2012高考总复习《走向清华北大》精品课件3简单的逻辑联结词_全称量词与存在量词

21
注意:有些题目隐含了全称量词和存在量词,要注意对其进行 改写来找到.
共 43 页
22
【典例2】 (特例法)试判断以下命题的真假: (1)∀x∈R,x2+2>0;(2)∀x∈N,x4≥1;(3)∃x∈Z,x3<1;(4)∃x∈Q ,x2=3.
共 43 页
23
[解] (1)由于∀x∈R,有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0. 所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题. (2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.所以命题“∀x∈N,x4≥1” 是假命题.
共 43 页
36
[正解] 由f(x)=-(5-2m)x是减函数, 知5-2m>1, ∴m<2,
∴当¬p为真时,m≥2,
∴实数m的取值范围是[2,+∞).
共 43 页
37
错源二
对含有量词的命题的否定不当致误 )
【典例2】 命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1<0
14
5.(2010·辽宁)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x 的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( A.∃x∈R,f(x)≤f(x0) B.∃x∈R,f(x)≥f(x0) )
C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)
D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)
共 43 页
特称命题 “∃x∈A,p(x)”
①对所有的x∈A,p(x)成立
②对一切x∈A,p(x)成立
①存在x∈A,使 p(x)成立
②至少有一个 x∈A,使p(x)成立 ③对有些x∈A,使 p(x)成立 ④对某个x∈A,使 p(x)成立 ⑤有一个x∈A,使 p(x)成立
8
表述 方法
③对每一个x∈A,p(x)成立 ④任选一个x∈A,p(x)成立 ⑤凡x∈A,都有p(x)成立
共 43 页
11
解析:f(x)<g(x),x∈R的含义即对任意的实数,都有f(x)<g(x)成 立.因此其等价含义即为不存在任何实数使得f(x)≥g(x). 答案:B
共 43 页
12
3.(2010·金华模拟题)下列特称命题中,假命题的个数是( ①∃x0∈R,使2x20+x0+1=0; ②存在两条相交直线垂直于同一个平面; ③∃x0∈R,x20≤0. A.0 C.2 B.1 D.3
共 43 页
5
3.全称量词､存在量词 (1)全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,
并用符号∀表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称
命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作∀x∈M,p(x).
共 43 页
6
(2)存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词,并用符号∃表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特
)
解析:命题①､②是假命题,命题③是真命题.
答案:C
共 43 页
13
4.(2010·湖南)下列命题中的假命题是( A.∀x∈R,2x-1>0 C.∃x∈R,lgx<0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0 D.∃x∈R,tanx=2
)
解析:对于选项B,当x=1时,结论不成立,故选B. 答案:B
共 43 页
共 43 页
17
【典例1】 已知命题p:∃x∈R,使tanx=1,命题q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧¬q”是假命题;
③命题“¬p∨q”是真命题; ④命题“¬p∨¬q”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.①③④ ) B.①②④ D.①②③④
[解] (1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题. (2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命 题.
(3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命
题. (4)非p:∃x∈R,x2-2x≤0.为真命题,属特称命题.
共 43 页
28
[反思感悟] 只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因 否定不全面或否定词不准确而致错. 从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否
共 43 页
38
[剖析] 本题是对全称命题的否定,因此否定时既要对全称量 词“任意”否定,又要对“≤”进行否定,全称量词“任意” 的否定为存在量词“存在”,“≤”的否定为“>”,可能的 错误是“顾此失彼”,忽略了细节.
[正解] 题目中命题的意思是“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0都成
立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+1>0即可, 故命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在 x∈R,x3-x2+1>0”,故选C. [答案] C
定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题
的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词.
共 43 页
29
类型四 与逻辑联结词､全称量词､存在量词有关的命题中参 数范围的确定 解题准备:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之, 由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的
真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取
15
解析:由题知:x0

b 2a
为函数f(x)图象的对称轴方程,所
以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因
此∀x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,选C.
答案:C
共 43 页
16
类型一
含有逻辑联结词的命题真假判定
解题准备:解决该类问题基本步骤为: 1.弄清构成它的命题p､q的真假; 2.弄清它的结构形式; 3.根据真值表判断构成新命题的真假.
(3)由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<1.所以命题“∃x∈Z,x3<1”
是真命题. (4)由于使x2=3成立的数只有 “∃x∈Q,x2=3”是假命题.
3,
而它们都不是有理
数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题
共 43 页
24
[反思感悟] 本例中的(3)是一个典型的特例法,即要说明一个 存在性命题正确,只要找到一个元素使命题成立即可.
称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,简记作
∃x0∈M,p(x0). (3)两种命题的关系 全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. 注意:同一个全称命题､特称命题,由于自然语言的不同,可能
有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.
共 43 页
7
命题
全称命题“∀x∈A,p(x)”
解题准备:1.要判定全称命题是真命题,需对集合M中每个元 素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得
p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题;
2.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能 找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命 题.
共 43 页
二者的交集即可.
共 43 页
30
2.此类题目经常与函数､不等式等知识相联系,要注意分类讨 论思想的应用. 【典例4】 已知两个命题 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对
∀x∈R,r(x)∧s(x)为假,r(x)∨s(x)为真,求实数m的取值范
围. [分析] 由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可 先求出对∀x∈R时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由 要求分情况讨论出所求m的范围.
第三讲
简单的逻辑联结词､全称
量词与存在量词
共 43 页
1
回归课本
共 43 页
2
1.逻辑联结词 命题中的或､且､非叫逻辑联结词.
共 43 页
3
2.命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断 p 真 q 真 p∧q 真 p∨q 真 ¬p 假
真
假 假
假
真 假
假
假 假
真
真 假
假
真 真
共 43 页
4
注意:p与q全真时,p∧q为真,否则,p∧q为假. p与q全假时,p∨q为假,否则,p∨q为真. p与¬p必定是一真一假.
共 43 页
19
[反思感悟] 正确理解逻辑联结词“或”､“且”､“非”的含义 是解题的关键,应根据组成各个复合命题的语句中所出现 的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为:①确 定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根 据类型二
全称命题与特称命题真假的判断
共 43 页
34
[错解] ∵命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数, ∴¬p:函数f(x)=-(5-2m)x为增函数,
5 ∴0<5-2m<1,∴2<m , 2
5 实数m的取值范围是 2, . 2
共 43 页
35
[剖析] 本题的错误在于由p得到¬p:函数f(x)是增函数.事实 上,命题p的否定包括“函数f(x)是增函数”和“f(x)不单调” 两种情形.为了避免出错,处理这类问题时,不宜直接得到命 题¬p,一般是先由原命题为真得出参数的取值范围,再研究 ¬p为真或为假时参数的取值范围.
共 43 页
考点陪练 1.(2010·威海模拟题)已知命题p:∀x∈R,cosx≤1,则( A.¬p:∃x0∈R,cosx0≥1 B.¬p:∀x∈R,cosx≥1 C.¬p:∃x0∈R,cosx0>1 D.¬p:∀x∈R,cosx>1 )