【全程复习方略】(文理通用)高三数学一轮复习 3.8应用举例精品试题

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【全程复习方略】(全国通用)高考数学 3.8 应用举例课件

)
(4)方位角大小的范围是[0,2π ),方向角大小的范围一般是
π [0, ). ( 2
)
【解析】(1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立 . (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角 . (4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 ,故大小的范围为[0,2π),而方向角大小的范围由定义可知为 [0, π ).
术语名称
坡角
术语意义
坡面与水平面的
图形表示
设坡角为α ,坡度为i,则i= h =tanα
l
夹角
坡面的垂直高度h 和水平宽度l的比
坡度
2.必备结论
教材提炼
2
记一记
4R
三角形的面积公式:S= 1 r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)= abc
(R为三角形外接圆半径). 3.必用技法核心总结看一看
2
答案:(1)√
(2)√
(3)×
(4)√
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(必修5P11例1改编)如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间
的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是m米,∠BAC=α ,∠ACB=β ,则A,B两点间的距离为(
msinα msinα B. sinβ sin(α β) msinβ msin(α β) C. D. sin(α β) sinα sinβ A.
2 2
答案：2 3
(2)(2015·重庆模拟)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60° 的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 3 倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东的方向前进. (填角度)

《全程复习方略》2018-2019版高考数学(理)一轮复习课件(全国版)：第二章函数、导数及其应用 2.1

(2)因为0≤x≤3,所以-1≤x2-1≤8,所以f(x)的定义域
为［-1,8］.
答案：［-1,8］
【规律方法】函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组
)求解.
(2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不
等式(组)求解.
(3)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数
【解析】由f(-1)=-a+2=4⇒a=-2.
答案:-2
考向一Leabharlann 求函数的定义域【典例1】(1)(2015·湖北高考)函数f(x)=
4 | x |
x 5x 6 lg A．(2,3) x 3
2
的定义域为(
) B．(2,4］ D．(-1,3)∪(3,6］
C．(2,3)∪(3,4］
(2)若函数f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数f(x)的定
1 1 3 A. 1 B. C. D. -2) 【解析】选C.f(x)= 则 f(f(-2))=f(2 4 2 2 1 x, x 0, x 2 , x＜0, 1 1 1 1 f ( ) 1 1 ． 4 4 2 2
4.(2016·昆明模拟)函数f(x)的定义域是［0,3］，则函数
义域为
.
【解题导引】(1)根据根式、分式的意义及对数函数的
性质构建不等关系求解.
(2)根据复合函数的定义域求法求解.
【规范解答】(1)选C.由函数y=f(x)的表达式可知，函
数的定义域应满足条件：4-|x|≥0, x 2 5x 解得 6 ＞0， x 3 -4≤x≤4,x＞3或2＜x＜3，即函数f(x)的定义域为 (2,3)∪(3,4］.

2019版高三数学一轮复习 3.8应用举例课件

又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以
∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
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3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线
上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别
为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )
A.1 a 2
B. 3a 2
C. 3a
D. 3 a
3
【解析】选B.因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
∠ADC=60°+45°=105°,
所以∠CAD=180A °D - 1C 0D 5°s in - 3A 0C °D = 44 50 ° s ，in 3 0 2 02 .
s in C A D s in 4 5
由正弦定理，得
在（ △2 0 AD2 ） 2 B （中4 ，0 由2 ）余2 －弦2 定2 0 理2 ，得4 0 A2 Bc 2o =s A6 0 D 2+2 D4 0 B0 2, － 2AD·DB2 c0 o6s∠ADB
故大小的范围为, ).
2
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2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站
南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
()
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
【解析】选D.由条件可知，∠A＝∠B＝40°，
由正弦定理得 100 解x得x， =100 .
sin30 sin 45
2
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5.(2014·绍兴模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东
60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船

【全程复习方略】(文理通用)高三数学一轮复习 1.1集合精品试题

集合(45分钟 100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014·湖州模拟)已知集合A={x|x(x-1)=0},那么( )A.0∈AB.1∉AC.-1∈AD.0∉A【解析】选A.因为A={x|x(x-1)=0}={0,1},所以0∈A,故选A.2.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M ∩N=( )A.{-2,-1,0,1}B.{-3,-2,-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-3,-2,-1}【解析】选C.因为M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},所以M ∩N={-2,-1,0},选C.3.(2013·福建高考)若集合A=,B=,则A ∩B 的子集个数为( )A.2B.3C.4D.16 【思路点拨】先求集合A 与集合B 的交集,再求子集.【解析】选C.A ∩B=,其子集有∅,{1},{3},{1,3}共4个.4.(2013·山东高考)已知集合A,B 均为全集U={1,2,3,4}的子集,且U ð(A ∪B)={4},B={1,2},则A ∩U ðB=( )A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4},U ð(A ∪B)={4},知A ∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A 中一定有元素3,没有元素4,所以A ∩U ðB={3}.【一题多解】本题还可用Venn 图求解如下:如图,由图及已知易得A ∩U ðB={3}.5.(2014·宁波模拟)定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,3},则A*B中的所有元素数字之和为( )A.10B.14C.20D.24【解析】选C.由已知A*B={2,3,4,5,6},所以其所有元素之和为2+3+4+5+6=20.6.(2014·绍兴模拟)若集合M={-1,0,1},N={y|y=sinx,x∈M},则M∩N=( )A.{1}B.{0}C.{-1}D.{-1,0,1}【解析】选B.由题意,得N={sin(-1),0,sin1},所以M∩N={0}.7.(2014·温州模拟)已知集合P={x|x2+2013x-2014>0},Q={x|0≤x≤2},则P∩Q=( )A.[0,1)B.(1,2]C.(0,2)D.(-∞,-2013]∪[0,+∞)【解析】选B.P={x|x>1或x<-2014},所以P∩Q={x|1<x≤2}=(1,2].8.(能力挑战题)(2013·上海高考)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a 的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解析】选B.方法一:代值排除法.当a=1时,A=R,符合题意;当a=2时,因为B=[1,+∞),A=(-∞,1]∪[2,+∞),所以A∪B=R,符合题意.综上,选B.方法二:因为B=[a-1,+∞),A∪B=R,所以A⊇(-∞,a-1),(x-1)(x-a)≥0⇒当a=1时,x∈R,当a=1时符合题意;当a>1时,A=(-∞,1]∪[a,+∞)⇒1≥a-1解得1<a≤2;当a<1时,A=(-∞,a]∪[1,+∞)⇒a≥a-1⇒a<1.综上,a≤2.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2013·湖南高考)已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则ðA)∩B= .(UðA)∩B=∩=.【解析】(U答案:{6,8}【加固训练】(2014·杭州模拟)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为.ðA),已知【解析】由题意可知阴影部分表示的集合为B∩(UA={1,2,3,5},ðA={4,6,7,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以UðA)={4,6}.又因为B={2,4,6},所以B∩(U答案:{4,6}10.(2014·舟山模拟)已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则集合M∩N= .【解析】因为M={0,1,3},所以N={x|x=3a,a∈M}={0,3,9},因此M∩N={0,3}.答案:{0,3}11.某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是.【解析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:612.(能力挑战题)已知集合M为点集,记性质P为“对∀(x,y)∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M”.给出下列集合:①{(x,y)|x2≥y};②{(x,y)|2x2+y2<1};③{(x,y)|x2+y2+x+2y=0};④{(x,y)|x3+y3-x2y=0},其中具有性质P的点集是(只填序号).【思路点拨】把动点坐标代入不等式、方程,若满足,则具有性质P;若不满足,可取特殊点来说明.【解析】对于①:取k=,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但∉{(x,y)|x2≥y},故①是不具有性质P的点集. 对于②:∀(x,y)∈{(x,y)|2x2+y2<1},则点(x,y)在椭圆2x2+y2=1内部,所以对0<k<1,点(kx,ky)也在椭圆2x2+y2=1的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x2+y2<1},故②是具有性质P的点集.对于③:+(y+1)2=,点在此圆上,但点不在此圆上,故③是不具有性质P的点集.对于④:∀(x,y)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},对于k∈(0,1),因为(kx)3+(ky)3-(kx)2·(ky)=0⇒x3+y3-x2y=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},故④是具有性质P的点集.答案:②④三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.已知集合A={x|-2<x<-1或x>1},B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x<3},求实数a,b的值.【解析】因为A∩B={x|1<x<3},所以b=3.又A∪B={x|x>-2},所以-2<a≤-1,又A∩B={x|1<x<3},所以-1≤a≤1,所以a=-1,综上,a=-1,b=3.ðA)∩B=∅,求m的值. 14.(2014·衢州模拟)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(U【解析】方法一:A={-2,-1},ðA)∩B=∅得B⊆A,由(U因为方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,所以B≠∅,所以B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,所以B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.所以m=1或2.方法二:本题集合B中的方程的根是x1=-1,x2=-m.当-m≠-1时集合B={-1,-m},此时只能A=B,即m=2;当-m=-1时集合B={-1},此时集合B是集合A的真子集,也符合要求.所以m=1或2.【加固训练】设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=∅,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};所以B={-4,0}得a=1.所以a=1或a≤-1.15.(能力挑战题)已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B=.(1)当a=2时,求A∩B.(2)求使B⊆A的实数a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,A=(2,7),B=(4,5),所以A∩B=(4,5).(2)因为B={x|2a<x<a2+1},当a<时,A=(3a+1,2),要使B⊆A,必须此时a=-1;当a=时,A=∅,使B⊆A的a不存在;当a>时,A=(2,3a+1),要使B⊆A,必须此时1≤a≤3,综上可知,使B⊆A的实数a的取值范围为[1,3]∪{-1}.。

高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)

高中数学〔文科〕高考一轮复习习题集〔含答案〕目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数的图象 (45)sin() f x A x第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝，则集合A 与B 的关系为________．|x x A 解析：由集合B ＝知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B |x x A 2．若，则实数a 的取值范围是________．2,|a aR x x 解析：由题意知，有解，故．答案：2x a 0a 0a3．已知集合A ＝，集合B ＝，则集合A 与B 的关系是________．2|21,y y x x x R |28x x解析：y ＝x2－2x －1＝〔x －1〕2－2≥－2，∴A ＝{y|y≥－2}，∴BA ．答案：BA4．〔2009年高考广东卷改编〕已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝关系的韦恩〔Venn 〕图是________．解析：由N=，得N={-1，0}，则NM ．答案：②2|0x x x5．〔2010年苏、锡、常、镇四市调查〕已知集合A ＝，集合B ＝，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A”是命题“x ∈B” 的充分不必要条件，∴AB ，∴a<5．答案：a<56．〔原创题〕已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x|x ＝2a ，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝2a ＋1，a ∈Z}，又C ＝{x|x ＝4a ＋1，a ∈Z}，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a1，a1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a2＋1，a2∈Z ，∴m ＋n ＝2〔a1＋a2〕＋1，而a1＋a2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝＋＋可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：〔1〕a>0且b>0；〔2〕a>0且b<0；〔3〕a<0且b>0；〔4〕a<0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m －1，即〔m －1〕2＝0，∴m ＝1．答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x|x2＝1}，集合N ＝{x|ax ＝1}，若NM ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x|x ＝1或x ＝－1}，NM ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a≠0时，x ＝＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x|x ＝a ＋，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝－，b ∈Z}，C ＝{x|x ＝＋，c ∈Z}，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．〔2010年江苏启东模拟〕设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．〔2009年高考北京卷〕设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg〔xy〕}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg〔xy〕知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg〔xy〕＝0，xy＝1．∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，}．于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，〔1〕若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔2〕若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔3〕若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，〔1〕∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A．②若B≠∅，则解得2≤m≤3．由①②得，m的取值范围是〔－∞，3]．〔2〕若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3，4]．〔3〕若A＝B，则必有解得m∈∅．，即不存在m值使得A＝B．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－〔a＋1〕x＋a≤0}．〔1〕若A是B的真子集，求a的取值范围；〔2〕若B是A的子集，求a的取值范围；〔3〕若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即〔x－1〕〔x－2〕≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|〔x－1〕〔x－a〕≤0}，〔1〕若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2．〔2〕若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．〔3〕若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．〔2009年高考浙江卷改编〕设U＝R，A＝，B＝，则A∩∁UB＝____．解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A∪B，则集合∁U〔A∩B〕中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U〔A∩B〕＝{3，5，8}．答案：3x x a a M3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝，则集合M∩N＝________．|2,解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}．答案：{0，2}4．〔原创题〕设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2 }，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞〕，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝〔2，＋∞〕．答案：〔2，＋∞〕5．〔2009年高考湖南卷〕某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12〔人〕．答案：126．〔2010年浙江嘉兴质检〕已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．〔1〕当m＝－1时，求A∩B，A∪B；〔2〕若B⊆A，求m的取值范围．解：〔1〕当时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．〔2〕若B⊆A，则，即的取值范围为〔1，＋∞〕B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A＝{－1，2}，B＝{0，2}，则〔∁UA〕∩B＝____ ____．解析：∁UA＝{0，1}，故〔∁UA〕∩B＝{0}．答案：{0}3．〔2010年济南市高三模拟〕若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩〔∁UN〕＝________．解析：根据已知得M∩〔∁UN〕＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{ x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．〔2009年高考江西卷改编〕已知全集U＝A∪B中有m个元素，〔∁UA〕∪〔∁UB〕中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵〔∁UA〕∪〔∁UB〕＝∁U〔A∩B〕中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．〔2009年高考重庆卷〕设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U〔A∪B〕＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U〔A∪B〕＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合〔A⊗B〕⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求〔A⊗B〕中所含的元素有0，4，5，则〔A⊗B〕⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{〔x，y〕|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{〔x，y〕|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由⇒点〔0，2〕在y＝3x＋b上，∴b＝2．9．设全集I＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A∪〔∁IA〕＝I，∴{2，3，a2＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2〔a＋1〕x＋〔a2－5〕＝0}．〔1〕若A∩B＝{2}，求实数a的值；〔2〕若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．〔1〕∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．〔2〕对于集合B ，Δ＝4〔a ＋1〕2－4〔a2－5〕＝8〔a ＋3〕．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a2－5⇒矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f 〔x 〕＝的定义域为集合A ，函数g 〔x 〕＝lg 〔－x2＋2x ＋m 〕的定义域为集合B ．〔1〕当m ＝3时，求A∩〔∁RB 〕；〔2〕若A∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：A ＝{x|－1<x≤5}．〔1〕当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，则∁RB ＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩〔∁RB 〕＝{x|3≤x≤5}．〔2〕∵A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0}．〔1〕若A ＝∅，求实数a 的取值范围；〔2〕若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；〔3〕求集合M ＝{a ∈R|A≠∅}．解：〔1〕A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝，不合题意．若a≠0，要方程ax2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>．综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a>．〔2〕当a ＝0时，方程ax2－3x ＋2＝0只有一根x ＝，A ＝{}符合题意．当a≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝时，方程有两个相等的实数根x ＝，则A ＝{}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{}；当a ＝时，A ＝{}．〔3〕当a ＝0时，A ＝{}≠∅．当a≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤．综上可知，a 的取值范围是a≤，即M ＝{a ∈R|A≠∅}＝{a|a≤}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．〔2009年高考江西卷改编〕函数y ＝的定义域为________．解析：⇒x ∈[－4，0〕∪〔0，1] ．答案：[－4，0〕∪〔0，1]2．〔2010年绍兴第一次质检〕如图，函数f 〔x 〕的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为〔0，0〕，〔1，2〕，〔3，1〕，则f 〔〕的值等于________．解析：由图象知f 〔3〕＝1，f 〔〕＝f 〔1〕＝2．答案：23．〔2009年高考北京卷〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔x 〕＝2，则x ＝________．解析：依题意得x≤1时，3x ＝2，∴x ＝log32；当x>1时，－x ＝2，x ＝－2〔舍去〕．故x ＝log32．答案：log324．〔2010年黄冈市高三质检〕函数f ：{1，}→{1，}满足f[f 〔x 〕]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．〔原创题〕由等式x3＋a1x2＋a2x ＋a3＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3定义一个映射f 〔a1，a2，a3〕＝〔b1，b2，b3〕，则f 〔2，1，－1〕＝________．解析：由题意知x3＋2x2＋x －1＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3，令x ＝－1得：－1＝b3；再令x ＝0与x ＝1得，解得b1＝－1，b2＝0．答案：〔－1，0，－1〕6．已知函数f 〔x 〕＝〔1〕求f 〔1－〕，f{f[f 〔－2〕]}的值；〔2〕求f 〔3x －1〕；〔3〕若f 〔a 〕＝，求a ．解：f 〔x 〕为分段函数，应分段求解．〔1〕∵1－＝1－〔＋1〕＝－<－1，∴f 〔－〕＝－2＋3，又∵f 〔－2〕＝－1，f[f 〔－2〕]＝f 〔－1〕＝2，∴f{f[f 〔－2〕]}＝1＋＝．〔2〕若3x －1>1，即x>，f 〔3x －1〕＝1＋＝；若－1≤3x －1≤1，即0≤x≤，f 〔3x －1〕＝〔3x －1〕2＋1＝9x2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x<0，f 〔3x －1〕＝2〔3x －1〕＋3＝6x ＋1．∴f〔3x －1〕＝〔3〕∵f 〔a 〕＝，∴a>1或－1≤a≤1．当a>1时，有1＋＝，∴a ＝2；当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a ＝±．∴a ＝2或±．B 组1．〔2010年广东江门质检〕函数y ＝＋lg 〔2x －1〕的定义域是________．解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x>．答案：{x|x>}2．〔2010年山东枣庄模拟〕函数f 〔x 〕＝则f 〔f 〔f 〔〕＋5〕〕＝_．解析：∵－1≤≤2，∴f 〔〕＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f 〔2〕＝－3，∴f〔－3〕＝〔－2〕×〔－3〕＋1＝7．答案：73．定义在区间〔－1，1〕上的函数f 〔x 〕满足2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，则f 〔x 〕的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈〔－1，1〕，有－x ∈〔－1，1〕，由2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，①由2f 〔－x 〕－f 〔x 〕＝lg 〔－x ＋1〕，②①×2＋②消去f 〔－x 〕，得3f 〔x 〕＝2lg 〔x ＋1〕＋lg 〔－x ＋1〕，∴f〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕．答案：f 〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕4．设函数y ＝f 〔x 〕满足f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1，则函数y ＝f 〔x 〕与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1可得f 〔1〕＝f 〔0〕＋1，f 〔2〕＝f 〔0〕＋2，f 〔3〕＝f 〔0〕＋3，…本题中如果f 〔0〕＝0，那么y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有无数个交点；若f 〔0〕≠0，则y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f 〔x 〕＝，若f 〔－4〕＝f 〔0〕，f 〔－2〕＝－2，则f 〔x 〕的解析式为f 〔x 〕＝________，关于x 的方程f 〔x 〕＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ， ∴f〔x 〕＝．由数形结合得f 〔x 〕＝x 的解的个数有3个．答案： 36．设函数f 〔x 〕＝logax 〔a ＞0，a≠1〕，函数g 〔x 〕＝－x2＋bx ＋c ，若f 〔2＋〕－f 〔＋1〕＝，g 〔x 〕的图象过点A 〔4，－5〕及B 〔－2，－5〕，则a ＝__________，函数f[g 〔x 〕]的定义域为__________．答案：2 〔－1，3〕7．〔2009年高考天津卷改编〕设函数f 〔x 〕＝，则不等式f 〔x 〕>f 〔1〕的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f 〔x 〕>f 〔1〕＝3时，令f 〔x 〕＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为0≤x<1或x>3．当x<0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f 〔x 〕>f 〔1〕＝3，解得－3<x<0或x>3．综上，f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}8．〔2009年高考山东卷〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x 〕＝则f 〔3〕的值为________．解析：∵f 〔3〕＝f 〔2〕－f 〔1〕，又f 〔2〕＝f 〔1〕－f 〔0〕，∴f 〔3〕＝－f 〔0〕，∵f 〔0〕＝log24＝2，∴f 〔3〕＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内〔即x≥20〕，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y ＝35－3〔x －20〕，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕．答案：y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕 10．函数．221316f x a x a x〔1〕若的定义域为R ，求实数的取值范围；〔2〕若的定义域为[－2，1]，求实数的值．解：〔1〕①若1－a2＝0，即a ＝±1，〔ⅰ〕若a ＝1时，f 〔x 〕＝，定义域为R ，符合题意；〔ⅱ〕当a ＝－1时，f 〔x 〕＝，定义域为[－1，＋∞〕，不合题意．②若1－a2≠0，则g 〔x 〕＝〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6为二次函数．由题意知g 〔x 〕≥0对x ∈R 恒成立，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a<1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－≤a<1．由①②可得－≤a≤1．〔2〕由题意知，不等式〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a2≠0且－2，1是方程〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6＝0的两个根． ∴∴∴a ＝2． 11．已知，并且当∈[－1，1]时，，求当时、的解析式．2f x f x x R x 21f x x 21,21x k k k Z f x解：由f 〔x ＋2〕＝f 〔x 〕，可推知f 〔x 〕是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x≤2k ＋1，－1≤x －2k≤1．∴f 〔x －2k 〕＝－〔x －2k 〕2＋1．又f 〔x 〕＝f 〔x －2〕＝f 〔x －4〕＝…＝f 〔x －2k 〕，∴f〔x 〕＝－〔x －2k 〕2＋1，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g 〔x 〕，其余工人加工完H 型装置所需时间为h 〔x 〕．〔单位：h ，时间可不为整数〕〔1〕写出g 〔x 〕，h 〔x 〕的解析式；〔2〕写出这216名工人完成总任务的时间f 〔x 〕的解析式；〔3〕应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：〔1〕g 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕，h 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕．〔2〕f 〔x 〕＝〔3〕分别为86、130或87、129．第二节函数的单调性A 组1．〔2009年高考福建卷改编〕下列函数f 〔x 〕中，满足“对任意x1，x2∈〔0，＋∞〕，当时，都有”的是________．①f〔x 〕＝ ②f〔x 〕＝〔x －1〕2 ③f〔x 〕＝ex ④f〔x 〕＝ln 〔x ＋1〕解析：∵对任意的x1，x2∈〔0，＋∞〕，当x1<x2时，都有f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上为减函数．答案：①2．函数f 〔x 〕〔x ∈R 〕的图象如右图所示，则函数g 〔x 〕＝f 〔logax 〕〔0<a<1〕的单调减区间是________．解析：∵0<a<1，y ＝logax 为减函数，∴logax ∈[0，]时，g 〔x 〕为减函数．由0≤logax≤≤x≤1．答案：[，1]〔或〔，1〕〕 3．函数的值域是________．4154yx x 解析：令x ＝4＋sin2α，α∈[0，]，y ＝sinα＋cosα＝2sin 〔α＋〕，∴1≤y≤2．答案：[1，2]4．已知函数f 〔x 〕＝|ex ＋|〔a ∈R 〕在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a<0，且ex ＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a ＝0时，f 〔x 〕＝|e x|＝ex 符合题意；当a>0时，f 〔x 〕＝ex ＋，则满足f′〔x 〕＝ex －≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a≤〔e2x 〕min 成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1．答案：－1≤a≤15．〔原创题〕如果对于函数f 〔x 〕定义域内任意的x ，都有f 〔x 〕≥M 〔M 为常数〕，称M 为f 〔x 〕的下界，下界M 中的最大值叫做f 〔x 〕的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f〔x 〕＝sinx ；②f〔x 〕＝lgx ；③f〔x 〕＝ex ；④f〔x 〕＝解析：∵sinx≥－1，∴f 〔x 〕＝sinx 的下确界为－1，即f 〔x 〕＝sinx 是有下确界的函数；∵f 〔x 〕＝lgx 的值域为〔－∞，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝lgx 没有下确界；∴f 〔x 〕＝ex 的值域为〔0，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝ex 的下确界为0，即f 〔x 〕＝ex 是有下确界的函数；∵f〔x 〕＝的下确界为－1．∴f〔x 〕＝是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数，．2f x x 1g x x〔1〕若存在x ∈R 使，求实数的取值范围；〔2〕设2，且在[0，1]上单调递增，求实数的取值范围．解：〔1〕x ∈R ，f 〔x 〕<b·g 〔x 〕x ∈R ，x2－bx ＋b<0Δ＝〔－b 〕2－4b>0b<0或b>4．〔2〕F 〔x 〕＝x2－mx ＋1－m2，Δ＝m2－4〔1－m2〕＝5m2－4，①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m≤255－≤m≤0． ②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F 〔x 〕＝0的根为x1，x2〔x1<x2〕，若≥1，则x1≤0． ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F(0)＝1－m2≤0m≥2．若≤0，则x2≤0，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F(0)＝1－m2≥0－1≤m<－．综上所述：－1≤m≤0或m≥2．B 组1．〔2010年山东东营模拟〕下列函数中，单调增区间是〔－∞，0]的是________．①y＝－ ②y＝－〔x －1〕 ③y＝x2－2 ④y＝－|x|解析：由函数y ＝－|x|的图象可知其增区间为〔－∞，0]．答案：④2．若函数f 〔x 〕＝log2〔x2－ax ＋3a 〕在区间[2，＋∞〕上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g 〔x 〕＝x2－ax ＋3a ，由题知g 〔x 〕在[2，＋∞〕上是增函数，且g 〔2〕>0． ∴∴－4<a≤4．答案：－4<a≤43．若函数f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上为增函数，∴≤，0<a≤．答案：〔0，]4．〔2009年高考陕西卷改编〕定义在R 上的偶函数f 〔x 〕，对任意x1，x2∈[0，＋∞〕〔x1≠x2〕，有<0，则下列结论正确的是________．①f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕 ②f 〔1〕<f 〔－2〕<f 〔3〕③f〔－2〕<f 〔1〕<f 〔3〕 ④f〔3〕<f 〔1〕<f 〔－2〕解析：由已知<0，得f 〔x 〕在x ∈[0，＋∞〕上单调递减，由偶函数性质得f 〔2〕＝f 〔－2〕，即f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕．答案：①5．〔2010年陕西西安模拟〕已知函数f 〔x 〕＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f 〔x 〕为减函数，所以解得0<a≤．6．〔2010年宁夏石嘴山模拟〕函数f 〔x 〕的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为〔1，2〕，点B 的坐标为〔3，0〕，定义函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕·〔x －1〕，则函数g 〔x 〕的最大值为________．解析：g 〔x 〕＝当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．〔2010年安徽合肥模拟〕已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，则函数y ＝f 〔cos 〕的值域是________．解析：∵cos ∈[－1，1]，函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，∴y ＝f 〔cos 〕的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f 〔x 〕＝log3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x∈[1，3]，令log3x ＝t ，t∈[0，1]， ∴y＝〔t ＋2〕2＋2t ＋2＝〔t ＋3〕2－3，∴当t ＝1时，ymax ＝13．答案：139．若函数f 〔x 〕＝loga 〔2x2＋x 〕〔a>0，a≠1〕在区间〔0，〕内恒有f 〔x 〕>0，则f 〔x 〕的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x ，当x ∈〔0，〕时，μ∈〔0，1〕，而此时f 〔x 〕>0恒成立，∴0<a <1．μ＝2〔x ＋〕2－，则减区间为〔－∞，－〕．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－．∴f 〔x 〕的单调递增区间为〔－∞，－〕．答案：〔－∞，－〕10．试讨论函数y ＝2〔logx 〕2－2logx ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为〔0，＋∞〕．如果令u ＝g 〔x 〕＝logx ，y ＝f 〔u 〕＝2u2－2u ＋1，那么原函数y ＝f[g 〔x 〕]是由g 〔x 〕与f 〔u 〕复合而成的复合函数，而u ＝logx 在x ∈〔0，＋∞〕内是减函数，y ＝2u2－2u ＋1＝2〔u －〕2＋在u ∈〔－∞，〕上是减函数，在u ∈〔，＋∞〕上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0<x<．由此，从下表讨论复合函数y ＝f[g故函数y ．11．〔2010年广西河池模拟〕已知定义在区间〔0，＋∞〕上的函数f 〔x 〕满足f 〔〕＝f 〔x 1〕－f 〔x2〕，且当x>1时，f 〔x 〕<0．〔1〕求f 〔1〕的值；〔2〕判断f 〔x 〕的单调性；〔3〕若f 〔3〕＝－1，解不等式f 〔|x |〕<－2．解：〔1〕令x1＝x2>0，代入得f 〔1〕＝f 〔x1〕－f 〔x1〕＝0，故f 〔1〕＝0．〔2〕任取x1，x2∈〔0，＋∞〕，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f 〔x 〕<0，所以f 〔〕<0，即f 〔x1〕－f 〔x2〕<0，因此f 〔x1〕<f 〔x2〕，所以函数f 〔x 〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数．〔3〕由f〔〕＝f〔x1〕－f〔x2〕得f〔〕＝f〔9〕－f〔3〕，而f〔3〕＝－1，所以f〔9〕＝－2．由于函数f〔x〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数，由f〔|x|〕<f〔9〕，得|x|>9，∴x>9或x<－9．因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．12．已知：f〔x〕＝log3，x∈〔0，＋∞〕，是否存在实数a，b，使f〔x〕同时满足下列三个条件：〔1〕在〔0，1]上是减函数，〔2〕在[1，＋∞〕上是增函数，〔3〕f〔x〕的最小值是1．若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．解：∵f〔x〕在〔0，1]上是减函数，[1，＋∞〕上是增函数，∴x＝1时，f〔x〕最小，log3＝1．即a＋b＝2．设0＜x1＜x2≤1，则f〔x1〕＞f〔x2〕．即＞恒成立．由此得＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1．设1≤x3＜x4，则f〔x3〕＜f〔x4〕恒成立．∴＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1．由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a ＝1．∴存在a、b，使f〔x〕同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f〔x〕＝loga|x－b|在〔－∞，0〕上单调递增，则f〔a＋1〕与f〔b＋2〕的大小关系为________．解析：由f〔x〕为偶函数，知b＝0，∴f〔x〕＝loga|x|，又f〔x〕在〔－∞，0〕上单调递增，所以0<a<1，1<a＋1<2，则f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减，所以f〔a＋1〕>f〔b＋2〕．答案：f〔a＋1〕>f〔b＋2〕2．〔2010年广东三校模拟〕定义在R上的函数f〔x〕既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕等于________．解析：f〔x〕为奇函数，且x∈R，所以f〔0〕＝0，由周期为2可知，f〔4〕＝0，f〔7〕＝f〔1〕，又由f〔x＋2〕＝f〔x〕，令x＝－1得f〔1〕＝f〔－1〕＝－f〔1〕⇒f〔1〕＝0，所以f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕＝0．答案：03．〔2009年高考山东卷改编〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数，则f〔－25〕、f〔11〕、f〔80〕的大小关系为________．解析：因为f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔x－8〕＝f〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数，则f〔－25〕＝f〔－1〕，f〔80〕＝f〔0〕，f〔11〕＝f〔3〕，又因为f〔x〕在R上是奇函数，f〔0〕＝0，得f〔80〕＝f〔0〕＝0，f〔－25〕＝f〔－1〕＝－f 〔1〕，而由f〔x－4〕＝－f〔x〕得f〔11〕＝f〔3〕＝－f〔－3〕＝－f〔1－4〕＝f〔1〕，又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f〔1〕>f〔0〕＝0，所以－f〔1〕<0，即f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕．答案：f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕4．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知偶函数f〔x〕在区间[0，＋∞〕上单调增加，则满足f〔2x－1〕<f〔〕的x取值范围是________．解析：由于f〔x〕是偶函数，故f〔x〕＝f〔|x|〕，由f〔|2x－1|〕<f〔〕，再根据f〔x 〕的单调性得|2x－1|<，解得<x<．答案：〔，〕5．〔原创题〕已知定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，对x∈R，f〔2＋x〕＝f〔2－x〕，当f〔－3〕＝－2时，f〔2011〕的值为________．解析：因为定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，所以f〔2＋x〕＝f〔2－x〕＝f〔x－2〕，故函数f〔x〕是以4为周期的函数，所以f〔2011〕＝f〔3＋502×4〕＝f〔3〕＝f〔－3〕＝－2．答案：－26．已知函数y＝f〔x〕是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5．〔1〕证明：f〔1〕＋f〔4〕＝0；〔2〕求y＝f〔x〕，x∈[1，4]的解析式；〔3〕求y＝f〔x〕在[4，9]上的解析式．解：〔1〕证明：∵f〔x〕是以5为周期的周期函数，∴f〔4〕＝f〔4－5〕＝f〔－1〕，又∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔1〕＝－f〔－1〕＝－f〔4〕，∴f〔1〕＋f〔4〕＝0．〔2〕当x∈[1，4]时，由题意可设f〔x〕＝a〔x－2〕2－5〔a>0〕，由f〔1〕＋f〔4〕＝0，得a〔1－2〕2－5＋a〔4－2〕2－5＝0，∴a＝2，∴f〔x〕＝2〔x－2〕2－5〔1≤x≤4〕．〔3〕∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔0〕＝0，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，∴可设f〔x〕＝kx〔0≤x≤1〕，而f〔1〕＝2〔1－2〕2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f〔x〕＝－3x，从而当－1≤x<0时，f〔x〕＝－f〔－x〕＝－3x，故－1≤x≤1时，f〔x〕＝－3x．∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝－3〔x－5〕＝－3x＋15．当6<x≤9时，1<x－5≤4，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝2[〔x－5〕－2]2－5＝2〔x－7〕2－5．∴f〔x〕＝．B组1．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕函数f〔x〕的定义域为R，若f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f〔x〕是偶函数②f〔x〕是奇函数③f〔x〕＝f〔x＋2〕④f〔x＋3〕是奇函数解析：∵f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，∴f〔－x＋1〕＝－f〔x＋1〕，f〔－x－1〕＝－f〔x－1〕，∴函数f〔x〕关于点〔1，0〕，及点〔－1，0〕对称，函数f〔x〕是周期T＝2[1－〔－1〕]＝4的周期函数．∴f〔－x－1＋4〕＝－f〔x－1＋4〕，f〔－x＋3〕＝－f〔x＋3〕，即f〔x＋3〕是奇函数．答案：④2．已知定义在R上的函数f〔x〕满足f〔x〕＝－f〔x＋〕，且f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f 〔0〕＝2，f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝________．解析：f〔x〕＝－f〔x＋〕⇒f〔x＋3〕＝f〔x〕，即周期为3，由f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f〔0〕＝2，所以f〔1〕＝－1，f〔2〕＝－1，f〔3〕＝2，所以f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔2008〕＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＝0．答案：03．〔2010年浙江台州模拟〕已知f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔1〕＝1，若将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f 〔2010〕＝________．解析：f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔－x〕＝－f〔x〕，将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f〔－2＋x〕＝－f〔x〕，即f〔x＋2〕＝－f〔x〕，所以周期为4，f〔1〕＝1，f〔2〕＝f〔0〕＝0，f〔3〕＝－f〔1〕＝－1，f〔4〕＝0，所以f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋f〔4〕＝0，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f〔20 10〕＝f〔4〕×502＋f〔2〕＝0．答案：04．〔2010年湖南郴州质检〕已知函数f〔x〕是R上的偶函数，且在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，若f〔－1〕＝0，那么关于x的不等式xf〔x〕<0的解集是________．解析：在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，则在〔0，＋∞〕上f〔x〕是增函数，在〔－∞，0〕上是减函数，又f〔x〕在R上是偶函数，且f〔－1〕＝0，∴f〔1〕＝0．从而可知x∈〔－∞，－1〕时，f〔x〕>0；x∈〔－1，0〕时，f〔x〕<0；x∈〔0，1〕时，f〔x〕<0；x∈〔1，＋∞〕时，f〔x〕>0．∴不等式的解集为〔－∞，－1〕∪〔0，1〕答案：〔－∞，－1〕∪〔0，1〕．5．〔2009年高考江西卷改编〕已知函数f〔x〕是〔－∞，＋∞〕上的偶函数，若对于x≥0，都有f〔x＋2〕＝f〔x〕，且当x∈[0，2〕时，f〔x〕＝log2〔x＋1〕，则f〔－2009〕＋f〔2010〕的值为________．解析：∵f〔x〕是偶函数，∴f〔－2009〕＝f〔2009〕．∵f〔x〕在x≥0时f〔x＋2〕＝f 〔x〕，∴f〔x〕周期为2．∴f〔－2009〕＋f〔2010〕＝f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f 〔0〕＝log22＋log21＝0＋1＝1．答案：16．〔2010年江苏苏州模拟〕已知函数f〔x〕是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f 〔x＋2〕＝－，若当2<x<3时，f〔x〕＝x，则f〔2009．5〕＝________．解析：由f〔x＋2〕＝－，可得f〔x＋4〕＝f〔x〕，f〔2009．5〕＝f〔502×4＋1．5〕＝f〔1．5〕＝f〔－2．5〕∵f〔x〕是偶函数，∴f〔2009．5〕＝f〔2．5〕＝．答案：7．〔2010年安徽黄山质检〕定义在R上的函数f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，函数y＝f〔x＋a〕是偶函数，当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f〔2a－x1〕与f〔x2〕的大小关系为________．解析：∵y＝f〔x＋a〕为偶函数，∴y＝f〔x＋a〕的图象关于y轴对称，∴y＝f〔x〕的图象关于x＝a对称．又∵f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，∴f〔x〕在[a，＋∞〕上是减函数．当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1<x2－a，即a<2a－x1<x2，∴f〔2a－x1〕>f〔x2〕．答案：f〔2a－x1〕>f〔x2〕8．已知函数f〔x〕为R上的奇函数，当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕．若f〔a〕＝－2，则实数a＝________．解析：当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕>0，由f〔x〕为奇函数知x<0时，f〔x〕<0，∴a< 0，f〔－a〕＝2，∴－a〔－a＋1〕＝2，∴a＝2〔舍〕或a＝－1．答案：－19．〔2009年高考山东卷〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为定义在R上的奇函数，满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔4－x〕＝f〔x〕，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f〔0〕＝0．由f〔x－4〕＝－f〔x〕知f〔x－8〕＝f 〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f 〔x〕在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1＋x2＝－1 2，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8．答案：-810．已知f〔x〕是R上的奇函数，且当x∈〔－∞，0〕时，f〔x〕＝－xlg〔2－x〕，求f〔x 〕的解析式．解：∵f〔x〕是奇函数，可得f〔0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝0．当x>0时，－x<0，由已知f〔－x〕＝xlg〔2＋x〕，∴－f〔x〕＝xlg〔2＋x〕，即f〔x〕＝－xlg〔2＋x〕〔x>0〕．∴f〔x〕＝即f〔x〕＝－xlg〔2＋|x|〕〔x∈R〕．11．已知函数f〔x〕，当x，y∈R时，恒有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕．〔1〕求证：f〔x〕是奇函数；〔2〕如果x∈R＋，f〔x〕<0，并且f〔1〕＝－，试求f〔x〕在区间[－2，6]上的最值．解：〔1〕证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，令y＝－x，∴f〔0〕＝f〔x〕＋f〔－x〕．令x＝y＝0，∴f〔0〕＝f〔0〕＋f〔0〕，得f〔0〕＝0．∴f〔x〕＋f〔－x〕＝0，得f〔－x〕＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数．〔2〕法一：设x，y∈R＋，∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，∴f〔x＋y〕－f〔x〕＝f 〔y〕．∵x∈R＋，f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕－f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕<f〔x〕．∵x＋y>x，∴f 〔x〕在〔0，＋∞〕上是减函数．又∵f〔x〕为奇函数，f〔0〕＝0，∴f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上是减函数．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x1<x2，且x1，x2∈R．则f〔x2－x1〕＝f[x2＋〔－x1〕]＝f〔x2〕＋f〔－x1〕＝f〔x2〕－f〔x1〕．∵x2－x1>0，∴f〔x2－x1〕<0．∴f〔x2〕－f〔x1〕<0．即f〔x〕在R上单调递减．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f〔x〕的定义域为R，且满足f〔x＋2〕＝－f〔x〕．〔1〕求证：f〔x〕是周期函数；〔2〕若f〔x〕为奇函数，且当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，求使f〔x〕＝－在[0，2010]上的所有x的个数．解：〔1〕证明：∵f〔x＋2〕＝－f〔x〕，∴f〔x＋4〕＝－f〔x＋2〕＝－[－f〔x〕]＝f〔x〕，∴f〔x〕是以4为周期的周期函数．〔2〕当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f〔－x〕＝〔－x〕＝－x．∵f〔x〕是奇函数，∴f〔－x〕＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝－x，即f〔x〕＝x．故f〔x〕＝x〔－1≤x≤1〕又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f〔x－2〕＝〔x－2〕，又∵f〔x－2〕＝－f〔2－x〕＝－f[〔－x〕＋2]＝－[－f〔－x〕]＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝〔x－2〕，∴f〔x〕＝－〔x－2〕〔1<x<3〕．∴f〔x〕＝由f〔x〕＝－，解得x＝－1．∵f〔x〕是以4为周期的周期函数．故f〔x〕＝－的所有x ＝4n－1〔n∈Z〕．令0≤4n－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502〔n∈Z〕，∴在[0，2010]上共有502个x使f〔x〕＝－．第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A组1．〔2010年黑龙江哈尔滨模拟〕若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于_____ ___．解析：∵a>1，b<0，∴0<ab<1，a－b>1．又∵〔ab＋a－b〕2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴〔ab－a－b〕2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2．答案：－2 2．已知f〔x〕＝ax＋b的图象如图所示，则f〔3〕＝________．解析：由图象知f〔0〕＝1＋b＝－2，∴b＝－3．又f〔2〕＝a2－3＝0，∴a＝，则f〔3〕＝〔〕3－3＝3－3．答案：3－33．函数y＝〔〕2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－〔x－1〕2＋1≤1，∴〔〕2x－x2≥．答案：[，＋∞〕4．〔2009年高考山东卷〕若函数f〔x〕＝ax－x－a〔a>0，且a≠1〕有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f〔x〕的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1．答案：〔1，+∞〕5．〔原创题〕若函数f〔x〕＝ax－1〔a>0，a≠1〕的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________．解析：由题意知无解或⇒a＝．答案： 36．已知定义域为R的函数f〔x〕＝是奇函数．〔1〕求a，b的值；〔2〕若对任意的t∈R，不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0恒成立，求k的取值范围．解：〔1〕因为f〔x〕是R上的奇函数，所以f〔0〕＝0，即＝0，解得b＝1．从而有f〔x〕＝．又由f〔1〕＝－f〔－1〕知＝－，解得a＝2．〔2〕法一：由〔1〕知f〔x〕＝＝－＋，由上式易知f〔x〕在R上为减函数，又因f〔x〕是奇函数，从而不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0⇔f〔t2－2t〕<－f〔2t2－k〕＝f〔－2t2＋k〕．因f〔x〕是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k．即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－．法二：由〔1〕知f〔x〕＝，又由题设条件得＋<0即〔22t2－k＋1＋2〕〔－2t2－2t＋1〕＋〔2t2－2t＋1＋2〕〔－22t2－k＋1〕<0整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－．B组1．如果函数f〔x〕＝ax＋b－1〔a>0且a≠1〕的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a<1且b>0 ②0<a<1且0<b<1 ③a>1且b<0 ④a>1且b>0解析：当0<a<1时，把指数函数f〔x〕＝ax的图象向下平移，观察可知－1<b－1<0，即0<b<1．答案：②2．〔2010年保定模拟〕若f〔x〕＝－x2＋2ax与g〔x〕＝〔a＋1〕1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：f〔x〕＝－x2＋2ax＝－〔x－a〕2＋a2，所以f〔x〕在[a，＋∞〕上为减函数，又f〔x〕，g〔x〕都在[1，2]上为减函数，所以需⇒0<a≤1．答案：〔0，1]3．已知f〔x〕，g〔x〕都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f〔x〕＝ax·g〔x〕〔a>0，a≠1〕；②g〔x〕≠0；若＋＝，则a等于________．解析：由f〔x〕＝ax·g〔x〕得＝ax，所以＋＝⇒a＋a－1＝，解得a＝2或．答案：2或4．〔2010年北京朝阳模拟〕已知函数f〔x〕＝ax〔a>0且a≠1〕，其反函数为f－1〔x〕．若f〔2〕＝9，则f－1〔〕＋f〔1〕的值是________．解析：因为f〔2〕＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f〔x〕＝3x＝，∴x＝－1，故f－1〔〕＝－1．又f〔1〕＝3，所以f－1〔〕＋f〔1〕＝2．答案：25．〔2010年山东青岛质检〕已知f〔x〕＝〔〕x，若f〔x〕的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g〔x〕，则g〔x〕的表达式为________．解析：设y＝g〔x〕上任意一点P〔x，y〕，P〔x，y〕关于x＝1的对称点P′〔2－x，y 〕在f〔x〕＝〔〕x上，∴y＝〔〕2－x＝3x－2．答案：y＝3x－2〔x∈R〕6．〔2009年高考山东卷改编〕函数y＝的图象大致为________．解析：∵f〔－x〕＝＝－＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数，排除④．又∵y＝＝＝＝1＋在〔－∞，0〕、〔0，＋∞〕上都是减函数，排除②、③．答案：①7．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知函数f〔x〕满足：当x≥4时，f〔x〕＝〔〕x；当x<4时，f〔x〕＝f〔x＋1〕，则f〔2＋log23〕＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2．∴3<2＋log23<4，∴f〔2＋log23〕＝f〔3＋log23〕＝f〔log224〕＝〔〕log224＝2－log224＝2log2＝．答案：8．〔2009年高考湖南卷改编〕设函数y＝f〔x〕在〔－∞，＋∞〕内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK〔x〕＝取函数f〔x〕＝2－|x|，当K＝时，函数fK〔x〕的单调递增区间为________．解析：由f〔x〕＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK〔x〕＝则单调增区间为〔－∞，－1]．答案：〔－∞，－1]9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g〔a〕的图象可以是________．解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②10．〔2010年宁夏银川模拟〕已知函数f〔x〕＝a2x＋2ax－1〔a>0，且a≠1〕在区间[－1，1 ]上的最大值为14，求实数a的值．解：f〔x〕＝a2x＋2ax－1＝〔ax＋1〕2－2，∵x∈[－1，1]，〔1〕当0<a<1时，a≤ax≤，∴当ax＝时，f〔x〕取得最大值．∴〔＋1〕2－2＝14，∴＝3，∴a＝．〔2〕当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f〔x〕取得最大值．∴〔a＋1〕2－2＝14，∴a＝3．综上可知，实数a的值为或3．11．已知函数f〔x〕＝．〔1〕求证：f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称；〔2〕若f〔x〕≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．解：〔1〕证明：设f〔x〕的图象C上任一点为P〔x，y〕，则y＝－，P〔x，y〕关于点M〔a，－1〕的对称点为P′〔2a－x，－2－y〕．∴－2－y＝－2＋＝＝＝，说明点P′〔2a－x，－2－y〕也在函数y＝的图象上，由点P的任意性知，f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称．〔2〕由f〔x〕≥－2x得≥－2x，则≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有〔2x〕2＋2a·2x －2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g〔t〕＝t2＋2a·t－2·2a，则有g〔t〕≥0在t≥2a上恒成立．∵g〔t〕的对称轴在t＝0的左侧，∴g〔t〕在t≥2a上为增函数．∴g〔2a〕≥0．∴〔2a〕2＋〔2a〕2－2·2a≥0，∴2a〔2a－1〕≥0，则a≥0．即实数a 的取值范围为a≥0．12．〔2008年高考江苏〕若f1〔x〕＝3|x－p1|，f2〔x〕＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且f〔x〕＝〔1〕求f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件〔用p1、p2表示〕；〔2〕设a，b是两个实数，满足a<b，且p1、p2∈〔a，b〕．若f〔a〕＝f〔b〕，求证：函数f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔闭区间[m，n]的长度定义为n－m〕．解：〔1〕f〔x〕＝f1〔x〕恒成立⇔f1〔x〕≤f2〔x〕⇔3|x－p1|≤2·3|x－p2|⇔3|x－p1|－|x －p2|≤2⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32．〔*〕若p1＝p2，则〔*〕⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g〔x〕＝|x－p1|－|x－p2|，当p1>p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32．当p1<p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32．综上所述，f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32．〔2〕证明：分两种情形讨论．①当|p1－p2|≤log32时，由〔1〕知f〔x〕＝f1〔x〕〔对所有实数x∈[a，b]〕，则由f〔a〕＝f〔b〕及a<p1<b易知p1＝．再由f1〔x〕＝的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－＝．②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1<p2，则p2－p1>log32．于是，当x≤p1时，有f1〔x〕＝3p1－x<3p2－x<f2〔x〕，从而f〔x〕＝f1〔x〕．当x≥p2时，f1〔x〕＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>3log32·3x－p2＝f2〔x〕，从而f〔x〕＝f2〔x〕．当p1<x<p2时，f1〔x〕＝3x－p1及f2〔x〕＝2·3p2－x，由方程3x0－p1＝2·3p2－x0，解得f1〔x〕与f2〔x〕图象交点的横坐标为x0＝＋log32．①显然p1<x0＝p2－[〔p2－p1〕－log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．由①易知f〔x〕＝综上可知，在区间[a，b]上，f〔x〕＝故由函数f1〔x〕与f2〔x〕的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔x0－p1〕＋〔b－p2〕，由于f〔a〕＝f〔b〕，即3p1－a＝2·3b－p2，得p1＋p2＝a＋b＋log32．②故由①②得〔x0－p1〕＋〔b－p2〕＝b－〔p1＋p2－log32〕＝．综合①、②可知，f〔x〕在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为．第二节对数函数A组1．〔2009年高考广东卷改编〕若函数y＝f〔x〕是函数y＝ax〔a>0，且a≠1〕的反函数，其图象经过点〔，a〕，则f〔x〕＝________．解析：由题意f〔x〕＝logax，∴a＝logaa＝，∴f〔x〕＝logx．答案：logx2．〔2009年高考全国卷Ⅱ〕设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是____ ____．解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈〔，1〕，c＝log3＝log32∈〔0，〕，故有a>b>c ．答案：a>b>c3．若函数f〔x〕＝，则f〔log43〕＝________．解析：0<log43<1，∴f〔log43〕＝4log43＝3．答案：34．如图所示，若函数f〔x〕＝ax－1的图象经过点〔4，2〕，则函数g〔x〕＝loga的图象是________．解析：由已知将点〔4，2〕代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2>1．又是单调递减的，故g〔x〕递减且过〔0，0〕点，∴④正确．答案：④5．〔原创题〕已知函数f〔x〕＝alog2x＋blog3x＋2，且f〔〕＝4，则f〔2010〕的值为_．解析：设F〔x〕＝f〔x〕－2，即F〔x〕＝alog2x＋blog3x，则F〔〕＝alog2＋blog3＝－〔alog2x＋blog3x〕＝－F〔x〕，∴F〔2010〕＝－F〔〕＝－[f〔〕－2]＝－2，即f〔2010〕－2＝－2，故f〔2010〕＝0．答案：06．若f〔x〕＝x2－x＋b，且f〔log2a〕＝b，log2f〔a〕＝2〔a>0且a≠1〕．〔1〕求f〔log2x 〕的最小值及相应x的值；〔2〕若f〔log2x〕>f〔1〕且log2f〔x〕<f〔1〕，求x的取值范围．。

《全程复习方略》2018-2019版高考数学(理)一轮复习课件( 全国版)：第七章立体几何 7.1

知,其侧棱必相交于同一点.
(2)选B.命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边, 则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底
的腰;命题③对;命题④错,必须用平行于圆锥底面的平
面截圆锥才可以.
【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析, 即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可. (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上, 解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
2.(必修2P19练习T3改编)利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是________.
【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能
AE=AC= ,AB= .所以最长棱棱长为 . 2 3 3
4.(2014·江西高考)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( )
【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影, 所以选B.
考向一
空间几何体的结构特征
( )
【典例1】(1)下列说法正确的是
A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍_______ 平行于 _______;平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度坐标轴 _____;平行于y轴的线段在直观图中_________________. 不变长度为原征
(1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是

《全程复习方略》2018-2019高考数学(理)一轮复习课件(全国版)：第十章计数原理、概率、随机变量 10.4

不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.由互斥事件的意义A,C,D都是互斥事件,
而平均分不低于90分与平均分不高于90分都含有90分
,故B不是互斥事件.
5.(2016·太原模拟)某人进行打靶练习,共射击10次,
其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未打
第四节随机事件的概率
【知识梳理】 1.事件的相关概念
会发生不发生
发生
不发生
2.频率和概率 (1)频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的______为次数nA 事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=______
为事件A出现的频率.
根据样本的频率分布估计,数据落在[27.5,43.5)的概率约是 ( )
1 1 1 2 A. B. C. D. 【解析】选 6 3 C.由条件可知 2 3,落在[27.5,43.5)的数据有
11+12+7+3=33(个), 故所求概率约为
33 1 . 66 2
4.(2016·开封模拟)下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( ) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分
人数 42 172 240 86 52 8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率: (1)90分以上的概率: .
(2)不及格的概率:
.
【解析】(1) 42 0.07.
600 (2) 52 8 0.1. 600 答案:(1)0.07 (2)0.1

全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学第三章第八节应用举例课时提升作业理新人教A版

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学第三章第八节应用举例课时提升作业理新人教A版一、选择题1.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始几小时后,两车的距离最小( )(A)6943(B)1 (C)7043(D)22.某水库大坝的外斜坡的坡度为512,则坡角α的正弦值为( )(A)1213(B)513(C)512(D)13123.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( )(A)20(6+2)海里/小时(B)20(6-2)海里/小时(C)20(6+3)海里/小时(D)20(6-3)海里/小时4.(2013·广州模拟)据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是( )(A)206米(B)206米(C)1063米(D)106米5.(2013·安阳模拟)已知△ABC 的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是( ) (A)103 (B)303 (C)203 (D)1536.某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,则H=( )(A)100m (B)110m (C)124m (D)144m二、填空题7.若△ABC 的面积为3,BC=2,C=60°,则边长AB 的长度等于 .8.(2013·济南模拟)如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°.则塔高AB= .9.如图,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B 后,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ= .三、解答题10.(2013·山东省实验中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，已知C 10sin.2= (1)求cos C 的值.(2)若△ABC 的面积为315，且22213sin A sin B sin C,16+=求a,b,c 的值. 11.在海岸A 处,发现北偏东45°方向、距离A 处(3-1)海里的B 处有一艘走私船;在A 处北偏西75°方向、距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?12.(能力挑战题)如图,摄影爱好者在某公园A 处,发现正前方B 处有一立柱,测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°,已知摄影爱好者的身高约为3米(将眼睛S 距地面的距离SA 按3米处理).(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB.(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN(设为θ)是否存在最大值?若存在,请求出∠MSN 取最大值时cos θ的值;若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选 C.如图所示,设过x h 后两车距离为y km,则BD=200-80x,BE=50x,∴y 2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x ·cos 60°,整理得y 2=12900x 2-42000x+40000(0≤x ≤2.5),∴当x=7043时y 2最小,即y 最小. 2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】选B.由tan α=512,得125sin α=cos α,代入sin 2α+cos 2α=1, 得sin α=513. 3.【解析】选B.由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.在△MNS 中利用正弦定理可得, MN 20sin 30sin 105=︒︒， ∴MN=120210(62)26⨯=-+(海里),∴货轮航行的速度v=10(62)2-=20(62)-(海里/小时). 4.【解析】选A.如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知, AO20sin 45sin 60︒︒＝，∴AO=206米.5.【解析】选D.由△ABC 三边长构成公差为4的等差数列,设△ABC 的三边长分别为a,a+4,a+8,因为△ABC 的一个内角是120°,所以(a+8)2=a 2+(a+4)2-2a(a+4)cos120°,化简得a 2-2a-24=0,解得a=-4(舍)或a=6.因此△ABC 的面积S=12×6×10×sin120°=153.【变式备选】在△ABC 中三条边a,b,c 成等比数列,且b=3,B=3π,则△ABC 的面积为( )()()()()33333A B C D 2444【解析】选C.由已知可得b 2=ac,又b=3,则ac=3,又B=3π,∴S △ABC =12acsinB=12×3×32 =33.46.【思路点拨】用H,h 表示AD,AB,BD 后利用AD=AB+BD 即可求解.【解析】选C.由H hAB ,BD ,tan tan ==αβAD=H tan β及AB+BD=AD,得H h H ,tan tan tan +=αββ 解得H=htan 41.24tan tan 1.241.20α⨯=α-β-=124(m). 因此,算出的电视塔的高度H 是124m.【方法技巧】测量高度的常见思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由△ABC 面积为3,得12absin 60°=3,得又BC=a=2,故b=2∴c 2=a 2+b 2-2abcosC=4+12-2×2×212∴c=答案:8.【解析】因为∠BCD=15°，∠BDC=30°，所以∠CBD=135°,在△BCD 中，根据正弦定理可知CD BC sin CBD sin BDC =∠∠，即30BC sin 135sin 30=︒︒,解得BC=ABC 中，tan 60°=AB BC =所以AB ===答案:9.【解析】在△ABC 中,ABsin BAC 100sin 15BC sin ACB sin(4515)∠︒===∠︒-︒ 在△BCD 中,sin ∠BDC=BCsin CBDCD∠50(62)sin 45-︒==3-1. 又∵cos θ=sin ∠BDC,∴cos θ=3-1.答案:3-110.【解析】(1)cos C=1-2sin 2C22105112()1.444=-⨯=-=-(2)∵sin 2A+sin 2B=213sin C,16由正弦定理可得22213:a b c .16+=由(1)可知cos C=-14,0＜C ＜π,∴sin C=2151cos C -=.ABC 1315S absin C ,24==得ab=6.由余弦定理222c a b 2abcos C =+-可得2213c c 316=+，∴c 2=16,又c ＞0,∴c=4.由22a b 13,ab 6,⎧+=⎨=⎩得a 3,b 2=⎧⎨=⎩或a 2,b 3.=⎧⎨=⎩∴a=3,b=2,c=4或a=2,b=3,c=4.11.【解析】如图,设缉私船t 小时后在D 处追上走私船,则有CD=103t,BD=10t.在△ABC 中,AB=3-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC=6.由正弦定理,得sin ∠ABC=AC BC sin ∠BAC=32,226⨯=得∠ABC=45°,即BC 与正北方向垂直.于是∠CBD=120°.在△BCD 中,由正弦定理,得sin ∠BCD=BDsin CBD1,CD 2103t ∠==得∠BCD=30°,∴∠BDC=30°.CDBC 103t 66,t .sin 120sin 303===︒︒又，得所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船,最少要花6小时.12.【解析】(1)如图,作SC ⊥OB 于C,依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°.又SA=3,故在Rt △SAB 中,可求得AB=SAtan30︒=3,即摄影爱好者到立柱的水平距离AB 为3米.在Rt △SCO 中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC ·tan 30°=3,又BC=SA=3,故OB=23,即立柱的高度OB 为23米.(2)方法一:如图,以O 为原点,以水平方向向右为x 轴正方向建立平面直角坐标系,连接SM,SN,设M(cos α,sin α),α∈[0,2π),则N(-cos α,-sin α),由(1)知S(3,- 3).故SM =(cos α-3,sin α+3),SN =(-cos α-3,-sin α+3),∵SM·SN=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα·(-sinα|SM|·|SN|(cos)13(6cos=-α-=+==由α∈[0,2π)知|SM|·|SN|∈[11,13].所以cos∠MSN=SM SNSM SN∈[1113,1],易知∠MSN为锐角,故当视角∠MSN取最大值时,cosθ=1113.方法二:∵cos∠MOS=-cos∠NOS,∴222222MO SO SM NO SO SN2MO SO2NO SO+-+-=-于是得SM2+SN2=26从而cosθ=22222222SM SN MN SM SN MN11.2SM SN SM SN13+-+-≥=+又∠MSN为锐角,故当视角∠MSN取最大值时,cosθ=1113.欢迎下载，资料仅供参考!!!。

新高考全程复习方略数学(文)习题汇编第八章解析几何46Word版含答案

新高考全程复习方略数学（文）习题汇编课时作业 46直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．(2018·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：5解析：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1：2.选A.答案：A2．(2018·聊城模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．答案：C3．(2018·烟台一模)若一个圆的圆心为抛物线y ＝－14x 2的焦点，且此圆与直线3x ＋4y－1＝0相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋y 2＝16．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意，知满足条件的t 的值在直线x ＝5的两个点的纵坐标之间取值，过此两个点与圆相切的两条直线互相垂直．设过点(5，t )的直线方程为y －t ＝k (x －5)，由相切条件，得|k －4＋t －5k |k 2＋1＝10，整理，得6k 2＋8(4－t )k ＋(t －4)2－10＝0，由题意知此方程的两根满足k 1k 2＝－1，所以t －42－106＝－1，解得t ＝2或t ＝6，所以2≤t ≤6，故选C.答案：C7．(2018·衡阳联考)若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1没有公共点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2－22)∪(22－2，＋∞)B ．(－∞，－2－25)∪(25－2，＋∞)C ．(－∞，－2－2)∪(2－2，＋∞)D ．(－∞，－2－5)∪(5－2，＋∞)解析：通解将2x －y ＋a ＝0代入(x －1)2＋y 2＝1得5x 2＋(4a －2)x ＋a 2＝0，又直线与圆没有公共点，则有Δ＝(4a －2)2－20a 2＜0，即a 2＋4a －1＞0，解得a ＜－2－5或a ＞5－2，选D.优解圆心(1,0)到直线2x －y ＋a ＝0的距离d ＝|2＋a |5＞1，解得a ＜－2－5或a ＞5－2，选D.答案：D8．(2018·广东佛山二模，7)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －3＝0解析：设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有cos ∠ACB 2＝d5，要使∠ACB 最小，则d 要取到最大值．此时直线l 与直线CM 垂直．而k CM ＝4－23－1＝1，故直线l 的方程为y －2＝－1×(x－1)，即x ＋y －3＝0.答案：D9．(2018·南昌模拟(一))如图，在平面直角坐标系xOy ，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos∠AOB ＝( )A.510 B ．－510 C.910 D ．－910解析：本题考查直线与圆的位置关系．圆心到直线的距离d ＝15，则弦长AB ＝2r 2－d2＝24－15＝2195，在△ABO 中，由余弦定理得cos∠AOB ＝4＋4－7652×2×2＝－910，故选D. 一题多解：本题也可利用二倍角公式求解．设点O 到直线AB 的距离为d ，则cos ∠AOB2＝d OA ＝152＝125，所以cos∠AOB ＝2cos 2∠AOB 2－1＝2×120－1＝－910，方法一是通解通法，但方法二运算简洁，体现了不同解法对能力的不同要求．答案：D10．(2018·广州毕业班测试)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( )A ．15B ．9C ．1D ．－53解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2k |2≤ k 2－2k ＋3，k 2－2k ＋3>0，解得－3≤k ≤1.因为点P 是直线与圆的公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2k ，a 2＋b 2＝k 2－2k ＋3，即ab ＝32k 2＋k －32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋132－53，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B. 答案：B 二、填空题11．(2018·洛阳一模)已知过点(2,4)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －5＝0截得的弦长为6，则直线l 的方程为__________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －5＝0的圆心坐标为(1,2)，半径为10.因为过点(2,4)的直线l 被圆C 截得的弦长为6，所以圆心到直线l 的距离为1，①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x －2＝0，满足圆心到直线的距离为1；②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，所以|k －2k －2＋4|1＋k2＝1，所以k ＝34，所求直线l 的方程为3x －4y ＋10＝0.故直线l 的方程为x －2＝0或3x －4y ＋10＝0.答案：x －2＝0或3x －4y ＋10＝012．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心C (1,2)，半径r ＝2，且圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，|MP |＝13－4＝3.答案：313．(2018·福建师大附中联考)与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为________．解析：所求圆的圆心在直线y ＝－2x 上，所以可设所求圆的圆心为(a ，－2a )(a <0)，又因为所求圆与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25，所以a 2＋－2a2＝25，可得a 2＝4，则a ＝－2或a ＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x ＋2)2＋(y －4)2＝2014．(2018·南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．解析：本题考查圆的方程．由题意可得直线l 1恒过定点(0,2)，直线l 2恒过定点(2,0)，且l 1⊥l 2，则点P 的轨迹是以(0,2)和(2,0)为直径两端点的圆，方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，半径为 2.圆心(1,1)到直线x －y －4＝0的距离为|1－1－4|2＝22，则点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为22＋2＝3 2.答案：3 2[能力挑战]15．(2018·揭阳一模)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B．[2，22) C ．[2，＋∞) D．[3，22)解析：由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，又k ＞0，故0＜k ＜2 2 ①.如图，作平行四边形OACB ，连接OC 交AB 于M ，由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |2≥1，k ≥ 2 ②.综合①②得，2≤k ＜2 2.选B.答案：B16．(2018·湖北调考)过圆x 2＋y 2＝25内一点P (15，0)作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别与圆交于A ，C 和B ，D ，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．40 3 B.8033C ．40 2 D.8023解析：本题考查直线与圆的位置关系、函数的性质．由题意得两直线的斜率都存在，且不为零，则由对称性不妨设直线AC 的方程为y ＝k (x －15)(k >0)，代入圆的方程得(1＋k 2)x2－215k 2x ＋15k 2－25＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x A ＋x C ＝215k 21＋k2，x A x C＝15k 2－251＋k2.由题意知四边形ABCD 是一个以x 轴为对称轴的等腰梯形，则其面积S ＝12×2|y A －y C ||x A－x C |＝k |x A －x C |2＝k [(x A ＋x C )2－4x A x C ]＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫215k 21＋k 22－4×15k 2－251＋k 2＝10k 4k 2＋10k 2＋12，则S ′＝－202k 2－1k 2＋5k 2＋13，则当0<k <22时，S ′>0，当k >22时，S ′<0，所以当k ＝22，四边形ABCD 的面积S 取得最大值8023，故选D.答案：D17．(2018·广东省五校高三第一次考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，当a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 29＋4b 29⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b2的最小值为1.答案：1。

高中全程复习方略(文科数学)2020版核心素养提升练三 1.3

核心素养提升练三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q 1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∨(p2)中,真命题是 ( )A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4【解析】选C.对于p1(充分性)若xy≥0,则xy至少有一个为0或同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得:x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2.所以xy=|x||y|,即xy≥0.故p1为真命题.对于p2,因为y′=2x ln 2-ln 2=ln 2,当x∈(0,+∞)时,2x> ,又因为ln 2>0,所以y′>0,函数在(0,+∞)上单调递增;同理,当x∈(-∞,0)时,y′<0,函数在(-∞,0)上单调递减.因此p2为假命题.所以q1真,q2假,q3假,q4真.2.下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,x2≥0B.∀x∈R,2x-1>0C.∃x0∈N,sin x0=1D.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2【解析】选D.因为任何实数的平方均非负,所以选项A正确;由指数函数的性质知:2x-1>0,所以选项B正确;因为当x=1时,sin=1,所以选项C正确;因为sin x +cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以选项D错误.3.命题“∃x0∈R,<或>x0”的否定是( )A.∃x0∈R,≥或≤x0B.∀x∈R,2x≥或x2≤xC.∀x∈R,2x≥且x2≤xD.∃x0∈R,≥且≤x0【解析】选C.特称命题的否定是全称命题,注意“或”的否定为“且”.【变式备选】命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n<D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<【解析】选D.原命题是全称命题,条件为“∀x∈R”,结论为“∃n∈N*,使得n≥x2”,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D选项符合.4.(2019·石家庄模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )A.p或qB.p且qC.qD.p【解析】选B.取x=,y=,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q 是真命题,故p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.5.(2018·唐山模拟)已知命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a(x-1)的图象过点(2,0),则( )A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真【解析】选A.由<,得(x0-1)<0,解得x0<0或0<x0<1,在这个范围内没有自然数,所以命题p为假命题;因为对任意的a∈(0,1)∪(1,+∞),均有f(2)=log a1 =0,所以命题q为真命题.6.命题p:“∃x0∈,sin 2x0+cos 2x0<a”是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,]C.[1,+∞)D.[,+∞)【解析】选A.因为命题p:“∃x0∈,sin 2x0+cos 2x0<a”是假命题,所以命题p:“∀x∈,sin 2x+cos 2x≥a”是真命题,即(sin 2x+cos 2x)min≥a,因为sin 2x+cos 2x=sin,且≤2x+≤,所以sin 2x+cos 2x≥1,则a≤1.7.已知命题“∃x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,3)C.(-3,+∞)D.(-3,1)【解析】选B.原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,其为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2×<0.则-2<a-1<2,则-1<a<3.二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题“∀x∈R,cos x≤1”的否定是________.【解析】因为全称命题的否定为特称命题,且对结论进行否定,所以该命题的否定为∃x0∈R,cos x0>1.答案:∃x0∈R,cos x0>19.给出下列命题: 世纪金榜导学号①∀x∈R,x2+1>0;②∀x∈N,x2≥1;③∃x0∈Z,<1;④∃x0∈Q,=3;⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x0∈R,+1=0.其中所有真命题的序号是________.【解析】①显然是真命题;②中,当x=0时,x2<1,故②是假命题;③中,当x=0时, x3<1,故③是真命题;④中,对于任意的x∈Q,x2=3都不成立,故④是假命题;⑤中,只有当x=1或x=2时,x2-3x+2=0才成立,故⑤是假命题;⑥显然是假命题.综上可知,所有真命题的序号是①③.答案:①③10.(2018·枣庄模拟)若“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为________.世纪金榜导学号【解析】“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,可得-1≤tan x≤1,所以0≤tan x+1≤2,所以实数m的最大值为0.答案:0(20分钟40分)1.(5分)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x∈,f(x)<0,则( )A.p是假命题,p:∀x∈,f(x)≥0B.p是假命题,p:∃x 0∈,f(x0)≥0C.p是真命题,p:∃x 0∈,f(x0)≥0D.p是真命题,p:∀x∈,f(x)>0【解析】选C.因为f′(x)=3cos x-π,所以当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,即对∀x∈,f(x)<f(0)=0恒成立,所以p是真命题.又因为全称命题的否定是特称命题,所以p:∃x 0∈,f(x0)≥0.2.(5分)已知p:∃x0∈R,m+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2【解析】选A.依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得即m≥2.3.(5分)给定两个命题,p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果p与q中有且仅有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立⇒a=0或⇒0≤a<4;关于x的方程x2-x+a=0有实数根⇒1-4a≥0⇒a≤;若p真q假,则有0≤a<4,且a>,所以<a<4;若p假q真,则有a<0或a≥4,且a≤,所以a<0,所以实数a的取值范围为(-∞,0)∪.答案:(-∞,0)∪4.(12分)已知a>0,设命题p:函数y=a x在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求实数a的取值范围.世纪金榜导学号【解析】因为y=a x在R上单调递增,所以p:a>1.又不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R 恒成立,所以Δ<0,即a2-4a<0,所以0<a<4.所以q:0<a<4.而命题p且q为假,p或q为真,那么p,q中有且只有一个为真,一个为假.(1)若p真,q假,则a≥4;(2)若p假,q真,则0<a≤1.所以a的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).5.(13分)(2019·岳阳模拟)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x≤1+m(m>0). 世纪金榜导学号(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.(2)若m=5,p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数x的取值范围.【解析】(1)设使命题p成立的集合为A,命题q成立的集合为B,则A={x|-1≤x≤5},B={x|1-m≤x≤1+m},所以A⊆B,所以解得m≥4,故实数m的取值范围为[4,+∞).(2)根据条件可知p,q一真一假.当p真q假时,无解.当p假q真时,解得-4≤x<-1或5<x≤6.故实数x的取值范围为[-4,-1)∪(5,6].【变式备选】命题p:f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时的最大值不超过2,命题q:正数x,y满足x+2y=8,且a≤+恒成立,若p∨(q)为假命题,求实数a的取值范围.【解析】当a≤0时,f(x)max=f(0)=1-a≤2,解得-1≤a≤0;当0<a<1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1≤2,解得0<a<1;当a≥1时,f(x)max=f(1)=a≤2,解得1≤a≤2.所以使命题p为真的a的取值范围是[-1,2].由x+2y=8,得+=1,又x,y都是正数,所以+==+≥+2=1,当且仅当即时,等号成立,故=1.因为a≤+恒成立,所以a≤1,所以使命题q为真的a的取值范围是(-∞,1].因为p∨(q)为假命题,所以p假q真,所以所以a<-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1).关闭Word文档返回原板块。

【新人教版】高三数学全程复习方略第三编导数及其应用(共36页)

第三编导数及其应用§3.1 导数的概念及运算1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy∆∆为 . 答案 Δx +22.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则f ′(x )= . 答案 cos2x +cos x3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式xf ′(x )＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式不一定成立的是（填序号）. ①af (b )＞bf (a ) ②af (a )＞bf (b ) ③af (a )＜bf (b )④af (b )＜bf (a )答案 ①③④4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,15.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a = . 答案 2例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy =11)(2020+-+∆+x x x=11)(11)(2202020+++∆+--+∆+x x x x x x=11)()(2202020+++∆+∆+∆x x x x x x ，基础自测∴x y∆∆=11)(220200+++∆+∆+x x x x x . 例2 求下列各函数的导数：（1）y =25sin xxx x ++；（2）y =（x +1）（x +2）（x +3）；（3）y =-sin 2x (1-2cos 24x)；（4）y =x-11+x+11.解（1）∵y =2521sin xx x x ++=x23-+x 3+2sin xx ，∴y ′=（x23-）′+(x 3)′+(x -2sin x )′=-23x 25-+3x 2-2x -3sin x +x -2cos x . (2)方法一 y =（x 2+3x +2）（x +3） =x 3+6x 2+11x +6， ∴y ′=3x 2+12x +11. 方法二y ′=［（x +1）（x +2）］′（x +3）+（x +1）（x +2）（x +3）′ =［（x +1）′（x +2）+（x +1）（x +2）′］（x +3）+（x +1）（x +2） =（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2） =（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2） =3x 2+12x +11. （3）∵y =-sin 2x (-cos 2x )=21sin x ， ∴y ′=(21sin x ) ′= 21（sin x ）′=21cos x . （4）y =x-11+x+11=)1)(1(11x x xx +--++=x-12，∴y ′=(x -12)′=2)1()1(2x x -'--=2)1(2x -. 例3 求下列函数的导数：（1）y =4)31(1x -;(2)y =sin 2(2x +3π); (3)y =x 21x +.解（1）设u =1-3x ,y =u -4.则y x ′=y u ′·u x ′=-4u -5·（-3）=5)31(12x -.(2)设y =u 2,u =sin v ,v =2x +3π, 则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+324πx .(3)y ′=(x 21x +)′=x ′·21x ++x ·（21x +)′=21x ++221xx +=22121xx ++.例4 （14分）已知曲线y =31x 3+34. (1)求曲线在x =2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解（1）∵y ′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k =y ′|x =2=4. 3分 ∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.6分（2）设曲线y =31x 3+34与过点P （2，4）的切线相切于点 A (x 0，31x 03+34)，则切线的斜率 k =y ′|0x x ==x 02. 8分∴切线方程为y -(31x 03+34)=x 02(x -x 0), 即y =x 02·x -32x 03+34.10分∵点P （2，4）在切线上，∴4=2x 02-32x 03+34,即x 03-3x 02+4=0,∴x 03+x 02-4x 02+4=0, ∴x 02 (x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.14分1.求y =x 在x =x 0处的导数.解xy ∆∆=xx x x ∆-∆+0=)())((000000x x x x x x x x x x +∆+∆+∆+-∆+=01x x x +∆+，当Δx 无限趋近于0时，01x x x +∆+无限趋近于021x ,∴f ′(x 0)=21x .2.求y =tan x 的导数.解 y ′='⎪⎭⎫ ⎝⎛x x cos sin =x x x x x 2cos )(cos sin cos )(sin '-' =xxx 22cos sin cos +=x2cos 1.3.设函数f （x ）=cos （3x +ϕ）（0＜ϕ＜π）.若f (x )+f ′(x )是奇函数,则ϕ= . 答案6π4.若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或-41一、填空题1.若f ′（x 0）=2，则当k 无限趋近于0时kk 2)()(00x f x f --= .答案 -12.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a = . 答案 -23.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,324.曲线y =x 3-2x 2-4x +2在点（1,-3）处的切线方程是 .答案 5x +y -2=05.（2009·徐州六县一区联考）若曲线f (x )=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为 . 答案（1，0）6.已知曲线S :y =3x -x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线，其切线共有条. 答案 3 7.曲线y =x 1和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 答案43 8.若函数f (x )的导函数为f ′(x )=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,1二、解答题9.求下列函数在x =x 0处的导数. （1）f （x ）=cos x ·sin 2x +cos 3x ，x 0=3π；（2）f （x ）=xxx x ++-1e 1e ，x 0=2；（3）f （x ）=223ln x xx x x +-，x 0=1.解（1）∵f ′(x )=［cos x (sin 2x +cos 2x )］′ =(cos x )′=-sin x , ∴f ′（3π）=-23.(2)∵f ′(x )='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 1e 2 =)1()1(e 2)1()e 2(x x x x x -'---'=2)1(e )2(2x x x --,∴f ′(2)=0.(3)∵f ′(x )=(x 23-)′-x ′+(ln x )′=-23x 25--1+x 1,∴f ′(1)=-23. 10.求曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离.解设曲线上过点P （x 0,y 0）的切线平行于直线2x -y +3=0，即斜率是2，则y ′|0x x ==0)12(121x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⋅-=122-x |0x x ==1220-x =2. 解得x 0=1,所以y 0=0,即点P （1，0），点P 到直线2x -y +3=0的距离为5)1(2|302|22=-++-,∴曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是5. 11.（2008·海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f (x )=ax +bx +1（a ,b ∈Z ），曲线y =f (x )在点（2，f （2））处的切线方程为y =3. （1）求f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f ′(x )=a -2)(1b x +,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++.0)2(1,32122b a b a解得⎩⎨⎧-==11b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==38,49b a因为a ,b ∈Z ,故f (x )=x +11-x . (2)证明在曲线上任取一点（x 0,x 0+110-x ）, 由f ′(x 0)=1-20)1(1-x 知,过此点的切线方程为y -110020-+-x x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--20)1(11x (x -x 0). 令x =1,得y =1100-+x x , 切线与直线x =1的交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ;令y =x ,得y =2x 0-1,切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1); 直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为2111100--+x x |2x 0-1-1|=21120-x |2x 0-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.12.偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图象过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为y =x -2，求y =f （x ）的解析式.解 ∵f （x ）的图象过点P （0，1），∴e =1.①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）.故ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =ax 4-bx 3+cx 2-dx +e . ∴b =0，d =0.②∴f （x ）=ax 4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x =1处的切线方程为y =x -2， ∴可得切点为（1，-1）. ∴a +c +1=-1.③ ∵f ′（1）=（4ax 3+2cx ）|x =1=4a +2c ， ∴4a +2c =1.④由③④得a =25，c =-29. ∴函数y =f （x ）的解析式为f （x ）=25x 4-29x 2+1.§3.2 导数的应用1.函数y =f (x )的图象过原点且它的导函数g =f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，则y =f (x )图象的顶点在第象限. 答案一2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，f ′(x )＞0,g ′(x )＞0，则x ＜0时，f ′(x ) 0,g ′(x ) 0.(用“＞”, “=”,“＜”填空) 答案＞＜3.（2008·广东理，7）设a ∈R ,若函数y =e ax+3x ,x ∈R 有大于零的极值点,则a 的取值范围是 . 答案 a ＜-34.函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,33 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 5.（2008·江苏，14）f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案 4例1 已知f (x )=e x-ax -1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 f ′(x )= e x -a .(1)若a ≤0，f ′(x )= e x-a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增. 若a ＞0, e x-a ≥0,∴e x≥a ,x ≥ln a . ∴f (x )的递增区间为（ln a ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立. ∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立. ∴a ≤（e x）min ，又∵e x＞0,∴a ≤0.（3）方法一由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x在（-∞，0］上恒成立. ∵e x在（-∞，0］上为增函数.基础自测∴x =0时，e x最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤1，∴a =1.方法二由题意知，x =0为f (x )的极小值点. ∴f ′(0)=0,即e 0-a =0,∴a =1.例2 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =32时，y =f (x ）有极值.（1）求a ,b ,c 的值；（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解（1）由f （x )=x 3+ax 2+bx +c , 得f ′(x )=3x 2+2ax +b ,当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b =0①当x =32时，y =f (x )有极值，则f ′（32）=0, 可得4a +3b +4=0②由①②解得a =2,b =-4.由于切点的横坐标为x =1,∴f (1)=4. ∴1+a +b +c =4.∴c =5.（2）由（1）可得f (x )=x 3+2x 2-4x +5, ∴f ′(x )=3x 2+4x -4, 令f ′(x )=0,得x =-2,x =32. 当x 变化时，y ,y ′的取值及变化如下表：∴ y =f (x )在[-3，1]上的最大值为13，最小值为2795 例3 （14分）已知函数f (x )=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 解 ∵f （x ）=x 2e -ax（a ＞0）,∴f ′(x )=2x e -ax+x 2·（-a )e -ax=e -ax(-ax 2+2x ). 3分令f ′(x )＞0,即e -ax(-ax 2+2x )＞0,得0＜x ＜a2. ∴f (x )在（-∞,0),⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2a 上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数. ①当0＜a2＜1,即a ＞2时,f (x ）在（1，2）上是减函数,∴f （x ）max =f （1）=e -a. 8分②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f (x )在（1, a 2）上是增函数，在（a 2,2）上是减函数， ∴f (x )max =f （a2）=4a -2e -2. 12分③当a2＞2时，即0＜a ＜1时，f (x )在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0＜a ＜1时，f (x )的最大值为4e -2a, 当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a -2e -2, 当a ＞2时，f (x )的最大值为e -a.14分例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）. 解（1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L =(x -3-a )(12-x )2,x ∈［9,11］. (2)L ′(x )=(12-x )2-2(x -3-a )(12-x ) =(12-x )(18+2a -3x ). 令L ′=0得x =6+32a 或x =12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328.在x =6+32a 两侧L ′的值由正变负. 所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时， L max =L (9)=(9-3-a )(12-9)2=9(6-a ). ②当9≤6+32a ≤328即29≤a ≤5时，L max =L (6+32a )=(6+32a -3-a )［12-(6+32a )］2=4(3-31a )3. 所以Q (a )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-.529,)313(4,293),6(93a a a a答若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )=4（3-31a ）3(万元).1.已知函数f (x )=x 3-ax -1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图象不可能总在直线y =a 的上方. （1）解由已知f ′(x )=3x 2-a , ∵f (x )在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f ′(x )=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立. ∵3x 2≥0,∴只需a ≤0, 又a =0时，f ′(x )=3x 2≥0,故f (x )=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解由f ′(x )=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立. ∵-1＜x ＜1,∴3x 2＜3,∴只需a ≥3. 当a =3时，f ′(x )=3(x 2-1), 在x ∈(-1,1)上，f ′(x )＜0,即f (x )在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f (x )在（-1，1）上单调递减. （3）证明 ∵f (-1)=a -2＜a ,∴f (x )的图象不可能总在直线y =a 的上方.2.求函数y =x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值. 解先求导数,得y ′=4x 3-4x 令y ′=0,即4x 3-4x =0. 解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.导数y ′的正负以及f (-2),f (2)如下表:从上表知,当x =±2时,函数有最大值13, 当x =±1时,函数有最小值4. 3.（2008·山东理，21）已知函数f (x )=nx )1(1-+a ln(x -1),其中n ∈N *,a 为常数.(1)当n =2时,求函数f (x )的极值;(2)当a =1时,证明:对任意的正整数n ,当x ≥2时,有f (x )≤x -1. (1)解由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1},当n =2时,f (x )=2)1(1x -+a ln(x -1),所以f ′(x )=32)1()1(2x x a ---.①当a ＞0时,由f ′(x )=0,得 x 1=1+a 2＞1,x 2=1-a2＜1,此时f ′(x )=321)1())((x x x x x a ----.当x ∈(1,x 1)时,f ′(x )＜0,f (x )单调递减; 当x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x )＞0,f (x )单调递增. ②当a ≤0时,f ′(x )＜0恒成立,所以f (x )无极值. 综上所述,n =2时, 当a ＞0时,f (x )在x =1+a2处取得极小值, 极小值为f （1+a2）=2a （1+ln a 2）.当a ≤0时,f (x )无极值. (2)证明方法一因为a =1, 所以f (x )=nx )1(1-+ln(x -1).当n 为偶数时, 令g (x )=x -1-nx )1(1--ln(x -1), 则g ′(x )=1+1)1(1+-n x -11-x =12--x x +1)1(+-n x n＞0 (x ≥2). 所以,当x ∈［2,+∞)时,g (x )单调递增,又g (2)=0, 因此,g (x )=x -1-nx )1(1--ln(x -1)≥g (2)=0恒成立,所以f (x )≤x -1成立.当n 为奇数时,要证f (x )≤x -1,由于nx )1(1-＜0,所以只需证ln(x -1)≤x -1, 令h (x )=x -1-ln(x -1), 则h ′(x )=1-11-x =12--x x ≥0(x ≥2), 所以,当x ∈［2,+∞)时,h (x )=x -1-ln(x -1)单调递增, 又h (2)=1＞0,所以当x ≥2时,恒有h (x )＞0, 即ln(x -1)＜x -1命题成立. 综上所述,结论成立. 方法二当a =1时,f (x )=nx )1(1-+ln(x -1).当x ≥2时,对任意的正整数n ,恒有nx )1(1-≤1,故只需证明1+ln(x -1)≤x -1. 令h (x )=x -1-(1+ln(x -1)) =x -2-ln(x -1),x ∈［2,+∞). 则h ′(x )=1-11-x =12--x x , 当x ≥2时,h ′(x )≥0,故h (x )在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h (x )≥h (2)=0, 即1+ln(x -1)≤x -1成立. 故当x ≥2时,有nx )1(1-+ln(x -1)≤x -1.即f (x )≤x -1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R （x ）=3 700x +45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C （x ）=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f （x ）的边际函数Mf （x ）定义为Mf （x ）=f （x +1）-f （x ）.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP （x ）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解（1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=-10x 3+45x 2+3 240x -5 000（x ∈N *，且1≤x ≤20）; MP (x )=P (x +1)-P (x )=-30x 2+60x +3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19). （2）P ′(x )=-30x 2+90x +3 240=-30(x -12)(x +9), ∵x ＞0,∴P ′(x )=0时,x =12，∴当0＜x ＜12时，P ′(x )＞0,当x ＞12时，P ′(x )＜0, ∴x =12时，P (x )有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. （3）MP （x ）=-30x 2+60x +3 275=-30（x -1）2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP （x ）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、填空题1.已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列说法中错误的有（填序号）.①f (x )在x =1处取得极小值②f （x ）在x =1处取得极大值 ③f （x ）是R 上的增函数④f （x ）是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数答案 ①②④2.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内极小值点有个. 答案 13.函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定是函数.（用“增”、“减”填空）答案增4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm. 答案 85.已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f (x ）的最小值是 . 答案 -37 6.已知函数f (x )=21x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 . 答案 m ≥23 7.已知函数f (x )=x 3-12x +8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M -m = . 答案 328.已知函数f (x )的导数f ′(x )=a (x +1)·(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案（-1，0）二、解答题9.设a ＞0,函数f (x )=12++x b ax ,b 为常数.（1）证明：函数f (x )的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f (x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 f ′(x )=222)1(2++--x a bx ax ,令f ′(x )=0,得ax 2+2bx -a =0(*)∵Δ=4b 2+4a 2＞0,∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1＜x 2), 则f ′(x )=2221)1())((+---x x x x x a ,当x 变化时，f ′(x ）与f (x ）的变化情况如下表：f (x )的极大值点和极小值点各有一个.（2）解由（1）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-=++=11)(11)(22222111x b ax x f x b ax x f即⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=+②1①1222211x b ax x b ax两式相加，得a (x 1+x 2)+2b =x 22-x 21.∵x 1+x 2=-ab 2,∴x 22-x 21=0, 即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0,又x 1＜x 2,∴x 1+x 2=0,从而b =0, ∴a （x 2-1）=0，得x 1=-1,x 2=1, 由②得a =2.10.（2009·徐州模拟）已知函数f (x )=3342+x x ,x ∈［0，2］.（1）求f (x )的值域；（2）设a ≠0,函数g (x )=31ax 3-a 2x ,x ∈［0，2］.若对任意x 1∈［0，2］，总存在x 2∈［0，2］，使f (x 1)-g (x 2)=0.求实数a 的取值范围.解（1）方法一对函数f (x )求导，f ′(x )=34·222)1(1+-x x .令f ′(x )=0,得x =1或x =-1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0,f (x )在(0,1）上单调递增；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0,f (x )在（1，2）上单调递减.又f (0)=0,f (1)=32,f (2)=158, ∴当x ∈［0，2］时，f (x )的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0.方法二当x =0时，f (x )=0; 当x ∈(0，2］时，f (x )＞0且 f (x )=34·xx 11+≤34·xx 121⋅=32，当且仅当x =x1,即x =1时，“=”成立. ∴当x ∈［0，2］时，f (x )的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0.(2)设函数g (x )在［0，2］上的值域是A . ∵对任意x 1∈［0，2］，总存在x 0∈［0，2］，使f (x 1)-g (x 0)=0,∴⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A .对函数g (x )求导，g ′(x )=ax 2-a 2. ①当x ∈(0,2),a ＜0时，g ′(x )＜0,∴函数g (x )在（0，2）上单调递减. ∵g (0)=0,g (2)=38a -2a 2＜0, ∴当x ∈［0，2］时，不满足⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ；②当a ＞0时，g ′(x )=a (x -a )(x +a ). 令g ′(x )=0，得x =a 或x =-a （舍去）. （ⅰ)当x ∈［0，2］，0＜a ＜2时，列表：∵g (0)=0,g (a )＜0,又∵⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ，∴g （2）=2238a a -≥32.解得31≤a ≤1. (ⅱ)当x ∈(0,2),a ≥2时，g ′(x )＜0, ∴函数在（0，2）上单调递减， ∵g （0）=0，g （2）=2238a a -＜0,∴当x ∈［0，2］时，不满足⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A .综上，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31.11.已知函数f （x ）=x 3-ax 2-3x .（1）若f （x ）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x =-31是f （x ）的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由. 解（1）f ′(x )=3x 2-2ax -3 ∵f (x )在［1，+∞）上是增函数,∴f ′(x )在［1，+∞）上恒有f ′(x )≥0，即3x 2-2ax -3≥0在［1，+∞）上恒成立则必有3a≤1且f ′(1)=-2a ≥0,∴a ≤0.(2）依题意，f ′(-31)=0,即31+32a -3=0 ∴a =4,∴f （x ）=x 3-4x 2-3x 令f ′（x ）=3x 2-8x -3=0，得x 1=-31，x 2=3.则当x 变化时，f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：∴f （x ）在［1，4］上的最大值是f （1）=-6.（3）函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x =bx 恰有3个不等实根∴x 3-4x 2-3x -bx =0， ∴x =0是其中一个根，∴方程x 2-4x -3-b =0有两个非零不等实根，∴⎩⎨⎧≠-->++=∆030)3(416b b ,∴b ＞-7且b ≠-3.∴存在符合条件的实数b ，b 的范围为b ＞-7且b ≠- 3. 12.(2008·安徽理，20)设函数f （x ）=xx ln 1（x ＞0且x ≠1）. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知2x1＞x a对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围. 解（1）f ′(x )=-xx x 22ln 1ln +，若f ′(x )=0,则x =e1. 列表如下：所以f (x )的单调增区间为（0, e1），单调减区间为（e1,1）和（1，+∞）.（2）在2x1＞x a两边取对数，得x1ln2＞a ln x . 由于x ∈(0,1)，所以2ln a ＞xx ln 1. ①由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f (x )≤f （e1）=-e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当2ln a＞-e, 即a ＞-eln2.§3.3 定积分1.当n 无限趋近于+∞时，n 1(sin n π+sin n π2+…+sin nn π)1(-)写成定积分的形式，可记为 . 答案π1π⎰sin x d x 2.10⎰1d x = . 答案 13.由曲线y =e x,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为（用定积分表示）.答案 21⎰ln y d y 或2ln 0⎰(2-e x)d x4.已知f (x )为偶函数且60⎰f （x ）d x =8，则66-⎰f （x ）d x = .答案 165.已知-1≤a ≤1，f （a ）=10⎰（2ax 2-a 2x ）d x ，求f （a ）的值域.解 f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x=(332x a -222x a )|1=-22a +32a =-21(a -32)2+92.∵-1≤a ≤1，∴-67≤f （a ）≤92故f (a )的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-92,67例1 计算下列定积分（1）20⎰x (x +1)d x ;(2) 21⎰(e 2x+x1)d x ; (3) π0⎰sin 2x d x .解（1）∵x （x +1）=x 2+x 且(31x 3)′=x 2,(21x 2)′=x , ∴20⎰x (x +1)d x =20⎰(x 2+x )d x基础自测=20⎰x 2d x +20⎰x d x =31x 3|20+21x 2|20 =(31×23-0)+(21×22-0)=314. (2)∵(ln x )′=x1,(e 2x )′=e 2x ·(2x )′=2e 2x, 得e 2x=(21e 2x)′ 所以21⎰（e 2x+x 1)d x =21⎰e 2x d x +21⎰x 1d x =21e 2x |21+ln x |21 =21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-21e 2+ln2. (3)由(sin2x )′=cos2x ·(2x )′=2cos2x ,得 cos2x =（21sin2x ）′, 所以π0⎰sin 2x d x =π0⎰（21-21cos2x ）d x =π0⎰21d x -21π0⎰cos2x d x =21x |π0-21（21sin2x ）|π0 =（2π-0）-21（21sin2π -21sin0）=2π. 例2 计算下列定积分（1）π20⎰|sin x |d x ;(2)20⎰|x 2-1|d x .解（1）∵（-cos x ）′=sin x ，∴π20⎰|sin x |d x =π0⎰|sin x |d x +ππ2⎰|sin x |d x =π0⎰sin x d x -ππ2⎰sin x d x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-（cos π-cos0）+（cos2π-cos π）=4.（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-)10(1)21(122x x x x∴20⎰|x 2-1|d x =10⎰(1-x 2)d x +21⎰(x 2-1)d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-331x x |10+（31x 3-x ）|21=（1-31）+（31×23-2）-（31-1）=2. 例3 求函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2(2]2,1(]1,0[23x x x x x x 在区间［0，3］上的积分.解由积分性质知30⎰f (x )d x =10⎰f (x )d x +21⎰f (x )d x +32⎰f (x )d x =10⎰x 3d x +21⎰x 2d x +32⎰2xd x=44x |10+31x 3|21+2ln 2x |32=41+38-31+2ln 8-2ln 4 =2ln 4+1231. 例4 （14分）求定积分32-⎰2616x x -+d x .解设y =2616x x -+, 即(x -3)2+y 2=25 (y ≥0). 5分 ∵32-⎰2616x x -+d x 表示以5为半径的圆的四分之一面积. 10分 ∴32-⎰2616x x -+d x =π425.14分1. 求0π-⎰(cos x +e x)d x .解 0π-⎰(cos x +e x)d x =0π-⎰cos x d x +0π-⎰e xd x=sin x |0π-+e x|0π-=1-πe 1.2.求40⎰（|x -1|+|x -3|）d x .解设y =|x -1|+|x -3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-)3(42)31(2)1(42x x x x x ∴40⎰(|x -1|+|x -3|)d x=10⎰(-2x +4)d x +31⎰2d x +43⎰(2x -4)d x =(-x 2+4x )|10+2x |31+(x 2-4x )|43=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤+--)32()2()21()10()1(211x x xx x x 求30⎰f (x )d x .解 30⎰f (x )d x =10⎰2(x +1)-1 d x +21⎰x d x +32⎰(2)x -1d x=2ln(x +1)|10+323x |21+ 321|)2(2ln 1-x=2ln2+32(22-1)+ )22(2ln 1-. 4. 10⎰（2)1(1--x -x ）d x = .答案 42-π一、填空题1.定积分π30⎰x cos 1-d x = .答案 622.若y =f (x )与y =g (x )是［a ,b ］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为（用定积分表示）. 答案b a ⎰|f (x )-g (x )|d x3.定积分10⎰(32x +3x )d x = .答案23ln 4+ 4.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+,21,3,10,12x x x x 则20⎰f （x ）d x = .答案617 5.定积分22-⎰2(x 3+5x 5)d x = . 答案 06.根据π20⎰sin x d x =0推断，直线x =0，x =2π，y =0和正弦曲线y =sin x 所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x 轴上方的面积在x 轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）答案等于7.若10⎰f (x )d x =1, 20⎰f (x )d x =-1,则21⎰f (x )d x = .答案 -2 8.定积分10⎰21xx +d x 的值是 .答案21ln2 二、解答题 9.求下列定积分的值 (1) 30⎰29x -d x ;(2)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x ，求11-⎰f (x )d x 的值.解（1）30⎰29x -d x 表示以y =29x -与x =0,x =3所围成图形的面积，而y =29x -与x =0,x =3围成的图形为圆x 2+y 2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为49π. （2）∵f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x∴11-⎰f (x )d x =01-⎰x 2d x +10⎰1d x=31x 3|01-+x |10=31+1=34. 10.已知f （x ）=ax 2+bx +c ，且f （-1）=2，f ′（0）=0，10⎰f （x ）d x =-2，求a 、b 、c 的值. 解由f （-1）=2，得a -b +c =2， ① 又f ′(x )=2ax +b , 由f ′(0)=0得b =0,②10⎰f (x )d x =10⎰(ax 2+bx +c )d x=(31ax 3+2b x 2+cx )|10 =31a +21b +c . 即31a +21b +c =-2，③由①②③得：a =6,b =0,c =-4.11.已知f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解 10⎰(2ax 2-a 2x )d x =(32ax 3-21a 2x 2)|10=32a -21a 2即f (a )= 32a -21a 2=-21（a 2-34a +94）+92 =-21（a -32）2+92. 所以当a =32时，f (a )有最大值92. 12.(2009·青岛模拟)对于函数f (x )=bx 3+ax 2-3x .（1）若f (x )在x =1和x =3处取得极值，且f (x )的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,试求实数t 的取值范围；（2）若f (x ）为实数集R 上的单调函数，且b ≥-1,设点P 的坐标为（a ,b )，试求出点P 的轨迹所围成的图形的面积S .解（1）由f (x )=bx 3+ax 2-3x , 则f ′(x )=3bx 2+2ax -3,∵f （x ）在x =1和x =3处取得极值， ∴x =1和x =3是f ′(x )=0的两个根且b ≠0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+b ba 33313231⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==312b a . ∴f ′(x )=-x 2+4x -3.∵f (x )的图象上每一点的切线的斜率不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,∴f ′(x )≤2sin t cos t -23cos 2t +3对x ∈R 恒成立，而f ′(x )=-(x -2)2+1,其最大值为1.故2sin t cos t -23cos 2t +3≥1⇒2sin(2t -3π)≥1⇒2k π+6π≤2t -3π≤2k π+65π,k ∈Z ⇒k π+4π≤t ≤k π+127π,k ∈Z . （2）当b =0时，由f (x )在R 上单调，知a =0. 当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立，或者f ′(x )≤0恒成立. ∵f ′(x )=3bx 2+2ax -3, ∴Δ=4a 2+36b ≤0可得b ≤-91a 2. 从而知满足条件的点P （a ,b )在直角坐标平面aOb 上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b =-91a 2与直线b =-1所围成的封闭图形，其面积为S =33-⎰(1-91a 2)d a =4.§3.4 定积分的简单应用1.将由y =cos x ,x =0,x =π,y =0所围图形的面积写成定积分形式为 .答案 20π⎰cos x d x +|ππ2⎰cos x d x| 基础自测2.一物体沿直线以v =3t +2 (t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为 m.答案 46.53.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为 J. 答案 104.曲线y =cos x （ 0≤x ≤23π）与坐标轴所围成的面积是 . 答案 35.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ（x ）=x 3（取细棒的一端为原点，所在直线为x 轴），棒长为1，则棒的质量M 为 . 答案 41例1 求抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积.解由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==x y x y 422解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一选x 作为积分变量，由图可看出S =A 1+A 2 在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y =x 2,下半支方程为y =-2x ，所以 S1A =20⎰［x 2-(-x 2)］d x =2220⎰x21d x=22·32x23|20=316， S 2A =82⎰［4-x -(-x 2)］d x=(4x -21x 2+322x23)|82=338, 于是：S =316+338=18. 方法二选y 作积分变量，将曲线方程写为x =22y 及x =4-y .S =24-⎰[（4-y ）-22y ]d y =(4y -22y -63y )|24- =30-12=18.例2 （14分）如图所示，直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.解抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标x 1=0,x 2=1,所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S =10⎰（x -x 2）d x =(3232x x -)|10 =21-31=61. 6分抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为 x 1′=0,x 2′=1-k ,9分所以2S =k -⎰10（x -x 2-kx ）d x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32132x x k |k-10 =61(1-k )3， 12分又知S =61，所以(1-k )3=21，于是k =1-321=1-243. 14分例3 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程.解由速度—时间曲线易知，v （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈]60,40[905.1)40,10[30)10,0[3t t t t t由变速直线运动的路程公式可得s =100⎰3t d t +4010⎰30d t +6040⎰(-1.5t +90)d t=23t 2|100+30t |4010+（-43t 2+90t ）|6040 =1 350 (m).答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y 2=x 与直线x -2y -3=0所围成的平面图形的面积S .解方法一由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0322y x x y 得抛物线与直线的交点为P （1，-1），Q （9，3）（如图）.∴S =10⎰［x -(-x )］d x +91⎰(x -23-x )d x =210⎰x d x +91⎰(x -2x +23)d x =343x|10+（32x 23-42x +x 23|91=34+328=332.方法二若选取积分变量为y ，则两个函数分别为x =y 2,x =2y +3.由方法一知上限为3，下限为-1. ∴S =31-⎰(2y +3-y 2）d y =（y 2+3y -31y 3)|31- =(9+9-9)-(1-3+31)=332.2.如图所示,阴影部分的面积是 .答案3323.一物体按规律x =bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x =0运动到x =a 时，阻力做的功. 解物体的速度v =x ′(t )=(bt 3)′=3bt 2,媒质阻力f 阻=kv 2=k ·（3bt 2）2=9kb 2t 4.(其中k 为比例常数，k ＞0)当x =0时，t =0，当x =a 时，t =t 1=31⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ,∴阻力做的功是：W 阻=a 0⎰f 阻d x =10t⎰kv 2·v d t=k 10t⎰v 3d t =k 10t⎰（3bt 2）3d t=727kb 371t =727k 327b a =727ka 232ab .一、填空题1.如图所示，阴影部分面积为 .答案 c a ⎰［g (x )-f (x )］d x +bc ⎰［f (x )-g (x )］d x2.设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈],2,1(,2],1,0[,2x x x x 则20⎰f （x ）d x = .答案65 3.设f (x )=x0⎰sin t d t ,则f （f （2π））= . 答案 1-cos14.一物体在力F （x ）=⎩⎨⎧>+≤≤)2(43)20(10x x x (单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4（单位：m)处，则力F （x ）做的功为 J.答案 465.一物体在变力F (x )=5-x 2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向作直线运动,则由x =1运动到x =2时F (x )做的功为 J. 答案334 6.函数F (x )=x0⎰t (t -4)d t 在［-1,5］上的最大值为，最小值为 .答案 0 -3327.汽车以v =3t +2 (单位：m/s ）作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是 m. 答案 6.58.若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x =5, 10⎰xf (x )d x =617,那么函数f (x )的解析式是 . 答案 f (x )=4x +3 二、解答题9.证明：把质量为m （单位：kg ）的物体从地球的表面升高h (单位：m)处所做的功W =G ·)(h Mmh+k k ，其中G是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径.证明根据万有引力定律：知道对于两个距离为r ,质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力为f （r ）=G ·21rm m ，其中G 为引力常数.则当质量为m 的物体距地面高度为x (0≤x ≤h )时，地心对它的引力f （x ）=G ·2)(x Mm +k .故该物体从地面升到h 高处所做的功为W =h 0⎰f （x ）d x =h 0⎰G ·2)(x Mm +k ·d x=GMm h 0⎰2)(1x +k d （k +x ）=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k 1|h 0=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-k k 11h=G ·)(h Mmh+k k .10.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在点x =1处有极值-2. （1）求常数a ,b 的值；（2）求曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积. 解（1）由题意知f ′(x )=3x 2+2ax +b , f (1)=-2且f ′(1)=0,即⎩⎨⎧=++-=++02321b a b a ，解得a =0,b =-3,即f (x )=x 3-3x .(2)作出曲线y =x 3-3x 的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3-3x =0得曲线y =x 3-3x 与x 轴的交点坐标是(-3,0),(0,0)和(3,0)，而y =x 3-3x 是R 上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.所以(-3,0)的阴影面积与(0, 3)的阴影面积相等. 所以所求图形的面积为 S =230⎰［0-(x 3-3x )］d x=-2（41x 4-23x 2）|30=29. 11.如图所示，抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的两交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动. （1）求使△PAB 的面积最大的P 点的坐标(a ,b );(2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x =a 分为面积相等的两部分. （1）解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 342，得x 1=1,x 2=-4.∴抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的交点为 A （1，3），B （-4，-12）， ∴P 点的横坐标a ∈(-4,1). 点P （a ,b )到直线y =3x 的距离为d =22313+-b a ,∵P 点在抛物线上，∴b =4-a 2，a d '=101·(4-3a -a 2)′=101 (-2a -3)=0,∴a =-23，即当a =-23时，d 最大，这时b =4-49=47, ∴P 点的坐标为（-23,47）时，△PAB 的面积最大.（2）证明设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S , 位于x =-23右侧的面积为S 1. S =14-⎰（4-x 2-3x )d x =6125, S 1=123-⎰（4-x 2-3x )d x =12125, ∴S =2S 1,即直线x =-23平分抛物线与线段AB 围成的图形的面积. 12.在区间［0，1］上给定曲线y =x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小.解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y =x 2与x 轴、直线x =t 所围成的面积，即S 1=t ·t 2-t 0⎰x 2d x =32t 3. S 2的面积等于曲线y =x 2与x 轴、x =t ,x =1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t 2，（1-t ），即 S 2=1t ⎰x 2d x -t 2(1-t )=32t 3-t 2+31. 所以阴影部分的面积S 为 S =S 1+S 2=34t 3-t 2+31（0≤t ≤1）. ∵S ′(t )=4t 2-2t =4t (t -21)=0时，得t =0，t =21. 当t =21时，S 最小，∴最小值为S (21)=41. 单元检测三一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.由三条直线x =0,x =2,y =x 3和y =0所围成的图形的面积为 . 答案 42.（2008·福建文，11）如果函数y =f (x )的图象如图所示，那么导函数y =f ′(x )的图象可能是 .答案 ①3.设f (x )=x 2(2-x ),则f (x )的单调增区间是 .答案 ⎪⎭⎫⎝⎛34,04.（2008·广东文）设a ∈R ,若函数y =e x+ax ,x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为 . 答案 a ＜-15.已知函数y =f (x )=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值=-4，那么p 、q 的值分别为 . 答案 6,96.已知x ≥0,y ≥0，x +3y =9,则x 2y 的最大值为 . 答案 367.下列关于函数f (x )=(2x -x 2)e x 的判断正确的是（填序号）. ①f (x )＞0的解集是{x |0＜x ＜2}; ②f (-2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值. 答案 ①②8.函数f (x )的图象如图所示，则0,f (3)-f (2),f ′(2),f ′(3)的大小顺序为 .答案 0＜f ′(3)＜f (3)-f (2)＜f ′(2)9.设f (x )=22e x x+-,g (x )=x x e ,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),若有k x f )(1≤1)(2+k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是 . 答案［1，+∞）10.定义在R 上的可导函数f (x ),已知y =e f ′(x )的图象如图所示，则y =f (x )的增区间是 .答案 (-∞,2)11.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F =kl 计算.今有一弹簧原长90 cm ，每压缩1 cm 需0.049 N 的压缩力，若把这根弹簧从80 cm 压缩至60 cm （在弹性限度内），则外力克服弹簧的弹力所做的功为 J. 答案 0.68612.如图所示，曲线y =x 2-1及x 轴围成图形的面积S 为 .。

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高三数学全程复习（一轮）课时08 函数的值域【考点指津】1．理解函数值域的概念，掌握求函数值域的各种方法．函数的值域就是函数值的集合，它取决于函数的定义域和对应法则．求函数值域的基本方法有：数形结合法、反函数法、配方法、判别式法等，应弄清各方法所适用的函数类型．2．掌握常见函数的最值的求法．函数的最值就是函数的最大值或最小值．若函数的最大值与最小值分别为M 与m ，则函数的值域为[m ，M ]或它的真子集．解决函数最大（小）值问题的依据有：函数的性质、不等式的性质、函数与几何图象的性质．求函数的最值方法包括单调性法、基本不等式法、换元法、配方法、图象法等．【知识在线】 1．函数844)(2++-=x x x f 的值域为．2．已知函数y = log 2(x 2-2)的值域是[1，log 214]，则此函数的单调减区间为． 3．函数]4,6[),sin 1(log )sin 1(log 22ππ-∈-++=x x x y 的值域为（） A ．[-1，0] B ．（-1，0） C ．[-1，0] D ．[0，1]4．已知集合A =｛y ︱y =2x ， x ∈R ｝ B =｛y ︱y =x 2 ，x ∈R ｝则（）A ． A ∩B =｛2 ，4｝ B ． A ∩B =｛4 ，16｝C ． A =BD ．A ⊆B 5．定义域为R 的函数y = f (x )的值域为[a ，b ]，则f (x +a )的值域为（） A ．[2a ，a +b ] B ．[0，b -a ] C ．[a ，b ] D ．[-a ，a +b ] 【讲练平台】例1 求下列函数的值域：（1）3212)(22-+--=x x x x x f ；（2）12+-=x x xy ；（3）x x y --=1．分析（1）先对表达式进行化简，后利用反函数法或观察法求值域；（2）将其转化为含有参数y 的关于x 的方程，利用“判别式”法求解；（3）先换元，得到新变量的一元二次函数，再求其值域，或利用函数的单调性求值域．解（1） 312)3)(1()12)(1()(++=+-+-=x x x x x x x f （x ≠1）．解法一（反函数法）由函数y =312++x x ，得y y x --=213．解不等式y y --213≠1，且yy --213≠ -3，得y ≠34，且y ≠2．故函数的值域为{y |y ∈R ，且y ≠34，y ≠2}解法二（观察法） y =312++x x 352+-=x ．由于x ≠1，且x ≠ -3，故x +3≠4，且x +3≠0，从而，y ≠34，且y ≠2．故函数的值域为{y |y ∈R ，且y ≠34，y ≠2}（2）由12+-=x x x y ，得yx 2-(y +1)x +y =0，这是一个关于x 的方程．当y =0时，解得x =0，方程有解；当y ≠0时，为使关于x 的二次方程有解，必须△= (y +1)2- 4y 2≥0，解得31-≤y ≤1（y ≠0）．综合得，函数的值域是[31-，1]．（3）解法一令t =x -1，得 x =1-t 2，于是y = g (t )=1-t 2-t （t ≥0）．配方，得 y = g (t ) = - (t +21)2+45，它在),0[+∞为减函数，故最大值为g (0)=1，于是，所求函数的值域是（-∞，1 ]．解法二易知函数的定义域为（-∞，1 ]，而且该函数在定义域内为减函数，故最大值为f (1) = 1，从而所求函数的值域为（-∞，1 ）．点评（1）求函数值域有很多方法，每种方法又各有其适用类型，要根据函数式的特征准确选用相应的方法：上述各小题的解法分别使用了反函数法（反函数的定义域就是原函数的值域）、观察法（形如b ax d cx y ++=(a ≠0)的函数的值域为{y |y ∈R ，且y ≠ac}）、判别式法及换元法与单调性法；（2）在用判别式法求值域时，如果得到的关于x 的方程的二次项系数中含有字母y ，则应分情况讨论．例如，求函数112+-=x x y 的值域，变形得到方程yx 2-yx +(y -1)=0，易见，当y =0时，方程无解；当y ≠0时，由△≥0，解得 0≤y ≤34（y ≠0）．故值域为,0(34]，而不是[0，34]；（3）利用换元法解题时，必须注意变量的等价性，如题（3）中新变量t 的取值范围为t ≥0，若忽视了这一点，可能导致错误的答案为y ≤45；（4）函数（2）亦可用不等式法求值域．当x = 0时，y = 0；当x ≠0时， y =111-+xx ，因11-+x x ≥1，或11-+x x ≤-3，故31-≤y ≤1（y ≠0）．于是，函数的值域为[31-，1] ．变题已知函数y = 1822+++x b x ax 的值域为[1，9]，试求函数y =b x ax ++82的值域．提示：将y = 1822+++x b x ax 变形为(y – a )x 2–8x + y – b =0，利用“△≥0”可得y 2 – (a +b )y +ab -16≤0．它与不等式(y -1)(y -9) ≤0，即y 2-10y +9≤0等价，比较系数得a =b = 5．y =5852++x x =59)54(52++x ≥553．例2 已知函数f (x )=2-x 2，g (x )=x ．若f (x )*g (x )=min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是．（注：min 表示最小值）分析这是一道信息题，应将表达式f (x )*g (x )=min{f (x )，g (x )}进行展开，得到分段函数后，画出图像，根据图像得出所求的最大值．解 y =f (x )*g (x )⎩⎨⎧>≤=)()(),()()(),(x g x f x g x g x f x f ．画出上述函数的图像，如图1的实线部分，由图易知，图中的最高点A 的纵坐标即为所求．解方程组⎩⎨⎧=-=xy x y 22，得(x ，y ) = (1，1)或（-2，-2）．于是所求的最大值为1．点评（1）分段函数的最值一般均用图像法画出各分段函数的图像，然后观察（求）出它们在各段图像上的最值点，并比较它们最值的大小；（2）容易误认为所求的最大值就是函数f (x )的最大值或g (x )的最大值；（3）不能认为 –2是的最小值．变题已知函数f (x )=2-x 2，g (x )=x ．若F (x )= f (x )*g (x )= m a x {f (x )，g (x )}，那么F (x )是否存在最小值．请说明理由．答案：不存在最小值．（注：只存在极小值1，极大值2）例3 已知函数f (x )=),1[,22+∞∈++x xax x ．（1）当a =0.5时，求函数f (x )的最小值；（2）当a = 4时，求函数f (x )的最小值．分析这是一个带有定义域的分式函数求最值问题，能否使用算术几何平均值不等式求最值，要视a 的取值而定．因为用算术几何平均值求最值的条件是“一正二定三相等”，这里的相等条件能否成立是一个关键．解（1）当a =0.5时，f (x )=x +x21+2， ),1[+∞∈x ．任设1≤x 1＜x 2，则 f (x 1) - f (x 2) =( x 1+121x +2)-( x 2+221x +2)=2121212)12)((x x x x x x --因1≤x 1＜x 2，故x 1- x 2＜0，且x 1x 2＞1，于是x 1x 2＞0，2x 1x 2-1＞0，从而f (x 1) - f (x 2)＜0，即f (x 1) ＜ f (x 2)，故f (x )在),1[+∞上是增函数，所以f (x )在),1[+∞上的最小值是f (1)=27．（2）24)(++=xx x f ≥6242=+⋅x x ，当且仅当xx 4=，即x =2∈[1，+∞）时，取“=”，故函数的最小值为6．点评（1）求函数值域（最值）方法很多，单调性法是重要方法之一．当诸多方法失效时，单调性法往往奏效；（2）对于题（1），不能用判别式法求最小值．事实上，由y =x +x21+2得2x 2-2(y -2)x +1=0，由△= 4(y -2)2-8≥0得 y ≥2+2(因y ＞0，故y ≤2-2，不合，舍去．)．这时若认为y min =2+2那就错了．因为当y =2+2时，2x 2-22x +1=0，解得x =),1[22+∞∉；也不能用算术几何平均值不等式求最值．事实上，y =x +x21+22212+⋅≥x x =2+2，取等号的条件是x =x21，即x =22，但),1[22+∞∉，故该法也是失效的．变题1 求函数f (x )=),1[,22+∞∈++x xax x 的最小值，其中a 为常数，且a ＞0．答案：f min (x ) = ⎩⎨⎧2a +2，a ≥1，a +3，0＜a ＜1．变题2 求函数xax x x f ++=2)(2（a 为正常数）的最小值．答案：]22,(),22[a a --∞+∞+ ．例4 已知函数f (x )=123log 222+++mx nx x m ，n ∈R ．（1）若m ∈N *，x ∈R ，且f (x )的值域为[1，2]，求m ，n 的值；（2）若n = -1，且f (x )的值域为R ，求m 的取值范围．分析（1）先“脱”去对数符号，即变为一个分式函数的值域为[2，4]，可利用“判别式”法及根与系数的关系，求m ，n 的值；（2）对数函数的值域为R ，等价于真数能取遍一切正实数，即真数的最小值应为非正数，同样也可以使用“判别式”法加以求解．解（1）设y =12322+++mx nx x ，由已知，得2≤y ≤4．将分式变形为 myx 2+y =3x 2+2x +n ，即 (3-my )x 2+2x +n -y =0．故 △=4-4(n -y )(3-my )≥0，即 my 2-(3+mn )y +3n -1≤0 ．因 2≤y ≤4，故 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.813,63mn m mn解得 m =1，n =3．（m =89，n = 310，不合，舍去．）（2）①m =0时，f (x )=]34)31(3[log )123(log 2222-+=-+x x x ∈R ；②m ≠0时，要使f (x )∈R ，只须12322+++mx nx x 的值域包含（0，+∞），即),0(}0,123|{22+∞⊇≠+++=m mx nx x y y ．设y =112322+-+mx x x ，即(3-my )x 2+2x -1-y =0，从而 △= -4[my 2-(3-m )y -4]≥0，即 my 2-(3-m )y -4≤0．要使函数的值域包含（0，+∞），只须m ＜0时，且方程0432=---my m m y 有两个负根（相等或不等），故⎩⎨⎧△≥0，x 1+ x 2＜0，x 1x 2≥0，m ＜0．⇒ ⎩⎨⎧( 3-m m )2+ 16m ≥0，m ＜3，m ＜0．⇒m ≤-9 或-1≤m ＜0．综上所述，m 的取值范围为：m ≤-9 或-1≤m ＜0．点评函数f (x ) = log a g (x )的值域为R （其中x ∈R ，g (x ) = mx 2+nx +p ，m ≠0，m 、n 、p ∈R ，a ∈(0，1)∪(1，+∞)）⇔（0，+∞）⊆{g (x )| x ∈R } ⇔函数g (x )的最小值不大于0⇔存在x 0∈R ，使得g (x 0) ≤0⇔△≥0，且m ＞0．【知能集成】 1．设函数f (x )存在最大值M 与最小值m ，λ为待求常数．（1）若对定义域内的任一x ，都有λ≥f (x )，则λ≥M ；（2）若对定义域内的任一x ，都有λ≤f (x )，则λ≤m ；（3）若存在x 0，使得f (x 0) ≥λ，则λ≤M ；（4）若存在x 0，使得f (x 0) ≤λ，则λ≥m ． 2．掌握函数与方程的思想．函数与方程的思想就是，先构造函数，把给定问题转化为所构造函数的性质研究后，得出所需的结论．方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程或方程组的认识．【训练反馈】 1．函数y =5-2x -x 2的值域是．2．若函数y =f (x )的值域是[-2，3]，则函数y =∣f (x )∣的值域是（） A ．[-2，3] B ．[2，3] C ．[0，2] D ．[0，3]3．函数y =x +2x -1的值域是（）A ．{y |y ≥12}B ．{y |y ≤12} C ．{y |y ≥0} D ．{y |y ≤0}4．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（） A ．y =2x +1（x ＞0） B ．21xy =C ．y = x 2 +x +1D ．y =1+x5．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间Ｄ上是凸函数，则对于区间Ｄ内的任意x 1，x 2，……，x n ，有n x f x f x f n )()()(21+++ ≤f (nx x x n+++ 21)．已知函数y ＝sin x 在区间（０，π）上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin Ｂ＋sin C 的最大值为______．6．当|x |≤1时，函数f (x )=ax +2a +1的值有正也有负，则实数a 的取值范围为． 7．已知函数f (x )的值域为[161，16]，求函数g (x )= f (x )+2)(x f 及h (x ) = f (x ) -2)(x f 的值域．8．设周长为a (a ＞0)的等腰三角形，其腰长为x ，底边长为y ，试将y 表示为x 的函数，并求出这个函数的定义域和值域． 9．求下列函数的值域：（1） y = 2x +1x +1；（2）y = x 2-1x 2+1；（3）y = xx 2+x +1；（4）y =x +21-x ．10．若函数23212+-=x x y 的定义域和值域都是[1，b ] (b ＞1)，求b 的值． 11．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上，函数1)()(22+=++-=x xx g q px x x f 与在同一点取得相同的最大值，求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值．12．已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ；（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域．参考答案：【知识在线】1． [0，3 ] 2． [-4，-2] 3．A 4．D 5．C 【训练反馈】1．[0，6] 2．D 3．A 4．B 5．提示：sin A ＋sin Ｂ＋sin C ≤3sin(3CB A ++)=3sin60º=233 6．提示：显然a ≠0，故函数为单调函数，从而f (-1)·f (1)＜0，解得：-1＜a ＜- 13 ． 7．提示：令t = f (x )，则g (x ) = G (t )= t +2t ，G (t )在[161，16]上为增函数，值域为[169，24]．h (x ) = H (t ) = t - 2t = (t - 1)2 –1∈[-1，8]． 8．y = a – 2x ，定义域为（4a ，2a ），值域为（0，2a）． 9．提示：（1）利用观察法或分式变形可得，{y ∣y≠2}；（2）求出x 2关于y 的表达式，解不等式x 2≥0得，{y |-1≤y ＜1}；（3）去分母后利用判别式法可得，[-1，13]；（4）利用换元法化为一元二次函数，再利用配方法可得，{y |y ≤2}． 10．提示：由函数图象的对称轴方程为x =1，得函数在[1，b ]上为增函数，故有f (1)=1，f (b )=b ，解得b =3（b =1不合，舍去） 11．提示：g (x )=2112111=⋅≤+xx xx ，当且仅当x =1∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21时，函数g (x )取得最大值12．故f (x ) = - (x -1)2+21，于是当x =2时，f (x )有最小值为21-． 12．（1）当m =0时，x ∈R ；当m ≠0时，m ＞0且△≤0，解得：0＜m ≤1，故实数m 的取值范围为0≤m ≤1．（2）当m =0时，f (0)=22；当0＜m ≤1时，因m x m y 88)3(2-+-=，故f (m ) = m 88-（0＜m ≤1）．于是，f (m ) = m 88-（0≤m ≤1），其值域为[0，22]．。

【全程复习方略】(文理通用)高三数学一轮复习数列的综合应用阶段滚动检测精品试题

【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习数列的综合应用阶段滚动检测精品试题(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)已知集合M={x|x2-3x-4>0},N={x|4-x2≥0},则M∩N=( )A.[2,4]B.[-2,2]C.[-2,-1)D.(4,+∞)2.(滚动单独考查)(2014·温州模拟)如图所示为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(-1)=( )A.-1B.-C.D.13.(2014·泉州模拟)已知数列{a n}满足a1=2,a2=1,=+,则a10=( )A. B. C. D.4.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<05.(滚动单独考查)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=( )A. B. C.5 D.256.(2013·广州模拟)已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为( )A.6B.3C.2D.47.(滚动单独考查)设sinα=,tan(π-β)=,则tan(α-2β)=( )A.-B.-C.D.8.若实数x,y满足且z=2x+y的最小值为3,则实数b的值为( )A. B. C. D.29.(滚动交汇考查)已知a=(sinx,-cosx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b+.若0≤x≤,则函数f(x)的值域为( )A. B.C. D.10.已知各项为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n使得=4a1,则+的最小值为( )A.4B.C.9D.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·青岛模拟)不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是.12.(滚动交汇考查)已知命题p:a-4<x<a+4,命题q:(x-2)(3-x)>0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.13.(2014·湖州模拟)若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是.14.(滚动交汇考查)(2014·温州模拟)已知角α的终边上有一点P(t>0),则tanα的最小值为.15.(2014·嘉兴模拟)“蛟龙号”载人潜水器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7000米.6月24日,“蛟龙号”载人潜水器7000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(米)与时间t(分钟)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2000,则平均速度的最小值是米/分钟.16.已知区域D是由不等式组所确定的,则圆x2+y2=4在区域D内的面积等于.17.(2014·宁波模拟)已知函数f(x)=对于下列命题:①函数f(x)的最小值是0;②函数f(x)在R上是单调递减函数;③若f(x)>1,则x<-1;④若函数y=f(x)-a有三个零点,则a的取值范围是0<a<1;⑤函数y=|f(x)|关于直线x=1对称.其中正确命题的序号是.(填上你认为正确的所有命题的序号)三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(滚动单独考查)(2013·长沙模拟)已知函数f(x)=2sinωx·cos+(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosA=acosC+ccosA,求f(A)的值.19.(14分)(2013·聊城模拟)已知函数f(x)=-(a>0且a≠1),(1)证明:函数y=f(x)的图象关于点对称.(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.20.(14分)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一个如图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域).(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少?21.(15分)(2013·威海模拟)已知数列{a n}中,a1=5且a n=2a n-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列为等差数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.22.(15分)(2014·温州模拟)已知平面向量a=(-,1),b=,c=a+m b,d=cos2x a+sinx b,f(x)=c·d,x∈R.(1)当m=2时,求y=f(x)的取值范围.(2)设g(x)=f(x)-m2+2m+5,是否存在实数m,使得y=g(x)有最大值2,若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,说明理由.答案解析1.C 由已知得M={x|x<-1或x>4},N={x|-2≤x≤2},故M∩N={x|-2≤x<-1}.2.A 由A,B两点之间的距离为5知,函数的半周期为3,因此T=6,ω==,又函数过点(0,1),所以sinφ=,因0≤φ≤知φ=,所以函数解析式为f(x)=2sin,故f(-1)=2sin=2sin=-1.3.D 由等差中项可知是等差数列,且首项为,公差d=-=,所以=+(n-1)×=,所以a n=,所以a10=.4.C 因为函数f(x)图象的对称轴是x=-,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-1<m<0,于是m+1>0,故f(m+1)>f(0)>0.5.C 因为a=(2,1),所以|a|=.又因为|a+b|=5,|a+b|2=a2+b2+2a·b,所以(5)2=()2+|b|2+2×10,即|b|2=25,所以|b|=5.6.A 3x+27y=3x+33y≥2=2=6,当且仅当3x=33y,即x=3y=1时等号成立.7.D 因为sinα=,α∈,所以cosα=-,所以tanα=-.又因为tan(π-β)=,所以tanβ=-,所以tan2β==-,所以tan(α-2β)===.【方法技巧】条件求值的一般思路(1)先化简所求式子或所给条件.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.8.【思路点拨】画出可行域及目标函数图象,观察确定经过的点可解.B 在坐标平面内画出不等式组2x-y=0与y=-x+b的交点时,目标函数z=2x+y取得最小值,再结合z=2x+y的最小值为3,分析确定b=. 9.C f(x)=a·b+=(sinx,-cosx)·(cosx,cosx)+=sinxcosx-cos2x+=sin2x-(cos2x+1)+=sin2x-cos2x=sin.因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,即f(x)的值域为.10.【思路点拨】求出数列{a n}的公比,由等比数列的性质得到m,n的关系式,再利用常值代换,运用基本不等式求最值.D 设{a n}的公比为q,则有a5q2=a5q+2a5,即q2-q-2=0,解得q=2(q=-1舍去).由=4a1可得a m·a n=16=(a1·q2)2=,所以m+n=6.于是+=(m+n)=≥,当且仅当=,即m=2,n=4时,+取最小值.11.【解析】由题意可知Δ=a2-16>0,得a<-4或a>4.答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)12.【思路点拨】⌝p是⌝q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件.【解析】由题知,q是p的充分不必要条件,p:a-4<x<a+4,命题q:2<x<3,则且不等式中的等号不能同时成立,所以-1≤a≤6.答案:[-1,6]13.【解析】不等式可化为x2-1>k(x-1),由于x∈(1,2),所以x-1>0,于是x+1>k,当x∈(1,2)时,x+1∈(2,3),因此k的取值范围是k≤2.答案：k≤214.【解析】依题意知tanα==t+,由于t>0,所以t+≥2=1,当且仅当t=,即t=时,tanα取最小值1.答案：115.【解析】平均速度为v(t)===0.2t+-14≥2-14=2×20-14=26(米/分钟),当且仅当0.2t=,即t=100分钟时,v(t)取得最小值.答案：2616.【思路点拨】关键是求出平面区域被圆截得的弧所对应的圆心角的弧度数,可以根据边界直线的斜率得到倾斜角,再求出圆心角的大小.【解析】画出可行域如图,依题意可知,tan∠AOx=,tan∠BOx=,于是tan∠AOB==1,因此∠AOB=.又圆的半径等于2,所以弧长l=×2=.所以S=l R=××2=.答案：17.【解析】画出分段函数的图象,函数无最小值,在R上单调性不单一,故①②错误;③正确;y=f(x),y=a有三个不同的交点,故0<a<1,④正确;函数y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象中x轴下方的翻折上去,但在x<0和x>2上的图象不对称,故⑤错误.答案：③④18.【解析】(1)因为f(x)=2sinωx cosωx·cos-sinωx·sin+=sinωxcosωx-sin2ωx+=sin2ωx-·(1-cos2ωx)+=sin,又f(x)的最小正周期T==4π,且ω>0,所以ω=.(2)由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C).又A+B+C=π,故2sinBcosA=sinB.而sinB≠0,故cosA=.又A∈(0,π),故A=.由(1)得f(x)=sin,从而f(A)=sin=sin=.【加固训练】已知函数f(x)=2cosxsin-sin2x+sinxcosx+1.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求函数f(x)的最大值及最小值.【解析】f(x)=2cosx-sin2x+sinxcosx+1=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)+1=sin2x+cos2x+1=2sin+1.(1)函数f(x)的最小正周期为T==π.(2)因为-1≤sin≤1,所以-1≤2sin+1≤3,所以当2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值3.当2x+=-+2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1.19.【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由已知得y=-,则-1-y=-1+=-,f(1-x)=-=-=-=-,所以-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点对称.(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.20.【解析】(1)由已知xy=3000,2a+6=y,则y=(6<x<500).S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a=(2x-10)·=(x-5)(y-6)=3030-6x-(6<x<500).(2)S=3030-6x-≤3030-2=3030-2×300=2430(平方米),当且仅当6x=,即x=50时,“=”成立,此时x=50,y=60,S max=2430.即设计x=50米,y=60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.21.【思路点拨】(1)利用等差数列定义证明.(2)利用错位相减法求和.【解析】(1)设b n=,所以b1==2,则b n+1-b n=-=·[(a n+1-2a n)+1]=[(2n+1-1)+1]=1.所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.(2)由(1)知,=2+(n-1)×1,所以a n=(n+1)·2n+1.因为S n=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n+1]=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.设T n=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n, ①2T n=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1, ②②-①,得T n=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1=-4-+(n+1)·2n+1=n·2n+1.所以S n=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).22.【解析】因为a=(-,1),b=,所以a·b=0,|a|=2,|b|=1,f(x)=c·d=·(cos2x a+sinx b)=cos2x a2+a·b+msinx b2=cos2x+msinx.(1)当m=2时,f(x)=cos2x+2sinx=1-sin2x+2sinx=-(sinx-1)2+2.因为-1≤sinx≤1,所以sinx=-1时,y min=-2,sinx=1时,y max=2,所以y=f(x)的取值范围是[-2,2].(2)g(x)=f(x)-m2+2m+5=cos2x+msinx-m2+2m+5=1-sin2x+msinx-m2+2m+5=--m2+2m+6.①当<-1,即m<-2时,g(x)max=-m2+m+5,由-m2+m+5=2,得m=(舍去).②当-1≤≤1,即-2≤m≤2时,g(x)max=-m2+2m+6,由-m2+2m+6=2得m=-或m=4(舍去).③当>1,即m>2时,g(x)max=-m2+3m+5,由-m2+3m+5=2,得m=或m=(舍去).综上所述,存在m=-或m=,使得y=g(x)有最大值为2.。

【全程复习方略】(文理通用)高三数学一轮复习 2.8函数与方程精品试题

函数与方程(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014·温州模拟)设f(x)=e x+x-4,则函数f(x)的零点位于区间( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.由已知得函数定义域为R,f(-1)=e-1-1-4=-5<0,f(0)=e0-4=-3<0,f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,所以f(1)f(2)<0,所以零点在(1,2)上.2.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是( )A.x1<x2B.x1>x2C.x1=x2D.不能确定【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图象如图所示,由图象知x1<x2.3.(2014·济南模拟)已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4【思路点拨】利用解方程法,解方程|f(x)|=1求解.【解析】选D.由y=|f(x)|-1=0,得|f(x)|=1,若x>0,则|f(x)|=|lnx|=1,所以lnx=1或lnx=-1,解得x=e或x=.若x≤0,则|f(x)|=|kx+2|=1,所以kx+2=1或kx+2=-1,解得x=-<0或x=-<0成立,所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.4.(2014·宁波模拟)设函数f(x)=log3-a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是( )A.(-1,log32)B.(0,log32)C.(log32,1)D.(1,log34)【解析】选C.由条件知f(1)f(2)<0.即(1-a)(log32-a)<0,即(a-1)(a-log32)<0,解得:log32<a<1.5.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图象的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图象如图,从图中可知,两函数共有2个交点,所以函数f(x)的零点的个数为2.6.(2013·哈尔滨模拟)若a>1,设函数f(x)=a x+x-4的零点为m,函数g(x)=log a x+x-4的零点为n,则+的最小值为( )A.1B.2C.4D.8【思路点拨】在同一坐标系中分别作出三个函数y=a x,y=log a x和y=4-x的图象,数形结合求得m+n的值,再求解.【解析】选A.在同一坐标系中作出三个函数y=a x,y=log a x,y=4-x的图象如图,由于函数f(x)=a x+x-4的零点为m,则f(m)=a m+m-4=0,化为a m=4-m,所以函数f(x)的零点m就是函数y=a x,y=4-x交点的横坐标.同理函数g(x)的零点n就是y=log a x,y=4-x交点的横坐标.求得直线y=4-x,y=x的交点为(2,2),由于函数y=a x,y=log a x的图象关于y=x对称,则=2,即m+n=4,所以m+n=4≥2,mn≤4,+==≥=1.7.(2014·绍兴模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪B.C. D.(-∞,-1)∪【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,所以f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.8.(能力挑战题)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=( )A.-12B.-8C.-4D.4【思路点拨】根据函数f(x)的性质,作出其在[-8,8]上的图象,数形结合求解.【解析】选B.因为f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(2-x)=f(2+x),所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,f(x)在区间[-8,8]上的大致图象如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4,由对称性知=-6,即x1+x2=-12,同理:x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.二、填空题(每小题5分,共20分)9.设函数f(x)=函数y=f(x)-1的零点个数为.【解析】若x≤0,由f(x)=1得2x=1,所以x=0.若x>0,由f(x)=1得log2x=1,所以x=2.所以函数的零点有2个.答案:210.(2014·金华模拟)函数f(x)=cosx-log8x的零点个数为.【解析】由f(x)=0得cosx=log8x,设y=cosx,y=log8x,作出函数y=cosx,y=log8x的图象,由图象可知,函数的零点个数为3.答案:3【方法技巧】判断函数零点个数的技巧由所给函数f(x),令f(x)=0,若方程可解,则一般用解方程法;若方程f(x)=0不可解,则常转化为两熟悉的函数的图象交点问题求解.11.(2014·厦门模拟)对于函数f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题:①q=0时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于(0,q)对称;③p=0,q>0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根;④方程f(x)=0至多有两个实数根;其中正确命题的序号为.【解析】若q=0,则f(x)=x|x|+px=x(|x|+p),为奇函数,所以①正确.由①知,当q=0时,为奇函数图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由函数f(x)=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,所以图象关于(0,q)对称,所以②正确.当p=0,q>0时,f(x)=x|x|+q=当f(x)=0,得x=-,只有一解,所以③正确.取q=0,p=-1,f(x)=x|x|-x=由f(x)=0,可得x=0,x=±1有三个实根,所以④不正确,综上正确命题的序号为①②③.答案:①②③12.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数为.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图象,根据对称性画函数g(x)的图象,注意定义域.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:8三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2014·长春模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).14.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的范围.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根, 从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,只需即解得<a<.15.(能力挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点.(2)若对x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证明必有一个实根属于(x1,x2).【证明】(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0,又因为a>b>c,所以a>0,c<0,即ac<0.又因为Δ=b2-4ac≥-4ac>0,所以方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,所以函数f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=,g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=,所以g(x1)·g(x2)=·=-[f(x1)-f(x2)]2.因为f(x1)≠f(x2),所以g(x1)·g(x2)<0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.即f(x)=[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根.【加固训练】关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围. 【解析】设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解,因为f(0)=1>0,则应用f(2)<0,又因为f(2)=22+(m-1)×2+1,所以m<-.②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则所以所以所以-≤m≤-1.由①②可知m的取值范围(-∞,-1].。

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