【精品】2019版高考数学一轮复习课时规范练函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版
2019届高三数学(理)人教版一轮训练：第三篇第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第5节函数y=Asin(ωx+ )的图象及应用【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·山西月考)设k∈R,则函数f(x)=sin(kx+)+k的部分图象不可能是( D )解析:k=0时,y=,图象为A,A正确;k=2时,f(x)=sin(2x+)+2,图象为B,B正确;k=-1时,f(x)=sin(-x+)-1,图象为C,C正确;k=1时,f(x)=sin(x+)+1,x∈(0,),函数单调递增,D不正确.故选D.2.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( D )(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2解析:因为sin(2x+)=cos[-(2x+)]=cos(2x+).因此可以先将y=cos x即C1上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,变为y=cos 2x,再将y=cos 2x向左平移个单位得到y=cos[2(x+)]=cos(2x+).故选D.3.(2017·江西鹰潭一模)函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(x∈R)(ω>0,|ϕ|<)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( C )(A) (B) (C) (D)1解析:由题图知,T=2×(+)=π,所以ω=2,因为函数的图象经过(-,0),则0=sin(-+ϕ),因为|ϕ|<,所以ϕ=,所以f(x)=sin(2x+),令2x+=+kπ,k∈Z,取k=0得y轴右边第一条对称轴x=.由f(x1)=f(x2)得x1+x2=2×=,所以f(x1+x2)=sin=.故选C.4.(2017·安徽蚌埠一模)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)的图象上相邻两个最高点的距离为π.若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则函数f(x)的解析式为( C )(A)f(x)=2sin(x+)(B)f(x)=2sin(x+)(C)f(x)=2sin(2x+)(D)f(x)=2sin(2x+)解析:因为函数的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以函数最小正周期T==π,即ω=2,即f(x)=2sin(2x+ϕ),将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得,f(x)=2sin[2(x+)+ϕ]=2sin(2x++ϕ),由f(x)=2sin(2x++ϕ)的图象关于y轴对称,得+ϕ=+kπ,k∈Z,即ϕ=+kπ,k∈Z,因为0<ϕ<π,所以当k=0时,ϕ=,即f(x)=2sin(2x+),故选C.5.导学号 38486088已知函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上的最小值为-2,则ω的取值范围是( D )(A)(-∞,-]∪[6,+∞)(B)(-∞,-]∪[,+∞)(C)(-∞,-2]∪[6,+∞)(D)(-∞,-2]∪[,+∞)解析:法一当ω>0时,-ω≤ωx≤ω,由题意知-ω≤-,即ω≥;当ω<0时,ω≤ωx≤-ω,由题意知ω≤-,所以ω≤-2.综上可知,ω的取值范围是(-∞,-2]∪[,+∞).故选D.法二ω=时,f(x)在[-,]上单调递增,f(x)的最小值为f(-)=-2,符合题意,排除A,C.ω=-2时,f(x)在[-,]上最小值为-2,符合题意,排除B.故选D.6.(2017·广东汕头三模)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其初始位置为A0(,),12秒旋转一周,则动点A 的纵坐标y关于时间t(单位:秒)的函数解析式为( C )(A)y=sin(t+) (B)y=cos(t+)(C)y=sin(t+) (D)y=cos(t+)解析:设y关于t的函数为y=sin(ωt+θ),因为12秒旋转一周,所以T==12,所以ω=,因为当t=0时,初始位置为点A0(,),将该点代入,得到θ=,所以y=sin(t+),故选C.7.(2017·广西玉林一模)为了得到函数y=cos 2x的图象,可以将函数y=sin 2x+cos 2x的图象至少向左平移个单位.解析:将函数y=sin 2x+cos 2x=cos(2x-)的图象向左平移个单位,可得到函数y=cos[2(x+)-]=cos 2x的图象.答案:8.(2017·广东潮州二模)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<)的部分图象如图所示,则f(x)= .解析:由题图知A=2,又=-(-)=,故T=π,所以ω=2.又因为点(-,-2)在函数图象上,可得-2=2sin[2×(-)+ϕ],所以可得-×2+ϕ=2kπ- (k∈Z),所以ϕ=2kπ- (k∈Z),又因为|ϕ|<,所以ϕ=-,所以f(x)=2sin(2x-).答案:2sin(2x-)能力提升(时间:15分钟)9.(2017·四川乐山三模)设偶函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为( D )(A)-(B)-(C)- (D)解析:因为△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A=,T=2,由T=,得ω=π,函数f(x)是偶函数,0<ϕ<π,所以ϕ=,所以函数的解析式为f(x)= sin(πx+),所以f()=sin(+)=.故选D.10.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+ϕ)(t≥0,ω>0,|ϕ|<).则下列叙述错误的是( C )(A)R=6,ω=,ϕ=-(B)当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6(C)当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减(D)当t=20时,|PA|=6解析:由题意,R==6,T=60=,所以ω=,t=0时,点A(3,-3)代入可得-3=6sin ϕ,因为|ϕ|<,所以ϕ=-,故A正确;f(t)=6sin(t-),当t∈[35,55]时,t-∈[π,π],所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;当t∈[10,25]时,t-∈[π,],函数y=f(t)先增后减,C不正确; 当t=20时,t-=,P的纵坐标为6,|PA|==6,D正确.故选C.11.(2017·江西一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(0<ϕ<π)的图象如图所示,若f(x0)=3,x0∈(,),则sin x0的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由函数的图象可得A=5,且=π-=π,所以T=2π,所以ω=1.由题图可得sin(+ϕ)=1,又因为0<ϕ<π,所以ϕ=,故函数的解析式为 f(x)=5sin(x+).再由f(x0)=3,可得5sin(1·x0+)=3,解得 sin(x0+)=,又因为x0∈(,π),所以x 0+∈(,π),故有cos(x0+)=-,sin x0=sin[(x0+)-]=sin(x0+)cos-cos(x0+)sin=×-(-)×=. 故选A.12.若将函数f(x)=(ω>0)的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则ω的最小值是.解析:将函数f(x)=(ω>0)的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数解析式为g(x)==,因为g(x)为偶函数,所以-=(k∈Z),所以ω=6k+ (k∈Z),因为ω>0,所以k=0时,ω取到最小值,为.答案:13.(2017·山东泰安期中)设函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω;(2)若f(+)=,且α∈(-,),求sin 2α的值;(3)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象(完成列表并作图).解:(1)因为函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的最小正周期为π,所以=π,所以ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-),由f(+)=,即sin(2×+×2-)=,得sin α=.因为-<α<,所以cos α=,故得sin 2α=2sin αcos α=.(3)由(1)知f(x)=sin(2x-),列表如下.--描点,连线,函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图所示.14.(2017·山东青岛一模)已知函数 f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)+2sin xcos x.(1)求函数 f(x) 图象的对称轴方程;(2)将函数 y=f(x) 的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 的图象,求 y=g(x) 在[,2π]上的值域.解:(1)f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)+2sin xcos x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),令2x+=kπ+,k∈Z,所以函数 f(x) 图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)将函数 y=f(x) 的图象向右平移个单位,可得函数解析式为y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x+),再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数解析式为y=g(x)=2sin(+),因为x∈[,2π],所以+∈[,],可得sin(+)∈[-,1],所以g(x)=2sin(+)∈[-1,2].所以y=g(x)在[,2π]上的值域为[-1,2].15.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,- <ϕ<),其部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x+)·f(x-)在区间[0,]上的最大值及相应的 x 值.解:(1)由题图可知,A=1, =,所以T=2π,所以ω=1,又f()=sin(+ϕ)=1,且-<ϕ<,所以 =,所以f(x)=sin(x+).(2)已求得f(x)=sin(x+),所以g(x)=f(x+)·f(x-)=sin(x++)·sin(x+-)=sin(x+)sin x=cos x·sin x=sin 2x.因为x∈[0,],所以2x∈[0,π],sin 2x∈[0,1], 故sin 2x∈[0,],当x=时,g(x)取得最大值.。
2019版一轮高考数学复习第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin x C ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：将y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝－2sin x cos x 的图象，所以f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A2．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π12解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.因为函数在图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6符合，故选A. 答案：A3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos(2x ＋π2)B ．y ＝sin(2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 答案：A4．若先将函数y ＝sin(4x ＋π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度，则所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知变换后的图象对应的函数解析式为y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，易知其一条对称轴的方程为x ＝π2，故选D.答案：D5．三角函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( ) A.3，π2B.3，πC.2，π2D.2，π解析：f (x )＝sin π6cos 2x －cos π6sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选B. 答案：B6．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.故选D. 答案：D7．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象关于直线x ＝π6对称，则ω的最小值是( ) A ．6 B.23 C.94D.32解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π2个单位长度，可得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ2的图象．因为所得图象关于直线x ＝π6对称，所以ω·π6－ωπ2＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝－32－3k ，k ∈Z.因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值32，故选D.答案：D8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为所得的函数图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈N)，即m ＝k π＋π6(k ∈N)，所以m 的最小值为π6，故选B.答案：B9．(2018·云南师大附中调研)若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为3π2，则ω的值为( )A.13B.23C.43D ．2解析：由题意知f (x )＝2sin(ωx －π3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝13，故选A.答案：A10．已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的部分图象如图所示，f (x 0)＝－f (0)，则正确的选项是( )A ．φ＝π6，x 0＝1B ．φ＝π6，x 0＝43C ．φ＝π3，x 0＝1D ．φ＝π3，x 0＝23解析：因为f (0)＝cos φ＝32⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，将x 0＝1代入可得cos 7π6＝－32，满足题设条件，故选A.答案：A11．(2018·湖南常德一中调研)已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π3，即函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为x ＝π3，故选C. 答案：C12．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x ·cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：113．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π314．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝__________.解析：由图象得周期T ＝23×⎝⎛⎭⎫13π4－π4＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．∵x ＝π4是函数增区间上的零点，∴π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，∴φ＝－π4＋2k π(k∈Z)．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋2k π， ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋2k π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－ 2. 答案：－ 215．已知函数y ＝g (x )的图象由f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ的值为__________．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图象在y 轴右侧的第一条对称轴为x ＝π4，直线x ＝π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8.由图象可知，图象向右平移之后，横坐标为3π8的点平移到横坐标为17π24的点，所以φ＝17π24－3π8＝π3.答案：π3B 组 能力提升练1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的最小正周期是π，若将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1)，则函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( )A ．在区间[－π6，π3]上单调递减B ．在区间[－π6，π3]上单调递增C ．在区间[－π3，π6]上单调递减D ．在区间[－π3，π6]上单调递增解析：依题意得ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，平移后得到函数y ＝sin(2x ＋φ＋2π3)的图象，且过点P (0,1)，所以sin(φ＋2π3)＝1，因为－π<φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin(2x －π6)，易知函数f (x )在[－π6，π3]上单调递增，故选B.答案：B2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4D.π8解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)，所以φ的最小值为π4，故选C.答案：C3．(2018·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B.32 C.43D.23解析：将f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后得到图象的函数解析式为y ＝2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin(ωx －2ωπ3＋π6)－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象． 答案：B5．已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R.若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58]D ．(0，18]∪[14，58]解析：f (x )＝12(1－cos ωx )＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin(ωx －π4)，当ω＝12时，f (x )＝22sin(12x －π4)，x ∈(π，2π)时，f (x )∈(12，22]，无零点，排除A ，B ；当ω＝316时，f (x )＝22sin(316x －π4)，x ∈(π，2π)时，0∈f (x )，有零点，排除C ，故选D. 答案：D6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x ) max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 答案：A7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z)．又f (x )在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在(π18，5π36)上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 答案：B8．(2018·郑州模拟)函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：由题意得，g (x )＝－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin 2x .A.最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；B.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；C.当x ∈⎝⎛⎭⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；D.周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．故选B. 答案：B9．(2018·河北衡水中学调研)已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( )A ．2π，－32B ．π，－32C ．π，－52D ．2π，－52解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a 2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cosφ(2cos 2x －1)＋12sin φsin 2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.答案：B10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B11．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝__________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案：14312．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的最大值是__________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.答案：5π1813．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2， 即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π214．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图象可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， ∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，逆境给人宝贵的磨炼机会。
高考数学(理)一轮规范练【21】函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质(含答案)
课时规范练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质课时规范练第37页一、选择题1.若把函数f(x)=sinωx的图象向左平移个单位,恰好与函数y=cosωx的图象重合,则ω的值可能是( )A. B. C. D.答案:D解析:将函数y=sinωx的图象向左平移个单位长度,则得到函数y=sinω=sin的图象,因为y=cosωx=cos(-ωx)=sin,所以+2kπ,ω=+6k,k∈Z,所以当k=0时,ω=,选D.2.(2018四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案:A解析:由图象可得,∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得sin=1,[:令+φ=2kπ+,k∈Z,解得,φ=2kπ-,k∈Z,又∵φ∈,则取k=0,[:∴φ=-.故选A.3.已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则( )A.ω=2,θ=B.ω=,θ=C.ω=,θ=D.ω=2,θ=答案:A解析:∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,0<θ<π,∴θ=.∵图象与直线y=2的两个交点的横坐标为x1,x2,|x2-x1|min=π,∴=π,ω=2.故选A.4.若把函数y=cos x-sin x+1的图象向右平移m(m>0)个单位长度,使点为其对称中心,则m的最小值是( )A.πB.C.D.答案:D解析:y=cos x-sin x+1=2cos+1,把该函数图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数的解析式为y=2cos+1,由平移后为其对称中心得1=2cos+1,∴cos=0,∴-m=kπ+(k∈Z),解得m=-kπ+(k∈Z),故m的最小值是.5.函数f(x)=sin,给出下列三个其中正确的是( )A.①③B.①②C.②③D.①②③答案:B[:数理化]解析:∵≤x≤,∴≤2x+,∴f(x)在上是减函数,故①正确.fsin,故②正确.y=sin2x向左平移个单位得y=sincos2x≠f(x),故③不正确.故选B.6.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f的值为( )A.-B.C.-D.答案:A解析:依题意,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边A B上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M==2,ω=π,f(x)=cos(πx+φ).又函数f(x)是奇函数,于是有φ=kπ+,其中k∈Z.由0<φ<π得φ=,故f(x)=-sinπx,f=-sin=-,选A.二、填空题7.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是.答案:y=sin解析:函数y=sin x的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y=sin的图象;再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin的图象,所以所求函数的解析式是y=sin.8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f且f(x)在区间内有最小值,无最大值,则ω= .答案:解析:∵f=f且f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴f(x)在x=处取得最小值.∴ω+=2kπ-(k∈Z).∴ω=8k-(k∈Z).∵ω>0,∴当k=1时,ω=8-;当k=2时,ω=16-,此时函数在区间内已存在最大值.故ω=.9.已知函数y=sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,要得到函数y=sin的图象,则需将函数y=sinωx的图象向平移个单位长度.答案:左[:解析:由图象知函数y=sinωx的周期为T=3π-(-π)=4π,[:∴ω=,故y=sinx.又y=sin=sin,∴将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin的图象.三、解答题10.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π,且函数图象关于点对称,求函数的解析式.解:由题意知最小正周期T=π=,故ω=2.又∵2×+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z).又∵0<φ<π,∴φ=,∴y=sin.11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示:(1)求ω,φ的值;(2)设g(x)=f(x)f,求函数g(x)的单调递增区间.解:(1)由图可知T=4=π,ω==2,又由f=1,得sin(π+φ)=1,sinφ=-1.∵|φ|<π,∴φ=-.(2)由(1)知f(x)=sin=-cos2x.∵g(x)=-cos2x=cos2xsin2x=sin4x,∴2kπ-≤4x≤2kπ+(k∈Z),即≤x≤(k∈Z).故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z).12.如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”.(1)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式.(2)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少?解:(1)因为BD=atanθ,所以△ABD的面积为a2tanθ.设正方形BEFG的边长为t,则由,得,解得t=,则S2=,所以S1=a2tanθ-S2=a2tanθ-,则y=-1.(2)因为tanθ∈(0,+∞),所以y=-1=≥1,当且仅当tanθ=1时取等号,此时BE=t=.所以当BE长为时,y有最小值1.。
2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第四节函数y=Asinωxφ的
坐标不变),得到y=sin 2 x 的图象,最后把y=sin 2 x 的图象上所有 3 3
2 x 点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin 的
3
图象.
易错警示
1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)的变换:向左平移 (ω>0,φ>0)个单位长度而 非φ个单位长度. 2.平移前后两个函数的名称如果不一致,应先利用诱导公式化为同名函
后描点、连线,其中所列表如下:
2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, φ≠0)的图象的步骤
3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))的物理意义
(1)振幅为A.
2 ω
(2)周期T=
.
= .
(3)频率f= (4)相位是 (5)初相是φ.
3
6
B.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位
3
6
答案 B y=sin 2 x =sin 2 x 6 ,易知将函数y=sin 2x的图象向右 3
2 x 平移 个单位,可得到函数y=sin 的图象.
点是
、
、
、
、
.
答案
2 7 5 13 ,0 ,1 ,0 , 1 ,0 ; ; ; ; 6 3 6 3 6
解析 分别令x- =0, ,π, π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题19函数y=Asin(ωx+φ)的图象(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．高频考点一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换例1、(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D【变式探究】已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表如下：描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．【感悟提升】(1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【变式探究】(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 答案 (1)A (2)C解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．高频考点二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例2、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析 由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A.答案 A【感悟提升】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.【变式探究】函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2) 的部分图象如图所示，则φ＝________.答案 －π3高频考点三 三角函数图象性质的应用例3、某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sinπ12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12 ℃，取得最小值8 ℃.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.【方法规律】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【变式探究】 如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m).(1)求函数h ＝f (t )的关系式；(2)画出函数h ＝f (t )(0≤t ≤12)的大致图象.解 (1)如图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.(2)函数h ＝－2cos π6t ＋2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.高频考点四、y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的综合应用例4、已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间. 解 (1)f (x )＝4cos ωx · sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a . 又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期为T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，ω＝1.【方法规律】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.【变式探究】 已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值.解 (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π) ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是T ＝2π1＝2π.(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1，2]，故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.1. （2018年天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A2. （2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是_____．【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以1.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确.答案 D1.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D2.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 3.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s 的最小值为3π【答案】A4.【2016高考新课标3理数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π==+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到．【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512πB.3πC.4πD.6π 【答案】D.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-．．．．．．．．．．．（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（2014·四川卷）为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度．（2014·安徽卷）若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．【答案】3π8方法二：由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y 轴对称可知，π4－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin＝3π8. （2014·北京卷）设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 【答案】π【解析】结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·广东卷）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？(2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．（2014·江西卷）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】C【解析】函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．（2014·山东卷）已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【解析】(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.（2014·陕西卷）函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·浙江卷）为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】C（2014·重庆卷）已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．【解析】(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π， 所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2， 所以φ＝－π6.因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2 ＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练21函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版
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北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
图 3-4-6 π 3π y＝ 10sin 8 x＋ 4 ＋20(6 ≤ x≤14) [ 由图知 A＝ 10，b＝ 20，T＝ 2(14 － 6) ＝ 16，所
以
ω
＝
2π T
＝
π8 ，所以
y＝ 10sin
π8 x＋ φ ＋20，把点 (10,20) 代入，得 sin
1
∵图像过点
， 10 300
，
1 ∴10sin 100π ×300＋ φ ＝ 10，
∴sin
π 3 ＋φ
＝
1，
π 3
＋
φ
＝
2kπ
＋π 2
，
k
∈
Z，
π
π
π
∴ φ ＝2kπ ＋ 6 ， k∈ Z. 又∵ 0＜ φ ＜ 2 ，∴ φ ＝ 6 ，
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北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
π
π
π
0 [ 由 f ( x) ＝ 3sin ωx－ 3 ( ω ＞ 0) 的最小正周期为 2 ，得 ω ＝ 4，所以 f 3 ＝ 3
sin
4×
π 3
－
π 3
＝ 0.]
7．(2018 ·武汉调研 ) 如图 3-4-6 ，某地一天 6— 14 时的温度变化曲线近似满足函数
y＝
Asin( ωx＋ φ ) ＋b(| φ | ＜π ) ，则这段曲线的函数解析式可以为 ________．
1
图像如图 3-4-7 所示，则当
t
＝
秒时，电流强度是 100
________安 .
【导学号： 79140119】
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题19函数y=Asin(ωx+φ)的图象(押题专练)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如下图，则ω＝( )A．5 B．4 C．3 D．2答案：B2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点( ) A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案 A解析y＝2x，y＝2x－3，y＝2x－3－1.故选A.3．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则关于函数y ＝1()f x 的单调区间表述正确的是( )A ．在[－1,1]上单调递增B ．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增C ．在[5,7]上单调递增D ．在[3,5]上单调递增 答案 B解析 由题图可知，f (0)＝f (3)＝f (6)＝0，所以函数y ＝1()f x 在x ＝0，x ＝3，x ＝6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B.4．为得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n|的最小值是( )A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π3解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n|＝|2π3＋2(k 1－k 2)π|，∴当k 1＝k 2时，|m －n|min ＝2π3.答案：B5．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－m2在[0，π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3，2]B ．[3，2)C ．(3，2]D ．[3，2]答案：B6．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log12f(x)的图象大致是( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝log12f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选C.7．函数f(x)＝ax＋bx ＋c2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0 答案 C8.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π8个单位解析 由y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象只需向左平移π8个单位，故选A. 答案 A9.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位后对应函数的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )答案 B10.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.－32 B.－12C.12D.32解析 依题设，平移后得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，又该图象关于原点对称，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|<π2，得φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3时，f (x )取最小值－32. 答案 A11.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A.2 2B. 2C.－22 D.－24解析 依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24.答案 D12.函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t 的最小值为____.解析 函数f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，其图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －t ＋π4为偶函数，则－t ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即t ＝－π4－k π(k ∈Z )，又t >0，∴当k ＝－1时，t min ＝3π4. 答案3π413.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____.答案14314．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________． 解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4，f(x)＝tan 4x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 答案：015．已知f(x)＝cos(2x ＋φ)，其中φ∈[0，2π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则φ＝________．解析：由题意知，当x ＝π4时，f(x)取最小值，∴2×π4＋φ＝π＋2k π，∴φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又0≤φ＜2π，∴φ＝π2.答案：π216．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝ɑ＋Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.答案：20.517．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为．答案 (－∞，0]∪(1,2]解析 y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为1()0x f x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或1()0x f x <⎧⎪⎨≥⎪⎩由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]．18．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．答案 (0，12)解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.19．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x－2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确的命题是．答案 ②③④由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．20．设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．(2)先将y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图象；再将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f(x)的图象（答案不唯一）．21.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).22.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温， 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温.。
2019版高考数学一轮复习 第三章第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课时作业
第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图X341，则( )图X341A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π42．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度3．(2017年四川眉山中学统测)将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．其一条对称轴方程为x ＝－π6B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．当x ＝π12＋k π(k ∈Z )时取得最大值D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 4．(2015年湖南)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π65．(2017年湖北咸宁模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝5π12对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称6．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a .当a ＝π3时，f (x )的值域是__________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是__________．8．(2015年湖南)已知ω＞0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则ω＝________.9．(2015年天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R ，若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为____________．10．(2014年北京)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图X342. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．图X34211．(2017年山东)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．第4讲 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象1．C 解析：∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4.故选C.2．A 解析：由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象． 3．B 解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度所得图象对应的函数为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其对称轴方程为2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即x ＝π12＋k π2(k ∈Z )，排除A.当x ＝π12＋k π(k ∈Z )，得－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＝－3.故C 错误．由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，即f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．故选B. 4．D 解析：向右平移φ个单位长度后，得到g (x )＝sin(2x －2φ)，∵|f (x 1)－g (x 2)|＝2，∴不妨令2x 1＝π2＋2k π(k ∈Z )，2x 2－2φ＝－π2＋2m π(m ∈Z )．∴x 1－x 2＝π2－φ＋(k －m )π.又∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴π2－φ＝π3⇒φ＝π6.故选D.5．B 解析：由已知，得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)．设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2，且为奇函数，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，易得f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称．故选B.6．[2，＋∞) 解析：f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，|f (x )|max ＝2，∴a ≥2. 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析：当a ＝π3时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，π2≤2a ＋π6≤7π6，解得π6≤a ≤π2.8.π2 解析：根据三角函数图象与性质可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1π＋π4，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2π＋5π4，－2，k 1，k 2∈Z ＋，距离最短的两个交点一定在同一个周期内，∴()2 32＝1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π42＋(－2－2)2.∴ω＝π2.9.π2 解析：由f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，可得2ω≤πω，且f (ω)＝sin ω2＋cos ω2＝2⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω2＋π4＝1，所以ω2＋π4＝π2⇒ω＝π2.10．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.11．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)，得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.根据x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4得到x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。
高考数学一轮复习考点19函数y=Asin(ωxφ)的图像必刷题理(含解析)
高考数学一轮复习考点19函数y=Asin （ωxφ）的图像必刷题理（含解析）1、为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数y=cos 3x 的图像( ) A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 【答案】A【解析】y=sin 3x+cos 3x=sin =sin 3,函数y=cos 3x=sin =sin 3,故将函数y=cos 3x 的图像向右平移个单位, 得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图像.2、已知函数f (x )=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( ) A.关于点对称 B.关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称 【答案】D【解析】由题意知ω=2,函数f (x )的对称轴满足2x+=k π(k ∈Z),解得x=- (k ∈Z),当k=1时,x=,故选D . 3、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B ．32C ．22D ．1【答案】B【解析】由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2.又－π6＋π32＝π12， ∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3∴0<2x ＋π3<π，∴f (x )的对称轴方程为x ＝π12.又f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5B.6C.8D.10【答案】C【解析】因为sin ∈[-1,1],所以函数y=3sin +k 的最小值为k-3,最大值为k+3. 由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5. 所以y 的最大值为k+3=5+3=8,故选C .5、先把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，32 D ．[－1,0)【答案】A【解析】依题意得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1.故选A.6、将函数f (x )=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g (x )的图像,则下列关于函数y=g (x )的说法错误的是 ( )A.最小正周期为πB.图像关于直线x=对称C.图像关于点对称D.初相为【答案】C 由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,∴g (x )=2sin .易判断选项A,D 都正确,对于选项B,C,∵g=2sin =2≠0, ∴选项B 对C 错,故选C .7、下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π6对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上是减函数”的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝cos(2x ＋2π3)D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 【答案】D【解析】易知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12的最小正周期为4π，故排除A ；当x ＝π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，故排除B ；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，4π3，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3单调递增，故排除C ；对于函数y ＝sin(2x ＋π6)，可知其最小正周期T ＝2π2＝π，将x ＝π6代入得，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x ＝π6对称，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，化简整理可得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，可知函数y ＝sin(2x ＋π6)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上是减函数．故选D. 8、函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin【答案】A【解析】由题图知,A=2,周期T=2-=π, 所以ω==2,y=2sin(2x+φ). 方法一:因为函数图像过点, 所以2=2sin .所以+φ=2k π+(k ∈Z). 令k=0,得φ=-, 所以y=2sin,故选A . 方法二:因为函数图像过点, 所以-2=2sin,所以2×+φ=2k π-,k ∈Z, 即φ=2k π-,k ∈Z . 令k=0,得φ=-, 所以y=2sin .故选A .9、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f (x )图象的一个对称中心是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0【答案】A【解析】由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，∴12×π3＋φ＝π2＋2m π(m ∈Z )，即φ＝π3＋2m π(m ∈Z )．由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时， f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.故选A.10、已知函数()πsin 0,0,2y A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的周期为T ，如图为该函数的部分图象，则正确的结论是（ ）A ．3A =，2πT =B ．1B =-，2ω=C ．3A =，π6ϕ=D ．4πT =，6πϕ=-【答案】D 【解析】由图知，()2432A --==，()2412B +-==-，4π2π2π233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，4πT ∴=，把点4π,23⎛⎫ ⎪⎝⎭代入13sin 12y x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭得2πsin 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，2π232ππk ϕ∴+=+，即()π2π6k k ϕ=-∈Z ，又|π2ϕ=，0k ∴=时，6πϕ=-，故选D ．11、将奇函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，π2＜φ＜π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A ．6 B ．3 C ．4 D ．2【答案】A【解析】由函数为奇函数得φ＝k π(k ∈Z )，又－π2＜φ＜π2，∴φ＝0，∴y ＝A sin ωx .由函数图象向左平移π6个单位得到函数y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6ω，其图象关于原点对称，∴有π6ω＝k π(k∈Z )，即ω＝6k (k ∈Z )，当k ＝1时， ω＝6.故选A.12、已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3【解析】 f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，∵f (x )与g (x )的图象完全相同，∴ω＝2， 则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3.13、如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2)的图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为________．【答案】833【解析】依题意得，点Q 的横坐标是4，点R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，∴ω＝π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A ＞0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，∴π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3.又点R (0，－4)在f (x )的图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝8 33.14、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 【答案】π【解析】因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以T 2≥π2－π6，即T ≥2π3.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， 所以x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的对称轴，其对称轴应为x ＝π2＋2π32＝7π12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.故函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π. 15、已知ππ2α<<，3cos 5α=-． （1）求sin α的值；（2）求()()()sin π2cos 2sin cos ππαααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭-+-的值． 【答案】（1）45；（2）12． 【解析】（1）因为ππ2α<<，3cos 5α=-，所以24sin 1cos 5αα-． （2）()()()4sin π2cos 3sin 2sin 3sin 251243sin cos πsin cos sin co πs 55ααααααααααα⎛⎫---⨯⎪-⎝⎭====-+---+-． 16、已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+（0πϕ<<） （1）若π6ϕ=，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[0,π]上的图象．（2）若()f x 偶函数，求ϕ；（3）在（2）的前提下，将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[]0,π的单调递减区间． 【答案】（1）见解析；（2）π2ϕ=；（3）2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）当π6ϕ=时，()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，列表：函数()y f x =在区间[]0,π上的图象是：（2）()()3sin 2f x x ϕ=+为偶函数，∴sin 1ϕ=，ππ2k ϕ∴=+，又0πϕ<<，π2ϕ∴=． （3）由（2）知()π2sin 22cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，。
【精品提分练习】高考数学一轮复习课时规范练19函数y=Asinωxφ的图象及应用文
课时规范练19 函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图象的函数解析式是()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2017湖南邵阳一模,文6)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是()A. B. C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2017天津,文7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=〚导学号24190738〛6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.-∈B.-∈C.-∈D.-∈〚导学号24190739〛8.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=.10.(2017北京,文16)已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.〚导学号24190740〛综合提升组11.(2017辽宁大连一模,文11)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]12.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.13.已知函数y=3sin-.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.〚导学号24190741〛创新应用组14.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2〚导学号24190742〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.答案：1.B由题意,y=sin x的图象进行伸缩变换后得到y=sin x的图象,再进行平移后所得图象的函数为y=sin-=sin-.故选B.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.C函数f(x)=sin 2x+cos 2x=sin的图象向左平移φ个单位长度,所得函数y=sin的图象关于y轴对称,则有2φ+=kπ+,k∈Z.解得φ=kπ+,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为.故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.6.C由函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=.7.B根据所给图象,周期T=4×-=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图象经过,代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.8.因为y=sin x-cos x=2sin-,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.函数f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=.x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=.10.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.11.C方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12.∵函数的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos-,k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos--(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-) .∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解 (1)列表:描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象,再把y=sin-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象,再把y=sin x图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.14.D曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin 2,为得到曲线C2:y=sin 2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.15.解 (1)由图象,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=(50-30)=10,b=(50+30)=40,T==2×(14-8)=12,所以ω=,所以y=10sin+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].。
新高考数学一轮复习 课时规范练21 函数yAsin(ωxφ)的图象及应用 新人教A版高三全册数学试题
课时规范练21 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用基础巩固组1.(2019宁夏银川模拟)要得到y=sin x 函数的图象,只需将函数y=sin (2x +π6)的图象上所有的点的( )A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π6个单位长度C.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度D.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平移π6个单位长度2.已知函数f (x )=cos (xx +π3)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )A.关于点(π3,0)对称B.关于直线x=π4对称C.关于点(π4,0)对称D.关于直线x=π3对称3.将函数y=sin (12x −π3)的图象向右平移π2个单位,再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),则所得图象对应的函数的一个单调递增区间为 ( )A.[-π12,13π12]B.[13π12,25π12]C.[π12,13π12]D.[7π12,19π12]4.(2019浙江杭州西湖区模拟)据调查,某商品一年内出厂价按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin(π4x-π4)+6(1≤x≤12,x∈N*)B.f(x)=9sin(π4x-π4)(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=2√2sinπ4x+6(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sin(π4x+π4)+6(1≤x≤12,x∈N*)5.(2019天津,理7)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=√2,则f3π8=()A.-2B.-√2C.√2D.26.将函数f(x)=2sin(xx+π4)(ω>0)的图象向右平移π4x个单位长度后得到g(x)的图象,若函数g(x)在区间-π6,π3上为增函数,则ω的最大值为()A.3B.2C.32D.547.(多选)对于函数f(x)=sin x+√3cos x,下列说法中不正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称B.存在α∈(0,π3),使f(α)=1C.存在α∈(0,π3),使函数f(x+α)的图象关于y轴对称D.存在α∈(0,π3),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立8.已知α∈(0,π2),若sin2α+sin 2α=1,则tan α=;sin 2α=.9.(2019山西大同模拟)若函数f(x)=cos 2x-2cos x在区间-π2,a上的最大值是-1,则a的取值范围是.10.(2019湖南郴州期末)如图为函数f(x)=sin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2的图象.(1)求函数f(x)=A sin(ωx+φ)的解析式;(2)若x∈[0,π2]时,函数y=[f(x)]2-2f(x)-m有零点,求实数m的取值范围.综合提升组11.(2019湖南衡阳二模)已知函数f(x)=sin x-cos x,将f(x)的图象向右平移π2个单位,得到函数g(x)的图象,则函数y=f(x)g(x)x∈-π12,π6的值域为()A.[12,1] B.[-1,-12]C.[-1,-√32] D.[√32,1]12.将函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图象,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()A.55π12B.53π12C.25π6D.17π413.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点(2π3,0)对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.14.(2019上海徐汇区期中)某同学用“五点法”画函数f(x)=A sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如表:(1)请写出上表的x 1,x 2,y 2,及函数f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图象向右平移2π3个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象,求g (x )的解析式及y=lo g 12[x (x )-√32]的单调递增区间;(3)在(2)的条件下,若F (x )=g 2(x )+√33a ·g (x )-1在x ∈(0,2 019π)上恰有奇数个零点,求实数a 与零点个数n 的值.创新应用组15.(2019吉林梅河口市模拟)函数f (x )=√3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象,如图所示,∠ABC=120°,则ω等于( )A.π12B.π6C.π4D.π316.(2019湖南郴州期末)定义运算|x x x x|=ad-bc ,如果f (x )=|sin x -12cos x √5|,并且不等式f (x )<m 对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是 .参考答案课时规范练21 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用1.A 只需将函数y=sin (2x +π6)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin (x +π6)函数的图象;再向右平移π6个单位长度,可得y=sin x 函数的图象,故选A .2.D 由题意知ω=2,函数f (x )的对称轴满足2x+π3=k π(k ∈Z ),解得x=x π2−π6(k ∈Z ),当k=1时,x=π3,故选D .3.C 将y=sin (12x -π3)的图象向右平移π2个单位,得到y=sin12(x -π2)−π3=sin (12x -7π12)的图象,再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),所得的图象对应的解析式为y=sin (x -7π12),令2k π-π2≤x-7π12≤2k π+π2,k ∈Z ,解得2k π+π12≤x ≤2k π+13π12,k ∈Z ,当k=0时,所得图象对应的函数的一个单调递增区间为π12,13π12,故选C .4.A 由3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,所以当x=3时,函数有最大值为8;当x=7时,函数有最小值4,即{x +x =8,-x +x =4,解得A=2,b=6. 又函数f (x )的周期为T=2(7-3)=8,由T=2πx ,得ω=2πx =π4,且x=3时,函数f (x )有最大值,所以3ω+φ=3×π4+φ=π2+2k π,k ∈Z ;解得φ=-π4+2k π,k ∈Z ;又|φ|<π2,取k=0,得φ=-π4,所以f (x )=2sin (π4x -π4)+6.故选A .5.C 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.f (x )=A sin ωx.∴g (x )=A sin x.∵g (x )的最小正周期为2π,∴2πx=2π,∴ω=1.∴g (x )=A sin x.由gπ4=√2,得A sin π4=√2,∴A=2.∴f (x )=2sin2x.∴f3π8=2sin3π4=√2.故选C .6.C 由题意知,g (x )=2sin ωx-π4π+π4=2sin ωx ,由对称性,得π3−(-π3)≤12×2πx,即x ≤32,则ω的最大值为32.7.ABD 函数f (x )=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),对于A:函数f (x )=2sin (x +π3),当x=π6时,2sin (π6+π3)=2,不能得到函数f (x )的图象关于点(π6,0)对称,故A 错误;对于B:x ∈(0,π3),可得α+π3∈π3,2π3,f (α)∈(√3,2],不存在f (α)=1,故B 错误;对于C:函数f (x+α)的对称轴方程为x+α+π3=π2+k π,可得x=k π+π6-α,当k=0,α=π6时,可得图象关于y 轴对称,故C 正确;对于D:f (x+α)=f (x+3α)说明2α是函数的周期,函数f (x )的周期为2π,故α=π,所以不存在x ∈(0,π3),使f (x+α)=f (x+3α)恒成立,故D 错误.故选ABD .8.1245由sin 2α+sin2α=1,得sin 2x +2sin x cos x sin 2x +cos 2x=1,所以tan 2x +2tan x tan 2x +1=1,解得tan α=12.sin2α=2sin x cos x sin 2x +cos 2x =2tan xtan 2x +1=2×12(12)2+1=45.9.(-π2,π2] f (x )=2cos 2x-2cos x-1,令cos x=t ,则f (t )=2t 2-2t-1,当t=0或t=1时,f (t )=-1,函数开口向上,即t ∈[0,1],有最大值-1,∴cos x ∈[0,1],则x ∈-π2,π2.∴a 的取值范围是-π2,π2.10.解(1)由图象可知x 2=2π3−π6=π2,则T=π,ω=2,∵2×π6+φ=2k π,k ∈Z ,及|φ|<π2,∴φ=-π3,而f (0)=A sin (-π3)=-1,A>0,∴A=2√33,∴f (x )=2√33sin (2x -π3).(2)∵x ∈[0,π2],∴2x-π3∈[-π3,2π3],∴f (x )∈[-1,2√33],又函数y=[f (x )]2-2f (x )-m 有零点,∴方程m=[f (x )]2-2f (x )有实根,∵f (x )∈[-1,2√33],∴[f (x )-1]2-1∈[-1,3],因此,实数m 的取值范围为[-1,3].11.A 将函数f (x )=sin x-cos x=√2sin x-π4的图象向右平移π2个单位,得到函数g (x )=√2sin (x -3π4)的图象,则函数y=f (x )g (x )=√2sin x-π4·√2sin (x -3π4)=-2sin x-π4cos x-π4=-sin (2x -π2)=cos2x.∵x ∈[-π12,π6],∴2x ∈-π6,π3,∴cos2x ∈[12,1],故选A .12.A 由题意得g (x )=2sin 2x+π12+π6-1,故g (x )max =1,g (x )min =-3,由g (x 1)g (x 2)=9,得{x (x 1)=-3,x (x 2)=-3,由g (x )=2sin (2x +π3)-1=-3得2x+π3=2k π-π2,k ∈Z ,即x=k π-5π12,k ∈Z ,由x 1,x 2∈[-2π,2π],得x 1,x 2=-17π12,-5π12,7π12,19π12.故当x 1=19π12,x 2=-17π12时,2x 1-x 2最大,即2x 1-x 2=55π12,故选A .13.π12 ∵函数的图象关于点(2π3,0)对称,∴2×2π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,解得φ=k π-5π6,k ∈Z ,∴f (x )=cos (2x +x π-5π6),k ∈Z .∵f (x )的图象平移后得函数y=cos (2x -2x +x π-5π6)(k ∈Z )为偶函数,∴-2m+k π-5π6=k 1π(k ∈Z ,k 1∈Z ),m=(x -x 1)π2−5π12.∵m>0,∴m 的最小正值为π12,此时k-k 1=1(k ∈Z ,k 1∈Z ).14.解(1)由表格根据五点法作图的规律,可得π3+2π3=x 1-π3=x 2-x 1=10π3-x 2,解得x 1=4π3,x 2=7π3,A=√3,y 2=-√3,T=2πx=10π3+2π3=4π,得ω=12,即函数f (x )的解析式为f (x )=√3sin (12x +4π3).(2)将函数f (x )=√3sin12x+4π3的图象向右平移2π3个单位,可得y=√3sin12x-π3+4π3=-√3sin 12x 的图象;再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变,得到函数g (x )=√3sin x 的图象.即得y=lo g 12g (x )-√32=lo g 12√3sin x-√32,由√3sin x-√32>0,可得sin x>12,要求函数的单调递增区间,即求y=sin x 的减区间,而y=sin x 的减区间为π2+2k π,5π6+2k π(k∈Z ),故y=lo g 12g (x )-√32的单调递增区间为π2+2k π,5π6+2k π(k ∈Z ).(3)F (x )=g 2(x )+√33a ·g (x )-1=3sin 2x+a sin x-1,令F (x )=0,则a sin x=1-3sin 2x ,显然当sin x=0时,F (x )不存在零点,因此只需考虑sin x ≠0时,F (x )的零点情况,令t=sin x (sin x ≠0且0<x ≤2π),则t ∈[-1,0)∪(0,1],a=1-3x 2x=1x-3t ,则函数y=1x-3t 在[-1,0)和(0,1]上单调递减,且t=1时,y=2,当t=-1时,y=-2,∴当y ∈(-2,2)时,y=t 与y=1x -3t 有两个交点,此时方程a sin x=1-3sin 2x 存在4个实根,当y∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,y=t与y=1x-3t有一个交点,此时方程a sin x=1-3sin2x存在2个实根,当y=2或y=-2时,y=t与y=1x-3t有两个交点,此时方程a sin x=1-3sin2x存在3个实根.∵F(x)=g2(x)+√33a·g(x)-1在x∈(0,2019π)上恰有奇数个零点,∴当x∈(2018π,2019π)时,F(x)只可能存在2个零点,因此只有a=2时符合条件,∴x∈(0,2019π)时F(x)的零点为2018×32+2=3029个.15.B由∠ABC=120°,点B的纵坐标为√3,得B与A横坐标之差为3,则T=4×3=12,即2πx=12,得ω=π6.故选B.16.(3,+∞)f(x)=|sin x-12cos x√5|=√5sin x+2cos x=3sin(x+θ),θ为辅助角,由不等式f(x)<m对任意实数x恒成立,可得m>f(x)max,由f(x)的最大值为3,可得m>3.。
北京专用2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应
考点突破
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)+k的解析式 考点三 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用
教材研读
1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图
用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表, 后描点、连线,其中所列表如下:
个单
6
答案 y=sin 2x
解析 将函数y=sin 2 x 的 图3 象向右平移
个单位长度后,所得到的
6
图象的函数解析式为y=sin 2,x即y6=sin32x.
考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)+k的解析式
典例2 (2016北京东城期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<2π)的图 象在一个周期内的部分对应值如下表:
2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ ≠0)的图象的步骤
3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))的物理意义
(1)振幅为A.
(2)周期T=
2
ω.
1
ω
(3)频率f=
T
= 2
.
(4)相位是 ωx+φ . (5)初相是φ. 注:本节关于函数y=Asin(ωx+φ)的一些方法与结论可类比推理到y=Acos (ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ).
1-1 若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象
2019年高考数学一轮复习 第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应
2019年高考数学一轮复习 第三章 第四节 函数y ＝Asin （ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用演练知能检测 文[全盘巩固]1．(xx·烟台模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为( )、A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B 由题图可知A ＝2， T 2＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π2， ∴T ＝π，ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，结合选项知选B.2．(xx·宁波模拟)设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 解析：选 C 将f (x )的图象向右平移π3个单位长度得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω，则－π3ω＝2k π(k ∈Z )，即ω＝－6k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴k ＜0.∴当k ＝－1时，ω有最小值6.3．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos x ＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象，故选A.4.如图所示，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析：选C 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移π6个单位长度后得到函数y ＝f (x )的图象，则函数y ＝f (x )的图象( )A ．关于点(0,0)对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝π对称解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再把所得图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.所以x ＝π3为其对称轴．6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4解析：选A 根据正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|≤π2的图象的性质可得T ＝2×|6－(－2)|＝16，故ω＝2πT ＝π8，又根据图象可知f (6)＝0，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＝0.由于|φ|≤π2，故只能π8×6＋φ＝π，解得φ＝π4，即y ＝A sin π8x ＋π4，又由f (2)＝－4，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋π4＝－4，解得A ＝－4，故f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4. 7．(xx·台州模拟)函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 答案：08．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6ω，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4ω， 由题意知，当5π6ω－π4ω＝π3时，ω最小，解得ω＝74.答案：749.已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝－12sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12.答案：－1210．(xx·安徽高考)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝2k π－2π3，k ∈Z 时，f (x )取最小值－ 3.此时x 的取值集合为xx ＝2k π－2π3，k ∈Z .(2)先将y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图象；再将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得y ＝f (x )的图象．11．设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )＞22，求x 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3. (2)由(1)知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π，列表如下： 2x －π3 －π3 0 π2π 3π2 5π3 x 0 π6 5π12 2π311π12πf (x )121 0 －1 012图象如图：(3)∵f (x )＞22，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＞22， ∴2k π－π4＜2x －π3＜2k π＋π4，k ∈Z ，则2k π＋π12＜2x ＜2k π＋7π12，k ∈Z ，即k π＋π24＜x ＜k π＋7π24，k ∈Z .∴x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π24＜x ＜k π＋7π24，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋⎦⎥⎤π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.[冲击名校]1. 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，，在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析：选A由E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在x 轴上的投影为π12，知OF＝π12，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.2．已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．解析：设三个横坐标依次为x 1，x 2，x 3，由图及题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝π，x 2＋x 3＝2π，x 22＝x 1x 3，解得x 2＝2π3，所以b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－12. 答案：－12[高频滚动]1．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有fx ＋π4＝f (－x )成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：选C 由f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，所以b ＝－1或b ＝3.2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24解析：选 A 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，则y ＝sin(2x ＋φ)．又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，代入可得φ＝π6，因此函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.T 24305 5EF1 廱 33066 812A 脪32089 7D59 絙21988 55E4 嗤21542 5426 否r38509 966D 陭H20287 4F3F 伿22881 5961 奡€。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练19函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数的简单应用文北师大版
课时分层训练(十九) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的简单应用(对应学生用书第204页)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．]2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图344所示，则ω，φ的值分别是( ) 【导学号：00090100】图344A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]3．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) B [将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图像的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．] 4．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sinπ6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]5．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24A [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2， 得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A ．] 二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.]7．(2018·重庆模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ≤π2)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度．得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 22 [y ＝sin xy＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6―――――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.]8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. 【导学号：00090101】20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图像． [解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间． [解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分 ∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0， 4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分 故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图345是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)(t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2)．则下列叙述错误的是( ) 【导学号：00090102】图345A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减D ．当t ＝20时，|PA |＝6 3C [由题意，R ＝27＋9＝6，T ＝60＝2πω，∴ω＝π30，当t ＝0时，y ＝f (t )＝－3，代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π6.故A 正确；f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，53π，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确；当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16π，2π3，函数y ＝f (t )不单调，不正确；当t ＝20时，π30t －π6＝π2，P 的纵坐标为6，|PA |＝27＋81＝63，正确，故选C ．]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图像可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图346所示．图346(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2，∴－π4＜φ－π4＜π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.6分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，8分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.10分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.12分。
2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测(二十)函数y=Asin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单
课时跟踪检测（二十）函数y=A sin (ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 个单位长度1个单位长度 个单位长度的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B.y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.4.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由图象可知T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，即T ＝π2＝2πω，故ω＝4.5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，74B.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54 D.⎝ ⎛34，解析：选A 因为函数f (x )在(0,2π)数的图象可得54T ＜2π≤74T ，即54·2πω＜2π≤7·6．将函数f (x )＝cos 2x g (x )，则g (x )具有的性质是( )＝π2对称⎭⎪⎫0对称x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x 的图象，当x ＝π2时，g (x )＝0，故A 错，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数，故B 正确，C 错，当x ＝3π8时，g (x )＝22，故D 错，选B.7．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.答案：08．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为____________，周期T 为____________，频率为____________，初相φ为____________．解析：振幅A ＝2，T ＝2ππ3＝6，f ＝16.因为图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，所以sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6.答案：2 6 16 π69．(2017·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝____________.解析：由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6(经检验满足题意)． 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5. 答案：20.5B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·云南11校跨区调研)函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是( )A.32 B ．2 C ．1D.12解析：选C 依题意得，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，选C.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到所得函数图象的一条对称轴为( )B ．x ＝π8D ．x ＝π2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的图象．该函数图象的对称轴为x 2－π4＝k π(k ∈Z)，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z)．结合选项，只有A 符合，故选A.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.32C.22D ．1解析：选B 由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.4.若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π65．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，36.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0＜ω＜1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求ω的值，并求出函数f (x )的增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．－π，(x )图象的一个对称中心，ω＜1，∈Z)，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]． 列表如下：7．(2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z.故ω＝6k ＋2，k ∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.C 级——重难题目自主选做1．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：选B 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ，令－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k 0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为______． 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又＋π2(k ∈Z)．由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝－12答案：－12。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练21函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版
课时分层训练(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用A 组 基础达标一、选择题1．(2017·沈阳三十一中月考)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A [令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.]2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图像的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )【导学号：79140118】A ．－ 3 B.33C ．1D.3D [由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N ＋，所以ωmin ＝2.]5．(2018·云南二检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将其图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3D.π2 B [由题意，得平移后的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2φ，则要使此函数为奇函数，则π3－2φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝－k π2＋π6(k ∈Z )，由φ＞0，得φ的最小值为π6，故选B.]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.]7．(2018·武汉调研)如图346，某地一天6—14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (|φ|＜π)，则这段曲线的函数解析式可以为________．图346y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20(6≤x ≤14) [由图知A ＝10，b ＝20，T ＝2(14－6)＝16，所以ω＝2πT ＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，把点(10,20)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，因为|φ|＜π，则φ可以取3π4，所以这段曲线的函数解析式可以为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．]8．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图像如图347所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安.【导学号：79140119】图347－5 [由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图像过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5(安)．] 三、解答题9．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像． [解] (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表：描点画图：10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．B 组 能力提升11．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24A [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2， 得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.]12．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]13．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.【导学号：79140120】－45 [由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.又根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.]14．(2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。
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课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用
基础巩固组
1.(2018湖南长郡中学仿真,3)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像()
A.关于点对称
B.关于直线x=对称
C.关于点对称
D.关于直线x=对称
3.(2018河北衡水中学金卷十模,10)将函数y=sin x-的图像向右平移个单位,再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则所得图像对应的函数的一个递增区间为()
A. B.
C. D.
4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()
A.5
B.6
C.8
D.10
5.(2018河北衡水中学月考,10)将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是 ()
A.最小正周期为π
B.图像关于直线x=对称
C.图像关于点对称
D.初相为
6.(2018河南洛阳一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像,若函数g(x)在区间-上是增加的,则ω的最大值为()
A.3
B.2
C. D.
7.(2018河北衡水中学金卷一模,11)已知函数f(x)=sin ωx-2cos2+1(ω>0),将f(x)的图像向右平移φ个单位,所得函数g(x)的部分图像如图所示,则φ的值为()
A. B. C. D.
8.函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
9.(2018北京,理11)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.
10.已知函数y=3sin.
(1)用五点法作出函数的图像;
(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的.
综合提升组
11.(2018河南商丘二模,11)将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在上是增加的,则ω的最大值为()
A.2
B.4
C.6
D.8
12.(2018山西吕梁一模,11)将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()
A. B. C. D.
13.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为.
14.(2018湖南长郡中学二模,17)已知函数f(x)=2sincossin 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最值及相应的x值.
创新应用组
15.(2018湖南衡阳一模,11)已知A、B、C、D是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<在一个周期内的图像上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则()
A.ω=2,φ=
B.ω=2,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
16.(2018河北衡水中学17模,11)设函数f(x)=sin.若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为()
A. B.
C. D.
参考答案
课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)
的图像及应用
1.A y=sin 3x+cos 3x=sin=sin 3,
函数y=cos 3x=sin=sin 3,故将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位,
得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像.
2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=- (k∈Z),当k=1时,x=,故选D.
3.A将y=sin的图像向右平移个单位,得到y=sin-=sin的图像,
再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),
所得的图像对应的解析式为y=sin,
令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ
+,k∈Z,
当k=0时,所得图像对应的函数的一个递增区间为,,故选C.
4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
5.C由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,
∴g(x)=2sin.易判断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵g=2sin=2≠0,
∴选项B对C错,故选C.
6.C由题意知,g(x)=2sin=2sin ωx,由对称性,得-≤×,即ω≤,则ω的最大值为.
7.A由题意得f(x)=sin ωx-2cos2+1=sin ωx-cos ωx=2sin,
则g(x)=2sinω(x-φ)-=2sinωx-ωφ-,由题图知T=2-=π,
∴ω=2,g(x)=2sin2x-2φ-,
则g=2sin--2φ=2sin=2,
由0<φ<,得-2φ=,解得φ的值为,故选A.
8.A由题图知,A=2,周期T=2-=π,
所以ω==2,y=2sin(2x+φ).
方法一:因为函数图像过点,
所以2=2sin.
所以+φ=2kπ+(k∈Z).
令k=0,得φ=-,
所以y=2sin,故选A.
方法二:因为函数图像过点,
所以-2=2sin,
所以2×+φ=2kπ-,k∈Z,
即φ=2kπ-,k∈Z.
令k=0,得φ=-,
所以y=2sin.故选A.
9. ∵对任意x∈R都有f(x)≤f,
∴f=1,即cos=1.
∴-=2kπ,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值,即=,ω=.故ω的最小值为.
10.解 (1)列表:
x
x-0 ππ 2π
3sin 0 3 0 -3 0
描点、连线,如图所示.
(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.
先把y=sin x的图像上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin的图像,再把y=sin的图像上
所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像,最后将y=sin的图像上所有
点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.
(方法二)“先伸缩,后平移”
先把y=sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图像,再把y=sin x图像上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像,最后将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.
11.C f(x)=cos2sin-2cos+=sin ωx-2+=sin ωx-cos ωx=2sinωx-,f(x)的图像向左平移个单位,得y=2sinωx+-的图像,
∴函数y=g(x)=2sin ωx.
又y=g(x)在上是增加的,
∴≥,即≥,
解得ω≤6,所以ω的最大值为6.
12.A由题意得g(x)=2sin2x++-1,故g(x)max=1,g(x)min=-3,
由g(x1)g(x2)=9,得
由g(x)=2sin-1=-3得2x+=2kπ-,k∈Z,
即x=kπ-,k∈Z,
由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2=-,-,,.
故当x1=,x2=-时,2x1-x2最大,即2x1-x2=,故选A.
13. ∵函数的图像关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,
解得φ=kπ-,k∈Z,
∴f(x)=cos,k∈Z.
∵f(x)的图像平移后得函数y=cos(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-.
∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).
14.解 (1)f(x)=sin+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,
所以f(x)的最小正周期是π.
(2)因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,
所以≤2x+≤,
当x=时,f(x)max=2;
当x=时,f(x)min=-1.
15.A由题意可知=+=,
∴T=π,ω==2.
又sin=0,0<φ<,
∴φ=,故选A.
16.B(特殊值法)画出f(x)=sin的图像如图所示.
结合图像可得,当x2=0时,f(x2)=sin=;
当x1=-时,f(x1)=sin=-,满足f(x1)+f(x2)=0.
由此可得当x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0时,|x2-x1|>=.故选B.。