浙江省普通高中10月学业水平考试数学试题 word版含答案 (2)6

高二12月学业水平测试数学试题数学（必修）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ） A ．{1} B ．{3,5} C ．{1,3,5} D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ） A ．56110x y +-= B ．5610x y -+= C ．65110x y --= D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ）A ．-3B ．13- C.13D ．35.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ）A ．1B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ） A ．()|1|f x x =- B ．1()f x x =C. 1()1()2x f x =- D ．()sin 2f x x = 8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]- 9.若0x 是函数()ln f x x =与2()g x x=的图象交点的横坐标，则0x 属于区间（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C. (2,3) D ．(3,)+∞10.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m n ⊥，//n α，则 m α⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβ D ．若//m α，m β⊥，则a β⊥11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ） A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p << 12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1n a -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C.5100 D ．5150第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()f x =的定义域是__________. 14.函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈ ，，，设()f x a b =•. （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若()(0,)42f ππθθ+=∈，求()4f πθ-的值.18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率； （3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.已知数列{}n a 满足715a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数2y x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.（1）请将字母,,E F G 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）在长方体中，判断直线BG 与平面AFH 的位置关系，并证明你的结论；（3）在长方体中，设AB 的中点为M ，且2AB =，AE =EM ⊥平面AFG .21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.设函数2()2(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当1b a =-时，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值()g a 的表达式； （2）当21b a =-时，讨论函数[()]y f f x =在R 上的零点个数.数学试题参考答案及评分标准 一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCACD 11、12：AD 二、填空题13. [2,)-+∞ 14. 3π15. 43π 16.三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•)x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分（2）由（1）得，())4f x x π=+.因为()4f πθ+=，所以())444f πππθθ+=++………………5分)2πθθ=+==………………6分 所以1cos 3θ=.………………7分因为(0,)2πθ∈，所以sin θ==………………8分所以())444f πππθθθ-=-+=………………9分43==.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=，在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件， 则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，， {,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分 所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 19.解：（1）依题意得，得12n n a a +=+，即12n n a a +-=.………………1分 所以数列{}n a 是公差为2的等差数列.………………2分 由715a =，得16215a +⨯=，解得13a =.………………3分 所以1(1)n a a n d =+-………………4分3(1)221n n =+-⨯=+.………………5分（2）因为2133n a n n b +==，所以127b =.………………6分因为23121393n n n n b b +++==，所以{}n b 是公比为9的等比数列.………………8分所以1(1)1n n b q T q -=-………………10分27(19)27(91)198n n ⨯-==--.………………12分20.解：（1）字母,,E F G 标记如图所示.………………2分（2）//BG 平面AFH ，证明如下：在长方体ABCD EFGH -中，//AB GH ，且AB GH =， 所以四边形ABGH 是平行四边形， 所以//BG AH .………………4分又AH ⊂平面AFH ，BG ⊄平面AFH ，所以//BG 平面AFH .………………6分 （3）在长方体ABCD EFGH -中，FG ⊥平面ABFE ， 又EM ⊂平面ABFE ，所以FG EM ⊥.………………8分 在Rt AEF ∆与Rt MAE ∆中，90AEF MAE ∠=∠=，EF AEAE MA== 所以Rt AEF Rt MAE ∆∆∽，所以EFA AEM ∠=∠.因为90AEM MEF ∠+∠= ，所以90EFA MEF ∠+∠= ，所以AF EM ⊥.………………10分 又AF ⊂平面AFG ，FG ⊂平面AFG ，AF FG F =∩，所以EM ⊥平面AFG .………………12分21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为d ==， (1)分所以222228()4182r d =+=+=.………………2分所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>， 则220018x y +=.………………4分 因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00xy -.………………5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y .所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤.当且仅当003x y ==时，等号成立.………………10分 因为00x >，00y >,所以00119x y ≥， 所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分 所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分 22.当1b a =-时，222()21()1f x x ax a x a a a =++-=+-+-，对称轴为直线x a =-.当1a -<-即1a >时，()f x 在[1,1]-上是增函数，所以()(1)3g a f a ==.………………1分 当10a -≤-≤即01a ≤≤时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=-<=，所以()(1)3g a f a ==.………………2分当01a <-≤即10a -≤<时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数，且(1)(1)3f a f a -=->=，所以()(1)g a f a =-=-.………………3分 当1a ->即1a <-时，()f x 在[1,1]-上是减函数，所以()(1)g a f a =-=-.综上所述，,0,()3,0.a a g a a a -<⎧=⎨≥⎩.………………4分（2）当21b a =-时，22()21(1)(1)f x x ax a x a x a =++-=+++-. 令[()]0f f x =，即(()1)(()1)0f x a f x a +++-=， 解得()1f x a =--或()1f x a =-+.………………5分当()1f x a =--时，22211x ax a a ++-=--，即2220x ax a a +++=. 因为221(2)4()4a a a a ∆=-+=-，所以当10∆>即0a <时，方程2220x ax a a +++=有两个实数解.………………6分 当10∆=即0a =时，方程2220x ax a a +++=有且只有一个实数解0x =.………………7分 当10∆<即0a >时，方程2220x ax a a +++=没有实数解.………………8分 当()1f x a =-+时，22211x ax a a ++-=-+，即22220x ax a a +++-=. 因为222(2)4(2)48a a a a ∆=-+-=-+，所以当20∆>即2a <时，方程22220x ax a a +++-=有两个实数解.………………9分 当20∆=即2a =时，方程22220x ax a a +++-=有且只有一个实数解2x =.………………10分当20∆<即2a >时，方程22220x ax a a +++-=没有实数解.………………11分 综上所述，当0a <时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是4； 当0a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是3； 当02a <<时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是2； 当2a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是1；当2a >时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是0.………………12分页11第。