2.3.1离散型随机变量的均值与方差-期望值
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
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自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
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每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
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(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
2.3.1离散型随机变量的均值(第一课时)
X P
0
1
… …
m
m n m CM CN M n CN
0 n 0 1 n 1 CM CN C C M M N M n n CN CN
（3）二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，若事件A每次发生 的概率都是p，则称事件A发生的次数X服从二项分布.
X P
0 n
0
1
0 n
…
k
…
n
C pq
五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … …
则称 EX＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋… 为X的均值或数 学期望，数学期望又简称为期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
∴ EX=1×P(X=1)＋0×P(X=0) =1×0.7＋0×0.3 =0.7 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 EX=1×p+0× (1-p)=p 于是有 若X服从两点分布，则EX=p
3.两点分布的均值：
若X服从两点分布，则EX=p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚 2 次球的得分X的期望.
2、随机变量ξ的分布列是
.
ξ P
4 0.3
7 a
0.1 b=
9 b
10 0.2
0.4.
Eξ=7.5,则a=
练习二
1.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 （2）E(ξ－Eξ)= 0 . .
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分ξ的期望为 ． 这是一个两点分布随机变量的期望
选修2-3：2.3.1离散型随机变量的均值(1)
2. 若X服从两点分布，则EX=p
3.若X～B（n , p），则 E( X ) np
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生 甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
例题5
根据气象预报,某地区近期有小洪水的概 率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某 工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失 60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设 备,有以下3种方案:
4.例题讲解
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的概率分布； （2）求X的数学期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2) E（X） 0 0.33 1 C310.7 0.32 2 C320.72 0.3 3 0.73
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项， 其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
离散型随机变量的期望及方差
3．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个 面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上 的数之积的数学期望________．
解析：随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,4，P(ξ＝0)＝34，P(ξ＝1)＝19，P(ξ ＝2)＝19，P(ξ＝4)＝316，因此 Eξ＝49.
(1)X的概率分布；
(2)X的数学期望．
解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2 白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙 2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)．
(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60， P(X＝0)＝(190)3＝1702090； P(X＝10)＝110×(190)2＋190×11082＝1204030； P(X＝20)＝110×11082＝110800；
[例1] 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记 上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标 号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值． [课堂记录] (1)ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3 4
P
1 2
P(X＝50)＝190×1102＝10900； P(X＝60)＝1103＝10100； ∴X 的概率分布为
(2)EX＝0×1702090＋10×1204030＋20×110800＋50×10900＋60×10100＝ 3.3(元)．
热点之二 期望与方差的性质及应用 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算．常用性质 有： (1)EC＝C(C为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)； (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；
最新人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X 的分布列，在ｎ次试验中，有p 1n 次出现了x 1，p 2n 次出现了x 2，…，p n n 次出现了x n ，在ｎ次试验中，X 出现的总次数为p 1nx 1＋p 2nx 2＋…＋p n nx n .因此ｎ次试验中，X 出现的平均值=nnx p nx p nx p nn i +++ 221=EX ，即EX=p 1x 1+p 2x 2+…+p n x n .辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值. 二、随机变量函数的数学期望对随机变量X ，若Y=ａX ＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y 是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.对上述公式，特别地：(1)当a=0时，E （b ）=b ，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a=1时，E （X ＋b ）=EX ＋b ，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期望与这个常数的和； (3)当b=0时，E(aX)=aEX ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.三、常见的离散型随机变量的均值1.两点分布：若X 服从两点分布，则EX=p.事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p ，X 是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p ，则有P （X=0）=q ，P （X=1）=p ，可得: EX=0×q ＋1×p=p.2.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即X —B （n,p ），则EX=np.在一次试验中该事件平均发生ｐ次，我们可以猜想，在n 次独立重复试验中，该事件平均发生ｎｐ次，也就是若X —B(n,p)，则Eξ=np.这就是X 的二项分布的期望的特点. 四、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则（x i -EX ）2描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度，而DX=∑=-ni iEX x12)(p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度.我们称DX 为随机变量X 的方差.其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动越小.显然DX≥0，校准差与随机变量本身有相同单位. 辨析比较 随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差.联想发散 方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的.由方差的定义DX=∑=-ni iEX x12)(p i 可知，计算方差DX 必须先求均值EX ，并且由此定义进一步可得到公式DX=EX 2-(EX)2. 随机变量函数的方差当a ，b 均为常数时，随机变量函数η=aξ+b 的方差D(η)=D(aξ+b)=a 2Dξ. 特别地：(1)当a=0时，D （b ）=0，即常数的方差等于0；(2)当a=1时，D(ξ+b)=Dξ，即随机变量与常数之积的方差等于这个随机变量的方差本身； (3)当b=0时，D(aξ)=a 2Dξ，即随机变量与常数之积的方差，等于这常数的平方与这个随机变量方差的乘积.五、两点分布及二项分布的方差1.两点分布：若X 服从两点分布，则DX=p(1-p).证明：由于X 服从两点分布，即P(X=0)=1-p,P(X=1)=p ， ∴EX=p,EX 2=0×(1-p)+1×p=p, ∴DX=EX 2-(EX)2=p-p 2=p(1-p).2.二项分布：若X —B(n,p),则DX=np(1-p).证明：由X —B(n,p)，令q=1-p,则P(x=i)=i n X p i q n-i，∴EX 2=∑=-ni in i qp i22=∑∑∑==--=-=+-ni ni in iin ini i i qip qp i i 0)1()1(+EX=n(n-1)p2)2()2(2222-+--=--∑n n i ni i n qpC+EX=n(n-1)p2∑-=-22n j i n Cp j q (n-2)-j +EX=n(n-1)p 2(p+q)n-2+EX=n(n-1)p 2+EX=n(n-1)p 2+np. ∴DX=EX 2-(EX)2=n(n-1)p 2+np-np 2=np-np 2=np(1-p). 故DX=np(1-p). 问题·探究问题1 如果X —B(n,p)，你能求出x 的均值吗？思路:如果X —B(n,p)，则有P(x=k)=k n C p k(1-p)n-k ，由均值定义有EX=∑=nk k kn p kC0(1-p)n-k ，又由组合数性质有k k n C =n 11--k n C .EX=∑=--nk k n npC111(1-p)n-1-(k-1)=k n k nk k n p p Cnp--=--∑111)1(=np.探究:均值这一概率是建立在分布列的基础之上的，分布列中随机变量X 的一切可能值x i 与对应的概率P （ξ=x i ）的乘积的和就是随机变量X 的均值.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同，分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 问题2 移动公司在某地区共有客户3 000人，若该地区的办事处准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问该办事处能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备多少份礼品？思路:可能来多少人，是一个随机变量，由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行.探究:如问题2，我们可以设来领奖的人数为一个随机变量ξ=k(k=0,1,2,…,3 000)，所以P(ξ=k )=kC 3000(0.04)k (1-0.04)3 000-k ，则可以得出ξ—(3 000,0.04)，那么Eξ=3 000×0.04=120（人）＞100（人）.所以办事处不能向每一位客户都发出领奖邀请.若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备120份礼品. 典题·热题例1某份英语竞赛试题共有100道选择题，每题有4个选项，只有一个答案正确.选对得1分，否则得0分.学生甲会其中的20题，学生乙会其中的80题，不会的均随机选择.求甲、乙在这次竞赛中得分的期望.思路分析： 数学期望反映了随机变量取值的平均水平，要求数学期望首先要得到分布列，由题意可知，本题为二项分布问题.解：设甲和乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X —B(80,0.25)，Y —B(20,0.25)，∴EX=80×0.25=20,EY=20×0.25=5.故甲、乙在这次竞赛中得分的期望分别为40分和85分. 拓展延伸设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）A.15B.10C.20D.5 思路分析：次品率为P=151150001000 ，且该题服从二项分布，由公式，得EX=nP=150×151=10.故选B. 答案：B方法归纳 通常情况下，在ｎ次独立重复试验中事件发生的次数X 服从二项分布，直接代入公式即可求得期望.例2（2005湖南高考）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （1）求ξ的分布及数学期望；（2）记“函数f(x)=x 2-3ξx ＋1在区间［2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 思路分析： （1）写出ξ的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出P （ξ=k ）（ｋ=1,3），写出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函数的单调性求解. 解：（1）分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”.为事件A 1，A 2，A 3.由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+P （321A A A ∙∙）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （1A ）P （2A ）P （3A ）=2×0.4×0.5×0.6=0.24， P （ξ=1）=1-0.24=0.76. 所以ξ的分布列为Ξ 1 3 P0.76 0.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （2）解法一：因为f(x)=(x-23ξ)2+1-49ξ2, 所以函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［23ξ,+∞）上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当23ξ≤2,即ξ≤34.从而P(A)=P(ξ≤34)=P(ξ=1)=0.76.解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增. 所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.深化升华 本题主要考查离散型随机变量分布列、数学期望和事件的概率等问题.一般解法是先由题意求出分布列，再由随机变量的数学期望公式代入求解即可.这一知识点应是未来高考中的一个热点.例3（2005全国高考）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）思路分析： 首先要求出单个坑不需要补种的概率，然后三个坑认为是三次独立重复试验，然后利用公式求解.解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=81， 所以甲坑不需要补种的概率为1-8781=. 3个坑都不需要补种的概率3003)87()81(⨯⨯C =0.670;恰有1个坑需要补种的概率为213)87(81⨯⨯C =0.287;恰有2个坑需要补种的概率为87)81(223⨯⨯C 8=0.041;3个坑都需要补种的概率为0333)87()81(⨯⨯C =0.002.补种费用ξ的分布列为Ξ 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002ξ的数学期望为Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.方法归纳 本题主要考查计算随机事件发生概率的能力，包括互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识以及利用概率知识解决实际问题的能力.本题解决的关键有两点：一是单坑是否需要补种的概率；二是独立重复试验.首先，一个坑内的3粒种子是否发芽是独立重复试验，据此可得到单坑需要补种的概率；然后，3个坑是否需要补种也是独立重复试验，据此可得需要补种的坑的数目的分布列.例4交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有完全相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.思路分析： 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望.由ξ与η的关系η=ξ-5，利用公式Eη=Eξ-5可得.解：设ξ为抽到的2个球上的钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元,1个5元），ξ=10（抽到2个5元）.所以，由题意：P(ξ=2)=452821028=C C ，P(ξ=6)=45162101218=C C C , P(ξ=10)=45121022=C C ，Eξ=2×4516245110451664528=⨯+⨯+，又设η为抽奖者获利可能值，则η=ξ-5. 所以抽奖者获利的期望为：Eη=Eξ-5=57545162-=-=-1.4. 误区警示 要分清是谁获利，不能忽视了条件是先交5元钱才能参加这一抽奖.因此，不能只计算Eξ，最终Eη的结果出现负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元.例5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：Ξ 0 1 2P106101 103η 012P105 103 102 试对这两名工人的技术水平进行比较.思路分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差的大小.解：工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为： Eξ=0×106+1×101+2×103=0.7，Dξ=(0-0.7)2×106+(1-0.7)2×101+(2-0.7)2×103=0.81； 工人乙生产出次品数ξ的期望和方差分别为：Eξ=0×105+1×103+2×102=0.7; Dξ=(0-0.7)2×105+(1-0.7)2×103+(2-0.7)2×102=0.61.由Eξ=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定.深化升华 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中与稳定.即不要误认为均值相等时，水平就一样好，还要看一下相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定.例6设一次试验的成功率为ｐ，进行100次独立重复试验，求当ｐ为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求最大值.思路分析： 解决本题的关键就是根据题目所给出的条件，找出几个变量之间的关系. 解：设成功次数为随机变量ξ，由题意可知ξ—B(100,p). 那么σξ=)1(100p p D -=ξ, 即Dξ=100p(1-p)=100p-100p 2.把上式看作一个以ｐ为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，Dξ有最大值为25.所以最大ξD 值为5. 故当21时，成功次数的标准差的最大值为5. 方法归纳 对求离散型随机变量的均值与方差的综合问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布是一些熟知的类型（如两点分布、二项分布等）时，应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率.本例中正是利用二项分布快速地得到方差，从而建立了关于ｐ的目标函数，进而求其最值. 此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例1】 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX.解析：由于离散型随机变量的分布列满足 (1)p i ≥0,i=1,2,3,...; (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101)21(2122q q q q 解得 q=1-22 故X 的分布列为∴EX=(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-)=-2321++（-2）=1-2 DX=［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-)=（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX=（-1）×21+0×(1-2q)+1×q 2=q 2-21; DX=［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q)+［1-(q 2-21)］2×q 2这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例2】 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ），那么σX=)1(100p p DX -=，因为DX=100p(1-p)=100p-100p 2（0≤p≤1）把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p=21时，成功次数的标准差的最大值为5. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p 的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1. 三、方差的应用【例3】 海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2（单位：s ），根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量. 解：∵EX 1=0,EX 2=0 ∴EX 1=EX 2∵DX 1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5DX 2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2 ∴DX 1＜DX 2由上可知，A 面大钟的质量较好. 温馨提示随机变量X 的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX 则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X 1、X 2，且EX 1=EX 2或EX 1与EX 2比较接近时，我们常用DX 1与DX 2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X 较为离散，反之则表明X 较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X 与其均值的偏差较大，反之，则表明X 与其均值的偏差较小. 各个击破【类题演练1】若随机事件A 在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.解析：由题意得ξ的分布列为∴Eξ=0×(1-2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a =(1-2a)2a(2a+1-2a) =2a(1-2a)=-4［a-41］2+41 由分布列的性质得0≤1-2a≤1 且0≤2a≤1 ∴0≤a≤21∴当a=41时Dξ最大值为41； 当a=0或21时Dξ的最小值为0.【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为 P （ξ=1）=0.8ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16；ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，4Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.0064+(5-1.25)2×0.001 6=0.31.【类题演练2】若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p(0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求ξξE D 12-的最大值. 解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而Eξ=0×（1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p -p 2. (1)Dξ=p -p 2=-(p-21)2+41,∵0＜p ＜1, ∴当p=21时，Dξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--, ∵0＜p ＜1,∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p1,即p=22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.【变式提升2】证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则p （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(1-p)·(0-p)2+p(1-p)2= p(1-p)≤(21p p -+)2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41. 【类题演练3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣. 解析：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.D ξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.D η=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24.所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 【变式提升3】现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下乙根据以上条件，选派谁去合适？解析：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41;Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。
最新-2021高中数学选修23课件：第二章23231离散型随机变量的均值 精品
值，是随机变量 X 的一个固有的数字特征，不具有随机
性．
2．离散型随机变量的性质
如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋ b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
解析：(1)错，随机变量 X 的数学期望是一个常量． (2)错，随机变量的均值与样本的平均值是两个不同 的概念． (3)对，E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6. 答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2
P
1 4
311 848
则 ξ 的均值为( )
A．0
B．－1
法二 由于 Y＝2X－3，
所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3Leabharlann 1 511 6 20所以
E(Y) ＝
(
－
7)× 14
＋(－
5)×
1 3
＋
(
－ 3)× 15 ＋ ( －
1)×16＋1×210＝－6125.
归纳升华 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b，a，b 为常数．一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX＋b) ＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．也可以利用 ξ 的分布列得到 η 的分 布列，关键由 ξ 的取值计算 η 的取值，对应的概率相等， 再由定义法求得 E(η)．
防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解
各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的
n
性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2) pi＝1 来检验．
高中数学选修2-3精品课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－(18)3＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立.
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－125＝1135.
(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X 万 元 ， 则 X 的 可 能 取 值 为
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×(21)1×(1－21)2＝83， P(X＝20)＝C23×(21)2×(1－21)1＝83， P(X＝100)＝C33×(12)3×(1－12)0＝18， P(X＝－200)＝C03×(21)0×(1－21)3＝81.
1234
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B 队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列； 解 X的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2785， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝235； 根据题意X＋Y＝3，
人教版高中数学选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
当堂自测
[答案] A
当堂自测
3.设随机变量X~B(3,0.2),则
E(2X+1)= ( )
A.0.6
B.1.2
C.2.2
D.3.2
[答案] C
[解析] ∵随机变量 X~B(3,0.2),∴E(X)=3×0.2=0.6,∴E(2X+1)=2E(X)+1 =2×0.6+1=2.2,故选C.
当堂自测
故选D. (2)设该学生在这次测验中选对的题数 为X,该学生在这次测验中成绩为Y,则 X~B(20,0.9),Y=5X.由二项分布的均值公
式得E(X)=20×0.9=18.由随机变量均值 的线性性质得E(Y)=E(5X)=5×18=90.
考点类析
考点三 利用随机变量均值的性质解决问题
[导入] 若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,试分析随机变量Y的均值E(Y)和E(X) 的关系.
考点一 随机变量X均值定义的应用
ξ012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x
[答案] C
考点类析
例2 袋中有4只红球、3只 黑球,现从袋中随机取出4 只球,设取到1只红球得2分, 取得1只黑球得1分,试求得 分X的均值.
X5678 P
考点类析
考点二 两点分布、二项分布的均值
例3 (1)设X~B(40,p),且E(X)=16,则p=
的均值. (2)随机变量的均值是常数,其值不随X的变化而变化.
预习探究
[探究] 随机地抛掷一枚骰子,怎样求向上的点数X的均值?
X123456 P
预习探究
知识点二 离散型随机变量均值的性质
若Y=aX+b(a,b为常数),则E(Y)=E(aX+b)=
选修2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时教案新部编本
教师学科教案[ 20–20学年度第__学期]任教学科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校§2．3 离散型随机变量的均值与方差§2．3．1 离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机量的均或期望的意，会根据离散型随机量的分布列求出均或期望．过程与方法：理解公式“ E（ aξ +b） =aEξ +b”，以及“若ξ: B（ n,p ）， Eξ =np” . 能熟地用它求相的离散型随机量的均或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和之美, 体数学的文化功能与人文价。
教学重点：离散型随机量的均或期望的概念教学难点：根据离散型随机量的分布列求出均或期望授课类型：新授课时安排： 1教学过程：一、复习引入：1.离散型随机量的二分布: 在一次随机中，某事件可能生也可能不生，在 n 次独立重复中个事件生的次数ξ 是一个随机量．如果在一次中某事件生的概率是P，那么在 n 次独立重复中个事件恰好生k 次的概率是P n (k) C n k p k q n k，（k＝0,1,2,⋯， n，q 1 p）．于是得到随机量ξ 的概率分布如下：ξ01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0称的随机量ξ 服从二分布，作ξ～ B(n ， p) ，其中n， p 参数，并C n k p k q n k＝b(k；n，p)．二、讲解新课：根据已知随机量的分布列，我可以方便的得出随机量的某些制定的概率，但分布列的用途不止于此，例如：已知某射手射所得数ξ 的分布列如下ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在 n 次射之前，可以根据个分布列估n 次射的平均数．就是我今天要学的离散型随机量的均或期望根据射手射所得数ξ 的分布列，我可以估，在 n 次射中，大有P(4)n0.02n次得 4；P(5)n0.04n次得 5；⋯⋯⋯⋯P(10) n 0.22n次得10．故在 n 次射的数大4 0.02 n5 0.04 n10 0.22n(4 0.02 5 0.0410 0.22) n ，从而，n 次射的平均数4 0.025 0.0410 0.22 8.32 ．是一个由射手射所得数的分布列得到的，只与射数的可能取及其相的概率有关的常数，它反映了射手射的平均水平．于任一射手，若已知其射所得数ξ的分布列，即已知各个P(i ) （i=0，1，2，⋯， 10），我可以同他任意n 次射的平均数:0 P(0) 1 P(1)⋯10 P(10)．1.均或数学期望 :一般地，若离散型随机量ξ 的概率分布ξx1x2⋯x n⋯P p1p⋯pn⋯2称 Ex1 p1 x2 p2⋯x n p n⋯ξ 的均或数学期望，称期望．2.均或数学期望是离散型随机量的一个特征数，它反映了离散型随机量取的平均水平3.平均数、均 :一般地，在有限取离散型随机量ξ的概率分布中，令 p1p2⋯ p n，有p1 p2⋯ p n 11，E( x1x2⋯ x n )，所以ξ 的数学期望又称平均数、n n均4.均或期望的一个性 :若a b (a、b是常数)，ξ 是随机量，η也是随机量，它的分布列ξx1x2⋯x n⋯ηax1b ax2b⋯ax n b⋯P p1p2⋯p n⋯于是 E(ax1b) p1(ax2b) p2⋯(ax n b) p n⋯＝ a( x1 p1x2 p2⋯x n p n⋯)b( p1p2⋯p n⋯)＝ aE b ，由此，我得到了期望的一个性: E(a b) aE b5. 若ξ: B（n,p ）， Eξ=np明如下：∵P(k) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k，∴E0×C n0p0q n＋ 1×C1n p1q n 1＋ 2×C n2p2q n 2＋⋯＋ k×C n k p k q n k＋⋯＋ n ×C n n p n q0．又∵kC n k k n!k)! (k n(n1)!nC n k11，k!(n1)![( n1)( k1)]!∴E np(C n01 p0q n 1＋ C n11 p1q n2＋⋯＋ C n k11 p k 1 q( n 1) (k 1)＋⋯ ＋C n n11 p n 1q 0 )np ( p q) n1np ．故若ξ～ B(n ， p) ，E np．三、讲解范例：例 1.球运在比中每次球命中得 1 分，不中得0 分，已知他命中的概率0.7 ，求他球一次得分的期望解：因 P(1)0.7, P(0) 0.3 ，所以 E10.70 0.30.7例 2.一次元由 20 个构成，每个有 4 个，其中有且有一个是正确答案，每正确答案得 5 分，不作出或不得分，分100 分学生甲任一的概率0.9 ，学生乙在中每都从 4 个中随机地一个，求学生甲和乙在次英元中的成的期望解：学生甲和乙在次英中正确答案的个数分是,，~B （20,0.9 ）,~ B(20,0.25) ,E200.918, E200.25 5由于答对每题得 5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：E(5 ) 5E( ) 5 18 90,E(5 ) 5E( ) 5 5 25例 3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：∵ P(i )1/ 6,i 1,2,,6 ，E11/ 621/ 6 6 1/ 6 =3.5例 4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ 的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ123456P 111111 666666所以E1×1＋2×1＋3×1＋4×1＋5×1＋6×1 666666＝(1 ＋2＋3＋4＋5＋6) ×1＝ 3.5 ．6抛掷骰子所得点数ξ 的数学期望，就是ξ 的所有可能取值的平均值．四、课堂练习：1.口袋中有 5 只球，编号为1，2， 3，4，5，从中任取 3 球，以表示取出球的最大号码，则E（）A． 4；B． 5；C．4.5 ；D． 4.75答案： C2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，求⑴他罚球 1 次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球 2 次的得分η的数学期望；⑶他罚球 3 次的得分ξ的数学期望．3．设有 m升水，其中含有大肠杆菌 n 个．今取水 1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ 的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ 的期望的基本步骤：①理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值；②求ξ 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出 Eξ公式 E（aξ +b） = aEξ +b，以及服从二项分布的随机变量的期望 Eξ =np六、布置作业：练习册七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ 的期望的基本步骤：①理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值；②求ξ 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ +b）= aEξ +b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ =np 。
2.3.1离散型随机变量的均值
7070% 6030% 67
加
权
平
均
权数
问题: 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2， 3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 233 4 2
10
1 4 2 3 3 2 4 1 10 10 10 10
权数 加
1 4 2 3 3 2 4 1 10 10 10 10
算术平均数
如果你期中考试各门成绩分别为： 91，85，80，80，75，59 那你的平均成绩是多少？
x 90 85 80 80 75 59 80 5
先介绍两种平均数：
的数权值是.加秤权加锤平权，均权平是数指均是在数起计权算衡若轻干重个作数用
量的平均数时，考虑到每个数量在总量 如果你中期所中具考有试的数重学要成性绩不为同7，0，分平别时给表予现不成同绩为60，学 校规定：在的你权学数分. 记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩 占70%，平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？
一.填空
补充练习
（1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每 次命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹数目ξ 的数学期望是_____2_._3_7_6__ .
（2）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞 行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数 为ξ，则E(ξ)=_____1_._7_5___ .
（3）设离散性随机变量 可能取的值为1，2，3，4 ， P(ξ=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又ξ的数学期望E(ξ)=3，则
1
a+b= _____1_0_．
二.选择
（1）口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5， 从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ= ( )
离散型随机变量的期望和方差
岚山一中导学学案学习改写人生，反思启迪智慧离散型随机变量的期望和方差【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题． 【知识梳理】1、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差称D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 的 ，其 为随机变量X 的标准差． 2、三种分布(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；(2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；(3)若X 服从超几何分布，则E (X )＝n MN.（不用记忆） 3、六条性质(1)E (C )＝C (C 为常数) (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数)(3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2 (4)D (aX ＋b )＝a 2·D (X)【基础自测】 1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．22、已知X 的分布列（如图）设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )． A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 3、(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.94．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45【考向透析】 【例1】（2012济南一模）将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k 号卡片恰好落入第k 号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数. （1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率; （2）求匹对数ξ的分布列和数学期望ξE .【例2】（2013山东）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.【例3】某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（II）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.巩固练习1、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）． 2、某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。
2.3.1离散型随机变量均值和方差(2课时)(选修2-3)
方案 1:运走设备,需花费 3800 元; 方案 2:建一座保护围墙,需花费 2000 元;但围墙不能 防御大洪水,如遇大洪水,损失费为 60000 元; 方案 3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水, 损失费为 60000 元; 如遇小洪水,损失费为 10000 元; 从分析不难看出：各个方案都有选择的理由。只能比 较各个方案的平均损失了。 （ （ 方案 1 的平均损失: E X） 3800 元. E C） C ,( C 为常 数) 方案 2 的平均损失: EX 60000 0.01 0 0.99 600 ,需 600 2000 2600 元 方案 3 的平均损失: EX 60000 0.01 10000 0.25 0 0.74 3100 元,
E (Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE( X ) b
3.随机变量数学期望的性质：
⑴ E (C ) C ,( C 为常数) ⑵ E (aX b) aE ( X ) b ,( a, b 为常数)
X P 1 1/6 2 1/6 3 4 5 6 1/6
1/6 你能理解3.5 1/6 1/6
的含义吗？
所以随机变量X的均值为E（X）=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5
X P
x1
x2
·· · ·· ·
xi
·· ·
xn
p1
p2
pi
·· pn ·
说明:此商家有希望获利 140 元,对于这个活动,商家不 是获利 300 就是亏损 100,但如果重复进行此类活动,从 平均意义上讲,每次获利的数学期望为 140 元.
第2章 2.3 2.3.1 离散型随机变量的均值
2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2.掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1.通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．2.应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.1．离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．1．若随机变量X 的分布列为X －1 01 p121613A ．0B ．－1C ．－16D ．－12C [E (X )＝∑i ＝13x i p i ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16.]2．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 35 [E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35.]3．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________．43 [E (X )＝np ＝4×13＝43.]求离散型随机变量的均值【例1多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．[解] X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故P (X ＝1)＝0.6.X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X 123 4P 0.60.280.0960.024 所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求离散型随机变量X的均值的步骤1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值．2．求出X取每个值的概率．3．写出X的分布列(有时也可省略)．4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．[解]X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X 12 3P 35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.离散型随机变量的均值公式及性质X －2 －1 0 1 2 P141315m120(2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．[解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1， 解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：(公式法)由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215.法二：(直接法)由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．2．已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P121316且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．－3[E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝53a＋3＝－2.解得a＝－3.]两点分布与二项分布的均值【例(1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．[思路点拨](1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．[解](1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X 0 1P 0.40.6(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的均值．[解]E(ξ)＝10×0.6＝6.2．(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值．[解]设投篮得分为变量η，则η＝3Y.所以E(η)＝E(3Y)＝3E(Y)＝3×3＝9.1．常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．离散型随机变量均值的实际应用[1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示]每次平均得分为810＝0.8.2．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？[提示]在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[思路点拨]根据利润的意义写出X的取值→写出X的分布列→求出均值E(X)→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：X 621－2P 0.630.250.10.02(2)(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．3．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解] (1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415， 所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115.所以这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知得X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45. 所以E (2X 1)＝2E (X 1)＝83， E (3X 2)－3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．( ) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平．( )(3)若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.( ) (4)随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P0.20.5m则X A ．2 B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化B [由0.2＋0.5＋m ＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，故选B.] 3．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________.103 [E (X )＝100×12＝50，E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝103.]4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．[解] (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝C13C14C29＝13，P(X＝2)＝C14C12＋C23C29＝1136，P(X＝3)＝C12C13C29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为(2)E(X)＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.课时分层作业(十四)离散型随机变量的均值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4D[∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.]2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)为()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.22B[X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝0.1×0.15＝0.015，P (X ＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22， P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.] 3．已知Y ＝5X ＋1，E (Y )＝6，则E (X )的值为( ) A ．65 B ．5 C ．1D ．31C [因为E (Y )＝E (5X ＋1)＝5E (X )＋1＝6， 所以E (X )＝1.]4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400B [记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.]5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.83D [X ＝2,3.所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23，所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.]二、填空题6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是________．0．8 [因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.] 7．某射手射击所得环数X 的分布列如下：已知X 的均值E (X )＝8.9，则y 的值为________． 0．4 [由题意得⎩⎨⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎨⎧ x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得⎩⎨⎧x ＝0.2，y ＝0.4.] 8．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.1712 [由已知得X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝13×14＝112， P (X ＝1)＝23×14＋13×34＝512，P (X ＝2)＝23×34＝612，E (X )＝0×112＋1×512＋2×612＝1712.] 三、解答题9．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格．按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数X 的分布列及均值E (X )．[解] X 可能的取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 217C 220＝136190，P (X ＝1)＝C 13C 117C 220＝51190，P (X ＝2)＝C 23C 220＝3190.∴X 的分布列为：E(X)＝0×136190＋1×51190＋2×3190＝310.10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.[能力提升练]1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2 000元B．2 200元C．2 400元D．2 600元B[出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．]2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B [根据题意，X 的所有可能取值为1,2,3，且P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝p (1－p )，P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]3．把两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱中，则A 邮箱中的信件数X 的均值E (X )＝________.23[每封信投到A 邮箱的概率均为13， X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，∴E (X )＝23.]4．某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策：那么应选择的决策方案是________．投资房地产 [设购买股票的盈利为X ，投资房地产的盈利为Y ， 则购买股票的盈利的均值为 E (X )＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2 ＝3＋1.5－1＝3.5.投资房地产的盈利的均值为 E (Y )＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6.因为E(Y)>E(X)，所以投资房地产的平均盈利高，即应选择投资房地产．] 5．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．[解](1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B(4，1 2)．∴ξ的分布列为ξ0123 4P 116143814116(2)∵ξ～B(4，12)，∴E(ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100. 即实际支出的数学期望为2 100元．。
高二数学期望值
一般地： 对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已 知 P ( i )(i 0,1,2, ,10), 则可以预计他任意n次射击的
思考下面的问题: 某射手射击所得环数
的分布列如下：
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知, 在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P( i ) 100 .
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列. 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
前面,我们认识了随机变量的分布列. 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,, xi ,,
课外思考:
彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色 不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的 规则为： 6个全红 赢得100元 5红 1白 赢得50元 4红 2白 赢得20元 3红 3白 输100元 2红 4白 赢得20元 1红 5白 赢得50元 6个全白 赢得100元
你动心了吗?
结论1： 若 a b, 则 E aE b ;
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解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次
的得分ξ的期望为
．
0.7 (详细解答过程见课本例1)
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那
么一般地,若ξ~B(n，p)，则Eξ=?
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…k
…n
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
练习二
练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从
中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 1.2 .
2.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 .
（2）E(ξ－Eξ)= 0
E
1 10 1 3 1 0 1
6
2
3
6
.
对你不利!劝君莫参加赌博.
课外思考:
彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色
不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的
规则为：
6个全红 赢得100元
5红1白 赢得50元
4红2白 3红3白 2红4白
赢得20元 输100元 赢得20元
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.
一般地,
一般地：
对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已
知 P( i)(i 0,1, 2,L ,10), 则可以预计他任意n次射击的
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式： （1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
思考2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8
元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场 赌博对你是否有利?
2.3.1《离散型随机变量的 均值与方差-期望值》
教学目标
• 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根 据离散型随机变量的分布列求出期望．
• ⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及 “若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它 们求相应的离散型随机变量的期望
• 教学重点：离散型随机变量的期望的概念
平均环数是 0 P( 0)1 P( 1)L 10 P( 10) 记为E
我们称 E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。
关于平均的意义,我们再看一个例子,思考:课本第69 页的定价怎样才合理问题?
更一般地
数学期望的定义:
一般地，随机变量 的概率分布列为
L L L L x1 x2
0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选
择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题
个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，
所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验
P p1 p2
xi
pi
xpnn
则称E x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
为 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
练习一
思考下面的问题:
某射手射击所得环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得i 环的次数为 P( i)100 .
a( x1 p1 x2 p2 L xn pn ) b( p1 p2 L pn )
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
你动心了吗?
1红5白 赢得50元
6个全白 赢得100元
中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩
的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的
均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成
绩大约是90分
思考1
思考2
思考1.某商场的促销决策：
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np
期望在生活中的应用广泛,见课本第72页例2.例3
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个
选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选
或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为
• 教学难点：根据离散型随机变量的分布列 求出期望
• 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪
离散型随机变量的均值与方差(一)
复习引入
问题提出
数学期望的 定义
练习一 本课小结
期望应用, 例2.例3
离散型随机变量的均值与方差(一)
前面,我们认识了随机变量的分布列.
设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,L , xi ,L ,
取每一个值 xi (i 1, 2,L ) 的概率 P( xi ) pi 则称表
L L x1 x2
xi
L L P p1 p2
pi
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
(巩固定义)
结论一证明 结论二证明
结论1：若 a b, 则 E aE b
Q P( axi b) 所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3L
L ax1 b ax2 b
L LL P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 L (axn b) pn
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +