插值及拟合作业 图
第8讲 excel 插值与拟合
整理得到拟合曲线满足的方程：
m m m a ( xi )b yi i 1 i 1 m m m 2 ( xi ) a ( xi )b xi yi i 1 i 1 i 1
该方程可用消元法或克莱姆方法解出方程
a
xi yi
i 1 m m i 1 i 1
2 i 1 i 1 m m
50
0.0121 t 拟合得到直线方程为： p 0.30324
相关系数R为0.97296，平均绝对偏差SD为0.0707。
拟合的标准
m i 1
—— 实例
如果采用二次拟合，通过计算下述均 方误差
Q(a0 , a1 , a2 ) ( p(ti ) pi ) 2 (a0 a1ti a2ti2 pi ) 2
y ( x) y1 y0 ( x x0 ) y0 x1 x0
y=? y
并求取在该点的函数值。
y0
x0
x
x1
x
例题
用函数y=ex生成以下离散数据，请使 用插值的方法计算x=[2.55 2.63 2.77 2.86] 处的函数值。
x y 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
i 1
m
1.0
0.8
拟合得二次方程为
压力 , P(MPa)
p 0.24845 0.00957 t 0.00015 t2
相关系数R为0.99972，平均绝对偏差SD为 0.00815,具体拟合曲线见图1-4。 比较图1-3和图1-4以及各自的相关系 数和平均绝对偏差可知，对于DME饱和蒸气 压和温度之间的关系，用二次曲线拟合优 于线性拟合。具体的计算方法及编程在下 一节里介绍。
插值法(共7张PPT)
( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), , ( x n , y n ), 有
n
[ y k ( x k )] 2
k 1
n
[ y k ( a 0 a 1 x k )] 2 k 1
f (a 0,a1)
可见 , f ( a 0 , a 1 )的极大值点
即为所待定的常数
(a 0,a1)
由a0,a1) 0 a0
f (a0,a1) 0 a1
2
n
(yk
a0
a1xk )
0
k 1
n
2 ( y k a 0 a 1 x k ) x k 0
k 1
na
0
n
xk
a1
n
yk
k 1
k 1
n k 1
x
k
a
0
n x k 2 a 1 k 1
g(x) f(x)
xx
0
1
x
x
2
第一页，共7页。
x
x
3
4
拟合曲线：从数据中找出的趋势性、规律性曲线。消除了数据 的 局部波动。
y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, m
x
这时不是取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
常见做法：
太复杂
➢ 使 m 1im a|P x(xi)yi |最小 /* mini(max()) problem? */
m
m
2
aj
y x
j i
k
＝
xk
ii
j0
i1
i 1
m
m
记 bk xik , ck yi xik
插值与拟合模型
插值与拟合§1多项式插值问题已知函数)(x f y =在n+1个互异结点处的函数值，如下表所示：求一个n 次多项式P n (x )，使得P n (x i )=y i ，i =1,2,……,n 。
并利用P n (x )近似未知函数f (x )。
从几何上看就是寻找一条n 次多项式曲线y = P n (x )，使其通过平面上已知的n+1个点：y 1y一、Lagrange 插值)()()()(1100x l y x l y x l y x P n n n +++=其中，ni x x x x x l j i nij j j ni j j i ,,2,1,)()()(00 =-∏-∏=≠=≠=二、Newton 插值)())(](,,,[))(](,,[)](,[)(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f y x P 其中，10110)()(],[x x x f x f x x f --=nk x x x x x f x x x f x x x f k k k k ,,2,1,],,,[],,,[],,,[01102110 =--=-随着插值结点的增多，插值多项式的次数也增加。
然而多项式次数越高，近似效果未必越好，反而容易出现高次插值的Runge现象，为此需要考虑下面的分段插值问题。
三、分段插值1、分段线性插值在相邻两个结点[x k,x k+1]内，求一条线段近似函数f(x)，x∈[x k,x k+1]。
2、分段抛物插值在相邻三个结点之间用抛物线近似未知函数。
四、样条插值分段线性插值虽然避免了高次多项式插值的Runge 现象，然而在插值结点处又产生了新问题：不光滑。
为了克服这一现象，引入三次样条插值：在相邻两个结点之间用三次多项式函数s i (x )近似未知未知函数，并保证在插值结点处满足衔接条件：)1,,1()()(),()(),()(111-=''='''='=+++n i x s x s x s x s x s x s i i i i i i i i i i i i五、Matlab插值命令yi=interp1(x，y，xi，'method')(x，y)：插值节点；xi：被插值点；yi：xi处的插值结果；method：插值方法；‘nearest’最邻近插值；‘linear’线性插值；‘spline’三次样条插值；‘cubic’立方插值。
常用数值分析方法3插值法与曲线拟合
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
MATLAB中的曲线拟合与插值
MATLAB 中的曲线拟合和插值在大量的使用领域中，人们经常面临用一个分析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
这种方法在下一节讨论。
这里讨论的方法是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
图11.1说明了这两种方法。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
11.1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小00.20.40.60.81-2024681012xy =f (x )Second O rder C urv e Fitting图11.1 2阶曲线拟合在MATLAB 中，函数polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。
为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; » y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit ，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
插值与拟合
x[ a ,b ]
即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§ 7.1.4 实际应用中两种方法的选择
在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰 当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采 用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来 考虑：
1．如果给定的数据是少量的且被认为是严 格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方 法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处 完全相等。
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的 结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地 控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这 是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完 全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误 差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如 果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效 果往往较差。
0
(
x)
1
2
x x1
x0 x0
x x0
x1 x1
2
1(x)
1
2
x x1 x0 x1
x x0 x1 x0
2
2
0
(
x)
(
x
x0
)
(7.2.3)
下 面 的 (7.2.9) 、 (7.2.10) 两 式 构 成 了 三 次 Hermite 插值基本提法二的插值公式
P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)
0 ( x)
(x ( x0
最小二乘法拟合插值法精品PPT课件
7
7
1
Xi
7
Xi
2
i 1 i 1
i 1
7
7XiXi 27Xi 3i 1 i 1
i 1
7
7
Xi 2
7
Xi 3
Xi
4
i 1
i 1
i 1
步骤5：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
7 Yi
i 1
7 YiXi
i 1
7
YiXi
2
i 1
步骤6：将求得的数列进行逆矩阵 计算，如图：
最小二乘法拟合插值法
步骤1：根据X与Y对应的值，插入散点 图并做出趋势图，如图：
步骤2：从该图可以看出最接近 这7个点的趋势线为抛物线，所以 设该抛物线方程为：
Y=(A0+A1*X+A2*X2)
步骤3：分别对方程中的A0,A1,A2 进行求导，可得：
步骤4：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
步骤7：将求得的逆矩阵与矩阵B相 乘，求得根，如图：
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
9
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
拟合、插值和样条
y=poly2str(A,'t');
t2=1949:1994; y2=polyval(A,t2) plot(t1,y1,'b*',t2,y2,'msquare')
拟合的应用——参数辨识
数学建模的方法：机理分析和测试分析。
机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反 映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理 意义。 测试分析将研究的对象看作一个“黑箱”，通过 对实验数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模 型。
系数
数据点
拟合多项式次数
2.y=polyval（a，x） %计算变量为x时， 多项式a的值。（估计值）
例如：1949年—1994年我国人口数据资料如下： 年 份xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数yi
5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我国人口增长的规480 -283.2320
>> y=poly2str(A,'t')
y=
0.148 t - 283.232
M文件仿真:
t1=1949:5:1994;
y1=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8]; A=polyfit(t1,y1,1)
10
2
Log10c(t)=a t + b
10
1
c(t ) c0 e
0 2 4 6 8
kt
10
0
c, k为待定系数
半对数坐标系(semilogy)下的图形
插值和拟合
插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。
简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。
如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。
表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。
插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。
如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。
从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。
一、概念的引入1. 插值与拟合在现实生活中的应用l 机械制造：汽车外观设计l 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT）2.概念的定义l 插值：基于[a,b]区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。
若要求φ(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点l 逼近：当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。
此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法l 光顾：曲线的拐点不能太多，条件：①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小l 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾二、插值理论设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,xn处取值y 0,y1,…,yn。
数值分析实验插值与拟合
数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。
插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。
基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。
牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。
非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。
分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。
样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。
拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。
拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。
线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。
最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。
在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。
非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。
非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。
局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。
在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。
例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。
在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。
在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。
需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。
如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。
因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。
插值法与数据拟合
x=0:3:9;
y=x.*cos(x);
xx=linspace(0,9);
plot(x,y,'o');%样本点
hold on;
plot(xx,interp1(x,y,xx,'spline'),'r');%interp1只能使用默认边界条件
plot(xx,spline(x,[0 y 0],xx),'r:');%spline可以使用第一类边界条件，这里y'(0)=y'(9)=0 pp=csape(x,y,'second');
>> yi=New_int(x,y,0.596)
yi =0.631914405504000
4、已知函数在下列各点的值为：
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.98
0.92
0.81
0.64
0.38
试用4次牛顿插值多项式 对数据进行插值，根据｛ ｝，画出图形。
解：X=[0.2:0.2:1.0]; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];
解：a=-1;b=1;n=100;h=(b-a)/n;
>> x=a:h:b;y=1./(1+25.*x.^2);
>> plot(x,y,'k')
其函数原图形分别如下所示：
图二龙格函数的图形
用龙格函数的Lagrange（）插值函数画图源程序
当n =10时，有：
functionRunge(10)
% Runge现象
xx=[0:0.5:64]; yy=sqrt(ห้องสมุดไป่ตู้x);
第4章_插值与拟合-牛顿法
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
数值分析插值法与拟合实验
实验报告
一、实验目的
感受插值效果的比较以及拟合多项式效果的比较。
二、实验题目
1.插值效果的比较
将区间[-5,5]5等分和10等分，对下列函数分别计算插值节点错误！未找到引用源。
的值，进行不同类型的插值，做出插值函数的图形并与错误！未找到引用源。
的图形进行比较：
做拉格朗日插值。
2.拟合多项式实验
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数错误！未找到引用源。
和拟合函数的图形。
三、实验原理
拉格朗日插值和多项拟合插值的通用程序
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
(1)实验1中通过图象，可以很明显的辨别出拉格朗日插值并不是插值点越多图象就一定越精确，会有高阶插值的振荡现象。
(2)通过三个图象的对比，发现基本都是重合在一起的。
.三次多项式五次多项式拟合的平方误差分别为1.8571e-004和4.7727e-005，可知五次多项式拟合比三次多项式拟合更加准确。
但是后面去计算一下拟合所需要的时间，会发现拟合次数越大，时间越长，所以也不一定是次数越大越好，需要把时间也考虑进去。
数学建模-插值拟合的案例讲解
估计水塔的流量
内容
问题
解题思路
算法设计 与编程
表 1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动）
y=0:400:4800;
z=[370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;
510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;
650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -
33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];
cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');
曲线拟合和插值
第11章曲线拟合与插值在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
这种方法在下一节讨论。
这里讨论的方法是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
图11.1说明了这两种方法。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
11.1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。
图11.1 2阶曲线拟合在MA TLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。
为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];» y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
通常称为线性回归。
相反，如果我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式。
现在，我们选择一个2阶多项式。
数值分析作业(插值拟合)
第一题、给定数据如下：
x
0
2
3
5
f(x)
1
-3
-4
2
(1)、求各阶差商；（2）、写出f(x)的3次Newton插值多项式 。
第二题、f(x)满足条件如下:
i
0
1
1
2
2
3
1
-1
(1)、求Hermite插值基函数；（2）、求Hermite插值多项式。
第三题、已知函数y=f(x)的数据表如下：
0
1
2
3
0
1
2
3
2
3
0
-1
(1)求拉格朗日插值基函数
(2)求拉格朗日插值多项式。
第七题：
设 为互异结点，试证明拉格朗日插值基函数 具有以下性质：
(1)
第八题：
已知
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
0.5
0.5477
0.6245
0.6708
0.728
及边界条件
,
试求三次样条函数 。
第九题
利用 个结点数据 合直线
i
0
1
2
-1
0
1
-1
0
1
0
求：(1)、通过这三个点的牛顿插值多项式N(x);
(2)、利用N(x)求一个次数不超过3次的多项式 满足插值条件:
。
第四题、求满足条件 的三次Hermite插值多项式 。写出插值余项。
第五题、已知f(x)满足 ,则拉格朗日基函数
=。
=。 =。
第六题
已知函数 的观察值如下：
实验三 插值法和拟合实验
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x1=-5:1:5; y=5./(1+x1.^2); [C,L]=lagran(x1,y); xx=-5:0.1:5; yy=polyval(C,xx); hold on plot(xx,yy,'k*',x1,y,'o')
%描绘 lagran 函数插值图像以及插值点
[C,D]=newpoly(x1,y) x2=-5:0.01:5; y2=polyval(C,x2); plot(x2,y2,'r:') %作牛顿插值图像 x0=-5:0.05:5; y1=interp1(x1,y,x0,'linear');%求分段线性插值函数在 x0 上的值 plot(x0,y1,'-'); grid on x=-5:1:5; y=5./(1+x.^2); dx0=0.0739645; dxn=-0.0739645; S=csfit(x,y,dx0,dxn) x1=-5:0.01:-4;y1=polyval(S(1,:),x1-x(1)); x2=-4:0.01:-3;y2=polyval(S(2,:),x2-x(2)); x3=-3:0.01:-2;y3=polyval(S(3,:),x3-x(3)); x4=-2:0.01:-1;y4=polyval(S(4,:),x4-x(4)); x5=-1:0.01:-0;y5=polyval(S(5,:),x5-x(5)); x6=0:0.01:1;y6=polyval(S(6,:),x6-x(6)); x7=1:0.01:2;y7=polyval(S(7,:),x7-x(7)); x8=2:0.01:3;y8=polyval(S(8,:),x8-x(8)); x9=3:0.01:4;y9=polyval(S(9,:),x9-x(9)); x10=4:0.01:5;y10=polyval(S(10,:),x10-x(10)); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8,x9,y9,x10,y10,x,y,'.') %作三次样条插值图像 grid on 2.估计某地居民的用水速度和每天的总用水量. function [a,b]=csd(X1,Y1) %最小二乘法 xmean=mean(X1) ymean=mean(Y1) sumx2=(X1-xmean)*(X1-xmean)'; sumxy=(Y1-ymean)*(X1-xmean)'; a=sumxy/sumx2 b=ymean-a*xmean
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MATLAB 作业3
1、 用2
sin(103)y t =+在（0，3）区间内生成一组较稀疏的数据，并用一维数据插值的方法对给出的
数据进行曲线拟合，并将结果与理论曲线相比较。
2、 用24
223
1(,)sin()3x y f x y e xy x y x y
--=
++原型函数生成一组网络数据或随机数据，分别拟合出曲面，并和原曲面进行比较。
x∈-区间内的光滑函数曲线，比较各种插值算法3、假设已知一组数据，试用插值方法绘制出(2,4.9)
的优劣。
x-2 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1 1.3 i
y.10289 .11741 .13158 .14483 .15656 .16622 .17332 .1775 .17853 .17635 .17109 .16302 i
x 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4 4.3 4.6 4.9 i
y.15255 .1402 .12655 .11219 .09768 .08353 .07015 .05786 .04687 .03729 .02914 .02236 i
>> x=[-2,-1.7,-1.4,-1.1,-0.8,-0.5,-0.2,0.1,0.4,0.7,1,1.3,...
1.6,1.9,
2.2,2.5,2.8,
3.1,3.4,3.7,4,
4.3,4.6,4.9];
y=[0.10289,0.11741,0.13158,0.14483,0.15656,0.16622,0.17332,...
0.1775,0.17853,0.17635,0.17109,0.16302,0.15255,0.1402,...
0.12655,0.11219,0.09768,0.08353,0.07019,0.05786,0.04687,...
0.03729,0.02914,0.02236];
4、 假设已知实测数据由下表给出，试对(,)x y 在(0.1,0.1)~(1.1,1.1)区域内的点进行插值，并用三维曲面
i y
1x
2x
3x
4x
5x
6x
7x
8x
9x
10x
11x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0.1 .83041 .82727 .82406 .82098 .81824 .8161 .81481 .81463 .81579 .81853 .82304 0.2 .83172 .83249 .83584 .84201 .85125 .86376 .87975 .89935 .92263 .94959 .9801 0.3 .83587 .84345 .85631 .87466 .89867 .9284 .96377 1.0045 1.0502 1.1 1.1529 0.4 .84286 .86013 .88537 .91865 .95985 1.0086 1.0642 1.1253 1.1904 1.257 1.3222 0.5 .85268 .88251 .92286 .97346 1.0336 1.1019 1.1764 1.254 1.3308 1.4017 1.4605 0.6 .86532 .91049 .96847 1.0383 1.118 1.2046 1.2937 1.3793 1.4539 1.5086 1.5335 0.7 .88078 .94396 1.0217 1.1118 1.2102 1.311 1.4063 1.4859 1.5377 1.5484 1.5052 0.8 .89904 .98276 1.082 1.1922 1.3061 1.4138 1.5021 1.5555 1.5573 1.4915 1.346 0.9 .92006 1.0266 1.1482 1.2768 1.4005 1.5034 1.5661 1.5678 1.4889 1.3156 1.0454 1 .94381 1.0752 1.2191 1.3624 1.4866 1.5684 1.5821 1.5032 1.315 1.0155 .62477 1.1
.97023
1.1279
1.2929
1.4448
1.5564
1.5964
1.5341
1.3473
1.0321
.61268
.14763
>> [x,y]=meshgrid(0.1:0.1:1.1);
z=[0.83041,0.82727,0.82406,0.82098,0.81824,0.8161,0.81481,0.81463,0.81579,0.81853,0.82304;
0.83172,0.83249,0.83584,0.84201,0.85125,0.86376,0.87975,0.89935,0.92263,0.94959,0.9801;
0.83587,0.84345,0.85631,0.87466,0.89867,0.9284,0.96377,1.0045,1.0502,1.1,1.1529;
0.84286,0.86013,0.88537,0.91865,0.95985,1.0086,1.0642,1.1253,1.1904,1.257,1.3222;
0.85268,0.88251,0.92286,0.97346,1.0336,1.1019,1.1764,1.254,1.3308,1.4017,1.4605;
0.86532,0.91049,0.96847,1.0383,1.118,1.2046,1.2937,1.3793,1.4539,1.5086,1.5335;
0.88078,0.94396,1.0217,1.1118,1.2102,1.311,1.4063,1.4859,1.5377,1.5484,1.5052;
0.89904,0.98276,1.082,1.1922,1.3061,1.4138,1.5021,1.5555,1.5573,1.4915,1.346;
0.92006,1.0266,1.1482,1.2768,1.4005,1.5034,1.5661,1.5678,1.4889,1.3156,1.0454;
0.94381,1.0752,1.2191,1.3624,1.4866,1.5684,1.5821,1.5032,1.315,1.0155,0.62477;
0.97023,1.1279,1.2929,1.4448,1.5564,1.5964,1.5341,1.3473,1.0321,0.61268,0.14763];
5、习题3和4给出的数据分别为一元数据和二元数据，试用分段三次样条函数和B样条函数对其进行
拟合。
6、重新考虑习题3中给出的数据，试考虑用多项式插值的方法对其数据进行逼近，并选择一个能较好
拟合原数据的多项式阶次。
7、 假设习题3中给出的数据满足原型22()/21
()2x y x e μσπσ
--=
，试用最小二乘法求出,μσ的值，并用得出的函数将函数曲线绘制出来，观察拟合效果。
8、 假设习题4中数据的原型函数为2
2
2
(,)sin()cos()z x y a x y b y x cx dxy e =++++，试用最小二乘
方法识别出,,,,a b c d e 的数值。
9、 假设已知一组实测数据在文件c8pdat.dat 中给出，试通过插值的方法绘制出三维曲面。
无c8pdat
10、考虑函数11
()21
x x f x x x +-=
++-x=3:0.4:8处生成一组样本点，采用分段三次样条和B 样
条分别对数据进行拟合，并由数据结果求取二阶导数，将得出的结果与理论曲线进行比较。