MSDC1.1版.初中数学.中考复习.第05讲.反比例函数

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九年级反比例函数知识点

九年级反比例函数知识点反比例函数是数学中的一种特殊函数类型，它的图像呈现出一条直线，并且函数的定义域和值域都不包括零。

在九年级学习数学的过程中，反比例函数是一个重要的知识点。

本文将为大家介绍九年级反比例函数的相关知识。

一、反比例函数的定义与特征反比例函数是指当自变量x变大时，函数值y变小；当自变量x变小时，函数值y变大。

可以简单地用以下形式表示：y = k/x，其中k为一个常数。

反比例函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。

反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。

这条直线的渐进线是x轴和y轴，即当x趋近于正无穷或者负无穷时，函数值y趋近于零。

二、反比例函数的性质与运算1. 曲线的平移：若y = k/x关于y轴平移h个单位，则函数变为y = k/(x - h)。

2. 曲线的伸缩：若y = k/x的k值乘以a，则函数变为y = ak/x。

当a>1时，图像在x轴方向上被压缩；当0<a<1时，图像在x轴方向上被展开。

3. 曲线的关于y轴的对称：若y = k/x关于y轴对称，则函数变为y = -k/x。

4. 曲线的关于x轴的对称：若y = k/x关于x轴对称，则函数变为y = -k/x。

三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个反比例函数。

比如地图上标注1cm代表的实际距离为1km，这个比例尺可以表示为y = 1/x。

2. 速度与时间：当一辆车以恒定的速度行驶时，车辆的速度与时间呈现出反比例关系。

速度越大，所用的时间越短，可以用反比例函数来表示。

3. 某商品的价格与销售数量：在市场中，某商品的价格与销售数量通常是呈反比例关系的。

价格越高，销售数量越小，可以用反比例函数来描述。

四、反比例函数的图像与解析式反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。

中考数学反比例函数复习专题.docx

反比例函数★考点一反比例函数的定义一般地，函数y=g或y= fcx_l kx—i（k是常数,i#o）叫做反比例函数.X1.反比例函数y=g中的g是一个分式，所以白变最x丸，函数与x轴、y轴无交点.X X2.反比例函数解析式口J以写成xy=k（k#））,它表明在反比例*1数屮自变量x与具对应函数值y之积，总等于已知常数k. ★考点二反比例函数的图象和性质反比例函数y=瓠丸）的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.（l）k>00图象（双Illi线）的两个分支分别在一、三象限，如图①所示.图象自左向右是下降的O当x<0 或x>0时，y随x的增人而减小（或y随x的减小而增人）.（2）k<00图象（双曲线）的两个分支分别在二、四象限，如图②所示.图象自左向右是上升的O当xVO 或x>0时，y随x的增大而增大（或y随x的减小而减小）.例1若ab>0 ,则一次函数y二ax+b与反比例函数y二冬在同一坐标系数中的大致图象是（）XB .图象在第二.四象限对应训练k2 +11 .正比例函数y=kx和反比例函数y = - —- （ k是常数且k*0 ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（C . x> 0时，y随x的增大而增大D . x< 0时，y随x增大而减小① ②XH72 .反比例函数y 二一的图象如图所示，以下结论：① 常数m<-1 ;②在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③ 若A( -1 ,h),B(2,k)在图象上，则h v k ;④ 若P(x,y)在图象上，则P‘(・x ,・y )也在图象上. 其中正确的是()★考点三反比例函数解析式的确定由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需己知一组对应值就町以. 待定系数法求解析式的步骤：① 设出含有待定系数的函数解析式；② 把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③ 解方程求出待定系数.£ 一1例3如果反比例函数歹=——的图象经过点(-1,-2),则k 的值是()xA . 2B .・2C . -3D . 3对应训练3. 已知关于x 的方程(x+1 ) 2+ ( x-b ) 2=2有唯一的实数解，且反比例函数y = ^-的图象在每个象限内Xy 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为()A3 a 1厂2 厂2A . y = — B.y = — C . y = — D . y = ------------------------------------x * x x x★考点四反比例函数屮比例系数K 的儿何意义反比例函数y=£(kfO)中k 的儿何意义：双曲线y=?(k*O)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|. 理由：如图①和②，过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB 所得的矩形 PAOB 的面积 S=PA-PB = |y|-|x| = |xy|； Vy=g ・・・xy=k, ・・・S = |k|,即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|,同理可得 X②SAOPA=SAAOB =||xy|=||k|.k传||4 如图,反比例函数y =— (x>0 )的图象经过矩形OABC 对角线的交点M f 分别于AB 、BC 交于点D 、E ,若四边形ODBE 的面积为9 ,则k 的值为( )A ・1B.2C ・3D.4对应训练k4 •如图，直线y=mx 与双曲线y =—交于A , B 两点,过点A 作AM±x 轴，垂足为点M ,连接BM ,若S MBM =2，则k 的 _ -k 2-1值为()厂—；—★考点五反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变最的収值范围.2例5如图，一次函数yi 二x+1的图象与反比例函数儿=—的图象交于A 、B 两点，过点作AC±x 轴于点C,x过点B 作BD 丄x 轴于点D , 连接AO 、BO ,下列说法正确的是()A .点A 和点B 关于原点对称J AIB.当 xv ［时， R\ E BC \ A7IC . S A AOC =S A对应训练6 • 一次函数yi=kx+b ( k*0 )与反比例函数y 2= —(m*0),在同一直角坐标系中的图象如图所示，若屮>k- X9一一J> (X D .当x>0时大而增大 yu y2都随x 的增BODy2）则x的取值范围是（A.-2<x<0^x>1 B . xv ・ 2 或OvxvlD ・-2 < x < 1经典例题:例1、如图，已知双曲线y=$k<0）经过直角三角形OAB斜边OA的屮点D, 且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为（-6,4）,则AAOC的面积为（）A. 12B. 9C. 6D. 4例2、如图，在直角处标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双3曲线y=2（x>0）上的一个动点，当点B的横处标逐渐增大时，AOAB的而积将会x（）A.逐渐增人B.不变C.逐渐减小D.先增人后减小例3、如图，己知直线y =ax + b经过点A（0, —3）,与x轴交于点C,且与双|11|线相交于点B（-4, —a）、点D.⑴求直线和双曲线的函数关系式；（2）求ACDCK其中0为原点）的面积.例4、如图,已知反比例函数y出与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（l, —k+4）・X①试确定这两个两数的表达式；②求出这两个函数图彖的另一个交点B的坐标，并根据图彖写出使反比例函数的值大丁•一次函数的值的x 的取值范围.复习巩固：1、若反比例函数的图象经过点（3,2）,则k的值为（）XA. -6B. 6C. -5D. 52、下列四个点屮，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（）2、反比例函数y=(2m —5心2・当x>0时，y 随x 的增大而增大,则m 的值是()A. ±1B.小于*的实数C. -1D. 13、反比例函数y=£图象上有三个点(X[, yj 、陲,y2)、(x 3, y 3)»其中xi<x 2<0<x 3,则yi 、y 2> y3的大zx小关系是()A. yi<y2<y3B. y2<yi<y3C. y3<yi<y 2 D ・些00\A. (5,1)B. (-1,5)C. (-3, -*)D. (|, 3)3、已知反比例函数y=£下列结论不疋确的是()X A ・图象经过点(1,1)B.图象在第一、三象限 C ・当x<0时，y 随着x 的增大而增大D.当x>l 时，0<y<l|z — 14. 反比例函数y=丁的图象在每条曲线上，y 随x 的增人而减小，则k 的值可为()A. -1 B- 2 C. 1 D. 05、反比例函数y=\x>0)的图彖，随着x 值的增大，丫值( A.增大B.减小C.不变)D.先减小后增大6、已知点(―1, yi)> (2, y 2)> (3, y3)在反比例函数的图象上•下列结论屮正确的是()A ・ y 2>y3>yiB ・ y]>y 3>y2C ・ y3>yi>y2v7. 如图，正方形ABOC 的边长为1,反比例函数y=：过点A, 则k 的值是()A. 2B. -2C. 1D. -1V — 18、已知反比例函数丫==(k 为常数，心1).② 若在这个函数图彖的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； ③ 若k=13,试判断点B(3,4), C(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.中考链接:D ・yi>y2>y31、如图所示的计算程序屮，y 与xZ 间的函数关系对应的图象所在的象限是()A.第一象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第一、四象限4、两数y=ax —a 与y=^(aHO)在同一直角坐标系屮的图象町能是()zv2如图所示，是一次函数y=kx+b 与反比例函数的图彖，则关于x6、如图，A 是反比例函数图彖上一点,过点A 作AB 垂直y 轴于点B,点P 在x 轴上，AABP 的面积为 2,则这个反比例两数的解析式为7、函数yi=x(x20), y2=gx>0)的图彖如图所示，则卜-列结论：X① 两函数图象的交点A 的坐标为(2,2)； ② 当 x>2 时，y 2>yi ； ③ 当x= 1时,AB = 3；④ 当x 逐渐增大吋，力随着x 的增人而增人，y2随着x 的增大而减小. 其中正确的丿&号是 _____ • 8>己知点A 在双|11|线y=£上，且OA=4,过A 作AC 垂直x 轴于C, OA 的垂直平分线交OC 于B.(1) AAOC 的面积= ______ (2) AABC 的周长为 _____I v9、如图，正比例函数的图象与反比例函数y=,kHO)在第一象限的图象交于A点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M,已知AOAM 的面积为 1.(1) 求反比例函数的解析式：(2) 如果B 为反比例函数在第一象限图彖上的点(点B 与点A 不重合), 且B 点的横坐标为1,在x 轴上求一点P,使PA+PB 最小.5、2的方程kx+b=;的解为(xA ・ X] = 1，X2=2 C. X] = l, x? = — 2 )B. X| = —2, x?= — 1D. X]=2, x?=l7 ylM^2=4yyA yBDX10、如图，一次函数y=kx+2的图彖与反比例函数y=F的图彖交于点P,点P在第一彖限.PA垂直xXOC I 轴于点A, PB垂直y轴于点B, —次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D,且S A PB D=4,豈号.⑴求点D的坐标;(2)求一次函数与反比例函数的解析式；(3)根据图象写出当x>0时，一次函数的值人于反比例函数的值的的取值范围.。

初三数学反比例函数讲义

一、反比例函数的定义函数kyx=（k为常数，0k≠）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数kyx=与kyx=-（0k≠）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象是双曲线；当0k>时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k<时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意：⑴反比例函数kyx=（0k≠）的取值范围是0x≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k>时，双曲线kyx=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x≠，即0x>或0x<的缘故．如果笼统地叙述为0k<时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．反比例函数的图象及性质四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k x=≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.题型一考察反比例函数的定义及解析式的确定【例1】下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有（） A ．1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【例2】已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（）A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．以上都不是【例3】若函数||1a y x-=是反比例函数，则a 的值为（）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±【例4】已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．【例5】已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是．【例6】如图，点P 在反比例函数()10y x x=>的图象上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点'P ．则在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图象的解析式是（）A ．()50y x x=-> B ．()50y x x=> C ．()60y x x=->D ．()60y x x=> 【例7】已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．二、反比例函数的图象及性质1.反比例函数的图象分布及增减性【例8】在下图中，反比例函数21k y x+=的图象大致是（）ABC【例9】函数ky x=（0k >）的图象可能是（）A. B. C. D.【例10】函数ky x=与y kx b =+在同一坐标系的图象大致是图中的（）ABCD【例11】函数(0)ky k x=≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（）AD【例12】函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（）ABD【例13】已知反比例函数12my x-=的图象上两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是__ ___．【例14】已知反比例函数ky x=的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点()()12,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（）A ．12y y >B ． 12y y =C ． 12y y <D ．无法确定2.与反比例函数有关的面积不变性【例15】反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（）A. 2B. 2-C. 4D. 4-【例16】如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例17】如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 .【例18】在平面直角坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ∆的面积为2，求点B 的坐标．【例19】如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． ⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．反比例函数与几何综合【例20】已知点(1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【例21】如图，点A (m ，1m +)，B (3m +，1m -)都在反比例函数ky x=的图象上．（1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．【例22】如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【例23】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例24】如图，如果函数y x =-与4y x=-的图像交于A ，B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，求BOC ∆的面积.【例25】如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于()()143A B m ，，，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求AOB ∆的面积．。

中考数学复习反比例函数复习优质课件

中考数学复习反比例函数复习优质课件反比例函数是中学数学中的一个重要概念，并且在中考中经常出现。

理解和掌握反比例函数的性质和运用方法，对学生提高数学成绩至关重要。

为了帮助同学们更好地复习反比例函数，本文将介绍一份优质的课件，帮助学生们理解和掌握反比例函数的相关知识。

一、课件内容该优质课件主要包含以下内容：1. 反比例函数的定义：通过对比正比例函数和反比例函数的定义，引导学生了解反比例函数的概念。

在课件中使用图表和公式的方式展示反比例函数的特点和性质，帮助学生对反比例函数有一个初步的认识。

2. 反比例函数的图像：通过展示反比例函数的图像，帮助学生直观地了解反比例函数的特征。

课件中应包含图像的绘制方法和图像的性质分析，以帮助学生更好地理解和应用反比例函数。

3. 反比例函数的性质：课件中应介绍反比例函数的性质和特点，如函数值和自变量之间的关系、零点、定义域和值域等。

通过分析这些性质，学生能够更好地理解反比例函数的运行规律和特殊性。

4. 反比例函数的应用：课件中应包含反比例函数的实际应用例题，帮助学生将反比例函数与实际问题相联系。

这些例题可以涉及到速度、密度、强度等与反比例函数相关的实际问题，通过解答这些例题，学生能够培养应用反比例函数解决实际问题的能力。

5. 反比例函数的习题练习：在课件的最后部分，可以设计一些反比例函数的习题，帮助学生巩固所学内容。

这些习题应包含不同难度的题目，从基础题到拓展题，以满足不同层次学生的需求。

二、课件设计为了保证课件的整洁美观，可以采用以下设计方案：1. 色彩搭配：选择适合数学教学的色彩搭配方案，避免过于花哨或引人注意的颜色。

可以选择简洁明快的色彩，如蓝色、绿色、灰色等，以提高学生的视觉体验。

2. 字体选择：选择易读清晰的字体，避免使用过小或过大的字号。

可以使用宋体、微软雅黑等常见字体，保证学生能够清楚地看到课件上的文字内容。

3. 图表设计：图表的设计要简洁明了，标注清晰。

反比例函数九年级知识点

反比例函数九年级知识点反比例函数是初中数学中的一个重要知识点。

在九年级学完正比例函数后，学生通常会在课堂上接触到反比例函数的概念和性质。

接下来，我们将深入探讨反比例函数及其应用。

一、反比例函数的定义反比例函数是指函数中的两个变量之间存在着一种特殊的关系：当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。

其数学表达形式为 y = k / x，其中 k 是比例常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。

二、反比例函数的性质1. 定义域和值域对于反比例函数 y = k / x，自变量x 可以取任意不为0的实数，因变量 y 的值域为全体实数。

2. 对称中心反比例函数的图像关于第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标轴有对称性，且交点为(1, k)。

3. 单调性当自变量 x 变大时，因变量 y 逐渐减小；当自变量 x 变小时，因变量 y 逐渐增大。

因此，反比例函数是单调函数。

4. 渐近线对于反比例函数 y = k / x，当自变量 x 趋于正无穷大或负无穷大时，因变量 y 趋于0。

因此，反比例函数的图像与 x 轴和 y 轴分别有两条渐近线。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一条平面上的双曲线。

根据反比例函数的性质，我们可以知道，当自变量取较小的正数时，函数的值较大；当自变量取较大的正数时，函数的值较小。

图像的左侧和右侧都逐渐靠近 x 轴，说明函数值趋于无穷大。

而当自变量 x 离 0 越远时，函数值越接近于 0。

四、反比例函数的应用反比例函数广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和生物学等。

以下是几个常见的应用示例：1. 电阻和电流欧姆定律规定电阻大小与通过电流的大小成反比例关系。

当电流增大时，电阻减小，反之亦然。

这种关系可以用反比例函数来描述。

2. 速度和时间在实际的物理运动中，速度与所用时间成反比例关系。

当速度增大时，所用时间减小，反之亦然。

反比例函数可以用来描述运动物体在不同速度下所用的时间。

中考总复习《反比例函数》ppt精讲

正比例函数
反比例函数
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数)
y
k x
或y
k x1或x y
k(k
0)
y
y
y
y
图象及象限
ox k>0
ox k<0
0x k>0
0x k<0
性质
当k>0时，y随x的增大而增大; 在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小;
当k<0时，y随x的增大而减小. 当k<0时，y随x的增大而增大.
图象上的一点,过点P分别向x轴、y y
轴作垂线,若阴影部分面积为3,则
这个反比例函数的关系式
N
p
是提示：S矩.形=|yxy|=3x|k|
则 k=os或M -s x
(1)若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x
轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面
积为3,则这个反比例函数的关系式是
二、反比例函数的图象和性质:
函数
反比例函数
解析式图象形状
y
k x
或y kx1或xy k
(k 0)
双曲线
位置
k>0
双曲线两分支分别在第一、第三象限
增减性在每一个象限内y随x的增大而减小；
位置
k<0
双曲线两分支分别在第二、第四象限
增减性在每一个象限内y随x的增大而增大
比一比
函数表达式
AP |2m|，AP|2n|；
o
SΔPAP 12| AP AP|
P/
12|2m||2n|
2|k|
P(m,n)
x
A
5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数

专题05 反比例函数 (4大考点串讲PPT)-九年级数学上学期期末考点大串讲(北师大版)

期末复习
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为
，
将（24，8）代入解析式得 k＝xy＝24×8＝192，∴反比例函数解析式为
，
将 y＝12 代入解析式得，
，解得：x＝16，故 A 点坐标为（16，12），
∴反比例函数解析式为
，
设正比例函数解析式为 y＝nx，将 A（16，12）代入得：
，
∴正比例函数解析式为
九年级期末大串讲复习
第六章反比例函数
第六章反比例函数
期末复习
思维导图知识大全考点精析技巧总结
期末复习
思维导图
期末复习
知识大全
考点1 反比例函数的图像和性质
1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、
四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 x 轴、 y 轴相交，只是无限靠近两坐
D、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知 k＜0，由一次函数在 y 轴上的截距可知 k＝﹣1，故本
选项错误．
故选：B．
期末复习
变式 3：（2023•庐阳区校级三模）反比例函数 y＝﹣ 与一次函数 y＝kx﹣3 在同一坐标系中的大致图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当 k＞0 时，一次函数 y＝kx﹣3 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 y＝﹣ 图象
（4）反比例函数图象的分布是由 k 的符号决定的：当 k 0 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 k 0 时，两支曲线分别
位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质
（1）如图 1，当 k 0 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， y 值随 x 值的增大而减小；（2）如图 2，当 k 0 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， y 值随 x 值的增大而增大；

MSDC.初中数学.反比例函数.第05讲(通用讲).教师版

内容基本要求略高要求较高要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题------一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题反比例函数的定义：函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的图像：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称.反比例函数图像的性质：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线；当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大. 注意：⑴反比例函数ky x=(0k ≠)的取值范围是0x ≠．因此，知识点睛中考要求反比例函数①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．板块一、反比例函数基本概念及图象【例1】已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。

中考数学专题《反比例函数》复习课件(共15张PPT)

反比例函数复习
【教学目标】
（一）知识与技能 1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能画出反比例函数的图象. 2、能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题. （二）过程与方法
1、经历分析反比例函数与其它数学知识的内在联系，逐步提高学生分析和综合应用能力. 2、体会数形结合和转化的数学思想. （三）情感态度价值观
y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=
m x
的图象经过点D，与
BC的交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的
面积相等，求点P的坐标．
纠正补偿
【解答】解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，
：将x=2代入y=2x，得y=2×2=4≠3，
所以点B（2，3）不在正比例函数y=2x的图象上．
综合运用
1．已知反比例函数 y
2 x
，下列结论不正确的是（
B）
A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则0＞y＞﹣2
2.反比例函数
y
3 x
的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，
﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（ A ）
A．x1＞x2
B．x1=x2
C．x1＜x2
D．不确定
综合运用
3.如图，过反比例函数y
k x
(x＞0）的图象上一点A作AB⊥x
轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ C）
A．2
B．3
C．4

精编九年级数学《反比例函数》知识点归纳

精编九年级数学《反比例函数》知识点归纳学生们在享受学习的同时，还要面对一件重要的事情就是考试，查字典大学网为大家整理了反比例函数知识点归纳，希望大家仔细阅读。

反比例函数的定义
定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质
函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k0时，函数在x0上同为减函数;k0
上同为增函数。

3.x的取值范围是：x≠0;
y的取值范围是：y≠0。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?4..因为在
y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

但随着x 无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成。

【初数】中考一轮复习课程(共15讲)_第05讲_反比例函数

一、反比例函数的概念一、反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象和性质二、反比例函数的图象反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．三、反比例函数图象的性质反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．三、反比例函数综合应用反比例函数与方程、不等式综合如图双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12kk x b x+>的解为120x x x x ><<或．反比例函数知识点四、反比例函数实际应用把实际问题抽象成反比例函数的问题来解决．一、反比例函数的图像和性质1、下面的函数是反比例函数的是（） A ．31y x =+ B ．22y x x =+ C ．2xy = D ．2y x=【答案】 D【解析】该题考查的是反比例函数定义．反比例函数形如()0ky k x=≠，本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选D ．2、下列四个点中，在反比例函数2y x=-上的点是（）A ．()1,1k 1x例题B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2【答案】 B 【解析】该题考查的是反比例函数的性质．将选项中各个点坐标代入函数中，若等式成立，则点在反比例函数上，经验证，只有()1,2-点满足，故该题答案为B ．3、（2014初三上期末大兴区）若反比例函数1k y x-=的图象在各自象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可能是（） A ．4- B ．5 C ．0 D ．2-【答案】 B【解析】该题考察的是反比例函数的性质．因为反比例函数1k y x-=的图象在各自象限内，y 随x 的增大而减小，所以10k ->，解得1k >，只有B 选项符合，故答案是B ．4、（2012初二下期末西城区北区）如图，矩形ABCD 的边分别与两坐标轴平行，对角线AC 经过坐标原点，点D 在反比例函数2510k k y x-+=（0x >）的图象上．若点B 的坐标D ．1-或6【答案】 D【解析】该题考查的是反比例函数的性质． ∵点B 的坐标为()4,4--， ∴点D 坐标为()4,4，将点D 坐标代入反比例函数中， 251016k k -+=，解得16k =，21k =-，故该题答案为D ．5、（2010初二下期中101中学）已知()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 是反比例函数2y x=的图象上的三点，且1230x x x <<<，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（） A ．321y y y << B ．123y y y << C ．213y y y << D ．231y y y <<【答案】 C【解析】该题考察的是反比例的单调性．∵反比例函数2y x=中，20>， ∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 是反比例函数2y x=的图象上的三点，且120x x <<， ∴1P ，2P 在第三象限且120y y <<，又∵30x <， ∴213y y y <<，故答案是C ．6、（2014北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数()0ky k x=≠，使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为________【答案】 4y x=【解析】该题考查的是反比例函数解析式求法．由题可知()22B ，∵反比例函数的图象与正方形OABC 有公共点∴将()22B ，代入ky x=，解得4k =．7、（2014中考怀柔二模）如图，四边形ABCD 为菱形，已知()0,4A ，()3,0B -．（1）求点D 的坐标；（2）求经过点C 的反比例函数表达式．【答案】（1）()1,0- (2) 15y x=【解析】该题考查的是反比例函数综合．（1）根据题意得4AO =，3BO =，90AOB ∠=︒，∴5AB =． …………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴5AD AB ==，∴1OD AD AO =-=， ∵点D 在y 轴负半轴，∴点D 的坐标为()1,0-． ………………………………3分（2）设反比例函数表达式为()0ky k x=≠． ∵5BC AC ==，3OB =，∴点C 的坐标为()3,5-．………………………………4分 ∵反比例函数表达式ky x=经过点C ， ∴反比例函数表达式为15y x=．………………………..5分8、（2014初二下期末北达资源中学）已知()4,A a ()2,4B --，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象的交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）结合图象，直接写出不等式mkx b x+≥的解集．【答案】（1）8y x=；2y x =-（2）6（3）20x -≤<或4x ≥【解析】该题考查的是一次函数与反比例函数综合．（1）将()2,4B --代入my x=中得8m = 反比例函数的解析式为8y x= 将()4,A a 代入8y x=中得2a = 一次函数y kx b =+过()2,4B --，()4,2A 得42k b -=-+，24k b =+ 得1k =，2b =-所以一次函数的解析式为2y x =-（2）直线2y x =-同x 轴的交点()2,0，y 轴的交点()0,2- 1112222226222S AOB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（3）由图象可知，mkx b x+≥的解集是20x -≤<或4x ≥9、（2013初二下期末东城区南区）下图是反比例函数1k y x =和2ky x=（12k k <）在第一象限的图象，直线AB x ∥轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则21k k -的值为___________【答案】4【解析】该题考查的是反比例函数．设A ，B 的纵坐标为y ，∴1A kx y =，2B k x y =，∴21k k AB y y=-， ∴122△AOB S AB y =⋅=， ∴21122kk y y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得214k k -=．10、（2012初三上期末门头沟）如图，已知反比例函数ky x=与一次函数2y x =-+的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是2-．（1）求出反比例函数的解析式；（2）求AOB ∆的面积．【答案】（1）8y x=-（2）6【解析】该题考查的是反比例函数（1）由题意，得，()224--+=A 点坐标()2,4-…………………………………………．．1分 42k=-，8k =-反比例函数解析式为8y x=- ………………………………．．2分（2）由题意，得B 点坐标()4,2-………………………………3分一次函数2y x =-+与x 轴的交点坐标()2,0M ，与y 轴的交点()0,2N ………4分 6AOB OMB OMN AON S S S S =++== …………………5分11、点P 在反比例函数1y x=（0x >）的图象上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点P '．则在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是（）A ．5(0)y x x =->B ．5(0)y x x =>C ．6(0)y x x=->D ．6(0)y x x=>【答案】 D【解析】由题意得12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平移后得到3'4,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，设经过点P '的反比例函数的解析式为k y x =（0k >），则3462k =⨯=，所以6y x=（0x >），故答案为D 选项．12、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，(2,0)B ，o 60AOB ∠=，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为ky x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O B ''．当点O '与点A 重合时，点P 的坐标是_______．【答案】()4,0【解析】点'O 与点A 重合时，直线l 垂直平分OA ，如图，连接PA ，则PA PO =，因为()2,0B ，60AOB ︒∠=，所以2OB =，AB =设(),0P x ，则P A P O x ==，2PB x =-，在Rt P A B ∆中，由勾股定理可得()(2222x x =-+，解得4x =，所以()4,0P ．二、反比例函数综合13、（2014中考大兴一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与直线2y x =-关于y 轴对称，直线l 与反比例函数xky =的图象的一个交点为()2,A m ． (1) 试确定反比例函数的表达式；(2) 若过点A 的直线与x 轴交于点B ，且45ABO ∠=︒，直接写出点B 的坐标．【答案】（1）8y x=（2）()6,0或()2,0-【解析】该题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题．由题意，直线l 与直线2y x =-关于y 轴对称，∴直线l 的解析式为2y x = …………………………………………………1分 ∵点()2,A m 在直线l 上, ∴224m =⨯=.∴点A 的坐标为()2,4………………………………………………………2分又∵点()2,4A 在反比例函数ky x=的图象上, ∴42k =， ∴8k =∴反比例函数的解析式为8y x=……………………………………………3分（2）∵45ABO ∠=︒∴A 的纵坐标值等于A 点、B 点横坐标差的绝对值， ∴B 点横坐标246x =+=或242x =-=- 又∵B 点在x 轴上，故B 点纵坐标为0∴B 点的坐标为()6,0或()2,0-…………………………………………5分14、（2013中考海淀一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=-的图象与一次函数y kx k =-的图象的一个交点为()1,A n -．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）1y x =-+（2）()3,0-或()1,0【解析】该题考查的是反比例函数和一次函数综合．（1）∵点()1,A n -在反比例函数2y x=-的图象上， ∴2n = ………………………1分 ∴点A 的坐标为()1,2-∵点A 在一次函数y kx k =-的图象上，∴2k k =--∴1k =-………………………2分∴一次函数的解析式为1y x =-+………………………3分（2）点P 的坐标为()3,0-或()1,0………………………5分（写对一个给1分）15、（2013中考海淀二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象与一次函数2y x =+的图象的一个交点为(),1A m -．（1）求反比例函数的解析式；（2）设一次函数2y x =+的图象与轴交于点B ，若P 是y 轴上一点，且满足PAB ∆ 的面积是3，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）3y x=（2）()0,0或()0,4【解析】该题考查的是一次函数和反比例函数的综合．（1）∵点(),1A m -在一次函数2y x =+的图象上，∴3m =- -------------------------1分 ∴A 点的坐标为()3,1-- ∵点()3,1A --在反比例函数ky x=的图象上， ∴3k =-------------------------2分 ∴反比例函数的解析式为3y x=．-------------------------3分（2）点P 的坐标为()0,0或()0,4．-------------------------5分（写对一个给1分）16、（2012中考东城二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数k y x=的图像交于点()3,4A -，AC x ⊥轴于点C ． (1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB 绕着点A 转动时，与x 轴的交点为(),0B a ，并与反比例函数ky x=图象的另一支还有一个交点的情形下，求ABC ∆的面积S 与a 之间的y函数关系式，并写出自变量a 的取值范围．【答案】（1）12y x=-（2）()263S a a =+>-【解析】该题考查的是一次函数和反比例函数的综合题．（1）∵43k=-∴12k =- ∴12y x=-……2分（2）∵()33BC a a =--=+，4AC = ∴()1432ACB S a ∆=⨯⨯+……4分()2 6 3a a =+>-……5分17、（2012中考朝阳二模）如图，点()3,0P -是反比例函数my x=的图象上的一点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）设直线y kx =与双曲线m y x =的两个交点分别为P 和P′，当mkx x<时，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）3y x=-（2）3x <-或03x <<该题考查的是反比例函数和一次函数的综合．（1）∵点()3,1P -在反比例函数ky x=的图象上，由13k =-得3k =-.∴反比例函数的解析式为3y x=-. …………………………………………3分（2）3x <-或03x <<. …………………………………………………………5分18、（2014中考石景山一模）如图，一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点()2,0B -，与函数()20my x x=>的图象交于点()1,A a ．（1）求k 和m 的值；（2）将函数()20my x x=>的图象沿y 轴向下平移3个单位后交x 轴于点C ．若点D 是平移后函数图象上一点，且△BCD 的面积是3，直接写出点D 的坐标．【答案】（1）3m =（2）3,25⎛⎫⎪⎝⎭或()3,2-【解析】该题考查的是一次函数与反比例函数．（1）根据题意，将点代入12y kx =+， ∴022k =-+．∴1k = ∴()1,3A 将其代入2my x=，可得3m =．（2）函数()230y x x =>的图象沿y 轴向下平移3个单位后解析式为()330y x x=->，与交x 轴于点C ，令0y =代入上解析式中得1x =．∴C 点坐标为()1,0．∵()2,0B -，∴3BC =．∵△BCD 的面积是3，∴D 到x 轴的距离为2．当点D 在x 轴上方时，2y =，则横坐标为35x =，故坐标为3,25⎛⎫⎪⎝⎭当点D 在x 轴下方时，2y =-，则横坐标为3x =，故坐标为()3,2-19、（2014中考西城二模）经过点()1,1的直线l ：()2 0y kx k =+≠与反比例函数1G ：()10my m x=≠的图象交于点()1,A a -，(),1B b -，与y 轴交于点D ．（1）求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式；（2）反比例函数G 2：()2 0ty t x=≠，①若点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，若EA EB =，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公共点M ，N （点M 在点N 的左侧），若DM DN +<t 的取值范围．【答案】（1）2y x =-+；3y x=-（2）()3,3E ；504t -<<或01t <<【解析】该题考查的是一次函数和反比例函数．（1）∵直线l : 2 (0)y kx k =+≠经过()1,1-，∴1k =-，∴直线l 对应的函数表达式2y x =-+． 1分 ∵直线l 与反比例函数G 1:1 (0)my m x=≠的图象交于点(1,)A a -，(),1B b -， ∴3a b ==．∴(1,3)A -，()3,1B - ∴3m =-．∴反比例函数G 1函数表达式为3y x=-． ······················································· 2分（2）∵EA EB =，(1,3)A -，()3,1B -， ∴点E 在直线y x =上．∵△AEB 的面积为8，AB =，∴EH =∴△AEB 是等腰直角三角形．∴()3,3E 5分 ②分两种情况：（ⅰ）当0t >时，则01t <<； 6分（ⅱ）当0t <时，则504t -<<．综上，当504t -<<或01t <<时，反比例函数2G 的图象与直线l 有两个公共点M ，N ，且DM DN +< 7分20、（2013初二下期末东城区南区）在直角坐标平面内，反比例函数my x=的图象经过点()1,4A 、()B a b ，过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D（1）求反比例函数的解析式；为顶点的四边形是等腰梯形，点B 的坐标是______；（3）ABD ∆的面积为4，求点B 的坐标。

中考考点突破反比例函数

2
把A，B两点坐标代入一次函数
解析式中，得到a =4，b =－2.
所以一次函数的解析式为 y = 4x－2.
A
O
B
x
随堂专题测试
y
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k
(2) 求不等式ax + b＞的解集.
x
k
解：根据图象可知，若 ax + b＞，
x
1
则 x＞1或＜x＜0.
A．10
B．5
C．2
D.
1
10
随堂专题测试
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8．已知反比例函数 = (a≠0) 的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，
则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过(
A．第一象限
B．第二象限
C
)
C．第三象限
D．第四象限
1
随堂专题测试
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3. 已知函数 y = 5m − 3 2− + ( + )
（1）当m，n 为何值时为一次函数？
（2）当m，n 为何值时为正比例函数？
（3）当m，n 为何值时为反比例函数？
解：（1）当函数 = 5 − 3 2− + ( + )是一次函数时，2 − = 1 且 5 − 3 ≠ 0
3
解得 n = 1 且 ≠ 5
（2）当函数 = 5 − 3 2− + ( + )是正比例函数时，
2− =1
+ =0
5 − 3 ≠ 0