线代 第四章答案

《线性代数》（王远清主编）第四章习题解答1.12311231307232322132101a a a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.1393232206145c a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.312()30,0,31a b a b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 9322()33,1,124a b a b a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++-==-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.(1) 令12121(,),(,)041004A a a A b ⎡⎤⎢⎥=−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行初等变换()2,(,) 3.r A r A b == ()(,),r A r A b b ≠∴不能由A 线性表示。

（2）解线性方程组112233b k a k a k a =++，123122605819(,)(,,,),00130000r A b a a a b ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中，r −−→表示行初等变换） 解得：1231232,1,323.k k k b a a a ==-=∴=-+5．10312*******(,)001011000000rA B ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(,)3,()3,r A B r A ==()2r b =（因为()011与()055--成比例） (,)()r A B r A =⇒B 可由A 线性表示， (,)()r A B r B ≠⇒A 不能由B 线性表示。

6．（1）11117(,)01622300000rA B -⎡⎤⎢⎥−−→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦， (,)()()2,r A B r A r b ===∴A 与B 等价。

（2）15430955(,)00000000r A B --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦， (,)()()2,r A B r A r b ===∴A 与B 等价。

7．（1）错。

线性无关的定义：若11220n n k a k a k a ++⋅⋅⋅=，则必有120.n k k k ==⋅⋅⋅== （2）错。

设121,,...m a a a -线性无关，1m m a ka -=，则122,,...m a a a -都不可能由其他向量线性表示。

（3）对。

（4）错。

8. 322135-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦r −−→13501117⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，122,,r a a =∴是线性无关的。

（注，也可以将12,a a 为列作成矩阵，再作行初等变换311325⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦r−−→121301,2,,00r a a -⎡⎤⎢⎥=∴⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性无关。

之所以可以以列为矩阵求秩，是因为矩阵行秩等于列秩，而以列为矩阵除了判断相关、无关外，对相关者还能求出各向量间的线性关系，如（2）小题，为减少记忆，可统一使用后一种方法。

）（2）. (123,,a a a )=215120342-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r −−→120011000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦12323,,,r a a a =<∴线性相关的.设1122330k a k a k a ++=12312123250203420k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩, 215120342-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r−−→120011000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,从120011000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦看出: 此方程组解为: 13232,k k k k =-=.故123211k k c k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,不妨取c=1,因此得123,,a a a 之间的关系为: 12320a a a -++=. 如果题目还要求3a 用12,a a 表示,从上式便可得: 3122a a a =-.(3) (123,,a a a )=122301510-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r −−→1220671003⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1233,,,r a a a =∴线性无关的.9. (123,,a a a )=111111k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r −−→11201200k ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2123,20,1,2r k k k k =∴--===-10. (123,,a a a )=1126032k k k +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦r−−→211203206k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦, 当2326k k k -=+-时, 1232,,,r a a a =∴线性相关的,解得1224,3k k =-=. 当124,3k ≠-时, 1233,,,r a a a =∴线性无关的.11.设112233440k b k b k b k b +++=,112223334441()()()()0k a a k a a k a a k a a +++++++= 141122233344()()()()0k k a k k a k k a k k a +++++++=取1234,,,(1,1,1,1)k k k k =--,上式总成立,∴1234,,,b b b b 总是线性相关的.12.设1122330k b k b k b ++=,112223331()()()0k a a k a a k a a +++++= 131122233()()()0k k a k k a k k a +++++=而{}i a 为线性无关的,1321123230k k k k k k k k k=-⎧⎪∴=-⇒===⎨⎪=-⎩,上式总成立, ∴123,,b b b 总是线性无关的.13. (123,,a a a )=142251124⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦r −−→142011000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1232,,,r a a a =∴线性相关的.行最简形(行初等变换变成的阶梯形)中,首非0元所在列对应的原列向量为极大无关组,这里为12,a a .说明:为什么说首非0元对应的向量是极大无关组呢?因为向量为列做成的矩阵行初等变换时,不改变列间的线性关系.所以, 123,,a a a 间的线性关系同于1231420,1,1000b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦间的关系,观察可发现, 3b 能由12,b b 线性表示, 2b 不能由1b 线性表示, 123,,b b b 中极大无关组为12,b b ,因此123,,a a a 中极大无关组为12,a a .(2). (123,,a a a )=101110021⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦r −−→101011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1233,,,r a a a =∴为极大无关组.(3).( 1234,,,a a a a )=1012112402534178-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦r −−→1012011600130000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦123434,,,,r a a a a =<∴线性相关。

极大无关组为首非0元对应列向量123,,a a a .14.(1) 101042322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦r −−→101021000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,极大无关组为12,b b ,因为线性关系与行最简形中各列线性关系相同,而行最简形中第3列等于第1列加第2列的12倍,所以31212a a a =+. (2).13012251340101110243-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ r −−→13012011100012100000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦r −−→10021010110012100000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 1233,,,r b b b =为极大无关组,观察最后一个矩阵各列关系知: 4123512322b b b b b b b b =--=-++.15.设123123(,,...),(,,...)n n A a a a a B e e e e ==,B 由A 线性表示, ∴()()r B r A ≤,而()r B n =,∴(),()n r A n r A n =≥⇒=. 即123,,...n a a a a 是线性无关的.16.证:⇒若123,,...n a a a a 线性无关,则123(,,...)0n A a a a a =≠,因此对任意n 维向量b, 112233...0n n k b k b k b k b ++++=有唯一解. 即任意n 维向量能由123,,...n a a a a 线性表示.⇐若任意n 维向量b 能由123,,...n a a a a 线性表示,则123,,...n e e e e 也能由123,,...n a a a a 线性表示,由上题知, 123,,...n a a a a 线性无关.17. 123103103(,,)2220281350020rA a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 1233,,,r a a a =∴线性无关,可生成3R .18.1012110121(,)112130133222345670011111r A B C ⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-−−→-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦, ()3,(,)3,()(,)r A r A B r A r A B ===因此,A 是3R 的一个基,B 能由A 线性表示.12312,,,,a a a b b 之间的线性关系与矩阵C 中名列的线性关系相同(行初等变换不改变列的线性关系.)不管三七二十八,我们再作行初等变换,把A 变成单位矩阵132331810011111012151013320101111676700100111111111r r r r C +-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦从最后的矩阵看出, 11232123156111111817111111b a a a b a a a =--=++.19. 12433564232121109-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦213141322r r r r r r ---−−−→124301650165031815-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦31413r r r r --−−−→1243016500000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首非0元在第1、2列取得，∴34,x x 为自由变量，令3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可求出基础解系：128765,1001ξξ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦通解1122x c c ξξ=+。