大庆市2018届高三第二次教学质量检测数学试题(理)含答案

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,1,0,1,2,A =--{}0B x x =<，则A R （C B)=( ) A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2 C ．{}0,1 D ．{}1 2.复数21iZ i=-的实数为( ) A ．1i -+ B ．i C ．1 D ．-13.若,x y 满足133515x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为( )A ．1B ．3C ．9D ．12 4.执行下面的程序框图，则输出的S=( )A ．1111+++...+2313 B ．1111+++...+24624 C.1111+++...24626+ D ．1111+++ (24628)+ 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．．6 C. ．6.在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC ∙=== D 为AC 的中点，则BD DA ∙=( )A ．2B ．-2 C.．-7.在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为23现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A ．．8.函数21()cos cos 2f x x x x =+-在下列某个区间上单调递增，这个区间是( ) A ．-03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.-33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．263ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 9.已知12F F 、分别是双曲线2222:(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1260F PF ∠=,12S F PF ∆( )A ．2 B ．2．2 10.下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:h )频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )①寿命在300-400的频数是90； ②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：④寿命超过的频率为0.3A ．①B ．② C.③ D ．④11.已知函数2()x x f x e=，下列关于()f x 的四个命题；①函数()f x 在[]01，上是增函数 ②函数()f x 的最小值为0 ③如果[]0,x t ∈时max 24()f x e =，则t 的最小值为2 ④函数()f x 有2个零点 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2 C.3 D ．4 12.已知函数sin cos (),,sin cos 162x x f x x x x ππ+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，若方程()0f x a -=有解，则a 的最小值为( )A ．1B ． D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式6(2)x y +展开式中42x y 的系数为（用数字作答） 14已知0,0x y >>，若28=16x y ∙，则-1log292log 27x y ++．15.已知三棱锥,S ABC SA -⊥平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，2,3SA AB ==,则三棱锥S ABC -外接球的体积为．16.已知点(4,0)A 及抛物线24y x =的焦点F ，若抛物线上的点P 满足2PA PF =，则=PF ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且191,81a S ==.记[]5log n n b a =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]50.9=0log 161=，. (I)求11461,,b b b(II)求数列{}n b 的前200项和.18.为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:平均每天使用手机平均每天使用手机(I) 根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关; （II)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手机，从这10名男生中任意选取3人，求这3人中使用国产手机的人数x 的分布列和数学期望.参考公式：()22=()()()()n nd bc K a c b d a b c d -++++()n a b c d =+++19. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =,4AD =,M 是AD 的中点，将MAB ∆沿BM 向上折起，使平面ABM ⊥平面BCDM(Ⅰ)求证：AB CM ⊥; (Ⅱ)求二面角-B AC M -的大小20. 已知椭圆2221(0)2x y C a b a b +=>>：，四个顶点构成的四边形的面积是4. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆C 交于,P Q 均在第一象限，l 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，设直线l 的斜率为K ,直线,OP OQ 的斜率分别为1,2k k ，且212k k k =(其中O 为坐标原点).证明: 直线l 的斜率为定值.21.已知函数2()ln (1)()f x x a x a R =+-∈. (I) 当0a <时，求函数()y f x =的单调区间;(II) 当1x ≥时，2()(1)x f x a x e e ≥--+恒成立，求a 的取值范围. 23.(本小题满分10 分) 选修4-5: 不等式选讲 已知函数.(I )求不等式的解集;(II )当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆1C 的方程为22480x y x y +--=，直线2C 的极坐标方程为=6R πθρ∈（）.(I )写出1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标方程;(Ⅱ) 若直线3C 的极坐标方程为=6R πθρ∈（）,设2C 与1C 的交点为3O M C 、，与1C 的交点为O N 、求OMN ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-（Ⅰ）求不等式()5f x ≥的解集（Ⅱ）当[]0,2x ∈，时不等式2()f x x x a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BDCCA 6-10: BDAAB 11、12：CD 二、填空题13. 60 14. 2 15.323π16.三、解答题17.解：（Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d由已知9=81S ，根据等差数列性质可知：95199(4)81S a a d ==+= 所以149a d +=.因为11a =，所以2d = 所以21n n a =- 所以[]15log 10b ==[]145log 272b ==[]615log 1212b ==(Ⅱ)当12n ≤≤时，13n a ≤≤)n a N *∈（，[]5log 0n bn a ==共两项； 当312n ≤≤时，[]5523,log 1n n n a b a ≤≤==，共10项； 当1362n ≤≤时，[]515123,log 2n n n a b a ≤≤==，共50项； 当63200n ≤≤时，[]5125399,log 3n n n a b a ≤≤==，共138项. 所以数列{}n b 的前200项和为18.解：（Ⅰ）由列联表得：2235(157103)1752.571817251068k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 由于，所以没有90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.(2)X 可取值0，1，2，3314(0)3010CP X C ===,21346(1)1010C CP X C ===,12146(2)3210C CP X C ===316(3)610CP X C ===,所以X 的分布列为这3人中使用国产手机的人数X 的数学期望为13119()0+1+2+33010265E X =⨯⨯⨯⨯= 19.(Ⅰ）证明：由题意可知，2222+2+222BM AB AM ===2222+2+222,4CM CD DM BC ====,所以，在BCM ∆KH ,222+BC BM CM =,所以CM BM ⊥；因为平面ABM ⊥平面BCDM 且BM 是交线，CM ⊂平面BCDM 所以CM ⊥平面ABM因为AB⊂平面ABM ，所以AB CM⊥.解：(Ⅱ)设BM 中点为O ,BC 中点为N,连接ON 所以//ON MC ,所以ON ⊥平面ABM 所以ON BM ⊥，ON AO ⊥. 因为AB AM =,所以AOBM ⊥以O为坐标原点，分别以OB ON OA 、、所在直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图则(0A C B M 、、、，）， 从而CB =-, CA =- , (0,CM =-.设1(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则110200n CA x y z n CB x y ∙=-+=⎧⎧⇒⎨⎨∙==⎩⎩，可以取1(1,1,1)n =. 设2(,,)nx y z = 为平面ACM 的法向量，则2202000n CA x y z n CM y ∙=-+=⎧⎧⇒⎨⎨∙==⎩⎩可以取2(1,0,1)n =-. 因此，120n n ∙=，有120n n ⊥=，即平面ABC ⊥平面ACM ,故二面角B AC M --的大小为90°.20.解：（Ⅰ）由题意得21442c aab ⎧=⎪⎪⎨⎪∙=⎪⎩， 又222=a b c +，解得2,1a b ==.所以椭圆C 的方程为2214x y += （Ⅱ）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠， 点,P Q 的坐标分别为11)22(,,(,)x y x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，222222=6416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆-+-=-+>，则212122284(1),1414km m x x x x k k--+==++， 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， 因为212k k k =，所以222121212121212()y y k x x km x x m k k k x x x x +++===，即22228014k m m k-+=+ 又0m ≠，所以214k =， 又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率k 为定值1-2.21.解：（Ⅰ)因为2()1(1)()f x nx a x a R =+-∈，函数定义域为：}{0x x >21221'()2(1)ax ax f x a x x x-+=+-=，令2()221g x ax ax =-+，由0a <可知，2480a a -> 从而()0g x =有两个不同解.令'()0f x =，则21110,022x x ==+> 当(0,2)x x ∈时，'()0f x >；当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()y f x =的单调递增区间为102（，，单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由题意得，当1x ≥时，1220x nx e ax a e +-+-≥恒成立. 令()122x h x nx e ax a e =+-+-， 求导得1'()2x h x e a x=+-， 设1()2x x e a x ϕ=+-，则21'()x x e xϕ=-， 因为1x ≥，所以21,1xe e x≥≤，所以'()0x ϕ>，所以()x ϕ在[)1+∞，上单调递增，即'()h x 在[)1+∞，上单调递增， 所以'()'(1)12h x h e a ≥=+- ①当12ea +≤时，'()0h x ≥， 此时，()122xh x nx e ax a e =+-+-在[)1+∞，上单调递增， 而(1)0h =，所以()0h x ≥恒成立，满足题意.②当12ea +>时，'(1)120h e a =+-<， 而1'(12)22012h n a a a n a=+-> 根据零点存在性定理可知，存在0(1,12)x n a ∈，使得0'()0h x =. 当(1,0)x x ∈时，'()0,()h x h x <单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增.所以有0()(1)0h x h <=，这与()0h x ≥恒成立矛盾，所以实数a 的取值范围为1+-2e ⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，. 22.解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，tan y x ρθ⎧⎪⎨=⎪⎩圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得，2-4cos 8sin 0ρρθρθ-=， 所以1C 的极坐标方程为3y x =； （Ⅱ）分别将==36ππθθ，代入1C 的极坐标方程=4cos 8sin ρθθ+得； 1=2+43ρ，2=4+23ρ则OMN ∆的面积为11sin (243)(423)sin()8532236OMN S OM ON MON ππ∆=∙∠=⨯+⨯+⨯-=+ 所以OMN ∆的面积为23.解：（Ⅰ）由题意知，需解不等式125x x ++-≥.当1x <-时，上式化为-25x +≥，解得2x ≤-；当12x -≤≤时，上式化为35≥，无解；当2x >时，①式化为215x -≥，解得3x ≥.所以()5f x ≥的解集为{2x x ≤-或}3x ≥.（Ⅱ）当[]0,2x ∈时，()3f x =，则当[]0,2x ∈，23x x a --≤恒成立. 设2()g x x x a =--，则()g x 在[]02，上的最大值为(2)2g a =-.所以(2)3g ≤，即23a -≤，得1a ≥-. 所以实数a 的取值范围为[)-1+∞，.。