第一轮复习教案：第4课时_二次根式

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2011年中考数学第一轮总复习学案(代数式第4课时)

第____周星期___第___节本学期学案累计: 课时上课时间:______ 签名：____我们的追求:让每位同学都得到发展我们的约定:我的课堂,我作主!课时4．二次根式【课前预测】1.（07福州）当{ EMBED Equation.DSMT4 |x___________时，二次根式在实数范围内有意义．2.（07上海）计算：__________．3.（06长春）计算：= _____________.4．下面与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．5.（08荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. B. C. D.【考点呈现】1．二次根式的有关概念⑴式子叫做二次根式．注意被开方数只能是．并且根式.⑵简二次根式被开方数所含因数是，因式是，不含能的二次根式，叫做最简二次根式．(3) 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质⑴ 0；⑵（≥0）⑶；⑶（）；⑷（）.3．二次根式的运算(1) 二次根式的加减：①先把各个二次根式化成；②再把分别合并，合并时，仅合并，不变.【考题例析】例1 （08芜湖）估计132202⨯+的运算结果应在（）A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间例2 计算：⑴（ 07台州）；【考题训练】1．（06南昌）计算：．2.（06南通）式子有意义的x 取值范围是________．3.（06海淀）下列根式中能与合并的二次根式为（）A ．B ．C ．D ．4．（08大连）若，则xy 的值为 ( )A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -5．在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是．6．（1）（06无锡）计算：º；（2）（08宜宾）计算：.﹡7．（08广州）如图，实数、在数轴上的位置，化简 .。

第4讲《二次根式》复习课教学设计

中考专题复习《二次根式》复习课教学设计一、教材分析《二次根式》是数学北师大版八年级上册第二章的内容。

本章内容是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，也是中考的必考内容。

它与“实数”、“整式”、“勾股定理”紧密联系，同时也是学习“解直角三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础。

本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等的探究，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。

本章内容不论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的。

二、学情分析由于新课内容结束离综合性复习时间较长，大多数学生对本章的知识都有遗忘，因此需要一个回顾、理解、归纳、巩固的过程。

同时，随着学生知识面的拓展以及一些章节中对二次根式的应用，学生对这一章的内容也有了更多的认识。

在复习时，应该说学生还是容易接受的。

另外，本章内容与整式、勾股定理联系紧密，因此在复习本章的同时，还要注意强调知识之间相互联系。

三、复习目标1．知识与技能目标（1）理解二次根式的概念和意义，并熟练掌握二次根式的性质和运算法则。

（2）会用二次根式的意义和性质进行化简和运算、求字母的取值范围。

（3）会运用二次根式的性质及运算，解决简单的实际数学问题。

2、过程与方法目标（1）经历梳理本章考点，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力。

（2）经历应用性质解决问题的过程，发展运算能力，体验数学的严谨性。

（3）经历本章的复习过程，渗透转化、分类讨论和类比等数学思想方法。

3、情感与态度目标（1）通过中考试题再现，吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，增加学生学习的信心，为完成本复习课打下良好的基础。

（3）通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又反过来应用于实际的辩证唯物主义思想。

四、教学重点、难点教学重点：运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系。

第4课时二次根式

第4课时二次根式【课标要求】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。

【知识要点】1.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含；⑵被开方数中不含； ⑶分母中不含。

2.同类二次根式：二次根式化成后，若被开方数，则这几个二次根式就是同类二次根式。

3.二次根式的性质：（1）a a =2（0≥a ）， ()a a =2（0≥a ）（2）（3）ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）；（4）()0,0>≥=b a ba ba4.二次根式的运算：【典型例题】【例1】（07，福州）当x ___________时，二次根式【例2】（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） A.【例3】（06合并的二次根式为（） A.【例4】（08，广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：【例5】计算÷a （a ＞0）==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；【课堂检测】▲1.（07，上海）计算：2=_________ _．▲2.化简：（1= ．（2）3＋（5－3）＝________ _.▲3.（08，黄冈）化简=__ ____。

▲4．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A.▲5. 若无理数a 满足不等式14<<a ，请写出两个符合条件的无理数__________ ___. ▲6.）A.1-▲7.（08，重庆）计算28-的结果是（）A.6B.6C.2D.2 ▲8．（08，聊城）下列计算正确的是（） A．=B．=C．3=D3=-▲9.函数1y x =-的自变量x 的取值范围为。

▲10.(08，益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在A. 4cm~5cm 之间B. 5cm~6cm 之间C. 6cm~7cm 之间D. 7cm~8cm 之间▲11.（08，芜湖）估计算结果应在（）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间 ▲12.（08，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A.a 2B.b 2C.b a +D.b a - ▲13.若2-a ＋3-b ＝0，则=-b a 2 。

中考数学第一轮复习(第4讲--数的开方与二次根式)

第十六，共44 。
【例题1】 (2012·浙江宁波)下列计算正确的是( )． A．a6÷a2＝a3 B．(a3)2＝a5
解析根据同底数幂的除法，幂的乘方，算术平方根，立方根运算
法则逐一计算作出判断：
A．a6÷a2＝a6－2＝a4≠a3，故本选项错误； B．(a3)2＝a3×2＝a6≠a5，故本选项错误；
第三十五，共44 。
【预测1】下列计算：
答案 C
第三十六，共44 。
【预测2】下列运算正确的是
( )．
答案 C
第三十七，共44 。
易错防范
第三十八，共44 。
数的开方、二次根式常见错误
第三十九，共44 。
【典型例题】
第四十，共44 。
第四十一，共44 。
第二十八，共44 。
A．a≠0
C．a＞－2或a≠0
B．a＞－2且a≠0 D．a≥－2且a≠0
答案 D
第二十九，共44 。
【预测3】下列二次根式中，最简二次根式是( )．
答案 B
第三十，共44 。
答案 C
第三十一，共44 。
解析考查二次根式和绝对值等非负数的性质，由已知得，x＝－3，y＝2 013，所以x＋y＝－3＋2 013＝2 010.
(3)混合运算：与实数的混合运算顺序相同．
状元笔记 (1)加减运算：需先化简，再合并；
(2)乘除运算：可先乘除，后化简．
第十四，共44 。
对接中考
第十五，共44 。
对接点一：平方根、立方根及算数平方根
常考角度
1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．

中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式

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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．

二次根式复习教案

二次根式复习教案教案标题：二次根式复习教案一、教学目标：1. 知识目标：复习二次根式的定义、性质和运算规律。

2. 能力目标：培养学生对二次根式的理解和运用能力，提高解决实际问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和创新意识。

二、教学重点和难点：1. 重点：二次根式的定义和性质，二次根式的加减乘除运算。

2. 难点：二次根式的运算规律和实际问题的应用。

三、教学内容和安排：1. 复习二次根式的定义和性质：引导学生回顾二次根式的定义，以及二次根式的性质，如同底数、同指数的二次根式可以合并为一个二次根式等。

2. 二次根式的加减运算：通过例题讲解，引导学生掌握二次根式的加减运算规律，特别是要注意化简和合并同类项。

3. 二次根式的乘除运算：通过例题讲解，引导学生掌握二次根式的乘除运算规律，特别是要注意分子分母的有理化和化简。

4. 实际问题的应用：通过实际问题的讨论和解答，引导学生将二次根式的知识应用到实际生活中，培养学生的问题解决能力。

四、教学方法和手段：1. 讲授法：通过讲解和示范，引导学生理解和掌握二次根式的定义、性质和运算规律。

2. 练习法：设计一定数量和难度的练习题，让学生巩固和应用所学知识。

3. 实践法：引导学生通过实际问题的讨论和解答，将二次根式的知识应用到实际生活中。

五、教学评价和反馈：1. 课堂练习：布置一定数量和难度的练习题，让学生在课后进行练习，及时发现和纠正错误。

2. 课堂表现：通过课堂讨论和练习的表现，及时评价和反馈学生的学习情况，鼓励优秀，帮助落后。

六、教学资源准备：1. 教学课件：准备相关的教学课件，包括二次根式的定义、性质和运算规律的示意图和例题。

2. 教学工具：准备黑板、彩色粉笔、教学实物等教学工具。

七、教学反思和改进：1. 教师要及时总结课堂教学的得失，反思教学方法和手段的有效性，不断改进教学内容和安排，提高教学质量。

2. 学生的学习情况要及时反馈给家长，与家长密切合作，共同关注学生的学习进步。

教育最新K12中考数学一轮复习第4课二次根式导学案

二次根式【考点梳理】： 1.二次根式：(1)定义: 一般地，形如√a 的代数式叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．（2）根号内不含分母（3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a 0b 0≥≥，）（2a 0b 0≥，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．【思想方法】非负性的应用【考点一】：二次根式有意义的条件【例题赏析】（2015•浙江滨州,第4题3分）如果式子有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】：先根据二次根式的意义，其有意义的条件是被开方数大于等于02x +6≥0，可解不等式得x ≥－3，因此可在数轴上表示为C . 故选C考点：二次根式的意义，不等式的解集【考点二】：二次根式的性质【例题赏析】（2015•四川资阳,第14题3分）已知：()260a +=，则224b b a--的值为_________．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．.分析：首先根据非负数的性质可求出a 的值，和2b 2﹣2b=6，进而可求出2b 2﹣4b ﹣a 的值．解答：解：∵（a+6）2+=0，∴a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0，解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3，可得2b 2﹣2b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为12．【考点三】：二次根式的运算【例题赏析】（1）（2015•安徽省,第2题，4分）计算8×2的结果是（） A ．10 B ．4 C ． 6 D ．2 考点：二次根式的乘除法．.分析：直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．解答：解：×==4．故选：B ．点评：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．（2）（2015•山东聊城,第14题3分）计算：（+）2﹣= 5 ．考点：二次根式的混合运算分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．（2）（2015·湖北省孝感市，第9题3分）已知32-=x ，则代数式3)32()347(2++++x x 的值是A ．0B ．3C ．32+D ．32-考点：二次根式的化简求值．.分析：未知数的值已给出，利用代入法即可求出．解答：解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x 2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．故选C ．点评：此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．【考点四】：二次根式的化简求值【例题赏析】（1）（2015•毕节市）（第16题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则﹣|a ﹣b|=﹣b ．考点：实数与数轴；二次根式的性质与化简．.分析：首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可化简．解答：解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，则﹣|a﹣b|=﹣a﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b，故答案为：﹣b．点评：本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴即可确定a，b的符号．（2）(2015年陕西省,16,5分)计算：×（﹣）+|﹣2|+（12）﹣3．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．解答：原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、【真题专练】1.（2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是23B．最小值是23C．最大值是32D．最小值是32．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是（）3.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（） A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠46.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b 满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．【真题演练参考答案】1.（2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是23B．最小值是23C．最大值是32D．最小值是32考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤23．故选：A．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．故选：B．点评：本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．解答：原式===4．故答案为：4点评：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是x≤3．考点：二次根式的性质与化简．.分析：根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．解答：∵=3﹣x，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．点评：本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=﹣a．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（）A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠4考点：函数自变量的取值范围．分析：首先根据当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，可得3﹣x≥0；然后根据自变量取值要使分母不为零，可得x﹣4≠0，据此求出函数y=+的自变量x的取值范围即可．解答：解：要使函数y=+有意义，则所以x≤3，即函数y=+的自变量x的取值范围是：x≤3．故选：A．点评：此题主要考查了自变量的取值范围，解答此题的关键是要明确：（1）当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．（2）当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．（3）当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．（4）对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．6.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．考点：二次根式的混合运算．分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．考点：三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．解答：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=2﹣=．故答案为：．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．考点：二次根式有意义的条件．.专题：计算题．分析：根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．解答：解：y=有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．故答案为：9．点评：本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：原式=÷=﹣•=﹣x+2，当x=2﹣时，原式=﹣2++2=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．考点：二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．解答：解：（1）原式=﹣4××1=2﹣=；（2）原式=[﹣]•=（﹣]•=•=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．。

二次根式教案【教学参考】

二次根式教案--【教学参考】一、教学目标：1. 让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算法则。

2. 培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣和自信心。

二、教学内容：1. 二次根式的概念与性质2. 二次根式的运算方法3. 二次根式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次根式的概念、性质和运算法则。

2. 教学难点：二次根式在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解二次根式的概念、性质和运算法则。

2. 利用例题，演示二次根式的运算过程。

3. 引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的实践能力。

4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得。

五、教学过程：1. 导入：通过生活实例，引入二次根式的概念。

2. 新课讲解：讲解二次根式的性质和运算法则，引导学生积极参与，提问解答。

3. 例题演示：挑选典型例题，演示二次根式的运算过程，分析解题思路。

4. 实践环节：让学生尝试解决实际问题，运用二次根式进行计算。

5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调二次根式在实际问题中的应用。

6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。

六、教学评价：1. 通过课堂表现、作业完成情况和小组讨论，评价学生对二次根式概念、性质和运算法则的理解掌握程度。

2. 结合学生解决实际问题的能力，评价其对二次根式的应用水平。

3. 收集学生反馈意见，了解教学方法的适用性，为改进教学提供依据。

七、教学拓展：1. 介绍二次根式在科学、工程等领域的应用，激发学生学习兴趣。

2. 引导学生探索二次根式的其他性质和运算规律，提高学生的数学思维能力。

3. 组织数学竞赛或小组竞赛，鼓励学生积极参与，提高学习积极性。

八、教学资源：1. 教材、教辅资料：提供二次根式的相关教材、教辅资料，方便学生复习巩固知识。

2. 网络资源：推荐相关数学网站、论坛，便于学生查阅资料、交流学习。

中考数学一轮复习第4讲二次根式教案

第4讲:二次根式一、复习目标1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质( a )2＝a (a ≥0)． 2．能用二次根式的性质2a ＝|a |来化简根式．3．能识别最简二次根式、同类二次根式．4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.二、课时安排1课时三、复习重难点1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质( a )2＝a (a ≥0)．2.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.四、教学过程（一）知识梳理二次根式概念1．形如________的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件要使二次根式a 有意义，则a 0.3、最简二次根式、同类二次根式概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．二次根式的性质1．(a)2＝a(______)．2．a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a≥0， a<0.3．ab＝______(a≥0，b≥0)．4．ab＝______(a≥0，b＞0)．二次根式的运算1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：a·b＝____(a≥0，b≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝____(a≥0，b＞0)．3、把分母中的根号化去掉(1)1a＝ (2)1a＋b＝（二）题型、方法归纳考点1 二次根式概念技巧归纳：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．考点2 二次根式的性质技巧归纳：1. a的非负性的意义；2. a3、比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．考点3 二次根式的运算技巧归纳：1、二次根式的性质，两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2、二次根式的加减乘除运算．2、此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．（三）典例精讲例1 1x有意义的x的取值范围是_____[解析]要使有意义，则1－x≥0，所以x≤1.点析：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．例2 已知实数x ，y 满||x －4＋y －8＝，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A. 20或16 B ．20 C ．16 D ．以上答案均不对解析：根据题意 x-4=0，y+8=0 解得x=4,y=8（1）若4是腰长，则三角形的三边长为4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选B ；例3、 12的负的平方根介于( )A ．－5与－4之间B ．－4与－3之间C ．－3与－2之间D ．－2与－1之间答案：B例4计算48÷3－12×12＋24 解析：先做二次根式的乘除运算，并化为最简二次根式，再合并同类二次根式．解：48÷3－12×12＋24＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋ 6. 点析：利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．例5 先化简，再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1·x x 2＋2x ＋1()x ＋12－()x －12其中x ＝12解：原式＝1x ()x ＋1·x ||x ＋14x ＝||x ＋14x ()x ＋1. ①当x ＋1＞0时，原式＝14x ②当x ＋1＜0时，原式＝－14x. ∵当x ＝12时，x ＋1＞0，∴原式＝12. 点析：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．例6 50－15＋220－45＋22解：原式＝52－55＋45－35＋22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35－55＝1122＋455. （四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握二次根式概念、性质及二次根式的运算。

中考数学一轮复习第4课二次根式导学案

二次根式【考点梳理】：1.二次根式：(1)定义:一般地，形如√a的代数式叫做二次根式.2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．（2）根号内不含分母（3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．5．二次根式的乘法、除法公式：（1a0b0≥≥，）（2a0b0≥，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．【思想方法】非负性的应用【考点一】：二次根式有意义的条件【例题赏析】（2015•浙江滨州,第4题3分）如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】：先根据二次根式的意义，其有意义的条件是被开方数大于等于02x+6≥0，可解不等式得x≥－3，因此可在数轴上表示为C.故选C考点：二次根式的意义，不等式的解集【考点二】：二次根式的性质【例题赏析】（2015•四川资阳,第14题3分）已知：()260a+=，则224b b--的值为_________．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．.分析：首先根据非负数的性质可求出a的值，和2b2﹣2b=6，进而可求出2b2﹣4b﹣a解答：解：∵（a+6）2+=0，∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，可得2b2﹣2b=6，则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为12．【考点三】：二次根式的运算【例题赏析】（1）（2015•安徽省,第2题，4分）计算8×2的结果是（）A．10 B．4 C． 6 D．2考点：二次根式的乘除法．.分析：直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．解答：解：×==4．故选：B．点评：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．（2）（2015•山东聊城,第14题3分）计算：（+）2﹣= 5 ．考点：二次根式的混合运算分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．（2）（2015·湖北省孝感市，第9题3分）已知32-=x，则代数3)32()347(2++++xx的值是A．0B．3C．32+D．32-考点：二次根式的化简求值．.分析：未知数的值已给出，利用代入法即可求出．解答：解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．故选C ．点评：此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．【考点四】：二次根式的化简求值【例题赏析】（1）（2015•毕节市）（第16题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则﹣|a ﹣b|=﹣b ．考点：实数与数轴；二次根式的性质与化简．. 分析：首先根据数轴即可确定a ，b 可化简．解答：解：根据数轴可得：b ＞0，a ＜0，且|a|＞|b|， ∴a ﹣b ＜0，则﹣|a ﹣b|=﹣a ﹣（b ﹣a ）=﹣a ﹣b+a=﹣b ，故答案为：﹣b ．点评：本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴即可确定a ，b 的符号．（2）(2015年陕西省,16,5分)计算：×（﹣）+|﹣2|+（12）﹣3．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8化简后合并即可．解答：原式=﹣+2+8 =﹣3+2+8 =8﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、【真题专练】1. （2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x 的（）A ．最大值是23 B ．最小值是23 C ．最大值是32 D ．最小值是32．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠13.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（）A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠46.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．【真题演练参考答案】1.（2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是23B．最小值是23C．最大值是32D．最小值是32考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤23．故选：A．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．故选：B．点评：本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．解答：原式===4．故答案为：4点评：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是x≤3．考点：二次根式的性质与化简．.分析：根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．解答：∵=3﹣x，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．点评：本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=﹣a．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（）A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠4考点：函数自变量的取值范围．分析：首先根据当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，可得3﹣x≥0；然后根据自变量取值要使分母不为零，可得x﹣4≠0，据此求出函数y=+的自变量x的取值范围即可．解答：解：要使函数y=+有意义，则所以x≤3，即函数y=+的自变量x的取值范围是：x≤3．故选：A．点评：此题主要考查了自变量的取值范围，解答此题的关键是要明确：（1）当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．（2）当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．（3）当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．（4）对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．6.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．考点：二次根式的混合运算．分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．考点：三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．解答：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=2﹣=．故答案为：．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．考点：二次根式有意义的条件．.专题：计算题．分析：根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．解答：解：y=有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．[来#源~:中国*&教@育出版网]故答案为：9．点评：本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：原式=÷=﹣•=﹣x+2，当x=2﹣时，原式=﹣2++2=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．考点：二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．解答：解：（1）原式=﹣4××1=2﹣=；（2）原式=[﹣]•=（﹣]•=•=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．。

初中数学二次根式复习课教案

二次根式复习课教案一、教学背景二次根式属于人教版初中数学九年级上教材中“数与代数”领域，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。

本章的主要内容有二次根式的概念、性质、运算和应用。

二、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二次根式的概念，二次根式的性质及运算法则。

（2）熟练运用二次根式的性质及运算法则。

2、过程与方法目标（1）夯实二次根式的性质、运算法则（2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳和概括能力。

3、情感、态度与价值观目标培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。

三、教学重难点重点：二次根式的性质与运算法则难点：利用数形结合的思想解决问题。

四、教学设计（一）创设情境学生利用思维导图对知识点进行系统复习，各组展示。

（二）探究复习1.基础达标：1（y>0）化为最简二次根式结果是（）．A（y>0）B y>0）C y>0）D．以上都不对2（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④3. 当x 在实数范围内有意义？4．已知，求x y的值．5，求a 2004+b 2004的值．6.计算（1）（2(231⎛+ ⎝（3）(08，荆门)（4）（08，庆阳）．()5()6⎛÷ ⎝2.能力提升1．_________．2. 已知〉xy 0，化简二次根式_________．3.如果 , 则x 的取值范围是。

1=-4.n m 、n 的值．（三）拓展思维如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）（四）小结通过这节课的学习，（1）谈谈你的收获；（2）提提你的疑惑。

二次根式的复习教案

二次根式的复习教案二次根式是数学中的一种运算形式，也是中学数学中的重要内容。

学生对于二次根式的理解和掌握程度直接影响到其对于数学整体的理解和应用能力。

因此，本教案将围绕二次根式的概念、性质和运算法则展开，帮助学生对二次根式有一个全面的复习和加深理解。

一、概念回顾1.二次根式的定义：如果a是正实数，那么形如√a的数就叫做二次根式。

其中，√a叫做二次根号，a叫做被开方数。

2.二次根式的简化：一个二次根式，如果被开方数a的因数中有一个是平方数，那么这个二次根式就可以简化。

3.二次根式的分解：一个二次根式，如果可以分解成两个因数的二次根式的乘积形式，那么这个二次根式就可以进行分解。

二、性质回顾1.二次根式的大小比较：如果a和b都是正实数且a<b，那么√a<√b。

2.二次根式的相加减：如果a和b都是非负实数，那么√a±√b=√(a±b)。

3. 二次根式的乘法：如果a和b都是非负实数，那么(√a)(√b)=√(ab)。

4.二次根式的除法：如果a和b都是非负实数，且b≠0，那么(√a)/(√b)=√(a/b)。

三、运算法则复习1.化简二次根式：将一个二次根式化简成最简形式。

2.合并同类项：将含有相同被开方数的二次根式合并为一个二次根式。

3.分解二次根式：将一个二次根式分解成两个因数的二次根式乘积形式。

4.有理化分母：将一个二次根式的分母有理化，即将其分母中的二次根式化简成有理数。

四、练习题设计1.计算以下二次根式的值：(1)√9；(2)√16；(3)√25；(4)√362.简化以下二次根式：(1)√8；(2)√18；(3)√32；(4)√753.计算以下表达式的值：(1)√16+√9；(2)√25-√16；(3)(2√5+√2)(√5-√2)；(4)(√3+√2)²。

4.将以下二次根式分解为两个因数的乘积形式：(1)√40；(2)√98；(3)√252；(4)√725.有理化以下二次根式的分母：(1)1/√3；(2)2/(√2+√5)；(3)(3+√2)/(√2-1)；(4)1/(√2-√3)。

二次根式的复习教案

二次根式的复习教案教案标题：二次根式的复习教案教学目标：1. 复习二次根式的基本概念和性质。

2. 强化学生对二次根式计算和简化的能力。

3. 提高学生对二次根式在实际问题中的应用能力。

教学步骤：引入活动：1. 引入二次根式的概念：将一个非负实数a开平方得到的结果称为二次根式，通常用√a表示。

知识讲解：2. 回顾二次根式的性质：a. √a * √b = √(a * b)b. √(a / b) = √a / √b，其中b ≠ 0c. (a ± b)² = a² ± 2ab + b²d. (√a ± √b)² = a ± 2√(ab) + b示例分析与练习：3. 通过示例，解释和计算二次根式的加减乘除运算。

a. 如√2 + √3 = √(2 + 2√6 + 3) = √(5 + 2√6)b. 如√5 - √2 = √(5 - 2√10 + 2) = √(7 - 2√10)c. 如(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -1d. 如(√5 + 2)(√5 - 2) = 5 - 4 = 1应用拓展：4. 将二次根式应用到实际问题中，如：问题1：甲班有10个学生，乙班有12个学生，那么两个班一共有多少学生？问题2：一个正方形的边长为√5 cm，求正方形的面积。

综合练习：5. 给学生一些综合练习题，帮助学生巩固对二次根式的计算、简化和应用能力。

概念复习与总结：6. 复习和总结二次根式的基本概念和运算规则，强调学生需要多做练习来提高能力。

扩展活动：7. 鼓励学生寻找更多关于二次根式的实际应用例子，并与同学分享。

课堂作业：8. 布置一些二次根式的作业题，要求学生综合运用所学知识解决问题。

教学资源：- 黑板/白板和书写工具- 二次根式的示例题和练习题- 教材和参考书籍这个教案的撰写目的是为了引导学生对二次根式进行复习和巩固，以提高他们的理解和应用能力。

第4课时：《二次根式》(1)——二次根式及二次根式的乘除运算

第1课时《二次根式》（1）——二次根式及二次根式的乘除运算【知识点拨】 1、二次根式：（1）概念：形如______的式子叫做二次根式。

（2）被开方数可以是数，也可以是式子，但必须为____________。

[例题1] 1、函数13--=x xy 中，自变量x 的取值范围是．【答案】3≤x 且1≠x2、下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（） A.x -2 B. 2+x C. 2-x D.21-x 【答案】C2、）（0≥a a 是一个________数。

[例题2]1、若20a -=，则2a b -= ．【答案】12、已知x 、y 为实数，且1y =，求x y +的值．【答案】解：由题意得，20090x -≥，且20090x -≥．∴2009x =， ∴1y =． ∴2010x y +=．3、二次根式的性质：（1）=2)(a ___________（________）；（2）⎩⎨⎧<≥=)0______()0______(2a a a[例题3]1、有一道练习题是：对于式子2a 后求值.其中a =小明的解法如下：2a 2a -2(2)a a --＝2a +2.小明的解法对吗？如果不对，请改正.【答案】解：小明的解法对不对.改正如下：由题意得，2a =(2)2a a =--=-+．∴2a 2a 2(2)a a --+＝32a -＝2．4、二次根式的乘法：（1）法则：=⋅b a ______（00≥≥b a ，），即两个二次根式相乘，把被开方数______，根指数_______。

（2）应用：=ab _______⋅（00≥≥b a ，）→二次根式的化简。

5、二次根式的除法：（1）法则：=ba _________（00>≥b a ，），即两个二次根式相除，把被开方数________，根指数______。

（2）应用：=ba________（00>≥b a ，）→二次根式的化简。

九年级数学复习案：第4课时二次根式.doc

【复习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念；2．了解二次根式、最简二次根式的概念，理解二次根式(a≥0)的双重非负性，能熟练化简二次根式．3．了解二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则，会运用它们进行有关的简单四则运算．【知识梳理】一、平方根、算术平方根、立方根1．若x2=a（a0），则x叫做a的，记作±；叫做算数平方根，记作。

2．平方根有以下性质：①正数有两个平方根，他们互为；②0的平方根是0；③负数没有平方根。

3．如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。

二、二次根式1．二次根式：一般地，我们把形如_______的式子叫做二次根式．2．最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式是最简二次根式：(1)被开方数中不含_______的因数或因式；(2)被开方数的因数是_______，因式是________．3.同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数几个二次根式，叫做同类二次根式．4．二次根式的性质：(1)二次根式 (a≥0)是一个_______数．(2)＝_______(a≥0)．(3)5．二次根式的乘除：(1)乘法法则：．＝_______ (a≥0，b≥0)．(2)除法法则：＝_______（a≥0，b>0）．6．二次根式的加减：先把各个二次根式化成_______，再把_______相同的二次根式进行合并．7．二次根式的混合运算的顺序与_______运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．（注：二次根式的运算结果一定要化成）【反馈练习】1．如果代数式有意义，那么x的取值范围是 ( )A．x≠3 B．x<3 C．x>3 D．x≥32．下列等式一定成立的是 ( )A．B．C．＝±3 D．－＝93．计算的结果为 ( )A．B．5 C．D．4．使式子有意义的最小整数m是_______．5．计算：(1)________；(2) ________．6．计算的结果是_______．7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为________．8．计算：．9．先化简，再求值：，其中．。

2020年中考第一轮复习教案--二次根式

教师集体备课教案4.(2018·广安中考)要使√x+1有意义，则实数x的取值范围是.知识点二：二次根式的相关概念一. 最简二次根式：1.满足被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式.2.最简二次根式需满足的两个条件：(1)被开方数中不含分母和小数.(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.二．同类二次根式1.二次根式合并的方法：(1)将每一个二次根式都化为最简二次根式；(2)把被开方数相同的二次根式合并.2. 能合并的二次根式的特点：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式能够合并，被开方数不相同，则不能合并.提醒：判断两个二次根式是否能够合并，必须化为最简二次根式后再判断.三.练习反馈：1.下列式子为最简二次根式的是( )A.√5B.√12C.√a2D.√1a2.下列二次根式中能与2√3合并的是()C.√18D.√9A.√8B.√13知识点三：二次根式的性质及应用一．基本概念1.(1)√a(a≥0)是非负数.(2)(√a)2=a(a≥0).(3)√a2=a(a≥0).(4)两个非负数的和为0，则这两个数都为0.2. 利用二次根式的性质进行化简要注意以下两点：(1)利用(√a)2=a时，要注意a≥0这一条件.(2)利用√a2=|a|时，要注意分a>0，a=0，a<0这三种情况.3.利用二次根式的非负性求代数式的值：(1)常见的三种非负数的形式：①√a；②a2；③|a|.(2)若这三种形式中的两种或三种相加等于0，则每一个都等于0，列出方程组，求出字母的值.提醒：不要出现√a2=a这样的错误.二．练习反馈1.若x，y为实数，且满足|x-3|+√y+3=0，则(xy )2020的值是( )A.1B.-1C.2020D.-20202.若√2≤a≤√3，则√a2-2a+1-|a-2|化简的结果是( )A.2a-3B.-1C.-aD.13.设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简√a2+|a+b|的结果是( )A.-2a+bB.2a+bC.-bD.b知识点：二次根式的运算一.二次根式运算的三步骤：(1)先进行二次根式的乘方运算；(2)再进行二次根式的乘除运算；(3)合并被开方数相同的二次根式.二．注意事项1.二次根式的运算的实质都是利用二次根式的性质和运算法则进行化简和运算.2.实数的运算顺序、运算律和整式的乘法公式对于二次根式的运算同样适用，在运算过程中能简化运算的要进行简化.3.(1)二次根式加减运算时，能合并的二次根式要合并，对于不能合并的二次根式也不能丢掉，它们也是结果的一部分. (2)运算的结果必须是最简二次根式. (3)运算结果中不能出现能合并的二次根式. 三.练习反馈1.下列计算正确的是 ( )A.3√10-2√5=√5B.√711·(√117÷√111)=√11C.(√75-√15)÷√3=2√5D.13√18-3√89=√22.计算6√5-10√15的结果是 .3.(1)(2017·西宁中考)计算：(2-2√3)2= . (2)计算：6√13-(√3+1)2= .4.用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入程序中，则输出的结果是 .过关检测1.式子√x -2x -3有意义的条件是 x ≥2且x ≠3 .2.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1-a |+√a 2的结果为 .3.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简√(a-1)2-|a|=____.4. 已知|a|=5，√b2=3，且ab>0，则a+b的值为.5.化简：√a2-4a+4(a<2).6.已知x=√2-1，y=√2+1，求xy +yx的值7.已知x=3+2√2，y=3-2√2，求x2+y2的值.作业布置：精炼本练习二。

第4课：二次根式复习学案

第4课：二次根式主备：袁泉审核：盛莉莉一、中考要求：了解二次根式的概念，会用运算法则进行有关实数的简单四则运算。

二、知识要点： 1．二次根式的有关概念 ⑴式子)0(≥a a 叫做二次根式．只有当a 0才有意义，当a 0⑵最简二次根式定义：如果一个二次根式满足以下三个条件，（1）分母中不含有；（2）被开方数不含有；（3）被开方数中不含； (3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ⑴； ⑵()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；⑶ =ab （0,0≥≥b a ）；⑷ =ba （0,0>≥b a ）.3．二次根式的运算(1) 二次根式的加减：可以先将二次根式化成，再将二次根式进行合并. （2）加减法法则：a n m a n a m )(±=± 三、典例剖析：例1 ⑴a 的取值范围是（）A ．1a <B ．a≤1C ．a≥1D ．1a >）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间(3)已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（）A ．12B ．11C ．8D ．3 例2 下列根式中属最简二次根式的是（）例3计算：⑴(π1)+； ⑵ 8＋()31-－2×22．（3）（－2011）0+（22）－1－22-－2cos600（4）a （a ＋2）－ a 2b b ；例4 若x ，y 是实数，且2111+-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值随堂演练：1.当x ___________在实数范围内有意义． 2. 已知4423+-=+x x x x ，求x 的范围是3. 若无理数a 满足不等式14<<a ，请写出两个符合条件的无理数_____________.4. 化简22)4(2510x x x --+-=____________________． 5= ．6.x 取值范围是________． 7的点的距离最近的整数点所表示的数是． 8．若整数m 满足条件2)1(+m ＝1+m 且m ＜52，则m 的值是．9．化简：27－12＋43＝_____ 10是同类二次根式的是（）ABCD 111.合并的二次根式为（）ABCD12．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（）A．2＝a D13的结果是( )A．3 B．－3 CD．14．若a＜11＝（）A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a15.函数y ＝x-2＋31-x中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x ≠3 D．x ≤2且x≠316．下列计算正确的是（）A、20=102 B、632=⋅ C、224=-D3=-17．计算1691+36254之值为（）A、2125B、3125C、4127D、512718．下列各式中，运算正确的是（）A=B．=C．632a a a÷=D．325()a a=19的结果是（）A．3 B．3-C．3±D．920. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是 5 ，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A．代人法 B．换元法C．数形结合 D．分类讨论21．若baybax+=-=,，则xy的值为( )A．a2 B．b2 C．ba+ D．ba-22．（1）计算：0(tan45π-+º；（2）︒---+-45tan2)510()31(401（3）4cos30+°（4）21)12()13)(31()51(+--++--（5）0011)452-+-（6）|－1|－128－（5－π）0+4cos45°23．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简24．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）请在网格图1中画出一个三边长分别为3，22，5的三角形，并求出它的面积．（2）请在网格图2中画出一个三边长均为无理数，且面积为23的钝角三角形．。

中考数学第4讲二次根式复习教案1新版北师大版

课题：二次根式教学目标：1．了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．教学重难点：熟练掌握二次根式的计算．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、课前热身，知识回现活动内容：题组训练热身1x 的取值范围是（）A ．x ≥－12B ．x ≥12C ．x ≤－12D ．x ≤122．下列根式中是最简二次根式的是（）A B C D 3．下列运算正确的是（）AC ．21)31=-D ．1=4= ．处理方式：课前利用3~5分钟时间进行练习，学生结合导学案独立完成，然后公布答案，教师通过统计测试结果，针对学生出现的问题，适当调整本节课的复习侧重点．进行4道简单的题目测试，期中，第1题为“理解二次根式有意义的条件”，第2题为“理解最简二次根式的概念”，第3、4题为“了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有管简单的四则运算”．设计意图：意在突出三方面作用：一、让学生对本节课所要回顾的内容有初步的感受，并引导学生根据自我认知情况构建知识体系；二、教师通过测试结果的反馈，及时了解学情并调整复习的侧重点；三、引出下列复习目标．二、目标引领，考纲解读1．了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．处理方式：多媒体显示，找学生朗读．其余学生默读目标.然后结合知识网络图建构知识.设计意图：站在中考的高度，让学生明确本课的考试要求，这样既引起了学生的重视，又能给学生起到很好的导航作用，复习就有了明确的目标.三、考点剖析，知识再现活动内容：以题引知识点知识点1：二次根式的有关概念及其有意义的条件x x的取值范围是（）课前测试：121A ．x ≥－12B ．x ≥12C ．x ≤－12D ．x ≤12一般地，形如（）的形式叫做二次根式．知识点2：最简二次根式的概念课前测试2．下列根式中是最简二次根式的是（）A B C D 最简二次根式需满足以下两个条件：被开方数不含；被开方数不含的因数或因式．知识点3：二次根式的运算课前测试3．下列运算正确的是（）A ==C ．21)31=-D ．1=4= ．二次根式的运算法则：2= （a ≥0）；=ab （0,0≥≥b a ）；=ba （0,0>≥b a ）. 实数的运算法则、运算律在二次根式中仍然适用．处理方式：结合课前测试的试题，引出知识点，并进行细致讲解．其中：知识点1学生直接回答并填空，注意强调被开方数的非负性．教师追问：“那么的结果会是负数吗？”，进而得出二次根式的双重非负性，即00a 且（≥）”，然后加入变式练习．练习：若实数x ，y 2(0y -=，则xy 的值是．知识点2教师引导学生逐一分析，其中A 根号下含有分母，B 为最简二次根式，C 根号下小数可化为分数，D 中含有开方开的尽的因数．从而引出最简二次根式的概念，并由学生总结填空．知识点3对于第3题，教师需要引导学生逐一分析，其中A 渗透同类二次根式概念，B 为正确答案，C 和D 强调乘法运算公式仍然适用．对于第4题，教师可引导学生利用多种方法计算．从而引出二次根式的运算法则，并由学生总结填空．教师追问：“我们知道2()a a=（a≥0），那么2a也等于a吗？a可以是负数吗？如果a是负数结果会怎样呢？”，学生独立思考，并由学生回答得到“2(0)||(0)a aa aa a⎧==⎨-⎩≥＜”，然后追加变式练习．练习：实数a、b在数轴上的位置如图所示，则2()b a-的结果为．设计意图：本环节为本节课的重点环节，意在以题目引出知识点，将课前测试的效果发挥出来，教师可以根据课前测试的结果有的放矢，随时调整讲课思路，让课堂更加高效．四、考点训练、能力提升活动内容：巩固基础，提升难度基础题：1．要使式子11mm+-有意义，则m的取值范围是（）A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＞－1且m≠1 D．m≥－1且m≠12．下列根式中属最简二次根式的是（）A．21a+ B.12C.8D.273．计算：12718123--提高题：4．已知a为实数，那么2a-等于（）A．－a B. a C. ±a D. 05．计算：011244(12)38⨯-⨯⨯-6．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简222()a b a b---.处理方式：学生自己独立完成基础题，学有余力的同学可以继续完成提高题，学生完成后可自由讨论．教师也可根据实际情况进行题目取舍．完成后学生可投影展示，学生讲解，其中第1~3题对应三个知识点，4~6题对应其变式练习与综合应用．在讲解时，教师重点关注学生前面没掌握好的知识点的相关题目，和学生做错的题目．设计意图：通过巩固练习，让学生对于所学的内容进行再次巩固，并通过提高题目增加自己的解题能力以及提高对知识的理解，也可以再次查缺补漏，让全体学生再一次得到锻炼．五、课堂小结，内敛升华问题1：在本节课的学习中，你对二次根式有什么新的认识？问题2：本节课你还有哪些地方存在疑惑？处理方式：学生交流，教师点拨，达成共识在发挥学生的主观能动性的同时，不要忽略教师的主导作用．设计意图: 发挥学生的主观能动性，提高学生统计的意识和分析数据的能力，学会用数学的眼光看世界．六、课堂检测，布置作业必做题：1．（2014·湖州）二次根1x -中字母x 的取值范围是（） A ． x ＜1 B ． x ≤1 C ． x ＞1 D ． x ≥12．（2014·泉州）已知：m 、n 为两个连续的整数，且m ＜11＜n ，则m ＋n ＝．3．（2014·荆门）计算：011244(12)38⨯-⨯⨯-．选做题：4．实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a |＞|b |，则化简2||a a b -+的结果为（）A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b512132()(551)(12)4---+．课后作业：中考复习丛书P 17—— P 18设计意图：作业的设计突出层次性，满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况．以便为下一节课的教学做准备．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF＝()A．12 B．8 C．4 D．32．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°3．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．1000100030x x-+=2 B．1000100030x x-+=2C．1000100030x x--=2 D．1000100030x x--=24．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．cos30°=（）A．12B．22C．32D．36．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为33m，则鱼竿转过的角度是（）A．60°B．45°C．15°D．90°7．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间8．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（）A．y=3x B．y=﹣3x C．3yx=D．3yx=-9．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．1110．下列图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．11．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（）A ．正方体B ．球C ．圆锥D ．圆柱体12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（）A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）D ．（―1，2）或（1，―2）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）14．一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m 个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m 的值约为__________．15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线y=k x（x ＞0）同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为1，∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______．16．如图，矩形ABCD 面积为40，点P 在边CD 上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，足分别为E ，F ．若AC ＝10，则PE+PF ＝_____．17．函数y ＝2x -中，自变量x 的取值范围是_________． 18．如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 两边中线，则EDC ABC S S V V =_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线．求证：△ADE ≌△CBF ；若∠ADB 是直角，则四边形BEDF 是什么四边形？证明你的结论．20．（6分）如图，点C 在线段AB 上，AD ∥EB ，AC ＝BE ，AD ＝BC ，CF 平分∠DCE ．求证：CF ⊥DE 于点F ．21．（6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ．过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：DE 是⊙O 的切线；当⊙O 半径为3，CE ＝2时，求BD 长．22．（8分）某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实每月生产量与计划量相比情况如下表（增加为正，减少为负）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，增加或减少多少？ 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()10y kx b k =+≠与反比例函数()20m y m x=≠的图像交于点()3,1A 和点B ，且经过点()0,2C -. 求反比例函数和一次函数的表达式；求当12y y >时自变量x 的取值范围.24．（10分）在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 是边AD 上一点，EM ⊥EC 交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．25．（10分）先化简22211111x x xxx x-+-⎛⎫÷-+⎪-+⎝⎭，然后从﹣5＜x＜5的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．26．（12分）作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）27．（12分）如图，已知一次函数y=32x﹣3与反比例函数kyx=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．填空：n的值为，k的值为；以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；考察反比函数k yx =的图象，当2y≥-时，请直接写出自变量x的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．【详解】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG=BD，PE=HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ABC的周长为12，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=13×12=4，故选C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．2．C【解析】【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．3．A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．4．C【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故选C ．点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识. 5．C【解析】【分析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.【详解】cos30︒=故选C.【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成. 6．C【解析】试题解析：∵sin ∠CAB=62BC AC == ∴∠CAB=45°．∵B C sin C AB AC '''∠===' ∴∠C′AB′=60°．∴∠CAC′=60°-45°=15°，鱼竿转过的角度是15°．故选C ．考点：解直角三角形的应用．7．A【解析】【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝1+5m＞1，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞1．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．8．B【解析】试题分析：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；C、3yx=，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；D、3yx=-，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；故选B．考点：反比例函数的性质；正比例函数的性质．9．B【解析】试题解析：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=1．故选B．10．B【解析】根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.【详解】A、C是中心对称图形，但不是轴对称图形；B是轴对称图形；D不是对称图形.故选B.【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义.11．D【解析】【分析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．故选D．【点睛】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．12．D【解析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA' OA＝1 3.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.考点：位似变换.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .故答案为>14．3【解析】【分析】在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答.【详解】解:根据题意得，10m ＝0.3，解得m ＝3. 故答案为:3.【点睛】本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.15．15 +【解析】【分析】分析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=1，OM=AN=k，求出B（1+k，k﹣1），得出方程（1+k）•（k﹣1）=k，解方程即可．详解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵∠AOB=∠OBA=45°，∴OA=BA，∠OAB=90°，∴∠OAM+∠BAN=90°，∴∠AOM=∠BAN，∴△AOM≌△BAN，∴AM=BN=1，OM=AN=k，∴OD=1+k，BD=OM﹣BN=k﹣1∴B（1+k，k﹣1），∵双曲线y=kx（x＞0）经过点B，∴（1+k）•（k﹣1）=k，整理得：k2﹣k﹣1=0，解得：15+（负值已舍去），故答案为15．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形. 【详解】请在此输入详解！16．4【解析】【分析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO，由S△DCO=S△DPO+S△PCO，可得PE+PF的值．【详解】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，∵四边形ABCD是矩形∴AO=CO=5=BO=DO，∴S△DCO=14S矩形ABCD=10，∵S△DCO=S△DPO+S△PCO，∴10=12×DO×PF+12×OC×PE∴20=5PF+5PE∴PE+PF=4故答案为4【点睛】本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键．17．x≤1且x≠﹣1【解析】【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得结论．【详解】根据题意，得：2020x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得：x≤1且x≠﹣1．故答案为x≤1且x≠﹣1．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18．14【解析】【分析】利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题；【详解】∵AE=EC ，BD=CD ，∴DE ∥AB ，DE=12AB ， ∴△EDC ∽△ABC ， ∴EDC ABC S S V V ＝21()4ED AB =，故答案是：14．【点睛】考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）证明见解析；（2）若∠ADB 是直角，则四边形BEDF 是菱形，理由见解析.【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，即可得AD=BC ，AB=CD ，∠A=∠C ，又由E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，可证得AE=CF ，然后由SAS ，即可判定△ADE ≌△CBF ；（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BEDF是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，{AD BC A C AE CF=∠=∠=，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形，连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF∥AE，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是菱形．【点睛】1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、菱形的判定20．证明见解析．【解析】【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．【详解】∵AD∥BE，∴∠A＝∠B．在△ACD和△BEC中∵，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC＝CE．∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE（三线合一）．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．21．（1）证明见解析；（2）BD＝3【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD 平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CDBD AB，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴CE CD BD AB=，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD62⨯＝3【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．22．（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆；（2）半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【解析】【分析】（1）由表格可知，四月生产最多为：20+4=24；六月最少为：20-5=15，两者相减即可求解；（2）把每月的生产量加起来即可，然后与计划相比较.【详解】（1）+4－（－5）=9（辆）答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆.（2）20×6+［+3+(－2)+(－1)+(+4)+(+2)+(－5)］=120+(+1)=121（辆），因为121＞120 121-120=1（辆）答：半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，此题主要考查有理数的加减运算法则．23． (1) 3y x =，2y x =-；（2）10x -<<或3x >. 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入()m y m 0x=≠可求出m 的值即可得反比例函数解析式；把点A 、点C 代入()1y kx b k 0=+≠可求出k 、b 的值，即可得一次函数解析式；（2）联立一次函数和反比例函数解析式可求出点B 的坐标，根据图象，求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x 的取值范围即可．【详解】（1）把()A 3,1代入()m y m 0x=≠得m 3=. ∴反比例函数的表达式为3y x = 把()A 3,1和()B 0,2-代入y kx b =+得132k b b=+⎧⎨-=⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为y x 2=-.（2）由3x 2y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得()B 1,3--∴当1x 0-<<或x 3>时，12y y >.【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．24．（1）见解析；（2）4924；（1）DE 的长分别为92或1．【解析】【分析】（1）由比例中项知AM AE AE AN＝，据此可证△AME ∽△AEN 得∠AEM ＝∠ANE ，再证∠AEM ＝∠DCE 可得答案；（2）先证∠ANE ＝∠EAC ，结合∠ANE ＝∠DCE 得∠DCE ＝∠EAC ，从而知DE DC DC AD ＝，据此求得AE ＝8﹣92＝72，由（1）得∠AEM ＝∠DCE ，据此知AM DE AE DC＝，求得AM ＝218，由求得AM AE AE AN ＝MN ＝4924；（1）分∠ENM ＝∠EAC 和∠ENM ＝∠ECA 两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴AM AE AE AN＝， ∵∠A ＝∠A ，∴△AME ∽△AEN ，∴∠AEM＝∠ANE，∵∠D＝90°，∴∠DCE＋∠DEC＝90°，∵EM⊥BC，∴∠AEM＋∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC＋∠AEN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ANE＋∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴DE DC DC AD＝，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝92，∴AE＝8﹣92＝72，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴AM DE AE DC＝，∴AM＝218，∵AM AE AE AN＝，∴AN＝143，∴MN＝49 24；（1）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝92；②∠ENM＝∠ECA，如图1，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，又tan∠HAE＝68 EH DCAH AD＝＝，设DE＝1x，则HE＝1x，AH＝4x，AE＝5x，又AE＋DE＝AD，∴5x＋1x＝8，解得x＝1，∴DE＝1x＝1，综上所述，DE的长分别为92或1．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．25．1x-,x=-2时,原式=12【解析】分析：先把22211x xx-+-的分子、分母分解因式，把1x11xx--++通分，然后把除法转化为乘x中取一个使分式有意义的数代入到化简后的式子中计算即可.详解：22211x111x x xx x-+-÷-+-+，=()()()()()1?111111x x x xx x x----+÷+-+，=()()()21?11111x xx x x x-++---+n，=()()()()1?1111x xx x x x-++--n，=1 x -.当x=-2时，原式=1122 -=-.点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键，本题也考查了分式有意义的条件，取值时不能取-1,0，1三个数.26．见解析【解析】【分析】先作出∠ABC 的角平分线，再连接AC ，作出AC 的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．【详解】①以B 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC 、AB 于D 、E 两点；②分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 为半径画圆，两圆相交于F 点； ③连接AF ，则直线AF 即为∠ABC 的角平分线； ⑤连接AC ，分别以A 、C 为圆心，以大于12AC 为半径画圆，两圆相交于F 、H 两点； ⑥连接FH 交BF 于点M ，则M 点即为所求．【点睛】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．27． (1)3，1；133)；(3) x 6≤-或x 0>【解析】【分析】（1）把点A （4，n ）代入一次函数y=32x-3，得到n 的值为3；再把点A （4，3）代入反比例函数k y x=，得到k 的值为1；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B 的坐标为（2，3），过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，根据勾股定理得到13AAS 可得△ABE ≌△DCF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D 的坐标；（3）根据反比函数的性质即可得到当y≥-2时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=32x-3，可得n=32×4-3=3；把点A（4，3）代入反比例函数kyx=，可得3=4k，解得k=1．（2）∵一次函数y=32x-3与x轴相交于点B，∴32x-3=3，解得x=2，∴点B的坐标为（2，3），如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，∵A（4，3），B（2，3），∴OE=4，AE=3，OB=2，∴BE=OE-OB=4-2=2，在Rt△ABE中，22223123AE BE++==∵四边形ABCD是菱形，∴13AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴∠AEB=∠DFC=93°，在△ABE与△DCF中，AEB DFCABE DCFAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴CF=BE=2，DF=AE=3，∴∴点D的坐标为（3）．（3）当y=-2时，-2=12x，解得x=-2．故当y≥-2时，自变量x的取值范围是x≤-2或x＞3．。

第一轮复习教案：第4课时_二次根式

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