两个变量相关关系的强与弱

两个变量相关关系的强与弱

我们知道，两个变量x 、y 正（负）相关时，它们就有相同（反）的变化趋势，即当x 由小变大时，相应的y 有由小（大）变大（小）的趋势，因此可用回归直线来描述这种关系。有的同学可能会问：如何描述x 和y 之间的这种线性关系的强弱？例如，物理成绩与数学成绩正相关，但数学成绩能够在多大程度上决定物理成绩？这就是相关强弱的问题。类似的还有，父母身高与子女身高的正相关强度，农作物的产量与施肥量的正相关强度等。下面我们就来讨论一下这个问题。

在统计学中常用r 来描述线性相关程度，我们将其称为相疾系数。若相关变量x 的取值x i ，变量y 的观测值为y i （1≤i≤n ），则两个变量的相关系数的计算公式为：

()()

n

i

i

x x y y r --=

∑

即：

n

i i

x y nx y

r -=

∑当r>0时，y 与x 正相关，当r<0时，y 与x 负相关，可以证明|r|≤1。|r|越接近1，线性相关程度越高；|r|越接近于0，线性相关程度越低。

（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高。 解：（1）x =66.8,y =67.01,

10

2

1i

i x

=∑=44794,

10

2

1

i

i y

=∑=44941.93,

x y ≈

4476.27,2x =4462.24,2

y ≈4490.34,

10

1

i i

i x y =∑=44842.4

所以，

10

10i i

x y x y

-∑0.9801

又可查得r 0.05=0.632，r> r 0.05

所以，y 与x 之间具有线性相关关系。

（2）设回归直线方程为y=bx+a

由b=

10

1

102

2

1

10

10

i i

i

i

i

x y x y

x x

=

=

-

-

∑

∑

≈0.4645

a=y-b x≈35.98

故所求的回归直线方程为y=0.4645x+35.98 （3）