概率第10讲

并判断X与 是否相互独立 是否相互独立. 并判断 与Y是否相互独立
y
o
x
解 f X ( x) = ∫
∞
−∞
f ( x, y)dy
∞
f X ( x) = ∫ xe−( x+ y)dy 当x > 0时， 0
y
= xe
−x
∫
∞
0
e dy = xe−x
−y
当x ≤ 0时，f X ( x) = 0.
o x
xe , x > 0 f X ( x) = 0， 其它
y
O
y
y = x2
当 y < 0 或 y > 1时, f Y ( y ) = 0 .
6( y − y ), 0 ≤ y ≤ 1 fY ( y ) = 0, 其他.
x
在求连续型随机向量的边缘密度时， 在求连续型随机向量的边缘密度时 ， 往往要求联合密度在某区域上的积分. 往往要求联合密度在某区域上的积分 当联 合密度函数是分片表示的时候， 在计算积 合密度函数是分片表示的时候 ， 分时应特别注意积分限 .
∂ 2F ( x, y) ，当该混合偏导数存在 f ( x , y ) = ∂ x∂ y 0， 其他
如果
∫∫
R
2
f ( x , y )dxdy = 1, 则
f ( x , y ) 是( X , Y )的概率密度 .
三、边缘密度 设 f ( x , y )是随机向量 ( X , Y )的概率密度 ,
G
= ∫ dx ∫1 4 xy dy =
0
4
1 2
1
∫
0
2 xdx ∫1 2 y dy
4
1
1
1 4
D
1 2
1 1 15 = × (1 − ) = 4 16 64
o
1
x
为了计算重积分方便， 为了计算重积分方便，我们介绍下面 的定理. 的定理.
定理） 定理 3.1 （Fubini 定理）
设 D是 R 的子区域 , ϕ ( x1 , x 2 , L , x n )是 D上的
若x ≤ 0或 y ≤ 0, 则F ( x,y ) = 0.
o
x
1− e − e + e F( x, y) = 0 ,
−x
−y
− x− y
, x > 0, y > 0 其它
是连续型随机向量 例4 设(X,Y)是连续型随机向量，且已知其分布 是连续型随机向量， 函数为 1− e− x − e− y + e−x− y , x > 0, y > 0 F( x, y) = 0 , 其它
−y 0 −x +∞ +∞ −2 x
= ∫ (2e
0
D IG1 +∞
−2 x
∫
x
0
(−e ) 0 )dx
−y x
= ∫ (2e
0
+∞
−2 x
(1 − e ))dx = ∫ (2e−2 x − 2e−3 x )dx
= ( −e
−2 x
)0
+∞
2 −3 x +( e ) 3 0
+∞
0
2 1 = 1− = − 3 3
X的边缘密度为 的
fX ( x) =
∫
∞
−∞
f ( x,y ) dy
同理， 的 同理， Y的边缘密度为
fY ( y ) =
∫
∞
−∞
f ( x,y ) dx
例5
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
2
6, x ≤ y ≤ x , f ( x, y) = 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
−2 x − y − y 1− x 1 0
−2 x
∫
1− x
0
e d y) d x
−y
= ∫ (2e = ∫ (2e
0 1
−2 x
(−e ) 0 ) d x = ∫ (2e−2 x (1 − e x−1 ))d x − 2e
−2
− x−1
−2 x
) d x = (−e
−1
−2 x 1
) 0 + (2e
n
非负函数或满足
∫∫ L∫
D
ϕ ( x1 , x 2 , L , x n ) dx1dx 2 L dx n < ∞
则对区域 D上的 n重积分
∫∫ L∫
交换 .
D
ϕ ( x1 , x 2 , L , x n ) dx1dx 2 L dx n
可以进行累次积分运算 ，且积分的次序可以
例2
设随机向量(X,Y)具有联合密度 具有联合密度 设随机向量
y = x2
O
当 x < 0 或 x > 1时, f X ( x ) = 0.
x
6( x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 f X ( x) = 其他. 0,
fY ( y ) =
∫
+∞
−∞
f ( x, y) d x
y
当 0 ≤ y ≤ 1 时,
y= x =
(1,1)
fY ( y ) = ∫ 6 d x = 6( y − y ).
(2)若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续 , 则有 ∂ F ( x, y) = f ( x, y) . ∂ x∂ y
2
例3
设随机向量(X,Y)具有联合密度 具有联合密度 设随机向量
e− x− y , x > 0, y > 0 f ( x, y) = 其它 0 ,
求X,Y的分布函数 F(x, y). 的分布函数 解 F ( x, y ) = P{ X ≤ x, Y ≤ y}
有
P (( X , Y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x , y )dxdy
D
则称 ( X , Y ) 是连续型随机变量 , 称 f ( x,y )是
( X , Y ) 的联合概率密度 , 或联合密度 .
设 ( X , Y ) 是连续型随机向量 , f ( x , y )是( X , Y )的概率密度 ,
−x
fY ( y) = ∫ f ( x, y)dx
−∞
∞
当y > 0时，f X ( x) = ∫0 xe
∞
−( x+ y)
dx
−y
=e
=∫
y −∞
∫
x
−∞
f ( u, v ) dudv
若x > 0 , y > 0,
则F ( x,y )
=∫
y 0
e− x− y , x > 0, y > 0 f ( x, y) = 其它 0 ,
dudv
y
( x,y )
∫
x
0
e e
−u −v
= (1 − e − x )(1 − e − y )
这里“几乎处处成立”的含义是： 这里“几乎处处成立”的含义是：在平 面上除去面积为0的集合外 处处成立. 的集合外， 面上除去面积为 的集合外，处处成立
例6 设(X,Y)的概率密度为 的概率密度为
xe , x > 0, y > 0 f (x, y) = 0, 其它
−( x+ y)
求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
+∞ +∞ 0
设D = {( x , y ) x > 0, y > 0}. y
∫ ∫
0
ke − 2 x − y dxdy
= k∫
+∞
0
e
−2 x
dx ∫
∞
+∞
0
e − y dy
1 −2 x −y ∞ ( − e ) = k − e 2 0 0 1 k = k × ×1 = 2 2 −2 x− y ke , x > 0, y > 0 f ( x, y) = ⇒ k = 2. 其它 0 ,
第3章 §3.3
随机向量及其独立性
连续型随机向量及其联合密度
一、联合概率密度
定义3.1 定义
设 ( X , Y ) 是随机向量 , 如果有 R 2上
2
的非负可积函数 f ( x , y ), 使对 R 上的所有 长方形子集 D = {( x , y ) | a < x ≤ b , c < y ≤ d }
y
D
o
D = {( x , y ) | a < x ≤ b, c < y ≤ d } P (( X , Y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x , y )dxdy .
D
x
按照上述定义， 按照上述定义， 连续型随机变量有概率 密度， 密度，没有概率密度的随机变量不是连续型 随机变量. 随机变量
联合概率密度的性质 联合概率密度的性质
设f ( x , y )是连续型随机向量 ( X , Y )的 概率密度 .
(1) f ( x , y ) ≥ 0.
( 2 )对 R 上的所有子区域 B , 有
2
P (( X , Y ) ∈ B ) =
∫∫
B
f ( x , y )dxdy
2
( 3 ) ∫∫
R
2
f ( x , y )dxdy = P (( X , Y ) ∈ R ) = 1.
( f 求 X,Y )的概率密度 ( x, y).
(2)若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续 , 则有 ∂ F ( x, y) = f ( x, y) . ∂x∂y