2019_2020学年高中数学课时作业8椭圆的简单几何性质新人教A版选修2_1

课时作业8 椭圆的简单几何性质

|基础巩固|(25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆

y 2

21

＋x 2

9

＝1的短轴长相等，则( )

A ．a 2

＝25，b 2

＝16 B ．a 2

＝9，b 2

＝25

C ．a 2

＝25，b 2

＝9或a 2

＝9，b 2

＝25 D ．a 2

＝25，b 2

＝9

解析：因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 2

9＝1的短轴长为6，

所以a 2

＝25，b 2

＝9.

答案：D

2．椭圆mx 2

＋ny 2

＋mn ＝0(m

解析：化为标准方程是x 2－n ＋y 2

－m

＝1，

∵m

∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m 答案：C

3．与椭圆x 29＋y 2

4＝1有相同离心率的椭圆方程是( )

A.y 29＋x 24＝1

B.x 236＋y 2

25＝1 C.

y 2

36＋x 225＝1 D.x 236＋y 2

11

＝1 解析：方法一 分别算出已知椭圆及各选项中椭圆的离心率，进而作出判断，此处略． 方法二 椭圆y 29＋x 2

4＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大

小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同．

答案：A

4．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1

2，则C 的方程是( )

A.x 23＋y 24＝1

B.x 24＋y 2

3＝1 C.x 24＋y 2

3＝1 D.x 2

4

＋y 2

＝1 解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12

⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2

＝3，

因此其方程是x 24＋y 2

3

＝1.故选C.

答案：C

5．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，

直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →

，则椭圆的离心率是( )

A.

32 B.22

C.13

D.12

解析：∵AP →＝2PB →，∴AP →＝2|PB →|. 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝2

3，

即

a

a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12

. 答案：D

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为1

2

，则m ＝________.

解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m

＝12⇒m ＝16

3. 综上，m ＝3或m ＝16

3.

答案：3或16

3

7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5

5

，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为____________．

解析：∵e ＝c a ＝

55

， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15

， ∴5a 2

－5b 2

＝a 2

即4a 2

＝5b 2

.

设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 2

4a

2＝1(a >0)，

∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×16

4a 2＝1.

解得a 2

＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 2

36＝1. 答案：x 245＋y 2

36

＝1

8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，

B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆

C 的离心率等于________．

解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫c ，－b 2

a ，

由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2

2a ，所以AD →

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 2

2a ，F 1B →

＝⎝

⎛⎭⎪⎫2c ，－b 2

a ，又

AD ⊥F 1B ，所以AD →·F 1B →

＝－2c 2

＋3b 42a

2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝

2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2

＋2e －3＝0，

解得e ＝

3

3

或e ＝－3，又e ∈(0,1)， 故椭圆C 的离心率为33

. 答案：

33

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．求椭圆x 2100＋y 2

36＝1的长轴长、短轴长和顶点坐标．

解析：根据椭圆的标准方程

x 2100＋y 2

36

＝1，得焦点在x 轴上，且a ＝10，b ＝6，c ＝100－36

＝8.因此长轴长2a ＝20，短轴长2b ＝12，顶点坐标为A 1(－10,0)，A 2(10,0)，B 1(0，－6)，

B 2(0,6)．

10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：