2017年青海省西宁市高考数学二模试卷与解析word(文科)

2017年青海省西宁市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i2．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣13．（5分）已知平面向量，且，则为（）A．2 B．C．3 D．14．（5分）已知，则sin2α=（）A．B．C．D．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）A．8 B．C．4 D．6．（5分）抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足||=||，抛物线的准线与x轴的交点是B，则•=（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣4或47．（5分）在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③9．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．（5分）函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2，则该函数图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=2 D．x=111．（5分）椭圆的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）=f（4﹣x），②f（x+2）=f（x），③在[0，1]上表达式为f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log3|x|的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为．14．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为．16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P﹣BCEF的体积．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（1）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（2）讨论f（x）在定义域上的单调性．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，（1）求的最小值；（2）求证：x2+y2+z2≥．2017年青海省西宁市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2011•新课标）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【解答】解：=﹣2+i故选C2．（5分）（2017•西宁二模）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N 成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，∴，解得a=﹣1．故选C．3．（5分）（2017•西宁二模）已知平面向量，且，则为（）A．2 B．C．3 D．1【解答】解：∵∥，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴||==2，故选：A．4．（5分）（2017•西宁二模）已知，则sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：cos cosα+sin sinα=，则cosα+sinα=，两边平方，得1+sin2α=，则sin2α=．故选：B．5．（5分）（2017•西宁二模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）A．8 B．C．4 D．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面．底面对角线的长为2，底面面积是S=×22=2，四棱锥高为h=2，所以它的体积是×2×2=，故选：D6．（5分）（2017•西宁二模）抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足||=||，抛物线的准线与x轴的交点是B，则•=（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣4或4【解答】解：抛物线y2=16x的焦点为F（4，0），||=||，可得A（0，±4），又B（﹣4，0），即有=（﹣4，4），=（﹣4，﹣4）或=（﹣4，﹣4），=（﹣4，4）则有•=16﹣16=0，故选：C．7．（5分）（2017•西宁二模）在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b ﹣a+c）=ac的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）如图，若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°；∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣ac；∴a2+c2﹣b2=ac；∴（b+a﹣c）（b﹣a+c）=b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=﹣ac+2ac=ac；即（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac；∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件；（2）若（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，则：b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=ac；∴a2+c2﹣b2=ac；由余弦定理：a2+c2﹣b2=2ac•cosB；∴；∴B=60°；∴60°﹣A=180°﹣（A+60°）﹣60°；即B﹣A=C﹣B；∴A，B，C成等差数列；∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的必要条件；∴综上得，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充要条件．故选：C．8．（5分）（2017•西宁二模）现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③【解答】解：根据①y=x•sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；根据②y=x•cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数，在（，π）上的值为负数，故第三个图象满足；根据③y=x•|cosx|为奇函数，当x＞0时，f（x）≥0，故第四个图象满足；④y=x•2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，故选：D．9．（5分）（2017•西宁二模）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log 45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log 23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故选：B．10．（5分）（2017•西宁二模）函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2，则该函数图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=2 D．x=1【解答】解：由函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，可得φ=kπ+，k∈z．再结合0＜φ＜π，可得φ=．再根据AB2=8=4+，求得ω=，∴函数y=cos（x+）=﹣sin x，故它的一条对称轴方程为x=1，故选：D．11．（5分）（2017•西宁二模）椭圆的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆方程，可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F 2（c，0），∴k AB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，∴e=．故选：D12．（5分）（2017•西宁二模）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）=f （4﹣x），②f（x+2）=f（x），③在[0，1]上表达式为f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log3|x|的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）满足：①f（x）=f（4﹣x），∴f（x+2）=f（2﹣x），∴函数的对称轴为x=2，∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵在[0，1]上表达式为f（x）=2x﹣1，做出函数的图象和y=log3|x|的图象，通过图象得出交点的个数为4．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017•西宁二模）2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．【解答】解：由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一个地方，则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．故答案为：陆心之海青海湖14．（5分）（2017•西宁二模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．（5分）（2017•西宁二模）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+2）的距离为要使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点则＜1解得﹣≤k≤∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为=故答案为：16．（5分）（2017•西宁二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为2．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•北京）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．18．（12分）（2017•西宁二模）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a 3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．（12分）（2017•西宁二模）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P﹣BCEF的体积．【解答】（1）证明：如图，在Rt△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°．在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，∴∠BEF=90°，则EF⊥BE．∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF；（2）解：过P做PO⊥BE，∵PO⊂平面PBE，平面PBE⊥平面BCDE且平面PBE∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，四棱锥P﹣BCFE的高h=PO=．S四边形BCFE=S矩形ABCD﹣S△ABE，则=．20．（12分）（2017•西宁二模）已知椭圆的右焦点为F （1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得c=1，所以a2=b2+1．因为点在椭圆C上，所以，可解得a2=4，b2=3．则椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．因为△=48（4k2﹣1）＞0，所以，由根与系数的关系，得．因为∠AOB为锐角，所以，即x 1x2+y1y2＞0．所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，所以．综上，解得或．所以，所求直线的斜率的取值范围为或．21．（12分）（2017•西宁二模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（1）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（2）讨论f（x）在定义域上的单调性．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣a﹣2x，令f'（1）=0，即﹣a﹣2=0，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2）f′（x）=﹣a﹣2x=，令f'（x）=0，得x=0，或x=﹣，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当﹣≤﹣1，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当﹣1＜﹣＜0，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，﹣），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（﹣，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当﹣=0，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当﹣＞0，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，﹣），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（﹣，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•西宁二模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P 的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），曲线C的直角坐标方程：=1，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣）=2，展开，ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．（2）设点P的坐标为，得P到直线l的距离d=，令sinφ=，cosφ=．则d=，显然当sin（α+φ）=﹣1时，d max=．此时α+φ=2kπ+，k∈Z．∴cosα==﹣sinφ=﹣．sinα=sin=﹣cosφ=﹣，即P．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•西宁二模）已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，（1）求的最小值；（2）求证：x2+y2+z2≥．【解答】解：（1）∵x、y、x是正实数，且x+2y+3z=1，∴=（）（x+2y+3z）=6++++++=6+（+）+（+）+（+）≥6+2+2+2当且仅当=且=且=时取等号；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），∴x2+y2+z2≥，当且仅当x=2y=3z即x=，y=，z=时取等号．故x2+y2+z2≥．参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；zlzhan；刘老师；左杰；豫汝王世崇；双曲线；wkl197822；caoqz；陈高数；洋洋；whgcn；w3239003；minqi5；qiss；lincy；sxs123；maths；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年6月2日赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。