1 2 取这三个数他们的和为3的倍数，不 是质数 （1）若a,b,c中有零，则根据抽屉原理至少有三个 数，他们的余数相同，这三个数的和为3的倍数一 定不是质数。综上最多能找到4个
2 设m=x1 x2 x3 x4 x5 , c4 6 这5个数中有两个相等；
不妨设x1
x2
x3
a 44, 45, 46, 47 a 46, m 57 x1 13, x2 12, x3 x5 11, x4 10
m x1 44 m x 45 2 x4则 m x3 46 则4m 182 a m x 47 4 m x5 a
初等数论
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质 的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。 它以算术方法为主要研究方法，主要内容有 整数的整除理论、同余理论、连分数理论和 某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就 是用初等朴素的方法去研究数论。 在自主招生考试中所考察的内容包括：整数， 有理数，实数 整除，同余理论，多项式， 韦达定理，高斯函数等。 特点：形式简单所用知识不多但是富有灵巧 性不易下手
2014数学竞赛河南预赛7（高斯函数）
n n n 符号 x 表示不超过x的最大整数，n是正整数则 ( ) 3 6 n 1 2
初等数论——精选推荐
初等数论陈培东 2014.7一、基础知识 1．整除问题（1）整除的部分性质：①若c | b ，b | a ，则c | a ②若c | a ，d | b ，则cd | ab ③若c | a ，c | b ，则c |（ka ＋nb ）；若c | a ，c |﹨b ，则c |﹨（a ＋b ） ④若ma | mb ，则a | b ⑤若a ＞0，b ＞0，b | a ，则b ≢a ⑥任意n 个连续正整数的乘积必能被n ！整除。
当（a ，b ）＝1时，称a 、b 互素（互质）。
有：①已知（a ，c ）＝1，若a | bc ，则a | b ；若a | b ，c | b ，则ac | b ②p 为素数，若p | ab ，则p | a 或p | b ③[a ，b]·（a ，b ）＝ab ④（a ，b ）＝（a ，b －ac ）＝（a －bc ，b ）对任何整数c 成立 ⑤存在整数x 、y ，使ax ＋by ＝（a ，b ）（裴蜀定理）⑥m （a ，b ）＝（ma ，mb ） ⑦若（a ，b ）＝d ，则（a d ，bd ）＝1⑧若a | m ，b | m ，则[a ，b] | m ⑨m[a ，b]＝[ma ，mb] （2）奇偶性分析 （3）个位数定理：在n 4k ＋r （k ，r 为非负整数）中，0≢r ＜4，则当r ＝0（k ≠0）时，n 4k ＋r 的个位数字与n 4的个位数字相同；当r ≠0时，n 4k ＋r 的个位数字与n r 的个位数字相同。
（4）平方数性质：①个位数字只能是：0，1，4，5，6，9 ②末两位数字不可能同时为奇数。
③偶数的平方是偶数，且被4整除；奇数的平方是奇数，且被4除余1。
④在n 2与（n ＋1）2之间不存在平方数。
（5）算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成素数的乘积。
如果不考虑这些素因子的次序，则这种分解法是唯一的。
即对任一整数a ＞1，有a ＝p 1α1p 2α2…p nαn ，其中p 1＜p 2＜…＜p n 均为素数，α1、α2、…、αn 都是正整数。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是一门数学分支，主要研究整数（和实数）的性质和相互关系，以及它们的数学结构。
在数论中，初等数论是一门基础学科。
它主要探讨正整数的基本性质、算术运算规则、因数分解、最大公约数和最小公倍数等知识点的理论和应用。
本文将对初等数论的常见知识点进行详细介绍。
一、质数与合数任何一个大于1的自然数，如果它的因数除了1和它本身外，再没有其他因数，那么称这个数是质数。
否则，这个数就是合数。
例如，2、3、5、7、11、13等等，都是质数。
而4、6、8、9、10等等，都是合数。
在初等数论中，质数是一个非常重要的概念。
以下是一些质数的基本性质和定理：（1）2是最小的质数，它是唯一的偶质数。
（2）除2以外的任何偶数都是合数。
（3）如果一个整数p>1不能被2到√p之间的任何整数整除，那么它一定是质数。
（4）如果一个数是质数，则它不能表示成两个较小的正整数相乘。
（5）如果p是质数，且a、b是任意两个整数，那么a^p-b^p可以因式分解成(a-b)和另外一个整数的积。
（6）费马小定理：如果p是质数，a是任意整数且p不整除a，那么a^(p-1)除以p的余数为1。
以上定理在证明和应用上都非常重要，其中费马小定理还有广泛的应用，例如用于RSA加密算法中。
二、因数分解因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数乘积的形式。
例如，24可以分解成2^3 * 3，而30可以分解成2 * 3 * 5。
因数分解在初等数论和高等数学中都是非常常见的操作，因为它在求解最大公约数、最小公倍数等问题时非常关键。
以下是一些因数分解的常见方法和技巧：（1）试除法：从小到大枚举质数，依次判断是否为该数的因数，如果是，则将该因数除掉，继续枚举，直到该数变成1为止。
（2）质因数分解法：先将一个数的因子分解成若干个质数的乘积，然后将质数按照大小递增的顺序尝试分解该数，最终得到因子分解式。
（3）辗转相除法：用较小的数去除较大的数，得到商和余数，然后用余数去除已经得到的商，继续得到商和余数，重复上述操作，直到余数为0为止。
初等数论简介
初等数论
勒让德[法]1752～1833，在分 析学、数论、初等几何与天体 力学，取得了许多成果，是椭 圆积分理论奠基人之一。对数 论的主要贡献是二次互反律， 还是解析数论的先驱者之一.
雅可比[德]1804～1851，在偏 微分方程中，引进了“雅可比 行列式。对行列式理论作了奠 基性的工作，在代数学、变分法 复变函数论、分析力学 、动 力学及数学物理方面也有贡献。
初等数论
陈景润1933－1996，主要研究 解析数论，他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至 今仍然在世界上遥遥领先。其 成果也被称之为陈氏定理。
王元1930－50年代至60年 代初，首先在中国将筛法 用于哥德巴赫猜想研究， 并证明了命题3+4，1957年 又证明2+3，这是中国学者 首次在此研究领域跃居世 界领先地位.
初等数论
欧几里得[前330年～前275年] 丢番图Diophante 246～330 欧氏几何学的开创者 ， “代数学之父” 古希腊数学家，以其所著的 古希腊数学家，著《算术》 《几何原本》闻名于世。
初等数论
刘徽，生于公元250年左右， 三国时期数学家，是世界上最 早提出十进小数概念的人，著 《九章算术注》10卷；《海岛 算经》；《九章重差图》.割圆 术求圆面积和圆周率.
初等数论 三 、 几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。 其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费 尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
初等数论 1、哥德巴赫猜想： 1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发 现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学
初等数论
初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈Ｓ则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础的部分，它主要研究整数的性质和相互关系。
下面让我们一起来了解一些初等数论的重要知识点。
一、整除整除是初等数论中的一个核心概念。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。
例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3 ｜ 15。
整除具有一些基本的性质：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb＋ nc)。
二、素数与合数素数（质数）是指一个大于 1 的整数，除了 1 和它自身外，不能被其他正整数整除。
例如 2、3、5、7 等都是素数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
比如 4、6、8、9 等。
素数具有重要的地位，有一个著名的定理叫做“算术基本定理”，它指出任何一个大于 1 的整数都可以唯一地分解成素数的乘积。
三、最大公因数与最小公倍数两个或多个整数共有的因数中最大的一个，称为它们的最大公因数，记作（a, b)。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以（12, 18) ＝ 6。
两个或多个整数共有的倍数中最小的一个，称为它们的最小公倍数，记作 a, b。
对于 12 和 18，它们的公倍数有 36、72 等，其中最小的是 36，所以 12, 18 ＝ 36。
求最大公因数和最小公倍数可以使用质因数分解法或辗转相除法。
四、同余同余是指两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。
同余有很多性质，比如如果a ≡ b （mod m)，c ≡ d （mod m)，那么a ＋c ≡b ＋ d （mod m)，ac ≡ bd （mod m)，ac ≡ bd （mod m)等。
大学数学初等数论
大学数学初等数论数论是数学的一个分支，研究整数之间的性质和相互关系。
在大学数学学科中，初等数论是数论的一个重要部分，它着重研究整数的基本性质和计算方法。
下面将从整数的因子性质、素数及其性质、整除性、同余关系以及常见初等数论问题等方面进行论述。
一、整数的因子性质整数的因子是指能整除该整数的整数。
对于整数的因子性质的研究主要包括以下几个方面：1. 约数和倍数：一个整数a能整除整数b，称a是b的约数，b是a 的倍数。
例如，2是4的约数，4是2的倍数。
整数a和b都是整数c 的约数时，称c是a和b的公倍数，a和b的所有公倍数中最小的一个称为最小公倍数，记为\[lcm(a, b)\]。
2. 互质：如果两个整数的最大公约数（即两个整数的所有公约数中最大的一个）为1，则称这两个整数互质。
例如，3和5是互质的。
3. 质因数分解：任何一个大于1的合数（即不是质数的整数）都可以表示为几个质数的乘积，这种表达方式称为质因数分解。
质因数分解是整数因子性质研究的重要基础。
二、素数及其性质素数是只有1和自身两个因子的整数。
下面介绍一些素数的基本性质：1. 素数判定：对于给定的整数n，判断其是否为素数可以通过试除法进行。
试除法是将n除以小于等于\[\sqrt{n}\]的所有质数进行试除，如果都不能整除，则n为素数。
2. 素数定理：素数定理是指当自变量x无穷增大时，区间[1, x]内的素数个数近似等于\[\frac{x}{\ln x}\]。
3. 质数的分布规律：质数在整数中的分布并没有明确的规律，但有一些定理可以描述质数之间的关系，例如孪生素数定理和哥德巴赫猜想等。
三、整除性整除性是指一个整数能够被另一个整数整除。
整除性的研究主要包括以下几个方面：1. 整除性的性质：如果整数a能整除整数b，并且整数b能整除整数c，则整数a能整除整数c。
这个性质称为整除的传递性。
2. 除法定理：对于任意整数a和b，b不等于0，存在唯一的整数q 和r，使得\[a=bq+r\]，其中q是商，r是余数。
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5.阿特勒·塞尔贝格阿特勒·塞尔贝格（Selberg,Atle），1917年6月17日出生于挪威，美国国籍。
1950年在坎布里奇获菲尔兹奖，曾在奥斯陆大学、普林斯顿高等研究所工作，主要成就有：数论中素数定理的初等证明和对黎曼假设的贡献。
目录∙ 1 简介∙ 2 获奖情况∙ 3 主要成就阿特勒·塞尔贝格 - 简介阿特勒·塞尔贝格（Selberg,Atle），1917年6月17日出生于挪威，美国国籍，获菲尔兹奖时年龄33岁。
阿特勒·塞尔贝格 - 获奖情况阿特勒·塞尔贝格1950年在坎布里奇获菲尔兹奖。
获奖前后的工作地点是奥斯陆大学、普林斯顿高等研究所。
阿特勒·塞尔贝格 - 主要成就阿特勒·塞尔贝格的主要成就有：数论中素数定理的初等证明和对黎曼假设的贡献；弱对黎曼空间中调和分析和不连续群及其狄里克雷级数的应用；连续群的离子群研究。
[1]6.厄多斯生平简介保罗‧厄多斯(1913-1996)是一位匈牙利的数学家。
其父母都是匈牙利的高中数学教师。
保罗·厄多斯，1983年以色列政府颁给十万美元“沃尔夫奖金”（WolfPrize）就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。
厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家，也是全世界和各种各样不同国籍的数学家合作发表论文最多的人。
他发表了近1000多篇的论文，平均一年要写和回答1500多封有关于数学问题的信。
他可以和任何大学的数学家合作研究，他每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据说多数的情形是人们把一些本身长期解决不了的问题和他讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案，于是人们赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字，厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。
保罗·厄多斯出生前，有两个姊姊相继去逝。
这个因素造成厄多斯受双亲的百般呵护。
他第一次显露数学天份是在1917年，当时他4岁，还不会写数目字，但是会心算。
他轻描淡写的说："当时我已经会3位数乘4位数的乘法了。
"但是他认为这不算什么，他最喜欢回想的是，那时候他告诉母亲："你如果把100减去250，会得到比零小150的数。
"在这之前，还没有人告诉过他负数的观念。
他很高兴地说："这完全是我自己发现的。
"厄多斯的父母都是匈牙利的高中数学教师，所以在他上学前，已经吸收了不少知识。
上学后他并不太能适应学校的教育方式，而正当俄罗斯军队攻打奥-匈联军的时期，他的父亲被捕囚禁在西伯利亚六年。
母亲将厄多斯带离开学校，在家亲自教导他。
地理学家估计地球的年龄是45亿年，而当他还年少时，人们估计地球的年龄为20亿年。
于是在叙述自己生平的演讲时，他就免不了要幽默的戏说一场"前25亿年的数学生涯"。
17岁时，他进入布达佩斯的沛兹马尼?沛塔大学就读，第二年完成第一篇论文，证明"任何整数n与2n之间，一定有个质数存在"。
1934年获得博士学位，到曼彻斯特与修得博士学位的同伴继续深造。
那时候，他转而研究极艰涩难懂的─"组合数学"﹝Combinatorics﹞。
过去数十年的岁月，大众对于保罗·厄多斯的成就一无所知，甚至本世纪任何一位数学家的所作所为，也无人留意过；这似乎很奇怪，至少是不太公平。
这是一件值得注意的数学矛盾，无论这个世界如何地漠视他，数学家的投入仍然为大众提供了解世界的最佳工具。
但保罗·厄多斯从不忧虑这些，他太专注于自己的学说研究，而无暇顾及其最终效益。
目前，组合数学或许是数学中发展最快的，其中有一些部份要归功于厄多斯的先驱领导。
让别人来替他说明他的研究结果如何应用吧。
后1930年代匈牙利的局势明显地不可能让有犹太血统的个人回到国内，所以厄多斯来到美国。
1941年，思乡的感伤、不悦的心情、以及挂念独自留在匈牙利的老母亲，不由得悲从中来。
整个人的精神显得有些低落、不安与激情…，然而他的眼神总是闪烁着思考数学问题的光彩。
有些数学家习惯独自沉思，厄多斯则不然；他和全世界的数学家一起工作，并且头脑灵活。
他的研究范围由离散数学﹝Discrete mathematics﹞中最古老的数论﹝Number theory﹞开始着手到位相几何学﹝Topology﹞等数十个大问题。
由于厄多斯这样的胸襟与才华，使得全世界四大洲的数学家都义不容辞地照顾他，就如同自己为数学尽义务一般。
除了欣赏他那风格迥异的个人生活态度之外，并津津乐道“厄多斯轶事”。
这位曾经是本世纪最具天赋的数学家，他没有家，他说他不需要选择，他从未决定要一年到头每一天都研究数学。
"对我来说，研究数学就像呼吸一样自然。
"然而，他并不轻言休息，简直可以公认是巡回世界的数学家。
他喜欢说："要休息的话，坟墓里有的是休息时间。
"人生观厄多斯没有结婚，生活非常简朴，全部财产就是随身携带的二、三只旧皮箱。
他有非常强烈的工作责任感，认为「每个星期有一些新的研究工作才算是数学家」。
他有很好的记忆力。
他自己几乎没有其么藏书，到了一个地方就利用当地学校或研究所的图书，他看过的书籍再查阅时往往不必再翻目录，用手一翻就能找到自己所要找的文章。
他又曾经利用悬赏题去吸引别人对数学的兴趣。
他发表了一些题目，并给第一位解答的人一定的金钱。
有一些题到现在还没有人解出来。
他在发现和培养数学人才方面具有极大的热情。
童年轶事在1917年，第一次显露他的数学天份。
当时他只有4岁，还不会写数目字，但是会心算。
他轻描淡写的说：“当时我已经会3位数乘4位数的乘法了。
”但是他认为这不算什么，他最喜欢回想的是，那时候他告诉母亲：“你如果把100减去250，会得到比零小150的数。
”在这之前，还没有人告诉过他负数的观念。
他很高兴地说：“这完全是我自己发现的。
”从这事看出他对数学的执着。
数学成就他先后发表过一千多篇数学论文，在当今世界上可算首屈一指。
另外，他平均每年要写一千多封有关讨论或回答数学问题的信。
因此，人们称他是世界上最多产的数学家。
甚至有人说，不跟厄多斯合作过发表论文的数学家，不可以被称为数学家。
除了2以外，所有的质数都是奇数。
如果两个连续的奇数都是质数，则称这两数叫做一对挛生质数﹝Prime twins﹞。
数学中另一待解的问题，便是不知道挛生质数是否只有有限对。
这是一个讨论质数分布的问题，一般而言，假设π(x)表示不超过正整数x的质数的个数，则研究π(x)的种种性质的学问，便是解析数论中的质数分布理论。
例如：x和x+2是挛生质数，则π(x+2) =π(x)+1。
十九世纪数学的一大成就是1896年阿达玛﹝J‧Hadamard，1865~1963﹞和法勒布赛﹝Charles de la Vallee-Poussin 1866~1962﹞独立证明的质数定理：当x很大时，π(x)和非常接近。
即1949年厄多斯和亚陶‧瑟尔伯格﹝Atle Selberg﹞合力完成质数定理的另一个证明。
他们没有利用原证明所用的，所以是个「基础的」证明；由于证明的方法更基本、更单纯，全世界的数学家都乐见其成。
厄多斯说：「证明本身没有什么用处，但却是个很好的证明。
」这不就够了吗？从这个问题的证明可以了解到数学家独特的敏感性。
这或许是厄多斯最有名的成就。
还有他发表了近一千多篇的论文，平均一年要写和回答一千五百多封有关数学问题的信，他可以和任何大学的数学家合作研究，他每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据说多数的情形是人们把一些本身长期解决不了解的问题与他讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案，于是人们赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字，厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。
他对数学家的定义是很奇特的:一个数学家必须是在每个星期有一些新的研究工作才可成为数学家。
7.皮耶·德·费玛百科名片皮埃尔·德·费马皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。
他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。
被誉为“业余数学家之王”。
中文名：皮埃尔·德·费马外文名：Pierre de Fermat 国籍：法国出生地：法国出生日期：1601年8月17日逝世日期：1665年1月12日职业：律师和业余数学家代表作品：《Ad Locos Planos etSolidosIsagoge》人物简介皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。
之所以称皮耶·德·费马「业余」，是由于皮耶·德·费玛具有律师的全职工作。
著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。
贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就。
17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。
家庭背景费马的父亲多米尼克·费马（Dominique Fermat）是一位皮货商，同时也是波蒙特－洛门地区的第二执政官。
皮埃尔·德·费马的母亲克莱儿·德·隆格（Claire de Long）则出身于国会法官世家。
费玛于1601年8月出生（于8月20日在波蒙特－洛门受洗），而父母一心要栽培皮埃尔·德·费马成为地方首长。
皮埃尔·德·费马幼年在杜鲁斯求学，30岁时就任同一地的请愿委员，同年与露薏丝·隆格（Louise Long）结婚，育有三子二女，其中一个儿子克雷门·山缪·费马（Clement Samuel Fermat）成了皮埃尔·德·费马科研上的主要助手，并在费马逝世后，整理出版了皮埃尔·德·费马的工作成果。
事实上，这份出版品也就是今日闻名已久的费马最后定理（Fermat'st.Theorem）之出处。
由于家境富裕，父亲特意给皮埃尔·德·费马请了两个家庭教师，不入学校而在家里接受系统教育。
小时后的费马虽称不上是神童，却也相当聪明。
费马父亲比较开通，并不宠爱孩子，因此费尔玛学习十分努力，文科、理科都学得不差，不过，皮耶·德·费马最喜欢的功课，还是数学。
[1]1617年，费马准备考大学，父亲希望皮埃尔·德·费马读法律，费马也喜欢这门学科，所以没有多大的争议，就接受了父亲的安排。