数列基础知识及数列的性质好
数列知识点总结大全
数列知识点总结大全一、数列的概念与定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。
2. 数列的定义：数列可以用一个通项公式或者递推公式来表示，通项公式指明了数列的第n个项与n的关系，递推公式则指明了数列的第n+1项与第n项的关系。
二、常见的数列类型1. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 调和数列：如果一个数列中任意相邻两项的倒数之差都相等，那么这个数列就是调和数列。
调和数列的通项公式为an=1/(1+d(n-1))，其中d为公差。
三、数列的性质1. 有限数列与无限数列：有限数列指数列中的项是有限个，无限数列指数列中的项是无限个。
2. 数列的奇偶性：如果数列的每一项的奇偶性相同，则称该数列为奇数列或偶数列。
3. 数列的首项和公差：首项指数列中的第一个元素，公差指等差数列中相邻两项之差。
4. 数列的前n项和：数列的前n项和可以用求和公式来表示，对于等差数列和等比数列有相应的公式。
5. 数列的递推公式：递推公式指明了数列的第n+1项与第n项的关系，可以通过递推公式求出数列的任意一项。
四、数列的应用1. 等差数列与等比数列的求和：等差数列和等比数列的前n项和在数学和物理问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们简化复杂的计算。
2. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种方法，在数列中的应用尤其广泛。
3. 数列的模型应用：数列模型可以用来描述自然界和社会现象中的变化规律，比如人口增长、物种演化等。
五、数列的判断与证明1. 数列的判断：如何判断一个数列是等差数列、等比数列、调和数列等，需要根据数列的性质和通项公式进行分析。
数列的概念与性质
数列的概念与性质数列是数学中一种重要的数学概念，它是按照一定的规律排列的一串数的集合。
数列在数学和其他学科中有着广泛的应用，研究数列的概念与性质有助于我们深入理解数学的基础知识和思维方式。
本文将从数列的定义、性质和应用几个方面来探讨数列的概念与性质。
一、数列的定义数列是由一串按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
这里的规律可以是数之间的关系，也可以是数的特征，数列可以是有限的也可以是无限的。
数列通常用数学符号来表示，比如a₁, a₂, a₃, ... ，其中a₁表示数列的首项，a₂表示数列的第二项，a₃表示数列的第三项，以此类推。
二、数列的性质1. 首项和公差在等差数列中，首项通常表示为a₁，公差表示为d。
首项是数列中的第一个数，公差是数列中相邻两项之间的差值。
2. 等差数列等差数列是数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差数列的通项公式可以表示为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
3. 首项和公比在等比数列中，首项通常表示为a₁，公比表示为q。
首项是数列中的第一个数，公比是数列中相邻两项之间的比值。
4. 等比数列等比数列是数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比数列的通项公式可以表示为an=a₁ * q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比，n为项数。
三、数列的应用1. 数列在数学中的应用数列是数学中的重要概念，它在数学推理、计算和证明中起着重要的作用。
数列的性质和特点被广泛应用于各个数学领域，例如代数、几何、概率论等。
2. 数列在物理学中的应用数列在物理学中有广泛的应用。
例如在力学中，我们可以通过数列来描述物体的运动状态；在波动学中，数列可以用来表示波的幅度、频率等等。
3. 数列在经济学中的应用数列在经济学中有着重要的应用，比如经济增长模型中的经济指标的数列，它可以用来研究经济的变化趋势和规律。
4. 数列在计算机科学中的应用数列在计算机科学中也有着广泛的应用，比如在算法设计中，数列的递推关系可以用来设计出高效的算法；在数据结构中，数列可以被用来表示和处理数据。
数列基础知识归纳
必修5 数列础知识归纳一、数列的有关概念：1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ．(2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }．2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式；(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = ( 1)n =1,21()1,2n k k n k -=-⎧∈⎨=⎩Z ；(3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点．3．数列的分类：(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列．4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1nk k a =∑称为数列{a n }的前n 项和．要理解S n 与a n 之间的关系． 6．等差数列的定义：数 列数列的概念数列的定义数列的分类 数列的性质等差数列与等比数列等差数列与等比数列的概念等差数列与等比数列的性质 等差数列与等比数列的基本运算数列的求和倒序相加 错位相减裂项相消 其他方法数列应用一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的差等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 即：{a n }为等比数列 a n + 1 a n = d 2a n + 1 = a n + a n + 2 a n = kn + b S n = An 2+ Bn ．7．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q 0)，即：{a n }为等比数列 a n + 1 ：a n = q (q 0) 212n n n a a a ++=．注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 等差数列(AP ) 等比数列(GP ) 通项公式 a n = a 1 + (n 1)d a n = a 1q n 1 (a 1 0，q 0)前n 项和11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩性质 ①a n = a m + (n m )d ①a n = a m q n m②m + n = s + t ，则a m + a n = a s + a t ②m + n = s + t ，则a m a n = a sa t③S m ，S 2m S m ，S 3m S 2m ，…成AP ③S m ，S 2m S m ，S 3m S 2m ，…成GP(q 1或m 不为偶数)④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成AP ，d= md④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成GP ，q = q mn 2．三个数成等差的设法：a d ，a ，a + d ；四个数成等差的设法：a 3d ，a d ，a+ d ， a + 3d ；3．三个数成等比的设法：a /q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a /q 3，a /q ，aq ，aq 3 (为什么？)4．{a n }为等差数列，则{}na c (c > 0)是等比数列．5．{b n } (b n > 0)是等比数列，则{log c b n } (c > 0且c ≠1) 是等差数列．6．公差为d 的等差数列{a n }中，若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列． 7．等比数列{a n }中，若公比为q ，则(1) 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； (2) 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；(3) 当q < 0时为摆动数列； (4) 当q = 1时为常数列． 8．等差数列前n 项和最值的求法：(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值． (2) S n 最值的求法：① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n N *)；② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n N *)可如下确定：S n 最大值10n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或S n 最小值10n n a a +≤⎧⎨≥⎩)．三、常见数列通项的求法：1．定义法(利用AP ，GP 的定义)．2．累加法(a n + 1 a n = c n 型)：a n = a 1 + (a 2 a 1) + (a 3 a 2) + … + (a na n1) = a 1 + c 1 + c 2 + … + c n 1(n 2)． 3．公式法：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．4．累乘法(1n n na c a +=型)：a n = a 132121nn a a a a a a -⋅⋅⋅= a 1 c 1 c 2 … c n1(n 2)．5．待定系数法：a n + 1 = qa n + b (q 0，q 1，b 0)型，转化为a n + 1 + x = q (a n+ x )．可以将其改写变形成如下形式：a n + 1 +1bq -= q (a n +1b q -)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式． 6．间接法(例如：a n + 1 a n = 4a n + 1a n1114n na a +-=-)． 四、数列的求和方法：除化归为等差数列或等比数列求和外，还有以下一些常用方法：1．拆项求和法(a n = b n c n )：将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列等等)，然后分别求和．如a n = 2n + 3n ．2．并项求和法：将数列的相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)先求和，然后再求S n ．如“22222222123456(21)(2)n S n n =-+-+-++--”的求和．3．裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差，即a n = f (n + 1) f (n )，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项．用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：1111()()()n a An B An C C B An B An C==-++-++、1(1)n n +=1n 11n +、1()a b a ba b =--+等． 4．错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法．对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错位相减法．即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和：若a n = b n c n ，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列，则数列{a n }的求和运用错位相减法．记S n = b 1c 1 + b 2c 2 + b 3c 3 + … + b n c n ，则qS n = b 1c 2 + b 2c 3 + … + b n 1c n + b n c n +1，…如a n = (2n 1) 2n ．5．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项(k = 1，2，3，…，n )变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法． 注意：(1) “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中．(2) “错位”与“倒序”求和的方法是比较特殊的方法．(3) 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适的方法． (4) 重要公式：① 1 + 2 + … + n =12n (n + 1)； ② 12 + 22 + … + n 2 =16n (n + 1)(2n + 1)；③ 13+ 23 + … + n 3 = (1 + 2 + … + n )2 =14n 2(n + 1)2；*④ 等差数列中，S m + n = S m + S n + mnd ；*⑤ 等比数列中，S m + n = S n + q n S m = S m + q m S n ．五、分期付款(按揭贷款)：每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元，n 次还清，每期利率为b )．温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
数列知识点总结
数列知识点总结数列是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用及运用场景。
本文将对数列的基本概念、常见数列以及数列的性质和应用进行总结和归纳。
一、基本概念数列是按特定顺序排列的数，通常用字母a、b、c等表示。
数列中的每个具体的数称作数列的项，用an表示第n项，n为项号。
数列可以是有限个数或者无穷个数。
二、等差数列等差数列是指数列的相邻两项之差固定的数列。
设a为首项，d为公差，则等差数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。
其中，n为项号。
等差数列的性质如下：1. 公差d是等差数列的一个重要概念，它表示相邻两项之间的差值。
如果d>0，则数列递增；如果d<0，则数列递减。
2. 等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = n/2 * (a + an)。
3. 若两个数列的公差相同，则称它们为等差数列。
三、等比数列等比数列是指数列的相邻两项之比固定的数列。
设a为首项，q为公比，则等比数列的通项公式为an = a * q^(n - 1)。
其中，n为项号。
等比数列的性质如下：1. 公比q是等比数列的一个重要概念，它表示相邻两项之间的比值。
如果|q|>1，则数列递增；如果|q|<1，则数列递减。
2. 等比数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。
3. 若两个数列的公比相同，则称它们为等比数列。
四、等差数列与等比数列的联系与区别1. 等差数列的相邻两项之差固定，等比数列的相邻两项之比固定。
2. 等差数列的通项公式an = a + (n - 1)d，等比数列的通项公式an =a * q^(n - 1)。
3. 等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = n/2 * (a + an)，等比数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。
五、特殊数列1. 斐波那契数列是指第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
数列的概念和性质
数列的概念和性质数列（Sequence）是数学中一个重要的概念，指按照特定顺序排列的一组数的集合。
数列可分为有穷数列和无穷数列两种。
具体而言，数列的概念和性质如下所述：一、数列的概念数列是按照特定规律排列的一组数的有序集合。
数列常用字母表示，如a₁,a₂,a₃,…,aₙ，其中的a₁、a₂、a₃等分别表示数列的第1、2、3个元素，而aₙ表示数列的第n个元素。
数列中的每个元素都有其独立的位置和值。
根据数列的特点，数列可以分为等差数列、等比数列和等差数列的一般形式。
二、等差数列的性质等差数列（Arithmetic Progression）指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d，该常数称为该等差数列的公差（Common Difference）。
等差数列的性质如下：1. 通项公式：等差数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
2. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可表示为Sn = n/2(a₁ + an) = n/2(2a₁ + (n-1)d)，其中a₁为首项，an为末项，n为项数。
3. 等差中项：等差数列中两个相邻的项的平均值称为等差数列的中项，若n为奇数时，中项可表示为an/2 +1 = a₁ + (n/2-1)d；若n为偶数时，中项可表示为aₙ/2 = a₁ + (n/2-0.5)d。
三、等比数列的性质等比数列（Geometric Progression）指数列中的每一项与前一项的比等于同一个非零常数q，该常数称为该等比数列的公比（Common Ratio）。
等比数列的性质如下：1. 通项公式：等比数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ *q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
2. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可表示为Sn = a₁(q^n -1) / (q - 1)，其中a₁为首项，q为公比。
四、等差数列和等比数列的一般形式在实际问题中，数列的规律未必只符合等差或等比的特性。
基础数列知识点归纳总结
基础数列知识点归纳总结在学习数列的过程中，我们需要掌握数列的基本概念、常见的数列类型、数列的性质以及求解数列的方法等知识。
下面我们来归纳总结一下数列的基础知识点。
一、数列的基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用an表示第n项。
数列的项数可能是有限个，也可能是无限个。
1. 有限数列：数列的项数是有限个的，可以用一个有限个项的列表表示出来。
例如：1, 3, 5, 7, 92. 无限数列：数列的项数是无限个的，无法用有限个项的列表表示出来。
例如：1, 2, 3, 4, ...二、常见的数列类型数列根据其递推规律的不同，可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1. 等差数列如果一个数列中任意相邻两项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的递推公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例如：1, 3, 5, 7, 9 是一个公差为2的等差数列。
2. 等比数列如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
例如：2, 6, 18, 54, 162 是一个公比为3的等比数列。
3. 其他特殊数列除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，例如：斐波那契数列、调和数列、几何级数等。
三、数列的性质1. 数列的有界性数列中的项是否有界，与数列的性质密切相关。
有界数列指的是数列中的项都在一定的范围内，可以是上界和下界。
2. 数列的求和公式对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算数列的前n项和。
等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，等比数列的求和公式为：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
3. 数列的极限性质对于无限数列，我们可以关注它的极限性质。
当n趋向于无穷大时，数列的极限值将是一个重要的性质，它可以帮助我们理解数列的最终发展趋势。
数列基础 知识点总结
数列基础知识点总结一、概念及基本性质1. 什么是数列数列是按照一定的顺序排列的一组数，这些数依次排列在一条直线上，每个位置都有一个数与之对应。
一般用a1, a2, a3,...an表示数列的各个元素，其中ai称为数列的项，i称为项的序号。
2. 数列的概念数列中的每一个数称为数列的项，这些项的次序具有规律性，规律性可以通过公式、图形、语言等方式来表示。
3. 数列的基本性质数列中的数可以是有限个也可以是无限个。
数列中的数包括有序数列和无序数列。
有序数列又包括等差数列、等比数列、等比对数数列、斐波那契数列等。
二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，如果an的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
3. 等差数列的前n项和公式对于等差数列{an}，其前n项和为Sn=n(a1+an)/2。
4. 等差数列的性质（1）等差数列的前两项和后两项等于同一个数。
（2）等差数列的前后两项相等。
（3）等差数列的和的公式Sn=n(a1+an)/2。
5. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有很多应用，比如金融领域的利息计算、交通领域的运输成本计算等。
三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式对于等比数列{an}，如果an的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
3. 等比数列的前n项和公式对于等比数列{an}，如果q≠1，则其前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；如果q=1，则Sn=na1。
4. 等比数列的性质（1）等比数列的前后两项比相等。
（2）等比数列的和的公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
（3）等比数列的连乘公式Πn=a1q^(n-1)。
数列的性质与应用知识点总结
数列的性质与应用知识点总结数列是数学中常见且重要的概念之一。
通过对数列的性质与应用进行总结和学习，我们可以更好地理解和运用数学知识。
本文将对数列的性质和应用进行详细的总结和讨论。
一、数列的定义和常见性质数列是按照一定规律排列的一组数。
一般用a1, a2, a3, …, an表示。
其中，a1是数列的首项，an是数列的第n项。
1. 等差数列：数列中相邻的两项之差保持不变，这个差值称为公差。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：数列中相邻的两项之比保持不变，这个比值称为公比。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：数列中每一项都等于前两项之和，可以表示为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
数列的性质：1. 数列的奇偶性：若数列中每一项都是整数，可以根据首项的奇偶性判断所有项的奇偶性。
2. 数列的有界性：数列可能有上界（最大值）和下界（最小值），也可能无界。
3. 数列的单调性：根据相邻两项的大小关系，可以判断数列是递增还是递减。
4. 数列的极限：数列可能会趋向于某个值，这个值就是数列的极限。
二、数列的应用1. 数列的求和数列的求和是数列中常见的应用之一。
对于等差数列，可以利用求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2进行求和。
对于等比数列，可以利用求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)进行求和。
2. 数列在几何问题中的应用等差数列可以应用于一些几何问题中。
例如，等差数列可以用来计算等差数列中的项数，或者确定某一项的值。
此外，等差数列还可以应用于计算等差数列中的中项，用于解决一些与长度、面积相关的问题。
3. 数列在金融领域的应用数列在金融领域中有广泛的应用。
在复利计算中，等比数列可以用来计算未来某一时刻的资金价值。
而在投资组合管理中，数列可以用于计算投资组合的价值变化，以及对未来的投资进行预测。
数列复习基本知识点归纳与总结
数列基本知识点归纳与总结一、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项a n-1（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++= (3)21.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n=⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).（1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
高二数列知识点总结归纳
高二数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念之一，它由一系列按照规律排列的数构成。
在高二数学学习中，数列是一个重要的基础知识点，涉及到等差数列、等比数列、递推公式等多个方面。
本文将对高二数列知识点进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值保持恒定的数列。
其通项公式为An = A1 + (n - 1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
1. 求和公式：Sn = (n/2)(A1 + An)，其中Sn为前n项和。
2. 差分公式：An - An-1 = d，表示等差数列中相邻两项之间的差值为常数d。
3. 给定首项和公差的情况下，可以使用递推公式An = An-1 + d来求解等差数列的任意项。
4. 等差数列的性质：任意项的平均值等于首项与末项的平均值。
例题：给定等差数列的首项A1 = 2，公差d = 3，求该数列的前6项和。
解析：根据求和公式Sn = (n/2)(A1 + An)，代入已知条件可得Sn = (6/2)(2 + A6)。
由递推公式An = An-1 + d，可以得到A6 = A5 + d = A4+ 2d = A3 + 3d = A2 + 4d = A1 + 5d。
将A6代入Sn的公式中，即可求得该数列的前6项和。
二、等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值保持恒定的数列。
其通项公式为An = A1 * r^(n - 1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
1. 求和公式：当|r| < 1时，Sn = (A1 - An * r) / (1 - r)，当|r| > 1时，Sn = (A1 * r^n - An) / (r - 1)。
2. 对于公比为1的等比数列，其通项公式简化为An = A1。
3. 给定首项和公比的情况下，可以使用递推公式An = An-1 * r来求解等比数列的任意项。
4. 等比数列的性质：相邻两项的比值为常数r。
基础数列知识点总结初中
基础数列知识点总结初中一、数列的概念数列是按照一定的规律排列起来的一组数，数列中的每一个数称为数列的项。
数列中的项的排列顺序是有规则的，这一规则可以用一个或几个变数表示。
数列是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
二、等差数列1. 等差数列定义等差数列是指一个数列中任意相邻两项的差都相等的数列。
这个相等的数就是公差，设为d。
等差数列的一般形式：a₁，a₁＋d，a₁＋2d，a₁＋3d，……其中，a₁为首项，d为公差。
2. 等差数列通项公式等差数列的通项公式为：a_n = a₁ + (n-1)d其中，n为项数，a_n为数列的第n项，a₁为首项，d为公差。
3. 等差数列前n项和等差数列的前n项和公式为：S_n = 1/2 * n * (a₁ + a_n)，其中a₁为首项，a_n为第n项。
4. 等差数列的性质⑴等差数列中任意三项都满足中项的概念，即中项等于首项与末项的平均数。
⑵等差数列前n项和与项数n的乘积之和等于项数n的平方。
三、等比数列1. 等比数列定义等比数列是指一个数列中任意相邻两项的比都相等的数列。
等比数列的一般形式：a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，……其中，a₁为首项，q为公比。
2. 等比数列通项公式等比数列的通项公式为：a_n = a₁ * q^(n-1)其中，n为项数，a_n为数列的第n项，a₁为首项，q为公比。
3. 等比数列前n项和等比数列的前n项和公式为：S_n = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)4. 等比数列的性质⑴等比数列中任意三项都满足中项的概念，即中项等于首项与末项的平方根。
⑵等比数列前n项和与项数n的乘积之和等于项数n的平方乘以公比减1的商。
四、常见数列1. 等差数列和等比数列的区别等差数列和等比数列的区别在于相邻项的关系，等差数列是每一项与前一项的差相等，等比数列是每一项与前一项的比相等。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是指这样的数列：1，1，2，3，5，8，13，……它的前两项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
数列的定义与性质
数列的定义与性质数列是数学中的一个重要概念，它在许多不同的数学领域和实际问题中都有广泛的应用。
本文将从数列的定义与性质两个方面进行阐述。
一、数列的定义数列是一组按照一定顺序排列的数，可以用符号$a_n$表示。
其中，$n$表示数列中的第几个数，$a_n$表示数列中第$n$个数的值。
例如，一个数列$\{a_n\}$可以表示为$a_1, a_2, a_3, \dots$。
数列可以通过以下几种方式来定义：1. 显式定义：指定数列中每一项的表达式。
例如，数列$\{a_n\}$的显式定义为$a_n = n^2$，表示数列的第$n$项等于$n$的平方。
2. 递推定义：指定数列中第一项和数列通项与前一项的关系。
例如，数列$\{a_n\}$的递推定义为$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2$，表示第$n+1$项等于第$n$项再加2。
二、数列的性质数列具有许多重要的性质，其中包括有界性、单调性、通项公式等。
1. 有界性：数列可以是有界的，即数列中的数存在上界或下界，也可以是无界的，即数列中的数没有上界或下界。
例如，数列$\{a_n\}$的定义为$a_n = \frac{1}{n}$，这个数列是有界的，因为所有的数都大于0且小于等于1。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，即数列中的每一项都比前一项大；也可以是单调递减的，即数列中的每一项都比前一项小；还可以是非单调的，即数列中的数大于或小于前一项，但不满足单调递增或递减。
例如，数列$\{a_n\}$的定义为$a_n = n$，这个数列是单调递增的。
3. 通项公式：数列可以通过通项公式来表示。
通项公式是数列中第$n$项的表达式，可以通过该公式计算数列中任意一项的值。
例如，数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n-1$，表示数列的第$n$项等于$2n-1$。
除了上述性质外，数列还具有其他一些特殊的性质，如等差数列和等比数列。
等差数列是指相邻两项的差值恒定的数列，可以通过差值来得到数列的通项公式。
数列基础知识点和方法归纳
数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-，推论公式：等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+,等差数列前n 项和：()()11122n na a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等 （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，； （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=； （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇， .1-=n n S S 偶奇2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.推论公式：等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy=±.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前n 项和公式：性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结数学中，数列是一系列按照特定顺序排列的数。
数列在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。
理解和掌握数列的性质和特点，对于解决数学问题和应用数学于实际生活中具有重要意义。
本文将对数学数列相关的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用数列。
一、数列的定义和分类数列是指按一定顺序排列的数的集合。
根据数列的性质和特点，可以将数列分为等差数列、等比数列、递增数列、递减数列等。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。
等差数列可以用公式an = a1 + (n - 1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。
等比数列可以用公式an = a1 * r^(n - 1)来表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3. 递增数列：递增数列是指数列中每一项都比前一项大的数列。
4. 递减数列：递减数列是指数列中每一项都比前一项小的数列。
二、数列的性质和运算了解数列的性质和运算规则，对于推导和计算数列的各种问题具有重要作用。
1. 数列的通项公式：数列的通项公式是指用一个公式来表示数列的每一项。
根据数列的性质和规律，可以通过观察和推导得到数列的通项公式。
2. 数列的前n项和：数列的前n项和是指数列中前n项的和。
对于等差数列、等比数列以及其他一些特殊数列，可以通过一定的方法得到前n项和的表达式。
3. 数列的运算：数列之间可以进行加法、减法和乘法运算。
对于等差数列和等比数列，可以通过运算得到新的数列，便于求解特定问题。
三、数列在实际问题中的应用数列在实际问题中的应用非常广泛，可以帮助解决各种计数、推导和预测等问题。
1. 数列的应用于数学问题：数列可以用于解决各种与数学相关的问题，如计数问题、排列组合问题、函数图像的刻画等。
2. 数列的应用于自然科学：数列在自然科学中的应用也非常广泛，可以用于描述自然界中一些变化的规律，如物种数量的变化、天体运动的轨迹等。
初中数学数列基础知识
初中数学数列基础知识数列是数学中常见且重要的概念之一，它是按一定顺序排列的一组数的集合。
在初中数学中，数列是一个重要的基础知识点。
本文将介绍数列的基本概念及其常见类型，帮助初中生理解和掌握数列的基础知识。
一、数列的概念数列是由一系列有序的数字按照一定规律排列而成的集合。
其中每个数字称为数列的项，用a₁，a₂，a₃，...，aₙ表示，其中a₁为首项，a₂为次项，aₙ为末项，n为项数。
数列可以用大括号{}表示，例如：{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}。
二、数列的分类根据数列的性质和规律，数列可以分为等差数列、等比数列和斐波那契数列等多种类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
其中，两个相邻项的差称为公差，用d表示。
等差数列的通项公式为an= a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
其中，两个相邻项的比值称为公比，用q表示。
等比数列的通项公式为an = a₁ * q⁽ⁿ⁻¹⁾，其中a₁为首项，q为公比，n为项数。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
即a₁ = a₂ = 1，an = aₙ₋₁ + aₙ₋₂，其中n≥3。
三、数列的性质与运算数列有其一些特定的性质和运算，包括前n项和、数列的平均数等。
1. 前n项和数列的前n项和表示数列从第一项到第n项的和，常用Sn表示。
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a₁ + aₙ)，其中n为项数，a₁为首项，aₙ为末项；等比数列的前n项和公式为Sn = a₁* (1-qⁿ)/(1-q)，其中n为项数，a₁为首项，q为公比。
2. 数列的平均数数列的平均数是指数列中各项的平均值。
对于等差数列来说，平均数即为首项与末项的平均值；对于等比数列来说，平均数为各项的几何平均数。
数列知识点总结佟硕
数列知识点总结佟硕1. 数列的概念与定义首先，让我们来了解一下数列的概念和定义。
数列是由一系列的数按照一定的顺序排列而成的。
按照数的个数可以分为有限数列和无限数列。
而按照规律性质又可以分为等差数列、等比数列、等差数列的求和、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等。
2. 数列的性质数列有许多重要的性质，我们来对部分性质进行总结：（1）数列的有界性：有界数列是指数列中的数在某个范围内有最大或最小值。
无界数列则是指数列中的数无界，数列没有首项和末项之分，且数列中的数可以比如增大或减小。
（2）数列的单调性：单调数列是指数列中的数按照一定的规律递增或递减。
（3）数列的性质：数列中的数按照一定的规律排列，数列的规律性对数列的研究和应用至关重要。
3. 常见的数列类型（1）等差数列：等差数列是指数列中相邻的两项之差是一个常数的数列，常数称为公差。
例如，1，3，5，7，9，11 … 就是一个公差为2的等差数列。
（2）等比数列：等比数列是指数列中相邻的两项之比是一个常数的数列，这个常数称为公比。
例如，1，2，4，8，16，32 … 就是一个公比为2的等比数列。
（3）斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的定义是：第一项为1，第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
例如，1，1，2，3，5，8，13，21，34 …4. 数列的应用数列不仅在数学中有重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
以下是数列在生活中的一些具体应用：（1）金融领域：银行的利息计算、贷款还款、投资收益等都涉及到数列和级数的计算。
（2）物理领域：运动学中对物体的运动轨迹、速度、加速度等的分析也会用到数列的知识。
（3）经济领域：对于经济增长率、收入增长率等的预测和分析中也需要用到数列的知识。
5. 数列的研究方法数列的研究方法主要包括：根据已知数列的性质来求解，运用数列的性质和公式进行计算、利用递推关系来求解等。
对于不同类型的数列，我们可以采用不同的方法来进行研究和分析。
数列基础知识点和方法归纳
数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），，推论公式： ，等差中项：成等差数列,等差数列前项和： 性质：是等差数列（1）若，则（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为； （4）若是等差数列，且前项和分别为，则； （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数n 2的等差数列，有1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ，，2A x y ⇔=+n ()()11122n n a a n n n S nad +-==+{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+；232n n n n n S S S S S --，，……a d a a d -+，，n n a b ，n n n S T ，2121m m m m a S b T --={}n a 2n S an bn ⇔=+a b ，n n S 2n S an bn =+{}n a 100a d ><，100n n a a +≥⎧⎨≤⎩n S n 100a d <>，100n n a a +≤⎧⎨≥⎩n S n {}n and S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇， .1-=n n S S 偶奇 2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.推论公式：且等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前n 项和公式：性质：是等比数列（1）若，则(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。
初中数学数列知识点总结
初中数学数列知识点总结数列是数学中一个重要的概念，它在初中数学中占有重要地位。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在初中数学中，我们需要学习数列的概念、常见类型以及相关的性质和运算规律。
本文将对初中数学数列的知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、数列的概念与常见类型1. 数列的概念：数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以用数学符号表示为{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}，其中a₁, a₂, a₃, ...为数列的项，n为项数。
2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差是一个常数。
常数称为公差。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
3. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比是一个常数。
常数称为公比。
等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n - 1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。
4. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项是1，后面的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列具有许多有趣的性质和应用。
二、数列的性质和运算规律1. 通项公式：数列的通项公式是一个能够根据项数n来计算数列中第n项的公式。
通过找到数列的通项公式，我们可以快速计算数列中的任意项。
2. 首项、末项和项数：首项是数列中的第一项，末项是数列中的最后一项，项数是数列中的项的总数。
3. 数列求和：数列求和是指求出数列中所有项的和。
对于等差数列，求和公式为Sn = (a₁ + an) * n / 2；对于等比数列，求和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示数列的和。
4. 数列的递推关系：数列的递推关系是指通过前一项或前几项计算出后一项的关系。
对于等差数列，递推关系为an = an-1 + d；对于等比数列，递推关系为an = an-1 * r。
5. 数列图形和图像：数列可以通过图形和图像表示出来，帮助我们更直观地理解和分析数列的性质和规律。
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等 差 数 列一、基本公式1.等差数列的通项公式是：已知a 1和公差d ，则有 d n a a n )1(1-+=， 已知a m 和公差d ，则有 a n =a m +(n-m)d (m,n ∈N +)； 已知n S 的函数式，则有 11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩2.前n 项和公式是：2)(1n n a a n S +=；n S =d n n na )1(211-+； n S 211()22d n a d n =+-二、等差数列的主要性质已知{a n },{b n }为等差数列，则：(1){ka n },{ka n +c},{a n +b n }, (k,c 为常数)等仍成等差数列；(2) 若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
即： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ， 特别地：2a n =a n-m +a n+m ; （3）等差数列“间隔相等的连续等长片断和”组成的数列仍是等差数列。
（如：a 1+a 2+a 3, a 5+a 6+a 7, a 9+ a 10+ a 11…仍是等差数列）（4）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ （5）设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质： ○1前n 项的和偶奇S S S n += ○2当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； ○3当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ， ④中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n （其中中a 是等差数列的中间一项）。
⑤若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a 。
（6）判断数列为等差数列的充要条件I ）数列{}n a 成等差数列的充要条件是a n+1－a n =d(常数d 为公差) II ）数列{}n a 成等差数列的充要条件是112-++=n n n a a aIII ）数列{}n a 成等差数列的充要条件是a n =dn+c(d,c 为常数，n ∈N) IV ）数列{}n a 成等差数列的充要条件是S n =an 2+bn(a,b 为常数，n ∈N)等比数列一、基本公式1.等比数列的通项公式是：已知a 1和公比q ，则有11-=n n q a a (n ∈N) 已知a m 和公比q ，则有a n =a m q n-m (m,n ∈N +)已知n S 的函数式，则有 11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩2.等比数列的前n 项和公式是：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn ；⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1(11q q q a a q na S n n二、等比数列的主要性质：已知{a n },{b n }为等比数列，则：（1）{ka n },{a n k},{a n b n },(k ≠0,k 为常数)等仍成等比数列；（2） 若q p m n +=+则a m ·a n =a p ·a q ; 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 特别地：a n 2=a n-m ·a n+m ; （3）等比数列“间隔相等的连续等长片断和或积”组成的数列仍是等比数列。
（如：a 1+a 2+a 3, a 5+a 6+a 7, a 9+ a 10+ a 11…仍是等比数列）（4）若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。
如下图所示：（5）在等比数列{a n }中，n 为偶数时，S 偶/S 奇=q ；n 为奇数时，(S 奇-a 1)/S 偶 = q.（6）判断数列为等比数列的充要条件 I ）数列{}n a 成等比数列的充要条件是n1n a a +=q (q 为常数) II ）数列{}n a 成等比数列的充要条件是112-+⋅=n n n a a a三、解题思想1、方程意识：等差（比）数列中共涉及到五个量：1a ，n a ，n ，d （q ），n S 。
知三求二。
2、整体意识；性质（4）、（5）的应用。
3、分段意识：参看性质（2）、（3）。
4、猜想意识：通项公式的猜想。
5、特值意识；应用特殊数列。
如：常数数列，自然数列等。
四、常用设法。
三个数成等差数列可写成：a-d, a, a+d 三个数成等比数列可写成：qa,a,aq 四个数成等比数列可写成：3qa 、q a 、aq 、aq 3kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++五、数列求和数列求和是中学数学中规律性很强的一部分内容，本单元主要让学生掌握数列求和的常用方法。
注：常用到的一个数列求和公式：6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；3)12)(12()12(5312222+-=-++++n n n n4)1(321223333+=++++n n n求数列的前n 项和S n ，通常要掌握以下解法：1. 倒序相加法求和：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。
[例] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ① 将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 2、错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法。
即：求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n ∴ 1224-+-=n n n S3.分组转化法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得 S n ＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2)2()1(2++n n n4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消方法。
如：111)1(1+-=+=n n n n a n[例] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n5.利用常用求和公式求和。