抛物线图像和性质的教学思考
高中数学_《抛物线》教学设计学情分析教材分析课后反思
抛物线及其标准方程一、教材分析新课程标准要求1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
3．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
4．通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
二、教学目标1．知识与技能：理解抛物线定义；掌握抛物线图形及其方程；会运用抛物线性质解决问题；2．过程与方法：通过思维导图让学生对抛物线的基本知识形成知识框架；通过典型例题剖析总结出通性通法。
3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学数形结合的思想、方程思想及分类讨论思想。
【教学重点】抛物线定义及其方程；抛物线性质的综合应用。
【教学难点】抛物线性质的综合应用；三、教学方法这一节与椭圆、双曲线几何性质的知识结构相似，研究方法为学生所熟悉，这使学生的自主探究活动具备良好的基础。
但是学生思维的全面性、深刻性，以及数形结合思想有待进一步培养加强。
基于以上分析，本节课我采用启发探究式的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，充分体现以学生为主体的教学理念。
为了展现丰富生动的教学内容，我利用多媒体技术进行辅助教学。
四、教学过程通过历年抛物线在高考全国卷的比对，让学生把握抛物线的考察重点及其方向。
【师生活动】引导学生回顾抛物线的定义。
一、抛物线的定义课堂探究一：抛物线的定义【例1】 若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则|P A |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________.解析：将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2).【共同归纳】应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线M上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2. 通过题组分析总结出最值的规律方法。
初中教学 数学说课 抛物线的图像及其性质
《二次函数y=ax2的图像及其性质》说课稿广水市李店初级中学黄欣一、说教材我说课的内容为《二次函数y=ax2的图像及其性质》，是人教版九年级数学下册第二十六章的第一节的第二课时。
本章由三个部分构成．1．二次函数的图象与性质．2．二次函数与一元二次方程之间的关系．3．二次函数的实际应用．知识方面，它是在一次函数，反比例函数的基础上，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充同时，也是以后学习初等函数的基础．本章配有丰富的实际应用实例，让学生充分感受到数学的应用价值与实际意义，激发学生学习数学的热情，让他们在应用中得到锻炼，各方面能力得到提高．我所说的《二次函数y=ax2的图像及其性质》是本章的抛物线图像基础和模型，对下一步认知抛物线的各种形式是一种引导和入门。
二、说教学目标。
1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质。
（根据大纲和课标要求：学生对函数图像必须达到会识别、会画、掌握其图像性质，并加以应用。
）2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.(数形结合的思想是学习数学的重要思想和方法，是解决动态几何、图形变换的有效手段。
)3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．（数学的乐趣在于掌握其理论依据后，去解决生活生产中的具体问题。
）三、说教材的重点、难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质。
2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．四、说教法1、预习自学。
在讲授新课前，先用多媒体揭示本节课的教学目标，然后学生根据老师的教学目标有计划的自学。
2、合作交流共同探究。
这样不但在教学突出了学生的主体地位，而且可以针对学生感兴趣的问题进行研究，使教学的实际意义更大。
3、数形结合。
学生根据所画的图像总结规律，有利于函数图像的更好的掌握。
高中数学_2.3.2 抛物线的几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2 抛物线的几何性质教学设计一、复习回顾思考：如何根据标准方程确定焦点位置以及开口方向？答：一次定焦点，正负定方向。
图 形标准 方程)0(22>=p px y )0(2-2>=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 坐标）（0,2p F）（0,2-p F），（20p F），（2-0pF准线 方程2p x -= 2p x = 2p y -= 2p y =个，一起对答案即可。
温故而知新。
这些都是本节课需要用到的相关概念，复习一遍便于后面解决问题。
二、课内探究问题：我们在前面学习了椭圆与双曲线的标准方程，并根据其标准方程研究了它们的几何性质，现在回忆一下，我们研究过椭圆和双曲线哪些性质？学生答：椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。
双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
提出问题：通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,应用类比的方法，请学生讨论一下抛物线22(0)y px p =>的几何性质.1、范围2、对称性。
3、顶点坐标4、离心率总结： 开口向右的抛物线四条几何性质。
学生回答，并强调这几类方法教师提示，先研究两个性质。
学生通过小组讨论得到结论。
另外两个性质为引出抛物线几何性质做准备。
让学生自己发现总结，便于更好的理解并掌握性质。
二、通过以上讨论我们知道了抛物线22(0)y px p =>的几何性质，对于另外三种形式的标准方程，它们的几何性质又是怎样的？请同学们应用类比的方法看看这三种标准形式的抛物线有哪些性质. 思考:类比22(0)y px p =>几何性质,把下列表格填完整.思考：抛物线的性质有哪些特点？1、标准方程的抛物线是否位于整个坐标平面内,是否有渐近线？2、抛物线有几条对称轴，有无对称中心？3、抛物线有几个顶点、几个焦点、几条准线？4、抛物线的离心率是否确定？标准 方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图形焦点 坐标 ）（0,2p F）（0,2-p F ），（20p F），（2-0pF准线 方程 2p x -=2p x =2p y -=2p y =范围 }0|{≥x x}0|{≤x x}0|{≥y y }0|{≤y y对称轴 x 轴y 轴顶点 坐标 （0,0）离心率1=e教师先给出定义，然后学生回答。
抛物线的简单几何性质教学设计
抛物线的简单几何性质教学设计教学设计：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.理解抛物线的定义和特点；2.掌握抛物线的几何性质；3.能够应用抛物线的性质解决相关问题。
二、教学过程：1.导入（5分钟）：通过向学生展示一些有关抛物线的图片，引起他们对抛物线的兴趣。
然后询问学生对抛物线的认识，并鼓励他们提出自己对抛物线的猜测。
2.概念讲解（15分钟）：2.1抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的定义由以下两个要素确定：焦点F和直线l，且F不在l上。
抛物线上的所有点与F的距离等于该点到直线l的距离。
2.2抛物线的特点：2.2.1抛物线的轴：过焦点F垂直于直线l的直线称为抛物线的轴。
2.2.2焦点和直线的关系：抛物线上任意一点P与焦点F之间的距离等于该点到抛物线的轴的距离。
2.2.3抛物线的对称性：抛物线关于抛物线的轴具有对称性。
2.2.4抛物线的顶点：焦点F和抛物线的轴的交点称为抛物线的顶点。
3.性质探究（30分钟）：3.1性质1：焦点到顶点的距离等于顶点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.2性质2：顶点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.3性质3：抛物线的对称性。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以在纸上绘制抛物线，使用尺子或折纸法等方法观察抛物线的对称性。
4.拓展应用（30分钟）：4.1问题1：已知抛物线焦点F为(0,4)，顶点为(0,0)，求抛物线的方程。
教师引导学生分析问题，让学生通过已知条件，利用抛物线的特征来确定未知数，并列出方程。
然后让学生自主计算，并核对答案。
4.2问题2：已知抛物线焦点F为(2,2)，顶点为(0,0)，直线l的方程为y=x+1，求抛物线的方程。
数学物理教案：抛物线的性质与应用
数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。
在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。
在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。
首先，我们来介绍抛物线的基本性质。
抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。
通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。
抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。
其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。
抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。
对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。
准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。
我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。
二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。
抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。
在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。
当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。
2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。
在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。
抛物线的性质与像变化规律
抛物线的性质与像变化规律抛物线是数学中一个重要的曲线，具有许多独特的性质和像变化规律。
本文将深入探讨抛物线的性质以及与其相关的像变化规律。
一、抛物线的定义与性质抛物线是指平面上一种特殊的二次曲线，其定义为到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（离心率）。
而这个常数称为离心率e。
根据这个定义，抛物线具有以下性质：1. 抛物线是对称的：抛物线关于其对称轴对称。
对称轴是一条垂直于抛物线的直线，通过抛物线的顶点。
2. 抛物线的焦点：抛物线的焦点是指到定点距离与到抛物线上任意一点的距离之比为常数。
焦点与离心率密切相关，离心率越大，焦点与顶点的距离越远。
3. 抛物线的直径：抛物线上任意两个与焦点对称的点构成的线段称为抛物线的直径。
直径与顶点之间垂直。
以上是抛物线的一些基础性质，接下来我们将研究抛物线的像变化规律。
二、抛物线的像变化规律1. 随着抛物线开口方向的改变，像也会发生变化。
当抛物线开口向上时，图像在顶点上方向上递增，并在顶点下方向上递减。
当抛物线开口向下时，像的变化规律则相反。
2. 焦点与顶点的位置也会对抛物线的像变化产生影响。
当焦点位于抛物线的顶点上方时，像在开口的侧边产生曲线。
当焦点位于抛物线的顶点下方时，像在开口的侧边上有一段直线。
当焦点与顶点重合时，像是一个顶点。
3. 离心率的大小也会对抛物线的像变化产生影响。
离心率越大，像的形状越扁平，曲线趋于水平。
离心率越小，像的形状越尖锐，曲线趋于垂直。
通过对抛物线性质与像变化规律的研究，可以更好地理解和应用抛物线。
抛物线在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如抛物线反射的光线轨迹、抛物线形状的电波传播等等。
总结：抛物线具有对称性和焦点的独特性质，它的像变化规律与开口方向，焦点与顶点的位置以及离心率的大小有着密切关系。
通过理解抛物线的性质和像变化规律，我们可以更好地应用于实际问题中，丰富数学的应用领域。
以上就是关于抛物线的性质与像变化规律的讨论。
希望本文可以对读者理解抛物线提供有帮助的解释和指导。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
高中数学_抛物线的几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计板书：§8.6 抛物线的简单几何性质抛物线的几何性质 例题 练习 课时小结 教 学 过 程教学内容 教师导拨与学生活动 设计意图 一、知识回顾1、 抛物线的定义：平面内与一个点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F →焦点，直线L →准线。
2、 抛物线的标准方程。
图形 标准方程焦点坐标准线方程抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论提出这一问题的研究方法——对比、数形结合二、引入课题若大桥的桥拱为抛物线型，其水面宽度为8米，拱顶离水面4米，方形货船宽4米，高2.6米. 问：能安全通过大桥吗?提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到“数学问题”通过“过桥”事件模型引发学生探究问题本质的)0(22>=p px y )0,2(p2p x -=)0(22>-=p px y )0,2(p-2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =的解决问题的方法。
并思考抛物线的几何性质。
热情，同时巩固抛物线方程的知识并提出本节课的标题，起着承上启下的自然过度。
三、讲授新课我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y =来研究它的几何性质。
1、 范围：0≥x2、 对称性：关于x 轴对称抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3、 顶点：（0，0）抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。
4、 离心率：e=1抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。
标准 方程图形范围 0≥x 0≤x0≥y0≤y对称 轴 关于x 轴对称 关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称顶点 （0，0） 离心率ｅ＝１补充说明：1、抛物线只位于半个平面坐标内，虽然他可以无通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从范围、对称性、顶点、离心率方面研究抛物线的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。
初中数学知识归纳抛物线的性质与像
初中数学知识归纳抛物线的性质与像初中数学知识归纳-抛物线的性质与像抛物线作为数学中的一种特殊曲线形态，具有许多独特的性质和特点。
在初中数学学习中，了解和掌握抛物线的性质与像对于理解曲线方程、解题和图形的变换具有重要的意义。
本文将对抛物线的性质与像进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用抛物线的相关知识。
一、抛物线的基本性质抛物线是由一条不等于零的常数a和变量x的平方项构成的二次函数图像。
其基本形式为：y = ax^2 + bx + c （a≠0）抛物线的顶点是图像的最低点或最高点，当抛物线开口朝上时，顶点为最低点，当开口朝下时，顶点为最高点。
顶点坐标为（h，k），其中 h = -b / (2a)， k = c - b^2 / (4a)。
二、抛物线的开口方向与对称轴抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是通过顶点的一条直线，其方程为 x = h，其中 h为顶点的横坐标。
三、抛物线的焦点与准线抛物线上有两个特殊的点，即焦点和准线。
抛物线的焦点位于对称轴上，其纵坐标为 k + 1 / (4a)。
而准线与对称轴平行，其纵坐标为 k - 1 / (4a)。
四、抛物线的图像变换抛物线在坐标系中可以进行各种图像变换，如平移、伸缩等。
具体变换规律如下：1. 平移变换：将抛物线整体上下或左右移动，平移变换的规律为：对于直线 y = f(x)，平移量为 (m, n)，则新的直线方程为 y = f(x-m) + n。
2. 垂直方向的伸缩：对于直线 y = f(x)，纵坐标整体伸缩为原来的a 倍，则新的直线方程为 y = a * f(x)。
3. 水平方向的伸缩：对于直线 y = f(x)，横坐标整体伸缩为原来的b 倍，则新的直线方程为 y = f(x / b)。
五、抛物线的像知道抛物线的性质和图像变换后，我们可以在解题中应用这些知识，求解与抛物线相关的问题。
《3.3.2 抛物线的几何性质》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一
《抛物线的几何性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解抛物线的概念，掌握抛物线的标准方程及其形式，能够正确画出抛物线图形。
2. 过程与方法：通过观察、分析、探究抛物线的几何性质，培养观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：理解抛物线的实际应用价值，激发学习数学的兴趣和求知欲。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握抛物线的标准方程及其形式，正确画出抛物线图形。
2. 教学难点：理解抛物线的焦点弦等性质，解决相关应用问题。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、粉笔、几何画板等多媒体教学设备。
2. 搜集相关教学资源，包括实物模型、图片、视频等，以备在教学中使用。
3. 提前设计好课堂互动问题，引导学生积极参与讨论，加深对知识点的理解。
4. 制定合理的考核方式，以检验学生对本节课知识的掌握情况。
四、教学过程：本节课是《抛物线的几何性质》第一课时，由于本节课内容较多，所以分两课时完成。
第一课时的重点是掌握抛物线的基本性质和运用。
教学过程的设计如下：（一）导入通过回顾椭圆的相关性质，让学生思考如何研究抛物线的性质，并给出抛物线的概念和标准方程。
（二）新知探究1. 探究开口方向引导学生观察标准方程，明确开口方向，得出结论：开口方向由|a|决定。
2. 探究对称轴通过观察标准方程中x的符号，得出结论：对称轴为y轴。
3. 探究焦点和准线根据标准方程，引导学生得出焦点和准线的位置，并总结出抛物线的定义。
（三）例题讲解通过例题讲解，让学生更好地理解和掌握抛物线的性质，并学会如何运用这些性质解决实际问题。
（四）课堂练习让学生完成一些与抛物线有关的练习题，以检验学生对新知识的掌握情况，并发现存在的问题。
（五）小结与作业1. 小结本节课的主要内容，包括抛物线的定义、开口方向、对称轴、焦点和准线等。
2. 布置作业，包括一些与抛物线有关的练习题和思考题，以进一步巩固和拓展学生对新知识的掌握。
（六）课后反思对本节课的教学效果进行反思，总结优点和不足之处，为今后的教学提供参考。
高中数学_抛物线的标准方程和简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
§2.4抛物线及其标准方程一：教学目标:1.知识与技能：（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；（3）掌握简单运用。
2. 过程与方法：（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题。
3. 情感态度与价值观：在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处。
二、学习者特征分析：1.学生有一定的圆锥曲线的基础，在此前学习过圆，椭圆的知识；2.清楚初中二次函数的图像是抛物线；3.有很强的求知欲望，思维活跃。
三：教学策略选择与设计1.采用启发式教学；创设情境，引导学生发现问题，运用类比，归纳的数学方法解决问题，是学生有被动接受转向主动学习；2.通过类比椭圆的学习体系及运用的方法，进而学习抛物线体系；3.适当的例题讲解，一方面巩固所学知识，另一方面培养自主思考解决问题能力。
教学重点：抛物线定义及如何建立适当坐标系，完成标准方程的推导过程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
四、教学资源与工具设计1. 一个多媒体教室；2. 课前制作的ppt；3.学生人手一本北师大版高中数学选修2-1；4.事先准备好的纸板、直尺、三角板、细线、胶带。
五、教学过程1.创设情境，引出课题利用PPT给出嫦娥一号飞船的运行轨迹图，引起注意，同时简单复习上节椭圆的相关知识。
今天我们一起深入来研究抛物线。
2.动手实验，概括定义师：初中，我们从函数的角度学习过抛物线，这一节课我们会冲破限界从另一个角度来认识抛物线。
下面请大家一起动手做一做：（同桌一组）把一根直尺固定在纸板上面，把一块三角板地一条直角边紧靠在支持的边缘，取一根直线，它的长度与另一直角边相等，细绳的一端固定在顶点A 处，另一端固定在纸板上点F 处。
用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，画出抛物线。
（走下讲台，及时对学生给予适当指导）师：思考一下，这个过程中有什么不变量？生：点P 到F 的距离和点P 到直尺的距离相等。
人教B版选修2《抛物线的几何性质》教案及教学反思
人教B版选修2《抛物线的几何性质》教案及教学反思一、教学目标1.理解抛物线的定义并能够描述抛物线的几何性质；2.掌握抛物线的标准方程和顶点式方程，并能够应用到相关的题目中；3.通过对抛物线相关例题的练习，掌握抛物线的相关解题技巧；4.能够将所学知识运用到实际中，如：汽车站点设计、潮汐的变化、计算机游戏、数学建模等。
二、教学重难点重点1.抛物线的定义和几何性质；2.抛物线的标准方程和顶点式方程。
难点1.抛物线相关的问题解决方法；2.抛物线应用到实际中的能力。
三、教学内容及教法设计教学内容1.抛物线的定义；2.抛物线的几何性质；3.抛物线的标准方程和顶点式方程；4.抛物线的相关例题。
教学方法1.课堂讲解与板书；2.学生自学与讨论；3.组内合作讨论和互动交流；4.课外练习和分享总结。
教学步骤第一步：引入本节课主要是讲述抛物线的几何性质，为了让大家更好地掌握这个内容，我们首先来看一下一个实例，如：在学校建设一个带顶篷的园林广场，该广场长40米，宽30米，墙壁高3.5米，墙壁坡度为60度。
请大家思考一下，如何设计这个篷布的最高点和最低点的位置才能使篷布成为一个抛物线形状呢？第二步：讲解1.抛物线的定义抛物线是指在平面上，在一个定点到直线上，在相同距离上的所有点连成的线条，它是一条曲线，它的形状独特，非常有规律。
2.抛物线的几何性质（1）抛物线的一个重要特点是可以通过平移、旋转和缩放变换到标准的抛物线形式；（2）抛物线的一个性质是轴对称，即抛物线的顶点位于对称轴上；（3）抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是常数；（4）抛物线的顶点式方程为：y = a(x - h)^2 + k，其中(a,h,k)为顶点的坐标。
3.抛物线的标准方程和顶点式方程（1）标准方程的含义和如何转化成顶点式方程；（2）顶点式方程的含义和如何转化成标准方程；（3）运用标准方程和顶点式方程解决抛物线相关问题。
抛物线的几何性质教案
抛物线的几何性质教案抛物线的几何性质教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握抛物线的定义，了解抛物线的几何性质。
2. 过程与方法：通过观察实例、辨析图形等方式，培养学生的观察能力和分析能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对几何形状的兴趣，通过发现规律和解决问题的过程，提高学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：抛物线的定义，抛物线的几何性质。
2. 教学难点：通过具体实例推导抛物线的一般式方程。
三、教学过程：Step 1：导入新课1. 通过投射物体的实例，引出抛物线的定义并写在黑板上。
2. 引导学生观察抛物线的形状，并讨论抛物线的特点。
Step 2：抛物线的定义1. 提问：根据之前的观察，你能用自己的话解释一下什么是抛物线吗？2. 学生回答后，教师给出正确答案并进行解释。
3. 学生跟随教师的解释，将定义写在笔记本上。
Step 3：抛物线的性质1. 引导学生观察抛物线的对称性，并讨论抛物线的对称轴是什么。
2. 引导学生发现抛物线的定点，并解释为什么这些点在同一条直线上。
3. 教师引导学生用引例方法，用一个实际问题（如抛射运动）解释为什么会产生抛物线，引导学生探索抛物线的另外两个性质。
（如，抛物线在对称轴上的点到定点的距离相等，抛物线上任意一点到定点和对称轴的距离相等）Step 4：抛物线的一般式方程1. 教师提出具体实例，引导学生观察，并用抛物线的定义和已知条件推导出一般式方程。
2. 学生与教师一起完成推导过程，并将结果写在黑板上。
3. 学生跟随教师的推导过程，将结果写在笔记本上。
Step 5：练习与巩固1. 教师出示几个实例，并要求学生根据观察结果，写出相应的抛物线方程。
2. 学生进行练习，并相互检查和讨论结果。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生们对抛物线的定义和几何性质有了初步的了解。
通过观察、探索的方式，激发了学生的兴趣，让他们在实践中感受到了数学的魅力。
在教学过程中，教师注重培养学生的观察能力和分析能力，通过引导学生发现规律和解决问题的过程，培养学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
抛物线的像与性质分析
抛物线的像与性质分析抛物线是一种常见的曲线形状，研究抛物线的像与性质有助于我们更好地理解其特点和应用。
本文将对抛物线的像和性质进行详细分析。
一、抛物线的定义与基本性质抛物线是平面几何中一种特殊的曲线，它是由直线与一个固定点P和一个固定直线l相交而成的轨迹。
其几何定义如下：设P为一点，l为一直线，对于平面上任意一点A，当AP的长度等于AM的平方（M为直线l上的一点），则称A为抛物线的动点，A的轨迹为抛物线。
基本性质：1. 抛物线的轴：过焦点的直线l称为抛物线的轴，与抛物线关于对称轴对称。
2. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是轴上到焦点的距离最短的点，也是抛物线的最高点。
3. 抛物线的焦点：焦点是由定点P与直线l确定的，它是抛物线上所有点的平行焦点，同时也是对称轴上的顶点。
4. 抛物线的直径：抛物线上垂直于轴且经过焦点的线段称为抛物线的直径。
二、抛物线的像根据焦点和直线的位置关系，抛物线的像可以分为以下三种情况：1. 直线不经过焦点，离焦点较远时，直线与抛物线有两个交点。
2. 直线不经过焦点，经过顶点时（即直线平行于轴），直线与抛物线有一个交点。
3. 直线经过焦点时，直线与抛物线没有交点。
三、抛物线的性质抛物线具有许多重要的性质，下面将介绍其中几个：1. 切线性质：抛物线上任意一点P处的切线斜率等于焦点到P的直线l的斜率。
2. 对称性质：抛物线关于对称轴对称，即抛物线上任意一点P关于对称轴上的点P'，有PP'的长度等于焦点到P的距离。
3. 焦距性质：抛物线上任意一点P，焦点到P的距离等于点P到对称轴的距离。
4. 曲率性质：抛物线上任意一点P处的曲率半径等于焦点到P的距离的倒数。
5. 判别式性质：对于二次函数y=ax^2+bx+c的图像为抛物线，其判别式Δ=b^2-4ac决定了抛物线的开口方向。
当Δ>0时，抛物线开口向上；当Δ<0时，抛物线开口向下；当Δ=0时，抛物线退化成一个顶点。
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２
：
思路 四解 析 ： 如“ 思 路三解析” 图所 示 ， 在求ｈ Ｈ ￣， 也 可 以用 解析几何进行 ， 小 球 在ａ 处 的坐 标 为 （ Ａ Ｇ， Ｈ） ， Ａ Ｂ 直 线 的
２ ４
ａ ｙ
ｔ ａ ｎ ０ ＂ｖ ｏ
抛 物 线 图 像 和 性 质 的 教 学 思 考
彭艳 亮
（ 广东 第 二 师范 学 院番 禺 附属 中学 ， 广 东 广州 ５ １ １ ４ ０ ０ ）
摘 要 ： 解析 几 何 是 １ ７ － ￣ － 纪数 学发 展 的 重要 成 果 之 一 ， 其 本 质 是 用 代 数 的 方 法研 究 图形 的 几何 性 质 ， 体现数形结合 的思想。 本 文 论 述 了 高 中 阶段 学抛 物 线 的 主 要 内容 ， 对 学 生 在 学 习抛 物 线 图像 和性 质 时 存 在 的 问题 进 行 了认 真 的分 析 ， 提 出 了抛 物 线 图 像 和 性 质 的 教 学 办法 ， 以供 参 考 。 关键词 ： 高 中数 学 解析 几何 教 学 方 法 解 析 几 何 是 利 用 代 数 方 法 研 究 几 何 图 形 性 质 的 一 门 学 科． 它 包 括 平 面解 析 几 何 和空 间解 析 几 何 两 部 分 。 抛 物 线 作 为 解 析 几 何 的 一 部 ．其 思 想 代 表 研 究 曲线 和 曲 面 的 一 般 方 法 和 手段 ， 即用 代 数 为工 具 解 决 几 何 问 题 。 １ ． 高 中 阶 段 学 抛 物 线 的 主 要 内容 １ ． １ 抛 物 线 中 的“ 坐标法” “ 坐标法” 是抛物线 思想 的主要组成部 分 ， 因 为 建 立 了 坐 标系 ． 就 能 把 抛 物 线 的性 质 用 代 数 表 示 ． 从 而 把 几 何 问 题 转 化 为 代 数 问 题 解 决 。适 当地 选 择 坐 标 系 可 以 大 大 简 化 对 抛 物 线 性质的研究 ． 但 抛 物 线 的 性 质 不 会 随 着 坐 标 系 的 变化 而 改 变 。 我 们 要 研 究 的是 那 些 和 坐标 系 的 选 择 无 关 的 性 质 ：或 者 说 建 立 坐 标 系 正 是 为 了摆 脱 抛 物 线对 坐标 系 的 依 赖 。这 在 代 数 上 表 现 为 在 某 个 线 性 变 换 群 下 的 不 变量 和不 变 关 系 。
球 在Ｂ 处Ｘ 轴 方 向的速 度Ｖ － Ｖ ＋ ａ ・ Ｔ， Ｙ轴 方 向 的 速 度 大 小 不 变， 利 用 速 度 的合 成 ， 求得小球在Ｂ 处 的合 速 度 的大 小 。 思路 三解析 ：如图所示 ． 建 立 以 Ａ为 坐 标 原 点 直 角 坐 标 系 。 小球运动到ａ 处 所 用 时 间ｔ 为 总 时
Ｈ
了 可 得 ｂ 、 ｃ 、 ｄ 点处 的坐标 ， 又因ｓ ； ０ ＝ Ｈ， Ａ Ｇ ＝ Ｓ ０ ， 求得 ： ｈ ＝
２ ２
Ｓ ￣ ＂ ｓ ｉ ｎ ２ ０ ＝ １ Ｖ ｏ
－
。
间Ｔ 一 半 ，结 合 平 抛 运 动 的特 点
１
，
可得： ｈ ＋ ｈ ： ＝ Ｈ ， ｈ ２ － ｈ 。 ＝ ｇ （ ÷Ｔ ） ‘ ，
二
１ ’
Ｈ ＝ ÷ｇ Ｔ 。 。所Ｖ ２ ｈ １ ： ｈ ２ ＝ １ ： ３ 。
由 动 能 定 理 得 ： ｍ ｇ Ｈ ＝ ÷ ｍ 一 Ｌ ２ ｍ ｖ ２ 。 ＝ ｌ ｍ （ ｖ ２ ＋ ｖ ２ 。 ） 一 １ Ｉ ｎ ｖ ２ 。 。
运动学知识得 ： Ｖ ２ － ＝ ２ ｇ Ｈ
，
带电 电荷 以一定 初速 度垂直 于匀 强 电场方 向运动 的 问 题 ．利用 本 文 提供 的 方 法 与 重 力 场 下 的平 抛 运 动 进 行 类 比处 理 就 能很 好 地 解 决 。 与斜面结合 的平抛运 动是添加 了约束条 件的平抛运 动。 用 速 度 的合 成 与分 解 求 解 平 抛 运 动 的 问题 ，最 关 键 的是 速 度 的偏 转 角 、 位 移 的偏 转 角 概 念 深 刻 理 解 ， 并 对 它 们 之 间 的 ｉ角 关 系 牢 固掌 握 和熟 练应 用 ； 在 应 用 动能 定 理 时 ， 要 相 应 地 在竖
１ － ２ 抛 物 线 中 的 运 算 思 想
抛 物 线 的运 算 ， 往往有较强的综合性 ． 涉 及 相 应 的 代 数 方 程知识 （ 包 括消元思想 、 整体代换 、 函数思想 、 同解 原 理 、 韦 达 定理 、 方程 组的解 、 构造不等式 、 参 变量 代 换 、 求解 不等式 ） 等 内容 ，对 计 算 能 力 要 求 较 高 。 在 解 决 抛 物 线 问 题 时 ，要 注 重 “ 数” 与“ 形” 的统 一 ， 在计算 时 ， 要 结 合 抛 物 线 图 像 自身 的 特 点。 充分挖掘抛物线的几何结论 。 这是解决问题的突破 １ ２ １ 和 简
ｍｇ ｃ ｏ ｓ ０ ＝ｍ ａ ｙ。
在 △ａ ｂ ｄ中 ， ａ ｂ … ｈ ａ ｄ ｓ ｉ ｎ ０ ＝ ＡＧ・ ｓ ｉ ｎ ０ ＝ Ｓ 。 ・ ｓ ｉ ｎ ２ ０ ：
４
ｓ ｉ ｎ ０
＇ ｕ
８
２ ｇ
ｃ ｏ ｓ Ｏ
．
由 运动 学 知 识可 知： ｈ ： ： ｌ ｖ 盘 ： ！ ： 竺 ！ｔ＝
向； 其 次对小球进 行受 力分析 ， 并把ｖ 、 ｍｇ 分 别 向 ｘ轴 、 Ｙ轴 进
行 分解 。在ｘ 轴 方 向 的 速 度 Ｖ＝ ｘ ｖ 。 ｃ ｏ ｓ Ｏ ，在 Ｘ轴 方 向 的 力 Ｆ ＝ ｍ ｇ ｓ ｉ ｎ ０ ＝ ｍａ 在Ｙ 轴方 向的速度ｖ ＝ ｖ ０ ｓ ｉ ｎ ０ ，在Ｙ轴 方 向 的 力 Ｆ ＝ 一
——Leabharlann ，从而得到Ｔ 的值 ， Ｓ ＾ ： ｖ 。 ｃ 。 ｓ ０ ． Ｔ ＋ １ ａ ｘ ． Ｔ２ ＝ ２ ＿ ｔ ； 小
解析 式 ： ｙ ＝ ｔ ａ ｎ ０ ・ ｘ ， ａ ｂ 直 线 的解 析 式 ： ｖ 一 —Ｉ ＿ｘ ＋ Ｈ＋ Ａ Ｇ
ｔ ｉ ｎ０ ４ ２