第10讲信号与系统课件

例题1，求
L
1
4 s 2 11s 10 2 s 2 5s 3

解 ①将F（s）化为真分式
4s 11s 10 s4 1 s4 F ( s) 2 2 2 s 2 5s 3 2 s 2 5s 3 2 s2 5 s 3 2 2
at

0
f (t )e e dt f (t )e( s a )t dt F (s a)
at st 0

由此得到本题解答
L te
at
1 ( s a)2
( >-a)

5、冲激函数A(t)的拉普拉斯变换，根据其抽样性质得
L A (t ) 0
16 1 j 2 2
由洛比塔法则求系数 D’(s) = 2s+2 N (s) 1 j2 1 s K1 ( 2 j1) j4 4 D ' ( s ) s s 1 j 2 2 s 2 s 1 j 2
2

③分解后的F（s）
1 6 1 5 F ( s) 2 2 s 1 2 s 3 2 5 3 2 2 3 s 1 s 2

④反变换结果
5 f (t ) 2 (t ) 3e e 2
t
2013-5-18 信号与线性系统－第10讲
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A (t )e st dt Ae0 A ( >-)
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信号与线性系统－第10讲
§5.4常用函数的拉普拉斯变换
f1(t)
1
f2(t)
1
f3(t)
e
at
e – a t (t)
-1 0
e – a (t+1) (t+1)
1
e –at
0
0
(a)
(t 0)
(b)
(t -1)
(c)
三个具有相同单边形状的函数
(a) F(s) = s+a
1
1
-a
(b)
Fd(s) = s+a
-1{
es
> -a
L -1{ s+a } = e – a t (t)
(c) Fd(s) = s+a + 1 -s+a a> > -a
1
L
– a( t+1) (t+1) s+a } = e

s- 4 s2+s-1
-5s2-4s+1 -5s2-5s+5
s-4

前面两项反变换 L
-1{5}=
5 (t) ,
L -1{3s}=3’(t)
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信号与线性系统－第10讲
§5.5拉普拉斯反变换-部分分式（无重根 ）

（1）m < n , D(s) = 0 的根无重根情况 因 D(s) 是 s 的 n 次多项式故可分解因式如下



工程中常用的函数有两大类
时间t的指数函数 时间t的正整数幂函数 其他信号可以看成这两类函数变换组合
信号与线性系统－第10讲 4
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§5.4常用函数的拉普拉斯变换

2、单边指数函数e
L e at (t ) 0


a t
(t) (a 为常数)

0
e at e st dt





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信号与线性系统－第10讲
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§5.4常用函数的拉普拉斯变换

4、te –at (t)的拉普拉斯变换

函数 f(t) 与指数函数 e –at 乘积的拉普拉斯变换 ，等于 函数 f(t) 的拉普拉斯变换中以 s+a 代替s 所得的结果。 证明：

L

f (t )e
es
L -1{
2a
a
2-s 2
} = e – a t (t)+e a t (-t)
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信号与线性系统－第10讲
§5.5拉普拉斯反变换

1、反变换求取的数学手段

依据反变换公式，这是复变函数广义积分问题 使用复变函数中围线积分和留数定理来解决 如函数是有理函数，也可通过部分分式展开的方 式来求解。
1
s 1 K2 (2 j1) 4 2s 2 s s1 1 j 2
e at sin t (t )
1 (e ( a j ) t e ( a j ) t ) 2 j
( >0)
单边衰减正弦函数
L e at sin t (t ) L

1 1 1 2 j ( s a ) j ( s a ) j ( s a) 2 2
信号与线性系统－第10讲 11
§5.5拉普拉斯反变换-部分分式（无重根 ）

采用罗彼塔法则，可得另一求取 Kk 的计算公式
d ( s sk ) N ( s ) ds ( s sk ) N ( s ) K k lim lim s sk s sk d D( s) D( s) ds N ( s ) ( s sk ) N ( s ) N ( s) lim s sk D( s ) D( s ) s sk
D( s) ( s s1 )(s s2 ) ( s sk ) ( s sn ) ( s sk )
k 1

n
因 D(s) =0 的根无重根，故 s1, s2, ---, sk,---, sn,彼此不等，于是
F (s) N (s) N (s) D( s) ( s s1 )(s s2 ) ( s sk ) ( s sn )
L
1 t 2 s
( >0)
t n st n n 1 st e t e dt s s 0 0 n t n 1e st dt s 0 n L t n L t n 1 s n n 1 L t n2 s s n n 1 211 s s s s s n! n 1 ( >0) s
N (s) K1 ( s s1 ) D( s) s s1
s4 s4 ( s s1 ) 6 3 3 s ( s 1)( s ) 2 s 1 2 s 1
K2
3 s4 ( s ) 5 2 ( s 1)(s 3 ) 2 s 3
信号与线性系统－第10讲
( >-a )
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§5.4常用函数的拉普拉斯变换

3、t的正幂函数

L
t
n

0
t n e st dt
tn (t)
(n 为正整数 )

利用分部积分求解 u=tn, d v = e– s t dt


得到递推公式 依次类推，得到：


特例：n＝1时
e ( s a ) t dt
1 sa
( >a ) ( >0)

单位阶跃函数 上式a ＝0，可得 单边正弦函数，利用欧拉公式
L (t ) 1
s
L sin t (t ) L

1 jt jt 1 1 1 (e e ) 2 2 2 j 2 j s j s j s
2
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信号与线性系统－第10讲
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§5.5拉普拉斯反变换-部分分式（无重根 ）

②将分母进行因式分解

2 D(s) (s
5 2
s
3 2
) ( s 1 )( s
3 2
)
将F(s) 中的真分式写成部分 分式，

计算系数
s4 1 K1 K2 2 s 2 5s 3 2 s 1 s 3 2


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信号与线性系统－第10讲
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§5.5拉普拉斯反变换-部分分式

2、部分分式展开

设F(s)为有理函数，它可由两个s的多项式之比来表示。
bm s m bm1s m1 b1s b0 N ( s) F ( s) D( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
k1 kk kn k2 s s1 s s2 s sk s sn

式中K1, K2,--, Kk,--, Kn 为待定系数。两边乘（s-sk),再令s=sk, 则
Kk
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N (s) ( s s k ) D ( s ) s sk
信号与线性系统－第10讲 2

拉普拉斯变换的收敛区

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开讲前言－本讲导入

拉普拉斯变换的计算


信号分析的方法的有效性，通过其工程应用价值 来体现； 拉普拉斯变换的价值就在于其计算复杂度低； 分析几种常用信号拉普拉斯变换，其他信号都可 以据此导出。

拉普拉斯反变换的计算


简单反变换，视察法可以求解； 工程应用，留数定理给出简单计算算法。
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