弹塑性力学第八章

利用格 林公式
KG x ( y )l ( x)m ds 0 s y x
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§8-1 位移法求解
而第三个方程为：
KG ( x y x y )dA M z A y x
2 2
——扭矩MT与K 和(x,y)的关系。
( x, y ) zx , y
( x, y ) zy x
则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自 然满足。
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§8-2 按应力函数求解
将上式代入应力法的其它两个基本方程，得
2 ( ) 0 y y 2 2 ( ) ( ) 0
§8-2 按应力函数求解
在 x,y 方向面力应用圣维南原理

A
zx
dA XdA 0
A

A
zy
dA YdA 0
A

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A
( zx y zy x)dA M z
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§8-2 按应力函数求解
2.2 按应力函数(x,y)求解
设应力分量与应力函数的关系为
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§8-1 位移法求解
x KG x( y ) x( x) dxdy y y x x
l( y ) m( x) 0 x y A zx dA KG A ( x y)dA 2 = 0 2 KG ( y x )dA
小结：
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数 (x,y)和单位扭转角K。
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§8-1 位移法求解

由
l(
2
= 0
y ) m( x y
在V 上 求(x,y) 在杆侧边上 x) 0
当(x,y)确定后，利用杆端面条件
GK ( x y x y )dA M z ——求K A y x 2 2
dy y
n
——边界条件用(x,y)的偏微分表示。
由于
则
dx dy l cos( n, x) dn ds dx dy
n x dn y dn l x
m
dy dx m cos( n, y ) dn ds
y
代入侧面边界条件
第八章 柱体的自由扭转问题
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 位移法求解 按应力函数求解 薄膜比拟 等截面杆扭转按应力函数举例 薄壁杆的自由扭转
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在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力）
对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT） 应力：x=y=z=xy=0 ，
2
2 = C（泊
松方程）
x
x
常数C是什么？C 和位移法公式中的 系数有什么关系? 由应力函数法和位移法可知
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§8-2 按应力函数求解
( x, y ) zx GK ( y ), ( x, y ) GK ( x) zy y x x y
zx z 0 x y z zy

GK ( 2 2 ) 0 x y
2 2
或

2
= 0
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§8-1 位移法求解
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。 扭曲函数(x,y)除了满足 要满足边界条件， 2 = 0,还需
A s
2 dA ( xl ym)ds M T
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§8-2 按应力函数求解

A
2 dA ( xl ym)ds M T
s
当为单连域时：在s上
s = 0
M T 2 dA
A
s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3 当为多连域时：
2
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§8-2 按应力函数求解
则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程 2zx =0 和
2zy =0
zx ( x, y ) zy ( x, y) 0 x y
按应力法求解 基本方程为三个
2zx =0 2zy =0
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zx
MT y I
zy
MT x I
位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 , K为单位长扭转角。
MT K GI
2
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对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由 扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆ຫໍສະໝຸດ Baidu转解进行假设——半逆解。
§8-1 位移法求解
§8-2 按应力函数求解
在x,y方向面力应用圣维南原理
第一个方程
第二个方程

A
zx
dA XdA 0
A

A
zy
dA YdA 0
A
A zx dA A y dxdy ( y dy)dx ( A B )dx 0
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§8-2 按应力函数求解
三个平衡方程：
zx 0, z
zy z
0,
zx zy 0 x y
前两式自然满足，剩下一个控制方程
1 ,ij 0 无体力相容方程为： ij 1 由于设 x=y=z=0， = 0
对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量： u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为 扭曲函数。
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§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。 未知量为：K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz , （工程）应变分量： w= K(x,y)
Y 0 l xy m y n zy 0
满足
Z 0 l zx m zy n z lGK ( y) mGK ( x) x y
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§8-1 位移法求解
上式也可以用
o
MT
-dx
x
l( y ) m( x) 0 x y
u v u v w x 0, y 0, z 0, xy y x 0 y z x
u w zx K Ky K ( y) z x x x v w zy K Kx K ( x) z y y y
dy dx M T 2 dA Ci ( x y )ds A si ds ds
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第一、二方程恒满足。
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§8-2 按应力函数求解
在x,y方向面力应用圣维南原理
o
MT
X Y
T
x
第三个方程
左 ( zy x zx y )dA ( x y )dA A A x y
(Yx Xy)dA M
A
y
＝ ( x ) ( y ) 2 dA A x y
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X dA 0
A
Y dA 0
A
(Yx Xy)dA M
A
z
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§8-1 位移法求解
上式也可以表示为
zy dA 0
A

A
zx
dA 0

A
( zx y zy x)dA M z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主 要边界上力边界条件满足时， 则 A zx dA 0和 A zy dA 0 自然满足。见以下：
GK ( 1) GK ( 1) 2GK C xy xy
2
2 2
将应力函数代入杆侧边的边界条件 lzx+mzy = 0
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§8-2 按应力函数求解
而
dx dy l , dn ds
dy dx m , dn ds
o
MT
-dx
x
dy y
n
zx , y
zy
x
代入边界条件，得
dy dx 0 y ds x ds
lzx+mzy = 0
d 0 ds
则应力函数在扭杆侧边应该为常数 : s =C1
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§8-2 按应力函数求解
对于单连域：可取 s = 0
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dx dy ly mx n x dn y dn
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§8-1 位移法求解
在扭杆端面（如z = 0): 法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
o y MT
MT
x
z
杆端截面法线方向面力 Z z 0，满足； 而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣 维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求 合力为零 合力矩为零
2 2
令 D G A ( x y x
当(x,y) 和K均找到后，则扭杆的位移、 应力均可求出。
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y
y
x
)dA ——扭转刚度
作业：
证明扭曲函数 2 2 xy 能用来求椭圆截 b a x2 y2 面杆 2 2 1的扭转问题，其中a和 b 为
S2 x S0 y
对于复连域：可取一条边界线 上s为零，而其它边界s为非 零常数： s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3
S1
再将(x,y)代入端面上的边界条件： 方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力：Z z 0 满足。
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§8-1 位移法求解
应力分量：x=y=z=xy=0，
zx GK ( y) x
zy GK ( x) y
所有物理量均由K和(x,y) 表示。
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§8-1 位移法求解
按位移法求解，基本方程为平衡微分方程 （三个）。 两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为：
§8-2 按应力函数求解
边界条件： 在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) 面力： X Y Z 0 ；前两个方程满足；
第三个力边界条件：lzx+mzy = 0 在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
面力： Z z 0 满足。
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法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函
数法求解等截面杆扭转问题的作法。
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§8-2 按应力函数求解
2.1 按应力法求解方程
同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0
仅存在
zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz
两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）
同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。
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§8-1 位移法求解
首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界） 在侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) MT 面力：
o
X Y Z 0
X i n j ij
x
y MT
z
X 0 l x m xy n zx 0
椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为
GKa 3b 3 Mz 2 a b2
a b
b2 a2
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§8-2 按应力函数求解
按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程
2
= 0,其边界条件
( (x,y)
的微分形式）但能满足边界条件调
ly mx n
合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力