医用高等数学4.1

定义4-1 设有三个变量 x 、y z , D是 xoy平面上 定义 、 的一个点集.如果对于任意点 的一个点集 如果对于任意点 P ( x , y ) ∈ D ,变量 z 按照一 变量 定的法则总有唯一确定的值和它对应,则称变量 定的法则总有唯一确定的值和它对应 则称变量 z 是变 二元函数,记作 量 x 、 y 的二元函数 记作
主要内容
1. 空间解析几何简介 2. 二元函数的定义 3. 二元函数的极限 4. 二元函数的连续性
取不同的值时,所得的值不同 当k取不同的值时 所得的值不同 取不同的值时
xy 不存在． 所以 lim 2 不存在． x →0 x + y 2 y →0
2.二元函数的连续性 2.二元函数的连续性 定义4 定义4-3 如果二元函数 z = f ( x, y )满足
(1) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 及其邻域内有定义
xy 例4-7 求极限 lim x →0 xy + 1 − 1 y →0
多 元 极 函 限 数 的 极 限 可 以 应 用 一 元 函 数 求
xy lim x →0 xy + 1 − 1 y →0
xy( xy + 1 + 1) = lim x →0 xy + 1 − 1 y →0
= lim( xy + 1 + 1)
2 2
d = M1P + PN + NM2
2
Q M 1 P = x2 − x1 , PN = y2 − y1 ,
NM 2 = z2 − z1 ,
∴d =
M 1 P + PN + NM 2
2 2
2
2
M1 M 2 =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) .
2 2
2 2
解 所求定义域为
D = {( x, y ) | x + y ≤ 1}
2 2
y
x2 + y 2 = 1
o
有界闭区域
x
例4 - 6 求 z =
y − x 2 + 1 − y 的定义域 的定义域.
要使函数有意义,必须同时满足 解 要使函数有意义 必须同时满足
y − x2 ≥ 0 1− y ≥ 0
三个坐标轴的正方向符合右手系 即当右手的四个手 三个坐标轴的正方向符合右手系.即当右手的四个手 右手系
轴的正向. 的方向就是 z 轴的正向
称为坐标 每两个坐标轴所在的平面 xoy 、 yoz 、xoz称为坐标 平面. 平面 这三个坐标平面将空间分成八个部分,每一部分称为一 这三个坐标平面将空间分成八个部分 每一部分称为一 卦限. 个卦限 如下图所示: 如下图所示
所求定义域为
y
y = x2
y =1
D = {( x , y ) | x ≤ y ≤ 1}
2
o
x
有界闭区域
二元函数z = f ( x , y ) 的图形 设函数的定义域为 D ，对于任意取定的 ， x P( x, y) ∈ D 这样， 为横坐标、 为纵坐标、 对应的函数值为 ，这样，以 z 为横坐标、 为纵坐标、 y z 为竖坐标在空间就确定一点 ，当 取遍 M ( x , y , z 得到一个空间点集 D ( x, y) 上一切点时,得到一个空间点集 上一切点时 )
x →0 y →0
=2
x2 y =0 例4-8 证明 lim 2 2 x →0 x + y y →0
解 因为
x y x 2 2 0≤ 2 ≤ 2 y≤ y≤ x +y 2 2 x +y x +y
又因为 lim x 2 + y 2 = 0
x →0 y →0
2
2
x2 y 所以 lim 2 =0 2 x →∞ x + y y →∞
xy 不存在． 例4-9 证明 lim 2 2 不存在． x →0 x + y y →0
证明 当 p ( x, y )沿曲线 y = kx 趋于(0,0) 时
xy kx 2 k lim 2 = lim 2 = 2 2 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1 + k 2 y = kx →0
的取值范围称为函数的定义域 定义域. 自变量 ( x, y) 的取值范围称为函数的定义域 的定义域. 例4-4 求 z = ln( x − y ) 的定义域 解 所求定义域为 D = {( x , y ) | x > y }
y
y=x
o
无界开区域
x
的定义域. 例4-5 求 z = arcsin( x + y ) 的定义域
Ax + By + Cz + D = 0
常见的曲面方程 球面方程 在空间与一定点 A(a, b, c )的距离为一定值 R 的点的轨 迹称为球面 球面. 迹称为球面 为球面上的任意一点， 设 M ( x, y, z ) 为球面上的任意一点，则
MA = R
即
z
A
( x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R
2 2 2 2
因此球面方程为
M
( x −a) + ( y −b) + ( z −c) = R
x2 + y2 + z2 = R2
o
x
y
特别,当球心在原点时, 特别,当球心在原点时,球面方程为
圆柱面 x 2 + y 2 = R 2
z
o
y
x
z
椭圆抛物面
z=x +y
2
2
o x
y
x2 y2 z 双曲抛物面（马鞍面） 双曲抛物面（马鞍面） = 2 − 2 a b
第四章
多元函数微积分
第一节 多元函数
一、空间解析几何简介 二、多元函数的概念 三、二元函数的极限与连续
一、空间直角坐标系
过空间一点 空间直角坐标系. 空间直角坐标系 引三条两两相互垂直的数轴,就构成 o 引三条两两相互垂直的数轴 就构成
z
定点 o
•
竖轴
y 纵轴
横轴 x
空间直角坐标系
π 轴正向时， 指从 x 轴正向转过 2 的角度指向 y 轴正向时，大拇指所指
x → x0 y → y0
lim lim f ( x, y ) = A 或 p→ p f ( x , y ) = A
A
0
二元函数的极限运算法则与一元函数类似; 注意 (1)二元函数的极限运算法则与一元函数类似 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 的方式是任意的. （2）定义中 P → P0 的方式是任意的 ）
A N = V (1 − ) B
一定质量的理想气体,它的压强 和体积V、 它的压强P和体积 例4-3 一定质量的理想气体 它的压强 和体积 、绝 对温度T之间的关系是 对温度 之间的关系是
RT P= 其中R是比例常数 是比例常数） （其中 是比例常数） V
这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系. 这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系
{( x, y, z) | z = f ( x, y), ( x, y) ∈ D}
这个点集称为二元函数的图形. 这个点集称为二元函数的图形 注意：二元函数的图形通常是一张曲面. 注意：二元函数的图形通常是一张曲面 一张曲面
z
M ( x, y , z )
y
o
x
p
y
D
x
三、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限 二元函数的极限 定义4-2 设函数 z = f ( x, y )在点P 0 ( x0 , y 0 ) 的某一邻域内 定义 有定义(点 可以除外).如果当 有定义 点 P 0 ( x0 , y 0 ) 可以除外 如果当 P ( x, y ) 沿任何路径 P0 f( 趋近于(x0 , y0 ) 时，函数x, y ) 无限趋近于一个常数 ,则 则 称 f ( x, y )当 P( x, y ) → P0 ( x0 , y 0 ) 以 为极限， A 时 ,以 为极限， 记作
x+ y 的间断点. 例4-11 求函数 z = 2 的间断点. 2 x + y −1
上函数没意义,所以圆周 解 函数在圆周 x 2 + y 2 = 1 上函数没意义 所以圆周 的点都是函数的间断点. 上 x 2 + y 2 = 1 的点都是函数的间断点
二元初等函数： 二元初等函数：由二元多项式及基本初等函数经过 有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所 表示的二元函数叫二元初等函数 与一元函数类似,关于二元函数的连续性有以下结论 与一元函数类似 关于二元函数的连续性有以下结论: 关于二元函数的连续性有以下结论 (1)有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数; 有限个连续函数的和、 有限个连续函数的和 积仍为连续函数 (2)在分母不为零处 连续函数的商仍为连续函数； 在分母不为零处,连续函数的商仍为连续函数 在分母不为零处 连续函数的商仍为连续函数； (3)连续函数的复合函数也是连续函数 连续函数的复合函数也是连续函数; 连续函数的复合函数也是连续函数 (4)二元初等函数在其定义域内是连续的 二元初等函数在其定义域内是连续的. 二元初等函数在其定义域内是连续的
z
(a > 0, b > 0)
x y
0
z
.
圆锥面 z2 = x2 + y2
o
x
y
二、多元函数的概念
观察两个例子 病人在进行补液时,补液量 与正常血容量V、 补液量N与正常血容量 例4-2 病人在进行补液时 补液量 与正常血容量 、 正常红细胞比容(单位容积血液中红细胞所占容积百分 正常红细胞比容 单位容积血液中红细胞所占容积百分 及病人红细胞比容B的关系为 比)A及病人红细胞比容 的关系为 及病人红细胞比容