2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测6文新人教A版
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测63文新人教A版
课时跟踪检测(六十三)[高考基础题型得分练]1．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A．0 B.1C．2 D.3答案：C解析：由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然成立；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错．2．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.ab<a＋1 b＋1答案：B解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．3．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( )A．a>b B.a<bC．a＝b D.a，b大小不定答案：B解析：∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是( )A．a－b＞0 B.a－c＞0C ．(a －b )(a －c )＞0 D.(a －b )(a －c )＜0答案：C解析：由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2⇐(a ＋c )2－ac ＜3a 2 ⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0 ⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0.5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．a >b >c B.b >c >a C ．c >a >b D.a >c >b答案：A解析：∵a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6>6＋5>3＋2>0，∴a >b >c .6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B.A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D.C ≤B ≤A答案：A 解析：因为a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 7．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 答案：D解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．8.6＋7与22＋5的大小关系为________． 答案：6＋7>22＋ 5解析：要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小， 只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋5.9．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案：332解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)． ∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞2；②a 2＋b 2＞2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件的是________．(填序号)答案：①11．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]上至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 解析：解法一：(补集法)当二次函数在区间[－1,1]上不存在一点C ，使f (c )>0时，令⎩⎪⎨⎪⎧f－＝－2p 2＋p ＋1≤0，f＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.解法二：(直接法)依题意有f (－1)>0或f (1)>0， 即2p 2－p －1<0或2p 2＋3p －9<0， 得－12<p <1或－3<p <32，故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.[冲刺名校能力提升练]1．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2B.a 2＞ab ＞b 2C.1a ＜1bD.b a ＞a b答案：B解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0， ∴a 2＞ab .①又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.2．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 答案：D解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由 ⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．3．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案：c n ＋1<c n 解析：由条件得，c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .4．(1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 证明：(1)∵a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋a ＋b ab＝1＋ba＋1＋a b ＋a ＋bab≥2＋2b a ·a b ＋a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2＋2＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．(2)∵a ，b ，c 全不相等，且都大于0， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等， ∴b a ＋a b＞2，c a ＋a c＞2，c b ＋b c＞2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c＞6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c－1＞3，即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c .证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .6．已知点A (1,0)，B (0,1)和互不相同的点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…，满足OP n →＝a n OA →＋b n OB →(n ∈N *)，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若P 1是线段AB的中点．(1)求a 1，b 1的值；(2)点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…能否在同一条直线上？请证明你的结论． 解：(1)P 1是线段AB 的中点⇒OP 1→＝12OA →＋12OB →，又OP 1→＝a 1OA →＋b 1OB →，且OA →，OB →不共线， 由平面向量基本定理，知a 1＝b 1＝12.(2)由OP n →＝a n OA →＋b n OB →(n ∈N *)⇒OP n →＝(a n ，b n )，设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则由于P 1，P 2，P 3，…，P n ，…互不相同， 所以d ＝0，q ＝1不会同时成立． 若d ＝0，q ≠1，则a n ＝a 1＝12(n ∈N *)⇒P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线x ＝12上；若q ＝1，d ≠0，则b n ＝12为常数列⇒P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线y ＝12上；若d ≠0且q ≠1，P 1，P 2，P 3，…，P n ，…在同一条直线上⇔P n －1P n ＝(a n －a n －1，b n －b n －1)与P n P n ＋1＝(a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n )始终共线(n ≥2，n ∈N *)⇔(a n －a n －1)(b n ＋1－b n )－(a n ＋1－a n )(b n －b n －1)＝0 ⇔d (b n ＋1－b n )－d (b n －b n －1)＝0 ⇔b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ⇔q ＝1，这与q ≠1矛盾，所以当d ≠0且q ≠1时，P 1，P 2，P 3，…，P n ，…不可能在同一条直线上．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测46含答案
课时跟踪检测（四十六）1．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′（λ＞0），E，F分别是A′C′和AD的中点,且EF⊥平面A′BCD′.（1）求λ的值；(2)求二面角C－A′B－E的余弦值．解：以D为原点,DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设AA′＝AD＝2,则AB＝2λ,D（0,0，0），A′(2,0，2)，D′（0，0，2)，B（2，2λ，0)，C（0，2λ，0)，E（1,λ，2)，F(1，0，0）．（1)错误!＝（0，－λ,－2）,错误!＝（2，0,0)，错误!＝（0，2λ，－2），∵EF⊥D′A′，EF⊥A′B,∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0,即－2λ2＋4＝0，∴λ＝错误!。
(2）设平面EA′B的一个法向量为m＝（1，y，z），则错误!∵错误!＝（0，2错误!，－2)，错误!＝（－1,错误!，0），∴错误!∴y＝错误!，z＝1，∴m＝错误!.由已知得错误!为平面A′BC的一个法向量，又错误!＝（0，－错误!,－2)，∴cos〈m,错误!〉＝错误!＝错误!＝－错误!。
又二面角C－A′B－E为锐二面角，故二面角C－A′B－E的余弦值为错误!。
2．如图所示的几何体,四边形ABCD中，有AB∥CD,∠BAC＝30°，AB＝2CD＝2，CB＝1，点E在平面ABCD内的射影是点C，EF∥AC，且AC＝2EF.(1）求证：平面BCE⊥平面ACEF；（2）若二面角D－AF－C的平面角为60°，求CE的长．(1)证明：在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 30°，解得AC＝错误!，所以AB2＝AC2＋BC2，由勾股定理知∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD,所以BC⊥EC.又AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF,所以平面BCE⊥平面ACEF.（2）解：因为EC⊥平面ABCD，又由(1）知BC⊥AC，所以可以以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测28文新人教A版
课时跟踪检测(二十八)[高考基础题型得分练]1．[2017·广东惠州二调]已知向量AB →＝(3,7)，BC →＝(－2,3)，则－12AC →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 答案：C解析：因为向量AC →＝AB →＋BC →＝(1,10)，则－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5，故选C.2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案：B解析：②中，e 1＝12e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35答案：A解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案：B解析：AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)，∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)， PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案：B解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.6．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0 答案：B解析：∵a 与b 方向相反，∴b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.7．[2017·江苏杭州五校联盟一诊]已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p＝⎝⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，其中a ，b ，c ，A ，B ，C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：B解析：∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2与n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A2，由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2，∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B2，∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2，化简得sin A 2＝sin B2.又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，可知A ＝B . 同理，由n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2与p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线得到B ＝C ，∴在△ABC 中，A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．故选B.8．[2017·河南八市质检]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 答案：C解析：如图，∵EC →＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0， 所以1a ＋1b ＝12.10．[2017·四川雅安模拟]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a－2b 与c 共线，则k ＝________.答案：1解析：∵a －2b ＝(3，3)，且(a －2b )∥c ， ∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.11．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________.答案：－3解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ， 则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)，由题意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南长沙调研]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案：A解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.2．[2016·江西南昌十校联考]已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)答案：B解析：∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B.3．[2017·甘肃兰州一中期中]如图所示，两个不共线向量OA →，OB →的夹角为θ，M ，N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在线段MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.24 B.18 C.22 D.12答案：B解析：∵M ，N ，C 三点共线，∴存在实数t 使得NC →＝tNM →(0≤t ≤1)，∴OC →＝ON →＋NC →＝ON →＋tNM →＝ON →＋t (OM →－ON →)＝(1－t )ON →＋tOM →＝1－t 2OA →＋t 2OB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t2，y ＝t2，∴x 2＋y 2＝1－t2＋t24＝14(2t 2－2t ＋1)(0≤t ≤1)． 令f (t )＝2t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，函数f (t )图象开口向上且以t ＝12为对称轴，∵t ＝12∈[0,1]，∴f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. ∴(x 2＋y 2)min ＝14×12＝18，故选B.4．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案：45解析：解法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得 AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎪⎫AD → ＋12AB →＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又AB →，AD →不共线，∴由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.∴λ＋μ＝45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，即AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23.(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．6．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知，得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4) ＝(0,20)，即M (0,20)．又CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4) ＝(9,2)，即N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．。
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测61 文 新人教A版
课时跟踪检测(六十一)[高考基础题型得分练]1．(2017·海南海口模拟)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解答下列问题．(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．解：(1)由题意可知，样本总人数为80.16＝50，∴b＝250＝0.04，∴y ＝b10＝0.004，a ＝16，x ＝0.032.(2)①由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y . 从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共9种情况．∴P (E )＝915＝35.②设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，XY ，共7种情况．∴P (F )＝715.2．某足球队两名主力队员各进行了5组罚点球训练，每组罚10次，罚中次数如下表：场？(2)若从这两名队员的5组中各随机抽取一组分析罚点球的技术和心理因素，求选出的一组中甲恰好罚中次数多于乙的罚中次数的概率．解：(1)计算甲、乙的罚中次数的平均值得x 甲＝6＋5＋7＋9＋85＝7，x乙＝4＋8＋9＋7＋75＝7，所以两人罚中次数的平均值相等，s 2甲＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝2，s 2乙＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝145，s 2甲<s 2乙，甲罚中次数的方差较小，相对更稳定，应派甲队员出场．(2)记甲队员的5组次数分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，乙队员的5组次数分别为B 1，B 2，B 3，B 4，B 5，随机抽取各一组所有可能的情况有25种，分别为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，B 5)，(A 2，B 1)，…，(A 5，B 5)，其中甲恰好罚中次数多于乙的罚中次数的有(A 1，B 1)，(A 2，B 1)，(A 3，B 1)，(A 4，B 1)，(A 5，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 4)，(A 4，B 5)，(A 5，B 4)，(A 5，B 5)，共10种情况，故所求概率为P ＝1025＝25.3．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.[冲刺名校能力提升练]1．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是抛掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4), 所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝316.2．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；(2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．解：(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．(2)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x－y|<0.8，得x－0.8<y<0.8＋x，如图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，则P (|x －y |<0.8)＝P (x －0.8<y <0.8＋x )＝4.163×3＝104225.3．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率． 解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}， 可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}，可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}， 因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－4，－6)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425.(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种， 故点A 不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45.(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)，共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825.。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测31文新人教A版
课时跟踪检测(三十一)[高考基础题型得分练]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－1n＋12 B ．cos n π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π答案：D解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 答案：D解析：∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数的性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.3．已知数列{a n }，a 1＝－14，a n ＝－1a n －1＋1(n >1)，则当a n ＝－14时，n 的值可以为( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案：C解析：由题意，得a 1＝－14，a 2＝－43，a 3＝3，a 4＝－14，…，则a 3m －2＝－14(m ∈N *)，a 16＝－14，故选C.4．[2017·河北保定调研]在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1) 答案：A解析：解法一：由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1. 解法二：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n－1. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1 答案：A解析：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2，∴a 6＝3×46－2＝3×44，故选A.6．[2016·云南一模]在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )A.56B.52C.72 D ．5答案：C解析：因为a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，所以a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，即数列{a n }是周期数列，周期为4，则a 2 016＋a 2 017＝a 4＋a 1＝3＋12＝72，故选C.7．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案：D解析：由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案：D解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案：6116解析：由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案：1n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 11．[2017·山西四校第二次联考]已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 016＝________.答案：3×101 008－3解析：因为a n ·a n ＋1＝2n，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＋2a n＝2，因此a 1，a 3，a 5，…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列，a 2，a 4，a 6，…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列．从而S 2 016＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3×21008－3.12．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案：(－3，＋∞)解析：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·山西四校联考]已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016＝( )A ．1B ．4 018C ．2 010D ．0答案：D解析：依题意，该数列为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009,1，…，按此规律，可知该数列的周期为6，且这6项之和为0.所以这个数列的前2 016项之和S 2 016＝S 336×6＝S 6＝0.2．[2017·湖北宜昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，若数列{a n }满足a n ＝f (n )，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3C ．(2,3)D ．(1,3) 答案：C解析：由已知得a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，若数列{a n }是递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－a ×7－3<a 8－6，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．3．[2016·北京海淀期末]若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7.4．[2016·江西南昌调研]一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．答案：2解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1,2,3,4)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝12a 3＋1，而12a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2. 5．[2017·甘肃天水一模]已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n.求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋a n ＋1＝2n，①∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13； 当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.6．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测56含答案
课时跟踪检测(五十六)1．已知椭圆x 2a 2＋错误!＝1(a 〉b >0）的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝错误!,点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.（1）求椭圆的方程；(2)若A ,B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，错误!·错误!＝0,求|错误!|＋|错误!｜的取值范围．解：（1）由题意，得当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值，此时S △PF 1F 2＝错误!·｜F 1F 2|·｜OP |＝bc ，∴bc ＝4错误!，∵e ＝12，∴b ＝23,a ＝4， ∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.（2）由（1)得，椭圆的方程为x 216＋错误!＝1, 则F 1的坐标为（－2，0），∵错误!·错误!＝0，∴AC ⊥BD 。
①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|错误!｜＋|错误!｜＝6＋8＝14。
②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k（x＋2）,设A（x1,y1)，C(x2，y2），联立错误!消去y，得（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－48＝0,∴错误!∴｜错误!|＝错误!|x1－x2｜＝错误!，此时直线BD的方程为y＝－错误!（x＋2），同理,由错误!可得|错误!|＝错误!,∴｜错误!｜＋｜错误!｜＝错误!＋错误!＝错误!，令t＝k2＋1（k≠0)，则t>1，∴｜错误!｜＋｜错误!|＝错误!，∵t>1,∴0<错误!≤错误!，∴|错误!｜＋｜错误!|∈错误!。
由①②可知,｜错误!｜＋|错误!｜的取值范围是错误!。
2．已知椭圆C1：错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的离心率为e＝错误!，过C1的左焦点F1的直线l:x－y＋2＝0被圆C2：(x－3）2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2错误!。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测49文新人教A版
所以 a 2= 6, b 2= 1, 则 c 2= a 2-b 2= 5.课时跟踪检测（四十九）［高考基础题型得分练］1.椭圆x 2 + my = 1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，贝U m 的值为（1A.4B.C. 2D.答案: 解析: 2 1 2由题意知，a = m b = 1,且a = 2b ,1•m=4,X 22.已知实数4, m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线-+ y = 1的离心率为（B. .7答案：C解析：因为实数4, m,9构成一个等比数列, 所以可得m = 36, 解得m= 6或m=- 6.当圆锥曲线为椭圆时，即2 2m / =1的方程为x + y =1所以离心率e =a =5 _30 6= 当曲线是双曲线时可求得离心率为 .7. 2 23. ［2017 •河北邯郸一模］椭圆12 + 3 = 1 的焦点为F i , F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PB |是|PF |的（ A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍答案：A解析：设线段PF 的中点为D,1 则 |0D = 2I PF 1I 且 OD/ PF , ODL x 轴，••• PF 丄 x 轴，••• |PF | = b =△=€•a 2、p 2又••• |PF | + I PF = 4西，• |PE|= 4 .3_f= =-2.■■- | PFJ 是| PF | 的 7倍.2 2x y4•已知椭圆C ： ； + £= 1的左、右焦点分别为 F l , F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 丄F 1F 2.43若点P 是椭圆C 上的动点，贝U F i P- F 2A 勺最大值为于2贝y c 的方程是()2土=12x 2D -+y =14B.3<3 2_ 9C.4D. 15 ~4答案：B解析：设向量FP, F 2A 的夹角为0 . 由条件知| AR|为椭圆通径的一半,b 2 3即 | AF = - = ©T T 3 T则 F 1P - F 2A = ?| F 1P COS 0 ,于是FP-只需FP 在 F 2A 上的投影值最大,易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点,T T 3 T所以 FP- F 2A = x| F 1P |cos 3.3故选B.5. [2017 •陕西西安质量检测 ]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为F (1,0)，离心率等—1,=—1,点与线段AB 中点的直线的斜率为■，则b 的值为( 2 aB.2*3 3 C症C.2D.2,3 27答案：B解析：设 A (X 1, yj , B (X 2, ax 2 + by 1 = 1, ax 2+ by ! = 1,y 2)，则即 ax 1 — ax 2=— ( by 2 — by 2), 22by 1 — by 22 2 = ax 1 — ax 2.b y — y 2y 1 + y 2 a X 1 — X 2 X 1 + X 2答案：A解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a ), 由于直线 AB 的方程为bx + ay — ab = 0,ab•/ b 2 = a 2 — c 2,「. 3a 4— 7a 2c 2+ 2c 4= 0,解得a 2= 2c 2或3a 2= c 2(舍去)」e =#答案：C 解析：依题意，所求椭圆的焦点位于c1x轴上，2 2因此其方程是++警=X 故选C.6. [2017 •甘肃兰州诊断]已知椭圆 C:2 2x y 云+令=1( a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2, 右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为半| F 1F 2I ，则椭圆C 的离心率e =( )B.~2D.7. [2 017 •江西师大附中模拟]椭圆ax 2+ by 21与直线y = 1 — x 交于A , B 两点，过原••• a x（-1）x• b=孚，故选B.2 2& [2017 •山东青岛模拟]设椭圆m2+ £= 1(m>0, n>0)的右焦点与抛物线y2= 8x的焦点1相同，离心率为2，则此椭圆的方程为 ________ .2 2答案：16+务=1解析：抛物线y2= 8x的焦点为(2,0),•吊—n2= 4,①• m= 4,n2= 12,2 2•椭圆方程为~+12= 1.2 29. _________ [2017 •湖南长沙一模]椭圆r :争+碁=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,焦距为2c,若直线y=J3(x+ c)与椭圆r的一个交点M满足/ MFF2= 2/ MFF，则该椭圆的离心率等于_________________ .答案：3 —1解析：依题意得/ MFF2= 60°,/ MFF1 = 30°,/ RMF= 90°,设| MF| = m则有| MF| = 3m I尸冋=2m该椭圆的离心率是e=丨田_J3_1| MF| + | MI2| = 32x10. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC的顶点A( —4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆忑5答案：5解析：sin A+ sin C | BQ + | BA 2a a 5 sin B =|AQ = 2c= c = 4.2 2 21 2e= 2=m代入①得,2+ y9 = 1上，则S in A+ Sin C的值为sin Bxv 2 y11. [2017 •山东三校联考]椭圆C：孑+話=1(a>b>0)的右焦点为F,双曲线x -3 = 1的一条渐近线与椭圆C交于A, B两点，且AF丄BF则椭圆C的离心率为____________ .答案：3 —12解析：不妨取双曲线x2—V3 = 1的一条渐近线的方程为y= .3x,记椭圆C的左焦点为F1,由题意得| OA = | OB = | OF = | OF| = c,•••四边形AFBF为矩形，△ AFC是正三角形，••• | AF = c, | AF| = Q3c,c 2c•椭圆C的离心率e=a=亦=l FF l = % = 3_1= |AF + |AF| = c+ 3c = 3_12. 已知椭圆的左焦点为R,右焦点为冃，若椭圆上存在一点P,满足线段PR相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 __________________________ PF的中点，则该椭圆的离心率为.答案：£设| F1F2| = 2c, |PF| = 2|CM = 2b, 由椭圆的定义，得|PF a| = 2a_ 2b.2 2 2由勾股定理，得4b + (2 a—2b) = 4c ,2 yl5解得b= 3a, c = -ya,所以椭圆的离心率e =靑［冲刺名校能力提升练］2 21. ［2017 •广东汕头一模］已知椭圆X +吕=1上有一点P , F i , F 2是椭圆的左、右焦点， 若厶F i PR 为直角三角形，则这样的点P 有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个答案：C解析：当/ PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有2个；同理当/ PF 2F 1为直角时，这样的点 P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，/ F i PR 最大，且为直角，此时这样的点P 有2个.故符合要求的点 P 有6 个.+ y =0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ 1 A.- 1 BYC© C.2D. 3 — 1答案：D解析：解法一：设A （m n ），则—/3 =— 1,解得A |,彳-,-2 3-2代入椭圆C 中，有石+ 4b 2=1,.22只 2 2 , 2. 2「•be + 3a - = 4a b ,/ 22、 2 小22 ,2,2 2、/• (a — c )c + 3a c = 4a (a — c ),4介 2 2 ,4…c — 8a c + 4a = 0,二 e — 8e + 4 = 0,2. ［2017 •河北唐山模拟m- - n+ 2=0，］椭圆C:2 2F ,若F 关于直线e = 4±2 , 3,•/ 0<e<1，二e= . 3— 1.解法二：借助于椭圆的定义，本题还有如下简捷解法:设F '是椭圆的右焦点，连接 AF, AF . 由已知得厶AFF 是直角三角形，其中/ A = 90°,/ AFF = 30°,2c—— =3— 1，故选D.c + 3c '2 2x y3.已知F 1, F 2是椭圆G 尹^2= 1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆答案：3••• I FF I = 2c ,. | AF | =0c , |AF | = c , 2c|FF |e= 2a = | AF | + | AF IC 上的一点，且 PF丄PF 2.若厶PFF 2的面积为 9,则 b =解析：设| PF| = r1, | PF| =「2，则r 1+「2= 2a,2,2 2r 1+「2= 4c ,2 22「1「2= (「1 +「2) —(r 1 +r ) =4a2—4c2= 4b2,1 2又S PF_,F2=歹1r2= b = 9,「. b= 3.4. [2017 •河北保定一模]与圆C: (x+ 3)2+ y2= 1外切，且与圆 2 2G: (x —3) + y = 81内切的动圆圆心P的轨迹方解析：设动圆的半径为r，圆心为F(x, y),则有|PG| = r + 1, | PG| = 9- r.所以| PG| + | PG| = 10> | CC ,即P在以2x P的轨迹方程为去+255.已知椭圆G的对称中心为原点O,焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2,且|尸冋=2，点1, 2在该椭圆上.(1)求椭圆G的方程;⑵过F1的直线I与椭圆C相交于A, B两点，若△ AFB的面积为^2#,求以F2为圆心且与直线I相切的圆的方程.解：(1)由题意知c = 1,2 a=gj + p gj + 22= 4，解得a= 2,故椭圆G的方程为x(2)①当直线I 丄x 轴时，可取A — 1, — 2 , B — 1, 2 ， △ AFB 的面积为3，不符合题意.②当直线I 与x 轴不垂直时，设直线I 的方程为y = k (x + 1)，代入椭圆方程得(3 + 4k 3 4 5)x 22 2+ 8k x + 4k — 12= 0,显然△ >0 成立，设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2),3 求椭圆C 的方程；4 在x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆？若存在， 求定点坐标；若不存在，请说明理由.X 1+ X 2= — 8 k 2 3 +4k 2，X 1X 2 = 4k 2— 123+ 4k 2，可得| AB = 1 + k2—X1 + X2 2—4x1X212 k2+l=3 + 4k2，又圆F2的半径r =2| k|_ 1 + k2'•••△ AFB的面积为12| k| .. k2+ 1 12 2 r= 3+ 4k2=十，化简得17k4+ k2—18= 0,得k=± 1,• r = 2,圆的方程为(x —1)2+ y2= 2.2 2x y6. [2017 •湖南四校联考]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：二+ 2= 1(a>b>0)的离心a b率e= 1,且过点(0 , 3)，椭圆C的长轴的两端点为A B,点P为椭圆上异于A, B的动点, 1| AB. 2 2 22 c a — b 1解：⑴ a a 4 b 2= 32 2 x y•••椭圆C 的方程为匚+石=1. 4 3y oy o 则 k l =，k 2=x^， 2 y ok i k 2= ―22 X o — 4x o — 42 4 — x o 3X 4 3x 2— 4 =— 4，由 I PA ：y = k i (x + 2)知 M 4,6 k i ), 由 l PB ： y = k 2(x — 2)知 N (4,2 k 2), • MN 的中点Q4,3总+ k 2),1•••以 MN 为直径的圆的方程为(x — 4)2+ (y — 3k 1— k 2)2=二(6k 1 — 2k ?)2 = (3k 1 — k"2, 4 令y = o ,得x — 8x + 16+ 9k 1 + 6k 〔k 2+ k 2=9k 1— 6k 1 k 2 + k 2,2•- x — 8x + 16+ 12k 1k 2= o , • x 2 — 8x + 16+ 12X-3 = o ,2 即 x — 8x + 7 = o ，解得 x = 7 或 x = 1,•••存在定点(1,o) , (7,o)经过以MN 为直径的圆. ⑵设PA PB 的斜率分别为 k i , k 2, F (x o , y o ),31 - 42 2 T。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测65 含
课时跟踪检测(六十五)1．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13 B.2πC.12D.23答案：A解析：若cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，利用三角函数性质，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数是等可能的， 结合几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.2．实数m 是上的随机数，则关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.23答案：B解析：方程x 2－mx ＋4＝0有实根， 则Δ＝m 2－4×4≥0， ∴m ≥4或m ≤－4. 又m ∈，∴4≤m ≤6，∴关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为 6－46－0＝13.故选B. 3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8答案：B解析：设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.4．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为()A.117B.217C.317D.417答案：B解析：∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34.由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.故选B.5．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈的概率是( ) A.12B.34C.38D.58答案：B解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2， 所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4.由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈，得22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 故要求的概率为π2－0π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝34.6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14 B.13 C.12 D.23答案：C解析：设点M 是BC 边的中点， 因为PB →＋PC →＋2PA →＝0， 所以点P 是中线AM 的中点， 所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C. 7．在区间上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34 D.14答案：C解析：要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0， 即(a ＋2b )(a －2b )<0.∵a ，b ∈，a ＋2b >0， ∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.8．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．答案：18解析：根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝ 4－2 343＝18. 9．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其在到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．答案：π15解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以所求概率为2π30＝π15.10．AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________．答案：12解析：依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， 因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12.11．已知在圆(x －2)2＋(y －2)2＝8内有一平面区域E ：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≤0，y ≥0，mx －y ≤0，m ≥0，点P 是圆内的任意一点，而且点P 出现在任何一点处是等可能的．若使点P 落在平面区域E 内的概率最大，则m ＝________.答案：0解析：如图所示，当m ＝0时，平面区域E (阴影部分)的面积最大，此时点P 落在平面区域E 内的概率最大．1．设k 是一个正整数，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k k 的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈，y ∈，则点(x ，y )恰好落在阴影部分内的概率为( )A.1796B.532C.16D.748答案：C解析：由题意得，C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.阴影部分的面积S 1＝⎠⎛04(4x －x 2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 340＝323.∵任取x ∈，y ∈，∴以x ，y 为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S 2＝4×16＝64，∴所求概率P ＝S 1S 2＝16，故选C.2.在区间内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78B.34 C.12 D.14答案：B解析：若函数f (x )有零点，则4a 2－4(－b 2＋π)≥0，即a 2＋b 2≥π. 所有事件是Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， ∴S ＝(2π)2＝4π2，而满足条件的事件是{(a ，b )|a 2＋b 2≥π}， ∴S ′＝4π2－π2＝3π2， 则概率P ＝3π24π2 ＝34.3．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈，若从区间内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．答案：0.3解析：令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2， 由几何概型的概率计算公式，得P ＝2－ －1 5－ －5 ＝310＝0.3.4．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为________．答案：π8＋14解析：如图，设E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，则满足|PH |<2的点P 在△AEH ，扇形HEF 及△DFH 内， 由几何概型的概率计算公式知，所求概率为14π 2 2＋12×1×1×22×2＝π8＋14.5．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈，y ∈，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)因为x ∈，y ∈，则满足条件的所有基本事件所构成的区域(如图)为矩形ABCD ，面积为S 1＝3×2＝6. 设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y.事件B 包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD ，面积S 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×2＝2，则P (B )＝S 2S 1＝26＝13.即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.6．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球、3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR26.所以在甲商场中奖的概率为P 1＝πR26πR ＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种，所以在乙商场中奖的概率为P2＝315＝15.由于P1＜P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测21文新人教A版
课时跟踪检测(二十一)[高考基础题型得分练]1．[2017·河北张家口模拟]计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112sin 30°＝4. 2．[2017·江西九江一模]已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D.817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．[2017·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12 B.23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知，得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．[2017·山东济宁期末]tan π12－1tanπ12等于( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝ tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3 ＝－2 3.5．[2016·广东广州二测]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ ＝cos ( π12－θ )＝13.6．[2017·甘肃兰州检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ， 即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．[2016·陕西宝鸡模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58.8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ( α－π4 ) ＝－2×24×144＝－74， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋34＝72， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 9．[2017·安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.10．[2017·湖南常德模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)，得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23 B.43 C.34 D.32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．[2017·安徽十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B.1＋538 C.1－358D.1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)， 即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358， 故选A.3．[2017·福建宁德一模]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33， 两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．[2017·河北承德二模]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (2B )的取值范围．解：f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1＝－12.(2)由余弦定理及a cos C ＋c2＝b ，可得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴π3<B ＋π6<2π3， 又f (2B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋12，∴1＋32<f (2B )≤32.∴f (2B )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1＋32，32.。
2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 课时跟踪检测31 理 新人教A版
课时跟踪检测(三十一)[高考基础题型得分练]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－1n＋12B ．cos n π2 C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π答案：D 解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163B ．133C ．4D ．0答案：D 解析：∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 取得最大值为0.3．[2017·湖北黄冈模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2答案：C解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于a 1的值不适合上式，故选C.4．[2017·河北保定调研]在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n＝( )A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)答案：A解析：解法一：由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知，a n ＝2n－1. 解法二：由题意知，a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1.5．[2017·山西四校联考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝( ) A ．2n －1－1 B ．2n－1 C ．2n －1 D ．2n ＋1答案：B解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n－1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n，∴a n ＝2n－1.6．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案：D解析：依题意，得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.7．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案：D解析：由题意，得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案：D解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)知，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案：6116解析：由题意知，a 1a 2a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案：1n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 11．[2017·山西太原二模]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案：2n 2－n ＋2解析：由已知，得1a n ＋1－1a n＝n ，∴1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，∴1a n －1a 1＝n n －12，∴1a n＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2.12．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案：(－3，＋∞)解析：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·山东日照实验中学月考]如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210 B ．129 C.15 D ．110答案：C 解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，a n a n －1＋a na n ＋1＝2， ∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列． 又d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.2．已知{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n n的最小值为( ) A ．21 B ．10 C.212D ．172答案：C解析：由已知条件可知，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1) ＝n 2－n ＋33.又n ＝1时，a 1＝33满足此式，所以a n n＝n ＋33n－1.令f (n )＝a n n＝n ＋33n－1，则f (n )在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数， 又f (5)＝535，f (6)＝212，则f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为212.3．[2017·北京海淀区期末]若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案：B解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223. ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.4．[2017·贵州贵阳监测]已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2015项的乘积a 1a 2a 3·…·a 2 015＝________.答案：3解析：由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 015＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，∴前2 015项的乘积为1503·a 1a 2a 3＝3.5．[2017·甘肃天水一模]已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋a n ＋1＝2n，① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n. 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13； 当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.6．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．解：(1)∵a n＝1＋1a＋2n－1(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又∵a＝－7，∴a n＝1＋12n－9.结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*)．∴数列{a n}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)a n＝1＋1a＋2n－1＝1＋12n－2－a2.∵对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性知，5<2－a2<6，∴－10<a<－8.故a的取值范围为(－10，－8)．。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测6 含答案 精品
课时跟踪检测(六)1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案：D解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1 D ．7答案：A解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2答案：B解析：因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.4．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案：C解析：∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的最小正周期为π.5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝( )A.3＋1 B ．3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1答案：D解析：因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1 006＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3 x－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝1－ 3. 6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在上是减函数，那么f (x )在上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 答案：A解析：由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在上是减函数，则f (x )在上是增函数，所以f (x )在上是增函数．7．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案：C解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a.化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1>3，即2x ＋12x －1－3>0，即2x ＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x－1<0，即1<2x<2，解得0<x <1，故选C.8．定义在(－1,1)上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，若f (1－a )＋f (1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为________．答案：(1，2)解析：由题意知，函数f (x )为奇函数，在(－1,1)上单调递减， 由f (1－a )＋f (1－a 2)>0，得f (1－a )>f (a 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1，解得1<a < 2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝________.答案：－1解析：因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数， 所以当x ∈(0,1)时，－x ∈(－1,0)， 则f (x )＝－f (－x )＝－2－x－15.因为f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)， 所以f (x )是周期为4的周期函数．而4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4) ＝－2－(log 220－4)－15＝－242log 220－15＝－1. 10．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．答案：f (1)>g (0)>g (－1)解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．11．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.答案： 2解析：依题意知，函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0) ＝2 12 －1＋21－1＋20－1 ＝ 2.1．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a答案：C解析：由于函数为偶函数，故m ＝0，f (x )＝2|x |－1.a ＝f (log 0.53)＝f (log 23)，c ＝f (2m )＝f (0)，由于函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且log 21<log 23<log 25，所以c <a <b .2．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2答案：A解析：∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (2 014)＝f (2)＝2.3．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x＋2)＝f (x )，且当x ∈若关于x 的函数f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin xx 2＋t(t >0)的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为________．答案：2解析：由题意，f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin x x 2＋t ＝t ＋2x ＋sin x x 2＋t ，显然函数g (x )＝2x ＋sin xx 2＋t是奇函数，∵函数f (x )最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4， ∴M －t ＝－(N －t )，即2t ＝M ＋N ＝4，∴t ＝2.5.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.6．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f (x )在区间上的解析式；(2)若存在x ∈(0,1)，满足f (x )＞m ，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )为R 上的奇函数，得f (－x )＝－f (x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x2x ＋1，即f (x )＝2x－12x ＋1，x ∈(－1,0)．又由f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴当x ＝0时，f (1)＝f (－1)． 又∵f (－1)＝－f (1)，∴f (－1)＝0，f (1)＝0， 故f (x )在区间上的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，1}.(2)∵f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1.又x ∈(0,1)，∴2x∈(1,2)， ∴1－22x ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. 若存在x ∈(0,1)，满足f (x )＞m ，则m ＜13，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13.。
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测65 文 新人教A版
课时跟踪检测(六十五)[高考基础题型得分练]1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B.3,2 C ．3，－3 D.－1,4答案：A解析：(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A.2．[2017·江西南昌一模]已知i 为虚数单位，则复数z ＝(－1－2i)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限 答案：D解析：z ＝(－1－2i)i ＝2－i ，对应的点Z (2，－1)在第四象限． 3．[2017·贵州遵义联考]复数53＋4i 的共轭复数为( )A ．3－4i B.3＋4i C.35－45i D.35＋45i 答案：D 解析：53＋4i＝－＋－＝35－45i ， ∴z ＝35＋45i.4．[2017·河北衡水一模]如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B.3C ．2 2 D.3 3答案：A解析：z 1＝－2－i ，z 1＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A.5．[2017·陕西西安质检]已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1 B.0 C ．1 D.i答案：C 解析：z ＝1＋2i2－i＝＋＋－＋＝i ，故选C.6．[2017·河北名校模拟]已知复数z ＝m ＋3i－2＋i的实部与虚部之和为0，则实数m 等于( )A ．－3 B.－1 C ．1 D.3答案：B解析：由已知得z ＝m ＋3i －2＋i ＝－2m ＋3－＋m5，则－2m ＋3－(6＋m )＝0⇒m ＝－1.7．[2017·陕西八校联考]已知i 是虚数单位，则i2 0151＋i ＝( )A.1－i2B.1＋i2 C.－1－i2D.－1＋i2答案：C解析：i 2 0151＋i ＝i 4×503＋31＋i ＝i 31＋i ＝－i1＋i＝－－＋－＝－1－i 2.8．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B.20 C. 5 D.2 5答案：D解析：z 1＝2＋1－i 1＋i＝2＋－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝2 5.故选D.9．[2017·陕西西安质检]设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i，则z1·z2＝________.答案：－5＋12i解析：z1＝3－2i，由题意知z2＝－3＋2i.∴z1·z2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i.10．[2015·江苏卷]设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．答案： 5解析：∵z2＝3＋4i，∴|z|2＝|3＋4i|＝5，即|z|＝ 5.11．[2017·河北唐山模拟]若复数z满足z＝i(2＋z)(i为虚数单位)，则z＝________.答案：－1＋i解析：由已知得z＝2i＋z i，∴z(1－i)＝2i，z＝2i1－i ＝＋－＋＝－1＋i.12．[2017·云南昆明模拟]设i是虚数单位，若复数(2＋a i)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．答案：2解析：(2＋a i)i＝－a＋2i，其实部与虚部分别为－a,2，故－a＋2＝0，因此a＝2.13．计算：(1)－1＋＋i3；(2)＋2＋－2＋i；(3)1－i＋2＋1＋i－2；(4)1－3i3＋2.解：(1)－1＋＋i3＝－3＋i－i＝－3＋－i·i＝－1－3i.(2)＋2＋－2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝－5＝15＋25i.(3)1－i1＋2＋1＋i－2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i3＋2＝3＋－3＋2＝－i3＋i＝－3－4＝－14－34i.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南株洲模拟]复数1＋2i2－i 的共轭复数是( )A.3i 5B.－3i 5C ．i D.－i答案：D 解析：由1＋2i2－i＝＋＋－＋＝5i5＝i ，∴共轭复数为－i. 2．[2017·河南开封模拟]已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2 B.－2 C ．±2 D.－12答案：B解析：∵z ＝1＋a i ，∴z ＝1－a i ， ∴zz ＝1－a i 1＋a i ＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 21＋a 2＝－35，－2a 1＋a 2＝45，解得a ＝－2.3．已知复数z ＝(a －2)(a －3)＋(a 2－1)i(i 为虚数单位，a ∈R )，则“a ＝2”是“复数z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：若a ＝2，则z ＝3i 为纯虚数；反之，若z 为纯虚数，则a ＝2或a ＝3.故选A. 4．如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3i B.－3－i C ．3－i D.3＋i答案：D解析：由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i＝1－i ＋＋－＋＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.5．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限答案：B解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限，故选B.6．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B.p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D.p 3，p 4答案：C解析：∵z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝－2＋－2＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ， ∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题为：p 2，p 4.7．复数－1＋3i1＋2i (i 为虚数单位)的共轭复数为________．答案：1－i解析：因为复数－1＋3i 1＋2i ＝－1＋－＋－＝5＋5i 5＝1＋i ，所以其共轭复数z ＝1－i.8．若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案：3 解析：由3＋b i1－i＝＋b ＋－＋＝3－b ＋＋b 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2， 解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.9．复数z 满足(3－4i)z ＝5＋10i ，则|z |＝________. 答案： 5解析：由(3－4i)z ＝5＋10i 知，|3－4i|·|z |＝|5＋10i|，即5|z |＝55，解得|z |＝5.10．[2017·江苏泰州一模]如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案：－2－i解析：由题图易知A (－1,2)，∴z 1＝－1＋2i ，由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪ 4i2⎪⎪⎪x i x ＋i ，则y ＝________. 答案：－2解析：因为x ＝1－i1＋i ＝－22＝－i.所以y ＝⎪⎪⎪ 4i2⎪⎪⎪ x i x ＋i ＝⎪⎪⎪ 4i2⎪⎪⎪10＝－2. 12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测61 含
课时跟踪检测(六十一)1．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种答案：D解析：解法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A 34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C 23A 24种方法．由分类加法计数原理知，共A 34＋C 23A 24＝60(种)方法．解法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64(种)排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求，共4种，所以总投资方案共64－4＝60(种)．2．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种答案：C解析：程序A 有A 12＝2(种)结果，将程序B 和C 看作元素集团与除A 外的元素排列有A 22A 44＝48(种)，∴由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96(种)方法．3．将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学这三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法为( )A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种答案：C解析：5名学生分成 2,2,1或3,1,1两种形式，当 5 名学生分成 2,2,1时，共有12C 25C 23A 33＝90(种)方法；当 5 名学生分成 3,1,1时，共有C 35A 33＝60(种)方法．根据分类加法计数原理知，共有90＋60＝150(种)．4．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种答案：C解析：一个路口有3人的分配方法有C13C22A33种；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33种．∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( ) A．360 B．520C．600 D．720答案：C解析：当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35A44＝480；当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A25A23＝120.则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600.6．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A．12 B．6C．8 D．16答案：A解析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6(种)方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6(种)方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12(种)．7．有5本不同的教科书，其中语文书2本、数学书2本、物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96答案：B解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得，共有A22A24＋A22A12C12C13＝48(种)摆放方法．8．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种．答案：21解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通有C12·(C13＋C23＋C33)＝14(种)方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7(种)方式，所以共有14＋7＝21(种)方式．9．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种．(用数字作答)答案：144解析：由于B，C相邻，把B，C看作一个整体，有 2 种排法．这样，6个元素变成了 5 个．先排A，由于A不排在两端，则A在中间的 3 个位子中，有A13＝3(种)方法，其余的 4 个元素任意排，有A44种不同方法，故不同的排法有2×3×A44＝144(种)．10．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________．(用数字作答)答案：96解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4(种)情况，再对应到4个人，有A44＝24(种)情况，则共有4×24＝96(种)情况．1．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为( ) A．80 B．84C．96 D．104答案：C解析：所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个颜色互不相同有A34＝4×3×2＝24(种)，∴这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法有24×4＝96(种)．2．某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有( ) A．210种B．420种C．630种D．840种答案：B解析：从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有A39种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A35＋A34种，故符合条件的选派方案有A39－(A35＋A34)＝420(种)．3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )A．252个B．300个C ．324个D ．228个答案：B解析：①若仅仅含有数字0，则选法是C 23C 14，可以组成四位数C 23C 14A 33＝12×6＝72(个)； ②若仅仅含有数字5，则选法是C 13C 24，可以组成四位数C 13C 24A 33＝18×6＝108(个)； ③若既含数字0，又含数字5，选法是C 13C 14，排法是：若0在个位，有A 33＝6(种)；若5在个位，有2×A 22＝4(种)，故可以组成四位数C 13C 14(6＋4)＝120(个)．综上，共有72＋108＋120＝300(个)．4．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N 1，其中N 2，N 3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N 1<N 2<N 3的所有排列的个数是________．答案：240解析：由题意知，6必在第三行，安排6有C 13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A 25种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C 12种方法，剩下的两个数字有A 22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C 13A 25C 12A 22＝240.5．将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．答案：900解析：先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22A 33C 24＝900(种)．6．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本，有C 16种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25种选法；最后余下3本全选，有C 33种选法．故共有C 16C 25C 33＝60(种)． (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C 16C 25C 33A 33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C 26C 24C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则C 26C 24C 22种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)．(4)有序均匀分组问题． 在(3)的基础上再分配给3个人， 共有分配方式C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)．(5)无序部分均匀分组问题．共有C 46C 12C 11A 22＝15(种)．(6)有序部分均匀分组问题．在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26C 12C 11A 22·A 33＝90(种)．(7)直接分配问题．甲选1本，有C 16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 15种方法，余下4本留给丙，有C 44种方法，故共有分配方式C 16C 15C 44＝30(种)．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测6 Word版含答案
课时跟踪检测(六)．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )．＝－．＝＋．＝＋．＝＋答案：解析：项，定义域为，(－)＝－－＝－()，为奇函数，故不符合题意；项，定义域为，(－)＝－＝()，为偶函数，故不符合题意；项，定义域为，(－)＝－＋＝＋＝()，为偶函数，故不符合题意；项，定义域为，(－)＝－，－()＝－－，因为(－)≠－()，且(－)≠()，故为非奇非偶函数．．已知()＝＋－＋是偶函数，且其定义域为，则＋＝( )．－．．答案：解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－＋＝，所以＝.又()为偶函数，所以(－)－－＋＝＋－＋，解得＝，所以＋＝.．设函数()为偶函数，当∈(，＋∞)时，()＝，则(－)＝( )．．－．．－答案：解析：因为函数()是偶函数，所以(－)＝()＝＝.．函数()＝是( )．最小正周期为π的奇函数．最小正周期为π的奇函数．最小正周期为π的偶函数．最小正周期为π的偶函数答案：解析：∵(－)＝(－)＝，∴函数()为偶函数．∵(＋π)＝(＋π)＝，∴函数()的最小正周期为π.．已知()是定义在上的周期为的奇函数，当∈()时，()＝－，则)))＝( )．－＋．－－．－＋答案：解析：因为(＋)＝()＝－(－)，所以)))＝＋()))＝＝－＝－.又当∈()时，()＝－，所以＝－，)))＝－.．已知函数()是定义域为的偶函数，且(＋)＝，若()在上是减函数，那么()在上是( )．增函数．减函数．先增后减的函数．先减后增的函数答案：解析：由题意知(＋)＝＝()，所以()的周期为.又函数()是定义域为的偶函数，且()在上是减函数，则()在上是增函数，所以()在上是增函数．．若函数()＝是奇函数，则使()>成立的的取值范围为( )．(－)．(－∞，－)．(，＋∞)．()答案：解析：因为函数＝()为奇函数，所以(－)＝－()，即＝－.化简可得＝，则>，即－>，即>，故不等式可化为<，即<<，解得<<，故选.．定义在(－)上的函数()＝－＋，若(－)＋(－)>，则实数的取值范围为．答案：(，)解析：由题意知，函数()为奇函数，在(－)上单调递减，由(－)＋(－)>，得(－)>(－)，∴(\\(－<－<，,－<－<，－<－，))解得<<.．定义在上的函数()满足(－)＝－()，(－)＝(＋)，且当∈(－)时，()＝＋，则()＝.答案：－解析：因为(－)＝－()，所以()是奇函数，所以当∈()时，－∈(－)，则()＝－(－)＝－－－.因为(－)＝(＋)，所以()＝(＋)，所以()是周期为的周期函数．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测36文新人教A版
课时跟踪检测(三十六)[高考基础题型得分练]1．[2017·贵州贵阳检测]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误；∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确；∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确；∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确．故选C.2．[2017·四川成都模拟]已知a ，b 为非零实数且a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案：C解析：若a <b <0，则a 2>b 2，故A 项错误；若0<a <b ，则b a >a b，故D 项错误；若ab >0，则ab 2>a 2b ，故B 项错误．3．[2017·山东烟台模拟]已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <BD ．B <C <A 答案：B解析：解法一(作差法)：由－1<a <0，得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C > A ，所以B <A <C .解法二(特殊值法)：令a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，因此得B <A <C .故选B.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 答案：D解析：由题意知，当a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.5．[2017·广东惠州模拟]不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞) 答案：B解析：1－x2＋x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＋x ≥0，2＋x ≠0，⇔－2<x ≤1.6．[2017·湖南益阳3月调研]设a ＝4.10.1，b ＝log 30.1，c ＝0.50.1，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．b >c >a 答案：C解析：因为a ＝4.10.1>4.10＝1，b ＝log 30.1<log 31＝0，c ＝0.50.1∈(0.51,0.50)＝(0.5,1)，所以a >c >b .故选C.7．[2017·皖南八校联考]若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 答案：A解析：由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间 答案：C解析：设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意，有(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C.9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 解析：由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得x >5或－5<x <0.10．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.11．若关于x 的不等式ax 2－x ＋2a <0的解集为∅，则实数a 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 解析：依题意可知，问题等价于ax 2－x ＋2a ≥0恒成立， 当a ＝0时，－x ≥0不恒成立，故a ＝0舍去； 当a ≠0时，要使ax 2－x ＋2a ≥0恒成立， 即f (x )＝ax 2－x ＋2a 的图象不在x 轴的下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－8a 2≤0，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·河南郑州一测]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 答案：B解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)，故选B.2．对一切正整数n ，不等式2x －1x >nn ＋1恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞) 答案：D解析：由条件知，只需2x －1x >⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1max ，而n n ＋1＝11＋1n<1，所以2x －1x≥1，解得x ∈(－∞，0)∪[1，＋∞)．3．[2017·山东淄博模拟]已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，对于系数a ，b ，c 有下列判断：①a >0；②b >0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0.则正确判断的序号是( )A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．②③⑤ 答案：B解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，因为f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，所以抛物线开口向下，a <0，①错误；－12，2是二次函数的两个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f 2＝0，两根之和－12＋2＝－b a 且两根之积－12×2＝ca ，故②③正确；由数形结合易知f (－1)<0，f (1)>0，④正确，⑤错误．故选B.4．[2017·陕西西安质检]在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案：32解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.5．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.6．[2017·北京朝阳统一考试]已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可． 所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测23 文 新人教A版
课时跟踪检测(二十三)[高考基础题型得分练]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D答案：A解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．[2017·山东济南模拟]将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin 2x ＋2 C ．y ＝cos 2x D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案：A解析：将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A.3．[2017·辽宁丹东二模]函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π8D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π16答案：B解析：由题中图象可知，该函数的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，所以ω＝2ππ＝2.又当x ＝π8时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以所求函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选B. 4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．－ 3 B.33C ．1 D. 3 答案：D解析：由题意可知，该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关答案：C解析：π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，当x ＝π时，函数y 的值为0.故选C.6．[2017·广西第一次质检]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是()A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15答案：B解析：由题图可以判断|A |<1，T >2π，|ω|<1.f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．7．[2017·河北承德一模]已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8．[2017·山西太原模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫w >0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案：B解析：∵f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案：22解析：―――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6解析：据已知两个相邻最高点和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋＋2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12， 故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.11．[2017·辽宁抚顺一模]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2，点P (x 1,4)和Q (x 2,4)是函数f (x )图象上相邻的两个最高点，且|x 1－x 2|＝π，x ＝π3是函数f (x )的一个零点，则使函数f (x )取得最大值的最小正数x 0的值是________．答案：π12解析：由题意，可得A ＝4，2πω＝π， 所以ω＝2，f (x )＝4sin(2x ＋φ)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，又0≤φ≤π2，所以φ＝π3，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 再根据sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝1，可得最小正数x 0＝π12.12．[2017·皖北协作区联考]已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3； ⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称．答案：①③④⑤解析：f (x )＝sin x ＋3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 所以①正确；将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝1≠0，所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，⑤正确．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D ．把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象答案：C解析：对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错； 函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确； 把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错．2．[2017·江西南昌一模]如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )A B C D答案：C解析：如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称， 所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ， 所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B,2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 则x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2，x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x N －x M |＝T 2＝πω(常数)，故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝()A ．1 B.12 C.22 D.32答案：D解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案：143解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4≤πω，即ω≤12， 令k ＝0，得ω＝143.5．[2017·重庆巴蜀中学一模]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若关于x 的方程g (x )－(2m ＋1)＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)通过平移，g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，方程g (x )－(2m ＋1)＝0有两个解可看成函数y ＝g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2和函数y ＝2m ＋1的图象有两个交点，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，为使直线y ＝2m ＋1与函数y ＝g (x )的图象有两个交点，只需52≤2m ＋1<5，解得34≤m <2.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.。
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测13 文 新人教A版
课时跟踪检测(十三)[高考基础题型得分练]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)答案：C解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．2016世界机器人大会于10月21日～10月25日在北京举行，现场有一机器人的运动方程为S (t )＝t 39＋t ，其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么该机器人在6秒末的瞬时速度是( )A ．4米/秒B ．6米/秒C ．13米/秒D ．15米/秒答案：C解析：因为S (t )＝t 39＋t ，所以S ′(t )＝t 23＋1，所以S ′(6)＝13，即6秒末的瞬时速度为13米/秒，故选C.3．[2017·山东师大附中月考]曲线y ＝a x在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( )A.12 B ．2 C ．ln 2 D ．ln 12答案：A解析：由题知y ′＝a xln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0,1)，故切线方程为x ln a －y ＋1＝0，∴a ＝12.4．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4答案：D解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 5．[2017·河北保定调研]已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．－eC.1e D ．－1e答案：C解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′| x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6．[2017·河南开封一模]已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( )A ．－1B ．1C ．3D ．4答案：C解析：对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，所以k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.7．[2017·郑州质检]已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案：B解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.8．若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6答案：B解析：由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，即tan α≥－1，α∈[0，π)，又－12≤x ≤12，tan α＝k <0，所以α的最小值是3π4，故选B.9．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 答案：e解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.10．若直线l 与幂函数y ＝x n的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 答案：12x －y －16＝0解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)，∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.11．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a fa＋b fb＋c fc＝________.答案：0解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a fa ＋b f b＋c fc＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北衡水一调]设a ∈R ，函数f (x )＝e x －a e －x的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－1答案：D解析：f ′(x )＝e x ＋a e －x ，由f ′(x )是奇函数，即f ′(x )＝－f ′(－x )⇒e x ＋a e －x＝－(e －x＋a e x)⇒a ＝－1，故选D.2．[2017·湖北七校联考]设曲线y ＝a 2＋1sin x (a ∈R )上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )A B C D 答案：B解析：由题意，得g (x )＝a 2＋1cos x ，则y ＝a 2＋1·x 2cos x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除选项A ，D ；显然，x ＝0是函数y ＝a 2＋1·x 2cos x 的一个零点，故排除选项C.故选B.3．[2017·江西上饶模拟]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22D. 3答案：B解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.4．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，求切线方程．解：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax (x ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 2，x ＝e 2.∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e，∴切线的方程为y－e ＝12e (x －e 2)，即y ＝12e x ＋e 2.5．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.6．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)求证曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测62含解析
课时跟踪检测(六十二)[高考基础题型得分练］1．观察下列各式：71＝7,72＝49，73＝343，74＝2 401,75＝16 807，…，则72 016的末两位数字为（)A．49 B.43C．07 D。
01答案:D解析：71,72，73，74,75，…的末两位数字分别为07,49，43，01,07,…，周期性出现(周期为4），而2 016＝4×504,所以72 016的末两位数字必定和74的末两位数字相同．故选D。
2．［2017·山东临沂模拟]观察（x2)′＝2x，（x4）′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x)，记g(x)为f（x）的导函数，则g(－x）＝( ）A．f（x）B。
－f（x）C．g（x) D。
－g(x）答案:D解析：由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x)是偶函数时，其导函数应为奇函数,故g（－x）＝－g（x）．答案:C解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个,前面共有21个,3⊗5是和为8的第3项，所以是第24项，故选C。
4．已知△ABC中,∠A＝30°，∠B＝60°，求证:a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B。
∴a<b。
其中，画线部分是演绎推理的( )A．大前提 B.小前提C．结论D。
三段论答案：B解析：由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提．答案：A解析：由错误!＝3,错误!＝33，错误!＝333，……可知当被开方式中的减数是多少个2时,等式右边的结果就是多少个3，故选A.6．[2016·安徽“江淮十校"第三次联考]我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少，割之又割,以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在错误!中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋错误!＝（) A。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测76含答案
课时跟踪检测(七十六)1．已知函数f（x)＝|x－3｜－|x－a|。
(1）当a＝2时,解不等式f（x)≤－错误!;(2)若存在实数a,使得不等式f（x)≥a成立，求实数a的取值范围．解：（1)∵a＝2，∴f(x）＝｜x－3|－|x－2|＝错误!∴f（x)≤－错误!等价于错误!或错误!或错误!解得错误!≤x＜3或x≥3，∴不等式的解集为错误!。
（2）由不等式性质可知，f（x）＝｜x－3|－|x－a｜≤|（x－3）－（x－a）|＝|a－3｜,∴若存在实数x,使得不等式f（x)≥a成立,则｜a－3|≥a，解得a≤错误!，∴实数a的取值范围是错误!。
2．已知函数f（x）＝｜2x－a｜＋a.（1）若不等式f(x）≤6的解集为，求实数a的值;(2）在（1)的条件下，若存在实数n使f(n）≤m－f（－n)成立，求实数m的取值范围．解:(1)由｜2x－a｜＋a≤6,得｜2x－a｜≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.(2）由(1）知，f(x）＝｜2x－1|＋1，令φ(n)＝f（n）＋f（－n)，则φ（n)＝｜2n－1｜＋|2n＋1｜＋2＝错误!∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是已知函数f（x）＝｜3x＋2｜。
（1）解不等式f(x）<4－|x－1｜;(2)已知m＋n＝1(m，n>0),若｜x－a|－f(x)≤错误!＋错误!(a>0）恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)不等式f（x）〈4－｜x－1｜，即｜3x＋2｜＋|x－1|〈4.当x<－错误!时，即－3x－2－x＋1<4,解得－错误!<x〈－错误!；当－错误!≤x≤1时,即3x＋2－x＋1<4，解得－错误!≤x＜错误!；当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．综上所述，x∈错误!。
（2）1m＋错误!＝错误!(m＋n）＝1＋1＋错误!＋错误!≥4，令g(x）＝|x－a|－f（x）＝｜x－a|－｜3x＋2｜＝错误!∴x＝－错误!时，g（x)max＝错误!＋a,要使不等式恒成立，只需g(x)max＝错误!＋a≤4，即0〈a≤错误!.故实数a的取值范围为错误!。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测33含答案
课时跟踪检测（三十三）1．在等比数列｛a n｝中,如果a1＋a4＝18,a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( ）A．2 B．12C．2或错误!D．－2或错误!答案：C解析：设数列{a n}的公比为q，由错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，得q＝2或q＝错误!。
2．在等比数列｛a n}中,若a1＝3，a4＝24,则a3＋a4＋a5＝( ) A．33 B．72C．84 D．189答案：C解析：由已知，得q3＝错误!＝8，解得q＝2,则有a3＋a4＋a5＝a1(q2＋q3＋q4)＝3×（4＋8＋16）＝84。
3．已知x,y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz＝（）A．－3 B．±3C．－3 3 D．±3错误!答案:C解析：由等比中项知,y2＝3,∴y＝±错误!。
又∵y与－1,－3符号相同，∴y＝－错误!，y2＝xz,∴xyz＝y3＝－3错误!。
4．已知正数组成的等比数列｛a n}，若a1·a20＝100,则a7＋a14的最小值为（）A．20 B．25C．50 D．不存在答案：A解析：∵(a7＋a14）2＝a错误!＋a错误!＋2a7a14≥4a7a14＝4a1a20＝400，∴a7＋a14≥20.5．已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n＝a·2n－1＋16，则a＝( ) A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!答案:A解析：当n≥2时,a n＝S n－S n－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2。
当n ＝1时，a1＝S1＝a＋错误!,∴a＋错误!＝错误!,解得a＝－错误!.6．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1,b2，b3,9是等比数列，则错误!＝( )A.错误!B．错误!C。
310D．错误!答案：C解析：因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2,b3,9是等比数列，所以b错误!＝1×9＝9,易知b2〉0，所以b2＝3，所以错误!＝错误!.7．已知｛a n｝是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（)A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0答案:B解析：∵a3，a4，a8成等比数列,∴（a1＋3d)2＝(a1＋2d)（a1＋7d),整理，得a1＝－错误!d，∴a1d＝－错误!d2＜0。
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课时跟踪检测(六)[高考基础题型得分练]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案：D解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故既不是奇函数，也不是偶函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1 D ．7答案：A解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案：B解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x－1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，故选B. 4．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数答案：C解析：∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的最小正周期为π.5．[2017·湖北荆州模拟]已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1答案：D解析：因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3 x－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝1－ 3. 6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案：A解析：由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98答案：A解析：∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.8．定义在(－1,1)上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，若f (1－a )＋f (1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为________．答案：(1，2)解析：由题意知，函数f (x )为奇函数，在(－1,1)上单调递减，由f (1－a )＋f (1－a 2)>0，得f (1－a )>f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1，解得1<a < 2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝________.答案：－1解析：因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，所以当x ∈(0,1)时，－x ∈(－1,0)，则f (x )＝－f (－x )＝－2－x－15.因为f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期为4的周期函数．而4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2 －(log 220－4)－15＝－242log 220－15＝－1. 10．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．答案：f (1)>g (0)>g (－1)解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x－2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．11．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案：－32解析：函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )， 即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax，整理得e 3x＋1＝e2ax ＋3x(e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·陕西西安模拟]设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 答案：C解析：由f (2－x )＝f (x )可知，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 2．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2答案：A解析：∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (2 014)＝f (2)＝2.3．[2016·广东惠州三调]如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12答案：A解析：由题中图象知，f (x )＝0有3个根0，a ，b ，a ∈(－2，－1)，b ∈(1,2)，g (x )＝0有3个根0，c ，d ，c ∈(－1,0)，d ∈(0,1)，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或a ，b ，由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根，因而m ＝9；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝0或c ，d ，由图象可以看出0时对应有3个根，d 时有4个，c 时只有2个，加在一起也是9个，即n ＝9，∴m ＋n ＝9＋9＝18，故选A.4．[2017·内蒙古包头模拟]若关于x 的函数f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin xx 2＋t(t ＞0)的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为________．答案：2解析：由题意，f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin xx 2＋t ＝t ＋2x ＋sin x x 2＋t ，显然函数g (x )＝2x ＋sin xx 2＋t是奇函数， ∵函数f (x )最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4， ∴M －t ＝－(N －t )，即2t ＝M ＋N ＝4，∴t ＝2.5．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.6．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数， 且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|， 所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。