勾股定理+进才北校+章慧
勾股定理+进才北校+章慧
勾股定理的应用进才中学北校章慧教学目标：1、通过对一些典型题目的思考、解答，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，加深对勾股定理的理解应用。
2、会用勾股定理解决一些简单的实际问题,逐步渗透“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
3、在勾股定理应用的学习中感受人类文明的力量和中华民族对人类文明的贡献，并了解勾股定理的重要性。
4、积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱祖国，尊重科学的高尚品质。
教学重点难点：勾股定理的应用，分析思路，渗透数学思想教学过程：一、情境引入：我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形．【设计说明】通过这样一系列的问题，抓住了学生的注意力，“古老的勾股定理，竟然成为了，我们与外星人之间的联络密码!”学生在感叹人类古老文明的同时体会到勾股定理的重要性。
教师再通过一系列生活中随处可见的直角三角形实例，引起学生的共鸣，这是一条非常实用的几何定理。
二、新课探索：1、斜拉桥上可以看到许多直角三角形如果知道桥面以上的索塔AB的高，怎么计算各条拉索AC、AD、AE……的长？【设计说明】在接下去的教学中教师把勾股定理的实际应用放在比较突出的位置，学生通过对一些典型题目的思考、解答，正确、熟练的进行勾股定理有关计算，加深对勾股定理的理解应用。
教师带领着学生们从横跨浦江两岸的斜拉桥到无障碍设施的改造到飞机的行李箱，巧妙的从水上到陆地到空中，让学生真切感受到勾股定理和我们日常生活密不可分，有着无穷的生命力。
2、如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？3、机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体空间。
一位旅客携带一件长60cm的画卷，这件画卷能放入行李架吗？4、《九章算术》勾股章第6题《引葭(jiā)赴岸》“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”【设计说明】中国古代数学家较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许多独到之处．借着书上例3《九章算术》勾股章第6题：引葭(jiā)赴岸，师生互动，一起理解题意，分析数量关系，感受题目中折射出的方程思想、数形结合思想和我国古人简练而准确的数学语言。
上海进才中学北校九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
上海进才中学北校九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.2．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．4．已知：如图，抛物线2134y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：34y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，ACE △的外心是P ．（1）求m ，n 的值．（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）5．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④．（探究）（1）证明：OBC ≌OED ；（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．点D 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ．设点D 的横坐标为(04)m m <<．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）线段DE 的长用含m 的式子表示为 ；（3）以DE 为边作矩形DEFC ，使点F 在x 轴负半轴上、点G 在第三象限的抛物线上． ①如图2，当矩形DEFC 成为正方形时，求m 的值；②如图3，当点O 恰好是线段EF 的中点时，连接FD ，FC ．试探究坐标平面内是否存在一点P ，使以P ，C ，F 为顶点的三角形与FCD ∆全等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 A (-1，0) ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，点D 为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式；（2）已知经过点A 的直线y ＝kx +b (k >0)与抛物线在第一象限交于点E ，连接AD ，DE ，BE ，当2ADE ABE S S ∆∆=时，求点E 的坐标．（3）如图2，在（2）中直线AE 与y 轴交于点F ，将点F 向下平移233+个单位长度得到Q ，连接QB ．将△OQB 绕点O 逆时针旋转一定的角度α（0°<α<360°）得到OQ B ''，直线B Q ''与x 轴交于点G ．问在旋转过程中是否存在某个位置使得OQ G '是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 6(1)求a 、c 满足的关系式；(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．①求抛物线的解析式；②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12S S ．9．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．10．（问题发现）（1）如图①，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC +ED 的最小值是 ．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B （3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A 、⊙B ，M 、N 分別是⊙A 、⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，试求PM +PN 的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB 长为2米，边框BC 长为3米，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝90°，联动杆DE 长为2米，联动杆DE 的两端D 、E 允许在AD 、CE 所在直线上滑动，点G 恰好是DE 的中点，点F 可在边框BC 上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF 与FG 长度和的最小值并说明理由．11．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH ⊥AE 于H ，设直线DH 交AC 于N ．(1)如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO ；(2)如图2，当M 在线段OD 上，连接NE 和MN ，当EN//BD 时，①求证：四边形DENM 是菱形；②求证：BM ＝AB ；(3)在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE ⊥BC 时，求证：AN 2＝NC ⋅AC ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．13．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20n y n x=<上，AD// BC//y 轴. (I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由；(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.14．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．16．已知，在平面直角坐标系中，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()1,0．（1）如图1，分别求b c 、的值；（2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，连接DO 并延长交抛物线于点E ，3OD OE =，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 为第一象限的抛物线上一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，连接EP 、EH ，点Q 为第二象限的抛物线上一点，且点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称，连接PQ ，设2AHE EPH α∠+∠=，tan PH PQ α=⋅，点M 为线段PQ 上一点，点N 为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH NH 、，满足60MHN ∠=︒，MH NH =，过点N 作PE 的平行线，交y 轴于点F ，求直线FN 的解析式．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60︒的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，270A C ∠+∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =，求证：四边形ABCD 是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD 中，AB AD =，60BAC BCD ∠=∠=︒，4BC =，3CD =，求AC 的长；（3）如图3，在ABC 中，45A ∠=︒，120ABC ∠=︒，33AB =-，设D 是ABC 所在平面内一点，当四边形ABCD 是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD 的面积．19．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标；（3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N的纵坐标y关于横坐标x的函数关系式；②直接写出N点的运动轨迹长度为．20．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝13AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为934，求线段AC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（2）证明见解析（3）P1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。
上海进才中学北校八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试(包含答案解析)
一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，AB =A D ．若这个四边形的面积为16，求BC +CD 的值是（ ）A ．6B ．8C ．42D ．432．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和3（m <3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ） A ．m 2+6m +9＝0B ．m 2﹣6m +9＝0C ．m 2+6m ﹣9＝0D ．m 2﹣6m ﹣9＝03．下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A ．6，8，10B ．1，2，3C ．43，1，53D ．2，4，64．如图，在ABC 中，AB AC =，8BC cm =，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，D 为AE 上一点，且ACD CAD ∠=∠，3DE cm =，连接CD ．过点作DF AB ⊥，垂足为点F ．则下列结论正确的有（ ）①5CD cm =；②10AC cm =；③3DF cm =；④ACD △的面积为210cmA ．1B ．2C ．3D ．45．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米6．如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ABE △的面积为（ ）2cm ．A ．12B ．10C ．6D ．157．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A ．10πcmB ．20πcmC ．2cmD ．2cm8．已知实数a ，b 为ABC 2a 1b 4b 40--+=，第三边c 5=第三边c 上的高的值是( ) A 554B 455C 55D 2559．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h =10．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+4n -＝0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ）A ．5B ．5或7C ．12D ．12或7+711．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．4.6D ．2512．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）A ．EDA CEB S S =△△ B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△D ．AECD DEBC S S =四边形四边形二、填空题13．长方形零件图ABCD 中，2BC AB =，两孔中心M ，N 到边AD 上点P 的距离相等，且MP NP ⊥，相关尺寸如图所示，则两孔中心M ，N 之间的距离为__________mm ．14．如图，数轴上点A 表示的数是__________．15．已知ABC 中，90C ∠=︒，2cm,6cm AB AC BC =+=，则ABC 的面积为_______．16．已知：如图，ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．17．如图，在53⨯的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，则ABC ACB ∠+∠=_________．18．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，27AB =，10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．19．如图，△DEF 为等边三角形，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上一点，且∠C ＝60°，AD 3BD 5=，AE ＝7，则AC 的长为_________．20．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB ＝24cm ，BC ＝12cm ，BF ＝7cm ，点M 在棱AB 上，且AM ＝6cm ，点N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为_______．三、解答题21．观察下边图形，每个小正方形的边长为1．（1）则图中阴影部分的面积是_______，边长是_______，并在数轴上准确．．地作出表示阴影正方形边长的点．（2）已知x 为阴影正方形边长的小数部分．．．．，y 15．．．．． 求：①,x y 的值； ②2()x y 的算术平方根．22．已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90° （1）若D 为△ACB 内部一点，如图，AE ＝BD 吗？说明理由 （2）若D 为AB 边上一点，AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长23．阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾股数．数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长a ，b ，c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．mnabc2 1345 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 3 7 24 25 5 2 21 20 29 5 4 9 40 416 1 35 12 37 6 5 11 60 61 7 2 45 28 53 7 4 33 56 65 76138485通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数a b c ，，可以写成()2222mn b m n -+，，．解答下列问题：（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________． （2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________．（3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )24．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A C B A ---运动．设点P 的运动时间为t 秒()0t >． （1）求AC 的长及斜边AB 上的高． （2）当点P 在CB 上时，①CP 的长为______________（用含t 的代数式表示）． ②若点P 在BAC ∠的角平分线上，则t 的值为______________． （3）在整个运动过程中，直接写出BCP 是等腰三角形时t 的值．25．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度CD ，他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45︒，再沿AC 方向前进60m 到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60︒，求CD 的高度（结果保留根号）26．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别用a 、b 、c 来表示，且a 、b 、c 满足关系40a -+|a ﹣b +1|+（c ﹣9）2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】本题可通过作辅助线进行解决，延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解． 【详解】解：延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，∵∠ABE=∠BAC+∠ACB ， ∠D=180°-∠DAC-∠DCA ， ∵∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°-∠DAC+90°-∠DCA=180°-∠DAC-∠DCA ， ∴∠ABE=∠D ， 在△ABE 和△ADC 中，BE DC ABE D AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ADC(SAS)， ∴AE=AC ，∠EAB=∠DAC ， ∴∠EAC=90°，∴S △AEC =12AE 2=14CE 2， ∵S △AEC =S 四边形ABCD =16，∴14CE 2=16， ∴CE=8，∴BC+CD=BC+BE=CE=8， 故选：B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，面积及等积变换问题；巧妙地作出辅助线，把四边形的问题转化为等腰直角三角形来解决是正确解答本题的关键．2．C解析：C 【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m 2+m 2＝（3﹣m ）2，整理即可解答． 【详解】 解：如图，m 2+m 2＝（3﹣m ）2， 2m 2＝32﹣6m +m 2， m 2+6m ﹣9＝0． 故选：C ． 【点睛】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．3．D解析：D 【分析】直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可； 【详解】A 、2226810+=，能组成直角三角形；B 、222123+= 能组成直角三角形；C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形； D 、222264+≠ ，不能组成直角三角形．故选：D ． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键；4．B解析：B 【分析】根据AB AC =，AE 平分BAC ∠，得AE BC ⊥，12BE EC BC ==，从而得CD ，结合ACD CAD ∠=∠，得AD CD =，从而计算得AE ；连接BD ，通过证明BED CED △≌△，得BD CD AD ==，通过勾股定理得DF ，即可完成求解． 【详解】∵AB AC =，AE 平分BAC ∠∴AE BC ⊥，142BE EC BC ===∴2222345CD DE EC =+=+=∵ACD CAD ∠=∠∴5AD CD ==cm ，故①正确； ∴8AE AD DE =+= ∴22224845AC EC AE =+=+=cm ，故②错误；∴45AB AC ==如图，连接BD∵90DE DE DEB DEF BE EC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴BED CED △≌△ ∴BD CD = ∴5BD CD AD === ∵DF AB ⊥ ∴1252AF BF AB === ∴()22225255DF AD AF =-=-=cm ，故③错误；∴11541022ACD S AD EC =⨯=⨯⨯=△cm ，故④正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．5．B解析：B 【分析】把圆柱沿着点A 所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 【详解】把圆柱沿着点A 所在母线展开，如图所示， 作点A 的对称点B ，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.6．C解析：C【分析】设AE=x，由折叠BE=ED=9-x，再在Rt△ABE中使用勾股定理即可求出x，进而求出△ABE的面积．【详解】解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9-x，在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9-x)²，解得x=4，故AE=4，此时11=43622∆⨯=⨯⨯= ABES AE AB，故选：C．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x，在一个直角三角形中，其余边用x的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x．7．C解析：C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，∵AB =5cm ，BC =12×10=5cm ， ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ，故选：C ．【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．8．D解析：D【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a 、b 的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c 边上高即可．【详解】 ()2a 1b 20--=，所以a 10b 20-=-=，，解得a 1b 2==，；因为2222a b 125+=+=， 22c 5)5==，所以222a b c +=，所以ABC 是直角三角形，C 90∠=︒，设第三边c 上的高的值是h ，则ABC 的面积115h 1222==⨯⨯， 所以25h 5=． 故选：D ．【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．9．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．10．D解析：D【分析】根据非负数的性质分别求出m 、n ，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵|m ﹣0，∴|m ﹣3|＝00，∴m ﹣3＝0，n ﹣4＝0，解得，m ＝3，n ＝4，当45，则△ABC 的周长＝3+4+5＝12，当4，则△ABC 的周长＝＝，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．11．C解析：C【分析】设点P （x ，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．【详解】解：设点P （x ，0），根据题意得，x 2+22=(5﹣x )2+52，解得：x =4.6，∴OP =4.6，故选：C ．【点睛】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 12．B解析：B【分析】直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．【详解】解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．二、填空题13．【分析】作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作根据AAS 证明△得到由得出从而得出OMON 的长最后由勾股定理可求出MN 【详解】解：作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作MK ⊥AB 于点K 作∵四边形ABCD 是矩形∴M 解析：262【分析】作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，根据AAS 证明△M PM N NP ''≅∆得到PN MM ''=，NN M P ''=，由2BC AB =得出24NN '=，从而得出OM ，ON 的长，最后由勾股定理可求出MN ．【详解】解：作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MK ⊥AB 于点K ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，∵四边形ABCD 是矩形，∴MK//AD//BC∴∠90KMM KMQ '=∠=︒∴M '、M 、Q 三点共线，∵∠90MPN =︒，∴∠90M PM N PN ''+∠=︒，∠90N PN PNN ''+∠=︒∴∠M PM PNN ''=∠又∠90PM M PN N ''=∠=︒，MP PN =∴△M PM N NP ''≅∆∴10PN MM ''==，NN M P ''=又∵10ON M P N P N M N M N N ''''+='=+=+则11AB NN '=+，5054104(10)BC ON NN '=+-=-+又∵2BC AB =，即104(10)2(11)NN NN ''-+=+∴24NN '=∴1014OM NN '=-=，1034ON NN '=+=在Rt OMN ∆中，)MN mm ====故答案为：【点睛】此题主要考查了运用勾股定理示线段的长，作辅助线构造直角三角形是解答此题的关键． 14．【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长利用数轴上两点间的距离公式即可求解【详解】解：根据题意可得：圆的半径为则点A 表示的数是故答案为：【点睛】本题考查勾股定理数轴上两点间的距离利用勾股定理求出半径长是解析：1【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长，利用数轴上两点间的距离公式即可求解．【详解】=则点A 表示的数是1，故答案为：1【点睛】本题考查勾股定理、数轴上两点间的距离，利用勾股定理求出半径长是解题的关键． 15．cm2【分析】设BC=acmAC=bcm 则a+b=即可得到根据勾股定理得到进而得到根据三角形面积公式即可求解【详解】解：设BC=acmAC=bcm 则a+b=∴即∵∠C=90°∴∴∴cm2故答案为：c 解析：12cm 2 【分析】设BC=acm ，AC=bcm ，则，即可得到()26a b +=，根据勾股定理得到22=4a b +，进而得到22ab =，根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：设BC=acm ，AC=bcm ，则，∴()26a b +=， 即2226a b ab ++=，∵∠C=90°，∴222=4a b AB +=,∴22ab =， ∴11=22ABC S ab =△cm 2． 故答案为：12cm 2 【点睛】本题考查了完全平方公式，勾股定理等知识，准确掌握两个知识点并建立联系是解题关键．16．【分析】由勾股定理求出AB 根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2∠DAB=∠ABD=60°证出AB ⊥CD 于E 且AE=BE=1求出AE=CE=1由勾股定理求出DE 即可得出结果【详解】解：∵∠AC1【分析】由勾股定理求出AB ，根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，证出AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，求出AE=CE=1，由勾股定理求出DE ，即可得出结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，，∴2==，∠CAB=∠CBA=45°， ∵ABD 是等边三角形，∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，∵AC=BC ，AD=BD ，∴AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，∴∠EAC=∠ACE=45°，∴AE=CE=1，在Rt △AED 中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，∴=∴1．故答案为31+． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识．运用勾股定理求出DE 是解决本题的关键．17．45°【分析】延长BA 到格点D 得到根据勾股定理求出ADCDAC 长度再进一步证明△ADC 为等腰直角三角形问题得解【详解】解：如图延长BA 到格点D 则根据勾股定理得∴AD=CD ∴∠ADC=90°∴∠DAC解析：45°【分析】延长BA 到格点D ，得到ABC ACB DAC ∠+∠=∠，根据勾股定理求出AD 、CD 、AC 长度，再进一步证明△ADC 为等腰直角三角形，问题得解．【详解】解：如图，延长BA 到格点D ，则ABC ACB DAC ∠+∠=∠，根据勾股定理得，22=12=5AD +，22=12=5CD +22=13=10AC +，∴AD=CD ，222=AD CD AC +，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=∠DCA=45°，∴45ABC ACB ∠+∠=︒．故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理，理解两个定理是解题关键．18．+24【分析】连结BD 可求出BD=6再根据勾股定理逆定理得出△BDC 是直角三角形两个三角形面积相加即可【详解】解：连结BD ∵∴∵∴BD=6∵BD2=36CD2=64BC2=100BD2+CD2=BC 解析：214+24 【分析】 连结BD ，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC 是直角三角形，两个三角形面积相加即可．【详解】解：连结BD ，∵90BAD ∠=︒，∴22BD AD AB =+， ∵22AD =，27AB =， ∴BD=6，∵BD 2=36，CD 2=64，BC 2=100，BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，S △ABD =122272142⨯⨯=， S △BDC =168242⨯⨯=， 四边形ABCD 的面积是= S △ABD + S △BDC =214+24故答案为：214+24．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．8【分析】以CE 为边作等边△CEH 证明△CEF ≌△HED 可得∠DHE=60°DH ∥BC 则设AH=3xCH=5x 过点E 作EM ⊥AC 于点M 在△AEM 中解得x=1则答案得出【详解】解：以CE 为边作等边△C解析：8【分析】以CE 为边作等边△CEH ，证明△CEF ≌△HED ，可得∠DHE=60°，DH ∥BC ，则AH 3CH 5=，设AH=3x ，CH=5x ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，在△AEM 中，22253117(x)(x)22=+，解得x=1，则答案得出．【详解】解：以CE 为边作等边△CEH ，连接DH ，∴CE=EH ，∠EHC=60°，∵△DEF 为等边三角形，∴∠DEF=60°，DE=EF ，∴∠DEH=∠CEF ，在△CEF 和△HED 中 ∵CE HE CEF HED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEF ≌△HED （SAS ），∴∠DHE ＝∠FCE ＝60°，∴∠DHE ＝∠HEC ＝60°，∴DH//BC ， ∴AD AH BD CH =， ∵AD 3BD 5=， ∴AH 3CH 5=， 过点E 作EM ⊥AC 于点M ，设AH ＝3x ，CH ＝5x ，则EC=5x ，22155311,,2222x x MC EC ME EC MC AM AC MC x ===-==-=, 在△AEM 中，22253117(x)(x)22=+， ∴x ＝1，∴AC ＝8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法能正确作出辅助线是解题的关键．20．cm【分析】利用平面展开图有两种情况画出图形利用勾股定理求出MN的长即可【详解】解：如图1∵AB=24cmAM＝6cm∴BM=18cm∵BC=GF=12cm点N 是FG的中点∴FN=6cm∵BF=7c解析：493cm【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：如图1，∵AB=24cm，AM＝6cm，∴BM=18cm，∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，∴FN=6cm，∵BF=7cm，∴BN=7+6=13cm，∴MN=22=493cm；1813如图2，∵AB=24cm，AM＝6cm，∴BM=18cm，∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，∴BP=FN=6cm，∴MP=18+6=24cm，∵PN= BF＝7cm，∴MN=2224762525+==cm ．∵493＜25，∴蚂蚁沿长方体表面爬到N 处的最短距离为493cm ．故答案为：493cm ． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．三、解答题21．（1）13，13，图见解析；（2）①133,3x y =-=，②13．【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用勾股定理和算术平方根的定义求出边长，最后利用勾股定理作出边长表示的无理数即可； （2）①利用无理数估算的方法即可求得x 和y ；②将①中的x 和y 代入计算，并求算术平方根．【详解】解：（1）阴影部分面积155432132=⨯-⨯⨯⨯=，边长=222313+=，在图中数轴上作出表示阴影正方形边长的点如图所示：故答案为：1313（2）①∵91316<<，91516<<，∴3134<<，3154<<，∵x 为阴影正方形边长的小数部分，y 15∴133,3x y ==，②由①得，133,3x y ==，∴22()1333)13x y +=+=13【点睛】本题考查实数与数轴，用勾股定理表示无理数．掌握等面积法是解决（1）的关键，(2)中需注意小数部分=原数-整数部分．22．（1）AE ＝BD ，见解析；（2）13【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ；（2）由全等三角形的性质可得BD=AE=12，∠CAE=∠CBD=45°，由勾股定理可求DE 的长．【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCD在△ACE 和△BCD 中∵EC ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ，AC ＝BC ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE ＝BD ；（2）如图，由（1）可知：△ACE ≌△BCD ，∴BD ＝AE ＝12，∠CAE ＝∠CBD ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2＋AD 2＝ED 2，即52＋122＝ED 2∴DE ＝13；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE ≌△BCD 是本题的关键．23．（1）2b mn =；（2）(12,16,20)；（3）222b k k =+【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把4m =，2n =代入()22222m n mn m n -+，，即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴2b mn =，故答案为：2b mn =；（2）当4m =，2n =时，a=m 2-n 2=42-22=12，2b mn ==2×4×2=16，c=m 2+n 2=42+22=20，∴勾股数()a b c ，，为(12,16,20)，故答案为：(12,16,20)；（3）根据题意，得222(21)(1)k b b ++=+，∴22244121k k b b b +++=++，解得222b k k =+．【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．24．（1）125；（2）①24t -；②83；（3）t 的值为0.5或4.75或5或5.3． 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求得AC 的长，再利用等面积法即可求得斜边AB 上的高； （2）①CP 的长度等于运动的路程减去AC 的长度，②过点P '作P 'D ⊥AB ，证明Rt △AC P '≌Rt △AD P '得出AD=AC=4，分别表示各线段，在Rt △BD P '利用勾股定理即可求得t 的值；（3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，②当点P 在线段AB 上时，又分三种情况：BC=BP ；PC=BC ；PC=PB ，分别求得点P 运动的路程，再除以速度即可得出答案．【详解】解：（1）∵90C ∠=︒，5AB =，3BC =，∴在Rt ABC ∆中，4AC ===．∴AC 的长为4．设斜边AB 上的高为h ． ∵1122AB h AC BC ⨯⨯=⨯⨯， ∴1153422h ⨯⨯=⨯⨯， ∴125h =． ∴斜边AB 上的高为125． （2）已知点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A 运动， ①当点P 在CB 上时，点P 运动的长度为：AC+CP=2t ，∵AC=4，∴CP=2t-AC=2t-4．故答案为：2t-4．②当点P '在∠BAC 的角平分线上时，过点P '作P 'D ⊥AB ，如图：∵A P '平分∠BAC ，P 'C ⊥AC ，P 'D ⊥AB ，∴P 'D=P 'C=2t-4，∵BC=3，∴B P '=3-（2t-4）=7-2t ，在Rt △AC P '和Rt △AD P '中，AP AP P D P C ''''=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AC P '≌Rt △AD P '（HL ），∴AD=AC=4，又∵AB=5，∴BD=1，在Rt △BD P '中，由勾股定理得：2221(24)(72)t t +-=- 解得：83t =， 故答案为：83； （3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，∴此时CP=BC=3，∴AP=AC-CP=4-3=1，∴2t=1，∴t=0.5；②当点P 在线段AB 上时，若BC=BP ，则点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3=10，∴2t=10，∴t=5；若PC=BC ，如图2，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则BP=2BH ，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，∴AB•CH=AC•BC ，∴5CH=4×3， ∴125CH =， 在Rt △BCH 中，由勾股定理得：22123() 1.85BH =-=， ∴BP=3.6， ∴点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，∴2t=10.6，∴t=5.3；若PC=PB ，如图3所示，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则30.52BQ CQ BC ==⨯=，∠PQB=90°， ∴∠ACB=∠PQB=90°，∴PQ ∥AC ，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2， 在Rt △BPQ 中，由勾股定理得：223()2 2.52BP =+=， 点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，∴2t=9.5，∴t=4.75．综上，t 的值为0.5或4.75或5或5.3．【点睛】本题考查勾股定理，HL 定理，等腰三角形的性质和判定．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．25．(90303)m +【分析】由题意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，设BC=x，表示出BD，CD和AC的长，利用AB=60得到方程，求出x，最后根据DC=3x得到结果．【详解】解：由题知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，∴∠BDC=30°，△ACD是等腰直角三角形，设BC=x，∴BD=2x，∴CD=22BD BC-=3x=AC，∴AB=AC-BC=3x-x=（3-1）x=60，解得：x=31-=() 3031+，∴DC=3x=90303+，答：塔高约为(90303)m+．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用勾股定理的知识求解，难度一般．26．△ABC是直角三角形；理由见解析．【分析】先求出a、b、c的值，再通过计算得到a2+c2＝b2，根据勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形．【详解】解：△ABC是直角三角形．理由是：据题意得：a﹣40＝0，a﹣b +1＝0，c﹣9＝0，解得：a＝40，c＝9，b＝41，∵a2+c2＝402+92＝1681， b2＝412＝1681，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，根据题意求出a、b、c的值是解题关键．。
上海进才中学北校必修三第三章《概率》测试(包含答案解析)
一、选择题1．继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力.据《惰书》记载，他已算得3.1415926 3.1415927π<<.他还得到圆周率的两个近似分数值355113和227，并称355113为密率，227为约率，他的圆周率小数值则被后世称为祖率.现用随机模拟的方法得到圆周率，从区间[0,1]随机抽取2000个数，构成1000个数对(,)x y ，其中两数的平方和小于1的数对(,)x y 共有785个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A ．31411000B ．355113C ．15750D ．2272．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．353．中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为12，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（ ）259534．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ） A ．14B ．12C ．34D ．16．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．167．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）4998．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为A．25B．35C．38D．589．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
上海进才中学北校中考数学期末规律问题数字变化类汇编
上海进才中学北校中考数学期末规律问题数字变化类汇编一、规律问题数字变化类1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数，通过一种计算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T= ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是（ ） A ．363B ．153C ．159D ．4562．借助计算器可求得22435，22443355+=，22444333555+=，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想222020420203444333+个个等于（ ）A ．20174555个B ．20185555个C ．20195555个D ．20205555个3．如图，是小刚在电脑中设计的一个电子跳蚤，每跳一次包括上升和下降，即由点A —B —C 为一个完整的动作．按照图中的规律，如果这个电子跳蚤落到9的位置，它需要跳的次数为 ( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次4．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，……．根据上述算式中的规律，你认为20192的个位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a 2012为（ ）A ．a 2012＝4（12）2011B ．a 2012＝2（22）2011 C ．a 2012＝4（12）2012D ．a 2012＝2（22）2012 6．有一列数：a 1、a 2，a 3，…，a n ；其中a 1＝0，a 4＝2，若a i ＋a i ＋1＝a i ＋2 （i≥1，i 为正整数） ，则a 7＝（ ） A ．5B ．8C ．10D ．137．对点(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：()()1,,P x y x y x y =+-；且规定()()11,,n n P x y P P x y -=⎡⎤⎣⎦（n 为大于1的整数）．如()()12,33,1P =-，()()()()21111,21,23,12,4P P P P==-=⎡⎤⎣⎦，()()()()31211,21,22,46,2P P P P===-⎡⎤⎣⎦．则()20211,1P -=（ ） A ．()10100,2B ．()10100,2-C ．()10110,2D ．()10110,2-8．已知数列1b ，2b ，3b ，···满足121n n nb b b +++=，其中1n ≥ ，若12b =且25b =，则2019b 的值为 （ ）A ．2B ．5C ．45D ．359．如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第二个图中有8条线段，第三个图中有15条线，……，则第10个图中线段的条数是（ ）A ．60B ．90C ．120D ．14310．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…以此类推，则2018a 的值为（ ）A ．－1007B ．－1008C ．－1009D ．－201811．如果a 是大于1的正整数，那么a 的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，已知3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a 的值是（ ） A ．36B ．45C ．52D ．6112．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．10B ．89C ．165D ．29413．记12n n s a a a =+++，令12nn s s s T n+++=，则称n T 为12,...,n a a a 这列数的“凯森和”．已知51002,...,a a a 的“凯森和”为2004，那么13，51002,...,a a a 的“凯森和”为（ ） A ．2013B ．2015C ．2017D ．201914．观察图中每一个正方形各顶点所标数字的规律，2 020应标在( )A ．第504个正方形右上角顶点处B ．第505个正方形右下角顶点处C ．第505个正方形右上角顶点处D ．第504个正方形右下角顶点处 15．a 是不为2的有理数，我们把称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，-2的“哈利数”是， 已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依次类推，则=（ ）．A ．3B ．-2C ．D ．16．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）A ．201612B ．201712C ．201812 D ．20191217．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a 1，a 2，a 3，……，a n ，则a 1+a 2+a 3+…+a n ＝（ ）A ．4n 2+4B ．4n+4C ．4n 2+4nD ．4n 218．观察下列有规律的算式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，13+23+33+43+53=225，…，探究并运用其规律计算：113+123+133+143+153+163+173+183+193+203的结果可表示为（ ） A ．265155⨯B ．275145⨯C ．285145⨯D ．255165⨯19．下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：从首位数字开始，将左边数字乘以2，若积为一位数，将其写在右边数位上，若积为两位数，则将其个位数字写在右边数位上．依次再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（ ） A ．10091B ．10095C ．10099D ．1010720．按一定规律排列的一列数依次为：﹣22a ，55a ，﹣810a ，1117a ，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第10个数是（ ） A ．2363aB ．2680a -C ．29101aD ．32101a21．已知整数1a 、2a 、3a 、4a ……满足下列条件：11a =-，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，……，1n n a a n +=-+（n 为正整数）依此类推，则2019a 的值为（ ） A ．1010- B ．1009-C ．1008-D ．1007-22．探索：2(1)(1)1x x x -+=- 23(1)(1)1x x x x -++=- 324(1)(1)1x x x x x -+++=- 4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-……判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几？（ ） A ．1B ．3C ．5D ．723．如图，将1、2、3三个数按图中方式排列，若规定(,)a b 表示第a 排第b 列的数，则(5,4)与(51,30)表示的两个数的积是（ ）A 6B 3C 2D ．124．有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，若a1＝﹣12，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，则a2019值为（）A．﹣12B．32C．3 D．2325．小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果321-=87654+--=1514131211109++---=242322212019181716+++----=……根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）A．360 B．339 C．440 D．483【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题数字变化类1．B解析：B【详解】解：把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B．2．D解析：D【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．【详解】解：∵5，55=，555=，……∴222020420203444333+个个=20205555个．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．3．C解析：C 【分析】首先观察图形，得出一个完整的动作过后电子跳骚升高2个格，根据起始点为-5，终点为9，即可得出它需要跳的次数． 【详解】解：由图形可得，一个完整的动作过后电子跳骚升高2个格， 如果电子跳骚落到9的位置，则需要跳9(5)72--=次． 故选C ．此题考查数字的规律变化，关键是仔细观察图形，得出一个完整的动作过后电子跳骚升高2个格，难度一般．4．D解析：D 【分析】根据上述等式，得到结果的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环，而2019除以4商504余3，故得到所求式子的末位数字为8． 【详解】解：根据上述等式，得到结果的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环， ∵2019÷4=504…3， ∴22019的末位数字是8． 故选：D 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，属于规律型试题，弄清本题的规律是解题关键．5．B解析：B 【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a 1、表示出a 2、a 3、a 4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a 2012＝（2）2011a 1，把a 1＝2，代入即可求解 【详解】解：设第1个正方形的边长a 1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a 2＝2a 1，第3个正方形的边长为a 3a 2a 1）2a 1，第4个正方形的边长为a 4＝2a 3＝2（2）2a 1＝（2）3a 1， …，第2012个正方形的边长a 2012）2011a 1， ∵a 1＝2，∴a 2012＝2（2）2011 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．6．B解析：B 【分析】根据a i ＋a i ＋1＝a i ＋2，令i ＝0，1，2依次根据等式求解即可． 【详解】解：∵a i ＋a i ＋1＝a i ＋2， ∴a 1＋a 2＝a 3， ∵a 1＝0， ∴a 2＝a 3，由a 2＋a 3＝a 4，又a 4＝2， ∴a 2＝a 3＝1， 由a 3＋a 4＝a 5， 得a 5＝3，依次，得：a 6＝a 4＋a 5＝5， a 7＝a 5＋a 6＝8， 故选B ． 【点睛】本题考查定义新运算，读懂通式a i ＋a i ＋1＝a i ＋2是关键．7．C解析：C 【分析】根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得()20211,1P -的值即可． 【详解】解：P1（1，-1）=（0，2），P2（1，-1）=（2，-2） P3（1，-1）=（0，4），P4（1，-1）=（4，-4） P5（1，-1）=（0，8），P6（1，-1）=（8，-8） …当n 为奇数时，Pn （1，-1）=（0，122n +），∴()20211,1P -应该等于()101102，．故选C ． 【点睛】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．8．C解析：C 【分析】根据题中规律依次求出1b 、2b 、3b ······，然后可以发现5个数为一组循环，因此根据201954034÷=即可求解．【详解】由122,5b b ==， 则23115132b b b ++===， 342131455b b b ++===， 4534113535b b b ++===，56431185524545b b b ++===⨯=，与1b 相同．故每5个数为一组循环出现，201954034÷=，第2019个数与第4个数同，故选C ． 【点睛】 本题考查考了整式的规律，实数的规律问题，此类题的关键是要求出前几个数总结规律．9．C解析：C 【分析】先根据前4个图得出一般性的规律，再依据规律解答即可．解：第1个图中有3=22−1条线段， 第2个图中有8=32−1条线段， 第3个图中有15=42−1条线段， 第4个图中有24=52−1条线段， ……，所以第n 个图中有(n+1)2−1条线段； 所以第10个图中有112−1=121-1=120条线段． 故选：C 【点睛】本题考查了图形的变化类规律，由简单的图形中线段的条数得出一般性的规律是解此题的关键．10．C解析：C 【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值2,n a n =-从而得到2018a 的答案．【详解】 解：10,a =211011,a a =-+=-+=- 322121,a a =-+=--+=- 433132,a a =-+=--+=-544242,a a =-+=--+=- 655253,a a =-+=--+=- 766363,a a =-+=--+=-…以此类推，发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，结果的数值是其顺序数的一半的相反数，即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选：C ． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律型，同时考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，乘法运算，掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．11．B解析：B根据题意，解得3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数，当=45a 时，解得其第一个数与最后一个数，根据计算结果与2021作比较即可解题． 【详解】3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，∴3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数，=45a 时，第一个数是45(451)1=4544+1=1981⨯-+⨯，一共有45个奇数，最后一个奇数是1981+2(451)=1981+88=2069⨯-1981<2021<2069∴有一个奇数是2021，则a 的值是45，故选：B ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．12．D解析：D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D ． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．13．A解析：A 【分析】 根据题意可知125005002004500S S S T +++==，即可求出125002004500S S S +++=⨯．再列出新的凯森和的式子，代入计算即可．【详解】根据题意可知125005002004500S S S T +++==，∴125002004500S S S +++=⨯．∴13，1a ，2a ，…，500a 的“凯森和”为：1250050113(13)(13)(13)501S S S T +++++++=1250013501()501S S S ⨯++++=135012004500501⨯+⨯= 2013=．故答案为：A ．【点睛】本题考查数字的变化规律，掌握“凯森和”的概念，再找出其规律是解答本题的关键． 14．B解析：B【分析】观察可知，每个正方形标四个数字，从右上角的顶点开始，按照逆时针方向每四个正方形为一组依次循环，用2020除以4确定出所在的正方形的序号为505，再用505除以4确定出循环组的第几个正方形，然后确定出在正方形的位置，即可得解．【详解】解：∵通过观察可知，第1个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；第2个正方形的第一个数字标在正方形的左上角；第3个正方形的第一个数字标在正方形的左下角；第4个正方形的第一个数字标在正方形的右下角；第5个正方形的第一个数字标在正方形的右上角；∴依此类推，每四个正方形为一组依次循环∴20204505÷=，50541261÷=∴2020应标在第505个正方形的最后一个顶点，是第127个循环组的第1个正方形，在正方形的右下角，即，2020应标在第505个正方形右下角顶点处．故选：B【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出数字的排列特点然后准确确定出2020所在的正方形以及所在循环组的序号是解题的关键．15．D解析：D【详解】试题分析：=3，；；；，则这组数是以3、－2、和这四个数进行循环；则2016÷4=504，则=.考点：规律题16．B解析：B【解析】【分析】根据题意求出面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长，得到S 2，同理求出S 3，根据规律解答．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，∴面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长为22， 则S 2＝2121122==⎝⎭面积标记为S 3的等腰直角三角形的直角边长为22×22＝12 ， 则S 3＝22111242⎛⎫== ⎪⎝⎭……则S 2018的值为：201712，故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键． 17．C解析：C【分析】根据题意设两个连续奇数为2n ﹣1，2n+1（n 为自然数），则“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2，据此解答即可．【详解】解：a1+a2+a3+…+a n＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n﹣1）2﹣（2n﹣1）2+（2n+1）2＝4n2+4n．故选：C．【点睛】本题考查平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b），同时也考查对代数式的变形能力．18．A解析：A【分析】找出已知等式的运算规律，并归纳公式，然后先求出13+23+33+……+113+123+133+143+153+163+173+183+193+203的值，再求出13+23+33+……103的值，最后两式相减并利用平方差公式化简即可．【详解】解：13=1，13+23=9=（1+2）2，13+23+33=36=（1+2+3）2，13+23+33+43=100=（1+2+3+4）2，13+23+33+43+53=225=（1+2+3+4+5）2，∴13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2=()2 n12+⎡⎤⎢⎥⎣⎦n，∴13+23+33+……+113+123+133+143+153+163+173+183+193+203=()2 202012⨯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2102①而13+23+33+……103=()2 101012⨯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=552②∴①－②，得113+123+133+143+153+163+173+183+193+203=2102－552=（210＋55）×（210－55）=265×155故选A．【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解决此题的关键．19．B解析：B【分析】根据题意进行计算，找到几个数字一循环，然后乘以循环的次数加上非循环的部分即可得到结果．【详解】解：当第一个数字为3时，这个多位数是362486248…，即从第二位起，每4个数字一循环，（2020﹣1）÷4＝504…3，前2020个数字之和为：3+（6+2+4+8）×504+6+2+4＝10095．故选：B ．【点睛】本题考查循环类数字规律题，根据题意找到循环次数，即可求解；本题易错点为是否能找对几个数字循环，易错数目为505次，由于第一个数字不参与循环即易错点为2020漏减1．20．C解析：C【分析】根据题目中的数字，从分子和分母两个角度总结规律，从而推出第n 个数的形式，然后代入n =10即可得出结论．【详解】解：首先观察出符号依次交替，则第n 个数的符号可表示为()1n -，然后对于分子，可观察得出分子的指数部分依次增加3，则第n 个数的分子为31n a -， 最后对于分母，可总结出第n 个数的分母为21n +，∴第n 个数表示为：()31211n n a n --+， 当n =10时，()3101291021101101a a ⨯--=+， 故选：C ．【点睛】 本题考查数字变化类规律探究，分别从不同角度总结变化规律是解题关键． 21．A解析：A【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：a 1=-1，a 2=-|a 1+1|=-|-1+1|=0，a 3=-|a 2+2|=-|0+2|=-2，a 4=-|a 3+3|=-|-2+3|=-1，a 5=-|a 4+4|=-|-1+4|=-3，a 6=-|a 5+4|=-|-3+5|=-2，a 7=-|a 6+4|=-|-2+6|=-4…，所以，n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22n n a -=-， a 2019=12-（2019+1）=-1010， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．22．A解析：A【分析】仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解．【详解】解：观察所给等式得出如下规律：211(1)(1)1n n n n x x x x x x --+-++++=-…… 变形得121111n n n n x x x x x x +---++++=-…… 令其x =2，n =2020得22020+22019+22018+…+2+1==（22021-1）÷（2-1）=22021-1，∵2n 的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505，∴22020的个位数字是6，∴22021的个位数字为2，∴22021-1的个位数字是1，∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1．故选：A ．【点睛】此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键．23．A解析：A【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到(5,4)与(51,30)表示的两个数，进而(5,4)与(51,30)表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环（5，4）在数列中是第（1＋4）×4÷2＋4＝14个，14÷3＝4……2，（5，4）表示的数正好是第5轮的第二个，即（5，4，（51，30）在数列中是第（1＋50）×50÷2＋30＝1305个，1305÷3＝435，（51，435）表示的数正好是第435轮的最后一个，即（51，30故（5，4）与（51，30=故选：A.【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积． 24．C解析：C【分析】 先分别求出12345121232323a a a a a =-===-=，，，，，根据以上算式得出规律，即可得出答案．【详解】 解：a 1＝﹣12，a 2＝1112⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝23，a 3＝1213-＝3，a 4＝113-＝﹣12，a 5＝23，…， ∵2019÷3＝673，∴a 2019＝a 3＝3，故选：C ．【点睛】本题考查数字变化的规律探索，通过前面几项的计算找出数字变化的规律是解题关键． 25．C解析：C【分析】根据左起第一个数3，8，15，24的变化规律，得出第n 行的左起第一个数为2(11)n +-，由此即可求出第20行的左起第一个数．【详解】根据题意可知，每行的左起第一个数依次为：2321=-，2831=-，21541=-，22451=-，第n 行的左起第一个数为2(11)n +-． ∴第20行的左起第一个数为2(201)1440+-=． 故选：C ．【点睛】本题考查数字的变化规律．根据题意找到规律并利用规律解决问题是关键．。
八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理赏“新”悦目辅导素材北师大版(2021年整理)
八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理赏“新”悦目同步辅导素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理赏“新”悦目同步辅导素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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勾股定理赏“新"悦目1. 操作型例1 （2016年烟台)如图1，O为数轴原点，A，B两点分别对应-3，3,作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC,以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数是_________。
分析：由“等腰三角形三线合一”得到OC⊥AB，根据勾股定理可计算出OC=7，然后据画法可得OM=OC=7，则点M对应的实数可确定．解：因为△ABC 为等腰三角形，OA=OB=3,所以OC⊥AB。
在Rt△OBC中,OC=22BC OB-=2243-=7。
因为以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，所以OM=OC=7，即点M对应的实数为7。
故填7。
2。
规律探索型例2 （2016年青海）如图2,正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,……，照此规律继续下去，则S9的值为( ）A．621⎪⎭⎫⎝⎛B．721⎪⎭⎫⎝⎛C．622⎪⎪⎭⎫⎝⎛D．722⎪⎪⎭⎫⎝⎛分析:根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可推出2S2=S1，2S3=S2，根据数的变化找出变化规律,得S n=321-⎪⎭⎫⎝⎛n，依此规律即可得出结论．图2图1O（0）解：在图中标上字母E，如图2所示．因为正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，所以DE2+CE2=CD2，DE=CE.所以2S2=S1．观察图形可发现规律，S1=22=4,S2=12S1=2，S3=12S2=1，S4=12S3=12，……,所以S n=321-⎪⎭⎫⎝⎛n．当n=9时，S9=3921-⎪⎭⎫⎝⎛=621⎪⎭⎫⎝⎛。
北师大二附中汇才国际学校八年级数学下册第十七章《勾股定理》基础练习(含解析)
一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 3．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 4．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．75．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）A ．EF EB = B ．EA EC = C ．AF CB =D ．AFE B ∠=∠ 6．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．78．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 9．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到ADF CBE△≌△是（）A．∠B＝∠D B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CF10．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，∠C＝40°B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°11．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对12．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为( )A．50°B．65°C．70°D．80°13．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A ．0.5B ．1C ．0.5或1.5D ．1或1.5 14．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （ ）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF15．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b二、填空题16．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．18．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．19．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝10cm ，则DEB 的周长是_____cm ．20．已知点(2,1)P m m -，当m =____时，点P 在二、四象限的角平分线上． 21．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．22．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．23．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．24．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．25．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．26．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．三、解答题27．如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE ，FD=FE ．（1）如图2，将仪器放置在△ABC 上，使点O 与顶点A 重合，D 、E 分别在边AB 、AC 上，沿AF 画一条射线AP ，交BC 于点P ．则AP 就是∠BAC 的平分线吗？请给出判断并说明理由．（2）如图3，在（1）的前提下，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，已知PQ=4，AC=7，△ABC 的面积是32，求AB 的长．28．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．29．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD =80°，试求： （1）∠EDC 的度数．（2）若∠BCD =n °，试求∠BED 的度数．（用含n 的式子表示）（3）类比探究：已知AB ∥CD ，BE 、DE 分别是∠ABC 、∠ADC 的n 等分线，ABE ∠=1ABC n ∠，1CDE ADC n∠=∠，∠BAD =α，∠BCD =β，请猜想∠BED = ．30．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．。
上海市进才中学北校2022-2023学年八年级下学期3月自适应练习数学试题
(1)点B 的坐标为___________．(2)当直线AE 的表达式为26y x =-+时，求此时OBF V 的面积．(3)设OE x =，BF y =，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．参考答案：1．C【分析】根据一次函数的定义：形如(0)=+¹，这样的函数叫做一次函数，进行判y kx b k断即可．【详解】解：A．不是一次函数，不符合题意；B．不是一次函数，不符合题意；C．是正比例函数，也是一次函数，符合题意；D．不是一次函数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数的识别．熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键．注意，正比例函数是一次函数的特殊形式．2．A【分析】根据点在一次函数图象上，把x的值代入求出y的值，比较大小．﹣，y1)、点B(1，y2)在直线y＝﹣3x上，【详解】解：∵点A(1﹣＝3，y2＝﹣3×1＝﹣3，∴y1＝﹣3×(1)∴y1＞y2．故选：A．【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握一次函数图象上点的性质．3．D【分析】分式方程变形后，两边同乘()()+-去分母，去括号得到结果，即可作出判断．11x x【详解】解：分式方程变形得：()()()-+=+-，x x x23111去括号得：2x x--=-，2331故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．4．D【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即可．∴16x=，21x=-，经检验：6x=时不符合题意，故舍去，∴当2y=时，x的值为1-，故选：C【点睛】本题主要考查已知函数值，求自变量的值，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．6．C【分析】比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．【详解】解：k＞0时，一次函数y＝k（x＋1）的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项C符合；k＜0时，一次函数y＝k（x＋1）的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．4【分析】由题意得：关于x的一次函数33y x m=+-的截距为1，则一次函数33y x m=+-的与y轴交于(0,1)，将(0,1)代入函数解析式，得到31m-=，解方程，即可求得m的值．【详解】∵关于x的一次函数33y x m=+-的截距为1，∴一次函数33y x m=+-的与y轴交于(0,1)，将将(0,1)代入函数解析式33y x m=+-，∴31m-=，∴4m=，故答案为：4【点睛】本题主要考查一次函数的于坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键．8．1k >-【分析】利用一次函数与系数的关系，k 、b 决定着函数图象的位置，在一次函数y kx b =+中，当0k >，y 随x 的增大而增大，当0k <，y 随x 的增大而减小，即可判断．【详解】解：∵一次函数()12y k x =++，y 随x 的增大而增大，∴10k +>．∴1k >-．故填：1k >-．【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握系数k 的意义．9．9【分析】根据两直线平行可得5k =-，再把点()2,1-代入5y x b =-+，即可求解．【详解】解：∵直线1l ：y kx b =+平行于直线2l ：53y x =-+，∴5k =-，∴直线1l 的解析式为5y x b =-+，把点()2,1-代入5y x b =-+得：152b -=-´+，解得：9b =．故答案为：9【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．10．5【分析】根据平移规律得到平移后的直线为36y x m =-+，然后再把()1,2A 代入解得即可．【详解】解：将直线直线36y x =-沿y 轴向上平移m 个单位后得到36y x m =-+，∵平移后的直线经过()1,2A ，∴将()1,2A 代入表达式得362m -+=，∴5m =故填：5．【点睛】本题考查一次函数的图像与平移，熟知函数图像平移法则“左加右减，上加下减”是解此题的关键．11．5027500y x =-+【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论19．()202320222022a x a a =¹-；当2022a =【分析】利用一元一次方程的解法求解即可．【详解】解：去括号得：20232022ax a -=（2）分别表示G 、D 两点的坐标，利用待定系数法求解析式，并写t 的取值；（3）运用待定系数法求出EF 的解析式，再由联立两解析式建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：由题意，得A 、B 两市的距离是403120´=千米，乙从A 市出发到达B 市需要120206¸=小时．故答案为：120，6；（2）解：∵A 、B 两市的距离是120千米，∴()()()3,120,10,12013,0,G D C ，设线段GD 的解析式为=+S kt b ，由题意，得：12010013k b k b=+ìí=+î，解得：40520k b =-ìí=î，∴甲车返回时的路程S （千米）与时间t （小时）之间的函数关系式为：40520S t =-+；（3）解：设EF 的解析式为S k t b ¢¢=+，由题意，得：1208014k b k b =+ìí=+¢¢¢¢î，解得：20120k b ¢=¢=-ìíî，∴20280S t =-+，当2028040520t t -+=-+时，12t =，∵点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合），∴08<<．x【点睛】本题考查一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出点的坐标，利用等积法和勾股定理求线段的长．。
上海市进才中学北校2023-2024学年八年级下学期期末数学考试卷(无答案)
2023学年第二学期初二年级期末素养分析数学学科试卷一、选择题： (本大题共6题，每题3分，满分18分)1.一次函数y=-3x+1的图像不经过( ▲ ).(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.用换元法解分式方程x―2x ―3xx―2=2时，如果设x―2x=y,那么原方程可化为( ▲ ).(A)y²+2y―3=0(B)y²―2y―3=0(C)y²―3y―2=0(D)y²―y―2=03.下列方程中，没有实数解的是( ▲ ).(A)x²―3=0(B)x2x―2=4x―2(C)x²+y²=0(D)x―4+1=04.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是( ▲ ).(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形5.如图, 梯形ABCD中AD∥BC, AB=CD, O为对角线AC与BD 的交点, 那么下列结论正确的是( ▲ ).(A)AB+AD=BD(B)AC=BD(C)|AC|=|BD|(D)AB―AD=BD6.下列命题中,真命题是(▲ ).(A)一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形；(B)一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形.(C)一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形；(D)一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形.，二、填空题： (本大题共12题，每题2分，满分24分)7.已知一次函数y=(k+1)x-1 与直线y=43x平行, 那么 k= ▲ .8.当a为▲时, 关于x的方程ax-5=3x无解.9.方程15x3+25=0的根是▲ .10.方程8―2x=―x的根是▲ .第1页共4页11.已知一次函数y=kx+b(k≠0，k 、b 均为常数)的图像如图所示，那么关于x 的不等式kx+b>0 的解集是 ▲ .12.在一个不透明的盒子中放入标号分别为1、2、9、4、5、6、7、8、9的形状、大小、质地完全相同的9个球，充分混合后，从中取出一个球，标号为合数的概率 ▲ ：13.已知某种盆花，若每盆植3株时，平均每株盈利8元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，要使每盆的盈利达到30元，每盆应多植多少株?如果设每盆多植x 株，那么可以列出的方程是 ▲ .14.已知四边形 ABCD 中,对角线AC 、BD 相互垂直, AC=2y, BD=8, 顺次联结这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于 ▲ .15.如图, 已知△ABC 中,点D 、E 分别是边AB 、AC 中点, DE=5, 点F 、G 分别是DB 、EC 的中点, 则FG=▲ .16. 已知高为12的梯形ABCD 中, AD∥BC, ∠B 是锐角, AD=8, AB=15, CD=13,那么梯形ABCD 的面积为 ▲ .17.如果把正方形ABCD 绕点 C 旋转得到正方形A'B'CD',点 B'落在对角线AC 上,点 A'落"在 CD 的延长线上, 那么∠AA'B'= ▲ 度.18.对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”.问题: 如图,在△ABC 中, AB=AC, BC=6,且△ABC 的面积为S. 如果△ABC 存在“友好菱形”为菱形BCMN ，那么S 的取值范围是 ▲ .三、简答题： (本大题共4题，每题6分，满分24分)19.解方程: 1x ―1―1=2xx 2―1.20.解方程组: {x 2―5xy +6y 2=02x ―y ―15=0第2页 共4页21.如图, 在四边形 ABCD中, AD∥BC,点O是对角线AC的中点, DO 的延长线与BC相交于点E，设AB=a,AD=b,BE=c(1)试用向量a、b⋅c表示向量：ED=¯;(2)写出图中所有与AD互为相反向量的向量: ▲——'B'(3) 求作: AD+OC (画出所求向量，并直接写出结论)22.如图，有一种四人对战桌游，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位A、B、C、D，小杰和小明一同报名参加了这项桌游.(1)小明抽中座位 A 的概率为▲ ;(2)若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小杰和小明成为盟友的概率.(要求利用“画树形图”法求解)四、解答题: (本大题共4题, 第 23、24 每题8分, 第25、26题9分, 满分34分)23.小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 3200 米，先到终点的人原地休息.已知小杰先出发4分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离y(米)与小杰出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD 所示.(1)求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)求小明的步行速度；(3)求小明比小杰早几分钟到达终点?24. 如图, 在平行四边形ABCD中, 点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,BE=DG,BF=DH.(1) 求证: 四边形EFGH是平行四边形;(2) 当AB=BC, 且BE=BF时, 请判断四边形EFGH的形状并证明.第3页共4页25.如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+6的图象分别交x轴、y轴于A、B两点.过点A 的直线交y轴正半轴于点 M，且点M 为线段OB的中点.(1) 求直线AM的解析式;(2)试在直线AM 上找一点 P,使得.△ABP与△AOB面积相等，请求出点 P的坐标；(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.26.如图,在正方形ABCD中, AB=8cm, 点O是对角线AC的中点, 动点P、Q 分别从点A、B同时出发, 点P以2cm/s的速度沿边AB 向终点 B 匀速运动,点 Q 以4cm/s的速度沿折线BC-CD 向终点 D 匀速运动, 联结 PO 并延长交边 CD 于点 M, 联结QO 并延长交折线DA-AB 于点 N, 联结PQ、QM、MN、NP, 得到四边形 PQMN.设点P的运动时间为x(s) (0<x<4) , 四边形PQMN的面积为y(cm²)(1) BP的长为 cm, CM的长为 cm; (用含x的代数式表示)(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，请直接写出x的值.第4页共4 页。
上海进才中学北校初中数学九年级下期中测试(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：11122]如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB ＝2：3，则下列结论中正确的（ ）A ．23DE BC = B ．25DE BC = C ．23AE AC = D ．25AE EC = 2．(0分)[ID ：11120]已知反比例函数y ＝﹣6x，下列结论中不正确的是（ ） A ．函数图象经过点（﹣3，2） B ．函数图象分别位于第二、四象限 C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3 D ．y 随x 的增大而增大3．(0分)[ID ：11119]如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．(0分)[ID ：11116]在反比例函数y ＝1kx-的每一条曲线上，y 都随着x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ） A ．－1B ．1C ．2D ．35．(0分)[ID ：11114]P 是△ABC 一边上的一点（P 不与A 、B 、C 重合），过点P 的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的△ABC 的“相似线”.Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，当点P 为AC 的中点时，过点P 的△ABC 的“相似线”最多有几条？（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．(0分)[ID ：11088]如图，在正方形ABCD 中，N 为边AD 上一点，连接BN ．过点A 作AP ⊥BN 于点P ，连接CP ，M 为边AB 上一点，连接PM ，∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ，有以下结论：①△PAM ∽△PBC ；②PM ⊥PC ；③M 、P 、C 、B 四点共圆；④AN ＝AM ．其中正确的个数为（ ）A．4B．3C．2D．17．(0分)[ID：11087]观察下列每组图形，相似图形是（）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID：11086]如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()A．32OBCD=B ．32αβ=C ．1232SS=D．1232CC=9．(0分)[ID：11084]反比例函数kyx=与1(0)y kx k=-+≠在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．10．(0分)[ID：11073]已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）A．x2=3yB．x+yy=43C．x3=y2D．x+yx=3511．(0分)[ID：11064]如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．12a-B．1(1)2a-+C．1(1)2a--D．1(3)2a-+12．(0分)[ID：11050]如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．8tan20°B．C．8sin20°D．8cos20°13．(0分)[ID：11044]如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5m，EF=0.25m，目测点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m，则旗杆的高度为( )A．105 m B．(105 1.5)+ mC．11.5m D．10m14．(0分)[ID：11034]下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．(0分)[ID：11076]在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18 cm，O 到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．13B．12C．2倍D．3倍二、填空题16．(0分)[ID：11231]如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为512的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm.17．(0分)[ID：11170]利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为_____米．18．(0分)[ID：11152]如图，点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=5x上，且AB∥y轴，C，D在y轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为________．19．(0分)[ID：11141]如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．20．(0分)[ID：11211]《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．21．(0分)[ID ：11209]已知反比例函数y=2m x-，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是_____．22．(0分)[ID ：11206]如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝45°，连接BD ，则tan ∠CBD 的值为_____．23．(0分)[ID ：11191]已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．24．(0分)[ID ：11176]已知CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos ∠ACD= ______ ．25．(0分)[ID ：11163]如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.三、解答题26．(0分)[ID ：11295]如图，直线123l //l //l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，若AB 4AC 7=，DE 2=，求EF 的长．27．(0分)[ID ：11286]如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，其边长为2，点A ，点C 分别在轴，轴的正半轴上．函数2y x =的图象与CB交于点D ，函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数2y x =的图象在第三象限内交于点F ，连接AF 、EF ．（1）求函数ky x=的表达式，并直接写出E 、F 两点的坐标． （2）求△AEF 的面积．28．(0分)[ID ：11285]如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．(1)以原点O 为位似中心，位似比为1∶2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；(2)如果点D(a ，b)在线段AB 上，请直接写出经过(1)的变化后点D 的对应点D 1的坐标．29．(0分)[ID ：11253]如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45°，已知OA ＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i ＝1：2，且O 、A 、B 在同一条直线上．求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)30．(0分)[ID：11239]如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．D4．A5．C6．A7．D8．D9．B10．C11．D12．A13．C14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分17．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题18．3【解析】试题分析：由AB∥y轴可知AB两点横坐标相等设A（m）B（m）求出AB=﹣=再根据平行四边形的面积公式进行计算即可得=•m=3考点：反比例函数系数k的几何意义19．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似20．【解析】【分析】如图根据正方形的性质得：DE∥BC则△ADE∽△ACB列比例式可得结论【详解】如图∵四边形CDEF是正方形∴CD=EDDE∥CF设ED=x则CD=xAD=12-x∵DE∥CF∴∠AD21．m＞2【解析】分析：根据反比例函数y=当x＞0时y随x增大而减小可得出m﹣2＞0解之即可得出m的取值范围详解：∵反比例函数y=当x＞0时y随x增大而减小∴m﹣2＞0解得：m＞2故答案为m＞2点睛：本22．【解析】【分析】如图所示连接BD过点D作DE垂直于BC的延长线于点E构造直角三角形将∠CBD置于直角三角形中设CE为x根据特殊直角三角形分别求得线段CDACBC从而按正切函数的定义可解【详解】解：如23．4【解析】∵线段b是ac的比例中项∴解得b＝±4又∵线段是正数∴b＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去24．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B利用同角的余弦得结论解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠25．7【解析】设树的高度为m由相似可得解得所以树的高度为7m三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】∵AD：DB=2：3，∴ADAB=25．∵DE∥BC，∴DEBC=ADAB=25，A错误，B正确；AE AC =ADAB=25，C错误；AE EC =ADDB=23，D错误．故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】A、∵当x＝﹣3时，y＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；B、∵k＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；C、∵当x＝﹣2时，y＝3，∴当x＜﹣2时，0＜y＜3，故本选项正确；D、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.【详解】∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△ACE∽△ECD，∵∠2＝∠3,∴DE∥AB，∴△BCA∽△ECD，∵△ACE∽△ECD，△BCA∽△ECD，∴△ACE∽△BCA，∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴△AED∽△BAE，∴共有4对，故此选D 选项.【点睛】本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.4．A解析：A【解析】【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．【详解】∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，∴1−k>0，解得k<1.故选A.【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.5．C解析：C【解析】试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A 时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠P BA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.综上最多有3条.故选C．6．A解析：A【解析】【分析】根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②；根据对角互补，进而判断③；由△APB∽△NAB得AP ANBP AB，再结合△PAM∽△PBC便可判断④．【详解】解：∵AP⊥BN，∴∠PAM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠PAM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△PAM∽△PBC，故①正确；∵△PAM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故③正确；∵AP⊥BN，∴∠APN＝∠APB＝90°，∴∠PAN+∠ANB＝90°，∵∠ANB+∠ABN＝90°，∴∠PAN＝∠ABN，∵∠APN＝∠BPA＝90°，∴△PAN∽△PBA，∴AN PA BA PB=，∵△PAM∽△PBC，∴Al AP BC BP=，∴AN AM AB BC=，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故④正确；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM⊥PC是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；B、两图形形状不同，故不是相似图形；C、两图形形状不同，故不是相似图形；D、两图形形状相同，故是相似图形；故选：D．【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．8．D解析：D【解析】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；=，所以B选项不成立；B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβC选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.故选D.9．B解析：B【解析】【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.10．C解析：C【解析】【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x =3y ，即可判断．【详解】A ．变成等积式是：xy =6，故错误；B ．变成等积式是：3x +3y =4y ，即3x =y ，故错误；C ．变成等积式是：2x =3y ，故正确；D ．变成等积式是：5x +5y =3x ，即2x +5y =0，故错误．故选C ．【点睛】本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．11．D解析：D【解析】【分析】设点B 的横坐标为x ，然后表示出BC 、B′C 的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B 的横坐标为x ，则B 、C 间的横坐标的长度为﹣1﹣x ，B′、C 间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC 放大到原来的2倍得到△A′B′C ，∴2（﹣1﹣x ）＝a+1，解得x ＝﹣12（a+3）， 故选：D ．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．12．A解析：A【解析】【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．【详解】设木桩上升了h 米，∴由已知图形可得：tan20°=8h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°故选B. 13．C解析：C【解析】【分析】确定出△DEF 和△DAC 相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC ，再根据旗杆的高度=AC+BC 计算即可得解．【详解】解：∵∠FDE=∠ADC ，∠DEF=∠DCA=90°，∴△DEF ∽△DAC ， ∴C DE CD EF A = ， 即：0.50.2520AC = ， 解得AC=10，∵DF 与地面保持平行，目测点D 到地面的距离DG=1.5米，∴BC=DG=1.5米，∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，准确确定出相似三角形是解题的关键．14．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D ．15．A解析：A【解析】【分析】作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，根据题意得到△AOB ∽△COD ，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【详解】作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，由题意得,AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ， ∴CD AB =OF OE =13， ∴像CD 的长是物体AB 长的13. 故答案选：A.【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.二、填空题16．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是c m 故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分解析：(15-【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解方程可得. 【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：12202x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：x= 5，则这个黄金矩形较短的边长是15)(152⨯=-cm ．故答案为：(15-【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键. 17．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题解析：5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CD EDAB EB=，即1.52216AB=+，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.5【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.18．3【解析】试题分析：由AB∥y轴可知AB两点横坐标相等设A（m）B（m）求出AB=﹣=再根据平行四边形的面积公式进行计算即可得=•m=3考点：反比例函数系数k的几何意义解析：3【解析】试题分析：由AB∥y轴可知，A、B两点横坐标相等，设A（m，2m），B（m，5m），求出AB=5m﹣2m=3m，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可得ABCDS=3m•m=3．考点：反比例函数系数k的几何意义19．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似解析：4或9．【解析】当△ADP∽△ACB时，需有AP ADAB AC=，∴6128AP=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有AP ADAC AB=，∴6812AP=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．20．【解析】【分析】如图根据正方形的性质得：DE∥BC则△ADE∽△ACB列比例式可得结论【详解】如图∵四边形CDEF是正方形∴CD=EDDE∥CF设ED=x 则CD=xAD=12-x∵DE∥CF∴∠AD解析：60 17．【解析】【分析】如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论.【详解】如图，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC＝ADAC，∴x5＝12-x12，∴x=60 17，故答案为60 17.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．21．m＞2【解析】分析：根据反比例函数y=当x＞0时y随x增大而减小可得出m﹣2＞0解之即可得出m的取值范围详解：∵反比例函数y=当x＞0时y随x 增大而减小∴m﹣2＞0解得：m＞2故答案为m＞2点睛：本解析：m＞2．【解析】分析：根据反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．详解：∵反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为m＞2．点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．22．【解析】【分析】如图所示连接BD过点D作DE垂直于BC的延长线于点E构造直角三角形将∠CBD置于直角三角形中设CE为x根据特殊直角三角形分别求得线段CDACBC从而按正切函数的定义可解【详解】解：如解析：31 2 -【解析】【分析】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为x，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．【详解】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E,∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CEB＝90°，∠CDE＝45°∴设DE＝CE＝x，则CD2x，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠3CDAC，则AC6x，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC3，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝DEBE(13)x+＝312故答案为：31 2．【点睛】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．23．4【解析】∵线段b是ac的比例中项∴解得b＝±4又∵线段是正数∴b＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去解析：4【解析】∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．24．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B 利用同角的余弦得结论解：∵CD 是Rt△ABC 斜边上的高线∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠ 解析：45【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD =∠B ，利用同角的余弦得结论． 解：∵CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，∴CD ⊥AB ，∴∠A +∠ACD =90°，∵∠ACB =90°，∴∠B +∠A =90°，∴∠ACD =∠B ，∴cos ∠ACD =cos ∠B =BC AB =810=45， 故答案为：45. 25．7【解析】设树的高度为m 由相似可得解得所以树的高度为7m解析：7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m三、解答题26．5【解析】【分析】 利用平行线分线段成比例定理得到AB DE AC DF =，然后把有关数据代入计算即可． 【详解】123l //l //l ，直线AC 依次交1l 、2l 、3l 于A 、B 、C 三点，直线DF 依次交1l 、2l 、3l 于D 、E 、F 三点，AB DE AC DF∴=， AB 4AC 7=，DE 2=， 427DF∴=， 解得：DF 3.5=，EF DF DE 3.52 1.5∴=-=-=．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 27．（1）2y x =，E （2，1），F （-1，-2）；（2）32． 【解析】【分析】（1）先得到点D 的坐标，再求出k 的值即可确定反比例函数解析式；（2）过点F 作FG ⊥AB ，与BA 的延长线交于点G ．由E 、F 两点的坐标，得到AE=1，FG=2-（-1）=3，从而得到△AEF 的面积．【详解】解：（1）∵正方形OABC 的边长为2，∴点D 的纵坐标为2，即y=2，将y=2代入y=2x ，得到x=1，∴点D 的坐标为（1，2）．∵函数k y x =的图象经过点D ，∴21k =，∴k=2， ∴函数k y x=的表达式为2y x =． （2）过点F 作FG ⊥AB ，与BA 的延长线交于点G ．根据反比例函数图象的对称性可知：点D 与点F 关于原点O 对称∴点F 的坐标分别为（-1，-2），把x=2代入2y x=得，y=1； ∴点E 的坐标（2，1）；∴AE=1，FG=2-（-1）=3，∴△AEF 的面积为：12AE•FG=131322⨯⨯=.28．(1)图见解析，C1(－6，4)；(2)D1(2a，2b)．【解析】【分析】（1）连接OB并延长，使BB1=OB，连接OA并延长，使AA1=OA，连接OC并延长，使CC1=OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；（2）根据A与A1坐标，B与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D1坐标即可．【详解】（1）根据题意画出图形，如图所示：则点C1的坐标为（-6，4）；（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．【点睛】运用了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．29．电视塔OC高为1003米，点P的铅直高度为)100313（米）．【解析】【分析】过点P作PF⊥OC，垂足为F,在Rt△OAC中利用三角函数求出OC=1003,根据山坡坡度＝1：2表示出PB＝x， AB＝2x, 在Rt△PCF中利用三角函数即可求解.【详解】过点P作PF⊥OC，垂足为F．在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝1003（米），过点P作PB⊥OA，垂足为B．由i＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．∴PF＝OB＝100+2x，CF＝1003﹣x．在Rt△PCF中，由∠CPF＝45°，∴PF＝CF，即100+2x＝1003﹣x，∴x＝10031003-，即PB＝10031003-米．【点睛】本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键.30．证明见解析.【解析】【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出65AB ACAE AD==，据此即可得证．【详解】∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴65 AB ACAE AD==，∴△ABC∽△AED．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．。
上海进才中学北校中考数学规律压轴选择题专题
上海进才中学北校中考数学规律压轴选择题专题一、规律问题数字变化类1．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．98答案：C解析：C【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴==79x y ∴+=故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.2．一列数按某规律排列如下： 1121231234,,,,,,,,,1213214321…，若第n 个数为57，则n =（ ）A ．50B ．60C ．62D ．71 答案：B解析：B【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1,(1,2),(1,2,3)，…，分母变化是1,(2,1),(3,2,1)，…，从而可以求得第n 个数为57时n 的值，本题得意解决． 【详解】1121231234,,,,,,,,,1213214321，…，可写为： 1121231234,,,,,,,,,1213214321⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…， ∵57的分子和分母的和为12， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为1234567891011,,,,,,,,,,1110987654321， ∴第n 个数为57，则123410560n =++++⋯++=， 故选B ．【点睛】 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律． 3．如果a 是大于1的正整数，那么a 的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，已知3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a 的值是（ ）A ．36B ．45C ．52D ．61答案：B解析：B【分析】根据题意，解得3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数，当=45a 时，解得其第一个数与最后一个数，根据计算结果与2021作比较即可解题．【详解】3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，∴3a 改写成的若干个连续奇数和的式子中，第一个数是(1)1a a -+，共有a 个奇数， =45a 时，第一个数是45(451)1=4544+1=1981⨯-+⨯，一共有45个奇数，最后一个奇数是1981+2(451)=1981+88=2069⨯- 1981<2021<2069∴有一个奇数是2021，则a 的值是45，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化规律，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是4-，⋯，则第2021次输出的结果是（ ）A ．6-B ．4-C ．1-D ．2-答案：A解析：A【分析】根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2021次输出的结果，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，第一次输出的结果为1，第二次输出的结果为4-，第三次输出的结果为2-，第四次输出的结果为1-，第五次输出的结果为6-，第六次输出的结果为3-，第七次输出的结果为8-，第八次输出的结果为4-，第九次输出的结果为2-，⋯，由上可得，从第二次输出结果开始，以4-，2-，1-，6-，3-，-8依次循环出现， (20211)63364-÷=⋯，∴第2021次输出的结果是6-，故选：A ．【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点．5．一列数，按一定规律排列成：1,2,4,8,16---，…，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a ，则这三个数中最大数与最小数的差为（ ）A ．aB ．aC ．2aD ．2a答案：C解析：C【分析】根据数字规律，分三个数中两端为正中间为负和两端为负中间为正两种情况讨论，由三个相邻数的和是a ，据题意列式即可求解．【详解】解：①当三个数中两端为正中间为负设相邻的三个数为n ，-2n ，4n由题意可得n-2n+4n=a ，解得：a=3n此时三个数中最大数与最小数的差为：4n-(-2n)=6n=2a ；②当三个数中两端为负中间为正设相邻的三个数为-n ，2n ，-4n由题意可得-n+2n-4n=a ，解得：a=-3n此时三个数中最大数与最小数的差为：2n-(-4n)=6n=-2a∴则这三个数中最大数与最小数的差为2a 故选：C【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，熟悉并会用代数式表示常见的数列是解题的关键． 6．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第6行第3个数（从左往右数为（ ） A ．130 B ．148 C ．160 D ．1105答案：C解析：C【分析】根据给出的数据可得：第n 行的第一个数等于1n ，第n 行的第二个数等于11-1n n-的结果，第n 行的第三个数等于()()()112-11n n n n ---的结果，再把n 的值代入即可得出答案．【详解】解：寻找规律：∵第n行有n个数，且两端的数均为1n ，1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，∴第4，5，6行从左往右第1个数分别为14，15，16；第5，6行从左往右第2个数分别为111-=4520，111-=5630；第6行从左往右第3个数分别为120-130=160．故选择：C．【点睛】本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律．7．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是2，…，则第2020次输出的结果是（）A．1 B．2 C．1-D．2-答案：B解析：B【分析】把x=2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2020次输出的结果．【详解】解：把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，把x=2代入得：0.5×2=1，把x=1代入得：1+1=2，⋯，由此可知，奇数次运算结果是1，偶数次运算结果为2∴第2020次输出的结果为2，故选：B．【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．8．某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是（）A．9 B．10 C．500 D．501答案：B解析：B【分析】设经过n个小时，然后根据有理数的乘方的定义列不等式，计算求出n的最小值即可．【详解】由题意得，21000n≥，∵92512=，1021024=，∴n的最小值是：10，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记乘方的定义并列出不等式是解题的关键．9．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，试利用上述规律判断算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．7答案：A解析：A【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，进而可得算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字．【详解】解：观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，发现规律：末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，每4个数一组循环，所以2020÷4＝505，而3+9+7+1＝20，20×505＝10100．所以算式：3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0．故选：A．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．10．若x是不等于1的实数，我们把11x-称为x的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1)--＝12，现已知x1＝13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2020的值为（）A．13B．﹣2 C．﹣13D．32答案：A解析：A【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，然后即可发现数字的变化特点，从而可以得到x2020的值．【详解】由题意可得，x1＝13，x2＝1113-＝32，x3＝1312-＝﹣2，x4＝11(2)--＝13，…，∵2020÷3＝673…1，∴x2020＝13，故选：A．【点睛】本题考查了数字类的变化规律、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得相应项的值．二、规律问题算式变化类11．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．A B C D 答案：C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的解析：C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n （n-1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n （n-1）+n-3＝n 2-3，∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．12．观察下列等式：2223471236⨯⨯++=，222245912346⨯⨯+++=，222225*********⨯⨯++++=，…．按照此规律，式子2222123100+++⋅⋅⋅+可变形为（ ）A ．1001011026⨯⨯ B ．1001012016⨯⨯ C ．1001012036⨯⨯ D ．100101201100⨯⨯ 答案：B【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】，，，归纳类推得：，其中n 为正整数，则，故选：B ．【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律解析：B【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】()()2223313434712366⨯+⨯+⨯⨯++==， ()()222244145459123466⨯+⨯+⨯⨯+++==， ()()222225515656111234566⨯+⨯+⨯⨯++++==， 归纳类推得：()()()()222111211266n n n n n n n n ++++++++==，其中n 为正整数，则()()222210010012100110010120123100166⨯+⨯⨯++++⨯⨯⋅⋅⋅+==， 故选：B ．【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 13．观察下列各式及其展开式：()2222a b a ab b +=++；()3322333a b a a b ab b +=+++；()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；()544322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++…，请你猜想()11a b +的展开式第三项的系数是（ ）A ．36B ．45C ．55D ．66答案：C【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数．【详解】解：依据规律可得到：第三项的系数为1，第三项解析：C【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出11()a b +的展开式第三项的系数．【详解】解：222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b4322344()464a b a a b a b ab b +=++++554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++⋯⋯∴依据规律可得到：2()a b +第三项的系数为1，3()a b +第三项的系数为312=+，4()a b +第三项的系数为6123=++，⋯11()a b +第三项的系数为：10(101)123910552⨯++++⋯++==． 故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律型，理解题意，找到系数的规律是解题的关键．14．已知2131=+a ，2262=+a ，23103=+a ，24154=+a ……n a ，则20202010-=a a （ ）A ．2020B ．4039C ．6060D ．8079 答案：C【分析】先由已知等式,得出规律:,则,将代入,即可求出结果．【详解】解：．．时,．故选:C ．【点睛】此题主要考查了规律型:数字的变化类及有理数的混合运算,解题解析：C【分析】先由已知等式,得出规律:()2121n a n n n =++++++23322n n ++=,则133n n a a n +-=+,将2019n =代入,即可求出结果．【详解】解：()2121n a n n n =++++++()()21112n n n +++⎡⎤⎣⎦=+ ()()2212n n n ++=+ 223222n n n +++= 23322n n ++=． ()()2213131233222n n n n n n a a +++++++-=- ()()223131332n n n n +++--= 2236333332n n n n n ++++--= 662n +=2019n =时,()20202019320191a a -=+32020=⨯6060=．故选:C ．【点睛】此题主要考查了规律型:数字的变化类及有理数的混合运算,解题时首先观察,分析归纳出题目中隐含的规律,然后利用规律把题目变形,从而使计算变得比较简便．15．计算：2222211111(1)(1)(1)...(1)(1)56799100-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-的结果是（ ） A ．101200 B ．101125 C ．101100 D ．1100答案：B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式====．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常解析：B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =41015100⨯ =101125．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．16．把有理数a 代数410a +-得到1a ，称为第一次操作，再将1a 作为a 的值代入410a +-得到2a ，称为第二次操作，...，若a =23，经过第2020次操作后得到的是（ ）A ．-7B ．-1C ．5D ．11答案：A【分析】先确定第1次操作，a1=|23+4|-10=17；第2次操作，a2=|17+4|-10=11；第3次操作，a3=|11+4|-10=5；第4次操作，a4=|5+4|-10=-1；第5次解析：A【分析】先确定第1次操作，a 1=|23+4|-10=17；第2次操作，a 2=|17+4|-10=11；第3次操作，a 3=|11+4|-10=5；第4次操作，a 4=|5+4|-10=-1；第5次操作，a 5=|-1+4|-10=-7；第6次操作，a 6=|-7+4|-10=-7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．【详解】解：第1次操作，a 1=|23+4|-10=17；第2次操作，a 2=|17+4|-10=11；第3次操作，a 3=|11+4|-10=5；第4次操作，a 4=|5+4|-10=-1；第5次操作，a 5=|-1+4|-10=-7；第6次操作，a 6=|-7+4|-10=-7；第7次操作，a 7=|-7+4|-10=-7；…第2020次操作，a 2020=|-7+4|-10=-7．故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．17．当x 分别取-2019、-2018、-2017、…、-2、-1、0、1、12、13、…、12017、12018、12019时，分别计算分式2211x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于( ) A ．-1 B ．1 C ．0 D ．2019答案：A【分析】设a 为负整数，将x=a 代入得：，将x=-代入得：，故此可知当x 互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．【详解】∵将x=a 代入得：，将x=-代入得：，∴，当x=0时，解析：A【分析】设a 为负整数，将x=a 代入得：2211a a -+，将x=-1a 代入得：2211a a -+，故此可知当x 互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．【详解】∵将x=a 代入得：2211a a -+，将x=-1a 代入得：2222222*********a a a a a a a a ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴222211011a a a a --+=++， 当x=0时，2211x x -+=-1， 故当x 取-2019，-2018，-2017，……，-2，-1，0，1，12，13，……，12017，12018，12019时，得出分式2211x x -+的值，再将所得结果相加，其和等于：-1． 故选A ．【点睛】本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x 的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．18．一根1m 长的小棒，第一次截去它的12，第二次截去剩下的12，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ）A ．51()2m B ．[1－51()2]m C ．0．5m D ．[1－51()2]m 答案：A【解析】试题分析：根据题意可得：第一次剩下m ，第二次剩下m ，第三次剩下m ，则第5次剩下m ．考点：规律题解析：A【解析】 试题分析：根据题意可得：第一次剩下12m ，第二次剩下211()42=m ，第三次剩下311()82=m ，则第5次剩下51()2m ． 考点：规律题19．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，⋯依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ）A ．2019B ．2020C ．-2020D ．1010答案：B【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果；【详解】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得，故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数解析：B【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，根据题意把所有的数字相加即可得到结果；【详解】解：设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得()()()()()2468403440364038++-+++-+⋯+-+()()()()246810122403440364038-+-+-+⋯+-+═20184038=-+2020=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，准确计算是解题的关键．20．计算242(21)(21)(21)(21)n +++⋅⋅⋅+的值是（ ）A ．21n -B ．221n -C ．421n -D ．2221n - 答案：C【解析】【分析】原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（24-1）（24+1）…解析：C【解析】【分析】原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：242(21)(21)(21)(21)n +++⋅⋅⋅+=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n +1）=（24-1）（24+1）…（22n +1），=（28-1）（28+1）…（22n +1），=（22n -1）（22n +1），=24n -1，故选C ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添1=（2-1）是解本题的关键．三、规律问题图形变化类21．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中图①有3张黑色正方形纸片，图②有5张黑色正方形纸片，图③有7张黑色正方形纸片…按此规律排列下去，图⑩中黑色正方形纸片的张数为（ ）A ．17B ．19C ．21D ．23解析：C【分析】 设第n （n 为正整数）个图形有a n 张黑色正方形纸片，根据各图形中黑色正方形纸片张数的变化，可找出变化规律“a n =2n +1”，再代入n =10即可求出结论．【详解】解：设第n（n为正整数）个图形有a n张黑色正方形纸片．观察图形，可知：a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1，…，∴a n=2n+1，∴a10=2×10+1=21．故选：C．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中黑色正方形纸片张数的变化，找出变化规律“a n=2n+1”是解题的关键．22．观察下列一组图形，第①个图形有3个小圆圈，第②个图形有5个小圆圈，第③个图形有9个小圆圈，第④个图形有15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为（）A．59 B．75 C．81 D．93解析：B【分析】根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，可知第n个图形中小圆圈的个数为3+(n-1)×n．【详解】解：根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为3+8×9=75，故选：B．【点睛】本题考查了图形变化规律，根据图形中小圆圈的增长变化特点，找到变化规律是解题关键．23．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（）A ．2018(3)倍B ．2019(3)倍C ．2020(3)倍D ．2021(3)倍解析：C【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC 判断出△ABC 的形状及∠2的度数，求出AB 的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°，AD=CD=BC ，∴△BCD 为等边三角形， ∴BD=12AC ， ∴△ABC 是直角三角形又∵BC=12AC ， ∴∠2=30°， ∴33CD ，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的23)倍，，∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的20203)倍．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，点1234,,,,A A A A 在x 轴正半轴上，点123,,,B B B 在直线3(0)y x x =≥上，若1(1,0)A ，且112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，则线段20192020B B 的长度为（ ）A ．23B ．23C ．23D ．23解析：D【分析】 根据题意得出∠A n OB n =30°，从而推出A n B n =OA n ，得到B n B n+13n A n+1，算出B 1A 2=1，B 2A 3=2，B 3A 4=4，找出规律得到B n A n+1=2n-1，从而计算结果．【详解】解：设△B n A n A n+1的边长为a n ，∵点B 1，B 2，B 3，…是直线3(0)y x x =≥上的第一象限内的点， 过点A 1作x 轴的垂线，交直线3(0)3y x x =≥于C ， ∵A 1（1，0），令x=1，则y=33， ∴A 1C=33， ∴1113tan 3AC AOC OA ∠==， ∴∠A n OB n =30°， ∵112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形， ∴∠B n A n A n+1=60°，∴∠OB n A n =30°，∴A n B n =OA n ，∵∠B n A n+1B n+1=60°，∴∠A n+1B n B n+1=90°，∴B n B n+13n A n+1，∵点A 1的坐标为（1，0），∴A 1B 1=A 1A 2=B 1A 2=1，A 2B 2=OA 2=B 2A 3=2，A 3B 3=OA 3=B 3A 4=4，...，∴A n B n =OA n =B n A n+1=2n-1，∴20192020B B 32019A 2020201832，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键． 25．如图，直线m//n ，点A 在直线m 上，BC 在直线n 上，构成ABC ，把ABC 向右平移BC 长度的一半得到A B C '''（如图①），再把A B C '''向右平移BC 长度的一半得到A B C ''''''△（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2020个图形中三角形的个数是（ ）A ．4040B ．6060C ．6061D ．8080解析：D【分析】 探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个，第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个，第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个，…依次可得第n 个图形中大三角形有2n 个，小三角形有2n 个．故第2019个图形中三角形的个数是：2×2020+2×2020=8080．故选：D ．【点睛】本题考查规律型问题，平行线的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．26．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）A ．61B ．62C ．63D ．65解析：A【分析】 根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决．【详解】解：由图可得，第一个图有1个蜂巢，第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，…，则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，故选：A ．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．27．把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②图案有7个黑色三角形，第③个图案有10个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑥图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．16B ．19C ．31D ．36解析：B【分析】观察图案发现第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=；第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=；第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=；即可求解．【详解】解：第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=；第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=；第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=；……第⑥个图案中黑色三角形的个数为13619+⨯=，故答案为：B ．【点睛】本题考查图形的规律，观察图案找出规律是解题的关键．28．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128解析：C【分析】 根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案．【详解】如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°，∵∠MON=30°，∴∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1= A 1A 2=1，∵△A 2B 2A 3是等边三角形，同理可得：OA 2=B 2A 2=2，同理；OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，OA 5=B 5A 5=4216=，…，以此类推：所以OA 7=B 7A 7=6264=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键．29．如图，已知3343111122224,,,AB A B A B A A A B A A A B A A ====，若68A ︒∠=，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A ．682nB ．1682n -C ．1682n +D ．2682n + 解析：B【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以写出前面几个11n n n A A B --∠的度数及其与顶点下标的关系,然后通过类比和不完全归纳法可以得到 11n n n A A B --∠ ．【详解】解：∵116868A AB A B BA A ∠=︒=∴∠=︒，，， ∵11211121112,BA A A A B A B A A B A A ∠=∠+∠=，∴ 121682A A B ︒∠=， 同理可得：23234323686822A A B A A B ︒︒∠=∠=，， ∴111682n n n n A A B ---︒∠=， 故选B ．【点睛】本题考查图形类规律探索，熟练掌握三角形的外角性质、等腰三角形的性质及不完全归纳法的运用是解题关键．30．“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（ ）A．192 B．243 C．256 D．768解析：D【分析】结合图形的变化写出前3次变化所得边数，发现规律：每多一次操作边数就是上一次边数的4倍，进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数．【详解】解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41＝12；操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42＝48；操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即3×43＝192；所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44＝768；故选：D．【点睛】本题主要考查了规律题型图形变化类，准确判断计算是解题的关键．。
上海进才中学北校初中数学八年级下期末测试(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：10224]直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） A ．ab=h 2B ．a 2+b 2=2h 2C ．111a b h+= D ．222111a b h+= 2．(0分)[ID ：10220]顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所围成的四边形是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．(0分)[ID ：10209]估计()-⋅1230246的值应在（ ） A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．(0分)[ID ：10203]三角形的三边长为22()2a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形5．(0分)[ID ：10145]计算4133÷的结果为（ ）. A ．32B ．23C ．2D ．26．(0分)[ID ：10141]计算12（75+313﹣48）的结果是（ ） A ．6B ．43C ．23+6D ．127．(0分)[ID ：10140]下列计算正确的是（ ） A ．2(4)-=2 B ．52=3-C ．52=10⨯D ．62=3÷8．(0分)[ID ：10139]已知y =（k -3）x |k |-2+2是一次函数，那么k 的值为（ ）A ．3±B ．3C ．3-D ．无法确定9．(0分)[ID ：10138]小强所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，先骑了5分钟后，因故停留10分钟，再继续骑了5分钟到家．下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s （千米）与所用时间t （分）之间的关系（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：10135]若函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，则函敷2y x k =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．(0分)[ID ：10134]对于函数y ＝2x +1下列结论不正确是（ ） A ．它的图象必过点（1，3） B ．它的图象经过一、二、三象限 C ．当x ＞12时，y ＞0 D ．y 值随x 值的增大而增大12．(0分)[ID ：10182]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A ．9B ．6C ．4D ．313．(0分)[ID ：10170]如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法不一定成立的是（ ）A ．∠ABC=90°B ．AC=BDC ．OA=OBD ．OA=AD14．(0分)[ID ：10160]如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 的中点C '上.若6AB =，9BC =，则BF 的长为( )A ．4B ．32C ．4.5D ．515．(0分)[ID ：10159]将根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm ，则h 的取值范围是( )A ．h 17cm ≤B ．h 8cm ≥C ．7cm h 16cm ≤≤D ．15cm h 16cm ≤≤二、填空题16．(0分)[ID ：10313]函数1y=x的定义域____．17．(0分)[ID ：10308]如图，直线l 1：y =x +n –2与直线l 2：y =mx +n 相交于点P (1，2)．则不等式mx +n <x +n –2的解集为______．18．(0分)[ID ：10305]若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a b -=______. 19．(0分)[ID ：10301]如图所示，将四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD 的形状，并使其面积变为原来的一半，则这个平行四边形的一个最小的内角的度数是_____．20．(0分)[ID ：10298]函数1y x =-x 的取值范围是 ． 21．(0分)[ID ：10287]已知函数y ＝2x ＋m －1是正比例函数，则m ＝___________. 22．(0分)[ID ：10260]在ABC ∆中,13AC BC ==, 10AB =,则ABC ∆面积为_______． 23．(0分)[ID ：10252]有一组数据如下：2，3，a ，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ．24．(0分)[ID：10247]已知数据：﹣1，4，2，﹣2，x的众数是2，那么这组数据的平均数为_____．25．(0分)[ID：10238]如图：长方形ABCD中，AD=10，AB=4，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为___.三、解答题26．(0分)[ID：10422]2019年4月23日是第24个世界读书日．为迎接第24个世界读书日的到来，某校举办读书分享大赛活动：现有甲、乙两位同学的各项成绩如下表所示：若“推荐语”“读书心得”“读书讲座”的成绩按2:3:5确定综合成绩，则甲、乙二人谁能获胜？请通过计算说明理由参赛者推荐语读书心得读书讲座甲878595乙94888827．(0分)[ID：10392]如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由．28．(0分)[ID：10386]某经销商从市场得知如下信息：A品牌手表B品牌手表进价（元/块）700100售价（元/块）900160他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品牌手表x 块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为y元．（1）试写出y与x之间的函数关系式；（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案；（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大；最大利润是多少元.29．(0分)[ID：10362]某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：（1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩；（2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1:2:7的权重来确定期末评价成绩．①请计算小张的期末评价成绩为多少分？②小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？30．(0分)[ID：10430]在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．B4．C5．D6．D7．C8．C9．D10．C11．C12．D13．D14．A15．C二、填空题16．【解析】【分析】由根式的被开方数大于等于0分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值即可【详解】根据题意得解得故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变17．>1【解析】∵直线l1：y＝x＋n－2与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(12)∴关于x的不等式mx＋n＜x＋n－2的解集为x>1故答案为x>118．【解析】【详解】若的整数部分为a小数部分为b∴a=1b=∴a-b==1故答案为119．30°【解析】【分析】过A作AE⊥BC于点E由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状面积变为原来的一半可得AE＝AB由此即可求得∠ABE＝30°即平行四边形中最小的内角为30°【详解】解：过A作20．x＞1【解析】【分析】【详解】解：依题意可得解得所以函数的自变量的取值范围是21．1【解析】分析：依据正比例函数的定义可得m-1=0求解即可详解：∵y＝2x＋m－1是正比例函数∴m-1=0解得:m=1故答案为:1点睛：本题考查了正比例函数的定义解题的关键是掌握正比例函数的定义22．60【解析】【分析】根据题意可以判断为等腰三角形利用勾股定理求出AB边的高即可得到答案【详解】如图作出AB边上的高CD∵AC=BC=13AB=10∴△ABC是等腰三角形∴AD=BD=5根据勾股定理C23．2【解析】试题分析：先由平均数计算出a=4×5-2-3-5-6=4再计算方差（一般地设n 个数据x1x2…xn的平均数为=（）则方差=）==2考点：平均数方差24．【解析】试题分析：数据：﹣142﹣2x的众数是2即的2次数最多；即x=2则其平均数为：（﹣1+4+2﹣2+2）÷5=1故答案为1考点：1众数；2算术平均数25．2或25或3或8【解析】【分析】【详解】解：∵AD=10点Q是BC的中点∴BQ=BC=×10=5如图1PQ=BQ=5时过点P作PE⊥BC于E根据勾股定理QE=∴BE=BQ﹣QE=5﹣3=2∴AP=B三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边c=abh．再结合勾股定理：a2+b2=c2．进行等量代换，得a2+b2=222a bh，两边同除以a 2b 2， 得222111a b h +=． 故选D ．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【详解】解：∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH//FG//BD ，EF//AC//HG ，EH =FG =12BD ，EF =HG =12AC ，∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵AC ⊥BD ，AC =BD ， ∴EF ⊥FG ，FE =FG ， ∴四边形EFGH 是正方形， 故选：C ． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．3．B解析：B 【解析】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围. 【详解】(130246=11302466=252，而25=45=20⨯ 20，所以2<2<3，所以估计(2和3之间， 故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.4．C解析：C 【解析】 【分析】利用完全平方公式把等式变形为a 2+b 2=c 2，根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形，可得答案． 【详解】∵22()2a b c ab +=+， ∴a 2+2ab+b 2=c 2+2ab ， ∴a 2+b 2=c 2，∴这个三角形是直角三角形， 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可. 【详解】原式2===. 故选：D. 【点睛】本题考查二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解答本题的关键.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】===．12故选：D.7．C解析：C【解析】【分析】根据二次根式的性质与二次根式的乘除运算法则逐项进行计算即可得．【详解】，故A选项错误；不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；C选项正确；D选项错误，故选C.【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的加减运算、乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．8．C解析：C【解析】【分析】根据一次函数的定义可得k-3≠0，|k|-2=1，解答即可．【详解】一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．所以|k|-2=1，解得：k=±3，因为k-3≠0，所以k≠3，即k=-3．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．9．D解析：D【解析】【分析】根据描述，图像应分为三段，学校离家最远，故初始时刻s最大，到家，s为0，据此可判断.【详解】因为小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，所以图象应分为三段，根据最后离家的距离为0，由此可得只有选项DF 符合要求．故选D ．【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．10．C解析：C【解析】【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质逐项判断即可求解.【详解】∵函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，∴k ＞0，∵一次函数2y x k =+，∴1k =1＞0，b=2k ＞0，∴此函数的图像经过一、二、四象限；故答案为C.【点睛】本题考查了正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像特点是解题的关键.11．C解析：C【解析】【分析】利用k 、b 的值依据函数的性质解答即可.【详解】解：当x ＝1时，y ＝3，故A 选项正确，∵函数y ＝2x +1图象经过第一、二、三象限，y 随x 的增大而增大，∴B 、D 正确，∵y ＞0，∴2x +1＞0，∴x ＞﹣12， ∴C 选项错误，【点睛】此题考查一次函数的性质，熟记性质并运用解题是关键.12．D解析：D【解析】【分析】已知ab ＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.【详解】a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：，11ab 8422=⨯=每一个直角三角形的面积为：， 214ab a b 252（），∴⨯+-= 2a b 25169∴-=-=（），a b 3∴-=，故选D.【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．13．D解析：D【解析】【分析】根据矩形性质可判定选项A 、B 、C 正确，选项D 错误.【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD ，OA=OB ,故选D【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解决问题的关键.14．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵点C′是AB 边的中点，AB=6，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9-BF）2，解得，BF=4，故选A．15．C解析：C【解析】【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．【详解】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm；再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=2222158AB BC+=+=17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．二、填空题16．【解析】【分析】由根式的被开方数大于等于0分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值即可【详解】根据题意得解得故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变解析：0x>．【解析】【分析】由根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值即可．【详解】根据题意得，0 xx≥⎧⎨≠⎩故答案为：0x>.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．17．>1【解析】∵直线l1：y＝x＋n－2与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(12)∴关于x的不等式mx＋n＜x＋n－2的解集为x>1故答案为x>1解析：x>1【解析】∵直线l1：y＝x＋n－2与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)，∴关于x的不等式mx＋n＜x＋n－2的解集为x>1，故答案为x>1.18．【解析】【详解】若的整数部分为a小数部分为b∴a=1b=∴a-b==1故答案为1解析：【解析】【详解】若3的整数部分为a，小数部分为b，∴a=1，b=31-，∴3a-b=3(31)--=1．故答案为1．19．30°【解析】【分析】过A作AE⊥BC于点E由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状面积变为原来的一半可得AE＝AB由此即可求得∠ABE＝30°即平行四边形中最小的内角为30°【详解】解：过A作解析：30°【解析】【分析】过A作AE⊥BC于点E，由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，面积变为原来的一半，可得AE＝12AB，由此即可求得∠ABE＝30°，即平行四边形中最小的内角为30°．【详解】解：过A作AE⊥BC于点E，如图所示：由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，面积变为原来的一半，得到AE ＝12AB ，又△ABE 为直角三角形， ∴∠ABE ＝30°，则平行四边形中最小的内角为30°．故答案为：30°【点睛】 本题考查了平行四边形的面积公式及性质，根据题意求得AE ＝12AB 是解决问题的关键． 20．x ＞1【解析】【分析】【详解】解：依题意可得解得所以函数的自变量的取值范围是解析：x ＞1【解析】【分析】【详解】解：依题意可得10x ->，解得1x >，所以函数的自变量x 的取值范围是1x >21．1【解析】分析：依据正比例函数的定义可得m-1=0求解即可详解：∵y＝2x ＋m －1是正比例函数∴m -1=0解得:m=1故答案为:1点睛：本题考查了正比例函数的定义解题的关键是掌握正比例函数的定义解析：1【解析】分析：依据正比例函数的定义可得m-1=0,求解即可,详解：∵y ＝2x ＋m －1是正比例函数,∴m-1=0.解得:m=1.故答案为:1.点睛：本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义.22．60【解析】【分析】根据题意可以判断为等腰三角形利用勾股定理求出AB 边的高即可得到答案【详解】如图作出AB 边上的高CD ∵AC=BC=13AB=10∴△AB C 是等腰三角形∴AD=BD=5根据勾股定理C解析：60【解析】【分析】根据题意可以判断ABC ∆为等腰三角形，利用勾股定理求出AB 边的高，即可得到答案.【详解】如图作出AB 边上的高CD∵AC=BC=13， AB=10，∴△ABC 是等腰三角形，∴AD=BD=5，根据勾股定理 CD 2=AC 2-AD 2， 22135-，12ABC SCD AB =⋅=112102⨯⨯=60， 故答案为：60.【点睛】 此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理，关键是判断三角形的形状，利用勾股定理求出三角形的高.23．2【解析】试题分析：先由平均数计算出a=4×5-2-3-5-6=4再计算方差（一般地设n 个数据x1x2…xn 的平均数为=（）则方差=）==2考点：平均数方差解析：2【解析】试题分析：先由平均数计算出a=4×5-2-3-5-6=4，再计算方差（一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，x =1n （12n x x x ++⋯+），则方差2S =1n [22212n x x x x x x -+-+⋯+-（）（）（）]），2S =15[222222434445464-+-+-+-+-（）（）（）（）（）]=2． 考点：平均数，方差24．【解析】试题分析：数据：﹣142﹣2x 的众数是2即的2次数最多；即x=2则其平均数为：（﹣1+4+2﹣2+2）÷5=1故答案为1考点：1众数；2算术平均数解析：【解析】试题分析：数据：﹣1，4，2，﹣2，x 的众数是2，即的2次数最多；即x=2．则其平均数为：（﹣1+4+2﹣2+2）÷5=1．故答案为1．考点：1．众数；2．算术平均数．25．2或25或3或8【解析】【分析】【详解】解：∵AD=10点Q 是BC 的中点∴BQ=BC=×10=5如图1PQ=BQ=5时过点P 作PE ⊥BC 于E 根据勾股定理QE=∴BE=BQ ﹣QE=5﹣3=2∴AP=B解析：2或2.5或3或8．【解析】【分析】【详解】解：∵AD=10，点Q 是BC 的中点，∴BQ=12BC=12×10=5， 如图1，PQ=BQ=5时，过点P 作PE ⊥BC 于E ，根据勾股定理，QE=2222543PQ PE -=-=，∴BE=BQ ﹣QE=5﹣3=2，∴AP=BE=2；②如图2，BP=BQ=5时，过点P 作PE ⊥BC 于E ，根据勾股定理，BE=2222543PB PE -=-=，∴AP=BE=3；③如图3，PQ=BQ=5且△PBQ 为钝角三角形时，BE=QE+BQ=3+5=8，AP=BE=8，④若BP=PQ ，如图4，过P 作PE ⊥BQ 于E ，则BE=QE=2.5，∴AP=BE=2.5． 综上所述，AP 的长为2或3或8或2.5．故答案为2或3或8或2.5．【点睛】本题考查等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；注意分类讨论是本题的解题关键．三、解答题26．甲获胜；理由见解析．【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可．【详解】甲获胜； 甲的加权平均成绩为87285395590.4235⨯+⨯+⨯=++（分)， 乙的加权平均成绩为94288388589.2235⨯+⨯+⨯=++（分)， ∵90.489.2>，∴甲获胜．【点睛】此题考查了加权平均数的概念及应用，用到的知识点是加权平均数的计算公式，解题的关键是根据公式列出算式． 27．△ABD 为直角三角形，理由见解析．【解析】【分析】先在△ABC 中,根据勾股定理求出2AB 的值,再在△ABD 中根据勾股定理的逆定理,判断出AD ⊥AB,即可得到△ABD 为直角三角形．【详解】解：△ABD 为直角三角形理由如下：∵∠C =90°，AC =3，BC =4，. ∴222222435AB CB AC =+=+=∵52+122=132222AB AD BD ∴+=,90BAD ∴∠=︒28．（1）y=140x+6000；（2）三种，答案见解析；（3）选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．【解析】【分析】（1）根据利润y=（A售价﹣A进价）x+（B售价﹣B进价）×（100﹣x）列式整理即可；（2）全部销售后利润不少于1.26万元得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；（3）利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．【详解】解：（1）y=（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）=140x+6000.由700x+100（100﹣x）≤40000得x≤50.∴y与x之间的函数关系式为y=140x+6000（x≤50）（2）令y≥12600，即140x+6000≥12600，解得x≥47.1.又∵x≤50，∴经销商有以下三种进货方案：∴x=50时y取得最大值.又∵140×50+6000=13000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．【点睛】本题考查由实际问题列函数关系式；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．29．(1)80;(2)①80；②85.【解析】【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的定义计算可得．【详解】解：（1）小张的期末评价成绩为709080803++=（分)；（2）①小张的期末评价成绩为70190280780127⨯+⨯+⨯=++（分)；②设小王期末考试成绩为x分，根据题意，得：601752780127x⨯+⨯+++，解得84.2x，∴小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀．【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．30．(1) ﹣4≤y＜6；（2）点P的坐标为（2，﹣2） .【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（1）利用一次函数增减性得出即可．（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．【详解】设解析式为：y=kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，解得：，∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n=﹣2m+2，∵m﹣n=4，∴m﹣（﹣2m+2）=4，解得m=2，n=﹣2，∴点P的坐标为（2，﹣2）．考点：1、待定系数法求一次函数的解析式，2、一次函数图象上点的坐标特征，3、一次函数的性质。
上海进才中学北校八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
上海进才中学北校八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．①请直接写出∠AEB 的度数为_____；②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．2．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.3．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求ABF ACF S S 的值．4．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．5．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．6．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．7．在等腰ABC ∆中，AB AC =,AE 为BC 边上的高，点D 在ABC ∆的外部且60CAD ∠=，AD AC =,连接BD 交直线AE 于点F ，连接FC ．(1)如图①，当120BAC ∠<时，求证：BF CF =；(2)如图②，当40BAC ∠=时，求AFD ∠的度数；(3)如图③，当120BAC ∠>时,求证：CF AF DF =+．8．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．①当α＝70°时，∠BDC 度数＝ 度（直接写出结果）；②∠BDC 的度数为 （用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ，求∠BFC 的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．9．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接 BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．10．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF11．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足a 6b 80-+-=．（1）a = ；b = ；直角三角形AOC 的面积为 ．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC =∠D CO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOD ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．12．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐为()2,0，点D 的坐标为()0,2-，在ABC ∆中45ABC ACB ∠=∠=，//BC x 轴交y 轴于点M ．（1）求OAD ∠和ODA ∠的度数；（2）如图2，在图1的基础上，以点B 为一锐角顶点作Rt BOE ∆，90BOE =∠，OE 交AC 于点P ，求证：OB OP =；（3）在第（2）问的条件下，若点B 的标为()2,4--，求四边形BOPC 的面积．13．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6．（1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度；②当t 为何值时，点M 与点N 重合；③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ． 14．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：2114x x =+，求代数式x 2+21x的值． 解：∵2114x x =+，∴21x x+＝4 即21x x x+＝4∴x +1x ＝4∴x 2+21x ＝（x +1x ）2﹣2＝16﹣2＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x ＝3y ＝4z ，且xyz ≠0，求x y z+的值． 解：令2x ＝3y ＝4z ＝k （k ≠0） 则11k k k k x 622,,,117234y z 7k k 3412x y z ===∴===++ 根据材料回答问题：（1）已知2114x x x =-+，求x +1x的值． （2）已知523a b c ==，（abc ≠0），求342b c a +的值． （3）若222222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c ++===+++++，x ≠0，y ≠0，z ≠0，且abc ＝7，求xyz 的值．15．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．16．探究发现：如图①，在ABC 中，内角ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线相交于点E ．（1）若80A ∠=︒，则E ∠= ；若50A ∠=︒，则E ∠= ；（2）由此猜想：A ∠与E ∠的关系为 (不必说明理由)．拓展延伸：如图②，四边形ABCD 的内角DCB ∠与外角ABE ∠的平分线相交于点F ，//BF CD ．（3）若125A ∠=︒，95D ∠=︒，求F ∠的度数，由此猜想F ∠与A ∠，D ∠之间的关系，并说明理由．17．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若3,1a b ab ，求22a b +的值． 解：因为3,1a b ab 所以()29,22a b ab +==所以2229,22a b ab ab ++==得227a b +=．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若228,40x y x y +=+=，求xy 的值；（2）①若()45x x -=,则()224x x -+= ； ②若()()458x x --=则()22()45x x -+-= ； （3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC BC 、为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分面积．18．如图1，直角三角形DEF 与直角三角形ABC 的斜边在同一直线上，∠EDF ＝30°，∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ，将△DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，记∠ADF 为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；（1）如图2，当∠α＝ 时，//DE BC ，当∠α＝ 时，DE ⊥BC ；（2）如图3，当顶点C 在△DEF 内部时，边DF 、DE 分别交BC 、AC 的延长线于点M 、N ， ①此时∠α的度数范围是 ；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．19．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．20．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.【解析】【分析】（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ．（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC －∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM =DM= ME ，∴DE = 2CM ．∴AE = DE+AD=2CM+BE ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE ∴=EBC ∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF ∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒60BMG ∠=︒DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠在FMG ∆和DMB ∆中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA ∴∆≅∆GF BD ∴=，即DF DG BD +=AD DF DG MD DG ∴=+=+即AD DG MD =+；（3）结论：AD DG ND =-，证明过程如下：如图，延长BD 使得DH ND =，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD ∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN ∴∆是等边三角形,60NH ND H HND ∴=∠=∠=︒60BNG ∠=︒HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF ＝∠1+∠BAF ＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC ≌△ADB ，即可推出∠BFC ＝∠ADB ＝90°；（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK ．只要证明△ABK ≌CAF ，可得S △ABK ＝S △AFC ，再证明AF ＝FK ＝BK ，可得S △ABK ＝S △AFK ，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝60°∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵AD ⊥BN ，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABF AFCS 2S ∆∆=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ，∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ，∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．5．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．6．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠，()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE AMC ︒∠+∠+∠=， 112()90CMF ABE AMC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF A MC ︒︒∴-∠+∠=， ()112906090A MC ︒︒︒∴-+∠=， 1130AMC ︒∴∠=； （3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.7．（1）见解析；（2）60AFD ∠=；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE 垂直平分BC ，F 为垂直平分线AE 上点，即可得出结论；（2）根据（1）的结论可得AE 平分∠BAC ，∠BAF=20°，由AB=AC=AD ，推出40ABD ADB ∠=∠=，根据外角性质可得AFD BAF ABF ∠=∠+∠计算即可；（3）在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，证明△ACM ≌△ADF （SAS ），进而证得△AFM 为等边三角形即可．【详解】（1）证明：∵AE 为等腰△ABC 底边BC 上的高线，AB=AC ，AE BC ∴⊥，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE ，∴AE 垂直平分BE ，F 在AE 上，BF CF ∴=；(2) ,AB AC AD AC ==，AB AD ∴=，100BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，40ABD ADB ∴∠=∠=，由（1）知，AE 平分∠BAC ，20BAF CAF ∴∠=∠=，60AFD BAF ABF ∴∠=∠+∠=，故答案为：60°；(3) 在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，由（1）可知，∠ABC=∠ACB ，∠FBC =∠FCB ，ABF ACF ∴∠=∠，AB AC AD ==，ABF D ∴∠=∠，ACF D ∴∠=∠，在△ACM 和△ADF 中，AC AD ACM ADF CM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM ≌△ADF （SAS ），,AF AM FAD MAC ∴=∠=∠，60FAM DAC ∴∠=∠=，∴△AFM 为等边三角形，FM AF ∴=，CF FM MC AF DF ∴=+=+．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．8．（1）（1）①125°；②1902α︒+，（2）1BFC2α∠=；（3）1BMC904α︒∠=+【解析】【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣70°）＝125°②∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A＝90°+12α． 故答案分别为125°，90°+12α． （2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2∠=∠， ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠ 即1BFC 2α∠=． （3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=， 由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+∠， ∴1BMC 904α∠=︒+． 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．11．（1）6；8；24；（2）存在 2.4t =时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC ，见解析【解析】【分析】（1）利用非负性即可求出a ，b 即可得出结论,即可求出△ABC 的面积；（2）先表示出OQ ，OP ，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠OAC=∠AOD ，进而判断出OG ∥AC ，即可判断出∠FHC=∠ACE ，同理∠FHO=∠GOD ，即可得出结论．【详解】解：(1) 解：（1）∵a 6b 80--=， ∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；∴S △ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24(2) ∵114222ODQ D S OQ x t t ∆=⋅=⋅⋅= 11(82)312322ODP D S OP y t t ∆=⋅=⋅-⋅=- 由2123t t =-时, 2.4t =∴存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y轴平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．12．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求解；（2）通过“ASA”可证得△ODB≌△OAP，进而可得BO=OP；（3）过点P作PF⊥x轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQ⊥BC于Q，由“AAS”可证△OBM≌△OPF，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC的面积．【详解】（1）∵点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，-2），∴OA=OD，∵∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ODA=45°；（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，∴∠BOD=∠AOP ，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，AB=AC ，∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ODB=135°=∠OAP ，在△ODB 和△OAP 中，BOD AOP OD OAODB OAP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ODB ≌△OAP （ASA ），∴BO=OP ；（3）如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，∵BC ∥x 轴，AQ ⊥BC ，PF ⊥x 轴，∴AQ ⊥x 轴，PN ⊥BC ，∠AOM=∠BMO=90°，∴点Q 横坐标为2，∵∠BAC=90°，AB=AC ，AQ ⊥BC ，∴BQ=QC ，∵点B 的标为（-2，-4），∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC ，∵PF ⊥x 轴，∴∠OFP=∠OMB=90°，在△OBM 和△OPF 中，BOM POF BMO OFP BO PO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△OBM ≌△OPF （AAS ），∴PF=BM=2，OF=OM=4，∵BC ∥x 轴，AQ ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，∴OM=AQ=FN=4，∴PN=2，∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠CPN=45°，∴CN=PN=2，∵四边形BOPC的面积=S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC，∴四边形BOPC的面积=12×2×4+12×4×（2+4）+12×2×2=18．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．13．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10,2 11【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECB AC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN ＝CN−BC ＝8t−10；②点M 与点N 重合时，CM ＝CN ，即3t ＝8t−10，解得：t ＝2，∴当t 为2秒时，点M 与点N 重合；③分两种情况：当点N 在线段BC 上时，△PCM ≌△QNC ，∴CM ＝CN ，∴3t ＝10−8t ，解得：t ＝1011； 当点N 在线段CA 上时，△PCM ≌△QCN ，点M 与N 重合，CM ＝CN ，则3t ＝8t−10，解得：t ＝2；综上所述，当△PCM 与△QCN 全等时，则t 等于1011s 或2s ， 故答案为：1011s 或2s ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（1）5；（2）95； （3）78【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k（k ≠0），化简得：b c k y z +=①，c a k z x +=②，a b k x y +=③，相加变形可得x 、y 、z 的代入222222x y z a b c ++++＝1k中，可得k 的值，从而得结论； 解法二：取倒数得：bz cy yz +＝cx az zx +＝ay bx xy +，拆项得b c c a a b y z z x x y +=+=+，从而得x ＝ay b ，z ＝cy b，代入已知可得结论． 【详解】解：（1）∵21x x x -+＝14， ∴21x x x-+＝4， ∴x ﹣1+1x ＝4， ∴x +1x＝5； （2）∵设5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ， ∴342b c a +＝61210k k k +＝1810＝95； （3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k（k ≠0）， ∴b c k y z +=①，c a k z x+=②，a b k x y +=③， ①+②+③得：2（b c a y z x ++）＝3k ， b c a y z x ++＝32k ④， ④﹣①得：a x ＝12k ， ④﹣②得：12b k y =，④﹣③得：12c z =k ， ∴x ＝2a k ，y ＝2b k ，z ＝2c k 代入222222x y z a b c++++＝1k 中，得： ()22222224a b c k a b c ++++＝1k ， 241k k =， k ＝4，∴x ＝24a ，y ＝24b ，z ＝24c ， ∴xyz ＝864abc ＝8764⨯＝78； 解法二：∵yz zx xy bz cy cx az ay bx==+++， ∴bz cy cx az ay bx yz zx xy+++==， ∴b c c a a b y z z x x y+=+=+， ∴,b a c b y x z y==， ∴,ay cy x z b b ==， 将其代入222222zx x y z cx az a b c ++=+++中得： cy ay b b acy acy b b⋅+＝2222222222a y c y yb b a bc ++++ 2y b ＝22y b ，y ＝2b ， ∴x ＝22ab a b =，z ＝cy 2y ＝2c ， ∴xyz ＝222a b c ⋅⋅＝78． 【点睛】本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.15．（1）2；（2）4。
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勾股定理的应用
进才中学北校章慧
教学目标：
1、通过对一些典型题目的思考、解答，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，加深对勾股定理的理解应用。
2、会用勾股定理解决一些简单的实际问题,逐步渗透“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
3、在勾股定理应用的学习中感受人类文明的力量和中华民族对人类文明的贡献，并了解勾股定理的重要性。
4、积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱祖国，尊重科学的高尚品质。
教学重点难点：
勾股定理的应用，分析思路，渗透数学思想
教学过程：
一、情境引入：
我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形．
【设计说明】通过这样一系列的问题，抓住了学生的注意力，“古老的勾股定理，竟然成为了，我们与外星人之间的联络密码!”学生在感叹人类古老文明的同时体会到勾股定理的重要性。
教师再通过一系列生活中随处可见的直角三角形实例，引起学生的共鸣，这是一条非常实用的几何定理。
二、新课探索：
1、斜拉桥上可以看到许多直角三角形
如果知道桥面以上的索塔AB的高，怎么计算各条拉索AC、AD、AE……的长？
【设计说明】在接下去的教学中教师把勾股定理的实际应用放在比较突出的位置，学生通过对一些典型题目的思考、解答，正确、熟练的进行勾股定理有关计算，加深对勾股定理的理解应用。
教师带领着学生们从横跨浦江两岸的斜拉桥到无障碍设施的改造到飞机的行李箱，
巧妙的从水上到陆地到空中，让学生真切感受到勾股定理和我们日常生活密不可分，有着无
穷的生命力。
2、如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？
3、机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体空间。
一位旅客携带一件长60cm的画卷，这件画卷能放入行李架吗？
4、《九章算术》勾股章第6题《引葭(jiā)赴岸》
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”
【设计说明】中国古代数学家较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许多独到之处．借着书上例3《九章算术》勾股章第6题：引葭(jiā)赴岸，师生互动，一起理解题意，分析数量关系，感受题目中折射出的方程思想、数形结合思想和我国古人简练而准确的数学语言。
5、学生练习：《风动红莲》
平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
【设计说明】同时教师顺势而下，介绍了这一问题在世界数学史上很有影响．印度古代数学家婆什迦罗的《丽罗瓦提》一书中有按这一问题改编的＂风动红莲＂；阿拉伯数学家阿尔•卡西的《算术之钥》也有类似的＂池中长茅＂问题；欧洲《十六世纪的算术》一书中又有＂圆池芦苇＂问题。
所有问题内容大体一致，但比我国此类问题的研究要晚几百年甚至上千年！等等相关的信息，鼓励学生可以自己利用课余时间查阅相关资料，丰富知识。
6、下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想
知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流并提出一个设计方案．
三、小结
通过今天这节课的学习，你有什么收获？
四、巩固拓展
1、校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？
2、你能在数轴上画出表示2的点吗? 5，7,6-呢？
思考：已知长度为n （n 是大于１的整数）的线段，你能在作长度为1+n 的线段吗？
五、作业：练习册习题19.9（2）。