【精品】2019版高考数学一轮复习课时规范练函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版
2019届高三数学(理)人教版一轮训练:第三篇第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第5节函数y=Asin(ωx+ )的图象及应用【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·山西月考)设k∈R,则函数f(x)=sin(kx+)+k的部分图象不可能是( D )解析:k=0时,y=,图象为A,A正确;k=2时,f(x)=sin(2x+)+2,图象为B,B正确;k=-1时,f(x)=sin(-x+)-1,图象为C,C正确;k=1时,f(x)=sin(x+)+1,x∈(0,),函数单调递增,D不正确.故选D.2.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( D )(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2解析:因为sin(2x+)=cos[-(2x+)]=cos(2x+).因此可以先将y=cos x即C1上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,变为y=cos 2x,再将y=cos 2x向左平移个单位得到y=cos[2(x+)]=cos(2x+).故选D.3.(2017·江西鹰潭一模)函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(x∈R)(ω>0,|ϕ|<)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( C )(A) (B) (C) (D)1解析:由题图知,T=2×(+)=π,所以ω=2,因为函数的图象经过(-,0),则0=sin(-+ϕ),因为|ϕ|<,所以ϕ=,所以f(x)=sin(2x+),令2x+=+kπ,k∈Z,取k=0得y轴右边第一条对称轴x=.由f(x1)=f(x2)得x1+x2=2×=,所以f(x1+x2)=sin=.故选C.4.(2017·安徽蚌埠一模)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)的图象上相邻两个最高点的距离为π.若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则函数f(x)的解析式为( C )(A)f(x)=2sin(x+)(B)f(x)=2sin(x+)(C)f(x)=2sin(2x+)(D)f(x)=2sin(2x+)解析:因为函数的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以函数最小正周期T==π,即ω=2,即f(x)=2sin(2x+ϕ),将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得,f(x)=2sin[2(x+)+ϕ]=2sin(2x++ϕ),由f(x)=2sin(2x++ϕ)的图象关于y轴对称,得+ϕ=+kπ,k∈Z,即ϕ=+kπ,k∈Z,因为0<ϕ<π,所以当k=0时,ϕ=,即f(x)=2sin(2x+),故选C.5.导学号 38486088已知函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上的最小值为-2,则ω的取值范围是( D )(A)(-∞,-]∪[6,+∞)(B)(-∞,-]∪[,+∞)(C)(-∞,-2]∪[6,+∞)(D)(-∞,-2]∪[,+∞)解析:法一当ω>0时,-ω≤ωx≤ω,由题意知-ω≤-,即ω≥;当ω<0时,ω≤ωx≤-ω,由题意知ω≤-,所以ω≤-2.综上可知,ω的取值范围是(-∞,-2]∪[,+∞).故选D.法二ω=时,f(x)在[-,]上单调递增,f(x)的最小值为f(-)=-2,符合题意,排除A,C.ω=-2时,f(x)在[-,]上最小值为-2,符合题意,排除B.故选D.6.(2017·广东汕头三模)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其初始位置为A0(,),12秒旋转一周,则动点A 的纵坐标y关于时间t(单位:秒)的函数解析式为( C )(A)y=sin(t+) (B)y=cos(t+)(C)y=sin(t+) (D)y=cos(t+)解析:设y关于t的函数为y=sin(ωt+θ),因为12秒旋转一周,所以T==12,所以ω=,因为当t=0时,初始位置为点A0(,),将该点代入,得到θ=,所以y=sin(t+),故选C.7.(2017·广西玉林一模)为了得到函数y=cos 2x的图象,可以将函数y=sin 2x+cos 2x的图象至少向左平移个单位.解析:将函数y=sin 2x+cos 2x=cos(2x-)的图象向左平移个单位,可得到函数y=cos[2(x+)-]=cos 2x的图象.答案:8.(2017·广东潮州二模)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<)的部分图象如图所示,则f(x)= .解析:由题图知A=2,又=-(-)=,故T=π,所以ω=2.又因为点(-,-2)在函数图象上,可得-2=2sin[2×(-)+ϕ],所以可得-×2+ϕ=2kπ- (k∈Z),所以ϕ=2kπ- (k∈Z),又因为|ϕ|<,所以ϕ=-,所以f(x)=2sin(2x-).答案:2sin(2x-)能力提升(时间:15分钟)9.(2017·四川乐山三模)设偶函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为( D )(A)-(B)-(C)- (D)解析:因为△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A=,T=2,由T=,得ω=π,函数f(x)是偶函数,0<ϕ<π,所以ϕ=,所以函数的解析式为f(x)= sin(πx+),所以f()=sin(+)=.故选D.10.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+ϕ)(t≥0,ω>0,|ϕ|<).则下列叙述错误的是( C )(A)R=6,ω=,ϕ=-(B)当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6(C)当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减(D)当t=20时,|PA|=6解析:由题意,R==6,T=60=,所以ω=,t=0时,点A(3,-3)代入可得-3=6sin ϕ,因为|ϕ|<,所以ϕ=-,故A正确;f(t)=6sin(t-),当t∈[35,55]时,t-∈[π,π],所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;当t∈[10,25]时,t-∈[π,],函数y=f(t)先增后减,C不正确; 当t=20时,t-=,P的纵坐标为6,|PA|==6,D正确.故选C.11.(2017·江西一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(0<ϕ<π)的图象如图所示,若f(x0)=3,x0∈(,),则sin x0的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由函数的图象可得A=5,且=π-=π,所以T=2π,所以ω=1.由题图可得sin(+ϕ)=1,又因为0<ϕ<π,所以ϕ=,故函数的解析式为 f(x)=5sin(x+).再由f(x0)=3,可得5sin(1·x0+)=3,解得 sin(x0+)=,又因为x0∈(,π),所以x 0+∈(,π),故有cos(x0+)=-,sin x0=sin[(x0+)-]=sin(x0+)cos-cos(x0+)sin=×-(-)×=. 故选A.12.若将函数f(x)=(ω>0)的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则ω的最小值是.解析:将函数f(x)=(ω>0)的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数解析式为g(x)==,因为g(x)为偶函数,所以-=(k∈Z),所以ω=6k+ (k∈Z),因为ω>0,所以k=0时,ω取到最小值,为.答案:13.(2017·山东泰安期中)设函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω;(2)若f(+)=,且α∈(-,),求sin 2α的值;(3)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象(完成列表并作图).解:(1)因为函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的最小正周期为π,所以=π,所以ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-),由f(+)=,即sin(2×+×2-)=,得sin α=.因为-<α<,所以cos α=,故得sin 2α=2sin αcos α=.(3)由(1)知f(x)=sin(2x-),列表如下.--描点,连线,函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图所示.14.(2017·山东青岛一模)已知函数 f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)+2sin xcos x.(1)求函数 f(x) 图象的对称轴方程;(2)将函数 y=f(x) 的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 的图象,求 y=g(x) 在[,2π]上的值域.解:(1)f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)+2sin xcos x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),令2x+=kπ+,k∈Z,所以函数 f(x) 图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)将函数 y=f(x) 的图象向右平移个单位,可得函数解析式为y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x+),再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数解析式为y=g(x)=2sin(+),因为x∈[,2π],所以+∈[,],可得sin(+)∈[-,1],所以g(x)=2sin(+)∈[-1,2].所以y=g(x)在[,2π]上的值域为[-1,2].15.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,- <ϕ<),其部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x+)·f(x-)在区间[0,]上的最大值及相应的 x 值.解:(1)由题图可知,A=1, =,所以T=2π,所以ω=1,又f()=sin(+ϕ)=1,且-<ϕ<,所以 =,所以f(x)=sin(x+).(2)已求得f(x)=sin(x+),所以g(x)=f(x+)·f(x-)=sin(x++)·sin(x+-)=sin(x+)sin x=cos x·sin x=sin 2x.因为x∈[0,],所以2x∈[0,π],sin 2x∈[0,1], 故sin 2x∈[0,],当x=时,g(x)取得最大值.。
2019版一轮高考数学复习第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含解析

课时规范练 A 组 基础对点练1.将函数y =cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y =f (x )·cos x 的图象,则f (x )的表达式可以是( ) A .f (x )=-2sin x B .f (x )=2sin x C .f (x )=22sin 2x D .f (x )=22(sin 2x +cos 2x ) 解析:将y =cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin 2x =-2sin x cos x 的图象,所以f (x )=-2sin x ,故选A. 答案:A2.将函数y =cos ⎝⎛⎭⎫π6-2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( )A .x =π6B .x =π4C .x =π3D .x =π12解析:将函数y =cos ⎝⎛⎭⎫π6-2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y =cos ⎣⎡⎦⎤π6-2⎝⎛⎭⎫x -π12=cos ⎝⎛⎭⎫π3-2x =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3.因为函数在图象的对称轴处取得最值,经检验x =π6符合,故选A. 答案:A3.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A .y =cos(2x +π2)B .y =sin(2x +π2)C .y =sin 2x +cos 2xD .y =sin x +cos x解析:采用验证法.由y =cos(2x +π2)=-sin 2x ,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A. 答案:A4.若先将函数y =sin(4x +π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移π6个单位长度,则所得函数图象的一条对称轴方程是( )A .x =π12B .x =π6C .x =π3D .x =π2解析:由题意知变换后的图象对应的函数解析式为y =sin(2x +π2)=cos 2x ,易知其一条对称轴的方程为x =π2,故选D.答案:D5.三角函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x +cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( ) A.3,π2B.3,πC.2,π2D.2,π解析:f (x )=sin π6cos 2x -cos π6sin 2x +cos 2x =32cos 2x -32sin 2x =3⎝⎛⎭⎫32cos 2x -12sin 2x =3cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,故选B. 答案:B6.将函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4 B .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 C .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4 D .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3 解析:函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的周期为π,所以将函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象向右平移π4个单位长度后,得到函数图象对应的解析式为y =2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π4+π6=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3.故选D. 答案:D7.将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π2个单位长度,所得图象关于直线x =π6对称,则ω的最小值是( ) A .6 B.23 C.94D.32解析:将函数f (x )=sin ωx 的图象向右平移π2个单位长度,可得到函数f (x )=sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x -π2=sin ⎝⎛⎭⎫ωx -ωπ2的图象.因为所得图象关于直线x =π6对称,所以ω·π6-ωπ2=π2+k π,k ∈Z ,即ω=-32-3k ,k ∈Z.因为ω>0,所以当k =-1时,ω取得最小值32,故选D.答案:D8.将函数y =3cos x +sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析:将函数y =3cos x +sin x =2cos ⎝⎛⎫x -π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得图象的函数解析式为y =2cos ⎝⎛⎭⎫x +m -π6.因为所得的函数图象关于y 轴对称,所以m -π6=k π(k ∈N),即m =k π+π6(k ∈N),所以m 的最小值为π6,故选B.答案:B9.(2018·云南师大附中调研)若函数f (x )=sin ωx -3cos ωx ,ω>0,x ∈R ,又f (x 1)=2,f (x 2)=0,且|x 1-x 2|的最小值为3π2,则ω的值为( )A.13B.23C.43D .2解析:由题意知f (x )=2sin(ωx -π3),设函数f (x )的最小正周期为T ,因为f (x 1)=2,f (x 2)=0,所以|x 1-x 2|的最小值为T 4=3π2,所以T =6π,所以ω=13,故选A.答案:A10.已知函数f (x )=cos(πx +φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的部分图象如图所示,f (x 0)=-f (0),则正确的选项是( )A .φ=π6,x 0=1B .φ=π6,x 0=43C .φ=π3,x 0=1D .φ=π3,x 0=23解析:因为f (0)=cos φ=32⎝⎛⎭⎫0<φ<π2,所以φ=π6,即f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫πx +π6,将x 0=1代入可得cos 7π6=-32,满足题设条件,故选A.答案:A11.(2018·湖南常德一中调研)已知f (x )=2sin(2x +π6),若将它的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,则函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为( ) A .x =π12B .x =π4C .x =π3D .x =π2解析:由题意知g (x )=2sin[2(x -π6)+π6]=2sin(2x -π6),令2x -π6=π2+k π,k ∈Z ,解得x =π3+k 2π,k ∈Z ,当k =0时,x =π3,即函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为x =π3,故选C. 答案:C12.函数f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为________.解析:因为f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x =sin x ·cos φ-cos x sin φ=sin(x -φ),-1≤sin(x -φ)≤1,所以f (x )的最大值为1. 答案:113.函数y =sin x -3cos x 的图象可由函数y =sin x +3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.解析:函数y =sin x -3cos x =2sin(x -π3)的图象可由函数y =sin x +3cos x =2sin(x +π3)的图象至少向右平移2π3个单位长度得到.答案:2π314.若函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则f (0)=__________.解析:由图象得周期T =23×⎝⎛⎭⎫13π4-π4=2π,∴ω=1,∴f (x )=2sin(x +φ).∵x =π4是函数增区间上的零点,∴π4+φ=2k π(k ∈Z),∴φ=-π4+2k π(k∈Z).∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4+2k π, ∴f (0)=2sin ⎝⎛⎭⎫-π4+2k π=2sin ⎝⎛⎭⎫-π4=- 2. 答案:- 215.已知函数y =g (x )的图象由f (x )=sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ的值为__________.解析:函数f (x )=sin 2x 的图象在y 轴右侧的第一条对称轴为x =π4,直线x =π8关于x =π4对称的直线为x =3π8.由图象可知,图象向右平移之后,横坐标为3π8的点平移到横坐标为17π24的点,所以φ=17π24-3π8=π3.答案:π3B 组 能力提升练1.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,若将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1),则函数f (x )=sin(ωx +φ)( )A .在区间[-π6,π3]上单调递减B .在区间[-π6,π3]上单调递增C .在区间[-π3,π6]上单调递减D .在区间[-π3,π6]上单调递增解析:依题意得ω=2,f (x )=sin(2x +φ),平移后得到函数y =sin(2x +φ+2π3)的图象,且过点P (0,1),所以sin(φ+2π3)=1,因为-π<φ<0,所以φ=-π6,所以f (x )=sin(2x -π6),易知函数f (x )在[-π6,π3]上单调递增,故选B.答案:B2.将函数y =sin(2x +φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4D.π8解析:将函数y =sin(2x +φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π8+φ=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+φ的图象,则由π4+φ=k π+π2,得φ=k π+π4(k ∈Z),所以φ的最小值为π4,故选C.答案:C3.(2018·武汉武昌区调研)已知函数f (x )=2sin(ωx +π6)-1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是( ) A .3 B.32 C.43D.23解析:将f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后得到图象的函数解析式为y =2sin[ω(x -2π3)+π6]-1=2sin(ωx -2ωπ3+π6)-1,所以2ωπ3=2k π,k ∈Z ,所以ω=3k ,k ∈Z ,因为ω>0,k ∈Z ,所以ω的最小值为3,故选A. 答案:A4.函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g (x )=A sin ωx 的图象,只需将函数y =f (x )的图象( )A .向左平移π6个单位长度B .向左平移π12个单位长度C .向右平移π6个单位长度D .向右平移π12个单位长度解析:由题图知A =2,T 2=π3-⎝⎛⎭⎫-π6=π2,∴T =π,∴ω=2,∴f (x )=2cos(2x +φ),将⎝⎛⎭⎫π3,2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3+φ=1,∵-π<φ<0,∴-π3<2π3+φ<2π3,∴2π3+φ=0,∴φ=-2π3,∴f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎫2x -2π3=2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π12,故将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象. 答案:B5.已知函数f (x )=sin 2ωx 2+12sin ωx -12(ω>0),x ∈R.若f (x )在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A .(0,18]B .(0,14]∪[58,1)C .(0,58]D .(0,18]∪[14,58]解析:f (x )=12(1-cos ωx )+12sin ωx -12=12sin ωx -12cos ωx =22sin(ωx -π4),当ω=12时,f (x )=22sin(12x -π4),x ∈(π,2π)时,f (x )∈(12,22],无零点,排除A ,B ;当ω=316时,f (x )=22sin(316x -π4),x ∈(π,2π)时,0∈f (x ),有零点,排除C ,故选D. 答案:D6.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2的最小正周期为4π,且对任意x ∈R ,都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立,则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫-2π3,0 B.⎝⎛⎭⎫-π3,0 C.⎝⎛⎭⎫2π3,0D.⎝⎛⎭⎫5π3,0解析:由f (x )=sin(ωx +φ)的最小正周期为4π,得ω=12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立,所以f (x ) max =f ⎝⎛⎭⎫π3,即12×π3+φ=π2+2k π(k ∈Z),所以φ=π3+2k π(k ∈Z),由|φ|<π2,得φ=π3,故f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫12x +π3. 答案:A7.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为( )A .11B .9C .7D .5解析:因为x =-π4为函数f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,所以π2=kT 2+T4(k ∈Z ,T为周期),得T =2π2k +1(k ∈Z).又f (x )在(π18,5π36)上单调,所以T ≥π6,k ≤112,又当k =5时,ω=11,φ=-π4,f (x )在(π18,5π36)上不单调;当k =4时,ω=9,φ=π4,f (x )在(π18,5π36)上单调,满足题意,故ω=9,即ω的最大值为9. 答案:B8.(2018·郑州模拟)函数f (x )=-cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象,则g (x )具有性质( )A .最大值为1,图象关于直线x =π2对称B .在⎝⎛⎭⎫0,π4上单调递减,为奇函数 C .在⎝⎛⎭⎫-3π8,π8上单调递增,为偶函数 D .周期为π,图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8,0对称解析:由题意得,g (x )=-cos 2⎝⎛⎭⎫x -π4=-cos ⎝⎛⎭⎫2x -π2=-sin 2x .A.最大值为1正确,而g ⎝⎛⎭⎫π2=0,图象不关于直线x =π2对称,故A 错误;B.当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π4时,2x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,g (x )单调递减,显然g (x )是奇函数,故B 正确;C.当x ∈⎝⎛⎭⎫-3π8,π8时,2x ∈⎝⎛⎭⎫-3π4,π4,此时不满足g (x )单调递增,也不满足g (x )是偶函数,故C 错误;D.周期T =2π2=π,g ⎝⎛⎭⎫3π8=-22,故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8,0对称.故选B. 答案:B9.(2018·河北衡水中学调研)已知点(a ,b )在圆x 2+y 2=1上,则函数f (x )=a cos 2x +b sin x cos x -a2-1的最小正周期和最小值分别为( )A .2π,-32B .π,-32C .π,-52D .2π,-52解析:因为点(a ,b )在圆x 2+y 2=1上,所以a 2+b 2=1,可设a =cos φ,b =sin φ,代入原函数f (x )=a cos 2x +b sin x cos x -a 2-1,得f (x )=cos φcos 2x +sin φsin x cos x -12cos φ-1=12cosφ(2cos 2x -1)+12sin φsin 2x -1=12cos φcos 2x +12sin φsin 2x -1=12cos(2x -φ)-1,故函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π,函数f (x )的最小值f (x )min =-12-1=-32,故选B.答案:B10.(2018·太原模拟)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2的最小正周期是π,若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f (x )的图象( )A .关于直线x =π12对称B .关于直线x =5π12对称C .关于点⎝⎛⎭⎫π12,0对称D .关于点⎝⎛⎭⎫5π12,0对称解析:∵f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π,ω=2,∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )=sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π3+φ=sin ⎝⎛⎭⎫2x -2π3+φ的图象,又g (x )的图象关于原点对称,∴-2π3+φ=k π,k ∈Z ,∴φ=2π3+k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ=-π3,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3.当x =π12时,2x -π3=-π6,∴A ,C 错误;当x =5π12时,2x -π3=π2,∴B 正确,D 错误. 答案:B11.已知f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3(ω>0),f ⎝⎛⎭⎫π6=f ⎝⎛⎭⎫π3,且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6,π3上有最小值,无最大值,则ω=__________.解析:依题意,x =π6+π32=π4时,y 有最小值,即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω+π3=-1,则π4ω+π3=2k π+3π2(k ∈Z).所以ω=8k +143(k ∈Z).因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6,π3上有最小值,无最大值,所以π3-π4≤πω,即ω≤12,令k =0,得ω=143.答案:14312.已知函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫3x +π3,其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6,m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6,若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤-1,-32,则m 的最大值是__________.解析:由x ∈⎣⎡⎦⎤π6,m ,可知5π6≤3x +π3≤3m +π3,∵f ⎝⎛⎭⎫π6=cos 5π6=-32,且f ⎝⎛⎭⎫2π9=cos π=-1,∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤-1,-32, 需要π≤3m +π3≤7π6,解得2π9≤m ≤5π18,即m 的最大值是5π18.答案:5π1813.已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R.若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y =f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为________.解析:f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin(ωx +π4),因为函数f (x )的图象关于直线x =ω对称,所以f (ω)=2sin(ω2+π4)=±2,所以ω2+π4=π2+k π,k ∈Z ,即ω2=π4+k π,k ∈Z ,又函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+π4≤π2, 即ω2≤π4,取k =0,得ω2=π4,所以ω=π2.答案:π214.已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2,y =f (x )的部分图象如图,则f ⎝⎛⎭⎫π24=________.解析:由图象可知,T =2⎝⎛⎭⎫3π8-π8=π2, ∴ω=2,∴2×π8+φ=π2+k π,k ∈Z.又|φ|<π2,∴φ=π4.又f (0)=1,∴A tan π4=1,逆境给人宝贵的磨炼机会。
高考数学(理)一轮规范练【21】函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质(含答案)

课时规范练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质课时规范练第37页一、选择题1.若把函数f(x)=sinωx的图象向左平移个单位,恰好与函数y=cosωx的图象重合,则ω的值可能是( )A. B. C. D.答案:D解析:将函数y=sinωx的图象向左平移个单位长度,则得到函数y=sinω=sin的图象,因为y=cosωx=cos(-ωx)=sin,所以+2kπ,ω=+6k,k∈Z,所以当k=0时,ω=,选D.2.(2018四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案:A解析:由图象可得,∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得sin=1,[:令+φ=2kπ+,k∈Z,解得,φ=2kπ-,k∈Z,又∵φ∈,则取k=0,[:∴φ=-.故选A.3.已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则( )A.ω=2,θ=B.ω=,θ=C.ω=,θ=D.ω=2,θ=答案:A解析:∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,0<θ<π,∴θ=.∵图象与直线y=2的两个交点的横坐标为x1,x2,|x2-x1|min=π,∴=π,ω=2.故选A.4.若把函数y=cos x-sin x+1的图象向右平移m(m>0)个单位长度,使点为其对称中心,则m的最小值是( )A.πB.C.D.答案:D解析:y=cos x-sin x+1=2cos+1,把该函数图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数的解析式为y=2cos+1,由平移后为其对称中心得1=2cos+1,∴cos=0,∴-m=kπ+(k∈Z),解得m=-kπ+(k∈Z),故m的最小值是.5.函数f(x)=sin,给出下列三个其中正确的是( )A.①③B.①②C.②③D.①②③答案:B[:数理化]解析:∵≤x≤,∴≤2x+,∴f(x)在上是减函数,故①正确.fsin,故②正确.y=sin2x向左平移个单位得y=sincos2x≠f(x),故③不正确.故选B.6.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f的值为( )A.-B.C.-D.答案:A解析:依题意,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边A B上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M==2,ω=π,f(x)=cos(πx+φ).又函数f(x)是奇函数,于是有φ=kπ+,其中k∈Z.由0<φ<π得φ=,故f(x)=-sinπx,f=-sin=-,选A.二、填空题7.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是.答案:y=sin解析:函数y=sin x的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y=sin的图象;再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin的图象,所以所求函数的解析式是y=sin.8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f且f(x)在区间内有最小值,无最大值,则ω= .答案:解析:∵f=f且f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴f(x)在x=处取得最小值.∴ω+=2kπ-(k∈Z).∴ω=8k-(k∈Z).∵ω>0,∴当k=1时,ω=8-;当k=2时,ω=16-,此时函数在区间内已存在最大值.故ω=.9.已知函数y=sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,要得到函数y=sin的图象,则需将函数y=sinωx的图象向平移个单位长度.答案:左[:解析:由图象知函数y=sinωx的周期为T=3π-(-π)=4π,[:∴ω=,故y=sinx.又y=sin=sin,∴将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin的图象.三、解答题10.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π,且函数图象关于点对称,求函数的解析式.解:由题意知最小正周期T=π=,故ω=2.又∵2×+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z).又∵0<φ<π,∴φ=,∴y=sin.11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示:(1)求ω,φ的值;(2)设g(x)=f(x)f,求函数g(x)的单调递增区间.解:(1)由图可知T=4=π,ω==2,又由f=1,得sin(π+φ)=1,sinφ=-1.∵|φ|<π,∴φ=-.(2)由(1)知f(x)=sin=-cos2x.∵g(x)=-cos2x=cos2xsin2x=sin4x,∴2kπ-≤4x≤2kπ+(k∈Z),即≤x≤(k∈Z).故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z).12.如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”.(1)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式.(2)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少?解:(1)因为BD=atanθ,所以△ABD的面积为a2tanθ.设正方形BEFG的边长为t,则由,得,解得t=,则S2=,所以S1=a2tanθ-S2=a2tanθ-,则y=-1.(2)因为tanθ∈(0,+∞),所以y=-1=≥1,当且仅当tanθ=1时取等号,此时BE=t=.所以当BE长为时,y有最小值1.。
2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第四节函数y=Asinωxφ的

坐标不变),得到y=sin 2 x 的图象,最后把y=sin 2 x 的图象上所有 3 3
2 x 点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin 的
3
图象.
易错警示
1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)的变换:向左平移 (ω>0,φ>0)个单位长度而 非φ个单位长度. 2.平移前后两个函数的名称如果不一致,应先利用诱导公式化为同名函
后描点、连线,其中所列表如下:
2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, φ≠0)的图象的步骤
3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))的物理意义
(1)振幅为A.
2 ω
(2)周期T=
.
= .
(3)频率f= (4)相位是 (5)初相是φ.
3
6
B.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位
3
6
答案 B y=sin 2 x =sin 2 x 6 ,易知将函数y=sin 2x的图象向右 3
2 x 平移 个单位,可得到函数y=sin 的图象.
点是
、
、
、
、
.
答案
2 7 5 13 ,0 ,1 ,0 , 1 ,0 ; ; ; ; 6 3 6 3 6
解析 分别令x- =0, ,π, π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题19函数y=Asin(ωx+φ)的图象(教学案)含解析

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料1.了解函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义;能画出y =A sin(ωx +φ)的图象,了解参数A ,ω,φ对函数图象变化的影响;2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.1.“五点法”作函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示.(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y =A sin(ωx +φ)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y =A sin(ωx +φ)在R 上的图象. 2.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx +φ)的图象的两种途径3.函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义当函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时,A 叫做振幅,T =2πω叫做周期,f =1T 叫做频率,ωx +φ叫做相位,φ叫做初相.高频考点一 函数y =Asin(ωx +φ)的图象及变换例1、(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2π3,则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2答案 D【变式探究】已知函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3. (1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 (1)y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的振幅A =2, 周期T =2π2=π,初相φ=π3.(2)令X =2x +π3,则y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3=2sin X .列表如下:描点画出图象,如图所示:(3)方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3的图象;再把y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象;最后把y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得到y =sin 2x 的图象;再将y =sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度,得到y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象;再将y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象.【感悟提升】(1)五点法作简图:用“五点法”作y =A sin(ωx +φ)的简图,主要是通过变量代换,设z =ωx +φ,由z 取0,π2,π,32π,2π来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换:由函数y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +φ)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【变式探究】(1)把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将图象向右平移π3个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( )A .x =-π2B .x =-π4C .x =π8D .x =π4(2)设函数f (x )=cos ωx (ω>0),将y =f (x )的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A.13B .3C .6D .9 答案 (1)A (2)C解析 (1)将y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y =sin(2x +π6);再将图象向右平移π3个单位长度,得到函数y =sin[2(x -π3)+π6]=sin(2x -π2),故x =-π2是其图象的一条对称轴方程.高频考点二 由图象确定y =A sin(ωx +φ)的解析式 例2、函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则( )A.y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6 B.y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3C.y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6D.y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3解析 由题图可知,T =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×π3+φ=π2,所以φ=-π6,所以函数的解析式为y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6,故选A.答案 A【感悟提升】确定y =A sin(ωx +φ)+b (A >0,ω>0)的步骤和方法: (1)求A ,b ,确定函数的最大值M 和最小值m , 则A =M -m2,b =M +m2.(2)求ω,确定函数的最小正周期T ,则可得ω=2πT.(3)求φ,常用的方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A ,ω,b 已知)或代入图象与直线y =b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②特殊点法:确定φ值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx +φ=π2;“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx +φ=3π2.【变式探究】函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π2) 的部分图象如图所示,则φ=________.答案 -π3高频考点三 三角函数图象性质的应用例3、某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sinπ12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解 (1)因为f (t )=10-2(32cos π12t +12sin π12t ) =10-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,当t =2时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t +π3=-1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12 ℃,取得最小值8 ℃.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.【方法规律】三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.【变式探究】 如图,某大风车的半径为2 m ,每12 s 旋转一周,它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始,运动t (s)后与地面的距离为h (m).(1)求函数h =f (t )的关系式;(2)画出函数h =f (t )(0≤t ≤12)的大致图象.解 (1)如图,以O 为原点,过点O 的圆的切线为x 轴,建立直角坐标系.(2)函数h =-2cos π6t +2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.高频考点四、y =A sin(ωx +φ)图象与性质的综合应用例4、已知函数f (x )=4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6+a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值;(2)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间. 解 (1)f (x )=4cos ωx · sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6+a =4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx +12cos ωx +a=23sin ωx cos ωx +2cos 2ωx -1+1+a =3sin 2ωx +cos 2ωx +1+a =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx +π6+1+a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx +π6=1时,f (x )取得最大值2+1+a =3+a . 又f (x )最高点的纵坐标为2,∴3+a =2,即a =-1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π, ∴f (x )的最小正周期为T =π,∴2ω=2πT=2,ω=1.【方法规律】函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的单调区间和对称性的确定,基本思想是把ωx +φ看做一个整体.在单调性应用方面,比较大小是一类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质,因此要抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还要会综合利用这些性质解决问题,解题时可利用数形结合思想.【变式探究】 已知函数f (x )=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4-sin(x +π). (1)求f (x )的最小正周期;(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )在区间[0,π]上的最大值和最小值.解 (1)f (x )=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4-sin(x +π) =3cos x +sin x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,于是T =2π1=2π.(2)由已知得g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6, ∵x ∈[0,π],∴x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,∴g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6∈[-1,2],故函数g (x )在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.1. (2018年天津卷)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A2. (2018年江苏卷)已知函数的图象关于直线对称,则的值是_____.【答案】【解析】由题意可得,所以,因为,所以1.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +2π3,则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2解析 易知C 1:y =cos x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2,把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2的图象,再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度,可得函数y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π12+π2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2π3的图象,即曲线C 2,因此D 项正确.答案 D1.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )(A )向左平行移动π3个单位长度 (B )向右平行移动π3个单位长度 (C )向左平行移动π6个单位长度 (D )向右平行移动π6个单位长度【答案】D2.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )(A )()26k x k Z ππ=-∈ (B )()26k x k Z ππ=+∈ (C )()212k x k Z ππ=-∈ (D )()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意,将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+,则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈,即,62k x k Z ππ=+∈,故选B. 3.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s (0s >) 个单位长度得到点'P ,若'P 位于函数sin 2y x =的图象上,则( )A.12t =,s 的最小值为6πB.32t = ,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3πD.2t =,s 的最小值为3π【答案】A4.【2016高考新课标3理数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π==+,sin 32sin()3y x x x π==-=2sin[()]33x π2π+-,所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到.【2015高考山东,理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( ) (A )向左平移12π个单位 (B )向右平移12π个单位(C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B. 【2015高考陕西,理3】如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++,据此函数可知,这段时间水深(单位:m )的最大值为( )A .5B .6C .8D .10【答案】C【解析】由图象知:min 2y =,因为min 3y k =-+,所以32k -+=,解得:5k =,所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=,故选C .【2015高考湖南,理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足12()()2f x g x -=的1x ,2x ,有12min3x x π-=,则ϕ=( )A.512πB.3πC.4πD.6π 【答案】D.【2015高考湖北,理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-...........(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 【答案】(Ⅰ)π()5sin(2)6f x x =-;(Ⅱ)π6.【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(2014·四川卷)为了得到函数y =sin (2x +1)的图像,只需把函数y =sin 2x 的图像上所有的点( ) A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为y =sin(2x +1)=sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12,所以为得到函数y =sin(2x +1)的图像,只需要将y =sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度.(2014·安徽卷)若将函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y 轴对称,则φ的最小正值是________.【答案】3π8方法二:由f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y 轴对称可知,π4-2φ=π2+k π,k ∈Z ,又φ>0,所以φmin=3π8. (2014·北京卷)设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π2上具有单调性,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,则f (x )的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图像得T 4=π2+2π32-π2+π62,即T =π.(2014·福建卷)已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.【解析】方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z.(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=22sin 3π4=12.(2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z.(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定 【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可.如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,AB 是直线l 3,则DD 1是直线l 4,l 1∥l 4;设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,CC 1是直线l 3,CD 是直线l 4,则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定.(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?(2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温. 由(1)得f (t )=10-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t +π3<-12. 又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.(2014·江西卷)已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,知cos θ≠0,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.(2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )=3sin πx m,若存在f (x )的极值点x 0满足x 20+[f (x 0)]2<m 2,则m 的取值范围是( )A .(-∞,-6)∪(6,+∞)B .(-∞,-4)∪(4,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 【答案】C【解析】函数f (x )的极值点满足πx m =π2+k π,即x =m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +12,k ∈Z ,且极值为±3,问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0+122+3<m 2.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k +122的最小值为14,所以只要14m 2+3<m 2成立即可,即m 2>4,解得m >2或m <-2,故m 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).(2014·山东卷)已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y =f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎪⎫2π3,-2.(1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图像,若y =g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.【解析】(1)由题意知,f (x )==m sin 2x +n cos 2x . 因为y =f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12,3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,-2,所以⎩⎪⎨⎪⎧3=m sin π6+n cos π6,-2=m sin 4π3+n cos 4π3,即⎩⎪⎨⎪⎧3=12m +32n ,-2=-32m -12n ,解得m =3,n =1.(2014·陕西卷)函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的最小正周期是( )A.π2B .πC .2πD .4π【答案】B【解析】已知函数y =A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0)的周期为T =2πω,故函数f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2014·四川卷)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.(2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. (2014·天津卷)已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3,所以f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π4上是增函数, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=-14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12=-12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=14,所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.(2014·浙江卷)为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( ) A .向右平移π4个单位 B .向左平移π4个单位C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位【答案】C(2014·重庆卷)已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+3π2的值.【解析】(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π, 所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2, 所以φ=-π6.因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+3π2 =sin α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α-π6)+π6 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π6sin π6 =14×32+154×12=3+158.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练21函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版

2
北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
图 3-4-6 π 3π y= 10sin 8 x+ 4 +20(6 ≤ x≤14) [ 由图知 A= 10,b= 20,T= 2(14 - 6) = 16,所
以
ω
=
2π T
=
π8 ,所以
y= 10sin
π8 x+ φ +20,把点 (10,20) 代入,得 sin
1
∵图像过点
, 10 300
,
1 ∴10sin 100π ×300+ φ = 10,
∴sin
π 3 +φ
=
1,
π 3
+
φ
=
2kπ
+π 2
,
k
∈
Z,
π
π
π
∴ φ =2kπ + 6 , k∈ Z. 又∵ 0< φ < 2 ,∴ φ = 6 ,
3
北师大版 2019 高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
π
π
π
0 [ 由 f ( x) = 3sin ωx- 3 ( ω > 0) 的最小正周期为 2 ,得 ω = 4,所以 f 3 = 3
sin
4×
π 3
-
π 3
= 0.]
7.(2018 ·武汉调研 ) 如图 3-4-6 ,某地一天 6— 14 时的温度变化曲线近似满足函数
y=
Asin( ωx+ φ ) +b(| φ | <π ) ,则这段曲线的函数解析式可以为 ________.
1
图像如图 3-4-7 所示,则当
t
=
秒时,电流强度是 100
________安 .
【导学号: 79140119】
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题19函数y=Asin(ωx+φ)的图象(押题专练)含解析

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如下图,则ω=( )A.5 B.4 C.3 D.2答案:B2.为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象上所有的点( ) A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度答案 A解析y=2x,y=2x-3,y=2x-3-1.故选A.3.设定义在[-1,7]上的函数y =f (x )的图象如图所示,则关于函数y =1()f x 的单调区间表述正确的是( )A .在[-1,1]上单调递增B .在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增C .在[5,7]上单调递增D .在[3,5]上单调递增 答案 B解析 由题图可知,f (0)=f (3)=f (6)=0,所以函数y =1()f x 在x =0,x =3,x =6时无定义,故排除A 、C 、D ,选B.4.为得到函数y =sin(x +π3)的图象,可将函数y =sin x 的图象向左平移m 个单位长度,或向右平移n 个单位长度(m ,n 均为正数),则|m -n|的最小值是( )A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π3解析:由题意可知,m =π3+2k 1π,k 1为非负整数,n =-π3+2k 2π,k 2为正整数,∴|m -n|=|2π3+2(k 1-k 2)π|,∴当k 1=k 2时,|m -n|min =2π3.答案:B5.已知函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3-m2在[0,π]上有两个零点,则实数m 的取值范围为( )A .[-3,2]B .[3,2)C .(3,2]D .[3,2]答案:B6.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=log12f(x)的图象大致是( )答案 C解析由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以y=log12f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合各选项知,选C.7.函数f(x)=ax+bx +c2的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 答案 C8.要得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象,只需将函数y =sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π8个单位解析 由y =sin 2x 的图象得到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象只需向左平移π8个单位,故选A. 答案 A9.函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(ω>0)的最小正周期是π,则其图象向右平移π3个单位后对应函数的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+k π,π4+k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4+k π,3π4+k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12+k π,7π12+k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π12+k π,π12+k π(k ∈Z )答案 B10.将函数f (x )=sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称,则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最小值为( )A.-32 B.-12C.12D.32解析 依题设,平移后得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+φ的图象,又该图象关于原点对称,则π3+φ=k π,k ∈Z ,由|φ|<π2,得φ=-π3,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,所以当2x -π3=-π3时,f (x )取最小值-32. 答案 A11.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π),其导函数f ′(x )的图象如图所示,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A.2 2B. 2C.-22 D.-24解析 依题意得f ′(x )=A ωcos(ωx +φ),结合函数y =f ′(x )的图象,则T =2πω=4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8-π8=π,ω=2.又A ω=1,因此A =12.因为0<φ<π,3π4<3π4+φ<7π4,且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+φ=-1,所以3π4+φ=π,即φ=π4,f (x )=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π4=-12×22=-24.答案 D12.函数f (x )=sin x +cos x 的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数为偶函数,则t 的最小值为____.解析 函数f (x )=sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4,其图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -t +π4为偶函数,则-t +π4=π2+k π(k ∈Z ),即t =-π4-k π(k ∈Z ),又t >0,∴当k =-1时,t min =3π4. 答案3π413.已知f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π3上有最小值,无最大值,则ω=____.答案14314.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y =π4所得线段长为π4,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=________. 解析:依题意πω=π4,∴ω=4,f(x)=tan 4x ,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=tan π=0. 答案:015.已知f(x)=cos(2x +φ),其中φ∈[0,2π),若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π3上有最小值,无最大值,则φ=________.解析:由题意知,当x =π4时,f(x)取最小值,∴2×π4+φ=π+2k π,∴φ=π2+2k π,k ∈Z.又0≤φ<2π,∴φ=π2.答案:π216.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =ɑ+Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x -6)(x =1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为________℃.答案:20.517.设函数y =f (x +1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(-∞,0)是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x -1)f (x )≤0的解集为.答案 (-∞,0]∪(1,2]解析 y =f (x +1)向右平移1个单位得到y =f (x )的图象,由已知可得f (x )的图象的对称轴为x =1,过定点(2,0),且函数在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增,则f (x )的大致图象如图所示.不等式(x -1)f (x )≤0可化为1()0x f x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或1()0x f x <⎧⎪⎨≥⎪⎩由图可知符合条件的解集为(-∞,0]∪(1,2].18.已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )=|x 2-2x +12|.若函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是.答案 (0,12)解析 先画出y =x 2-2x +12在区间[0,3)上的图象,再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方,利用周期为3,将图象平移至区间[-3,4]内,即得f (x )在区间[-3,4]上的图象如图所示,其中f (-3)=f (0)=f (3)=0.5,f (-2)=f (1)=f (4)=0.5.函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y =f (x )的图象与直线y =a 有10个不同的交点,由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.19.给出下列命题:①在区间(0,+∞)上,函数y =x -1,y =x 12,y =(x -1)2,y =x 3中有三个是增函数;②若log m 3<log n 3<0,则0<n <m <1;③若函数f (x )是奇函数,则f (x -1)的图象关于点(1,0)对称;④若函数f (x )=3x-2x -3,则方程f (x )=0有两个实数根,其中正确的命题是.答案 ②③④由图象可知,两个函数图象有两个交点,所以④正确.20.设函数f(x)=sin x +sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x 的集合;(2)不画图,说明函数y =f(x)的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到.(2)先将y =sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,(横坐标不变),得y =3sin x 的图象;再将y =3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位,得y =f(x)的图象(答案不唯一).21.已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图象关于直线x =π3对称,且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值;(2)将函数y =f (x )的图象向右平移π12个单位后,得到y =g (x )的图象,求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π, 所以f (x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又f (x )的图象关于直线x =π3对称, 所以2×π3+φ=k π+π2(k ∈Z ),因为-π2≤φ<π2,所以k =0,所以φ=π2-2π3=-π6,所以f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4-π6=3sin π3=32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后,得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x -π12的图象,所以g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12-π6=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3. 当2k π+π2≤2x -π3≤2k π+3π2(k ∈Z ),即k π+5π12≤x ≤k π+11π12(k ∈Z )时,g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+5π12,k π+11π12(k ∈Z ).22.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?(2)依题意,当f (t )>11时实验室需要降温, 由(1)得f (t )=10-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t +π3>11,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温.。
2019版高考数学一轮复习 第三章第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课时作业

第4讲 函数y =A sin(ωx +φ)的图象1.函数y =sin(ωx +φ)(x ∈R ,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图X341,则( )图X341A .ω=π2,φ=π4B .ω=π3,φ=π6C .ω=π4,φ=π4D .ω=π4,φ=5π42.为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数y =2cos 3x 的图象( )A .向右平移π12个单位长度B .向右平移π4个单位长度C .向左平移π12个单位长度D .向左平移π4个单位长度3.(2017年四川眉山中学统测)将函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3 的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( )A .其一条对称轴方程为x =-π6B .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递增C .当x =π12+k π(k ∈Z )时取得最大值D .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递增 4.(2015年湖南)将函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )的图象,若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π3,则φ=( )A.5π12B.π3C.π4D.π65.(2017年湖北咸宁模拟)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2<φ<π2的最小正周期为π,将该函数的图象向左平移π6个单位长度后,得到的图象对应的函数为奇函数,则f (x )的图象( )A .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12,0对称 B .关于直线x =5π12对称 C .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12,0对称 D .关于直线x =π12对称6.设f (x )=3sin 3x +cos 3x ,若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ,则实数a 的取值范围是________.7.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,a .当a =π3时,f (x )的值域是__________;若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,则a 的取值范围是__________.8.(2015年湖南)已知ω>0,在函数y =2sin ωx 与y =2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2 3,则ω=________.9.(2015年天津)已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R ,若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为____________.10.(2014年北京)函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6的部分图象如图X342. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,-π12上的最大值和最小值.图X34211.(2017年山东)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2,其中0<ω<3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0. (1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4上的最小值.第4讲 函数y =A sin (ωx +φ)的图象1.C 解析:∵T 4=3-1=2,∴T =8,∴ω=2πT =π4.令π4×1+φ=π2,得φ=π4.故选C.2.A 解析:由于y =sin 3x +cos 3x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4,y =2cos 3x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π2,因此只需将y =2cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度,即可得到y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12+π2= sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4的图象. 3.B 解析:f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象向右平移π2个单位长度所得图象对应的函数为f (x )=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x -π2+π3=-3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,其对称轴方程为2x +π3=π2+k π(k ∈Z ),即x =π12+k π2(k ∈Z ),排除A.当x =π12+k π(k ∈Z ),得-3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π+π2=-3.故C 错误.由π2+2k π≤2x +π3≤3π2+2k π(k ∈Z ),得π12+k π≤x ≤7π12+k π(k ∈Z ),即f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12+k π,7π12+k π(k ∈Z ).故选B. 4.D 解析:向右平移φ个单位长度后,得到g (x )=sin(2x -2φ),∵|f (x 1)-g (x 2)|=2,∴不妨令2x 1=π2+2k π(k ∈Z ),2x 2-2φ=-π2+2m π(m ∈Z ).∴x 1-x 2=π2-φ+(k -m )π.又∵|x 1-x 2|min =π3,∴π2-φ=π3⇒φ=π6.故选D.5.B 解析:由已知,得ω=2,则f (x )=sin(2x +φ).设平移后的函数为g (x ),则g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+φ ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<π2,且为奇函数,所以φ=-π3,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3.令2x -π3=k π+π2(k ∈Z ),易得f (x )的图象关于直线x =5π12对称.故选B.6.[2,+∞) 解析:f (x )=3sin 3x +cos 3x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π6,|f (x )|max =2,∴a ≥2. 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π2 解析:当a =π3时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3,2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1;若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,π2≤2a +π6≤7π6,解得π6≤a ≤π2.8.π2 解析:根据三角函数图象与性质可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1π+π4,2,⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2π+5π4,-2,k 1,k 2∈Z +,距离最短的两个交点一定在同一个周期内,∴()2 32=1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4-π42+(-2-2)2.∴ω=π2.9.π2 解析:由f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且f (x )的图象关于直线x =ω对称,可得2ω≤πω,且f (ω)=sin ω2+cos ω2=2⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω2+π4=1,所以ω2+π4=π2⇒ω=π2.10.解:(1)f (x )的最小正周期为π,x 0=7π6,y 0=3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,-π12,所以2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,0.于是,当2x +π6=0,即x =-π12时,f (x )取得最大值0;当2x +π6=-π2,即x =-π3时,f (x )取得最小值-3.11.解:(1)因为f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2, 所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sin ωx -32cos ωx =3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx -32cos ωx=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π3. 由题设知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0,所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z . 故ω=6k +2,k ∈Z .又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1),得f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3. 所以g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12.根据x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4得到x -π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32.。
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课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用
基础巩固组
1.(2018湖南长郡中学仿真,3)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像()
A.关于点对称
B.关于直线x=对称
C.关于点对称
D.关于直线x=对称
3.(2018河北衡水中学金卷十模,10)将函数y=sin x-的图像向右平移个单位,再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则所得图像对应的函数的一个递增区间为()
A. B.
C. D.
4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()
A.5
B.6
C.8
D.10
5.(2018河北衡水中学月考,10)将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是 ()
A.最小正周期为π
B.图像关于直线x=对称
C.图像关于点对称
D.初相为
6.(2018河南洛阳一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像,若函数g(x)在区间-上是增加的,则ω的最大值为()
A.3
B.2
C. D.
7.(2018河北衡水中学金卷一模,11)已知函数f(x)=sin ωx-2cos2+1(ω>0),将f(x)的图像向右平移φ个单位,所得函数g(x)的部分图像如图所示,则φ的值为()
A. B. C. D.
8.函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
9.(2018北京,理11)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.
10.已知函数y=3sin.
(1)用五点法作出函数的图像;
(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的.
综合提升组
11.(2018河南商丘二模,11)将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在上是增加的,则ω的最大值为()
A.2
B.4
C.6
D.8
12.(2018山西吕梁一模,11)将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()
A. B. C. D.
13.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为.
14.(2018湖南长郡中学二模,17)已知函数f(x)=2sincossin 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最值及相应的x值.
创新应用组
15.(2018湖南衡阳一模,11)已知A、B、C、D是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<在一个周期内的图像上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则()
A.ω=2,φ=
B.ω=2,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
16.(2018河北衡水中学17模,11)设函数f(x)=sin.若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为()
A. B.
C. D.
参考答案
课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)
的图像及应用
1.A y=sin 3x+cos 3x=sin=sin 3,
函数y=cos 3x=sin=sin 3,故将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位,
得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像.
2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=- (k∈Z),当k=1时,x=,故选D.
3.A将y=sin的图像向右平移个单位,得到y=sin-=sin的图像,
再将所得的图像所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),
所得的图像对应的解析式为y=sin,
令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ
+,k∈Z,
当k=0时,所得图像对应的函数的一个递增区间为,,故选C.
4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
5.C由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,
∴g(x)=2sin.易判断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵g=2sin=2≠0,
∴选项B对C错,故选C.
6.C由题意知,g(x)=2sin=2sin ωx,由对称性,得-≤×,即ω≤,则ω的最大值为.
7.A由题意得f(x)=sin ωx-2cos2+1=sin ωx-cos ωx=2sin,
则g(x)=2sinω(x-φ)-=2sinωx-ωφ-,由题图知T=2-=π,
∴ω=2,g(x)=2sin2x-2φ-,
则g=2sin--2φ=2sin=2,
由0<φ<,得-2φ=,解得φ的值为,故选A.
8.A由题图知,A=2,周期T=2-=π,
所以ω==2,y=2sin(2x+φ).
方法一:因为函数图像过点,
所以2=2sin.
所以+φ=2kπ+(k∈Z).
令k=0,得φ=-,
所以y=2sin,故选A.
方法二:因为函数图像过点,
所以-2=2sin,
所以2×+φ=2kπ-,k∈Z,
即φ=2kπ-,k∈Z.
令k=0,得φ=-,
所以y=2sin.故选A.
9. ∵对任意x∈R都有f(x)≤f,
∴f=1,即cos=1.
∴-=2kπ,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值,即=,ω=.故ω的最小值为.
10.解 (1)列表:
x
x-0 ππ 2π
3sin 0 3 0 -3 0
描点、连线,如图所示.
(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.
先把y=sin x的图像上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin的图像,再把y=sin的图像上
所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像,最后将y=sin的图像上所有
点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.
(方法二)“先伸缩,后平移”
先把y=sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图像,再把y=sin x图像上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像,最后将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.
11.C f(x)=cos2sin-2cos+=sin ωx-2+=sin ωx-cos ωx=2sinωx-,f(x)的图像向左平移个单位,得y=2sinωx+-的图像,
∴函数y=g(x)=2sin ωx.
又y=g(x)在上是增加的,
∴≥,即≥,
解得ω≤6,所以ω的最大值为6.
12.A由题意得g(x)=2sin2x++-1,故g(x)max=1,g(x)min=-3,
由g(x1)g(x2)=9,得
由g(x)=2sin-1=-3得2x+=2kπ-,k∈Z,
即x=kπ-,k∈Z,
由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2=-,-,,.
故当x1=,x2=-时,2x1-x2最大,即2x1-x2=,故选A.
13. ∵函数的图像关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,
解得φ=kπ-,k∈Z,
∴f(x)=cos,k∈Z.
∵f(x)的图像平移后得函数y=cos(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-.
∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).
14.解 (1)f(x)=sin+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,
所以f(x)的最小正周期是π.
(2)因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,
所以≤2x+≤,
当x=时,f(x)max=2;
当x=时,f(x)min=-1.
15.A由题意可知=+=,
∴T=π,ω==2.
又sin=0,0<φ<,
∴φ=,故选A.
16.B(特殊值法)画出f(x)=sin的图像如图所示.
结合图像可得,当x2=0时,f(x2)=sin=;
当x1=-时,f(x1)=sin=-,满足f(x1)+f(x2)=0.
由此可得当x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0时,|x2-x1|>=.故选B.。