江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2-x-2＞0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B等于（）A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）D. （2，3）2.已知a，b∈R，复数z=a-bi，则|z|2=（）A. a2+b2-2abiB. a2-b2-2abiC. a2-b2D. a2+b23.已知函数，命题，若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4.已知抛物线y2=8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|-|PE|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A.B.C.D.6.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间是（）A. [kπ-，kπ-]（k∈Z）B. [kπ-，kπ]（k∈Z）C. [kπ-，kπ]（k∈Z）D. [kπ-，kπ]（k∈Z）7.已知log x3=3，log y7=6，z=7，则实数x，y，z的大小关系是（）A. x＜z＜yB. z＜x＜yC. x＜y＜zD. z＜y＜x8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. -1B. 2C. 2D.9.已知△ABC中，AB=2，B=，C=，点P是边BC的中点，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，圆C1：（x-c）2+y2=r2（r＞0）与圆C2：x2+（y-m）2=4r2（m∈R）外切，且E的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E的离心率为（）A. B. C. D.11.已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=2cos x，f'（x）+sin x＜0，若角α满足不等式f（π+α）+f（α）≥0，则α的取值范围是（）A. （-∞，-]B. （-∞，π]C. [-，]D. [0，]12.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，且∠BAD=60°，点A1在底面的投影O是AC的中点，且A1O=4，点C关于平面C1BD的对称点为P，则三棱锥P-ABD的体积是（）A. 4B. 3C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知（x2-2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a3+a4等于______．14.已知实数x，y满足，则z=-2x+y的最小值是______．15.已知sin（-）cos（+）=-，则sinα=______．16.江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到．从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是______．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ-δ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2δ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3δ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2a n+1=λa n+4，n∈N+．（1）求λ的值及通项a n；（2）求数列{a}的前n项和S n．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，E、F是边DC的三等分点．现将△DAE、△CBF分别沿AE、BF折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直．（1）若G为线段AB上一点，且AG=1，求证：DG∥平面CBF；（2）求二面角A-CF-B的正弦值．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点M在C的长轴上运动，过点M且斜率大于0的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于N点．当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|=2．（1）求椭圆C的方程；（2）当N，P，Q，M均不重合时，记=λ，=μ，若λμ=1，求证：直线l 的斜率为定值．20.某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）该公司根据回归方程，决定在其他5个地区中，开设加盟店个数为5，6，7的地区数分别是2，1，2．小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，但根据公司规定，他们只能分别从这5个地区的30个加盟店中随机抽取一个加入．记事件A：小赵与小王抽取到的加盟店在同一个地区，事件B：小赵与小王抽取到的加盟店预计日平均营业额之和不低于12万元，求在事件A发生的前提下事件B发生的概率．（参考数据及公式：，，线性回归方程=bx+a，其中=，=-．）21.已知函数f（x）=x•e x-a（ln x+x），g（x）=（m+1）x．（a，m∈R且为常数，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的极值点个数；（2）当a=1时，f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2=0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．23.已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为1，求的最小值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x＜-1，或x＞2}；∴A∩B=（2，3）．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：因为复数z=a-bi，所以|z|=，故|z|2=a2+b2，故选：D．根据复数z=a-bi，先求出|z|，然后再求出|z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对|z|2的正确理解．本题属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为p为假命题，所以￢p为真命题，即不存在x0∈R，使f（x0）=0，故△=1-4a2＜0，解得：，故选：C．直接利用命题p为假命题，即不存在x0∈R，使f（x0）=0，根据这个条件得出实数a的取值范围．本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题．4.【答案】B【解析】解：因为抛物线y2=8x，所以抛物线的准线方程为x=-2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x=-2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，故点P到x=-2的距离等于|PF|，所以，|PE|=|PF|-2，故|PF|-|PE|=2，故选：B．P在y轴上的投影为点E，由抛物线的定义可得，|PE|=|PF|-2，故可得结果．本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化．5.【答案】C【解析】【分析】几何体为圆柱挖去一个三棱柱，代入体积公式计算即可．本题考查了几何体的三视图与体积计算，属于中档题．【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱中去掉一个三棱柱，圆柱的底面半径为1，高为2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，斜边长为2，三棱柱的高为2，故几何体的体积为π•12•2-=2π-2．故选：C．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，属于中档题.根据三角函数的图象得出函数f（x）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数g（x）的单调区间．【解答】解：由图可得故，解得ω=2，将点代入函数f（x）=A sin（2x+φ），即，因为|φ|＜，所以φ=，故函数f（x）=A sin（2x+），因为将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象．所以，当（k∈Z）时,解得：（k∈Z），故当x∈[]（k∈Z）时，g（x）单调递增，故选：A．7.【答案】D【解析】解：∵log x3=3，log y7=6；∴x3=3，y6=7；∴x6=9，且；∴z6＜y6＜x6；∴z＜y＜x．故选：D．根据条件可得出x3=3，y6=7，从而得出，这样即可得出z6＜y6＜x6，且x，y，z都是正数，这样便可得出x，y，z的大小关系．考查对数的定义，对数式和指数式的互化，指数幂的运算，指数函数的单调性，幂函数的单调性．8.【答案】A【解析】解：设点A关于直线x+y=3的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线x+y=3的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．9.【答案】B【解析】解：△ABC中，AB=2，B=，C=，点P是边BC的中点，，可得AC=2，则==•（）==-=2．故选：B．利用三角形的边表示向量，然后利用向量的数量积求解即可．本题考查三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力．10.【答案】C【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，故C1（c，0）到渐近线的距离为=r，即b=r，设圆C1与圆C2的切点为M，则OM⊥C1C2，故Rt△OMC1∽Rt△C2OC1，于是=，即，故c=r，∴a=r，∴双曲线的离心率e===．故选：C．根据三角形相似和距离公式得出a，b，c与r的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：构造函数g（x）=f（x）-cos x，x∈R．由f（x）+f（-x）=2cos x，化为：f（x）-cos x=-[f（-x）-cos（-x）]，∴g（-x）=-g（x），∴函数g（x）为R上的奇函数．则g′（x）=f'（x）+sin x＜0，∴g（x）在R上单调递减．若角α满足不等式f（π+α）+f（α）≥0，即f（π+α）-cos（π+α）≥-[f（α）-cosα]，即g（π+α）≥-g（α）=g（-α），∴π+α≤-α，解得α≤-．故选：A．构造函数g（x）=f（x）-cos x，x∈R．角α满足不等式f（π+α）+f（α）≥0，即f（π+α）-cos（π+α）≥-[f（α）-cosα]，即g（π+α）≥-g（α）=g（-α），利用已知可得其奇偶性与单调性，即可得出．本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.【答案】C【解析】解：连接OC1，过C作CM⊥OC1，垂足为M，∵OA 1⊥平面ABCD，BD平面ABCD,∴OA1⊥BD，∵AB=AD，∴OA⊥BD，OA OA 1=O,∴BD⊥平面ACC 1A1，CM平面ACC1A1，∴BD⊥CM，又CM⊥OC1，BD OC1=O,∴CM⊥平面BDC1，由△ABD是边长为4的等边三角形可得OC=OA=2，故CC1=AA1=2，cos∠ACC1=-cos∠A1AO=-，∴OC1==8，∴cos∠COM==，即∠COM=，∴∠OCM=，∴CM=CO=，故M到平面ABCD的距离为d=CM•sin∠OCM=，∴P到平面ABCD的距离为2d=3，∴V P-ABD=S△ABD•2d==4．故选：C．作平面BDC1的垂线CM，计算CM即可得出M到平面ABCD的距离，从而可得P到平面ABCD的距离，再代入棱锥的体积公式计算．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．13.【答案】240【解析】解：a3和a4就是展开式中x3和x4的系数，∵T r+1=C（x2）6-r•（-2）r=（-2）r C x12-2r，令12-2r=3，解得r=（舍去），∴a3=0，令12-2r=4，解得r=4，∴a4=（-2）4C=240，故答案为：240．即求x3和x4的系数，；利用通项公式可得．本题考查了二项式定理，属中档题．14.【答案】-2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：=-2x+y，得y=2x+z，由，解得B（2，2），平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B（2，2）时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，此时z min=-2×2+2=-2，即z的最小值是-2故答案为：-2．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域以及判断最优解是解题的关键．15.【答案】【解析】解：已知sin（-）cos（+）=-，故：，整理得：，所以：sinα=cos（）=1-=1-2•=-，故答案为：-直接利用三角函数关系式的诱导公式的应用和倍角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】【解析】解：设乘公交车所需时间为X，乘地铁所需实际为Y．对于①，8：00出门-还是有可能会迟到，只是概率较小，故①错；对于②，P（X≤41）==0.9772．P（Y≤48）=1-=0.9772．乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故②错；对于③，若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为P（X≤37）=1-=0.8413，乘坐地铁不迟到的概率为P（Y≤44）=0.5＜0.8413．故③对；对于④，若8：12出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为P（Y≤38）==0.0013，故④正确．故填：③④．8：出门乘坐公交还是有可能会迟到①错；根据P（μ-2δ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，计算可得乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故②错；若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为0.8413，而乘坐地铁不迟到的概率为P（Y≤44）=0.5故③对；若8：12出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为P（Y≤38）==0.0013，故④正确．本题考查了正态分布，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于中档题．17.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由存在实数λ满足2a n+1=λa n+4①，得2a n=λa n-1+4②，①-②得，2d=λd，又因为d≠0，解得λ=2；将λ=2代入①可得：a n+1-a n=2，即d=2，又因为a1=1，所以a n=2n-1．（2）由（1）可得：=2n+1-（2n+1），所以：，=，=2n+2-n2-2n-4【解析】（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列{a}的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前n项和S n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（1）如图，分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，因为AD=DE=1，∠ADE=90°，所以DM⊥AE，且DM=．因为BC=CF=1，∠BCF=90°，所以CN⊥BF，且CN=．因为面DAE与面ABFE垂直，面DAE⊥面ABFE，DM⊥AE，所以DM⊥面ABFE，同理CN⊥面ABFE，所以DM∥CN，且DM=CN，DM⊄平面CBF，CN⊂平面CBF，故DM∥平面CBF，在平面矩形ABCD中，∠DAE=45°，故∠EAB=45°，同理∠FBA=45°，在几何体DCEFBA中，因为AM=AG cos45°，所以∠AMG=90°，所以△AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故∠MGA=45°，而∠FBA=45°，因为MG与FB共面于平面EFAB，故MG∥FB，MG⊄平面CBF，FB⊂平面CBF，故MG∥平面CBF，MG∩DM=M，故面DMG∥面CBF，因为DG⊂平面DMG，则DG∥面CBF．解：（2）如图，以G为原点，分别以AB，GE所在直线为x，y轴，以过G点并垂直于面ABFE的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（-1，0，0），B（2，0，0），E（0，1，0），F（1，1，0），C（），则=（2，1，0），=（），=（-1，1，0），因为=0，所以GF⊥BF，由（1）得CN⊥面ABFE，GF⊥CN，而BF，CN⊂平面CBF，BF∩CN=N，故AE⊥平面CBF，从而=（1，1，0）是平面CBF的一个法向量，设=（x，y，z）为平面AFC的一个法向量，则，∴，取x=-2，得=（-2，4，3），所以cos＜＞=故所求二面角的正弦值为=．【解析】（1）构造经过直线DG的平面，然后证明该平面与已知的平面CBF平行，再由面面平行得出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量知识解决二面角的大小．本题考查了线面平行的证明以及二面角的求解问题，线面平行常见的证法是借助线线平行或面面平行证得，求解二面角大小时往往借助法向量的夹角来进行求解．19.【答案】解：（1）∵当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|=2，∴a=|PM|=2，故，∵a2=b2+c2，因此c=，b=1，∴椭圆C的方程为；（2）设l：x=ty+m（m≠0），M（m，0），N（0，-），∴．∵斜率大于0，∴t＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由=λ，得x1=λx2，①同理可得y1=μy2，②①②两式相乘得，x1y1=λμx2y2，又λμ=1，∴x1y1=x2y2，∴（ty1+m）y1=（ty2+m）y2，即，即（y2-y1）[m+t（y1+y2）]=0．由题意k l＞0，知y1-y2≠0，∴m+t（y1+y2）=0．联立方程组，得（t2+4）y2+2tmy+m2-4=0，依题意，，∴m-，又m≠0，∴t2=4，∵t＞0，故得t=2，∴，即直线l的斜率为．【解析】（1）根据特殊情况，即当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|=2，可得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）设出直线l，求出点M、N，设出点P、Q，利用条件=λ，=μ得出x1与x2的关系、y1与y2的关系，根据条件λμ=1，得出m+t（y1+y2）=0．再借助韦达定理求解出t的值，进而得到斜率．本题考查了直线与椭圆的位置关系的问题，求解本题时应大胆多设变量，小心化简，通过一定的手段（设而不求、韦达定理等）进行减元，将多变量问题转化为少变量（单变量）问题，属难题．20.【答案】解：（1）由题可得，，，设所求线性回归方程为，则，得，故所求线性回归方程为．（2）根据回归方程，加盟店个数为5的地区单店预计日平均营业额为7万元，加盟店个数为6的地区单店预计日平均营业额为6万元，加盟店个数为7的地区单店预计日平均营业额为5万元；p（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）=．【解析】（1）求出，根据公式求得的值，进而得出回归方程；（2）先求出P（A），然后求解P（AB），根据条件概率公式得出，P（B|A）．本题考查了线性回归方程和实际问题处理的能力以及条件概率等知识，着重考查了学生数据分析的核心素养，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，∵函数y=（xe x）'=e x+xe x＞0在（0，+∞）上恒成立，∴函数y=xe x在区间（0，+∞）上单调递增，且值域为（0，+∞），①当a≤0时，xe x-a＞0在区间（0，+∞）上恒成立，即f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴无极值点；②当a＞0时，方程xe x-a=0有唯一解，设为x0（x0＞0），当0＜x＜x0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞x0时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴x0是函数f（x）的极小值点，即函数f（x）只有1个极值点．（2）当a=1时，不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即xe x-ln x-1≥（m+1）x对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即对任意的x∈（0，+∞）恒成立，记，则，记h（x）=x2e x+ln x，∵在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且，h（1）=e＞0，∴存在使得h（x0）=0，且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，F'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x0，+）时，h（x）＞0，F'（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴F（x）min=F（x0），即，又∵h（x0）=0，∴，∴，∴，∴，因此=，∴，解得m≤0．综上，实数m的取值范围是（-∞，0]．【解析】（1）根据讨论函数f（x）单调性，根据单调性的情况分析极值点的情况；（2）不等式f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，利用分离变量得出对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即求的最小值，利用导数求解函数F（x）的最小值．本题考查了极值点的存在问题和不等式恒成立的问题，分类讨论的思想方法是解题的关键，属难题．22.【答案】解（1）由消去t，得到y=，则ρsinθ=ρcosθ，∴θ=，所以直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．点P（，）到直线l的距离为d=×sin（-）=×=．（2）由，得，ρ2-ρ-2=0所以ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=-2所以，|MN|=|ρ1-ρ2|==3则△PMN的面积为．S△PMN=|MN|×d=×=．【解析】（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积．本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键．属中档题．23.【答案】解：（1）因为f（x）=|x-a|-|x+2b|≤|（x-a）-（x+2b）|=a+2b．，所以函数f（x）的最大值为a+2b．（2）由（1）可知，a+2b=1，因为a2+4b2≥4ab，所以2（a2+4b2）≥a2+4b2+4ab=（a+2b）2=1，即a2+4b2≥，且当a=2b=时取“=”，所以a2+4b2的最小值为．【解析】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键．（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得a+2b=1，再根据基本不等式可得a2+4b2的最小值．。