河北省邯郸市2016届高三第二次模拟考试数学试题理含答案
河北省邯郸市2016年高考数学二模试卷(理科)(有答案)
2016年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（C U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{0，3，4}D．{0，2，3，4}2．若复数z满足3﹣i（z+1）=i，则z=（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2+3i D．2﹣3i3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=ln|x|B．y=cosx C．D．y=﹣x2+14．命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≥05．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]6．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．17．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．2 B．C．﹣D．﹣38．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，则S n的最大值为（）A．28 B．36 C．45 D．559．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种10．已知M（x0，y0）是曲线C：﹣y=0上的一点，F是C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（）A．25πB．25πC．50πD．50π12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，）C．（，）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（x﹣）dx=．14．已知||=2，||=4，⊥（），则向量与的夹角的余弦值是．15．如图为某小区100为居民2015年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这100位居民月平均用水量的中位数为吨．16．关于函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法：①周期为2π；②最小值为﹣；③在区间（0，）单调递增；④关于x=对称，其中正确的是（填上所有正确说法的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n﹣2（n∈N+）（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+ac=b2．（Ⅰ）求A的取值范围；（Ⅱ）若a=2，A=，求△ABC的面积．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB是等边三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．2016年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（C U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{0，3，4}D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集、补集与并集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，∴C U A={0，4}，∴（C U A）∪B={0，3，4}．故选：C．2．若复数z满足3﹣i（z+1）=i，则z=（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2+3i D．2﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，和利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由3﹣i（z+1）=i，得i（z+1）=3﹣i，∴z+1=，则z=﹣2﹣3i．故选：B．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=ln|x|B．y=cosx C．D．y=﹣x2+1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：y=ln|x|是偶函数，则（0，+∞）上单调递增，不满足条件．y=cosx是偶函数，则（0，+∞）上不单调，不满足条件．是奇函数，则（0，+∞）上单调递减，不满足条件．y=﹣x2+1是偶函数，则（0，+∞）上单调递减，满足条件．故选：D4．命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≥0【考点】命题的否定．【分析】特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即“∀x∈R，x2+x+1＞0”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是全称命题：“∀x∈R，x2+x+1＞0”．故选B．5．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率的正值不大于2，由a，b，c的关系和离心率公式，可得范围．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，可得≤2，即b≤2a，又e==≤=，但e＞1，可得1＜e≤．故选：D．6．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点（2，2）带人直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．2 B．C．﹣D．﹣3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=2017时不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，i=1满足条件i≤2016，S=﹣3，i=2满足条件i≤2016，S=﹣，i=3满足条件i≤2016，S=，i=4满足条件i≤2016，S=2，i=5…观察规律可知S的取值周期为4，由2016=504×4可得满足条件i≤2016，S=，i=2016满足条件i≤2016，S=2，i=2017不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值为2．故选：A．8．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，则S n的最大值为（）A．28 B．36 C．45 D．55【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的求和公式和性质可得a4=5，a5=4，进而可得通项公式，可得数列前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得结论．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，∴S7=7a4=35，a2+a3+a10=3a5=12，∴a4=5，a5=4，∴公差d=a5﹣a4=﹣1，故a n=5﹣（n﹣4）=9﹣n，故数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故数列的前8或9项和最大为S9=9a5=36，故选：B．9．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题目被选的情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题目被选的有C42（C43A22+C42）=84、恰好3道未被选（四人选了同一题目，有4种）、恰好0道题未被选的（4个题目都被选，有A44=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：C．10．已知M（x0，y0）是曲线C：﹣y=0上的一点，F是C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设M（x0，），（x0≠0），求得N的坐标，求出抛物线的焦点坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由题意可设M（x0，），（x0≠0），由题意可得N（x0，0），又抛物线x2=2y的焦点F（0，），即有=（﹣x0，﹣），=（0，﹣），由＜0，即为（﹣）•（﹣）＜0，即有x02＜1且x0≠0），解得﹣1＜x0＜0且0＜x0＜1．故选：A．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（）A．25πB．25πC．50πD．50π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为3，4，5，求出对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为3，4，5，其对角线长为=5，∴此几何体外接球的半径为∴外接球的表面积S=4π×（）2=50π．故选：C．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，）C．（，）D．（，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据条件先求出f（1）=0，即函数f（x）是周期为2的周期函数，然后根据奇偶性求出函数在一个周期内的图象，结合函数与方程之间的关系转化两个函数的交点个数问题，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：∵偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），∴令x=﹣1，得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），即f（1）=f（1）﹣f（1）=0，则f（1）=0，即对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1）=f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，∴f（1）=1+b=0，则b=﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）=x﹣1，若x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]时，则f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），则当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x+1，由函数y=f（x）﹣log a（x+1）=0，得f（x）=log a（x+1），作出f（x）和g（x）=log a（x+1）在（0，+∞）上的图象若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则等价为两个函数f（x）和g（x）在（0，+∞）上恰好有三个交点，若a＞1，两个函数只有一个交点，不满足条件．若0＜a＜1，要使两个函数有三个交点，则点A（2，﹣1）则g（x）的图象的下方，B（4，﹣1）在g（x）的上方，即，即，即＜a＜，即实数a的取值范围是（，），故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（x﹣）dx=1﹣ln2．【考点】定积分．【分析】根据：积分公式化简求解∫（x﹣）dx=（x﹣lnx）|，利用牛顿莱布尼兹定理得出答案即可．【解答】解：∫（x﹣）dx=（x﹣lnx）|=2﹣ln2﹣1+ln1=1﹣ln2，故答案为：1﹣ln214．已知||=2，||=4，⊥（），则向量与的夹角的余弦值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由便可得出，进行数量积的运算便可得到，从而便可得出向量与夹角的余弦值．【解答】解：∵；∴；即=；∴；即向量与夹角的余弦值是．故答案为：．15．如图为某小区100为居民2015年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这100位居民月平均用水量的中位数为 2.02吨．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.44×0.5=0.49＜0.5，0.49+0.5×0.5=0.74＞0.5，设中位数为a，则0.49+（a﹣2）×0.5=0.5，解得a=2.02，∴估计中位数是2.02．故答案为：2.02．16．关于函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法：①周期为2π；②最小值为﹣；③在区间（0，）单调递增；④关于x=对称，其中正确的是①②④（填上所有正确说法的序号）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】①由f（x+2π）=f（x）即可得证；②换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[﹣，]，且sin2x=t2﹣1，可得y=t2+t﹣1，由二次函数区间的最值可得．③由②利用二次函数的性质即可得解；④证明f（﹣x）=f（x），即可判断正误．【解答】解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f（x），∴函数周期为2π，故①正确；②设t=sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，∴t2=（sinx+cosx）2=1+sin2x，∴sin2x=t2﹣1，∴y=sin2x+sinx+cosx=t2﹣1+t=t2+t﹣1=（t+）2﹣，t∈[﹣，]，由二次函数可知，当t ∈[﹣，﹣]时，函数y=t 2+t ﹣1单调递减，当t ∈[﹣，]时，函数y=t 2+t ﹣1单调递增， ∴当t=﹣时，函数取最小值y min =﹣，故②正确；③由②可知y=t 2+t ﹣1，t ∈[﹣，]，故③错误； ④∵f （﹣x ）=sin [2（﹣x ）]+sin （﹣x ）+cos （﹣x ）=sin （π﹣2x ）+sinx +cosx=sin2x +sinx +cosx=f （x ），∴函数关于x=对称，故④正确． 故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n ﹣2（n ∈N +）（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）通过S n =2a n ﹣2与S n ﹣1=2a n ﹣1﹣2（n ≥2）作差，进而可知数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b n =3n ×2n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n =2a n ﹣2，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣2（n ≥2），两式相减得：a n =2a n ﹣1，又∵S 1=2a 1﹣2，即a 1=2，∴数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列，∴a n =2n ；（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =3n ×2n ，∴T n =3×2+6×22+9×23+…+3n ×2n ，2T n =3×22+6×23+…+3（n ﹣1）×2n +3n ×2n+1，两式相减得：﹣T n =3（2+22+23+…+2n ）﹣3n ×2n+1=3•﹣3n ×2n+1=﹣3（n ﹣1）2n+1﹣6，∴T n =6+3（n ﹣1）2n+1．18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足a 2+ac=b 2．（Ⅰ）求A 的取值范围；（Ⅱ）若a=2，A=，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理得a 2﹣b 2=c 2﹣2bccosA ，由a 2+ac=b 2得a 2﹣b 2=﹣ac ，故c 2﹣2bccosA=﹣ac ，即cosA=，因为a +c ＞b ，所以cosA ，得出A 的范围；（2）将A=和a=2分别代入a 2+ac=b 2和b 2+c 2﹣a 2=2bccosA ，联立方程组解出b ，c ，使用S=bcsinA 求出面积．【解答】解：（1）由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，∴a 2﹣b 2=c 2﹣2bccosA ，又∵a 2+ac=b 2，∴a 2﹣b 2=﹣ac ．∴c 2﹣2bccosA=﹣ac ，∴cosA=，∵a +c ＞b ，∴cosA ．∴0＜A ＜． （2）∵a 2+ac=b 2，∴4+2c=b 2，∵b 2+c 2﹣a 2=2bccosA ，∴b 2+c 2﹣4=bc ， 联立方程组，解得b=2，c=4．S△ABC=bcsinA==2．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB是等边三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，推导出OP⊥AB，OP⊥OC，从而OP⊥面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC ﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，∵△PAB是等边三角形，∴OP=，且OP⊥AB，由题意知△ABC为等边三角形，且OC=，在△POC中，∵OC2+OP2=CP2，∴OP⊥OC，∴OP⊥面ABC，∵OP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），A（﹣1，0，0），D（﹣2，，0），设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），则，取x=，得=（），设平面PCD的法向量=（a，b，c），=（0，，﹣），=（﹣2，，﹣），则，取b=1，得=（0，1，1）＜cos＜＞==，由图形得二面角B﹣PC﹣D的平面角为钝角，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．20．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【考点】条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=，能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==，∴随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=++=，P（AB）==，P（B|A）===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，由此能求出椭圆G的方程．（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，故a2=b2+c2=8，∴椭圆G的方程为（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，化简得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，①因为直线l与椭圆G相交于A，B两点，∴△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，解得﹣2，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．③于是AB的中点M（x0，y0）满足=﹣，．已知点P（﹣3，2），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，则k PM=﹣1，即=﹣1，④，将M（﹣）代入④式，得m=3∈（﹣2，2）满足②此时直线l的方程为y=x+3．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．（2）由f（x）﹣1=0得f（x）=1，求函数的导数f′（x），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=•e﹣2x．f（）=3e﹣1，又f′（x）=•e﹣2x，∴f′（）=2e﹣1，故所求切线方程为y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣），即y=x+．（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0即f（x）=1．f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当x＜﹣1或x＞1时，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1无解；故只需考虑﹣1≤x≤1的情况，f′（x）=•e﹣2x，当＜a≤2时，f′（x）≥0，所以f（x）区间[﹣1，1）上是增函数，又易知f（0）=1，所以方程f（x）=1只有一个根0；当a＞2时，由f′（x）=0可得x=±，且0＜＜1，由f′（x）＞0可得﹣1≤x＜﹣或＜x＜1，由f′（x）＜0可得﹣＜x＜，所以f（x）单调增区间为[﹣1，﹣）和（，1）上是增函数，f（x）单调减区间为（﹣，），由上可知f（）＜f（0）＜f（﹣），即f（）＜1＜f（﹣），在区间（﹣，）上f（x）单调递减，且f（0）=1，所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；在区间[﹣1，﹣）上f（x）单调递增，且f（﹣1）=0＜1，f（﹣）＞1，所以方程f（x）=1存在唯一的根0在区间（，1）上，由f（）＜1，x→1时，f（x）→+∞，所以方程f（x）=1有唯一的根；综上所述：当0＜a≤2时，方程f（x）=1有1个根；当a＞2时，方程f（x）=1有3个根．2016年8月13日。
河北省邯郸市2014届高三第二次模拟考试 数学文试题 (word版)
河北省邯郸市2014届高三第二次模拟考试 数学文试题（word 版）2014.4一．选择题（共12小题）1．已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则AB =A. {0}B. {1,0}-C. {0,1}D. {1,0,1}- 2．复数z 满足()(2)5z i i --=，则z =A. 22i --B. 22i -+C. 22i -D. 22i +3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程6.54ˆ68.0ˆ+=x y ，利用下表中数据推断a 的值为零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min )62a758189A. 68.2B. 68C. 69D. 674．已知双曲线的离心率为2，焦点是），04(-，)04，（，则双曲线方程为 A. 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=5．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A. B. 4C.D.6．函数x x y cos 2=部分图象可以为A BC D7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，输出y 的结果恰好是31，则①处的关系式是A. 31x y = B. 3-=x y C. x y 3= D. 3x y =8．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第 号座位上A. 1B. 2C. 3D. 4 9．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ,则=8SA. 160B. 64C. 64-D. 160-10．若在区间[]20，中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于32的概率是 A. 31 B. 32 C. 94 D. 9111．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AB AC =，若四面体P ABC -的体积为1639，则该球的表面积为A.π29 B. 323π C. 16π D.π912．已知函数()||f x x a =+（a R ∈）在[1,1]-上的最大值为()M a ，则函数2()()|1|g x M x x =--的零点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二．填空题（共4小题）13．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最小值为_______________．14．已知1=a ，)3,1(=b ，()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为_______________．15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，1=a ，3π=B ，当ABC ∆的面积等于3时， C tan =_______________．16．如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点B A 、分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知{}n a 为正项等比数列，263,243a a ==,n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，153,35b S ==.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设1122n n n T a b a b a b =+++，求n T .18．某城市随机抽取一个月(30天)的空气质量指数API 监测数据，统计结果如下：API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300](300,350]空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数2459433（I ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API 的平均值；（II ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为w ）的关系式为0,01004400,1003002000,300350w S w w w ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪<≤⎩若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率.19．如图,在三棱锥ABC S -中,⊥SA 底面ABC ，90=∠ABC , 且AB SA =,点M 是SB的中点,SC AN ⊥且交SC 于点N.（I ）求证⊥SC 平面AMN ； （II ）当=AB BC1=时，求三棱锥SAN M -的体积.20．已知函数x x b ax e x f x 2)()(2+++=，曲线)(x f y =经过点)10(，P ，且在点P 处的切线为14+=x y l ：． （I ）求a ，b 的值；（II ）若存在实数k ，使得[]1-2，-∈x 时k x k x x f +++≥)1(2)(2恒成立，求k 的取值范围．21．已知12F F 、为椭圆E 的左、右焦点，点），231(P 为其上一点，且有421=+PF PF ． （I ）求椭圆E 的标准方程； （II ）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A B 、两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C D、两点，求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值．22．如图,已知AB 为圆O 的直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为E ， 弦AG 交CD 于F .（I ）求证：E F G B 、、、四点共圆； （II ）若24GF FA ==，求线段AC 的长．E FGDC BAO23．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为121122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A的极坐标为)4π，设直线l 与圆C 交于点,P Q . （I ）写出圆C 的直角坐标方程； （II ）求||||AP AQ ⋅的值． 24．已知函数ax x x f -+-=1)(.（I ）当2a =时，解不等式4)(≥x f ；（II ）若不等式a x f 2)(≥恒成立，求实数a 的取值范围．邯郸市2014届高三二模文科数学答案 一．选择题：1—5 BDBAD 6—10 ACBAC 11--12 DC 二．填空题：13、3- 14、3π15、32- 16、），128(17. 解：（I ）1513243a q a q =⎧⎨=⎩ 113a q =⎧∴⎨=⎩ 13n n a -∴=………………………………2分又11351035b b d =⎧⎨+=⎩ 132b d =⎧∴⎨=⎩ 21n b n ∴=+………………………………4分（II ）211335373(21)n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅+23133335373(21)3(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-+⋅+ (8)分 相减得21233232323(21)n n n T n --=+⨯+⨯+⨯-⋅+2132(333)3(21)n n n -=+⨯++-⋅+33(21)23n n nn n =-+=-⋅3n n T n ∴=⋅………………………………12分18. 解：（I ）该城市这30天空气质量指数API 的平均值为2527541255175922542753325330175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=（）……………………4分（II ）设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A由200600S <≤得150250w <≤，……………………8分根据表格数据得共有9+4=13天所以13()30P A =……………………12分19. 解（I ）SA ⊥底面ABC ,,BC SA BC AB ⊥⊥, BC SAB BC AM ∴⊥∴⊥面又SA AB =,M 是SB 的中点, AM SB ∴⊥,AM SBC ∴⊥面AM SC ⊥∴由已知AN SC ⊥,SC ∴⊥平面AMN . ……………………4分 （II ）SC ⊥平面AMN SN ∴⊥平面AMN1SA AB BC AC SC ===∴==而又AN SC AN ⊥∴=又AM SBC AM MN ⊥∴⊥平面……………………8分而AM MN ==12AMN S ∆∴==11336S AMN AMN V S SN -∆∴=⋅=361==∴--AMN S SAN M V V ……………………12分20. 解：（I ）22)()(++++='x b a ax e x f x………………………………2分 依题意，⎩⎨⎧=='1)0(40(f f ），即⎩⎨⎧==++142b b a ，解得⎩⎨⎧==11b a ．……………………4分 （II ）由k x k x x f +++≥)1(2)(2得：)12()1(+≥+x k x e x[]1-2，-∈x 时，012<+x ∴kx k x x f +++≥)1(2)(2即)12()1(+≥+x k x e x恒成立当且仅当12)1(++≥x x e k x ……6分设[]1,2,12)1()(--∈++=x x x e x g x ，22)12()32()(++='x x x e x g x由0)(='x g 得23(0-==x x 舍去），…………8分当0)()23,2(>'--∈x g x 时，；当0()1,23(<'--∈）时，x g x∴[]1-2-12)1()(，在区间++=x x e x g x 上的最大值为2341)23(-=-e g ………………………10分所以常数k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,4123e …………………………………12分21. 解：（I ）设椭圆E 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>由已知421=+PF PF 得24a =，∴2a =又点），231(P 在椭圆上，∴219144b +=∴b =椭圆E 的标准方程为22143x y +=…………4分（II ）由题可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴ABCD S =4OAB S ∆设直线AB 的方程为1x my =-，且1122((A x y B x y ,)、,)由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--= ∴12122269,3434m y y y y m m +==-++…………6分OAB S ∆=1OF A S ∆+1OF B S ∆=12112||||OF y y ⋅-=1212||y y -=12=8分令21m t +=，则1t ≥OAB S ∆==，…………10分又1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增∴()(1)10g t g ≥= ∴OAB S ∆的最大值为32∴ABCD S 的最大值为6. …………12分22.解：（I ）如图，连结GB ，由AB 为圆O 的直径可知90AGB ∠= 又CD AB ⊥，所以90AGB BEF ∠=∠=因此E F G B 、、、四点共圆………………………………4分 （II ）连结BC ，由E F G B 、、、四点共圆得AF AG AE AB ⋅=⋅又2,6AF AG ==，所以12AE AB ⋅=因为在Rt ABC ∆中，2AC AE AB =⋅所以AC =………………………………10分23.解：（I ）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，所以22cos ρρθ= 转化成直角坐标方程为222x y x += 即22(1)1x y -+=………4分 （II ）由点A的极坐标)4π得直角坐标A 11(,)22将直线l的参数方程1211y 22x t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(1)1x y -+=得2102t --=设12t t 、为方程2102t -=的两个根，则1212t t =- 所以||||AP AQ ⋅=121||2t t =.………………………………10分24解：（1）由4)(≥x f 得，⎩⎨⎧≥-≤4231x x ，或⎩⎨⎧≥<<4121x ，或⎩⎨⎧≥-≥4322x x 解得：27,21≥-≤x x 或原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x ，或……………4分（2）由不等式的性质得：1)(-≥a x f ，要使不等式a x f 2)(≥恒成立，则aa 21≥-…………6分解得：1-≤a 或31≤a …………8分所以实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛∞-31,.………………………………10分第11 页共11 页。
河北省邯郸市2016届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 解析版 含解析
邯郸市2016届高三第二次模拟考试理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1。
【题文】已知集合213{|4120},{|log 9}A x x x B x x =+-<=>，则A B 等于（ )A ．1(,2)3-B ．(2,3)-C ．(2,2)-D ．(6,2)--【答案】B【解析】试题分析：因}2|{},26|{->=<<-=x x B x x A ,故)2,2(-=B A 。
故应选B 。
考点：集合的交集运算。
【结束】2。
【题文】已知复数10512ai z i -=-的实部与虚部之和为4，则复数z 在复平面上对应的点在( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】试题分析：(2)(12)22(4)z ai i a a i =-+=++-实部与虚部之和为4,2a ∴=-，则26z i =-+，故应选B.考点:复数的概念及运算.【结束】3。
【题文】已知2cos cos()246x x ππ=+（+），则cos x 等于（ ）A ．．13D ．13-【答案】A【解析】试题分析:由已知可得cos(++112sin 22x x x π-）,化简得cos x =，故应选A. 考点：三角变换公式及运用。
【结束】4.【题文】已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（ )AB ．2C ．52D ．3【答案】A【解析】 试题分析：因向量a ,b 的夹角为60,||2a =，||5b =，(2)3a b a ∴-=，则2a b -在a 方向上的投影为(2)32||a ab a -=,故应选A 。
考点:向量的有关概念及运算.【结束】5。
【题文】如果实数x ，y ，满足条件10,220,10,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2123z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．34 C ．0 D ．47【答案】B【解析】试题分析：运用转化化归的思想将问题转化为求23x y +的最大值。
河北省邯郸市高三数学第二次模拟考试试题 文(扫描版)
河北省邯郸市2015届高三数学第二次模拟考试试题文（扫描版）邯郸市2015年高三二模数学（文）参考答案 一、选择题1——5：DBCAC :6——10：BBCDB ，11——12： AD二、填空题13.247 14.-6 15. 11(,)22-16.三.解答题17解：（Ⅰ）利用正弦定理可得sin sin DC BCB BDC =∠∠即sin BDC=∠，所以sin 2BDC ∠=， 所以3BDC π∠=或23BDC π∠=………………………3分当3BDC π∠=时，126A BDC π∠=∠=，此时7122ACB ππ∠=>（舍），当23BDC π∠=时，123A BDC π∠=∠=，此时5122ACB ππ∠=<，符合题意，所以3A π∠=. …………………………6分 （Ⅱ）13sin 22S BD BC B =⋅⋅=，即13222BD =所以BD = …………………………9分根据余弦定理得：AD DC === …………11分所以AB AD DB =+= …………………………12分 18解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量2K 的观测值为：∵2180(60504030)9 6.635(6040)(3050)(6030)(4050)k ⨯-⨯==>++++由临界值表2( 6.635)0.010P k ≥≈， ∴有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关. …………………6分（Ⅱ）样本中的B 模式课堂和C 模式课堂分别是4节和2节.A分别记为1B 、2B 、3B 、4B 、1C 、2C ，从中取出2节课共有15种情况：（1C ，1B ），（1C ，2B ），（1C ，3B ），（1C ，4B ），（2C ，1B ），（2C ，2B ）， （2C ，3B ），（2C ，4B ），（1C ，2C ），（1B ，2B ），（1B ，3B ），（1B ，4B ），（2B ，3B ），（2B ，4B ），（3B ，4B ） (8)分至少有一节课为C 模式课堂的事件为 （1C ，1B ），（1C ，2B ），（1C ，3B ），（1C ，4B ），（2C ，1B ），（2C ，2B ），（2C ，3B ），（2C ，4B ），（1C ，2C ）共9种 …………………… 10分∴至少有一节课为C 模式课堂的概率为93155= …………………12分19解：在等腰梯形CDFE 中，由已知条件可得，CD AC AE EF ====2AF AD ==，所以，222AE EF AF +=，∴EF EA ⊥；同理可证，EF AC ⊥；………………2分在四棱锥F AECD -中，Q 二面角F AE C --为直二面角， ∴平面AEF ⊥平面AECD,∴ EF ⊥平面AECD ，……………………4分 Q AC ⊂平面AECD ，AC EF ∴⊥，又Q AC AE ⊥，∴AC ⊥平面AEF ，∴平面ACF ⊥平面AEF . ……………6分（Ⅱ）点D 到平面ACF 的距离即三棱锥D ACF -的高， 所以D ACF F ACDV V --= …………….8分因为1AB BC ==所以2AC AF ==且AC AF ⊥，所以122ACF S ∆==又因为AC CD ==且AC CD ⊥所以11,2ACD S EF ∆===.10分所以11133d =⨯即1d =…………….12分20解：（Ⅰ）设椭圆右焦点2(,0)F c由122|AB|=F |得，2223a b c +=，又222b ac =-2212c a ∴=，椭圆的离心率为2e = …………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22222,a c b c ==，设椭圆的方程为222212x y c c +=…………4分 Q 过1F 斜率为1-的直线与椭圆交于第二象限的P 点，∴由2222()12y x c x y c c =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得433c x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y c =⎧⎨=-⎩（因P 在第二象限，舍去） ∴4()33c cP -，， 又1(,0)F c -，(0)B c ，，………………6分法一：设M e 的方程为222()()x a y b r -+-=则222222222()()4()()33c a b r a c b r c c a b r ⎧⎪++=⎪+-=⎨⎪⎪++-=⎩解得：2233c c a b r =-==，，，即M e 圆心22()33c cM -，，半径……………………10分 法二：线段1BF 的中垂线方程为0x y +=，线段1PF 的中垂线方程为403cx y -+=，联立0403x y c x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得2323c x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 根据圆的性质，得M e 圆心22()33c cM -，，半径r ||=3MB =，………………10分 法三：11(),(,)33c c F P ,F B c c =-=u u u r u u u r ，110F P F B ∴⋅=u u u r u u u r PB ∴为M e 的直径， 即M e 圆心22()33c cM -，，半径1r ||=23PB =，………………………10分 假设过原点O 的直线l 的斜率为k ，则方程为y=kx ，若l 与M e22|3c c|-k -=，整理得2810k k -+=，解得：4k=± 11分∴存在过原点的定直线l，其斜率为4+或4l 与M e 相切.此时，直线l的方程为：(4y x =+和(4y x =. …………………12分21解：（Ⅰ）11()(0)axf x a x x x -'=-=>当0a ≤时，对一切0x >，恒有()0f x '>，()f x 的单增区间为0+∞（，）；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()0f x '>；1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<. ()f x ∴的增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a +∞.………………………………4分（Ⅱ）设过原点与函数()()f x g x ，相切的直线分别为1122:,:l y k x l y k x ==，切点分别为21112(,2),(,),x A x lnx ax a B x e -+()xg x e '=Q2222x x e k e x ∴== 221,x k e ∴==，∴ 11k e =， ………6分 又1()f x ax '=-，11111ln 211x ax a k a =x x e -+∴=-=， 得111a=x e -，并将它代入111ln 21x ax a =x e -+中，可得1122ln 10x +x e --= ……………………………………………………8分设22)ln 1h(x x +x e =--，则22122)x h (x x x x -'=-= ∴)h(x 在(0,2]上单减，在(2)+∞，上单增 若10,2x ∈（]，121)0h(e =->Q ，222)ln 20.6930h(e e =-≈-<，11,2x ∴∈（） 而111a=x e -在11,2x ∈（）上单减，∴ 11112a ee -<<-，……………………10分 若1x +∈∞（2，），)h(x 在(2)+∞，上单增，且)0h(e =，即1x =e ，得0a =，综上所述：0a =或11112a ee -<<-. …………………………………………12分 22证明：（Ⅰ）证明：因为CD 为半圆O 的切线，由弦切角定理得, DCA CBA∠=∠,又因为090CDA BCA ∠=∠=,得BAC CAD ∠=∠,所以AC 平分BAD ∠ …………………………………5分 方法二：连接OC ,因为OA OC =,所以OAC OCA ∠=∠,因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥,又因为AD CD ⊥,所以//OC AD ，所以OCA CAD ∠=∠,即OAC CAD ∠=∠, 所以AC 平分BAD ∠. …………………………………5分 （Ⅱ）解：因为CD 为半圆的切线，由弦切角定理得 DCE CAD ∠=∠，又因为CAD CAB ∠=∠，所以DCE CAB ∠=∠，可得DCE CAB ∆∆:,则DE CBCE AB =,又因为EC BC =，3AB =，34DE =所以32BC =,即8ABC S ∆=. ………………10分 23解：（Ⅰ）曲线1C的普通方程为2213x y +=，……………………2分曲线2C的直角坐标方程为40x --=…………………5分（Ⅱ）设,sin )P ϕϕ，由题意知，点P 到直线2C距离为d ==≥，……………8分当4πϕ=-时，d取最小值， 此时点P22-.………………………………………………10分24解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()5f x >可化为136x x <-⎧⎨->⎩或112x x -≤≤⎧⎨>⎩或134x x >⎧⎨>⎩，……………………………3分 解得2x <-或43x >，∴不等式()5f x >的解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.…………5分- 11 - （Ⅱ）原不等式即为137x a x a +++>-恒成立 ， 1|1|x a x a +++≥-Q ，……………………………………8分 ∴137a a ->-，解得3a <……………………………………10分。
河北省邯郸市2016届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 解析版 Word版含解析
邯郸市2016届高三第二次模拟考试理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【题文】已知集合213{|4120},{|log 9}A x x x B x x =+-<=>，则AB 等于（ ）A ．1(,2)3- B ．(2,3)- C ．(2,2)- D ．(6,2)-- 【答案】B 【解析】试题分析：因}2|{},26|{->=<<-=x x B x x A ,故)2,2(-=B A .故应选B. 考点：集合的交集运算. 【结束】2.【题文】已知复数10512aiz i-=-的实部与虚部之和为4，则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B 【解析】 试题分析：(2)(12)22(4)z ai i a a i =-+=++-实部与虚部之和为4，2a ∴=-，则26z i =-+，故应选B.考点：复数的概念及运算. 【结束】3.【题文】已知2cos cos()246x x ππ=+（+），则cos x 等于（ ）A ．．13D ．13-【答案】A 【解析】试题分析：由已知可得cos(++112sin 22x x x π-），化简得cos x =,故应选A. 考点：三角变换公式及运用. 【结束】4.【题文】已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） AB ．2C ．52D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：因向量a ，b 的夹角为60，||2a =，||5b =，(2)3a b a ∴-=，则2a b -在a 方向上的投影为(2)32||a ab a -=,故应选A. 考点：向量的有关概念及运算. 【结束】5.【题文】如果实数x ，y ，满足条件10,220,10,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2123z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．34C ．0D ．47【答案】B 【解析】试题分析：运用转化化归的思想将问题转化为求23x y +的最大值.根据约束条件画出可行域如图，结合图形可知当动直线332zx y +-=经过点)2,1(P 时，23x y +取得最大值8，故z 的最大值为34.故应选B.考点：线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组表示的平面区域,进而移动动直线332zx y +-=,结合图形可以看出当该直线经过点)2,1(P 时,目标函数332z x y +-=在y 轴上的截距z 31最大,z 的值最大,最大为值为862min =+=z .在这个解答过程中,先将问题进行转化,将2123z x y=-+这的最大值值问题转化为求23x y +的最大值问题.整个解答过程充满了化归转化的思想和数形结合的数学思想. 【结束】6.【题文】已知5250125(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则34a a +等于（ ） A ．0 B ． -240 C ．-480 D ．960 【答案】C 【解析】试题分析：因55(12)[32(1)]x x -=-+，2334434553(2)3(2)480a a C C +=-+-=-,故应选C.考点：二项式定理及运用. 【结束】7.【题文】执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是（ ）A ．(2,4)a ∀∈，输出i 的值为5B ．(4,5)a ∃∈，输出i 的值为5C ．(3,4)a ∀∈，输出i 的值为5D ．(2,4)a ∃∈，输出i 的值为5【答案】D 【解析】试题分析：因1,2;4,3;9,4;16,5,S i S i S i S i ========此时输出5,i =则94a ≤且165a >，即91645a ≤<.故应选D. 考点：算法流程图及识读和理解.【易错点晴】算法是新教材中的重要内容之一.本题考查的是算法流程图的阅读和理解,及运用流程图中提供的信息进行分析问题和解决问题的能力.解答本题的关键是正确理解题设中提供的ai S >这一信息. 然后逐一进行计算,合理推证和判断,直到输出5=i 时,再建立不等式组⎩⎨⎧>≤a a 51649,然后通过解不等式求出91645a ≤<,从而确定应选正确答案D.按题设条件分析验证是解答好本题的关键之所在,要特别注意,这也是许多同学感到困难的地方. 【结束】8.【题文】已知函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，则函数()cos(2)g x x ϕ=-的图像（ ） A ．关于点(,0)12π对称B ．可由函数()f x 的图像向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图像向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图像向左平移3π个单位得到【答案】C 【解析】试题分析：由已知可得函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+为奇函数可得)3sin(ϕ+=x y 是偶函数, 所以13s i n ±=ϕ,由(0,)2πϕ∈可得6πϕ=,然后代入)(),(x g y x f y ==得到()s i n 2c o s (2)2f x x x π==-， ()cos(2)6g x x π=-,进而可知函数)(x f 的图象向左平移6π个单位可得函数)(x g 的图象,故应选C.考点：三角函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先待定函数解析式中的参数ϕ,再验证题设中所提供的四个选择支中正确的答案.解答时先借助函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+是奇函数,可得)3s i n (ϕ+=x y 是偶函数,所以13s i n ±=ϕ,得到23ππϕ+=k ,63ππϕ+=k ,求出6πϕ=,然后代入)(),(x g y x f y ==得到()sin 2cos(2)2f x x x π==-，()cos(2)6g x x π=-,进而可知函数)(x f 的图象向左平移6π个单位可得函数)(x g 的图象,故应选C. 【结束】9.【题文】已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log |31|)2log |31|x x f -<--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C (1,0)(0,3)-D ．(,0)(0,1)-∞【解析】试题分析：因当12x x <时，1211221212()()(())((()))10,f x f x f x x f x x x x x x -+-+>⇒>--即函数()()g x f x x =+是在R 上的单调增函数，且21)1()1(=+=f g ,故由22(log |31|)2log |31|x x f -<--可得22(log |31|)(1),log |31|11x x g g x -<∴-<⇒<且0x ≠.故应选D.考点：对数函数的图象和性质. 【结束】10.【题文】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．143 B ．5 C ．163D ．6【答案】A 【解析】试题分析：该几何体的直观图如图所示，连接BD ，则该几何体由直三棱柱ABD EFG -和四棱锥C BDGF -组合而成，其体积为11141222233⨯⨯⨯+⨯=.故应选A.考点：三视图的识读和几何体的体积公式的运用.11.【题文】已知点A 是抛物线2:2(0)M y px p =>与圆222:(4)C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a ．若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ）A ．2B ．．3D 【答案】C 【解析】试题分析：因抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，又||||2,CA AF a C A F +=∴、、三点共线，且A 是线段CF 的中点，(0,4),(,0),(,2),24p p C F A ∴则324222,,442p p p p p a =⇒=∴=+=圆心C到直线:OA y =的距离为|04|433-=∴，所求的弦长为3=故应选C.考点：抛物线与圆的位置关系及运用.【易错点晴】本题考查的是圆与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用.解答时充分依据题设条件所提供的有效信息,先利用抛物线的定义将问题进行合理转化,再次运用等价转化的数学思想将最小值问题也进行了转化.从而使得问题简单明了,最后通过将点)2,4(pA 代入抛物线方程px y 22=可得22=p ,建立的直线方程借助圆心距与半径弦长之间的关系求出弦长327=L .求p a ,的值是解答本题的难点也是关键之所在,解决这个难点的方法值得借鉴和学习. 【结束】12.【题文】已知函数247()1x x f x x ++=-+，217()ln 22g x x x =-+，实数a ，b 满足1a b <<-，若1[,]x a b ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．4B ．C ．D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：因2'11(1)(1)()x x x g x x x x x-+-=-==，则01x <<时，'()0g x >；当1x >时，'()0g x <．所以max ()(1)3g x g ==，4()2(1)1f x x x =--+++，令1(0)t x t =+<，设4()2()h t t t=--+，作函数()y f t =的图像如图所示，由()3f t =得1t =-或4t =-，b a ∴-的最大值为3.故应选D.考点：导数的知识与函数的图象等知识的综合运用.【易错点晴】本题是以函数为背景,设置了一道考查函数的图像和基本性质的综合性问题.解答时充分借助题设中条件,合理挖掘题设条件中蕴含的有效信息:1[,]x a b ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞使得12()()f x g x =成立.本题解答的另一个特色就是数形结合思想的运用和转化化归的数学思想的运用.求解时是先运用导数求出了函数)(x g 的最大值m a x ()(1)3g x g ==.然后通过解方程()3f t =(1+=x t )求出1t =-或4t =-,最终求出a b -的最大值是3)4(1=---.本题的求解体现了函数方程思想、转化化归思想、数形结合思想等许多数学思想和方法具体应用. 【结束】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.【题文】甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试.根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标 的概率分别为34、23、35，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为_______. 【答案】23【解析】试题分析：因三人中有一人或两人达标，其概率为323112214354353-⨯⨯-⨯⨯=,故应填23. 考点：独立事件和对立事件的概率公式及运用． 【结束】14.【题文】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点作与x 轴垂直的直线l ，直线l 与双曲线交于A B 、两点，与双曲线的渐近线交于C D 、两点.若3||=2||AB CD ，则双曲线的离心率为_______. 【答案】553 【解析】试题分析：由题设可得2232,95b c a c =∴=，则双曲线的离心率e =,故应填553. 考点：双曲线的几何性质及运用． 【结束】15.【题文】在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形.若直线PC 与平面PDB 所成的角为30°，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为_______. 【答案】12π 【解析】试题分析：连结AC 交BD 于H ，则可证得AC ⊥平面PDB ，连接PH ，则CPH ∠就是直线PC 与平面PDB 所成的角，即30CPH ∠=°，2CH =PC ∴=，PD ∴=∴四棱锥P ABCD -则所求外接球的表面积为12π,故应填12π.考点：四棱锥的外接球的面积及求法． 【结束】16.【题文】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin a B c =，cos B =，D是AC 的中点，且BD =ABC ∆的面积为_______.【答案】6 【解析】试题分析：由cos 5B =得sin 5B =，又因c B a =sin 3，故C A sin 5sin 53=，即5sin()A A B =+，则sin cos A A =,得tan 1A =，所以4π=A ，则2212642c b +-=，又5c a =，5b a =，所以265310159222=-+a a a ，解得a =22=b ，6c =,则ABC ∆的面积为16sin 62A ⨯=,故应填6. 考点：正弦定理余弦定理及三角形面积公式的灵活运用．【易错点晴】本题考查是正弦定理余弦定理及三角形面积公式和三角变换等有关知识的综合运用.解答时充分借助题设条件,先由cos 5B =求出sin 5B =,再代入3sin a B c =得并用正弦定理将化为C A sin 5sin 53=.然后借助三角变换公式化为5sin()A A B =+求得4π=A ,再运用余弦定理建立方程2212642c b +-=,将5c =，5b a =代入可得a =设最后运用面积公式求出该三角形的面积为6.整个解答过程体现了方程思想的巧妙运用.【结束】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【题文】（本小题满分12分）已知公比小于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =且23133()a S n N ∙=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)nn a )31(2=；(2)323223n nn T +=-. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程求解；(2)借助题设条件运用错位相减法求解. 试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，23133a S =，2131033a a a ∴=+，…………………………2分则21033q q =+，解得13q =或3q =（舍去），…………………………4分 故1211()2()333n n n a -==．…………………………5分 （2）12()3nn b n =，…………………………6分211124()2()333n n T n ∴=⨯+⨯++，①则23111112()4()2()3333n n T n +=⨯+⨯++，②…………………………7分 ①-②得：121111()2111113322()2()2()22()133333313n n n n n T n n +++-=⨯+⨯++-=--，…………………………10分 解得323223n nn T +=-．…………………………12分 考点：等比数列的通项公式及性质等有关知识的综合运用． 【结束】18.【题文】（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为１的正方形, 12CC =，点P 是侧棱1C C 的中点．（1）求证：1A P ⊥平面PBD ；（2）求平面1A BP 与平面11CDD C 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)6【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；(2)借助题设条件建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式求解. 试题解析：（1）证明：连接AC ，底面ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥， (1)分 又侧棱1CC 垂直于底面ABCD ，1CC BD ∴⊥，…………………………2分1AC CC C =，BD ∴⊥平面1AA PC ，则1BD A P ⊥．…………………………3分13A P =BP =1A B =22211A P BP A B ∴+=，即1BP A P ⊥．…………………………4分BDBP B =，1A P ∴⊥平面PBD ．…………………………5分（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(1,0,2)A ，(1,1,0)B ，(0,1,1,)P 1(0,1,2)A B ∴=-，(1,0,1)PB =-． 设平面1A BP 的一个法向量为(,,)n x y z =，则10,0,n A B n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20,0,y z x z -=⎧⎨-=⎩…………………………8分 令1z =，则1x =，2y =，(1,2,1)n ∴=．…………………………9分向量(1,0,0)DA =是平面11CDD C 的一个法向量，…………………………10分cos(,)6||||1n DA n DA n DA ∴===，…………………………11分 ∴平面1A BP 与平面11CDD C 所成锐二面角的余弦值为6．…………………………12分考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用． 【结束】19.【题文】（本小题满分12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?附：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++．临界值表（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】 (1)列联表见解析，成绩优良与教学方式有关；(2)分布列见解析，455364. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用22⨯列联表计算出卡方系数与临界值比对作出判断；(2)借助题设条件运用排列数组合数公式求概率分布和数学期望求解. 试题解析： （1）…………………………2分根据2×2列联表中的数据，得2K 的观测值为240(941611) 5.227 5.024********k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.…………………………5分 (2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为158340⨯=，则X 的可能取值为0,1,2,3．……………………6分31131533(0)91C P X C ===；2111431544(1)91C C P X C ===；…………………………8分1211431566(2)455C C P X C ===；343154(1)455C P X C ===．…………………………10分 X ∴的分布列为：…………………………11分 所以3344664364()01239191455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………12分 考点：22⨯列联表及相关系数与随机变量的概率分布及数学期望等有关知识的综合运用． 【结束】20.【题文】（本小题满分12分）已知右焦点为F的椭圆222:1(3x y M a a +=>与直线y =相交于P 、Q 两点，且PF QF ⊥.（1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为ABC ∆的重心，试探究ABC ∆的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)是，92. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立方程和目标函数推证求解. 试题解析：（1）设(,0)F c，(P t，则(Q t - ，…………………………1分 22317t a ∴+=，即2247t a =，①…………………………2分PF QF ⊥，71=-，即2297c t -=-，②…………………………3分∴由①②得224977c a -=-，又223a c -=，24a ∴=，…………………………4分∴椭圆M 的方程为22143x y +=．…………………………5分 （2）设直线AB 方程为：y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，122122834634km x x k m y y k -⎧+=⎪⎪+∴⎨⎪+=⎪+⎩O 为重心，2286()(,)3434km mOC OA OB k k -∴=-+=++，…………………………7分C 点在椭圆E 上，故有222286()()3434143km m k k -+++=，可得22443m k =+，…………………………8分而||AB ==，d ==（或利用d 是（）到AB 距离的3倍得到），…………………………9分19||2342ABC S AB d k ∆∴====+，………………………10分当直线AB 斜率不存在时，||3AB =，3d =，92ABC S ∆=， ABC ∴∆的面积为定值92．…………………………12分 考点：直线和椭圆的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用已知条件求出了3,2==b a ,求得椭圆的方程为22143x y +=；第二问的求解过程中,先联立方程组建立以交点坐标及参数m 为变量的关系式222(34)84120k x kmx m +++-=,再借助点C 积在椭圆上及三角形面积的表达式,建立了目标函数d AB S ⋅=||21,然后推证出其为定值29,使得问题获解. 【结束】21.【题文】（本小题满分12分） 已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x =++---++，a R ∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥恒成立，求m n +的值.【答案】(1)1,0==b a ；(2)1m n +=-. 【解析】试题分析： (1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设条件运用等价转化的数学思想建立不等式组,再构造函数运用导数求解. 试题解析： （1）'221()(2)[22(1)(22)]2x f x ax bx a b ax b e x x x x =++-++-+++-+221[(2)](32)2x ax a b x a e x x =+++-+，………………………………1分'(0)0f a ∴==，又(0)10f a b =-+=，1b ∴=.…………………………3分（2）不等式21()0(1)(1)(1)2xf x x e x x x >⇔->-++， 整理得21(1)[(1)]02xx e x x --++>，即2101(1)02x x e x x ->⎧⎪⎨-++>⎪⎩或2101(1)02x x e x x -<⎧⎪⎨-++<⎪⎩， 令21()(1)2xg x e x x =-++，'()()(1)x h x g x e x ==-+，'()1xh x e =-．当0x >时，'()10x h x e =->；当0x <时，'()10xh x e =-<，()h x ∴在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，()(0)0h x h ∴≥=，即'()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =；故21(1)002xe x x x -++>⇔>；21(1)002xe x x x -++<⇔<．∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤． ∴由2()()0f x x mx n +-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥；当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根，从而1m =-，0n =，1m n ∴+=-．………………………12分 考点：导数的有关知识及综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数解析式中的参数b a ,的值,解答时借助导数的几何意义运用解方程的方法进行求解的,体现了方程思想的运用.第二问中求解借助不等式恒成立和函数)(x f 的解析式进行等价转化,运用分类整合的思想分类讨论是解答本题的关键. 【结束】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.【题文】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于E ，2.AB AC =（1）求证：2BE AD =；（2）当12AC BC ==，时，求AD 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)23AD =. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用相似三角形求解；(2)借助题设条件运用等切割线定理建立方程求解. 试题解析： （1）连结DE ,ACED 为圆的内接四边形，,BDE BCA ∴∠=∠又,,DBE CBA BDE BCA ∠=∠∴∆∆∽即BE DEBA CA=，而2,2AB AC BE DE =∴=. 又CD 是ACB ∠的平分线，,AD DE ∴=从而2.BE AD =…………………………5分 （2）由条件得22,AB AC ==设AD t =.根据割线定理得,BD BA BE BC =即()22,(2)222,AB AD BA AD t t -=∴-=解得23t =，即23AD =.…………………………10分 考点：相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用． 【结束】23.【题文】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为512x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.【答案】(1)224x y x +=和50x -=；(2)73. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用θρθρsin ,cos ==y x 和消参法将极坐标和参数方程化为直角坐标方程求解；(2)借助题设条件运用圆心距半径弦长之间的关系弦长求解. 试题解析：（1）对于C ，由4cos ,ρθ=得24cos ,ρρθ=进而224.x y x +=对于l，由5,212x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），得5)y x =-， 即l的普通方程为50x -=.…………………………5分 （2）由（1）可知C 为圆，且圆心为（2,0），半径为2，则弦心距3,2d ==弦长||PQ ==， 因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积2||3S d PQ ==…………………………10分考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．【结束】24.【题文】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-+-.（1）求证: ()1f x ≥；（2）若方程2()f x =有解，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)15(,][,)22-∞+∞.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用基本不等式和绝对值的定义分类求解.试题解析：（1）()|1||2|(1)(2) 1.f x x x x x =-+-≥---=…………………………5分（2）2222,1a ==≥+∴要使方程2()f x =有解，只需|1||2|2x x -+-≥，即1,122x x x <⎧⎨-+-≥⎩或12,122x x x ≤<⎧⎨-+-≥⎩或2,122,x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩解得12x ≤，或52x ≥. 故x 的取值范围是15(,][,).22-∞+∞…………………………10分考点：绝对值不等式等有关知识的综合运用．【结束】。
2016年河北省保定市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）一、选择题选抒题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x2}，B＝{（x，y）|y＝}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0}C．{（1，1）}D．{（0，0），（1，1）}2．（5分）（）2016的共轭复数为（）A．﹣1B．1C．1﹣i D．﹣1+i3．（5分）命题p：∀x＜0，x2＜2x，则命题￢p为（）A．∃x0＜0，x02＜B．∃x0≥0，x02≥C．∃x0＜0，x02≥D．∃x0≥0，x02＜4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝3，则输出y的值为（）A．5B．9C．17D．335．（5分）已知函数f（x）＝2x cos x，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y＝sin（﹣2x）+cos（2x）的图象（）得到函数y＝sin（﹣2x）的图象．A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）已知函数y＝f（x）+x+2是偶函数，且f（2）＝3，则f（﹣2）＝（）A．3B．5C．7D．98．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，其中主视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．8πD．4π9．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），过其右焦点F作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点记作C，D，原点为O，∠COD＝，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，G为三角形的重心，且满足（a+b）+c＝，则角C＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°11．（5分）若不等式组，（s，t∈Z）所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则实数t的一个值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．112．（5分）若函数y1＝2sin x1（x1∈[0，2π]），函数y2＝x2+，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a＝log0.55，b＝log0.53，c＝log32，d＝20.3，则a，b，c，d依小到大排列为．14．（5分）若（2x+）n的展开式中第2项与第3项系数相等，则x n﹣2dx＝．15．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N*有2S n＝a n2+a n．令b n＝，设{b n}的前n项和为T n，则T15＝．16．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点A，B，若0≤m＜1，则△F AB的面积的最大值是．三、解答题，解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤（共5小题，满分60分）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a2+b2＝c2+ab，c＝．数列{a n}是等比数列，且首项a1＝，公比为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝﹣，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于17克时，该产品为优等品．现在为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量样品的质量指标值（单位：克）•如图是测量数据的茎叶图：（1）试用上述样本数据估计A、B两厂生产的优等品率（2）从甲厂10件样品中抽取2件，乙厂10件中抽取1件，若3件中优等品的件数记为X，求X的分布列和数学期望；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多1件的概率．（每次抽取一件）19．（12分）如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1B1C1＝90°，A1B1＝B1C1＝AA1＝2，且C在底面A1B1C1上的射影A1C1边的中点，D为AC的中点，点E在CC1上，且＝λ（0＜λ＜1）（1）求证：BD丄平面ACC1A1；（2）当λ为何值时，二面角B1﹣A1E﹣C1的余弦值为．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|＝4，过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且丄，若存在，请求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）函数f（x）＝x﹣ln（x+1）+m，若函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y+1﹣2ln2＝0（1）求实数m的值（2）若对于任意的x∈（﹣1，0]，总有f（x）≥ax2，试求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC上的点（E、F不与边的端点重合）．已知线段BF、BC的长分别为m、n、AB、BE的长是关于x的方程x2﹣18x+mn ＝0的两个根．（1）证明：A、E、F、C四点共圆；（2）若n＝2m＝8，求四边形AEFC外接圆的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为1﹣3sin2θ＝．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|，x∈R．（1）求证：当a＝﹣2时，不等式lnf（x）＞1成立；（2）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a最大值．2016年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题选抒题：本大题共12小题，每小题5分。
2016届河北省石家庄市高三二模理科数学(解析版).
试题分析：因为 PA 2PB 2PC 0 AP 2PB 2PC , 所以点 P 一定在三角形内部，
如图， B,C是PD, PH 中点，则 PF 2PB 2PC , 又 PF 4PE , 所以 PA PF 4PE ，
所以 S ABC : S ABC
）
A． 1 5
1
B．
2
C． 3 2
D． 1
12．已知实数 p 0 ，直线 4x 3y 2p 0 与抛物线 y2 2 px 和圆 ( x p )2 y 2 2
p2
从
4
AC
上到下的交点依次为 A, B , C, D ，则
的值为（ ）
BD
A．1 8
B
．5
16
C
．3
D
．7
8
16
13．已知双曲线 x 2
y2
试题分析：根据复数的运算有
a
1 i (1 i)(1 i ) 2
2
1i
部为零，所以有 a 1 0 2
考点：复数的运算
a 1，故本题的正确选项为 A.
3． B
【解析】
试题分 析：首 先函 数 的定 义域 为实数 ，又
f ( x) sin( x) ( x) sin x x [sin x x] f (x) ，所以函数为奇函数，因为
2016 届河北省石家庄市高三二模理科数学
1．设集合 A x y lg( 4 2x) ，集合 B x y 3 x ，则 A B （ ）
A． x x 2
B． x x 2
C． x x 3
D． x x 3
2．设 i 是虚数单位，复数 a i 为纯虚数，则实数 a 的值为（
河北省衡水市部分学校2024届高三下学期二模考试 数学试题(含解析)
2023—2024学年度下学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b a b +=- ,()()1,2,,3a b m == ，则实数m =（）A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．75C ．95D ．703．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE BCF -，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若AD ⊥面ABFE ，且222EF AB AE BF ===，记三棱锥D ABF -的体积为1V ，则该五面体的体积为（）A ．18V B ．15V C ．14V D ．13V 4．已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+（）A ．215-B ．215C ．79-D ．795．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A ．78B ．92C ．100D ．1226．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．3B CD ．27．已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A ．(4)2f =B ．()20g '=C ．(1)(3)f f -=-D ．(1)(3)4f f +=8．已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知,z z ∈C 是z 的共轭复数，则（）A ．若13i13i z +=-，则43i 5z --=B ．若z 为纯虚数，则20z <C ．若(2i)0z -+>，则2iz >+D ．若{||3i3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B = R ，则实数a 的取值范围为.13．已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C的圆的方程为．14．已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，则以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()()21sin 02f x x x ωωω=-+>的最小正周期为4π.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()2cos cos ,a c B b C -=⋅求()f A 的取值范围.16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB = ，2BE EM = ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值．17．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X ，求()E X ；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记n P 为王老师第n 天坐地铁去学校的概率，求{}n P 的通项公式.18．已知()2e 2e x xf x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，(2)当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；(3)()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.19．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．1．B【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b+=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，(),3b m = ，所以6a b m ⋅=+，所以60+=m ，解得6m =-.故选：B.2．A【分析】根据第p 百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，575% 3.75i =⨯=，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.故选：A.3．C【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,D AEF D ABF F BCD ---，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以ABD BCD S S =△△，所以1F BCD F ABD V V V --==.记梯形ABFE 的高为h ，因为2EF AB =，所以112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅= ，所以122D AEF D ABF V V V --==，所以该五面体的体积111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=.故选：C4．A【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值.【详解】sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.故选：A 5．C【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.故选：C 6．C【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422a a a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．7．ABD【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A ：∵()g x 为偶函数，则()()g x g x =-，两边求导可得()()g x g x ''=--，∴()g x '为奇函数，则()00g '=，令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B ：令=2x ，则可得()()(2)22(2)22f g f g ⎧+='-='⎪⎨⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f x g x '+++=，()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=，两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立，又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f x g x f x g x ''-+-=---=，()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-，∴()f x 以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.8．D【分析】分别构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，利用导数研究其单调性，得到223111ln(1)223x x x x x x -<+<-+，(0)x >，再将a 看成3ln(10.1)+，c 看成ln(10.3)+，利用上述的不等式比较大小即可．【详解】解：由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯-⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．9．AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A ；z 为纯虚数，可设()i 0z b b =≠，根据复数的四则运算可判断B ；由()2i 0z -+>结合数大小比较只能在实数范围内可判断C ；设复数i z a b =+，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】()()()213i 13i 43i13i 13i 13i 5z ++-+===--+，所以43i 5z --=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠，所以222i z b =，因为2i 1=-且0b ≠，所以20z <，故B 正确；由()2i 0z -+>，得i(2)z a a =+>，因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C 错误；设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3ia b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A 选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一平面内，由余弦定理求出AE BE +的最小值，得到周长的最小值；C 选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D 选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C 选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.【详解】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD AD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于AD CD ==4AC =，22222241cos23CD AD ACADC CD AD+-+-∠===⋅，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，所以(222222cos 22222163AB BD AD BD AD ADB ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-=+ ⎝⎭故AB ==ABE 的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM =PM =，则133MF BM ==，故PF =设OF ON R ==，故OP PF OF R =-=，因为PNO ∽PFM △，所以ON OP FM PM =3R-=解得3R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C选项可知，其高为3r ，由C 选项可知，PF 是正四面体-P ABC 的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则3QS r =，SF r =，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14得，如图正四面体P HJI -中，QZ r =，3QP r =，正四面体P ABC -高为34r r r +⨯，解得r =，D 正确.故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径12．()0,1【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0B x x a a x x a =>>=或},0x a a -，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.13．()(223328x y -+=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+=.14．502【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到250250240a b -≥，想要有实根，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，结合根的判别式与基本不等式得10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理得到20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，即可解决问题.【详解】由题意得，210031003410030S T -⨯≥，又因为1100310035021003()10032a a S a +==，1100310035021003()10032b b T b +==，代入得250250240a b -≥，要使方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 有实数解，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，显然第502个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程1003103200x a x b -+=的判别式分别为11003,∆∆，则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()422a a ab a b a a b b b +∆+∆=-+-=+-+≥-⨯即2250211003502502502(2)82(4)02a b a b ∆+∆≥-=-≥，等号成立的条件11003a a =，所以10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理可得20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，故答案为：502.15．(1)2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得ω的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得π,3B =继而得到ππ,62A <<整体代入求函数值的范围即可.【详解】（1）()21sin 22f x x x ωω=-+11cos2sin2222x x ωω-=-1πcos2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为2π4π,2T ω==所以1,4ω=故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π,,2262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得4π2π4π4π,,33k x k k -≤≤+∈Z 当0k =时4π2π,,33x -≤≤又[]0,π,x ∈所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()2cos cos ,a c B b C -=⋅得（2sin sin )cos sin cos ,A CB BC -=所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A .因为sin 0,A ≠所以1cos ,2B =又()0,π,B ∈所以π,3B =又三角形为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，所以ππ5π42612A <+<，又()26πsin A f A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5πππππππsin sin sin cos cos sin 12464646⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则πsin 2264A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()f A的取值范围为⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据2AB AM ==，MB =利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，MD =120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM 的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）为2AB AM ==，MB =，所以222AM AB MB +=，所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A = ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，MD =则44121cos 2222MAD +-∠==-⨯⨯，且0180MAD ︒<∠<︒，可知120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则)3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，则420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得723,,33EC ⎫=-⎪⎭ ，()0,2,2BM =-，)3,1,2BD =-- ，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则·220·320BM n y z BD n y z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，取1z =得)3,1,1n = ，设直线EC 与平面BDM 所成角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯，所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15.17．(1)0.15(2)()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭(3)1225757n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出数学期望；(3)由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，由递推关系求出数列的通项.【详解】（1）记事件A =“硬币正面向上”，事件B =“7：40-7：45到校”则由题有()0.5P A =，()0.2P B A =，()0.1P B A =，故()()()()()0.50.20.50.10.15P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2892232323312391055555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2891032323232331289105555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以上两式相减得：()28922232323235555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()1028910313333553513555522515E X ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅++==-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.所以()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.（3）由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，则1525757n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，这说明57n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为以15277P -=为首项，25-为公比的等比数列.故1522775n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1225757n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭.18．(1)4e 2ey x =-+(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析(3)()1⎡⎣【分析】（1）当0a =时，求得()()21e xf x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22x F x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x xf x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x x f x a x =-，再由max 1()0f x a +≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1ex x h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【详解】（1）解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.（2）解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e 21e e e 22x x x xf x x x =-+=--'，令()e 22x F x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）解：由()2e 2e x x f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e 0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x xf x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-='>，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((1e h x h ≥=-()()10h x h <-=，所以实数a的取值范围是()1⎡⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313282y y y y t +==-+，由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，4=，解得AM ='，所以111122144AM BN AM AM θθ=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN -⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n mn y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m nθθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ=，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AMAQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=++，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
2016年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．（5分）数z满足（1+z）（1+2i）＝i，则复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.94．（5分）执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S＝（）A．6B．12C．14D．205．（5分）在▱ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则•＝（）A．6B．12C．﹣6D．﹣126．（5分）设椭圆C：y2+＝1（0＜m＜1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．[，1）D．（0，]7．（5分）函数f（x）＝cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1B．sin C．2sin D．8．（5分）曲线y＝和x2+y2＝2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9．（5分）5名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A．90种B．180种C．270种D．360种10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，P A＝AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．212．（5分）在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC＝120°，则的最小值是（）A．1B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y＝±x，则离心率e为．14．（5分）若实数x，y满足，则z＝3x+4y的最大值是．15．（5分）已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为．16．（5分）当x∈[﹣1，+∞）时，不等式x3﹣ax2﹣4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是．三、简答题：本大题共70分。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第01节 算法与程序框图001140
高考模拟复习试卷试题模拟卷第01节 算法与程序框图A 基础巩固训练1.【高考天津，文3】阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为（） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C【解析】由程序框图可知:2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ======故选C.2.【武汉市高三9月调研测试文6】右图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ．N q M =B ．M q N =C ．N q M N =+D ．M q M N=+【答案】D.3. 【高考湖北卷第14题】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为.【答案】1067【解析】依题意：该程序框图是计算1067921222921=+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=S ，故输出1067=S .4. 【辽宁高考第13题】执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y =.【答案】2995. 运行下图框图输出的S 是254，则①应为（ ） A.5≤n B.6≤n C.7≤n D.8≤n【答案】CB能力提升训练1.【金太阳“巴蜀好教育联盟”(四川)12月大联考数学(文史类)】某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应填( ) A、k＞4? B、k＞5? C、k＞6? D、k＞7?【答案】A2. 【八校高三第一次联考数学试题(文科)】如图给出的是计算11112462014++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( ) A．2013≤i B．2015≤iC．2017≤i D．2019≤i【答案】B【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B.3. （日照一中高三下学期开学考试）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B4. 【成都市新津中学高高三（下）二月月考数学】执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是( )A ． 3B ．4C ． 5D ． 6是结束输出k否x>23 ?k=k+1x=x+5k=0输入x开始【答案】C5. 【广州市普通高中毕业班综合测试一】执行如图1所示的程序框图，若输入3k =，则输出S 的值为. 开始输入输出结束是否Sk0,0n S ==?n k <1n n =+12n S S -=+图1【答案】7.C 思维拓展训练1. 【资阳市高中级高考模拟考试数学】已知实数[1,10]x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出x 的值不小于55的概率为（A ）19（B ）29（C ）49（D ）59【答案】C2. 【东莞市高三模拟考试一】执行如图3所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）A.4n >B.8n >C.16n >D.16n <【答案】B3. 【东莞市高三模拟考试一】定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ） A ．4B ．8C ．11D ．13【答案】D【解析】∵5tan tan()tan 1444ππππ=+==，2lg100lg102lg102===，ln 1e =，11()33-=，∴151(2tan )ln lg100()212343e π-⊗+⊗=⊗+⊗2(11)3(21)13=⨯++⨯+=. 4. 【成都树德中学3月考试】某程序框图如图所示，则该程序运行后输出n 的值为．【答案】75.(青岛市高三3月统一质量检测考试)如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为.【答案】23高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
河北省邯郸市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷
河北省邯郸市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(3)题记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（）A．2B．C．4D．第(4)题已知的内角的对边分别为，，则一定为（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形第(5)题已知正四棱柱ABCD- A 1B1C1D1中，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2B．C．D．1第(6)题华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：时间（月）12345销售量（万部）0.50.81.01.21.5若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A．样本中心点为B．由表中数据可知，变量与呈正相关C．D．预测时华为手机销量约为1.86（万部）第(7)题设全集，集合N满足，则（）A．B．C．D．第(8)题若，，则的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：根据该图数据，这7次人口普查中（）A．城镇人口数均少于乡村人口数B．乡村人口数达到最高峰是第4次C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次D．城镇人口总数逐次增加第(2)题分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（）A．数列是等比数列B．C．恒成立D．存在正数，使得恒成立第(3)题已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（）A．展开式的奇数项的二项式系数的和为B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大C．展开式中不存在常数项D．展开式中含项的系数为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在数列中，，，，则_______；的前2022项和为_______．第(2)题已知，，，则的大小关系是___________.第(3)题设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为.(1)求的方程；(2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程.第(2)题设函数，.(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若在上存在零点，求实数的取值范围.第(3)题已知数列是等差数列，且满足：，.数列满足：.（1）求；（2）求数列的前项和.第(4)题记，分别为等比数列的前项和与公比，已知，，.（I ）求的通项公式；（II ）求的前项的和.第(5)题已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.。
河北省邯郸市2024届高三下学期学业水平选择性模拟考试 数学试题(含解析)
2024年普通高中学业水平选择性模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}124340,A x x x B x y x ⎧⎫⎪⎪=--≤==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A ．(]0,1B ．[]0,4C ．(]0,4D ．[]0,12．已知复数z 满足21z =-，则22z z +=（）A ．1BC ．3D3．已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，且,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则“m n ⊥”是“m β⊥”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()12f x x x =++的图像与x 轴相交于点P ，则该曲线在点P 处的切线方程为（）A ．y x=-B ．=1y x --C ．0y =D ．1y x =-5．由动点P 向圆22:(2)(3)1M x y +++=引两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若四边形APBM 为正方形，则动点P 的轨迹方程为（）A ．22(2)(3)4x y +++=B ．22(2)(3)2x y +++=C ．22(2)(3)4-+-=x y D ．22(2)(3)2x y -+-=6．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A ．12B ．18C ．20D ．60．7．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 上一点，若直线1PF 和OP 的倾斜角分别为α和2α，且3tan 4α=，则双曲线C 的离心率为（）AB ．5C ．2D ．758．对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b ⋅= ．若平面向量,a b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|Z,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭中，则a b a b ⊕+= （）A ．1B ．32C ．1或74D ．1或54二、选择题：本题共3小题，钓小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin (0,0,0π)f x M x M ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，A ，B 为()f x 的图像与x 轴的交点，C 为()f x 图像上的最高点，ABC 是边长为1的等边三角形，2OB OA =，则（）A ．()02f =B ．直线136x =是()f x 图像的一条对称轴C ．()f x 的单调递减区间为()172,2Z 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的单调递增区间为()512π,2πZ 66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭10．设拋物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点()0,3P 的直线与抛物线E 相交于点,A B ，与x 轴相交于点,2,10C AF BF ==，则（）A ．E 的准线方程为=2y -B ．p 的值为2C ．AB =D ．BFC △的面积与AFC △的面积之比为911．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若函数()23f x -的图象关于点()2,1对称，()()224f x f x x +--=，且()00f =，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,1对称B ．()()4f x f x +=C ．()10262f '=D ．501()2499i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．已知0b >，函数()42bxxa f x +=是奇函数，则=a ，b =．13．正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正边边形，设CAD α∠=，则cos cos2cos3cos4αααα+++=，cos cos2cos3cos4αααα=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，15,3,4AB AD AA ===，平面//α平面11A ABB ，则α截四面体11ACD B 所得截面面积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，设平面PAD 与平面PBC 相交于直线l .(1)证明：//l AD .(2)若平面PAB ⊥平面,5,2ABCD PA PB AB ===，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =11n n S S S +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)若14nn n n S b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．假设某同学每次投篮命中的概率均为12．(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投(),33n n n +∈≤N 个球，若这n 个球都投进，则训练结束，否则额外再投1003n -个．试问n 为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？18．已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()32,0,1,2M N ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．19．已知函数()()e ,ln xf x mxg x x m x =-=-．(1)是否存在实数m ，使得()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知12,x x 是()f x 的零点，23,x x 是()g x 的零点．①证明：e m >，②证明：31231e x x x <<．1．B【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.【详解】由2340x x --≤得14x -≤≤，即{}14A x x =-≤≤，{}0B x x =≥,所以[]0,4A B = .故选：B 2．D【分析】设i(,R)z a b a b =+∈，根据条件得到0,1a b ==±，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】令i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a ab b =+-=-，所以22120a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,1a b ==±，所以i z =±，故2212i z z +=-±故选：D.3．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.【详解】用平面ADFE 代表平面α，平面ABCD 代表平面β，当m n ⊥如图所示时显然m 与平面β不垂直，反之，当m β⊥时，又n β⊂，根据线面垂直的性质有m n ⊥，所以“m n ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件，故选：A.4．C【分析】令()0f x =可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.【详解】令102x x +=+，即()210x x ++=，即()210x +=，解得=1x -，故()1,0P -，()()2112f x x '=-+，则()()2011112f '-=-=-+，则其切线方程为：()()()111f x y f ='--+，即0y =.故选：C.5．B【分析】根据正方形可得动点P 的轨迹是以M .【详解】因为四边形APBM 为正方形，且1MA MB ==,所以M P =,故动点P 的轨迹是以M 22(2)(3)2x y +++=.故选：B6．C【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解.【详解】根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有1242C A 428=⨯=种方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有24A 4312=⨯=种方法，由分类计数原理得，共有81220+=种不同的差法.故选：C.7．B【分析】由已知计算可得所以直线1PF 的斜率为3tan 4α=，直线OP 的斜率为247，设(,)P x y ，由324,47y y x c x ==+，解得724,2525c cx y ==，代入双曲线方程计算即可求得结果.【详解】由题意得22322tan 4tan 21tan 314a αα⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭247=，所以直线1PF 的斜率为3tan 4α=，直线OP 的斜率为247，设(,)P x y ，则有324,47y y x c x ==+，解得724,2525c cx y ==，代入双曲线方程，得222272425251c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，又222b c a =-，所以()()222222227242525c c c a a a c a ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得：2422472025c a c a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，c e a =，所以242721025e e ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得5e =或57e =(1e >,舍).故选：B 8．D【分析】根据0a b >> ，得到222a b a b +>，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到12a b ⊕< ，12a b > ，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为113|Z,04,,,14424n n n ⎧⎫⎧⎫∈<≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，设向量a 和b 的夹角为θ，因为0a b >> ，所以222a b a b +>，得到2222cos cos cos =22a b a b a b a b a b a b a bθθθ⋅⊕==<⋅++，又[]0,πθ∈，所以cos 122θ≤，又a b ⊕ 在集合|Z,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭中，所以cos 124θ>，即1cos 2θ>，得到14a b ⊕= ，又因为22cos 1cos cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅⋅===>>，所以34a b = 或1，所以1a b a b ⊕+= 或54，故选：D.9．BC【分析】由图可得()ππ3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即可.【详解】对于A ，由图可得：()f x 的最小正周期为2，所以2π2ω=，即πω=，易得2M =，所以()()π2f x x ϕ=+，因为2OB OA =，所以1,03A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，1,62C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得：ππ62ϕ+=，即π3ϕ=，所以()ππ3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()304f =，故A 不正确；对于B ，由于1313π()π+)62632f ==，为最大值，所以直线136x =是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；对于C ，令ππ3π2π+π2π+232k x k ≤+≤()k ∈Z ，解得；()Z 172266k x k k +≤≤+∈，所以单调递减区间为()172,2Z 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，令πππ2ππ2π+232k x k -≤+≤()k ∈Z ，解得；()5122Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为()512,2Z 66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，故D 不正确，故选：BC ，10．BD【分析】设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，利用根与系数的关系及抛物线的性质进行计算，从而判定各选项.【详解】设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立232y kx x py=+⎧⎨=⎩，可得2260x pkx p -=-，所以122x x pk +=，126x x p =-，因为22x py =，所以22x y p =，故22212122236944x x p y y p p ===，因为2,10AF BF ==，由抛物线定义可得，122p y =-，2102py =-，则210922p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2p =或22p =，因为1202py =->，所以2p =，则E 的准线方程为=1y -，故B 正确，A 错误；又E 的方程为24x y =，1212p y =-=，21092py =-=，把11y =代入24x y =可得21144x y ==，222436x y ==，不妨设()()2,1,6,9A B -，则AB =C 错误；设F 到直线AB 的距离为d ，BFC △的面积12BFC S BC d =，AFC △的面积12AFC S AC d = ，则BFC △的面积与AFC △的面积之比219BFC AFC BC S yS AC y === ，故D 正确.故选：BD.11．ACD【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A 正确；结合()()22f x f x +-=和()()224f x f x x +--=，化简得到()()48f x f x =+-，可判定B 不正确；令()()2g x f x x =-，得到()()4g x g x =+，得到函数()g x 和()g x '是以4为周期的周期函数，结合()()()1026222g g f '=''=-，可判定C 正确；结合()()11,22f f ==，()35f =，()48f =，得到()()()()12344g g g g +++=-，结合()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，进而求得501()i f i =∑的值，即可求解.【详解】对于A 中，设函数()y f x =的图象关于(,)a b 对称，则()3y f x =-关于(3,)a b +对称，可得()23y f x =-关于3(,)2a b +对称，因为函数()23f x -的图像关于点()2,1对称，可得32,12a b +==，解得1,1a b ==，所以函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，所以A 正确；对于B 中，由函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，可得()()22f x f x +-=，因为()()224f x f x x +--=，可得()()242f x f x x ++=+，则()()244(2)2410f x f x x x +++=++=+，两式相减得()()48f x f x -+=-，即()()48f x f x =+-，所以B 不正确；对于C 中，令()()2g x f x x =-，可得()()()442(4)428g x f x x f x x +=+-+=+--，因为()()48f x f x =+-，所以()()4g x g x =+，所以函数()g x 是以4为周期的周期函数，由()()2g x f x x =-，可得()()2g x f x ''=-，所以()()102610262g f ''=-，因为函数()g x 是以4为周期的周期函数，则()g x '是以4为周期的周期函数，所以()()()1026222g g f '=''=-，由()()224f x f x x +--=，可得()()212(1)4f x f x +⨯--⨯-'='，即()()224f x f x ''++-=，令0x =，可得()()224f f ''+=，所以()22f '=，所以()20g '=，所以()1026(1026)2(2)22f f f '''=+=+=，所以C 正确；对于D 中，因为()00f =，且函数()f x 关于(1,1)对称，可得()()11,22f f ==，又因为()()224f x f x x +--=，令1x =，可得()()314f f -=，所以()35f =，再令2x =，可得()()408f f -=，所以()48f =，由()()2g x f x x =-，可得()()()()11,22,31,40g g g g =-=-=-=，可得()()()()12344g g g g +++=-又由函数()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，且()()2f x g x x =+，所以()()()()()()501()125012502(1250)i f i f f f g g g ==+++=+++++++∑ ()()()()()()121234122(1250)g g g g g g ⎡⎤=⋅+++++++++⎣⎦ 50(150)12(4)12242299+=⨯--+⨯=-，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论（1）对于函数()y f x =，若其图象关于直线x a =对称（0a =时，()f x 为偶函数），则①()()f a x f a x +=-；②()()2f a x f x +=-；③()()2f a x f x -=.（2）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),0a 对称（0a =时，()f x 为奇函数），则①()()f a x f a x +=--；②()()2f a x f x +=--；③()()2f a x f x -=-.（3）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),a b 对称，则①()()2f a x f a x b ++-=；②()()22f a x f x b ++-=；③()()22f a x f x b -+=.12．1-1【分析】根据题意，由奇函数的性质和定义，利用特殊值法求出a 、b 的值，验证可得答案.【详解】根据题意，函数()42bxxa f x +=是奇函数，其定义域为R ，则有(0)0f =，(1)(1)f f -=-，即0114024422b b a a a --⎧+=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，当1a =-，1b =时，()14222xx x x f x --+-==，其定义域为R ，且()22()x x f x f x --=-=-，即()f x 为奇函数，故1a =-，1b =；故答案为：1-；113．0116##0.0625【分析】由正五角星的性质，求得36CAD α∠== ，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和180正五边形的内角和()180521803540⨯-=⨯= ；每个角为5401085= ，三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为18010872-=o o o ，三角形内角和为180 ，那么三角形顶角，即五角星尖角18072236-⨯= ，即36CAD α∠== .cos cos2cos3cos4cos36cos72cos108cos144αααα+++=+++()()cos36cos72cos 18072cos 18036=++-+-cos36cos72cos72cos360=+--= ;()2cos cos2cos3cos4cos36cos72cos108cos144cos36cos72αααα==因为cos 36cos 72︒︒⋅2sin 36cos36cos72sin 72cos72sin14412sin 362sin 364sin 364︒︒︒︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅====,所以1cos cos2cos3cos416αααα=.故答案为：0；116.14．10【分析】结合题意画出对应图形后，设111B T B C λ=，则有TR TM VN VS TW TU VU VWλ====，则有22NVS SWR NSRM UVWT S S S S =-- 平行四边形平行四边形，借助λ表示出面积，结合二次函数的性质即可得.【详解】平面α截四面体11ACD B 的截面如图所示，设111B T B C λ=，则TR TM VN VS TW TU VU VWλ====，所以四边形NSRM 为平行四边形，且//,//MR UW MN TV ，在矩形UVWT 中，()4,5,5,51UV VW TM MU λλ====-，()4,41TR RW λλ==-，则22NVS SWRNSRM UVWT S S S S =-- 平行四边形平行四边形()2221112020120202202010222λλλ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-+-=--+≤-⨯=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当12λ=时，等号成立.故答案为：10.【点睛】关键点点睛：本题关键点是得到所得截面后，借助割补法表示出该截面面积，并结合二次函数的性质求解.15．(1)证明见解析；(2)4515【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理即可证明；（2）利用面面平行的性质确定PO ⊥平面ABCD ，建立直角坐标系，利用坐标法结合线面角公式即可求解.【详解】（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，因为AD ⊂平面PAD ，平面PBC ⋂平面PAD l =，所以//l AD ；（2）因为PA PB =，取AB 的中点O ，连接PO ，则PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，则PO ⊥平面ABCD ，所以以O 坐标原点建立如图坐标系，因为5,2PA PB AB ===，ABCD 是正方形，所以2PO =，则()0,0,2P ，()1,0,0A ，()1,2,0C -，()1,2,0D ,()1,0,2AP =- ，()0,2,0AD = ，()1,2,2PC =-- ，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z = ，则20n AP x z ⋅=-+= ，20n AD y ⋅== ，取2x =，0y =，1z =，即()2,0,1n = ，设直线PC 与平面PAD 所成角为θ，则sin cos ,15PC n PC n PC nθ⋅=== ，所以直线PC 与平面PAD16．(1)21n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】（1）首先求出11a =，可证明数列为首项为1，公差为1的等差数列，得到2n S n =，利用1n n n a S S -=-得到{}n a 的通项公式；（2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，化简可得111122121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n ==11a =，1==，则数列为首项为1，公差为1的等差数列；n =，则2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，12111a =⨯-=满足条件，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-(*)n ∈N （2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，所以2224111111114141(21)(21)22121n n b n n n n n n ⎛⎫==+=+=+- ⎪---+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n n T n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ，即21n n T n n =++17．(1)38；(2)5n =.【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算即得.（2）该同学投篮的次数为X ，求出X 的可能值及对应的概率，求出期望的函数关系，作差结合数列单调性推理即得.【详解】（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率2224113C ()(1)228p =-=.（2）设该同学投篮的次数为X ，则X 的可能值为,10031002n n n n +-=-，,33n n +∈≤N ，于是11(),(1002)122n nP X n P X n ===-=-，数学期望113100()(1002)(12100222n n n n E X n n n -=⋅+-⋅-=-+，令3100()2100,2n n f n n n +-=-+∈N ，则1397(1)2982n n f n n +-+=-+，2110332(1)()2n n n f n f n ++--+-=，显然数列2{10332}n n +--是递减的，当4n ≤时，2103320n n +-->，(1)()f n f n +>，当5n ≥时，2103320n n +--<，(1)()f n f n +<，即有(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f <<<<>>> ，因此(5)f 最大，所以当5n =时，该同学投篮次数的期望值最大.18．(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,2M N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k =-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k --++，同理可得22284(,)44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414AB k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k k k k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.19．(1)存在，且(],0m ∈-∞(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分0m ≤与0m >进行讨论即可得；（2）①利用导数得到()f x 的单调性后，借助零点的存在性定理可得()ln ln 0f m m m m =-<，解出即可得；②构造函数()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到12ln x x =，23e x x =，从而可得31232x x x x =，结合2x 的范围即可得解.【详解】（1）由题意得()()()0,,e ,1x m x m x f x m g x x x∞-∈+=-=-=''，当0m ≤时，()()0,0f x g x ''≥≥，所以()f x 和()g x 在()0,∞+上都单调递增，符合题意；当0m >时，若()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同，则()f x 和()g x 有相同的极值点，即ln m m =，令()ln h m m m =-，则()111m h m m m-=-='，当()0,1m ∈时，()0h m '>，当()1,m ∞∈+时，()0h m '<，所以()h m 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，则()()11h m h ≤=-，所以ln m m =无解，综上，当(],0m ∞∈-时，()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同；（2）①由题意，()f x 有两个零点，()e x f x m '=-，若0m ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，不符合题意，若0m >，则当(),ln x m ∞∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()ln ,x m ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，且当x →-∞时，()f x ∞→-，当x →+∞时，()f x ∞→+，所以()ln ln 0f m m m m =-<，解得e m >，得证；②令()()0,0f x g x ==，得e ,ln xmx x m x ==，即e 0,0ln x x m m x x =>=>，令()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，则()()()22e 1ln 1,(ln )x x x m x n x x x ''--==，当()0,1x ∈时，()()0,m x m x '<单调递减，当()1,x ∞∈+时，()()0,m x m x '>单调递增，当()1,e x ∈时，()()0,n x n x '<单调递减，当()e,x ∞∈+时，()()0,n x n x '>单调递增，在同一坐标平面内作出函数()e (0)x m x x x=>与函数()ln x n x x =(1)x >的图象，它们有公共点()22,A x y，如图，故12301e x x x <<<<<，且有12321223e e ln ln x x x x x x x x ===，由1212e ln x x x x =，得12ln 12e e ln x x x x =，即()()12ln m x m x =，又20ln 1x <<，所以12ln x x =，由2323e ln x x x x =，得2233e lne ln x x x x =，即()()23e x n n x =，又2e e x >，所以23e x x =，由2222e ln x x x x =，得222231e ln x x x x x =⋅=，即2132x x x =，故()3312321,e x x x x =∈.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，结合导数得到函数的单调性，从而得到31232x x x x =.。
湖北省邯郸市大名县2016届高三数学4月模拟试卷 理(含解析)
2016年湖北省邯郸市大名县高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=2x}，则B∩（∁U A）为（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1] D．（1，2）2．复数Z=（a∈R）在复平面内对应的点在虚轴上，则a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．已知a1=，数列{a n+3}是公比为的等比数列，则a8=（）A． B．﹣C．D．﹣4．已知命题p：cosα≠0是α≠2kπ（k∈Z）的充分必要条件，命题q：设随机变量ζ～N（0，1），若P（ξ≥）=m，则P（﹣＜ξ＜0）=﹣m，下列命题是假命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．￢p∧q D．￢p∨q5．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．B．10 C．3 D．6．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ=（）A．B．﹣C．D．﹣7．当双曲线C不是等轴双曲线我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”，则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”离心率为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为，则实数k的取值范围为（）A．[16，64] B．[16，32）C．[32，64）D．（32，64）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．某校文化艺术节要安排六个节目，其中高一年级准备3个节目，高二年级准备2个节目，高三年级准备1个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为（）A．72 B．84 C．120 D．14411．已知点P在直径为的球面上，过点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，若PA=PB，则PA+PB+PC的最大值为（）A．B． +1 C． +2 D．312．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2），则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（0，1）C．（，1） D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量||=1，||=2，若|﹣|=，则向量，的夹角为．14．设圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点，且与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程是．15．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是．16．若数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣1）n+1，b n=，n∈N*，且a1=2，设数列{a n}的前n项和为S n，则S61= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（sin2B+sin2C）=3sin2A+2sinBsinC．（1）若sinB=cosC，求tanC的值；（2）若a=2，△ABC的面积S=，且b＞c，求b，c的值．18．某市交管部门随机抽取了89位司机调查有无酒驾习惯，汇总数据的如表：已知在这89人随机抽取1人，抽到无酒驾习惯的概率为，（1）将如表中空白部分数据补充完整；（2）若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽取2人，记抽到女性的人数为X，求X得分布列和数学期望．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（a∈R）．（1）若对∀x∈（0，+∞），恒有不等式f（x）≥g（x），求a得取值范围；（2）证明：对∀x∈（0，+∞），有lnx＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．（1）求证： =（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求BF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．2016年湖北省邯郸市大名县高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=2x}，则B∩（∁U A）为（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1] D．（1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中log2（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴A=（1，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，1]，由B中y=2x，得到y＞0，即B=（0，+∞），则A∩（∁U B）=（0，1]故选：C．2．复数Z=（a∈R）在复平面内对应的点在虚轴上，则a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：Z===在复平面内对应的点在虚轴上，∴=0，≠0，解得a=﹣2．则a=﹣2．故选：B．3．已知a1=，数列{a n+3}是公比为的等比数列，则a8=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：a1==2，数列{a n+3}是公比为的等比数列，首项为+3=4．∴a n+3=．则a8+3=4×，解得a8=．故选：D．4．已知命题p：cosα≠0是α≠2kπ（k∈Z）的充分必要条件，命题q：设随机变量ζ～N（0，1），若P（ξ≥）=m，则P（﹣＜ξ＜0）=﹣m，下列命题是假命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．￢p∧q D．￢p∨q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及正态分布的概率关系分别判断两个命题的真假结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：若cosα≠0则α≠kπ+，则α≠2kπ不成立，反之若α=kπ+满足α≠2kπ，但cosα=0，故cosα≠0是α≠2kπ（k∈Z）的既不充分也不必要条件，故p 是假命题，若随机变量ζ～N（0，1），则函数关于x=0对称，若P（ξ≥）=m，则P（ξ≥）=P（ξ≤﹣）=m，则P（﹣＜ξ＜0）= [1﹣P（ξ≥）﹣P（ξ≤﹣）=（1﹣2m）=﹣m，故q是真命题，则p∧q是假命题，p∨q，￢p∧q，￢p∨q都是真命题，故选：A．5．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．B．10 C．3 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×4+2=10．即目标函数z=2x+y的最大值为10．故选：B．6．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同，求出ω=2，然后根据分别求出两个函数的对称中心，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由题意可得函数f（x）与函数g（x）的周期相同，即=，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），它的对称中心的横坐标m满足2m+=kπ，即 m=﹣，k∈Z，对称中心的坐标为（﹣，0），k∈Z．根据f（x）=2sin（2x+）的图象与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，∴cos[2•（﹣）+φ]=cos（kπ﹣+φ）=0，∴φ=﹣，故选：B．7．当双曲线C不是等轴双曲线我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”，则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则其“伴生椭圆”的方程为+=1．由=，运用a，b，c的关系，可得b=2a，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则其“伴生椭圆”的方程为+=1．由=，可得=5，即有b=2a，其“伴生椭圆”的离心率e===．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为，则实数k的取值范围为（）A．[16，64] B．[16，32）C．[32，64）D．（32，64）【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=32时由题意此时不满足条件32≤k，退出循环，输出S的值为，从而可解得k的取值范围．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，S=执行循环体，S=log24=1，a=4由题意，此时满足条件4≤k，执行循环体，S=1×log48，a=8由题意，此时满足条件8≤k，执行循环体，S=1×log48×log816，a=16由题意，此时满足条件16≤k，执行循环体，S=1×log48×log816×log1632==，a=32由题意，此时不满足条件32≤k，退出循环，输出S的值为．则实数k的取值范围为：[16，32）．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为三棱柱去掉一个三棱锥，分别计算体积即可．【解答】解：由三视图得到几何体如图体积为=10；故选C．10．某校文化艺术节要安排六个节目，其中高一年级准备3个节目，高二年级准备2个节目，高三年级准备1个节目，则同一年级的节目不相邻的安排种数为（）A．72 B．84 C．120 D．144【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将高一年级准备3个节目全排列，②、因为高一年级准备3个节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分2步进行分析：1、先将高一年级准备3个节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为高一年级准备3个节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个高二年级准备1个节目节目和高三年级准备1个节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后高二年级准备1个节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个高二年级准备2个节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，高三年级准备1个节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：C．11．已知点P在直径为的球面上，过点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，若PA=PB，则PA+PB+PC的最大值为（）A．B． +1 C． +2 D．3【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知，PA，PB，PC两两垂直，点P在直径为的球面上，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到2PB2+PC2=2，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到PA+PB+PC的最大值．【解答】解：∵PA，PB，PC两两垂直，点P在直径为的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴2=PA2+PB2+PC2，又PA=PB，∴2PB2+PC2=2，设PB=cosα，PC=sinα，则PA+PB+PC=2PB+PC=2cosα+sinα=sin（α+φ）≤．则PA+PB+PC的最大值为，故选：A．12．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2），则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（0，1）C．（，1） D．（，1）【考点】函数的单调性与导数的关系；变化的快慢与变化率．【分析】由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围【解答】解：由题意可知，在区间[0，a]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f′（x1）===a2﹣a，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a），∴解得＜a＜1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量||=1，||=2，若|﹣|=，则向量，的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意先求出=1，再根据向量的夹角公式计算即可．【解答】解：向量||=1，||=2，|﹣|=，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=1+4﹣2=3，∴=1，∴cos＜，＞===，∵向量，的夹角的范围为（0，π），∴向量，的夹角为，故答案为：．14．设圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点，且与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程是x2+（y﹣1）2=8 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线x+y+3=0相切，∴圆C的半径为点C到直线x+y+3=0的距离d==2．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=8．故答案为：x2+（y﹣1）2=8．15．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是[5，+∞）．【考点】二项式定理．【分析】由题意可得 f （x ）=•x 3，再由条件可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，求得x 2在区间[，]上的最大值，可得m 的范围．【解答】解：由题意可得 f （x ）=•x 6•=•x 3．由f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，由于x 2在区间[，]上的最大值为 5，故m ≥5，即m 的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．16．若数列{a n }与{b n }满足b n+1a n +b n a n+1=（﹣1）n +1，b n =，n ∈N *，且a 1=2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 61= 527 ．【考点】数列的求和．【分析】b n+1a n +b n a n+1=（﹣1）n +1，b n =，n ∈N *，a 1=2，可得：a 2=﹣1．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，2a 2k +a 2k ﹣1=0．n=2k （k ∈N *）时，2a 2k +a 2k+1=2．可得a 2k+1﹣a 2k =2，a 2k+2﹣a 2k =﹣1，因此数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差分别为2，﹣1．即可得出．【解答】解：∵b n+1a n +b n a n+1=（﹣1）n +1，b n =，n ∈N *，a 1=2，∴b 1=2，b 2=1，b 2a 1+b 1a 2=0，a 2=﹣1．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，2a 2k +a 2k ﹣1=0．n=2k （k ∈N *）时，2a 2k +a 2k+1=2．∴a 2k+1﹣a 2k =2，a 2k+2﹣a 2k =﹣1，∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差分别为2，﹣1． ∴S 61=（a 1+a 3+…+a 61）+（a 2+a 4+…+a 60）=+（﹣1）×30+（﹣1）=527．故答案为：527．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知3（sin 2B+sin 2C ）=3sin 2A+2sinBsinC ．（1）若sinB=cosC ，求tanC 的值；（2）若a=2，△ABC 的面积S=，且b ＞c ，求b ，c 的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理求出cosA的值，进而求出sinA的值，（1）已知等式左边sinB换为sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanC 的值即可；（2）由cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的方程，再利用三角形面积公式列出关于b与c的方程，联立求出b与c的值即可．【解答】解：△ABC中，∵3（sin2B+sin2C）=3sin2A+2sinBsinC，∴3（b2+c2）=3a2+2bc，即cosA==，∴sinA==，（1）由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC=cosC，整理得：sinC=cosC，则tanC=；（2）∵cosA=，∴由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc①，由三角形面积公式及已知面积S=，得到bc•=②，联立①②，且b＞c，解得：b=，c=．已知在这89人随机抽取1人，抽到无酒驾习惯的概率为，（1）将如表中空白部分数据补充完整；（2）若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽取2人，记抽到女性的人数为X，求X得分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由已知得89位司机中有57人无酒驾习惯，从而求出女性司机中有26人无酒驾习惯，进而求出女性司机共有34人，男性司机有55人，其中有酒驾习惯的人数为24人．由此能将表中空白部分数据补充完整．（2）因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人，所以男性抽出6人，女性抽出2人，X可取的值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）∵在这89人随机抽取1人，抽到无酒驾习惯的概率为，∴89位司机中有57人无酒驾习惯，∴女性司机中有：57﹣31=26人无酒驾习惯，∴女性司机共有：26+8=34人，∴男性司机有：89﹣34=55人，其中有酒驾习惯的人数为：55﹣31=24人．（2）因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取8人，所以男性抽出8×=6人，女性抽出8﹣6=2人，所以X可取的值为0，1，2；…X服从超几何分布，P（x=0）==，P（x=1）==，P（x=0）==，…0 1 2为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点E，连结DE，证明SD⊥平面SAB，只需证明SD⊥SE，AB⊥SD；（2）求出F到平面SBC的距离，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC的距离，从而可求AB与平面SBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．连结SE，则又SD=1，故ED2=SE2+SD2所以∠DSE为直角，所以SD⊥SE，由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．因为AB∩SE=E，所以SD⊥平面SAB…6分（2）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，作FG⊥BC，垂足为G，则FG=DC=1．连结SG，则SG⊥BC又FG⊥BC，SG∩FG=G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC，即F到平面SBC的距离为．由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为．设AB与平面SBC所成的角为α，则…12分．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，左顶点（﹣4，0），求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵左顶点为A（﹣4，0），∴a=4，又∵e=，∴c=2，又∵b2=a2﹣c2=16﹣4=12，…∴椭圆方程为： =1．…（2）直线的方程为y=k（x+4），由，消元得，化简得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，∴，…∴D（，），又∵点P为AD的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），…直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，则k OP•k EQ=﹣1，即﹣，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0）…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（a∈R）．（1）若对∀x∈（0，+∞），恒有不等式f（x）≥g（x），求a得取值范围；（2）证明：对∀x∈（0，+∞），有lnx＞﹣．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）问题转化为证a≤2lnx+x+，（x＞0），令h（x）=2lnx+x+，（x＞0）则a≤h（x）min，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为证明f（x）•（lnx）＞﹣，由f′（x）=lnx+1，确定函数的单调性，得到当x＞0时f（x）≥f（）=﹣，令ω（x）=﹣（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）当x＞0时，要证f（x）≥g（x），只需证：xlnx≥（﹣x2+ax﹣3），只需证a≤2lnx+x+，（x＞0），令h（x）=2lnx+x+，（x＞0）则a≤h（x）min，由h′（x）=，知函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=4，故的取值范围是（﹣∞，4]；（2）证明：要证lnx＞﹣，只要证f（x）•（lnx）＞﹣，由f′（x）=lnx+1，知f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．于是，当x＞0时f（x）≥f（）=﹣，①…令ω（x）=﹣（x＞0），则ω′（x）=，∴在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，于是，ω（x）≤ω（1）=﹣=②…显然，不等式①，②中的等号不能同时成立．故当x＞0时，f（x）＞g（x）即lnx＞﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．（1）求证： =（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求BF的值．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接CD，证明△ABD∽△DCE，即可证明： =（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求出DE，证明△DCE∽△BFD，即可求BF的值．【解答】（1）证明：连接CD，则∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD， =，∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE=∠ABD，∴△ABD∽△DCE，∴=．（2）解：∵=，BD=3，∴BD=CD=3，∠CBD=∠BCD，∵DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，∴∠CDE=∠CBD，DE2=EC•EA=16，∴DE=4，∴∠CDE=∠BCD，∴DE∥BC，∴∠E=∠ACB=∠ADB，∴△DCE∽△BFD，∴，∴BF==．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y ﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即 x2+y2=2y，即 x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2，即：1﹣x2＜0或【分析】或，解出即可；（2）g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空⇔（|x ﹣1|+|x+3|）min＜m，利用绝对值不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2即：1﹣x2＜0或或，解得x＞1或x＜﹣1，或∅，或x＞1或x＜0．∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．（2）∵g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x），∴|x﹣1|+|x+3|＜m．因此g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空．令h（x）=|x﹣1|+|x+3|，即h（x）=（|x﹣1|+|x+3|）min＜m，由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4，∴h（x）min=4，∴m＞4．。
2023届河北省邯郸市高三摸底考试数学试题及答案
邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22|20,|log 0A x x x B x x =-<=≥，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{|0}x x >B.{|01}x x <≤C.{|12}x x ≤<D.{|01x x <<或2}x ≥2.设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.34.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（）A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7C.2022年该校本科达线人数增加了80%D.2022年该校不上线的人数有所减少5.已知向量()()4,3,,1a b m =--= ，且夹角的余弦值为35-，则m =（）A.0 B.1- C.0或247-D.247-6.“01x <<”是“111x x +>+”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，S 表示ABC的面积，其公式为S =若sin sin sin 2sin a b c cb A B C A ++==++，则ABC 面积S 的最大值为（）A.B.1C.23D.238.从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（）A.4163B.3863C.23D.57二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.9.已知函数()f x 的局部图像如图所示，下列函数()f x 的解析式与图像符合的可能是（）A.()245f x x =B.()4f x x =C.()sin f x x x= D.()21x f x x =+10.已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，则（）A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的一条渐近线方程为y =C.122PF PF -=D.双曲线C 的焦距为411.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则下列结论一定成立的是（）A.若15a a =，则12n a a a ===B.若53a a >，则12nS S S <<< C.若32a =，则22158a a + D.若488,4a a ==，则1266S =12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在线段11A C 上，则（）A.直线11A C 与BC 所成的角为30B.对任意的点E ，都有BD ⊥平面ACEC.存在点E ，使得平面ABE 平面11CC D DD.存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则=a ___________.14.已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.15.如图，在正四棱台ABCD EFGH -中，AB EF ==，且四棱锥E ABCD -的体积为48，则该四棱台的体积为___________.16.设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①222sin b c a B +-=；②222sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，___________.（1）求角A ；（2）若8,10a b c =+=，求ABC 的面积.18.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3614,126S S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1n n b n a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19.暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：日均晨读时间/分钟[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60人数51025505060将学生日均晨读时间在[]30,60上的学生评价为“晨读合格”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？项目晨读不合格晨读合格合计高二高三15100合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82820.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，22,,AB AD DC AB DC AB AD ==⊥∥，平面PCB ⊥平面ABCD .（1）证明：PB AC ⊥；（2）若PCB 为正三角形，求二面角B PA C --的正弦值.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，上､顶点分别为12,,M N NF F 的面积为21MF NF 的四条边的平方和为16.（1）求椭圆C 的方程；（2）若1a b >>，斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点H 在直线12x =上，求证：线段AB 的垂直平分线与圆2214x y +=恒有两个交点.22.已知函数()()ln 0f x x a x a =-≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()e ln xg x x a x x =-+，且e a >，证明：()g x 有且仅有两个零点.（e 为自然对数的底数）邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22|20,|log 0A x x x B x x =-<=≥，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{|0}x x >B.{|01}x x <≤C.{|12}x x ≤<D.{|01x x <<或2}x ≥【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式、对数不等式求集合A 、B ，再由题图阴影部分为A B ，应用集合的交运算求结果.【详解】由题设{}{|02},|1A x x B x x =<<=≥，题图阴影部分为{|12}A B x x =≤< .故选：C 2.设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点.【详解】()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，则11i 22z =-∴z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D.3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2-B.2C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（）A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7C.2022年该校本科达线人数增加了80%D.2022年该校不上线的人数有所减少【答案】C【解析】【分析】设2021年的高考人数为100，则2022年的高考人数为150，再根据饼图中各个种类的人数所占的比例，逐个选项判断即可.【详解】不妨设2021年的高考人数为100，则2022年的高考人数为150.2021年本科达线人数为50，2022年本科达线人数为90，得2022年与2021年的本科达线人数比为9:5，本科达线人数增加了80%，故选项A 不正确，选项C 正确；2021年专科达线人数为35，2022年专科达线人数为45，所以2022年与2021年的专科达线人数比为9:7，选项B 错误；2021年不上线人数为15，2022年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，选项D 错误.故选：C5.已知向量()()4,3,,1a b m =--= ，且夹角的余弦值为35-，则m =（）A.0 B.1- C.0或247-D.247-【答案】A 【解析】【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解即可.【详解】由已知5,43a b a b m ===⋅=--，所以3cos ,5a b a b a b ⋅==-r r r r r，即430m +=≥，故34m ≥-，且221624999m m m ++=+，解得0m =或247-（舍去），所以0m =故选：A6.“01x <<”是“111x x +>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A 【解析】【分析】根据分式不等式求解111x x +>+，再判断充分性与必要性即可.【详解】因为21111001111x x x x x x x +>⇒-+>⇒>⇒>-+++且0x ≠，充分性成立，所以“01x <<”是“111x x +>+”的充分不必要条件.故选：A7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，S 表示ABC的面积，其公式为S =若sin sin sin 2sin a b c cb A B C A ++==++，则ABC 面积S 的最大值为（）A.B.1C.23D.23【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理可得2c a =，再根据面积公式化简可得S =，将等式看作关于2a 的二次函数求最大值即可.【详解】由正弦定理得sin sin sin sin 2sin a a b c c A A B C A++==++，得2c a =，因为b ABC = 的面积S ==所以当2109a =，即3a =时，ABC 的面积S 有最大值为23.故选：C8.从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（）A.4163B.3863C.23D.57【答案】D 【解析】【分析】对所选4点是否包含正方体中心进行分类讨论，利用组合计数原理计算出满足条件的三棱锥的个数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有49C 126=个结果，4个点恰好构成三棱锥分两种情况：①从正方体的8个顶点中取4个点，共有48C 70=个结果，其中四点共面有两种情况：一是四点构成侧面或底面，有6种情况，二是四点构成对角面（如平面11AA C C ），有6种情况.在同一个平面的有6612+=个，构成三棱锥有701258-=个；②从正方体的8个顶点中任取3个，共有38C 56=个结果，其中所取3点与中心共面，则这4个点在同一对角面上，共有346C 24=个结果，因此，所选3点与中心构成三棱锥有562432-=个.故从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的个数为583290+=，故所求概率9051267P ==.故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.9.已知函数()f x 的局部图像如图所示，下列函数()f x 的解析式与图像符合的可能是（）A.()245f x x =B.()4f x x=C.()sin f x x x =D.()21x f x x =+【答案】AC 【解析】【分析】观察函数的图像，根据奇偶性和特殊点的函数值，对四个象限一一判断.【详解】对于A ：()()2244()55f x x x f x -=-==为偶函数，图像为开口向上的抛物线，()4115f =<，与题干图像相符；对于B ：()4f x x =为偶函数，但()11f =，与题干图像不相符；对于C ：()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 为偶函数.由()sin cos f x x x x +'=，当02x π<<时，()()0,f x f x '>单调递增，且()1sin11f =<.记()sin cos g x x x x =+，()2cos sin g x x x x '=-.记()2cos sin h x x x x =-，()3sin cos h x x x x '=--在()0,1小于0，所以()g x '在()0,1上单调递减，而()12cos1sin10g '=->（因为tan1tan23π<=），所以()0g x '>在()0,1上恒成立，所以()f x 在()0,1上为下凸函数.与题干图像相符.故C 正确；对于D ：()()2()1xf x f x x --==--+为奇函数，与题干图像不相符.故选：AC10.已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，则（）A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的一条渐近线方程为y =C.122PF PF -=D.双曲线C 的焦距为4【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.【详解】由双曲线方程知：b =，离心率为2c e a a===，解得1a =，故22:13y C x -=，实半轴长为1，实轴长为22a =，A 正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y =，故一条渐近线方程为y =，B 正确；由于P 可能在C 的不同分支上，则有12||||||2PF PF -=，C 错误；焦距为24,D c ==正确.故选：ABD.11.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则下列结论一定成立的是（）A.若15a a =，则12n a a a ===B.若53a a >，则12nS S S <<< C.若32a =，则22158a a + D.若488,4a a ==，则1266S =【答案】ACD 【解析】【分析】A.设等差数列的公差为d ，由15a a =，得到0d =判断；B.由53a a >，得到{}0,n d a >为递增数列判断；C.由2222151532282a a a a a +⎛⎫+== ⎪⎝⎭判断；D.由488,4a a ==，求得首项和公差判断.【详解】设等差数列的公差为d ，因为15a a =，所以114a a d =+，所以0d =，则12n a a a === ，故A 正确；因为53a a >，所以1142a d a d +>+，所以{}0,n d a >为递增数列，但12n S S S <<< 不一定成立，如1231232,1,0,2,3,3a a a S S S =-=-==-=-=-，故B 不正确；因为2222151532282a a a a a +⎛⎫+== ⎪⎝⎭，当且仅当152a a ==时取等号，故C 正确；因为418138,74,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得11,11,d a =-⎧⎨=⎩，则1248880a a d =+=-=，得1121212662a a S +=⨯=，故D 正确.故选：ACD12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在线段11A C 上，则（）A.直线11A C 与BC 所成的角为30B.对任意的点E ，都有BD ⊥平面ACEC.存在点E ，使得平面ABE 平面11CC D DD.存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE 【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，根据线线平行，找到直线11A C 与BC 所成的角，根据正方体的性质求出其度数；B 选项，证明出BD ⊥平面11ACC A ，得到结论；C 选项，当点E 在1A 处时，满足平面ABE 平面11CCD D ；D 选项，找到平面ABE 与平面CDE 所成的夹角，方法一：结合圆的知识点，推导出90BNC ∠< ；方法二：设出未知数，利用正切的和角公式得到()1121tan tan 1324BNC B BN C CN x ∠∠∠=+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求出最值，得到BNC ∠为锐角.【详解】因为11//AC AC ，所以ACB ∠即为直线11AC 与BC 所成的角，ACB =∠45，故A 错误；因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥BD ，又因为AC BD ⊥，1AC AA A =∩，所以BD ⊥平面11ACC A ，故BD ⊥平面ACE ，故B 正确；当点E 在1A 处时，平面ABE //平面11CC D D ，所以存在点E ，使得平面ABE //平面11CC D D ，故C 正确.如图，过点E 作11//MN A B ，则MN 为平面ABE 与平面CDE 的交线，在正方体中，11A B ⊥平面11BCC B ，所以MN ⊥平面11BCC B ，所以BNMN ⊥，⊥CN MN ，所以BNC ∠即为平面ABE 与平面CDE 所成的夹角，方法一：因为点N 一定在以BC 为直径的圆外，所以90BNC ∠< ，所以不存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE ，故D 错误.方法二：设正方体的棱长为11,B N x =，则11tan ,tan 1B BN x C CN x ∠∠==-，所以()()()1122111tan tan 1111324x x BNC B BN C CN x x x x x ∠∠∠+-=+===---+⎛⎫-+⎪⎝⎭，当12x =时，tan BNC ∠取得最大值，为43，此时BNC ∠为锐角，故D 错误.故选：BC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则=a ___________.【答案】2-或0【解析】【分析】先求得抛物线的准线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得a .【详解】抛物线24y x =的准线方程为1x =-，圆22:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ，半径1r =，由于圆C 与准线1x =-相切，所以11a --=，解得2a =-或0.故答案为：2-或014.已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.【答案】1-【解析】【分析】赋值法求0a ，根据二项式展开式通项求3a ，即可求03a a +.【详解】令001x a =⇒=-，由5(1)x -的展开式的通项为515C (1)r rr r T x-+=-，令52r -=，得3r =，令53r -=，得2r =，所以3322355C (1)C (1)0a =-+-=，所以031a a +=-.故答案为：1-15.如图，在正四棱台ABCD EFGH -中，AB EF ==，且四棱锥E ABCD -的体积为48，则该四棱台的体积为___________.【答案】399【解析】【分析】方法一：设点E 到平面ABCD 的距离为h ，根据E ABCD -的体积可得3h =，再代入棱台的体积公式求解即可；方法二：延长,,,EA FB GC HD 交于一点，设为P ，根据台体体积为锥体体积之差求解即可.【详解】方法一：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为248S ==，得四棱锥E ABCD -的体积为11484833hS h ==⨯，得3h =.所以棱台体积为()()1134824339933V h S S =+=⨯⨯+=下上.方法二：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为248S ==，得四棱锥E ABCD -的体积为11484833hS h ==⨯，得3h =.由棱台定义知，延长,,,EA FB GC HD 交于一点，设为P ，设棱锥P ABCD -的高为x ，则棱锥P EFGH -的高为3x +，由三角形相似可得439x AB x EF ==+，得125x =，于是棱台体积1(3V x =+3）11271122434839933535S xS -=⨯⨯-⨯⨯=下上.故答案为：39916.设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是___________.【答案】710,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，由x 的取值范围求出6x πω+的取值范围，令6t x πω=+，将问题转化为函数y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的极值点个数问题，数形结合来求解.【详解】解：()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=++⎪⎝⎭sin sin cos cos sin 33x x x ππωωω=++3331sin cos sin cos 22226x x x x x πωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如图所示：由于函数()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则57262ππωππ<+≤，解得71033ω<≤.故答案为：710,33⎛⎤⎥⎝⎦四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①222sin b c a B +-=；②222sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，___________.（1）求角A ；（2）若8,10a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）6A π=（2）(92【解析】【分析】（1）选择①：利用正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选择②：由正弦定理､余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用余弦定理可求得bc 的值，结合三角形面积公式可得出ABC 的面积.【小问1详解】选择①：因为222sin b c a B +-=，由余弦定理可得2cos sin bc A B =，所以结合正弦定理可得sin cos sin B A A B =.因为()0,πB ∈，则sin 0B >，所以cos A A =，即3tan 3A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =；选择②：因为222sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a +-=，由余弦定理得222cos 22b c a A bc +-==.因为()0,πA ∈，所以π6A =；【小问2详解】由（1）知π6A =，又已知8,10a b c =+=，由余弦定理得，(22222cos ()2a b c bc A b c bc =+-=+-+，即(641002bc =-，所以bc =所以ABC 的面积为(11πsin sin 92226bc A bc ==.18.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3614,126S S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1n n b n a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）2n n a =；（2）()1422n n T n +=+-⨯.【解析】【分析】（1）根据3614,126S S ==得到1,a q 的值，进而写出{}n a 的通项公式.（2）由（1）得()1n n b n a =-，再利用错位相减法求n T 即可.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由()()3611361114,12611a q a q S Sqq--====--，相除可得319q +=，解得2q =，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，即2n n a =；【小问2详解】由（1）得：()()112nn n b n a n =-=-，所以()()23112222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①，()()2211122222122n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①得：()22112222122n n nn T n ---=++++--⨯ ()()12121212n n n --=--⨯-，所以()1422n n T n +=+-⨯.19.暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：日均晨读时间/分钟[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60人数51025505060将学生日均晨读时间在[]30,60上的学生评价为“晨读合格”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？项目晨读不合格晨读合格合计高二高三15100合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，依据0.05α=的独立性检验不能认为“晨读合格”与年级有关联；（2）分布列见解析，数学期望为85.【解析】【分析】（1）根据频率直方表完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，并比照参考值，根据独立性检验的基本思想得到结论；（2）由题设可得42,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，应用二项分布概率公式求分布列，进而求期望.【小问1详解】列联表如下：项目晨读不合格晨读合格合计高二2575100高三1585100合计40160200220.05200(25851575) 3.125 3.84110010040160x χ⨯⨯-⨯==<=⨯⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关联.【小问2详解】由题设，学生晨读合格的概率为16042005=，易知42,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()02024110C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11124181C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()202241162C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ的分布列为ξ012P 1258251625所以()181680122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，22,,AB AD DC AB DC AB AD ==⊥∥，平面PCB ⊥平面ABCD .（1）证明：PB AC ⊥；（2）若PCB 为正三角形，求二面角B PA C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）设222AB AD DC ===，可得AC BC ⊥，利用平面PCB ⊥平面ABCD ，可得AC ⊥平面PCB ，则AC PB ⊥；（2）方法一（向量法）：取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，分别求得平面ABP 的法向量和平面ACP 的法向量，进而利用数量积求解即可.方法二（几何法）：如图，取PA 的中点M ，连接CM ，在平面PAB 中作MN PA ⊥，连接CN ，证明CM PA ⊥，又MN PA ⊥，则CMN ∠为二面角B PA C --的平面角，解三角形即可.【小问1详解】证明：由题意，设222AB AD DC ===，又,AB DC AB AD ⊥∥，得AC BC ==2AB =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又平面PCB 平面ABCD CB =，且平面PCB ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，所以AC ⊥平面PCB ，又PB ⊂平面PCB ，所以AC PB ⊥；【小问2详解】解：方法一（向量法）：取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由PCB为正三角形，BC =2PO =，则311111,,0,,,0,,0,0,2222222A B C P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()3162,0,0,,,,1,1,0222AB AP AC ⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设()111,,n x y z = 为平面ABP 的法向量，则有00n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即111120310222x x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取(),n = ，设()222,,m x y z = 为平面ACP 的法向量，同理1,1,,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭所以73cos ,7n m n m n m ⋅===- ，设二面角B PA C --的平面角为α，则sin 7α===，故二面角B PA C --的正弦值为7.方法二（几何法）：如图，取PA 的中点M ，连接CM ，在平面PAB 中作MN PA ⊥，连接CN，由（1）知AC BC ==PCB 为正三角形，所以PC BC PB ===，所以PC AC =，所以CM PA ⊥，又MN PA ⊥，所以CMN ∠为二面角B PA C --的平面角，因为AC ⊥平面PCB ，PC ⊂平面PCB ，所以AC PC ⊥，所以2,1PA CM AM ====，在ABP △中，2PB AB PA ===，所以2224423cos 284PA AB PB BAP PA AB ∠+-+-===⋅，所以4sin ,tan ,tan ,433cos 3AM BAP BAP MN AM BAP AN BAP ∠∠∠∠===⋅===，在ACN △中，45CAN ∠= ，所以3CN==，在MNC中，222222133cos2773MN CM CNCMNMN CM∠⎛⎫⎛+-⎪+-==⋅，所以sin7CMN∠==，即二面角B PA C--的正弦值为7.21.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左､右焦点分别为12,F F，上､顶点分别为12,,M N NF F的面积为21MF NF的四条边的平方和为16.（1）求椭圆C的方程；（2）若1a b>>，斜率为k的直线l交椭圆C于,A B两点，且线段AB的中点H在直线12x=上，求证：线段AB的垂直平分线与圆2214x y+=恒有两个交点.【答案】（1）22143x y+=或2214x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意12NF F△，结合四边形21MF NF的四条边的平方和为16，即()22416b c+=，求出,a b即可得结果；（2）联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系，根据中点坐标公式化简，列出线段AB的垂直平分线方程，判断定点在圆内即可得结果.【小问1详解】由12NF F△122c b⨯⨯=，又四边形21MF NF的四条边的平方和为16，所以2224,3,1a b c===或2224,1,3a b c===，即椭圆C 的方程为22143x y +=或2214x y +=.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由于1a b >>，得椭圆C 的方程为22143x y +=，设直线l 的方程为y kx m =+，当斜率0k =时，线段AB 的中点H 在y 轴上，不在直线12x =上，故0k ≠，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，由()()()222222Δ6443441248430k m km m k =-+-=--->，得2234m k <+.由122834km x x k +=-+，设线段AB 的中点H 为()00,x y ，得0241342km x k =-=+，即2348k km +=-，所以0038y kx m k=+=-.所以线段AB 的垂直平分线的方程为31182y x k k ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭.即118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故线段AB 的垂直平分线恒过点1,08⎛⎫⎪⎝⎭.因为2211108644⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，故点1,08⎛⎫⎪⎝⎭在圆2214x y +=内，所以线段AB 的垂直平分线与圆2214x y +=恒有两个交点.22.已知函数()()ln 0f x x a x a =-≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()e ln xg x x a x x =-+，且e a >，证明：()g x 有且仅有两个零点.（e 为自然对数的底数）【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导()1a x a fx x x '-=-=，由导数的正负求解；（2）由()()()e ln e ln e(0)x x x g x x a x x x a x x =-+=->，令e x t x =，易知e x t x =在0x >时单调递增，且()0,t ∈+∞，则()()e ln e x x g x x a x =-有两个零点转化为()ln f t t a t =-有两个零点求解.【小问1详解】解：由题意得函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x ∞'-+=-=，当0a >时，令()0f x '>，得x a >，所以()f x 在(),a +∞上单调递增；令()0f x '<，得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上单调递减；当0a <时，因为()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；【小问2详解】()()()e ln e ln e (0)x x x g x x a x x x a x x =-+=->，令e x t x =，则()1e 0x t x '=+>在0x >时恒成立，所以e x t x =在0x >时单调递增，且()0,t ∈+∞，所以()()e ln e x xg x x a x =-有两个零点等价于()ln f t t a t =-有两个零点.因为e a >，由（1）知，()f t 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以()()min ()ln 1ln f t f a a a a a a ==-=-，因为e a >，所以()0f a <.下面证明当e a >时，()2e e 0a a f a =->，设()2e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，令()e 2x m x x =-，又()e 2xm x '=-，当e x >时，()e 20xm x ='->恒成立，所以()m x 单调递增，得()ee 2e 2e 0x h x x >-'=->，故()2e x h x x =-在()e,+∞上单调递增，得2e 2e e e 0x x ->->，即()2e e 0a a f a =->，又因为()110f =>，所以()f t 在()()1,,,e a a a 上各存在一个零点，所以e a >时，函数()f t 有且仅有两个零点，即当e a >时，函数()g x 有且仅有两个零点.。
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河北邯郸2016高三二模理科数学2016.04.27
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合}9log |{},0124|{3
12>=<-+=x x B x x x A ，则B A ⋂等于
A 、)2,3
1
(- B 、（-2，3） C 、（-2，2） D 、（-6，-2） 2、已知复数i
ai
Z 21510--=
的实部与虚部之和为4，则复数Z 在复平面上对应的点在
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 3、已知)6
cos()42
(cos 2
π
π
+=+
x x ，则x cos 等于 A 、
33 B 、3
3
- C 、31 D 、31-
4、已知向量a 与b 的夹角为︒60，5||,2||==b a ，则a b a 在-2方向上的投影为 A 、
23 B 、2 C 、2
5
D 、3 5、如果实数y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≥+-0
10220
1x y x y x ，则y x Z 3221+-=的最大值为
A 、1
B 、
43 C 、0 D 、7
4 6、已知435522105)1()1()1()21(a a x a x a x a a x ++++++++=-，则 等于 A 、0 B 、-240 C 、-480 D 、960 7、执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的
A 、5),4,2(的值为输出i a ∈∀
B 、5),5,4(的值为输出i a ∈∃
C 、5),4,3(的值为
输出i a ∈∀ D 、5),4,2(的值为输出i a ∈∃ 8、已知函数)3sin(sin 2)(ϕ+=x x x f 是奇函数，其中)2
,
0(π
ϕ∈，则函数
)2cos()(ϕ-=x x g 的图像
A 、对称关于点)0,12
(
π
B 、可由函数)(x f 的图像向右平移
3
π
个单位得到 开始
S=0，i=1
S=S+2i-1
i=i+1
S>ai?
输出i
结束
是
否
C 、可由函数)(x f 的图像向左平移
6π
个单位得到 D 、可由函数)(x f 的图像向左平移3
π
个单位得到
9、已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意1)1(1)
()(,2
12121=->--<f x x x f x f x x ，且有，则不
等式|13|log 2|)13|(log 22--<-x x f 的解集为
A 、)0,(-∞
B 、)1,(-∞
C 、)3,0()0,1(⋃-
D 、)1,0()0,(⋃-∞ 10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 、
314 B 、5 C 、3
16 D 、6 11、已知点A 是抛物线2222)4(:)0(2:a y x C p px y M =-+>=与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a 。
若抛物线M 上的一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为 A 、2 B 、32 C 、
327 D 、6
2
7 12、已知函数2
7
21ln )(,174)(22+-=+++-
=x x x g x x x x f ，实数b a ,满足1-<<b a ，若),0(],,[21+∞∈∃∈∀x b a x ，使得)()(21x g x f =成立，则a b -的最大值为
A 、2
B 、32
C 、22
D 、3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13、甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙能达标的概率分别为
5
3
,32,43，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 。
14、过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点作与x 轴垂直的直线l ，直线l 与双曲线交
于A,B 两点，与双曲线的渐近线交于C,D 两点，若3|AB|=2|CD|，则双曲线的离心率为 。
15、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD PB 底面⊥，底面ABCD 是边长为2的正方形，若直线PC 与平面PDB 所成角为︒30，则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为 。
16、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，5
5
2cos ,sin 3==B c B a ，D 是AC 的中点，且26=BD ，则△ABC 的面积为 。
三、解答题。
17、（本小题满分12分）
已知公比小于1的等比数列}{n a 的前n 项和为3213133
2
,S a a S n ==且。
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T 。
18、在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，点P 是侧棱1CC 的中点。
（1）求证：PBD P A 平面⊥1；
（2）求平面111C CDD BP A 与平面所成锐二面角的余弦值。
19、为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望。
20、已知右焦点为F 的椭圆)3(13222>=+a y a x 与直线73
=y 相交于P 、Q 两点，且
QF PF ⊥
（1）求椭圆M 的方程；
（2）O 为坐标原点，A,B,C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探就△ABC 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
21、已知函数R a x x x e b a bx ax x f x
∈++--
-++=),22)(1(2
1
)()(22
，且曲线x x f y 与)(=轴相切于原点O.
（1）求实数b a ,的值；
（2）若0)()(2
≥-+∙n mx x x f 恒成立，求n m +的值。
23、已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面
直角坐标系，设直线l 的参数方程为)(21235为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 与直线l 相交于P,Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.
24、已知函数|2||1|)(-+-=x x x f . （1）求证：1)(≥x f ；
（2）若方程1
2)(2
2++=a a x f 有解，求x 的取值范围.。