高中数学 第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线章末小结课件 新人教B版选修4-1.pptx

影相等．
(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个
平面内的正投影垂直．
(3)一条斜线和它在平面内的正投影所成的锐角是这条斜线
和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角．
(4)若点 P 到△ABC 三边所在的直线的距离相等，则点 P 在
平面 ABC 内的正投影是△ABC 的内心．
其中，正确的命题是
知识体系构建
第
章末
二
小结
章
高频考点例析 阶段质量检测
考点一 考点二
1
2
3
平行投影 平行投影关键在于注意角度的变换及运动变化和发展的 观点的应用，并由此来处理有关图形的投影问题．如一个圆 在平面上的平行投影可能是一个圆，一个椭圆或者是一条线 段，但是由于缺乏具体的量的关系，我们对所成的椭圆不能 做出具体的量的关系．将圆与平面立体化就形成了平面与圆 柱的截面问题．
角均相等，又 PA 与 BC 垂直，那么△ABC 的形状可能是 ________． ①正三角形 ②等腰三角形 ③非等腰三角形 ④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上)
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解析：设点 P 在底面 ABC 上的正投影为 O，由 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成角均相等，得 OA＝OB＝OC，即点 O 为△ABC 的外心，又由 PA⊥BC，得 OA⊥BC，得 AO 为△ABC 中 BC 边上的高线，所以 AB＝AC，即△ABC 必为等腰三角形，故应 填①②④. 答案：①②④ 6．两个大小不等的球相交，交线为________． 答案：圆
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[例 1] 已知△ABC 的边 BC 在平面 α 内，A 在平面 α 上 的正投影为 A′(A′不在边 BC 上)．当∠BAC＝60°时、AB、 AC 与平面 α 所成的角分别是 30°和 45°时，求 cos∠BA′C.
[解] 由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°. 设 AA′＝1，则 A′B＝ 3，A′C＝1，AC＝ 2，AB＝2，
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一、选择题
1．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的正投影垂直，则这
条直线与这条斜线的位置关系是
()
A．垂直
B．异面
C．相交
D．不能确定
解析：当这条直线在平面内时，则 A 成立，当这条直线是
平面的垂线，则 B 或 C 成立，故选 D.
答案：D
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2．在空间，给出下列命题：
(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面内的正投
()
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A．(3)
B．(3)(4)
C．(1)(3)
D．(2)(4)
解析：由平行投影的性质知，当两条线段与平面所成的角
相等时，才有(1)正确，在(2)中这条直线在平面外时不正确， (3)显然正确；(4)中 P 点有可能是△ABC 的旁心．
答案：A
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3．一平面截圆锥面的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴的两端
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过 P 作圆柱面的母线，与两个球分别相交于 K1、K2 二点， 则 PK1、PK2 分别为两个球的切线，切点为 K1、K2. 由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2. 所以有 PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2. 由于 AD 为定值且 AD>F1F2，故点 P 的轨迹为椭圆．
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[例 2] 如图所示，用一个平面分别与球 O1、O2 切于 F1、 F2，截圆柱面于 G1、G2 点，求证所得的截面为椭圆．
[证明] 如图所示由平面图形的性质可知， 当点 P 与 G1 或 G2 重合时， G2F1＋G2F2＝AD， G1F1＋G1F2＝AD. 当 P 不与 G1、G2 重合时， 连接 PF1、PF2， 则 PF1、PF2 分别是两个球面的切线，切点分别为 F1、F2.
D． 3
解析：取 BC 的中点 D，连接 AD，OD，则∠ADO 为二面
角的平面角，∠ADO＝30°，
SS△△BAOBCC＝OADD＝cos30°＝ 23，又 S△ABC＝ 3， ∴S△BOC＝32. 答案：B
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二、填空题 5．P 为△ABC 所在平面外一点，PA、PB、PC 与平面 ABC 所成
1－cos2∠ASP
＝
1－2
5
52＝
5 5.
5 ∴椭圆离心率 e＝ccooss∠∠BAPSHP ＝2 5 5＝12.
5 答案：C
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4．边长为 2 的等边三角形所在平面与平面 α 所成的角为 30°，
BC⊂α，A 在 α 内的正投影为 O，则△BOC 的面积为( )
3 A. 2
B．32
3 C. 4
∴BC＝
4＋2－2·2· 2·12＝ 6－2 2，
cos∠BA′C＝3＋12－63＋·1 2
2＝
6－ 3

3 .
5
圆柱面、圆锥面的平面截线
(1)由两个等圆的内公切线与两条外公切线的交点，切点之 间的量的关系具体化，就可以得到相应的数量关系，将其进一 步拓广到空间之中就得到了平面与圆柱的截面问题．
(2)在平面中：由与等腰三角形的两条腰的交点问题进一步 推广到空间中的平面与圆锥面的交线问题所采用的方法与以前 的平行投影和平面与圆柱面的截面问题相同．从不同的方向不 同的位置用平面去截圆锥面，其截面的形状不同，由此我们可 以得到定理，并可以利用 Dandelin 双球对定理的结论进行证明 和研究其特点．
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7．在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝π2.则 PA 与底面 ABC 所成角为________． 解析：P 在底面 ABC 的正投影为 BC 中点 D，设 PA＝PB ＝PC＝2，则 PD＝ 3，AP＝2，∴∠PAD＝π3.
答案：π3
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8．一圆柱面底半径为 2，一截面与轴成 60°，从割平面上、下放 入圆柱面的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切 点的距离等为________． 解析：由已知可知截线为一个椭圆，并且其长轴长为
点到圆锥顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为( )
A.35
B．45
1 C.2
D．
2 2
解析：如图为圆锥面的轴截面，则 AB＝8，SA＝6，SB＝
10，
∴∠SAB＝90°，
∴cos∠ASB＝35，
12
∴cos∠ASP＝cos∠A2SB＝
1＋cos∠ASB 2
＝
1＋2 35＝2
5
5 .
∴cos∠BPH＝sin∠ASP＝
2a＝cos430°＝
4 ＝8 3
3
3，短轴长为
2b＝2×2＝4，
2
所以 2c＝ 2a2－2b2＝