B《八年级数学(上)基础知识归纳》考验版
北师大版数学八年级上册第三章位置与坐标知识点归纳及例题(含答案)
北师大版八年级上册第三章位置与坐标知识点归纳及例题1 平面直角坐标系【要点梳理】知识点一、确定位置的方法有序数对:把有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).要点诠释:有序,即两个数的位置不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同,如电影院的座位是6排7号,可以写成(6,7)的形式,而(7,6)则表示7排6号.可以用有序数对确定物体的位置,也可以用方向和距离来确定物体的位置(或称方位).知识点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).知识点诠释:平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2.点的坐标平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标,记作:P(a,b),如图2.知识点诠释:(1)表示点的坐标时,约定横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用“,”隔开.(2)点P(a,b)中,|a|表示点到y轴的距离;|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x,y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.知识点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限,如下图.知识点诠释:(1)坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限.(2)按方位来说:第一象限在坐标平面的右上方,第二象限在左上方,第三象限在左下方,第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征知识点诠释:(1)对于坐标平面内任意一个点,不在这四个象限内,就在坐标轴上.(2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点的纵坐标为0;y轴上的点的横坐标为0.(3)根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置;反之,根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况.【典型例题】类型一、确定物体的位置1.如果将一张“13排10号”的电影票简记为(13,10),那么(10,13)表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上,一个数据不能确定平面上点的位置.须用有序数对来表示平面内点的位置.【答案】10,13.【解析】由条件可知:前面的数表示排数,后面的数表示号数.【总结升华】在表示时,先要“约定”顺序,一旦顺序“约定”,两个数的位置就不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同.2.如图,雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现.按照规定的目标表示方法,目标C、F的位置表示为C(6,120°)、F(5,210°).按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时,其中表示不正确的是()A.A(5,30°)B.B(2,90°)C.D(4,240°)D.E(3,60°)【思路点拨】按已知可得,表示一个点,横坐标是自内向外的环数,纵坐标是所在列的度数,分别判断各选项即可得解.【答案】D.【解析】由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为:A(5,30°),故A正确;B(2,90°),故B正确;D(4,240°),故C正确;E(3,300°),故D错误.【总结升华】本题考查了学生的阅读理解能力,由已知条件正确确定点的位置是解决本题的关键.类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念3.如图,写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标,要先确定点所在的象限,再看点到坐标轴的距离.【答案与解析】解:由点A向x轴作垂线,得A点的横坐标是2,再由点A向y轴作垂线,得A 点的纵坐标是3,则点A的坐标是(2,3),同理可得点B、C、D的坐标.所以,各点的坐标:A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2).【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值,到y轴的距离是这点横坐标的绝对值.举一反三:【变式】多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩,回到家后,她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图,如图所示.可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴.只知道马场的坐标为(﹣3,﹣3),你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标?【答案】解:建立坐标系如图:∴南门(0,0),狮子(﹣4,5),飞禽(3,4)两栖动物(4,1).4.如图,四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O (0,0),A (3,0),B (5,2),C (2,3).求这个四边形的面积.【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线,如图,然后利用S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算.【答案与解析】解:分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线,如图,则E(5,3),所以S四边形ABCO =S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=.【总结升华】本题考查了坐标与图形性质:利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系;会运用面积的和差计算不规则图形的面积.举一反三:【变式】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知:A(3,2),B(5,0),则△AOB的面积为.【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征5. 已知点P(2m+4,m﹣1).试分别根据下列条件,求出点P的坐标.(1)点P的纵坐标比横坐标大3;(2)点P在过A(2,﹣3)点,且与x轴平行的直线上.【思路点拨】(1)根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣(2m+4)=3,即可得出m 的值,进而得出P点坐标;(2)根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3,进而得出m的值,进而得出P点坐标.【答案与解析】解:(1)∵点P(2m+4,m﹣1),点P的纵坐标比横坐标大3,∴m﹣1﹣(2m+4)=3,解得:m=﹣8,∴2m+4=﹣12,m﹣1=﹣9,∴点P的坐标为:(﹣12,﹣9);(2)∵点P在过A(2,﹣3)点,且与x轴平行的直线上,∴m﹣1=﹣3,解得:m=﹣2,∴2m+4=0,∴P点坐标为:(0,﹣3).【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质,根据已知得出关于m的等式是解题关键.举一反三:【变式】在直角坐标系中,点P(x,y)在第二象限且P到x轴,y轴的距离分别为2,5,则P的坐标是_________;若去掉点P在第二象限这个条件,那么P的坐标是________.【答案】(-5,2);(5,2),(-5,2),(5,-2),(-5,-2).2 坐标平面内图形的轴对称和平移【知识点梳理】知识点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b);P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b);P(a,b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b).2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可表示为(a,a);第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数,可表示为(a,-a).3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同;平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.知识点二、用坐标表示平移1.点的平移:在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b).知识点诠释:(1)在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减;(2)在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减;(3)在坐标系内,平移的点的坐标规律:沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变.2.图形的平移:在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.知识点诠释:(1)平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.(2)平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1.已知点P (3,-1)关于y 轴的对称点Q 的坐标是(a +b ,1-b ),则的值为_______.【思路点拨】根据关于y 轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可得a +b =-3,1-b =-1,再解方程可得a 、b 的值,进而算出的值.【答案】25【解析】解:∵点P (3,-1)关于y 轴的对称点Q 的坐标是(a +b ,1-b ),∴a +b =-3,1-b =-1,解得:b =2,a =-5,=25,【总结升华】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律.举一反三:【变式】点(3,2)关于x 轴的对称点为( )A .(3,-2)B .(-3,2)C .(-3,-2)D .(2,-3)【答案】A .2.已知点A(-3,2)与点B(x ,y)在同一条平行于y 轴的直线上,且点B 到x 轴的距离等于3,求点B 的坐标.b a b a b a【思路点拨】由“点A(-3,2)与点B(x,y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标;由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3,即可确定B的坐标.【答案与解析】解:如图,∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上,∴点B与点A的横坐标相同,∴ x=-3.∵点B到x轴的距离为3,∴ y=3或y=-3.∴点B的坐标是(-3,3)或(-3,-3).【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下,点B到x轴的距离等于3,则点B可能在第二象限,也可能在第三象限,所以要分类讨论,防止漏解.举一反三:【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为().A.(3,0) B.(3,0)或(–3,0)C.(0,3) D.(0,3)或(0,–3)【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限,则:(1)点P1(a ,-b)在第象限;(2)点P2(-a ,b)在第象限;(3)点P3(-a ,-b)在第象限;(4)点P4( b ,a )在第象限.【答案】(1)三;(2)一;(3)四;(4)四.类型二、用坐标表示平移3.在平面直角坐标系中,将点A(﹣2,3)向右平移2个单位长度,再向下平移6个单位长度得点B,则点B的坐标是.【思路点拨】根据向右平移横坐标加,向下平移纵坐标减列式计算即可得解.【答案】(0,﹣3).【解析】解:∵将点A(﹣2,3)向右平移2个单位长度,再向下平移6个单位长度得点B,∴点B的坐标是(﹣2+2,3﹣6),即(0,﹣3).故答案为:(0,﹣3).【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.举一反三:【变式1】已知:两点A(-4,2)、B(-2,-6),(1)线段AB的中点C坐标是;(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位,得到线段A1B1,则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是.(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位,得到线段A2B2,则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是.【答案】(1)(-3, -2); (2)(1,2),(3,-6); (3)(-4,-1),(-2,-9).度,变为P′(0,1).【答案】2、4.4. 如图中,A、B两点的坐标分别为(2,3)、(4,1),(1)求△ABO的面积.(2)把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′,求△O′A′B′的3个顶点的坐标.【思路点拨】(1)把△ABO放在一个矩形里面,用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积;(2)根据点的坐标平移的规律,用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可.【答案与解析】解:(1)如图所示:S=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5;△ABO(2)A′(2,0),B′(4,﹣2),O′(0,﹣3).【总结升华】此题主要考查了点的平移,以及求三角形的面积,当计算一个三角形的面积时,可以把它放在一个矩形里,然后用矩形的面积减去周围三角形的面积.举一反三:【变式】如图所示,△ABC三个顶点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(4,3),C(3,1).把△A1B1C1向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,恰好得到△ABC,试写出△A1B1C1三个顶点的坐标.【答案】解:A1(﹣3,5),B1(0,6),C1(﹣1,4).3《平面直角坐标系》全章复习与巩固【知识网络】【知识点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义,规定了顺序并放在一起就形成了有序数对,人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思,如某人记录某个月不确定周期的零散收入,可用(13,2000), (17,190), (21,330)…,表示,其中前一数表示日期,后一数表示收入,但更多的人们还是用它来进行空间定位,如:(4,5),(20,12),(13,2),…,用来表示电影院的座位,其中前一数表示排数,后一数表示座位号.知识点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系,如下图:知识点诠释:(1)坐标平面内的点可以划分为六个区域:x轴,y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,这六个区域中,除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外,其他区域之间均没有公共点.(2)在平面上建立平面直角坐标系后,坐标平面上的点与有序数对(x,y)之间建立了一一对应关系,这样就将‘形’与‘数’联系起来,从而实现了代数问题与几何问题的转化.(3)要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征:① x轴上的点纵坐标为零;y轴上的点横坐标为零.②平行于x轴直线上的点横坐标不相等,纵坐标相等;平行于y轴直线上的点横坐标相等,纵坐标不相等.③关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点纵坐标相等,横坐标互为相反数;关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数.④象限角平分线上的点的坐标特征:一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.注:反之亦成立.(4)理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论:①坐标平面内点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|.② x轴上两点A(x1,0)、B(x2,0)的距离为AB=|x1- x2|;y轴上两点C(0,y1)、D(0,y2)的距离为CD=|y1- y2|.③平行于x轴的直线上两点A(x1,y)、B(x2,y)的距离为AB=|x1- x2|;平行于y轴的直线上两点C(x,y1)、D(x,y2)的距离为CD=|y1- y2|.(5)利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积:切割、拼补.知识点三、坐标方法的简单应用1.用坐标表示地理位置(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.知识点诠释:(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向,建立坐标系的关键是确定原点的位置.(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节,要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度.2.用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律:在平面直角坐标中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).知识点诠释:上述结论反之亦成立,即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换.(2)图形的平移在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a ,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a ,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度. 要点诠释:平移是图形的整体运动,某一个点的坐标发生变化,其他点的坐标也进行了相应的变化,反过来点的坐标发生了相应的变化,也就意味着点的位置也发生了变化,其变化规律遵循:“右加左减,纵不变;上加下减,横不变”. 【典型例题】 类型一、有序数对1.数学家发明了一个魔术盒,当任意数对(a ,b)进入其中时,会得到一个新的数:.例如把(3,-2)放入其中,就会有32 +(-2)+1=8,现将数对(-2,3)放入其中得到数m ,再将数对(m ,1)放入其中,得到的数是________. 【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数,只要按照新定义的数的运算,把数对代入求值即可. 【答案】66 .【解析】解:将(-2,3)代入,,得(-2)2+3+1=8, 再将(8,1)代入,得82 +1+1=66, 故填:66.【总结升华】解答此题的关键是把实数对(-2,3)放入其中得到实数m ,解出m 的值,即可求出把(m ,1)放入其中得到的数. 举一反三:【变式】我们规定向东和向北方向为正,如向东走4米,再向北走6米,记作(4,6),则向西走5米,再向北走3米,记作________;数对(-2,-6)表示________. 【答案】 (-5,3);向西走2米,向南走6米. 类型二、平面直角坐标系2. 第三象限内的点P(x ,y),满足|x|=5,y 2=9,则点P 的坐标为________. 【思路点拨】点在第三象限,横坐标<0,纵坐标<0.再根据所给条件即可得到x ,y 的具体值.21a b ++21a b ++21a b ++【答案】(-5,-3).【解析】因为|x|=5,y2=9.所以x=±5,y=±3,又点P(x,y)在第三象限,所以x<0,y<0,故点P的坐标为(-5,-3).【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号,第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).举一反三:【变式1】 (乐山)在平面直角坐标系中,点P(-3,4)到x轴的距离为( ) . A.3 B.-3 C.4 D.-4【答案】C.【变式2】 (长春)如图所示,小手盖住的点的坐标可能为( ) .A.(5,2) B.(-6,3) C.(-4,-6) D.(3,-4)【答案】D.类型三、坐标方法的简单应用3.如图,是某校的平面示意图,已知图书馆、行政楼的坐标分别为(﹣3,2),(2,3).完成以下问题:(1)请根据题意在图上建立直角坐标系;(2)写出图上其他地点的坐标(3)在图中用点P表示体育馆(﹣1,﹣3)的位置.【思路点拨】(1)根据图书馆、行政楼的坐标分别为(﹣3,2),(2,3),可以建立合适的平面直角坐标系,从而可以解答本题;(2)根据(1)中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标;(3)根据点P(﹣1,﹣3)可以在直角坐标系中表示出来.【答案与解析】解:(1)由题意可得,(2)由(1)中的平面直角坐标系可得,校门口的坐标是(1,0),信息楼的坐标是(1,﹣2),综合楼的坐标是(﹣5,﹣3),实验楼的坐标是(﹣4,0);(3)在图中用点P表示体育馆(﹣1,﹣3)的位置,如下图所示,【总结升华】本题考查利用坐标确定位置,解题的关键是明确题意,建立相应的平面直角坐标系.4.如图,四边形OABC各个顶点的坐标分别是O(0,0),A(3,0),B(5,2),C(2,3).求这个四边形的面积.【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线,如图,然后利用S 四边形ABCO=S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算.【答案与解析】解:分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线,如图,则E (5,3),所以S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2 =.【总结升华】本题考查了坐标与图形性质:利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系;会运用面积的和差计算不规则图形的面积.5.△ABC 三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).(1)将△ABC 向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得△A 1B 1C 1的三个顶点坐标分别是什么?(2)将△ABC 三个顶点的横坐标都减去5,纵坐标不变,分别得到A 2、B 2、C 2,依次连接A 2、B 2、C 2各点,所得△A 2B 2C 2与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC 三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到A 3、B 3、C 3,依次连接A 3、B 3、C 3各点,所得△A 3B 3C 3与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? 【答案与解析】解:(1)A1(5,1),B1(4,-1),C1(2,0).(2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同,在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到.(3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同,在位置上是把△ABC向下移5个单位得到.【总结升华】此题揭示了平移的整体性,以及平移前后的坐标关系是一一对应的,在平移中,横坐标减小等价于向左平移;横坐标增大等价于向右平移;纵坐标减小等价于向下平移;纵坐标增大等价于向上平移.举一反三:【变式】在平面直角坐标系中,将点A(x,y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3,2)重合,则点A的坐标是()A.(2,5)B.(﹣8,5)C.(﹣8,﹣1)D.(2,﹣1)【答案】D.解:在坐标系中,点(﹣3,2)先向右平移5个单位得(2,2),再把(2,2)向下平移3个单位后的坐标为(2,﹣1),则A点的坐标为(2,﹣1).故选:D.类型四、综合应用6. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2,-1)、B(1,-3)、C (4,-3.5).(1)在直角坐标系中画出三角形ABC;(2)把三角形A1B1C1向右平移4个单位,再向下平移3个单位,恰好得到三角形ABC,试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标,并在直角坐标系中描出这些点;(3)求出三角形A1B1C1的面积.【思路点拨】(1)建立平面直角坐标系,从中描出A、B、C三点,顺次连接即可.(2)把三角形A1B1C1向右平移4个单位,再向下平移3个单位,恰好得到三角形ABC,即三角形ABC向上平移3个单位,向左平移4个单位,得到三角形A1B1C1,按照平移中点的变化规律:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标,从坐标系中画出图形.(3)把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去,即可求得△A1B1C1的面积.【答案与解析】解:(1)如图1,(2)如图2,A1(-2,2),B1(-3,0),C1(0,-0.5);(3)把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去,即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25.∴△A1B1C1的面积=3.25.【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系,及平移变换.注意平移时,要找到三角形各顶点的对应点是关键,然后割补法求出三角形ABC的面积。
新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习
第十三章(精编)轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,•这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,•那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称,•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。
轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,•成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称.考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中,○1线段○2角○3直角三角形○4半圆,其中一定是轴对称图形的有【】A.1个B.2个C.3个D.4个2.图中,轴对称图形的个数是【】A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.正n 边形有___________条对称轴,圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 (1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,•叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线).(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.考点二、线段垂直平分线的性质4.如图,△ABC 中,∠A =90°,BD 为∠ABC 平分线,DE ⊥BC ,E 是BC 的中点,求∠C 的度数。
北师大版数学八年级上册第三章位置与坐标知识归纳(含练习)
2020年~2021年最新第三章 位置与坐标知识点1 坐标确定位置知识链接平面内特殊位置的点的坐标特征(1)各象限内点P (a ,b )的坐标特征:①第一象限:a >0,b >0; ②第二象限:a <0,b >0;③第三象限:a <0,b <0; ④第四象限:a >0,b <0.(2)坐标轴上点P (a ,b )的坐标特征:①x 轴上:a 为任意实数,b=0;②y 轴上:b 为任意实数,a=0;③坐标原点:a=0,b=0.(3)两坐标轴夹角平分线上点P (a ,b )的坐标特征:①一、三象限:b a =; ②二、四象限:b a -=.同步练习1.定义:直线l 1与l 2相交于点O ,对于平面内任意一点M ,点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ,则称有序实数对(p ,q )是点M 的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( ) A .2 B .3 C .4 D .5考点:点到直线的距离;坐标确定位置;平行线之间的距离.解答:如图,∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上,到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上, ∴“距离坐标”是(1,2)的点是M 1、M 2、M 3、M 4,一共4个.故选C .2.如图,是用围棋子摆出的图案(用棋子的位置用用有序数对表示,如A 点在(5,1)),如果再摆一黑一白两枚棋子,使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,则下列摆放正确的是( )A .黑(3,3),白(3,1)B .黑(3,1),白(3,3)C .黑(1,5),白(5,5)D .黑(3,2),白(3,3)考点:利用旋转设计图案;坐标确定位置;利用轴对称设计图案.解答:A、当摆放黑(3,3),白(3,1)时,此时是轴对称图形但不是中心对称图形,故此选项错误;B、当摆放黑(3,3),白(3,1)时,此时是轴对称图形也是中心对称图形,故此选项正确;C、当摆放黑(1,5),白(5,5)时,此时不是轴对称图形也不是中心对称图形,故此选项错误;D、当摆放黑(3,2),白(3,3)时,此时是轴对称图形不是中心对称图形,故此选项错误.故选:B.3.(2014•台湾)如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录.根据图中两人的对话纪录,若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为何?()A.向北直走700公尺,再向西直走100公尺B.向北直走100公尺,再向东直走700公尺C.向北直走300公尺,再向西直走400公尺D.向北直走400公尺,再向东直走300公尺考点:坐标确定位置.解答:依题意,OA=OC=400=AE,AB=CD=300,DE=400-300=100,所以邮局出发走到小杰家的路径为,向北直走AB+AE=700公尺,再向西直走DE=100公尺.故选:A.4.如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图,如果用(0,0)表示新宁莨山的位置,用(1,5)表示隆回花瑶的位置,那么城市南山的位置可以表示为()A.(2,1)B.(0,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)考点:坐标确定位置.解答:建立平面直角坐标系如图,城市南山的位置为(-2,-1).故选C.5.(2014•怀化模拟)小军从点O向东走了3千米后,再向西走了8千米,如果要使小军沿东西方向回到点O的位置,那么小明需要()A.向东走5千米B.向西走5千米C.向东走8千米D.向西走8千米考点:坐标确定位置.解答:小军从点O向东走了3千米,再向西走了8千米后在点O的西边5千米,所以,要回到点O的位置,小明需要向东走5千米.故选A.6.(2014•遵义二模)在一次寻宝游戏中,寻宝人找到了如图所示的两个标志点A(2,1)、B(4,-1),这两个标志点到“宝藏”点的距离都是10,则“宝藏”点的坐标是.考点:勾股定理的应用;坐标确定位置;线段垂直平分线的性质.解答:首先确定坐标轴,则“宝藏”点是C和D,坐标是:(5,2)和(1,-2).故答案是:(5,2)和(1,-2).7.(2014•曲靖模拟)在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3),B(4,1),A,B两点到“宝藏”点的距离都相等,则“宝藏”点的可能坐标是.考点:坐标确定位置.解答:如图,“宝藏”的可能坐标是(0,-1),(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5).故答案为:(0,-1),(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5).8.(2014•赤峰)如图所示,在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“马”位于点(2,2),“炮”位于点(-1,2),写出“兵”所在位置的坐标.考点:坐标确定位置.解答:建立平面直角坐标系如图,兵的坐标为(-2,3).故答案为:(-2,3).9.如图1,是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图.包括8个方向:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北,方向线交点为O,以O为圆心、等距的圆由内向外分别称作1、2、3、…n.将点所处的圆和方向称作点的位置,例如M(2,西北),N(5,南),则P点位置为.如图2,若将(1,东)标记为点A1,在圆1上按逆时针方向旋转交点依次标记为A2、A3、…、A8;到A8后进入圆2,将(2,东)标记为A9,继续在圆2上按逆时针方向旋转交点依次标记为A10、A11、…、A16;到A16后进入圆3,之后重复以上操作过程.则点A25的位置为,点A2013的位置为,点A16n+2(n为正整数)的位置为.考点:规律型:点的坐标;坐标确定位置.解答:由题意得出:P点在第3个圆上,且在东北方向,故P点位置为:(3,东北),由题意可得出每8个数A点向外移动一次,∵25÷8=3…1,故点A25所在位置与A1方向相同,故点A25的位置为(4,东),∵2013÷8=251…5,故点A2013所在位置与A5方向相同,故点A2013的位置为(252,西),∵(16n+2)÷8=2n…2,故点A16n+2所在位置与A2方向相同,故点A16n+2的位置为(2n+1,东北),故答案为:(3,东北),(4,东),(252,西),(2n+1,东北).10.有一张图纸被损坏,但上面有如图所示的两个标志点A(-3,1),B(-3,-3)可认,而主要建筑C(3,2)破损,请通过建立直角坐标系找到图中C点的位置.解:C点的位置如图.11.如图是某台阶的一部分,如果A点的坐标为(0,0),B点的坐标为(1,1).(1)请建立适当的直角坐标系,并写出其余各点的坐标;(2)说明B,C,D,E,F的坐标与点A的坐标比较有什么变化?(3)现要给台阶铺上地毯,单位长度为1,请你算算要多长的单位长度的地毯?解:以A点为原点,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,所以C,D,E,F各点的坐标分别为C(2,2),D(3,3),E(4,4),F(5,5);B,C,D,E,F的坐标与点A的坐标相比较,横坐标与纵坐标分别加1,2,3,4,5;现要给台阶铺上地毯,单位长度为1,要11个单位长度的地毯12.常用的确定物体位置的方法有两种.如图,在4×4个边长为1的正方形组成的方格中,标有A,B两点.请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置.解:方法1,用有序实数对(a,b)表示,比如:以点A为原点,水平方向为x轴,建立直角坐标系,则B(3,3),方法2,用方向和距离表示,比如:B点位于A点的东北方向(北偏东45°等均可),距离A 3处.点2知识点2 平面直角坐标系知识链接1点的坐标(1)我们把有顺序的两个数a和b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).(2)平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法:在同一平面内画两条有公共原点且垂直的数轴.②各部分名称:水平数轴叫x轴(横轴),竖直数轴叫y轴(纵轴),x轴一般取向右为正方向,y轴一般取象上为正方向,两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴,又属于y轴.(3)坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面,两轴把此平面分成四部分,分别叫第一象限,第二象限,第三象限,第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.(4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.2 两点间的距离公式:设有两点A(x1,y1),B(x2,y2),则这两点间的距离为AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2.说明:求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式.同步练习1.(2014•台湾)如图的坐标平面上有P 、Q 两点,其坐标分别为(5,a )、(b ,7).根据图中P 、Q 两点的位置,判断点(6-b ,a-10)落在第几象限?( )A .一B .二C .三D .四考点:点的坐标.解答:∵(5,a )、(b ,7),∴a <7,b <5,∴6-b >0,a-10<0,∴点(6-b ,a-10)在第四象限.故选D .2.(2014•萧山区模拟)已知点P (1-2m ,m-1),则不论m 取什么值,该P 点必不在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限考点:点的坐标.分析:分横坐标是正数和负数两种情况求出m 的值,再求出纵坐标的正负情况,然后根据各象限内点的坐标特征解答.解答:①1-2m >0时,m <21,m-1<0,所以,点P 在第四象限,一定不在第一象限; ②1-2m <0时,m >21,m-1既可以是正数,也可以是负数,点P 可以在第二、三象限, 综上所述,P 点必不在第一象限.故选A .3.(2014•闵行区二模)如果点P (a ,b )在第四象限,那么点Q (-a ,b-4)所在的象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限考点:点的坐标.分析:根据第四象限的点的坐标特征确定出a 、b 的正负情况,再确定出点Q 的横坐标与纵坐标的正负情况,然后根据各象限内点的坐标特征判断即可.解答:∵点P (a ,b )在第四象限,∴a >0,b <0,∴-a <0,b-4<0,∴点Q (-a ,b-4)在第三象限.故选C .点评:本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).4.(2014•北海)在平面直角坐标系中,点M (-2,1)在( )2秒3秒(2)当P点从点O出发10秒,可得到的整数点的个数是______个.(3)当P点从点O出发______秒时,可得到整数点(10,5)考点:点的坐标.分析:(1)在坐标系中全部标出即可;(2)由(1)可探索出规律,推出结果;(3)可将图向右移10各单位,用10秒;再向上移动5个单位用5秒.解答:(1)以1秒时达到的整数点为基准,向上或向右移动一格得到2秒时的可能的整数点;再以2秒时得到的整数点为基准,向上或向右移动一格,得到3秒时可能得到的整数点.P从O点出发时间可得到整数点的坐标可得到整数点的个数1秒(0,1)、(1,0) 22秒(0,2),(2,0),(1,1) 33秒(0,3),(3,0),(2,1),(1,2) 4(2)1秒时,达到2个整数点;2秒时,达到3个整数点;3秒时,达到4个整数点,那么10秒时,应达到11个整数点;(3)横坐标为10,需要从原点开始沿x轴向右移动10秒,纵坐标为5,需再向上移动5秒,所以需要的时间为15秒.知识点3 坐标与图形性质知识链接1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:①到x 轴的距离与纵坐标有关,到y 轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当的符号.2、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.同步练习1.如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为(-6,0)、(0,8).以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,交x 正半轴于点C ,则点C 的坐标为 .考点:勾股定理;坐标与图形性质.分析:首先利用勾股定理求出AB 的长,进而得到AC 的长,因为OC=AC-AO ,所以OC 求出,继而求出点C 的坐标.解答:∵点A ,B 的坐标分别为(-6,0)、(0,8),∴AO=6,BO=8,∴AB=22BO AO =10,∵以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,∵交x 正半轴于点C ,∴点C 的坐标为(4,0),故答案为:(4,0).2.如图,正方形ABCD 的边长为4,点A 的坐标为(-1,1),AB 平行于x 轴,则点C 的坐标为 .解答:C (3,5)3.如图,Rt △OAB 的斜边AO 在x 轴的正半轴上,直角顶点B 在第四象限内,S △OAB =20,OB :AB=1:2,求A 、B 两点的坐标.解答:A (10,0),B (2,-4)4.如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于21MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P .若点P 的坐标为(2a ,b+1),则a 与b 的数量关系为( )A .a=bB .2a+b=-1C .2a-b=1D .2a+b=1 考点:作图—基本作图;坐标与图形性质;角平分线的性质.分析:根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上,有角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|,再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0,进而得到a 与b 的数量关系.解答:根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上,则P 点横纵坐标的和为0,故2a+b+1=0,整理得:2a+b=-1,故选:B .5.如图,在平面直角坐标系中,有一矩形COAB ,其中三个顶点的坐标分别为C (0,3),O (0,0)和A (4,0),点B 在⊙O 上. (1)求点B 的坐标; (2)求⊙O 的面积.解答:(1) B (4,3) (2) 25π6.(2014•南平模拟)如图,在平面直角坐标系中,OABC 是正方形,点A 的坐标是(4,0),点P 在AB 边上,且∠CPB=60°,将△CPB 沿CP 折叠,使得点B 落在D 处,则D 的坐标为( )A .(2,32)B .(23 , 32-) C .(2,324-) D .(23,324-) 考点:翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.分析:作DE ⊥y 轴于E ,DF ⊥x 轴于F ,根据正方形的性质∴OC=BC=4,∠B=90°,由∠BPC=60°得∠1=30°,再根据折叠的性质得到∠1=∠2=30°,CD=CB=4,所以∠3=30°,在Rt △CDE 中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DE=21CD=2,CE=3DE=32,则OE=324-,所DF=324-,然后可写出D 点坐标.解答:作DE ⊥y 轴于E ,DF ⊥x 轴于F ,如图,∵四边形OABC 是正方形,点A 的坐标是(4,0), ∴OC=BC=4,∠B=90°, ∵∠BPC=60°, ∴∠1=30°,∵△CPB 沿CP 折叠,使得点B 落在D 处,∴∠1=∠2=30°,CD=CB=4, ∴∠3=30°, 在Rt △CDE 中,DE=21CD=2,CE=3DE=23, ∴OE=OC-CE=324-, ∴DF=OE=324-,∴D 点坐标为(2,324-).故选C .7.如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为(3,3),点C 的坐标为(21,0),点P 为斜边OB 上的一个动点,则PA+PC 的最小值为 .考点:轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.分析:作A 关于OB 的对称点D ,连接CD 交OB 于P ,连接AP ,过D 作DN ⊥OA 于N ,则此时PA+PC 的值最小,求出AM ,求出AD ,求出DN 、CN ,根据勾股定理求出CD ,即可得出答案.解答:作A 关于OB 的对称点D ,连接CD 交OB 于P ,连接AP ,过D 作DN ⊥OA 于N , 则此时PA+PC 的值最小, ∵DP=PA ,∴PA+PC=PD+PC=CD , ∵B (3,3),∴AB=3,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:OB=32, 由三角形面积公式得:21×OA×AB=21×OB×AM ,∴AM=23, ∴AD=2×23=3,∵∠AMB=90°,∠B=60°, ∴∠BAM=30°, ∵∠BAO=90°, ∴∠OAM=60°, ∵DN ⊥OA , ∴∠NDA=30°,∴AN=21AD=23,由勾股定理得:DN=323, ∵C (21,0),∴CN=3-21-23=1,在Rt △DNC 中,由勾股定理得:DC==+22)323(1231, 即PA+PC 的最小值是231, 8.在直角坐标系中,有四个点A (-8,3)、B (-4,5)、C (0,n )、D (m ,0),当四边形ABCD 的周长最短时,nm的值为( ) A .73- B .23- C .27- D .23考点:轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.分析:若四边形的周长最短,由于AB 的值固定,则只要其余三边最短即可,根据对称性作出A 关于x 轴的对称点A′、B 关于y 轴的对称点B′,求出A′B′的解析式,利用解析式即可求出C 、D 坐标,得到nm .解答:根据题意,作出如图所示的图象:过点B 作B 关于y 轴的对称点B′、过点A 关于x 轴的对称点A′,连接A′B′,直线A′B′与坐标轴交点即为所求.解答:直线AB 方程为y=3x-9,直线OB 斜率为23-. 过O‘点平行于直线OB 的直线方程为:y=23-(x+1) . 联立两方程,解得交点B′的坐标为(35,-4).11.已知点D 与点A (8,0),B (0,6),C (a ,-a )是一平行四边形的四个顶点,则CD 长的最小值为 .考点:平行四边形的性质;坐标与图形性质.分析:①CD 是平行四边形的一条边,那么有AB=CD ;②CD 是平行四边形的一条对角线,过C 作CM ⊥AO 于M ,过D 作DF ⊥AO 于F ,交AC 于Q ,过B 作BN ⊥DF 于N ,证△DBN ≌△CAM ,推出DN=CM=a ,BN=AM=8-a ,得出D ((8-a ,6+a ),由勾股定理得:CD 2=(8-a-a )2+(6+a+a )2=8a 2-8a+100=8(a-21)2+98,求出即可.解答:有两种情况:①CD 是平行四边形的一条边,那么有AB=CD=2286+=10 ②CD 是平行四边形的一条对角线,*12.如图,△ABO 缩小后变为△A′B′O ,其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上.若线段AB 上有一点P (m ,n ),则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为( )A .(2m ,n ) B .(m ,n ) C .(m ,2n ) D .(2m ,2n ) 考点:位似变换;坐标与图形性质.分析:根据A ,B 两点坐标以及对应点A′,B′点的坐标得出坐标变化规律,进而得出P′的坐标.解答:∵△ABO 缩小后变为△A′B′O ,其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上,即A 点坐标为:(4,6),B 点坐标为:(6,2),A′点坐标为:(2,3),B′点坐标为:(3,1),∴线段AB 上有一点P (m ,n ),则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为:(2m ,2n). 故选D .*13.(2014•海港区一模)如图,在直角坐标系中,有16×16的正方形网格,△ABC 的顶点分别在网格的格点上.以原点O 为位似中心,放大△ABC 使放大后的△A′B′C′的顶点还在格点上,最大的△A′B′C′的面积是( ) A .8 B .16 C .32 D .64考点:位似变换;坐标与图形性质.分析:根据题意结合位似图形的性质与三角形最长边即为216,进而得出答案.解答:如图所示:△A′B′C′即为符合题意的图形, 最大的△A′B′C′的面积是:21×8×16=64.故选:D .知识点4 坐标与图形的变化知识链接1 坐标与图形变化---对称 (1)关于x 轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数.即点P (x ,y )关于x 轴的对称点P′的坐标是(x ,-y ). (2)关于y 轴对称 纵坐标相等,横坐标互为相反数.即点P (x ,y )关于y 轴的对称点P′的坐标是(-x ,y ). (3)关于直线对称①关于直线x=m 对称,P (a ,b )⇒P (2m-a ,b ) ②关于直线y=n 对称,P (a ,b )⇒P (a ,2n-b ) 2 坐标与图形变化---平移 (1)平移变换与坐标变化向右平移a 个单位,坐标P (x ,y )⇒P (x+a ,y ) 向左平移a 个单位,坐标P (x ,y )⇒P (x-a ,y ) 向上平移b 个单位,坐标P (x ,y )⇒P (x ,y+b ) 向下平移b 个单位,坐标P (x ,y )⇒P (x ,y-b )(2)在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a ,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a ,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度.(即:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.) 3 坐标与图形变化---旋转(1)关于原点对称的点的坐标.即点P (x ,y )关于原点O 的对称点是P′(-x ,-y ). (2)旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.同步练习1.(2014•大连)在平面直角坐标系中,将点(2,3)向上平移1个单位,所得到的点的坐标是()A.(1,3)B.(2,2)C.(2,4)D.(3,3)考点:坐标与图形变化-平移.分析:根据向上平移,横坐标不变,纵坐标加解答.解答:∵点(2,3)向上平移1个单位,∴所得到的点的坐标是(2,4).故选:C.2.(2014•呼伦贝尔)将点A(-2,-3)向右平移3个单位长度得到点B,则点B所处的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点:坐标与图形变化-平移.分析:先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减) ,,求出点B的坐标,再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限.解答:点A(-2,-3)向右平移3个单位长度,得到点B的坐标为为(1,-3),故点在第四象限.故选D.3.(2014•牡丹江)如图,把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′,如果△ABC上点P的坐标为(x,y),那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A.(-x,y-2)B.(-x,y+2)C.(-x+2,-y)D.(-x+2,y+2)考点:坐标与图形变化-平移.分析:先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位,再关于y轴对称可得到△A′B′C′,然后把点P(x,y)向上平移2个单位,再关于y轴对称得到点的坐标为(-x,y+2),即为P′点的坐标.解答:∵把△ABC向上平移2个单位,再关于y轴对称可得到△A′B′C′,∴点P(x,y)的对应点P′的坐标为(-x,y+2).故选:B.4.(2014•潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A.(-2012,2)B.(-2012,-2)C.(-2013,-2)D.(-2013,2)考点:翻折变换(折叠问题);正方形的性质;坐标与图形变化-对称、平移.专题:规律型.分析:首先由正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1),然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标,即可得规律:第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标.解答:∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).∴对角线交点M的坐标为(2,2),根据题意得:第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为:(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),∴连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(-2012,2).故选:A.点评:此题考查了对称与平移的性质.此题难度较大,属于规律性题目,注意得到规律:第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2)是解此题的关键.5.(2014•昆明)如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),将线段OA向左平移2个单位长度,得到线段O′A′,则点A的对应点A′的坐标为.考点:坐标与图形变化-平移.分析:根据点向左平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x-a,y)进行计算即可.解答:∵点A坐标为(1,3),∴线段OA向左平移2个单位长度,点A的对应点A′的坐标为(1-2,3),即(-1,3),故答案为:(-1,3).6.(2014•宜宾)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是.考点:坐标与图形变化-平移;关于x轴、y轴对称的点的坐标.分析:首先根据横坐标右移加,左移减可得B点坐标,然后再关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标符号改变可得答案.解答:点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到的B的坐标为(-1+3,2),即(2,2),则点B关于x轴的对称点C的坐标是(2,-2),故答案为:(2,-2).7.(2014•厦门)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(1,3),将线段OA向右平移3个单位,得到线段O1A1,则点O1的坐标是,A1的坐标是.考点:坐标与图形变化-平移.分析:根据向右平移,横坐标加,纵坐标不变解答.解答:∵点O(0,0),A(1,3),线段OA向右平移3个单位,∴点O 1的坐标是(3,0),A 1的坐标是(4,3).故答案为:(3,0),(4,3).*8.(2014•巴中)如图,直线y=−34x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是 .考点:坐标与图形变化-旋转.分析:首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标,B′的横坐标等于OA+OB ,而纵坐标等于OA ,进而得出B′的坐标.解答:直线y=-34x+4与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,4)两点, ∵旋转前后三角形全等,∠O′AO=90°,∠B′O′A=90°∴OA=O′A ,OB=O′B′,O′B′∥x 轴,∴点B′的纵坐标为OA 长,即为3,横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7,故点B′的坐标是(7,3),故答案为:(7,3).点评:本题主要考查了对于图形翻转的理解,其中要考虑到点B 和点B′位置的特殊性,以及点B′的坐标与OA 和OB 的关系.9.(2013•梅州)如图,在平面直角坐标系中,A (-2,2),B (-3,-2)(1)若点C 与点A 关于原点O 对称,则点C 的坐标为______;(2)将点A 向右平移5个单位得到点D ,则点D 的坐标为______;(3)由点A ,B ,C ,D 组成的四边形ABCD 内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点,求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率.考点:关于原点对称的点的坐标;坐标与图形变化-平移;概率公式.分析:(1)根据关于原点的对称点,横纵坐标都互为相反数求解即可;(2)把点A 的横坐标加5,纵坐标不变即可得到对应点D 的坐标;(3)先找出在平行四边形内的所有整数点,再根据概率公式求解即可.解答:(1)∵点C 与点A (-2,2)关于原点O 对称,∴点C 的坐标为(2,-2);(2)∵将点A 向右平移5个单位得到点D ,∴点D 的坐标为(3,2);(3)由图可知:A (-2,2),B (-3,-2),C (2,-2),D (3,2),∵在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个,其中横、纵坐标和为零的点有3个,即(-1,1),(0,0),(1,-1),∴P=153=51. 点评:本题考查了关于原点对称的点的坐标,坐标与图形变化-平移,概率公式.难度适中,掌握规律是解题的关键.10.(黄冈)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标是A (-2,3),B (-4,-1),C (2,0),将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置,点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1,若点A 1的坐标为(3,1).则点C 1的坐标为______.考点:坐标与图形变化-平移.分析:首先根据A 点平移后的坐标变化,确定三角形的平移方法,点A 横坐标加5,纵坐标减2,那么让点C 的横坐标加5,纵坐标-2即为点C 1的坐标.解答:由A (-2,3)平移后点A 1的坐标为(3,1),可得A 点横坐标加5,纵坐标减2, 则点C 的坐标变化与A 点的变化相同,故C 1(2+5,0-2),即(7,-2).故答案为:(7,-2).点评:本题主要考查图形的平移变换,解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律.11.(北京)操作与探究:(1)对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘以31,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点P 的对应点P′.点A ,B 在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′,其中点A ,B 的对应点分别为A′,B′.如图1,若点A 表示的数是-3,则点A′表示的数是______;若点B′表示的数是2,则点B 表示的数是______;已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E′与点E 重合,则点E 表示的数是______.(2)如图2,在平面直角坐标系xOy 中,对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ,将得到的点先向右平移m 个单位,再向上平移n 个单位(m >0,n >0),得到正方形A′B′C′D′及其内部的点,其中点A ,B 的对应点分别为A′,B′.已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合,求点F 的坐标.考点:坐标与图形变化-平移;数轴;正方形的性质;平移的性质.分析:(1)根据题目规定,以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′,设点B 表示的数为a ,根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数,设点E 表示的数为b ,根据题意列出方程计算即可得解;(2)先根据向上平移横坐标不变,纵坐标加,向右平移横坐标加,纵坐标不变求出平移规律,然后设点F 的坐标为(x ,y ),根据平移规律列出方程组求解即可.解答:(1)点A′:-3×31+1=-1+1=0,设点B 表示的数为a ,则31a+1=2, 解得a=3,设点E 表示的数为b ,则31b+1=b , 解得b=23;。
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北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(4)某些三角函数值,如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。
2、绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
人教版八年级数学上册 专题复习:整式的运算
专题 整式的运算知 识 点名师点晴整式的有关概念单项式知道单项式、单项式的系数、次数多项式 知道多项式、多项式的项、多项式的次数、常数项.同类项 能够分清哪些项是同类项.整式的运算1.幂的运算能运用幂的运算法则进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方运算2.整式的加、减、乘、除法运算法则 能按照运算法则进行整式的加、减、乘、除法运算以及整式的混合运算3.乘法公式能熟练运用乘法公式☞2年中考【2015年题组】 1.(2015北海)下列运算正确的是( )A .3412a b a +=B .326()ab ab = C .222(5)(42)3a ab a ab a ab --+=- D .1262x x x ÷= 【答案】C . 【解析】试题分析:A .3a 与4b 不是同类项,不能合并,故错误;B .3226()ab a b =,故错误; C .正确;D .1266x x x ÷=,故错误;故选C .考点:1.幂的乘方与积的乘方;2.合并同类项;3.去括号与添括号;4.同底数幂的除法. 2.(2015南宁)下列运算正确的是( )A .ab a ab 224=÷B .6329)3(x x =C .743a a a =•D .236=÷【答案】C .考点:1.整式的除法;2.同底数幂的乘法;3.幂的乘方与积的乘方;4.二次根式的乘除法. 3.(2015厦门)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是( )A .22xy -B .23xC .32xyD .32x【答案】D . 【解析】试题分析:此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字母.A .22xy -系数是﹣2,错误;B .23x 系数是3,错误;C .32xy 次数是4,错误;D .32x 符合系数是2,次数是3,正确; 故选D .考点:单项式.4.(2015厦门)32-可以表示为( )A .2522÷ B .5222÷ C .2522⨯ D .(2)(2)(2)-⨯-⨯-【答案】A . 【解析】试题分析:A .2522÷=252-=2522÷,故正确;B .5222÷=32,故错误; C .2522⨯=72,故错误;D .(2)(2)(2)-⨯-⨯-=3(2)-,故错误;故选A .考点:1.负整数指数幂;2.有理数的乘方;3.同底数幂的乘法;4.同底数幂的除法. 5.(2015镇江)计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是( )A .2x y -B .2x y +C .2x y --D .2x y -+ 【答案】A .考点:整式的加减. 6.(2015广元)下列运算正确的是( )A .23222()()ab ab ab -÷=- B .2325a a a +=C .22(2)(2)2a b a b a b +-=-D .222(2)4a b a b +=+【答案】A . 【解析】试题分析:A .23222()()ab ab ab -÷=-,正确;B .325a a a +=,故错误;C .22(2)(2)4a b a b a b +-=-,股错误; D .222(2)44a b a b ab +=++,故错误. 故选A .考点:1.平方差公式;2.合并同类项;3.同底数幂的除法;4.完全平方公式. 7.(2015十堰)当x=1时,1axb 的值为-2,则11ab a b的值为的值为( )A .﹣16B .﹣8C .8D .16 【答案】A . 【解析】试题分析:∵当x=1时,1axb 的值为﹣2,∴12a b ++=-,∴3a b +=-,∴11a b a b=(﹣3﹣1)×(1+3)=﹣16.故选A .考点:整式的混合运算—化简求值.8.(2015黄冈)下列结论正确的是( )A .2232a b a b -= B .单项式2x -的系数是1-C .使式子2+x 有意义的x 的取值范围是2x >-D .若分式112+-a a 的值等于0,则1a =±【答案】B .考点:1.合并同类项;2.单项式;3.分式的值为零的条件;4.二次根式有意义的条件.9.(2015佛山)若n mx x x x ++=-+2)1()2(,则m n +=( ) A .1 B .﹣2 C .﹣1 D .2【答案】C . 【解析】试题分析:∵(2)(1)x x +-=2+2x x -=2x mx n ++,∴m=1,n=﹣2.∴m+n=1﹣2=﹣1.故选C .考点:多项式乘多项式. 10.(2015天水)定义运算:a ⊗b=a (1﹣b ).下面给出了关于这种运算的几种结论:①2⊗(﹣2)=6,②a ⊗b=b ⊗a ,③若a+b=0,则(a ⊗a )+(b ⊗b )=2ab ,④若a ⊗b=0,则a=0或b=1,其中结论正确的序号是( )A .①④B .①③C .②③④D .①②④ 【答案】A .考点:1.整式的混合运算;2.有理数的混合运算;3.新定义. 11.(2015邵阳)已知3a b +=,2ab =,则22a b +的值为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 【答案】C . 【解析】试题分析:∵3a b +=,2ab =,∴22a b +=2()2a b ab +-=9﹣2×2=5,故选C .考点:完全平方公式.12.(2015临沂)观察下列关于x 的单项式,探究其规律: x ,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…按照上述规律,第2015个单项式是( )A .2015x2015B .4029x2014C .4029x2015D .4031x2015 【答案】C . 【解析】 试题解析:系数的规律:第n 个对应的系数是2n ﹣1.指数的规律:第n 个对应的指数是n .故第2015个单项式是4029x2015.故选C . 考点:1.单项式;2.规律型. 13.(2015日照)观察下列各式及其展开式:222()2a b a ab b +=++; 33223()33a b a a b ab b +=+++; 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++;554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++;…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是( )A .36B .45C .55D .66【答案】B .考点:1.完全平方公式;2.规律型;3.综合题.14.(2015连云港)已知m n mn +=,则(1)(1)m n --= . 【答案】1.【解析】试题分析:(1)(1)m n --=mn ﹣(m+n )+1,∵m+n=mn ,∴(m ﹣1)(n ﹣1)=mn ﹣(m+n )+1=1,故答案为:1.考点:整式的混合运算—化简求值.15.(2015珠海)填空:2+10x x + =2(_____)x +.【答案】25;5. 【解析】试题分析:∵10x=2×5x ,∴2+1025x x +=2(5)x +.故答案为:25;5.考点:完全平方式. 16.(2015郴州)在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号,所得的代数式为完全平方式的概率为 .【答案】12.考点:1.列表法与树状图法;2.完全平方式. 17.(2015大庆)若若52=na ,162=nb ,则()nab = .【答案】5±. 【解析】试题分析:∵52=n a ,162=n b ,∴2280n na b ⋅=,∴2()80nab =,∴()n ab =45±5±.考点:幂的乘方与积的乘方.18.(2015牡丹江)一列单项式:2x -,33x ,45x -,57x ,…,按此规律排列,则第7个单项式为 . 【答案】213x -. 【解析】试题分析:第7个单项式的系数为﹣(2×7﹣1)=﹣13,x 的指数为8,所以,第7个单项式为213x -.故答案为:213x -.考点:1.单项式;2.规律型.19.(2015安顺)计算:201320111(3)()3-⋅-= .【答案】9.考点:1.幂的乘方与积的乘方;2.同底数幂的乘法.20.(2015铜仁)请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2):根据前面各式的规律,则6()a b += .【答案】654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++. 【解析】试题分析:6()a b +=654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++.故本题答案为:654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++.考点:1.完全平方公式;2.规律型:数字的变化类;3.综合题. 21.(2015南宁)先化简,再求值:(1)(1)(2)1x x x x +-++-,其中12x =.【答案】2x ,1. 【解析】试题分析:先利用乘法公式展开,再合并得到答案,然后把12x =代入计算即可.试题解析:原式=22121x x x -++-=2x ,当12x =时,原式=2×12=1.考点:整式的混合运算—化简求值.22.(2015无锡)计算: (1)02(5)(3)3--+-;(2)2(1)2(2)x x +--. 【答案】(1)1;(2)25x +.考点:1.整式的混合运算;2.实数的运算;3.零指数幂.23.(2015内江)填空:()()a b a b -+= ;22()()a b a ab b -++= ; 3223()()a b a a b ab b -+++= .(2)猜想:1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= (其中n 为正整数,且2n ≥).(3)利用(2)猜想的结论计算:98732222...222-+-+-+. 【答案】(1) 22a b -,33a b -,44a b -;(2) nna b -;(3)342. 【解析】试题分析:(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可; (2)根据(1)的规律可得结果;(3)原式变形后,利用(2)得出的规律计算即可得到结果. 试题解析:(1)()()a b a b -+=22a b -;3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -; 3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -;故答案为:22a b -,33a b -,44a b -;(2)由(1)的规律可得:原式=nna b -,故答案为:nna b -;(3)令98732222...222S =-+-+-+,∴987321222...2221S -=-+-+-+-=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=,∴S=342. 考点:1.平方差公式;2.规律型;3.阅读型;4.综合题.24.(2015咸宁)(1)计算:128(2)-++-;(2)化简:2232(2)()a b ab b b a b --÷--.【答案】(1)32;(2)22b -.考点:1.整式的混合运算;2.实数的运算;3.零指数幂.25.(2015随州)先化简,再求值:5322(2)(2)(5)3()a a a a b a b a b +-+-+÷-,其中12ab =-.【答案】42ab -,5.【解析】试题分析:利用平方差公式、单项式乘以多项式法则、单项式除法运算,合并得到最简结果,把ab 的值代入计算即可求出值.试题解析:原式=22453a a ab ab -+-+=42ab -,当12ab =-时,原式=4+1=5.考点:整式的混合运算—化简求值.26.(2015北京市)已知22360a a +-=. 求代数式3(21)(21)(21)a a a a +-+-的值.【答案】7. 【解析】试题分析:利用单项式乘以多项式法则、平方差公式化简,去括号合并得到最简结果,把已知等式变形后代入计算即可求出值.试题解析:∵22360a a +-=,即2236a a +=,∴原式=226341a a a +-+=2231a a ++=6+1=7. 考点:整式的混合运算—化简求值.27.(2015茂名)设y ax =,若代数式()(2)3()x y x y y x y +-++化简的结果为2x ,请你求出满足条件的a 值.【答案】a=﹣2或0.【解析】试题分析:因式分解得到原式=2()x y +,再把当y ax =代入得到原式=22(1)a x +,所以当2(1)1a +=满足条件,然后解关于a 的方程即可.试题解析:原式=2()x y +,当y ax =时,代入原式得222(1)a x x +=,即2(1)1a +=,解得:a=﹣2或0.考点:1.整式的混合运算;2.平方根. 28.(2015河北省)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式,形式如图:(1)求所捂的二次三项式; (2)若16+=x ,求所捂二次三项式的值.【答案】(1)221x x -+;(2)6.考点:整式的混合运算—化简求值.【2014年题组】 1.(2014年百色中考) 下列式子正确的是( ) A .(a ﹣b )2=a2﹣2ab+b2 B . (a ﹣b )2=a2﹣b2 C .(a ﹣b )2=a2+2ab+b2 D .(a ﹣b )2=a2﹣ab+b2 【答案】A . 【解析】试题分析:A .(a ﹣b )2=a2﹣2ab+b2,故A 选项正确;B .(a ﹣b )2≠a2﹣b2,故B 选项错误;C .(a ﹣b )2≠a2+2ab+b2,故C 选项错误;D .(a ﹣b )2≠a2﹣ab+b2,故D 选项错误;故选A . 考点:完全平方公式.2.(2014年镇江中考)下列运算正确的是( ) A.()339x x = B.()332x 6x -=- C.22x x x -= D.632x x x ÷=【答案】A .考点:1.幂的乘方和积的乘方;2.合并同类项;3.同底幂乘除法. 3.(2014年常州中考)下列运算正确的是( )A. 33a a a ⋅=B.()33ab a b = C. ()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C .【解析】试题分析:根据同底幂乘法,同底幂乘除法,幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断: A. 31343a a aa a+⋅==≠,选项错误; B.()3333ab a b a b=≠,选项错误;C.()23326a a a ⨯==,选项正确; D. 848442a a aa a -÷==≠,选项错误.故选C .考点:1.同底幂乘法;2.同底幂乘除法;3.幂的乘方和积的乘方. 4.(2014年抚顺中考)下列运算正确的是( ) A .-2(a-1)=-2a-1B .(-2a )2=-2a2C .(2a+b )2=4a2+b2 D . 3x2-2x2=x2 【答案】D . 【解析】 试题分析:A 、-2(a-1)=-2a+2,故A 选项错误;B 、(-2a )2=4a2,故B 选项错误;C 、(2a+b )2=4a2+4ab+b2,故C 选项错误;D 、3x2-2x2=x2,故D 选项正确. 故选D .考点:1.完全平方公式;2.合并同类项;3.去括号与添括号;4.幂的乘方与积的乘方. 5.(2014年眉山中考)下列计算正确的是( )A .235x x x +=B .236x x x ⋅=C .236()x x =D .632x x x ÷=【答案】C .考点:1.同底数幂的除法;2.合并同类项;3.同底数幂的乘法;4.幂的乘方与积的乘方.6.(2014年资阳中考)下列运算正确的是( ) A .a3+a4=a7 B . 2a3•a4=2a7 C . (2a4)3=8a7 D . a8÷a2=a4 【答案】B . 【解析】试题分析:A 、a3和a4不能合并,故A 错误;B 、2a3•a4=2a7,故B 正确;C 、(2a4)3=8a12,故C 错误;D 、a8÷a2=a6,故D 错误;故选B .考点:整式的运算.7.(2014年镇江中考)化简:()()x 1x 11+-+=.【答案】2x . 【解析】试题分析:第一项利用平方差公式展开,去括号合并即可得到结果:()()22x 1x 11x 11x +-+=-+=.考点:整式的混合运算.8.(2014年吉林中考)先化简,再求值:x (x+3)﹣(x+1)2,其中x=+1.【答案】x ﹣1;2.【解析】试题分析:先利用整式的乘法和完全平方公式计算,再进一步合并化简,最后代入数值即可. 试题解析:原式=x2+3x ﹣x2﹣2x ﹣1=x ﹣1,当x=2+1时,原式=2+1﹣1=2. 考点:1.整式的运算;2.化简求值.9.(2014年绍兴中考)先化简,再求值:()()()2a a 3b a b a a b -++--,其中1a 1b 2==-,.【答案】a2+b2,54.考点:整式的混合运算—化简求值.10.(2014年杭州中考)设y kx =,是否存在实数k ,使得代数式2222222(x y )(4x y )3x (4x y )--+-能化简为4x ?若能,请求出所有满足条件的k 值,若不能,请说明理由. 【答案】能. 【解析】试题分析:化简代数式,根据代数式恒等的条件列关于k 的方程求解即可 试题解析:∵y kx=,∴222222222222222(x y )(4x y )3x (4x y )(4x y )(x y 3x )(4x y )--+-=--+=-()2222242(4x k x )x 4k =-=-.∴要使代数式22222224(x y )(4x y )3x (4x y )x --+-=,只要()224k1-=.∴24k 1-=±,解得k=±3或k=±5.考点:1. 代数式的化简;2. 代数式恒等的条件;3.解高次方程.☞考点归纳归纳 1:整式的有关概念 基础知识归纳:整式:单项式与多项式统称整式.(1)单项式:由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式(单独一个数或字母也是单项式).单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.多项式:几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的 次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项.2. 同类项:所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.基本方法归纳:要准确理解和辨认单项式的次数、系数;判断是否为同类项时,关键要看所含的字母是否相同,相同字母的指数是否相同. 注意问题归纳:1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和,单独一个非0数的次数是0;2、多项式的次数是指次数最高的项的次数.3、同类项一定要先看所含字母是否相同,然后再看相同字母的指数是否相同. 【例1】下列式子中与3m2n 是同类项的是( ) A.3mn B.3nm2 C.4m D.5n 【答案】B .考点:同类项. 归纳 2:幂的运算 基础知识归纳:(1)同底数幂相乘:am ·an =am +n (m ,n 都是整数,a ≠0) (2)幂的乘方:(am )n =amn (m ,n 都是整数,a ≠0) (3)积的乘方:(ab )n =an ·bn (n 是整数,a ≠0,b ≠0) (4)同底数幂相除:am ÷an =am -n (m ,n 都是整数,a ≠0) 注意问题归纳:(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础,要熟练掌握,解题时要明确运算的类型,正确运用法则;(2)在运算的过程中,一定要注意指数、系数和符号的处理. 【例2】下列运算正确的是( )A. 33a a a ⋅= B.()33ab a b = C.()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C .考点:幂的运算.归纳 3:整式的运算 基础知识归纳:1.整式的加减法:,实质上就是合并同类项 1.整式乘法①单项式乘多项式:m (a +b )=ma+mb ; ②多项式乘多项式:(a +b )(c +d )=ac+ad+bc+bd ③乘法公式:平方差公式:(a+b )(a-b )=a2-b2;完全平方公式:(a ±b )2=a2±2ab+b2.3.整式除法:单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式,将这个多项式的每一项分别除以这个单项式,然后把所得的商相加.注意问题归纳:注意整式的加减,实质上就是合并同类项,有括号的,先去括号,只要算式中没有同类项,就是最后的结果;多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏,应用乘法公式进行简便计算,另外去括号时,要注意符号的变化,最后把所得式子化简,即合并同类项,再代值计算. 【例3】下列计算正确的是( ) A .2x -x =x B .a3·a2=a6 C .(a -b )2=a2-b2 D .(a +b )(a -b )=a2+b2 【答案】A .【解析】A 、原式=x ,正确;B 、原式=x5,错误;C 、原式=a2-2ab+b2,错误;D 、原式=a2-b2,故选A .考点:整式的运算.【例4】先化简,再求值:()()()22a b a b b a b b +-++-,其中1a =、2b =-.【答案】-1.【解析】原式222222a b ab b b a ab =-++-=+;当1a =、2b =-时,原式()2112121=+⨯-=-=-.考点:整式的混合运算—化简求值.【例5】计算21()(21)(41)2x x x +-÷- 【答案】12.【解析】原式=12(2x+1)(2x ﹣1)÷[(2x ﹣1)(2x+1)]=12.考点:整式的混合运算. ☞1年模拟 1、(2015届云南省剑川县九上第三次统一模拟考试数学试卷)下列运算正确的是( )A .6a ÷2a =3aB .22532a a a -=C .235()a a a -⋅=D .527a b ab +=【答案】C .考点:整式的运算. 2.(2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷)下列运算正确的是( ).A .623a a a =⋅B .6223)(b a ab =C .222)(b a b a -=-D .235=-a a【答案】B . 【解析】试题分析:因为32235a a a a +⋅==,所以A 错误;因为6223)(b a ab =,所以B 正确;因为222()2a b a ab b -=-+,所以C 错误;因为532a a a -=,所以D 错误;故选B .考点:1.幂的运算;2.整式的加减. 3.(2015届重庆市合川区清平中学等九年级模拟联考数学试卷)下列运算正确的是( )A .23a a ⋅=6aB .33()y y x x = C .55a a a ÷= D .326()a a =【答案】D .考点:1.同底数幂的除法;2.幂的乘方与积的乘方;3.同底数幂的乘法.4.(2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷)下列运算正确的是( )A .642a a a =+B .523)(a a =C .2328=+D .222))((b ab a b a b a ---=---【答案】C .【解析】试题分析:A .2a 和4a 不能合并,故错误;B .3265()a a a =≠,故错误;C .8222232+=+=,故正确;D .2222()()()a b a b a b a b ---=--=-+,故错误;故选C .考点:1.二次根式的混合运算;2.整式的混合运算. 5.(2015届山东省日照市中考一模)观察下列各式及其展开式: (a+b )2=a2+2ab+b2(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b )4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b )5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …请你猜想(a+b )10的展开式第三项的系数是( ) A .36 B .45 C .55 D .66 【答案】B .考点:完全平方公式.6.(2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷)若3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算,则21m +=_________________; 【答案】-1或9.【解析】试题分析:∵3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算,∴2258m m m -=+,即:2340m m --=,解得:1m =-或4m =,①当1m =-时,21m +=-1,②当4m =时,21m +=9.故答案为:-1或9.考点:1、同类项;2、解一元二次方程-因式分解法;3、分类讨论. 7.(2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试)已知a2-2a-3=0,求代数式2a (a-1)-(a+2)(a-2)的值.【答案】7.考点:整式的混合运算—化简求值.7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
沪科版八年级数学上册知识要点归纳总结
沪科版八年级数学上册知识要点归纳总结的解析式一次函数的解析式为y=kx+b(k、b为常数,k≠0),其中k称为斜率,b称为截距。
3、斜率的意义斜率k表示函数图象上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值,即k=Δy/Δx。
说明:斜率为正表示函数单调递增,斜率为负表示函数单调递减,斜率为0表示函数为常函数,斜率不存在表示函数图象为一条竖直的直线。
)4、截距的意义截距b表示函数图象与y轴的交点纵坐标。
说明:当函数图象经过y轴时,截距存在;当函数图象不经过y轴时,截距不存在。
)5、一次函数图象的性质一次函数图象为一条直线,其斜率决定了直线的方向和倾斜程度,截距决定了直线与y轴的位置关系。
一般形式为y=kx+b(其中k、b为常数,且k≠0),当b=0时,y=kx(k≠0),此时y是x的正比例函数。
一次函数的图像与性质:当b>0时,直线经过一、二、三象限;当b=0时,直线经过一、三象限及原点;当b0时,直线自左向右上升,经过一、二、三象限;当k<0时,直线自左向右下降,经过一、二、四象限。
确定一次函数图像与坐标轴的交点:与x轴交点为(-b/k,0),与y轴交点为(0,b)。
确定一次函数解析式——待定系数法:设函数关系式为y=kx+b,代入x和y的两对对应值,得关于k、b的方程组,解方程组求出k和b。
k和b的意义:∣k∣表示直线的“平陡”,越大越陡;b表示在y轴上的截距。
由一次函数图像确定k、b的符号:直线上升,k>0;直线下降,k0;直线与y轴负半轴相交,b<0.由一次函数图像确定x和y的范围:当x>a(或xb(或y<b)时,求x的范围,直线y=b上方(或下方)图象所对应的x的取值范围;当a<x<b时,求y的范围,直线x=a和x=b之间的图象所对应的y的取值范围;当a<y<b时,求x的范围,直线y=a和y=b之间的图象所对应的x的取值范围。
一次函数图象的平移:设m>0,n>0,左右平移直线y=kx+b向右(或向左)平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b或y=k(x+m)+b。
勾股定理的应用(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题1.6 勾股定理的应用(知识讲解)【学习目标】(1)利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
(2)通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观念.【要点梳理】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,从而达到把三角形边的问题转化为角的问题,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【典型例题】类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题1.一个25米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AO 上,这时的AO 距离为24米,如果梯子的顶端A 沿墙下滑4米,那么梯子底端B 外移多少米?【答案】8米.【分析】梯子下滑4米,梯子的长度不变始终为25米,利用勾股定理分别求出OB 、OB '的长度,进而求出BB '的长度即可.解:如图,依题意可知AB =25(米),AO =24(米),∠O =90°,∠ BO 2=AB 2﹣AO 2=252-242,∠ BO =7(米),移动后,A O '=20(米),222222()()252015B O A B A O --''''===∠ 15B O '= (米),∠ =1578BB B O BO ''-=-=(米).答:梯子底端B 外移8米.【点拨】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用,本题中求B O 的长度是解题的关键.举一反三:【变式】一架梯子长13米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙5米.(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了7米到C,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?【答案】(1)12米;(2)7米【分析】(1)由题意易得AB=CD=13米,OB=5米,然后根据勾股定理可求解;(2)由题意得CO= 5米,然后根据勾股定理可得求解.解:(1)由题意得,AB=CD=13米,OB=5米,在Rt AOB,由勾股定理得:AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144,解得AO=12米,答:这个梯子的顶端距地面有12米高;(2)由题意得,AC=7米,由(1)得AO=12米,∠CO=AO-AC=12-7=5米,△,由勾股定理得:在Rt CODOD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144,解得OD=12米∠BD=OD-OB=12-5=7米,答:梯子的底端在水平方向滑动了7米.【点拨】本题主要考查勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题的关键.类型二、应用勾股定理解决旗杆高度2.数学综合实验课上,同学们在测量学校的高度时发现:将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米;当把绳子的下端拉开拉直后,下端刚好接触地面,测得绳子的下端离开旗杆底端8米,如图,根据以上数据,同学们就可以准确求出了旗杆的高度,你知道他们是如何计算出来的吗?【答案】旗杆的高度为15m【分析】由题可知,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中的数据,用勾股定理解答即可.解:设旗杆高x 米,则绳子长为()2x +米,∠旗杆垂直于地面,∠旗杆,绳子与地面构成直角三角形,在Rt ABC 中,222AB BC AC +=,∠()22282x x +=+,解方程得:15x =,答:旗杆高度为15米.【点拨】本题考查的是勾股定理的应用,根据题意得出∠ABC 是直角三角形式解答此题的关键.举一反三:【变式】滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图,某款滑撑杆由滑道OC ,撑杆AB 、BC 组成,滑道OC 固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中,撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变.当悬窗关闭时,如图∠,此时点A 与点O 重合,撑杆AB 、BC 恰与滑道OC 完全重合;当悬窗完全打开时,如图∠,此时撑杆AB 与撑杆BC 恰成直角,即90B ∠=︒,测量得12cm OA =,撑杆15cm AB =,求滑道OC 的长度.【答案】滑道OC 的长度为51cm .【分析】设OC m =cm ,可得出(15)BC m =-cm ,(12)AC m =-cm ,在在Rt ∠ABC 中,根据勾股定理可得m 的值,由此可得结论.解:设OC m =cm ,则由图∠可知(15)BC OC AB m =-=- cm ,由图∠可知(12)AC OC OA m =-=-cm ,∠90B ∠=︒,∠在Rt∠ABC 中,根据勾股定理可得,222AB BC AC +=,∠22215(15)(12)m m +-=-,解得51m =,∠滑道OC 的长度为51cm .【点拨】本题考查勾股定理的应用,能结合撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变正确表示出BC 和AC 是解题关键.类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离3.有一只喜鹊在一棵3m 高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树24m 的一棵大树上,大树高14m ,且巢离树顶部1m .当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5m /s ,那它至少需要多少时间才能赶回巢中?【答案】它至少需要5.2s 才能赶回巢中.【分析】根据题意,构建直角三角形,利用勾股定理解答.解:如图,由题意知AB =3,CD =14-1=13,BD =24.过A 作AE ∠CD 于E .则CE =13-3=10,AE =24,∠在Rt ∠AEC 中,AC 2=CE 2+AE 2=102+242.∠AC =26,26÷5=5.2(s ).答:它至少需要5.2s 才能赶回巢中.【点拨】本题考查了勾股定理的应用.关键是构造直角三角形,同时注意:时间=路程÷速度.举一反三:【变式】有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食,它的巢筑在距离该树24米,高为14米的一棵大树上,且巢离大树顶部为1米,这时,它听到巢中幼鸟求助的叫声,立刻赶过去,如果它的飞行速度为每秒5米,那么它至少几秒能赶回巢中?【答案】它至少5.2秒能赶回巢中.【分析】过点A 作AF CD ⊥于点F .求出AF,EF,再根据勾股定理求出AE ,从而求出时间.解:如图所示,3AB =米,14CD =米,1DE =米,24BC =米.过点A 作AF CD ⊥于点F .在Rt AEF ∆中,24AF BC ==米,10EF CD CF DE =--=米,所以222222410676AE AF EF =+=+=.所以喜鹊离巢的距离26AE =米.喜鹊赶回巢所需的时间为265 5.2÷=(秒).即它至少5.2秒能赶回巢中.【点拨】考核知识点:勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度4.如图,在一次地震中,一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断,树的顶部落在离树根8米处,即8BC =,求这棵树在离地面多高处被折断(即求AC 的长度)?【答案】这棵树在离地面6米处被折断【分析】设AC x =,利用勾股定理列方程求解即可.解:设AC x =,∠在Rt ABC △中,222AC BC AB +=,∠()222816x x +=-,∠6x =.答:这棵树在离地面6米处被折断【点拨】本题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 当题目中出现直角三角形,且该直角三角形的一边为待求量时,常使用勾股定理进行求解.有时也可以利用勾股定理列方程求解.举一反三:【变式】我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八,末折抵地,去本6尺.问:折者高几何?”译文:一根竹子,原高一丈八,虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好着地,着地处离原竹子根部6尺远.问:折处离地还有多高的竹子?(1丈=10尺)【答案】8尺【分析】设原处还有x 尺高的竹子,由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺,再运用勾股定理列方程即可求解.解:设折处离地还有x 尺高的竹子,如图,在Rt ABC 中,AC =x 尺,则AB =一丈八- AC =(18-x )尺由勾股定理得222AC BC AB +=,所以2226(18)x x +=-,解得:8x =.答:折处离地还有8尺高的竹子.【点拨】此题考查勾股定理解决实际问题.此题中的直角三角形只知道一直角边,另两边未知往往要列方程求解.类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题5.如图,一个直径为20cm 的杯子,在它的正中间竖直放一根小木棍,木棍露出杯子外2cm ,当木棍倒向杯壁时(木棍底端不动),木棍顶端正好触到杯口,求木棍长度.【答案】26cm【分析】设杯子的高度是x cm ,那么小木棍的高度是(x +2)cm ,因为直径为20cm 的杯子,可根据勾股定理列方程求解.解:设杯子的高度是x cm ,那么小木棍的高度是(x +2)cm ,∠杯子的直径为20cm ,∠杯子半径为10cm ,∠x 2+102=(x +2)2,即x 2+100=x 2+4x +4,解得:x =24,24+2=26(cm ).答:小木棍长26cm .【点拨】本题考查了勾股定理的运用,解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长.举一反三:【变式】如图,有一个水池,水面是一个边长为16尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面2尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,则水池里水的深度是多少尺?请你用所学知识解答这个问题.【答案】水池里水的深度是15尺【分析】根据勾股定理列出方程,解方程即可.解:设水池里水的深度是x 尺,由题意得,()22282x x +=+,解得:x =l5,答:水池里水的深度是15尺.【点拨】本题考查的是勾股定理的应用,掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键. 类型六、应用勾股定理解决航海问题6.如图,某港口P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q ,R 处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?【答案】北偏东45°(或西北)【分析】直接得出RP=18海里,PQ=24海里,QR=30海里,利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向.解:由题意可得:RP=18海里,PQ=24海里,QR=30海里,∠182+242=302,∠∠RPQ是直角三角形,∠∠RPQ=90°,∠“远航”号沿东北方向航行,即沿北偏东45°方向航行,∠∠RPS=45°,∠“海天”号沿北偏西45°(或西北)方向航行.【点拨】本题考查了勾股定理的应用,解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形,关键是从实际问题中抽象出直角三角形,难度不大.举一反三:【变式】在寻找某坠毁飞机的过程中,两艘搜救艇接到消息,在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是,一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A前进,同时,另一艘搜救艇也从港口O出发,以12海里/时的速度向着目标B出发,1.5小时后,他们同时分别到达目标A、B.此时,他们相距30海里,请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度?【答案】第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.【分析】根据题意求出OA、OB,根据勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°,即可得出答案.解:根据题意得:OA =16海里/时×1.5小时=24海里;OB =12海里/时×1.5小时=18海里,∠OB 2+OA 2=242+182=900,AB 2=302=900,∠OB 2+OA 2=AB 2,∠∠AOB =90°,∠艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O (如图)沿北偏东40°的方向向目标A 的前进,∠∠BOD =50°,即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.【点拨】本题考查了方向角,勾股定理的逆定理的应用,能熟记定理的内容是解此题的关键,注意:如果三角形两边a 、b 的平方和等于第三边c 的平方,那么这个三角形是直角三角形.类型七、应用勾股定理解决河的宽度7.湖的两岸有A ,B 两棵景观树,数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离,他们在与AB 垂直的BC 方向上取点C ,测得30BC =米,50AC =米.求:(1)两棵景观树之间的距离;(2)点B 到直线AC 的距离.【答案】(1)A ,B 两点间的 距离是40米;(2)点B 到直线AC 的距离是24米.【分析】(1)根据勾股定理解答即可;(2)根据三角形面积公式解答即可.解:(1)因为ABC 是直角三角形,所以由勾股定理,得222AC BC AB =+.因为50AC =米,30BC =,所以22250301600AB =-=.因为0AB >,所以40AB =米.即A ,B 两点间的 距离是40米.(2)过点B 作BD AC ⊥于点D . 因为1122ABC S AB BC AC BD =⋅=⋅△, 所以AB BC AC BD ⋅=⋅. 所以30402450AB BC BD AC ⋅⨯===(米), 即点B 到直线AC 的距离是24米.【点拨】本题考查了勾股定理的应用,属于基础题,关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式.举一反三:【变式】著名的赵爽弦图(如图∠,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ,较小的直角边长都为b ,斜边长都为c ),大正方形的面积可以表示为2c ,也可以表示为214()2ab a b ,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a ,b ,斜边长为c ,则222+=a b c .(1)图∠为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图∠推导勾股定理.(2)如图∠,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ,河边原有两个取水点A ,B ,其中AB AC =,由于某种原因,由C 到A 的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A 、H 、B 在同一条直线上),并新修一条路CH ,且CH AB ⊥,测得 1.2CH =千米,0.9HB =千米,求新路CH 比原路CA 少多少千米?(3)在第(2)问中若AB AC ≠时,CH AB ⊥,4AC =,5BC =,6AB =,设AH x =,求x 的值.【答案】(1)见分析;(2)新路CH 比原路CA 少0.05千米;(3) 2.25x =.【分析】(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出,也可利用三个直角三角形面积求出,两次求出的面积相等列出关系式,化简即可得证;(2)设CA x =,则AH 0.9x =-,根据勾股定理列方程,解得即可得到结果;(3)在Rt∠ACH 和Rt∠BCH 中,由勾股定理得求出CH 2=CA 2-AH 2=CB 2-BH 2,列出方程求解即可得到结果.解:(1)梯形ABCD 的面积为()()()21122b a b a a b ++=+, 也可以表示为2111222ab ab c ++, ∠()2211112222a b ab ab c +=++, 整理得:222a b c +=;(2)∠CA x =,∠AH 0.9x =-,在Rt∠ACH 中,222CA CH AH =+,即()2221.20.9x x =+-,解得x=1.25,即CA=1.25,CA -CH=1.25-1.2=0.05(千米),答:新路CH 比原路CA 少0.05千米;(3)设AH x =,则BH 6x =-,在Rt∠ACH 中,222CH CA AH =-,在Rt∠BCH 中,222CH CB BH =-,∠2222CA AH CB BH -=-,即()2222456x x -=--,解得: 2.25x =.【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明与应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法, 类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题8.如图所示,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为55cm ,10cm ,6cm ,点A 和点B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点处有一只蚂蚁,那么这只蚂蚁从点A 爬到点B 的最短路程是多少?【答案】73cm【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图,根据“两点之间,线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB ,则问题是求AB 的长,根据已知数据得出AC 、BC 的长,再利用勾股定理求出AB 的长,即可完成解答.解:如图所示,将这个台阶展开成一个平面图形,则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB 的长.在Rt ABC ∆中,55cm BC =,10+6+10+6+10+6=48cm AC =.由勾股定理,得222=5329AB AC BC +=.所以73cm AB =.因此,蚂蚁从点A 爬到点B 的最短路程是73cm.【点拨】此题考查勾股定理的应用,把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.举一反三:【变式】如图,小明准备把一支笔放入铅笔盒ABCD ,竖放时笔的顶端E 比铅笔盒的宽AB 还要长2cm ,斜着放入时笔的顶端F 与铅笔盒的边缘AB 距离为6cm ,求铅笔盒的宽AB 的长度.【答案】铅笔盒的宽AB 的长度为8cm .【分析】设铅笔盒的宽AB 的长度为cm x ,则笔长(2)cm x +,然后根据勾股定理列方程解答即可.解:设铅笔盒的宽AB 的长度为cm x ,则笔长(2)cm x +,由题意得2226(2)x x +=+,解得8x =.答:铅笔盒的宽AB 的长度为8cm .【点拨】本题考查了勾股定理的应用,弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键.类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题9.我市《道路交通管理条例》规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km /h .如图,一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测点A 正前方30m 的C 处,2秒后又行驶到与车速检测点A 相距50m 的B 处.请问这辆小汽车超速了吗?若超速,请求出超速了多少?【答案】超速了,超速了12km /h【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离,再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速,再与限速比较即可.解:.由已知得50m,30m AB AC ==∠在直角三角形ABC 中AB 2=AC 2+BC 2∠BC 2=AB 2-AC 2=222503040-=,40m BC ∴= 又4020m /s 22BC == 20m /s 72km/h 60km/h =>∠72-60=12km /h∠这辆小汽车超速了,超速了12km /h .【点拨】本题考查了勾股定理,其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点. 举一反三:【变式】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 的正前方50米处的C 点,过了6秒后,测得小汽车所在的B 点与车速检测仪A 之间的距离为130米.(1)求BC 间的距离;(2)这辆小汽车超速了吗?请说明理由.【答案】(1)120米;(2)超速,理由见分析【分析】(1)根据勾股定理求出BC 的长;(2)直接求出小汽车的时速,进而比较得出答案.解:(1)在Rt∠ABC 中,∠AC=50m ,AB=130m ,且AB 为斜边,根据勾股定理得:BC=120(m );(2)这辆小汽车超速了.理由:∠120÷6=20(m/s ),平均速度为:20m/s ,20m/s=72km/h ,72>70,∠这辆小汽车超速了.【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用,利用勾股定理求出BC 的长是解题关键. 类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题10.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力,如图,有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ,已知点C 为海港,并且点C 与直线B 上的两点A ,B 的距离分别为300km AC =,400km BC =,又500km AB =,以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域.(1)求ACB ∠的度数;(2)海港C 受台风影响吗?为什么?【答案】(1)90°;(2)受台风影响,理由见分析(1)利用勾股定理的逆定理得出∠ABC 是直角三角形,进而得出∠ACB 的度数; (2)利用三角形面积得出CD 的长,进而得出海港C 是否受台风影响.解:(1)∠AC =300km ,BC =400km ,AB =500km ,∠AC 2+BC 2=AB 2,∠∠ABC 是直角三角形,∠ACB =90°;(2)海港C 受台风影响,理由:过点C 作CD ∠AB ,∠∠ABC 是直角三角形,∠AC ×BC =CD ×AB ,∠300×400=500×CD ,∠CD =240(km ),∠以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域,∠海港C 受台风影响.【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用,解答此类题目的关键是构造出直角三角形,再利用勾股定理解答.举一反三:【变式】如图,在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有C 处需要爆破.已知点C 与公路上的停靠站AB 、的距离分别为300m 和400m ,且AC BC ,为了安全起见,如果爆破点C 周围半径250m 的区域内不能有车辆和行人,问在进行爆破时,公路AB 段是否需要暂时封闭,为什么?【答案】爆破公路AB 段有危险,需要暂时封锁.过点C 作CD∠AB 于点D ,根据勾股定理求出AB 的长,再由面积公式求得CD 的长,并比较,即可得出公路AB 上是否有危险.解:如图,过点C 作CD AB ⊥于点D .在Rt ABC 中,由勾股定理,得:22222300400250000AB AC BC ,所以500AB m = 由1122ABC S AB CD AC BC =⋅=⋅,得500300400CD ,解得240CD m , 因为240250<,所以爆破公路AB 段有危险,需要暂时封锁.【点拨】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积,解题的关键是利用直角三角形的面积列出方程求出CD 的长.类型十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题11.如图,烟台市正政府决定在相距50km 的A 、B 两村之间的公路旁E 点,修建一个大樱桃批发市场,且使C 、D 两村到E 点的距离相等,已知DA ∠AB 于A ,CB ∠AB 于B ,DA =30km ,CB =20km ,那么大樱桃批发市场E 应建什么位置才能符合要求?【答案】大樱桃批发市场E 应建在离A 站20千米的地方【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出2DE 和2CE ,列等式求解即可.解:设大樱桃批发市场E 应建在离A 站x 千米的地方,则()50BE x =-千米.在直角ADE 中,根据勾股定理得:222AD AE DE +=,∠22230x DE +=,在直角CBE △中,根据勾股定理得:222CB BE CE +=,∠()222205x CE +-=.又∠C 、D 两村到E 点的距离相等,∠DE CE =,∠22DE CE =,所以()2222302050x x +=+-,解得20x .∠大樱桃批发市场E 应建在离A 站20千米的地方.【点拨】本题考查勾股定理的实际应用,掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.举一反三:【变式】如图,小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处,小红家位于小明家北500米(500AC =米)、东1200米(1200BC =米)点B 处.(1)求小明家离小红家的距离AB ;(2)现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站,使PA PB +最小,请确定点P 的位置,并求PA PB +的最小值.【答案】(1)1300AB =米;(2)见分析,1500米【分析】(1)如图,连接AB ,根据勾股定理即可得到结论;(2)如图,作点A 关于直线MN 的对称点A ',连接A 'B 交MN 于点P .驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ,根据勾股定理即可得到结论.解:(1)如图,连接AB ,由题意知AC =500,BC =1200,∠ACB =90°,在Rt∠ABC中,∠∠ACB=90°,∠AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000,∠AB>0∠AB=1300米;(2)如图,作点A关于直线MN的对称点A',连接A'B交MN于点P.驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B,由题意知AD=200米,A'C∠MN,∠A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米,在Rt∠A'BC中,∠∠ACB=90°,∠A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000,∠A'B>0,∠A'B=1500米,即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米.【点拨】本题考查轴对称-最短问题,勾股定理,题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根(知识讲解)【学习目标】1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根. 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);的算术平方根”,叫做被开方数.特别说明:0,≥0. 【知识点二】平方根的定义如果,那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:2.联系:(1)平方根包含算术平方根; (2)被开方数都是非负数;(3)0的平方根和算术平方根均为0.特别说明:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1.求下列各数的算术平方根. (1)169; (2)481; (3)0.09; (4)(﹣3)2. 【答案】(1)13; (2)29; (3)0.3; (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解:(1)∵132=169,∵169的算术平方根是13, 13; (2)∵(29)2=481, ∵481的算术平方根是29,29; (3)∵0.32=0.09,∵0.09的算术平方根是0.3, =0.3; (4)∵32=9=(﹣3)2,∵(﹣3)2的算术平方根是3, 3.【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根,正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 【变式】 求下列各数的算术平方根: (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8; (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可. 解:(1)因为0.82=0.64,所以0.64的算术平方根是0.8. (2)因为2749()981=,250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979. 【点拨】本题考查了算术平方根,熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键, 正数有一个正的算术平方根,0的平方根是0,负数没有算术平方根.类型二、利用算术平方根非负性求解2.已知223y x x =-+--,求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =,计算出1x y +=-,从而计算出最终的答案.解:∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=.【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质,解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识.举一反三:【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证:b c =;(2) 求a b c -++的平方根. 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性,即可得证;(2)根据(1)的结论,以及非负数之和为0,求得,,a b c 的值,进而求得a b c -++的平方根.(1)证明:0≥0,0,0b c c b -≥-≥,b c ∴=;(2)解:|1|a +=b c =,10a -=,1,4a b ∴=-=, 4c b ∴==,1449a b c ∴-++=++=,9的平方根是3±.【点拨】本题考查了算术平方根的非负性,非负数之和为0,掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键.类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3.已知21a-=3,3a﹣b+1的平方根是±4,c是113的整数部分,求a+b+2c 的平方根.【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义,无理数的估算求出a、b、c的值,即可求出a+b+2c的值,根据平方根的意义即可求解.解:=3,∵2a﹣1=9,解得:a=5,∵3a﹣b+1的平方根是±4,∵15﹣b+1=16,解得:b=0,∵1011,∵c=10,∵a+b+2c=5+0+2×10=25,∵a+b+2c的平方根为±5.【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义,无理数的估算,熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键.举一反三:【变式】已知a b-1是400【答案】6a的值,进而利用算术平方根的定义得出b 的值,即可得出答案.解:∵a∵a=15,∵b-1是400的算术平方根,∵b-1=20,解得:b=21,6.【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根,得出a 的值是解题关键.类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表,通过观察后再回答问题:(1)表格中x = ,y = ;(2)从表格中探究a∵ ;∵8.973=89.73,用含m 的代数式表示b ,则b = ;(3)a 的大小.【答案】(1)0.1,10(2)∵31.6;∵100b m =(3)当0a =a =;当1a =a =;当01a <<a ;当1a >a 【分析】(1)根据算术平方根的性质,即可求解;(2)根据题意可得当a 扩大10010倍,∵≈3.16,即可求解;∵8.973=89.73,即可求解;(3)分四种情况:当0a =时,当1a =时,当01a <<时,当1a >时,即可求解.(1)解:根据题意得:0.1,10x y ====;(2)解:根据题意得:当a 扩大10010倍,,31.6;8.973=89.73, ∵100b m =;(3)当0a =0=a =;当1a =1=a =;当01a <<时,根据a a >;当1a >时,根据a a ;综上所述,当0a =a =;当1a =a ;当01a <<a >;当1a >时,a <.【点拨】本题主要考查了算术平方根,明确题意,准确得到规律是解题的关键. 举一反三:【变式】 细心观察图,认真分析各式,然后解答问题:221+=; 221+=;221+=;⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)请用含n (n 为正整数)的等式表示上述交化规律:______;(2)观察总结得出结论:直角三角形两条直角边与斜边的关系,用一句话概括为:______;(3的长度;(4)若S 表示三角形面积,121OP P S S =△,232OP P S S =△,343OP P S S =△⋅⋅⋅,计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值.【答案】(1)221+=;(2)直角边的平方和等于斜边的平方;(3)见分析;(4)554. 【分析】(1)观察已知各式,归纳总结规律即可得; (2)根据等式和图形即可得;(3)先作5OP 的垂线,再在垂线上截取561P P =,连接6OP ,可得6OP 出点7P ,连接7OP 即为所求;(4)先分别求出123,,S S S 的值,再归纳总结出一般规律得出n S 的值,从而可得10S 的值,然后代入求和即可.解:(1)观察已知各式可得,各式的变化规律为221+=故答案为:221+=;(2)结合等式和图形可得,直角三角形两条直角边与斜边的关系为:直角边的平方和等于斜边的平方故答案为:直角边的平方和等于斜边的平方;(3)先作5OP 的垂线,再在垂线上截取561P P =,连接6OP ,即可得6OP 作点7P ,连接7OP ,则7OP 即为所求,如图所示:(4)121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得:1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时,101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=. 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点,读懂题意,正确归纳类推出一般规律是解题关键.类型五、算术平方根的实际应用5.如图,用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片,沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片,能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍,且面积为230cm 请说明理由.【答案】不能,理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长,再根据长方形的长、宽之比为2:1,计算长方形的长与宽进行验证即可.解:不能,∵2+2=36(cm 2), ∵大正方形的边长为6cm ,设截出的长方形的长为2b cm ,宽为b cm , ∵2b 2=30,∵b∵2b =6=,∵不能截得长宽之比为2:1,且面积为30cm 2的长方形纸片.【点拨】本题考查了算术平方根的应用,理解算术平方根的意义是正确解答的关键. 举一反三:【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏:(他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ).(1)如图1,121,1S S ==,拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________; 如图2,121,4S S ==,拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________; 如图3,121,16S S ==,拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________.(2)若将(1)中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁,能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形?若能,求它的长、宽;若不能,请说明理由;【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片,理由见分析 【分析】(1)求出所拼成的正方形的面积,再根据算术平方根的定义进行计算即可; (2)根据题意求出其长、宽,再根据算术平方根进行验证即可.(1)解:如图1,当S 1=1,S 2=1,拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2,因此其边如图2,当S 1=1,S 2=4,拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3,当S 1=1,S 2=16,拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17,(2)解:不能,理由如下:设长方形的长为4x ,宽为3x ,则有4x •3x =14.52, 所以x 2=1.21, 即x =1.1(x >0),因此长方形的长为4x =4.4,宽为3x =3.3, 因为(4.4)2=19.36>17,所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4:3的长方形. 【点拨】本题考查算术平方根,理解算术平方根的定义是正确解答的前提.类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1,a ﹣b +2的算术平方根是2,求3a +b 的值. 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值,然后代入3a +b 即可. 解:∵10﹣3a 的平方根是±1,∵()21031a -=±, 解得,a =3,∵a ﹣b +2的算术平方根是 2, ∵222a b -+=, 解得,b =1,∵333110a b +=⨯+=.【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念,理解掌握概念是解题的关键. 举一反三:【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -. (1)求a 的值及这个正数;(2)求关于x 的方程()2280ax --=的解. 【答案】(1)a =1,这个正数是49;(2)8x =± 【分析】(1)由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0,求解即可得到答案;(2)将a =1代入方程,根据平方根的意义得到答案即可. 解:(1)由题意得6a ++29a -=0,解得a =1,∵这个正数是2(6)49a +=;(2)将a =1代入方程()2280ax --=,得2x -64=0, 解得8x =±.【点拨】此题考查正数平方根的性质,根据平方根的定义解方程,正确理解平方根的性质是解题的关键.类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数,再求值: (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】(1)根据平方根的概念与性质,计算即可; (2)根据平方根的概念与性质,计算即可.(1)解:原式=3=±(2)解:原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质,一个数a 的正的平方根,用符号表示,a叫做被开方数,2叫做根指数,a 的负平方根用“表示,根指数是2时,通常略去不写.如“根号a ”,“正、负根号a ”,掌握平方根的概念与性质是解题的关键.举一反三:【变式】 求下列各数的平方根: (1)100; (2)64; (3)4964;(4)1.21.【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】(1)根据2100±=(10)计算即可. (2)根据264±=(8)计算即可.(3)根据2749864±=()计算即可. (4)根据2 1.21±=( 1.1)计算即可.解:(1)∵2100±=(10),∵100的平方根是±10.(2)∵264±=(8),∵64的平方根是±8. (3)∵2749864±=() ∵4964的平方根是78±. (4)∵2 1.21±=( 1.1),∵1.21的平方根是±1.1.【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =(a 是非负数),则称x 是a 的平方根,正确理解平方根的意义是解题的关键.类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3,求34+x 的平方根.【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3,求出x 的值后,代入34+x 中,再求34+x 的平方根.解:∵2x +的算术平方根是3,∵29x +=,∵7x =,∵3425x +=,∵34+x 的平方根为5±.【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用,解题的关键是:理解算数平方根和平方根的定义,易错点是容易把负的平方根丢掉.举一反三:【变式】k 是64的平方根,求m -n+k 的平方根.【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得:m+1=0,2-n -0,解得m=-1,n=2;由k 是64的方根,得出k=±8,再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值,求其平方根即可.解:0,又,∵m+1=0,2-n-0,∵m=-1,n=2,∵k是64的平方根,∵k=±8;当k=8时,m-n+k=-1-2+8=5,由m-n+k的平方根为当k=-8时,m-n+k=-1-2-8=-11,没有平方根;综合上述可得:m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义,解题关键掌握几个非负数的和为0时,则这几个非负数都为0.类型九、已知一个数的平方根,求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a,则x是多少?【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解.解:依题意得,3a﹣2+4﹣a=0,∵a=﹣1,∵3a﹣2=﹣5,∵x=25.【点拨】本题考查了平方根的性质,熟练掌握一个正数有两个平方根,它们互为相反数是解题的关键.举一反三:【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a,求a和x的值.【答案】a和x的值分别为﹣1,25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数,得到4a﹣1+(4﹣a)=0,求出a=﹣1,再根据x=(4a﹣1)2求出x即可.解:∵一个正数的两个平方根互为相反数,∵4a﹣1+(4﹣a)=0,解得a=﹣1,∵x=(4a﹣1)2=(﹣5)2=25.答:a和x的值分别为﹣1,25.【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数,正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键.类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程,在横线上填入恰当内容.解方程:(x-1)2=4解:∵(x-1)2=4(1)∵x-1=2(2)∵x=3(3)上述过程中有没有错误?若有,错在步骤__________(填序号)原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】(2),正数的平方根有两个,它们互为相反数,见分析【分析】根据正数的平方根有两个,它们互为相反数,即可求解.解:上述过程中有错误,错在步骤(2),原因是:正数的平方根有两个,它们互为相反数,正确的解答过程为:解:∵(x-1)2=4∵x-1=±2∵x=3或x=-1故答案为:(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数,【点拨】本题考查了根据平方根解方程,掌握正数的平方根有两个,它们互为相反数是解题的关键.举一反三:【变式】求下列式子中的x:(1)25(x﹣35)2=49;(2)12(x+1)2=32.【答案】(1)x1=2,x2=45(2)x1=7,x2=﹣9【分析】(1)两边同时除以25,再开平方解一元一次方程即可;(2)方程两边同时乘以2,再开平方解一元一次方程即可.(1)解:25(x﹣35)2=49,(x﹣35)2=4925,x﹣35=±75,x ﹣35=75或x ﹣35=﹣75, 解得:x 1=2,x 2=45-; (2)12(x +1)2=32,(x +1)2=32×2,(x +1)2=64,x +1=±8,x +1=8或x +1=﹣8,解得:x 1=7,x 2=﹣9.【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程,正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键. 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ,宽为2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形,然后按图∵的方式拼成一个正方形.(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积:方法一:________________________________________________方法二:________________________________________________(3)根据(2)直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系.(4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:对于任意的有理数x 和y ,若9,18x y xy +==,求x y -的值.【答案】(1)m n -(2)2()m n -,2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】(1)利用小长方形的长减去宽即可得;(2)方法一:根据(1)的结论,直接利用正方形的面积公式即可得;方法二:利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得;(3)根据(2)中方法一与方法二求出的面积相等即可得;(4)先利用(3)中的等式求出2()x y -的值,再根据平方根的性质即可得.(1)解:由题意得:小长方形的长为m ,宽为n ,则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -,故答案为:m n -.(2)解:方法一:图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -,则其面积为2()m n -;方法二:图∵中大正方形的边长为m n +,四个小长方形的长均为m ,宽均为n ,则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-,故答案为:2()m n -,2()4m n mn +-.(3)解:因为(2)中方法一与方法二求出的面积相等,所以22()()4m n m n mn -=+-.(4)解:9,18x y xy +==,222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=,3x y ∴-=±.【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用,结合图形,正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键.举一反三:【变式】 已知|2020|a a -=,求22020a -的值.【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围,进而化简绝对值,在根据平方根的定义求得代数式的值.解:∵20220a -≥,∵2022a ≥.∵20200a -<,∵原式化简为2020a a -+=,2020=,∵220222020a -=,故220202022a -=.【点拨】本题考查了算术平方根的非负性,化简绝对值,平方根的定义,根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键.。
三角形全等的判定2(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
专题12.5 三角形全等的判定2(知识讲解)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”,判定方法4——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 特别说明:如图,如果∠A =∠,AB =,∠B =∠,则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 特别说明:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC 和△ADE 中,如果DE ∥BC ,那么∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,又∠A =∠A ,但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表:'A ''A B 'B '''A BC2.如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.【典型例题】 类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1. 如图,已知在ABC 中,AC BC AD ==,CDE B ∠=∠,求证:ADE BCD △≌△.【分析】证明ADE BCD ∠=∠,为三角形的全等提供条件即可.证明:ADE CDE B BCD ∠+∠=∠+∠,CDE B∠=∠,ADE BCD ∴∠=∠,AC BC =,A B ∴∠=∠,在ADE 和BCD △中A B AD BCADE BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,ADE ∴≌BCD △(ASA) .【点拨】本题考查了ASA 证明三角形的全等,抓住题目的特点,补充全等需要的条件是解题的关键.举一反三:【变式】 如图,已知:≌AEC=≌ADB ,AD=AE .BD 与CE 相等吗?为什么?【答案】BD CE =,理由见解析;【分析】根据三角形全等即可得到结果.解答:BD CE =,理由如下:在≌AEC 和≌ADB 中,A A AD AEADB AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ≌ADB AEC ≅,≌BD CE =.【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,准确证明是解题的关键.类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、 如图,已知DE ≌AB ,≌DAE =≌B ,DE =2,AE =4,C 为AE 的中点.求证:≌ABC ≌≌EAD .【分析】根据中点的定义,再根据AAS 证明≌ABC ≌≌EAD 解答即可.证明:≌C 为AE 的中点,AE =4,DE =2,≌AC =12AE =2=DE , 又≌DE≌AB ,≌≌BAC =≌E ,在≌ABC 和≌EAD 中,B DAE BAC E AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,≌≌ABC≌≌EAD (AAS ).【点拨】此题考查全等三角形的判定,关键是根据AAS 证明≌ABC≌≌EAD 解答. 举一反三:【变式1】 将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上,AC BC =,分别过点 A 、B 作直线l 的垂线,垂足分别为点D 、E ,连接AE .若3BE =, 5DE =.求ACE △的面积.【答案】32【分析】根据AAS 即可证明ACD CBE ≌,根据全等三角形的对应边相等,得出 3CD BE ==, AD CE =,所而 358CE CD DE =+=+=,从而求出AD 的长,则可得到ACE △的面积.解:≌AD CE ⊥, BE CE ⊥, ≌90ADC CEB ∠=∠=︒,≌90ACB ∠=︒,≌90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠,在ACD △与CBE △中,ADC CEBACD CBE AC BC≌ACD CBE ≌(AAS) ≌ 3CD BE ==, AD CE =,≌ 358CE CD DE =+=+=,≌ 8AD =.ACE 11883222S CE AD △.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质,余角的性质等知识,熟悉相关性质是解题的关键.【变式2】、 如图,在ABC 中,AB AC =,D 为BC 的中点,DE AB ⊥,DF AC ⊥,垂足为E 、F ,求证:DE DF =.【分析】根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠,根据D 为BC 的中点,得到BD CD =,再根据DE AB ⊥,DF AC ⊥,得到90BED CFD ∠=∠=,利用全等三角形的性质和判定即可证明DEDF =. 解:AB AC =,∴B C ∠=∠,DE AB ⊥,DF AC ⊥,∴90BED CFD ∠=∠=,D 为BC 的中点,∴BD CD =,在BED 与CFD △中BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴BED ≌CFD △()AAS ,≌DE DF =.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定,找到全等的条件是解题的类型三、添加条件构造三角形全等3.如图,已知∠B =∠DEC ,AB =DE ,要推得∠ABC ∠∠DEC ;(1)若以“SAS ”为依据,还缺条件______________;(2)若以“ASA ”为依据,还缺条件__________________;(3)若以“AAS ”为依据,还缺条件_____________________;【答案】BC=EC ≌A=≌EDC ≌ACB=≌DCE (或≌ACD=≌BCE)【解析】根据三角形全等的判定方法,和题目中所给的条件,依次去判断添加哪一个条件;现有的条件是,≌B =≌DEC ,AB =DE ,如以“SAS”为依据,还缺边相等,找边即可;若以“ASA”为依据,还缺角相等,找角即可;以“AAS”为依据,也是缺角相等,找角即可. 解答:≌≌B=≌DEC ,AB=DE≌(1)要利用SAS ,则还缺少一边即:BC=EC(2)要利用ASA ,则缺少一角即:≌A=≌EDC(3)要利用AAS ,则缺少一角即:≌ACB=≌DCE .故填BC=EC ,≌A=≌EDC ,≌ACB=≌DCE .点睛:本题属开放型的题目,解答关键是明白SAS 、ASA 、AAS的含义,据已知,缺什么条件,找什么条件,直接或间接的都可以.答案不唯一是本题的特点.要根据已知条件的位置选择方法.【变式1】如图,点C ,F 在线段BE 上,BF=EC ,∠1=∠2,请你添加一个条件,使∠ABC∠∠DEF ,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)【答案】AC=DF(答案不唯一),理由见解析【分析】先求出BC=EF ,添加条件AC=DF ,根据SAS 推出两三角形全等即可. 解答:添加AC=DF .证明:≌BF=EC ,≌BF ﹣CF=EC ﹣CF ,≌BC=EF ,在≌ABC 和≌DEF 中12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,≌≌ABC≌≌DEF (SAS ).考点:全等三角形的判定.【变式2】如图,点D ,C 分别在线段AB ,AE 上,ED 与BC 相交于O 点,已知AB =AE ,请添加一个条件(不添加辅助线)使∠ABC ∠∠AED ,并说明理由.【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题.解:根据SAS 可以条件AC =AD ,根据ASA 可以条件≌B =≌C ,根据AAS可以条件≌ACB=≌ADC.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.【变式3】如图,在∠AEC和∠DFB中,∠E=∠F,点A,B,C,D在同一直线上,有如下三个关系式:∠AE∠DF,∠AB=CD,∠CE=BF.(1)请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式:“如果∠,∠,那么∠”);(2)选择(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由.解:(1)命题1:如果①,②,那么③;命题2:如果①,③,那么②(2)命题1的证明:∵①AE∥DF,∴∠A=∠D,∵②AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=DB,在△AEC和△DFB中,∵∠E=∠F,∠A=∠D,AC=DB,∴△AEC≌△DFB(AAS),∴CE=BF③(全等三角形对应边相等);命题2的证明:∵①AE∥DF,∴∠A=∠D,在△AEC和△DFB中,∵∠E=∠F,∠A=∠D,③CE=BF,∴△AEC≌△DFB(AAS),∴AC=DB(全等三角形对应边相等),则AC-BC=DB-BC,即AB=CD②.注:命题“如果②,③,那么①”是假命题.类型四、全等三角形判定的综合训练4 如图(1),已知ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =;AE 是过A 的一条直线,且B ,C 在AE 的异侧,BD AE ⊥于D ,CE AE ⊥于E .(1)求证:BD DE CE =+;(2)若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD CE <),其余条件不变,问BD 与DE ,CE 的数量关系如何?请给予证明.(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD CE >),其余条件不变,问BD 与DE ,CE 的数量关系如何?请直接写出结果,不需证明;(4)根据以上的讨论,请用简洁的语言表达直线AE 在不同位置时BD 与DE ,CE 的位置关系.【答案】(1)见解析;(2)BD DE CE =-,见解析;(3)BD DE CE =-;(4)当B ,C 在AE 的同测时,BD DE CE =-;当B ,C 在AE 的异侧时,若BD CE >,则BD DE CE =+,若BD CE <,则BD CE DE =-【分析】(1)在直角三角形中,由题中条件可得≌ABD=EAC ,又有AB=AC ,则有一个角及斜边相等,则可判定≌BAD≌≌AEC ,由三角形全等可得三角形对应边相等,进而通过线段之间的转化,可得出结论;(2)由题中条件同样可得出≌BAD≌≌AEC ,得出对应线段相等,进而可得线段之间的关系; (3)同(2)的方法即可得出结论.(4)利用(1)(2)(3)即可得出结论.解:(1)≌BD≌AE ,CE≌AE≌≌ADB=≌CEA=90°≌≌ABD+≌BAD=90°又≌≌BAC=90°≌≌EAC+≌BAD=90° ≌≌ABD=≌CAE 在≌ABD 与≌ACE 中 ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌ACE ≌BD=AE ,AD=EC , ≌BD=DE+CE (2)≌BD≌AE ,CE≌AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌ACE ≌BD=AE ,AD=EC ≌BD=DE -CE ,(3)≌≌BAC=90°, ≌≌BAD+≌EAC=90°, 又≌BD≌AE ,CE≌AE , ≌≌BDA=≌AEC=90°, ≌BAD+≌ABD=90°, ≌≌ABD=≌EAC , 在≌ABD 与≌CAE 中,BDA AEC ABD EAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌CAE ,≌BD=AE ,AD=CE ,≌DE=AD+AE=BD+CE ,≌BD=DE -CE .(4)归纳:由(1)(2)(3)可知:当B ,C 在AE 的同侧时,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE - DE.【点拨】此题是几何变换综合题,主要考查了三角形全等的判定方法,余角的性质,线段的和差,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.举一反三:【变式】 如图1,≌ABC 中,AB =AC ,≌BAC =90°,点D 是线段BC 上一个动点,点F 在线段AB 上,且≌FDB =12≌ACB ,BE ≌DF .垂足E 在DF 的延长线上.(1)如图2,当点D 与点C 重合时,试探究线段BE 和DF 的数量关系.并证明你的结论; (2)若点D 不与点B ,C 重合,试探究线段BE 和DF 的数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)BE =12FD .证明见解析;(2)BE =12FD ,证明见解析. 【分析】(1)首先延长CA 与BE 交于点G ,根据≌FDB=12≌ACB ,BE≌DE ,判断出BE=EG=12BG ;然后根据全等三角形的判定方法,判断出≌ABG≌≌ACF ,即可判断出BG=CF=FD ,再根据BE=12BG ,可得BE=12FD ,据此判断即可. (2)首先过点D 作DG≌AC ,与AB 交于H ,与BE 的延长线交于G ,根据DG≌AC ,≌BAC=90°,判断出≌BDE=≌EDG ;然后根据全等三角形的判定方法,判断出≌DEB≌≌DEG,即可判断出BE=EG=12BG ;最后根据全等三角形的判定方法,判断出≌BGH≌≌DFH ,即可判断出BG=FD ,所以BE=12FD ,据此判断即可. 解:(1)如图,延长CA 与BE 交于点G ,≌≌FDB =12≌ACB , ≌≌EDG =12≌ACB , ≌≌BDE =≌EDG ,即CE 是≌BCG 的平分线,又≌BE≌DE ,≌BE =EG =12BG , ≌≌BED =≌BAD =90°,≌BFE =≌CFA ,≌≌EBF =≌ACF ,即≌ABG =≌ACF ,在≌ABG 和≌ACF 中,90ABG ACF AB AC BAG CAF ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩, ≌≌ABG≌≌ACF (ASA ),≌BG =CF =FD ,又≌BE =12BG , ≌BE =12FD . (2)BE =12FD , 理由如下:如图,过点D 作DG≌AC ,与AB 交于H ,与BE 的延长线交于G ,,≌DG≌AC ,≌BAC =90°,≌≌BDG =≌C ,≌BHD =≌BHG =≌BAC =90°,又≌≌BDE =12≌ACB , ≌≌EDG =≌BDG ﹣≌BDE =≌C ﹣12≌C =12≌C , ≌≌BDE =≌EDG ,在≌DEB 和≌DEG 中,90BDE EDG DE DE DEB DEG ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩, ≌≌DEB≌≌DEG (ASA ),≌BE =EG =12BG , ≌AB =AC ,≌BAC =90°,≌≌ABC =≌ACB =≌GDB ,≌HB =HD ,≌≌BED =≌BHD =90°,≌BFE =≌DFH ,≌≌EBF =≌HDF ,即≌HBG =≌HDF ,在≌BGH 和≌DFH 中,HBG HDF HB HDBHG DHF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ≌≌BGH≌≌DFH (ASA ),≌BG =FD ,又≌BE =BG ,≌BE =12FD .【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、如图,小颖站在堤岸边的A 处,正对她的S 点停有一艘游艇.她想知道这艘游艇距离她有多远,于是她沿堤岸走到电线杆B 旁,接着再往前走相同的距离,到达C 点.然后她向左直行,当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来,此时她位于D 点.那么C ,D 两点间的距离就是在A 点处小颖与游艇间的距离.请你用所学的数学知识解释其中的道理.【分析】先根据题目条件证明()SBA DBC ASA △≌△,再由全等三角形的性质即可得到答案;解:根据题意,可知:90A C ∠=∠=︒,AB CB =,SBA DBC ∠=∠.在SBA ∆和DBC △中,A C AB CBSBA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()SBA DBC ASA △≌△.所以SA DC =(全等三角形对应边相等).即,C D 两点间的距离就是在A 点处小颖与游艇间的距离.【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质是解题的关键.举一反三:【变式】如图,小明站在乙楼BE 前方的点C 处,恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A 和E 重合为一点,若B 、C 相距30米,C 、D 相距60米,乙楼高BE 为20米,小明身高忽略不计,则甲楼的高AD 是多少米?【答案】甲楼的高AD是40米.【分析】由图可知,EF≌DC,AD≌DC,EB≌BC,证明≌AEF≌≌ECB,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.解:∵EF∥DC,AD⊥DC,EB⊥BC,∴∠AEF=∠C,∠AFE=∠EBC=90°,∵B、C相距30米,C、D相距60米,∴EF=DB=BC=30米,∴△AEF≌△ECB(ASA),∴AF=BE,∵DF=BE,∴AD=2BE=2×20=40(米).答:甲楼的高AD是40米.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是找出证明三角形全等的条件.。
2019年八年级数学上册第四章一次函数知识点归纳(新版)北师大版
第四章 一次函数一、函数:一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量。
二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(偶次根式)(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点(1)关系式(解析)法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地,若两个变量x ,y 间的关系可以表示成b kx y +=(k ,b 为常数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)。
特别地,当一次函数b kx y +=中的b=0时(即kx y =)(k 为常数,k ≠0),称y 是x 的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b ①、一次函数b kx y +=的图像是经过点(0,b )的直线;正比例函数kx y =的图像是经过原点(0,0)的直线。
②、由于一次函数y kx b =+的图象是一条直线,所以一次函数y kx b =+的图象也称为直线y kx b =+。
八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式一、概念:定义1:整式A 除以整式B ,可以表示成的形式。
BA如果除式B 中含有分母,那么称为分式。
(对于任BA何一个分式,分母不为0。
如果除式B 中含有分母,那么这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为0。
分式:分母中含有字母。
整式:分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
)定义2:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。
定义3:分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
(化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式。
)定义4:化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5:分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6:在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种解通常称为增根。
二、基本性质:分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
三、运算法则:1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;(用符号语言表示:﹒=)b a dc bdac2、分式的除法的法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.(用符号语言表示:÷=﹒=)b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤:当分式的分子与分母都是单项式时: (1)乘法运算步骤是:①用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式,如果分子(或分母)的符号是负号,应把负号提到分式的前面;③约分。
(2)除法的运算步骤是:把除式中的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘,其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式,①先分解因式;②如果分子与分母有公因式,先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时,应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是:同分母的分式相加减。
人教版八年级数学上册知识点归纳
精心整理第十一章全等三角形11.1全等三角形(1)形状、大小相同的图形能够完全重合;(2)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形;(3)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;(4)平移、翻折、旋转前后的图形全等;(5)对应顶点:全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点;(6)对应角:全等三角形中相互重合的角叫做对应角;(7)对应边:全等三角形中相互重合的边叫做对应边;(8)全等表示方法:用“ ”表示,读作“全等于”(注意:记两个三角形全等时,把表示对应顶点的字母写在对应的位置上)(9)全等三角形的性质:①全等三角形的对应边相等;②全等三角形的对应角相等;11.2三角形全等的判定(1)若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等;(2)三角形全等的判定:①三边对应相等的两个三角形全等;(“边边边”或“SS”S)②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(“边角边”或“SAS”)③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(“角边角”或“ASA”)④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(“角角边”或“AAS”)⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;(“斜边直角边”或“HL”)(3)证明三角形全等:判断两个三角形全等的推理过程;(4)经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等;(5)三角形的稳定性:三角形的三边确定了,则这个三角形的形状、大小就确定了;(用“SSS”解释)11.3角的平分线的性质(1)角的平分线的作法:课本第19页;(2)角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(3)证明一个几何中的命题,一般步骤:①明确命题中的已知和求证;②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程;(4)性质定理的逆定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;(利用三角形全等来解释)(5)三角形的三条角平分线相交于一点,该点为内心;第十二章轴对称12.1轴对称(1)轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么就称这个图形是轴对称图形;这条直线叫做它的对称轴;也称这个图形关于这条直线对称;(2)两个图形关于这条直线对称:一个图形沿一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点;(3)轴对称图形与两个图形成轴对称的区别:轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合;而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合;(4)轴对称图形与两个图形成轴对称的联系:把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称;把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形。
八年级上册数学《分式》知识点归纳与总结
八年级上册数学《分式》知识点归纳与总结八年级上册《分式》知识点归纳与总结一、分式的定义:分式是由两个整数A和B组成的表达式,其中B中含有字母。
A为分子,B为分母。
分式有意义的条件是分母不为零(B≠0),无意义的条件是分母为零(B=0)。
分式的值为A/B,其中分母不为零。
分式的值为正或大于零的条件是分子和分母同号(A>0且B>0或A0且B0)。
分式的值为1的条件是分子和分母相等(A=B≠0),为-1的条件是分子和分母互为相反数(A+B=0,B≠0)。
二、分式的基本性质:分式的分子和分母同乘或除以一个不为零的整式,分式的值不变。
即A/C ÷ B/C = A/B,AC/BC = A/B。
分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。
三、分式的约分:约分是指把一个分式的分子和分母的公因式约去,使得分子和分母没有公因式。
约分的步骤是先对分子和分母进行因式分解,然后约去分子和分母的公因式。
最简分式是指分子和分母没有公因式的分式。
四、分式的通分:通分是指把几个异分母的分式化成相等的同分母分式。
通分的最简公分母是各个分母所有因式的最高次幂的积。
通分的步骤是先对各个分母进行因式分解,然后取各个分母所有因式的最高次幂作为最简公分母的因式,再把各个分子乘上相应的因式。
五、分式的四则运算和乘方:分式的加减法是先通分,然后把分子相加或相减,再约分得到最简分式。
分式的乘法是把分子相乘,分母相乘,然后约分得到最简分式。
分式的除法是把除数倒数,然后乘以被除数,得到商的最简分式。
分式的乘方是把分子和分母分别乘以相应的次数,得到乘方的最简分式。
分式的乘除法法则:对于两个分式 $\frac{a}{c}$ 和$\frac{b}{d}$,它们的乘积为 $\frac{a\times b}{c\times d}$,对于一个分式 $\frac{a}{c}$ 和另一个分式 $\frac{b}{d}$ 的除法,可以转化为乘法,即$\frac{a}{c}\div\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times\frac{d}{b}=\frac{ ad}{bc}$。
八上数学知识点总结归纳沪科版
八上数学知识点总结归纳沪科版数学,就像一座神秘的城堡,八年级上册的沪科版数学知识,那可是开启城堡深处大门的钥匙!咱们先来说说全等三角形。
全等三角形就像是一对双胞胎,不仅长得一模一样,各个部分的尺寸也完全相同。
要判断两个三角形全等,那可得有一双火眼金睛。
比如“边边边”,三条边都相等,它们就全等啦,这就好比你有三把一样长的尺子,那能做出一模一样的图形不是?还有“边角边”,两边及其夹角相等,这俩三角形也全等。
你想想,要是给你两条同样长的绳子和一个固定的夹角,是不是也只能画出一样的形状?再聊聊一次函数。
这一次函数啊,就像是一辆行驶中的汽车。
k 是斜率,决定了车爬坡的陡峭程度,b 是截距,就像是车出发的起始位置。
当 k 大于 0 时,车是向上爬坡,图像从左到右上升;k 小于 0 呢,车就开始下坡啦,图像从左到右下降。
这不就跟咱们生活中开车的感觉很像吗?整式的乘法与因式分解也很有趣。
乘法就像是盖房子,把一个个小砖块组合在一起,变得越来越大。
而因式分解呢,则是把大房子拆成一个个小砖块。
比如说,(a + b)(a - b) = a² - b²,这不就像是把一个大拼图拆成了两块嘛!还有分式,分式就像是分蛋糕。
分子是你能拿到的那份,分母是整个蛋糕。
要是分母为 0 ,那不就相当于没有蛋糕可分,这可不行!在学习这些知识的时候,可别像小猴子掰玉米,学一个丢一个。
要多做练习题,就像练武要多打拳一样,把知识练得滚瓜烂熟。
遇到难题别退缩,要像勇士一样勇往直前。
每次解决一个难题,都像是登上了一个小山峰,那种成就感,别提多棒啦!总之,八年级上册沪科版的数学知识丰富多彩,只要咱们用心去学,就能在数学的城堡里畅游,发现更多的奇妙之处!。
八年级上册开学考试知识点
八年级上册开学考试知识点即将迎来新学年的开学季,对于初中八年级的同学们来说,开学考试无疑是一个颇为重要的考验。
在这个紧张的备考时期,不同学科的重点知识点是需要我们重点复习的。
本文将会从数学、英语、语文和科学四个学科出发,为大家整理八年级上册开学考试的重点知识点,希望对大家备考有所帮助。
数学:数学作为重要的基础学科,在八年级的学习中有着相当重要的地位。
本次开学考试中,数学的重点知识点主要包括整数、分数、小数、代数、函数、平面图形和三角形等。
其中,小数的运算和转化、平面图形的面积和周长计算、三角形的相似性质和勾股定理是需要重点复习的难点知识点。
英语:英语作为一门外语,在开学考试中同样不可忽视。
本次考试的重点知识点主要包括阅读理解、语法和写作三个方面。
其中,阅读理解需要注意文章的结构和内容把握,语法上需要重点掌握基本句型、时态、语态的用法,写作方面需要留意语言表达的严谨性和语言美感。
语文:语文作为一门主科,在开学考试中重点知识点较多,需要我们重点关注。
本次考试的重点知识点主要包括文言文阅读理解、词语辨析、语法基础、古诗文背诵、现代文阅读和写作等。
其中,文言文阅读需要关注句法结构和意义理解程度,语法基础需要掌握词汇搭配、句子结构等基本知识,古诗文背诵需要掌握文化内涵和词语释义,现代文阅读和文章写作需要注意观点逻辑性和语言表达的准确性。
科学:科学作为一门实践性很强的学科,在开学考试中题目类型比较灵活,需要我们综合能力才能达到很好的成绩。
本次考试的重点知识点主要包括能量、物质、运动、电路和光学等。
其中,物质和运动部分需要掌握物质组成及性质、运动基本规律、运动能量转化等基本知识;电路和光学部分需要掌握电流、电势差、电阻等基本概念以及光的传播和反射、折射、色散等知识点。
总结:在准备八年级上册的开学考试时,我们需要重点把握数学、英语、语文和科学四个学科的基础知识点。
同时,需要充分利用好教材、课外辅导和历年真题等资源,认真复习备考,有针对性地刷题练习。
八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版单选题1、下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是()A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2答案:D分析:若四条线段能组成四边形,则三条较短边的和必大于最长边,由此即可完成.A、1+1+1<5,即这三条线段的和小于5,根据两点间距离最短即知,此选项错误;B、1+1+5<8,即这三条线段的和小于8,根据两点间距离最短即知,此选项错误;C、1+2+2=5,即这三条线段的和等于5,根据两点间距离最短即知,此选项错误;D、2+2+2>5,即这三条线段的和大于5,根据两点间距离最短即知,此选项正确;故选:D.小提示:本题考查了两点间线段最短,类比三条线段能组成三角形的条件,任两边的和大于第三边,因而较短的两边的和大于最长边即可,四条线段能组成四边形,作三条线段的和大于第四条边,因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可.2、要得知作业纸上两相交直线AB,CD所夹锐角的大小,发现其交点不在作业纸内,无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2):对于方案Ⅰ、Ⅱ,说法正确的是()A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行C.Ⅰ、Ⅱ都可行D.Ⅰ、Ⅱ都不可行答案:C分析:用夹角可以划出来的两条线,证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角,即可判断正误方案Ⅰ:如下图,∠BPD即为所要测量的角∵∠HEN=∠CFG∴MN∥PD∴∠AEM=∠BPD故方案Ⅰ可行方案Ⅱ:如下图,∠BPD即为所要测量的角在△EPF中:∠BPD+∠PEF+∠PFE=180°则:∠BPD=180°−∠AEH−∠CFG故方案Ⅱ可行故选:C小提示:本题考查平行线的性质和判定,三角形的内角和;本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3、刘零想做一个三角形的框架,她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条,需要将其中一根木条分为两段,如果不考虑损耗和接头部分,那么可以分成两段的是()A.6cm的木条B.8cm的木条C.两根都可以D.两根都不行答案:B分析:利用三角形的三边关系可得答案.解:利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段,如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm,所截成的两段线段之和大于6,所以,可以,而6cm的线段无论如何分,分成的两段线段之和都小于8,所以,不可以.故选:B.小提示:此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握三角形两边之和大于第三边.4、如图,若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为()A.10B.9C.8D.7答案:D分析:先根据多边形的内角和公式(n−2)·180°求出正五边形的每一个内角的度数,再延长五边形的两边相交于一点,并根据四边形的内角和求出这个角的度数,然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数,然后减去3即可得解.解:∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,∴正五边形的每一个外角为180°−108°=72°,如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=180°−2×72°=36°,360°÷36°=10,∵已经有3个五边形,∴10−3=7,即完成这一圆环还需7个五边形.故选:D.小提示:本题考查了多边形的内角和公式,延长正五边形的两边相交于一点,并求出这个角的度数是解题的关键,注意需要减去已有的3个正五边形.5、已知△ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,连接DE、BE、DC,下列各式中正确的是().A.S△ADES△ABC =ADABB.S△ADES△ABC=AEACC.S△ADCS△ABC =ADABD.S△ADES△EDC=AEAC答案:C分析:A选项,设点E、C到AB的距离分别为ℎ1,ℎ2,则ℎ1<ℎ2,根据三角形面积公式进行判断即可;B选项设点D、B到AC的距离分别为x,y,则x≠y,x<y,根据三角形面积公式进行判断即可;C选项,设点C到AB距离为h,△ADC=12AD⋅ℎ,S△ABC=12AB⋅ℎ,根据三角形面积公式进行判断即可;D选项,设点D到AC距离为ℎ3,则S△ADE=12AE⋅ℎ3,S△EDC=12CE⋅ℎ3,根据三角形面积公式进行判断即可A选项:设点E、C到AB的距离分别为ℎ1,ℎ2,则ℎ1<ℎ2,S△ADE=12AD⋅ℎ1,S△ABC=12AB⋅ℎ2,∴S△ADES△ABC =12AD⋅ℎ112AB⋅ℎ2=AD⋅ℎ1AB⋅ℎ2≠ADAB,故A错误;B选项:设点D、B到AC的距离分别为x,y,则x≠y,x<y,S△ADE=12AE⋅x,S△ABC=12AC⋅y,S△ADES△ABC=12AE⋅x12AC⋅y=AE⋅xAC⋅y≠AEAC,故B错误;C选项:设点C到AB距离为h,△ADC=12AD⋅ℎ,S△ABC=12AB⋅ℎ,∴S△ADCS△ABC =12AD⋅ℎ12AB⋅ℎ=ADAB,故C正确;D选项:设点D到AC距离为ℎ3,则S△ADE=12AE⋅ℎ3,S△EDC=12CE⋅ℎ3,∴S△ADES△EDC =12AE⋅ℎ312CE⋅ℎ3=AECE=AEAC−AE≠AEAC,故D错误.故选C.小提示:本题考查了与三角形的高有关的计算,掌握三角形的高的定义,根据三角形的面积计算是解题的关键.6、一个多边形截去一个角后,变成16边形,那么原来的多边形的边数为()A.15或16或17B.15或17C.16或17D.16或17或18答案:A分析:分三种情况讨论,当截线不经过多边形的顶点时,当截线经过多边形的一个顶点时,当截线经过多边形的两个顶点时,再利用数形结合的方法可得答案.解:如图,当截线不经过多边形的顶点时,被截后的多边形比原多边形增加一条边,所以当被截后的多边形为16边形,则原多边形为15边形,如图,当截线经过多边形的一个顶点时,被截后的多边形与原多边形边数相同,所以当被截后的多边形为16边形,则原多边形为16边形,如图,当截线经过多边形的两个顶点时,被截后的多边形比原多边形少一条边,所以当被截后的多边形为16边形,则原多边形为17边形,故选:A.小提示:本题考查的是用直线截多边形的一个角后,被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系,解题的关键是清晰的分类讨论.7、当n边形边数增加2条时,其内角和增加()A.180°B.360°C.540°D.720°答案:B分析:根据n边形的内角和定理即可求解.解:原来的多边形的边数是n,则新的多边形的边数是n+2.(n+2−2)•180−(n−2)•180=360°.故选:B.小提示:本题主要考查了多边形的内角和定理,多边形的边数每增加一条,内角和就增加180度.8、在△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,则△ABC为()三角形.A.锐角B.直角C.钝角D.等腰答案:B分析:根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数,再根据三角形的内角和为180°列出一个方程,解此方程即可得出答案.∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x根据三角形的内角和可得:x+2x+3x=180°解得:x=30°∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B.小提示:本题主要考查的是三角形的基本概念.9、如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=( )A.35°B.95°C.85°D.75°答案:C分析:根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,∠ACE=60°,得出∠ACD=120°;再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.解:∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°故选:C.小提示:本题考查了三角形外角性质,角平分线定义的应用,注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.10、能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是().A.B.C.D.答案:C分析:先将每个图形补充成三角形,再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案.解:A、如图1,∠1是锐角,且∠1=α+β,所以此图说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是真命题,故本选项不符合题意;B、如图2,∠2是锐角,且∠2=α+β,所以此图说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是真命题,故本选项不符合题意;C、如图3,∠3是钝角,且∠3=α+β,所以此图说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题,故本选项符合题意;D、如图4,∠4是锐角,且∠4=α+β,所以此图说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是真命题,故本选项不符合题意.故选:C.小提示:本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识,属于基本题型,熟练掌握上述基本知识是解题的关键.填空题11、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______.答案:180度##180°分析:如图,连接BC,记CD,BE的交点为G,先证明∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,再利用三角形的内角和定理可得答案.解:如图,连接BC,记CD,BE的交点为G,∵∠D+∠E=180°−∠DGE,∠GBC+∠GCB=180°−∠BGC,∠DGE=∠BGC,∴∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,∴∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG=180°,∴∠A+∠ABG+∠ACG+∠D+∠E=180°,所以答案是:180°小提示:本题考查的是三角形的内角和定理,作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键.12、如图,点D在△ABC的边BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE交AC于点F,若∠DFC=3∠B=117°,∠C=∠D,则∠BED=________.答案:102°分析:首先根据∠DFC=3∠B=117°,可以算出∠B=39°,然后设∠C=∠D=x°,根据外角与内角的关系可得39+x+x=117,再解方程即可得到x=39,再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数.解:∵∠DFC=3∠B=117°,∴∠B=39°,设∠C=∠D=x°,39+x+x=117,解得:x=39,∴∠D=39°,∴∠BED=180°−39°−39°=102°.所以答案是:102°.小提示:此题主要考查了三角形外角的性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.13、已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,若BD=2,CD=1,则DE的长为______.答案:0.5或1.5分析:根据题意作出草图,分类讨论即可求解.解:AD、AE分别是△ABC的高和中线,BD=2,CD=1,如图,当△ABC是钝角三角形时,∴BC=BD−CD=1∴DE=BD−BE=BD−12BC=2−12=32当△ABC是锐角三角形时,∵BC=BD+DC=2+1=3∴BE=12BC=32∴DE=BD−BE=2−32=12当△ABC是直角三角形时,CD=0,不合题意,所以答案是:12或32 小提示:本题考查了三角形的高线,中线的定义,线段的和差关系,分类讨论是解题的关键.14、一个多边形外角和是内角和的29,则这个多边形的边数为________. 答案:11分析:多边形的内角和定理为(n −2)×180°,多边形的外角和为360°,根据题意列出方程求出n 的值. 解:根据题意可得:29×(n −2)×180°=360°, 解得:n =11 ,所以答案是:11.小提示:本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理,属于基础题型.记忆理解并应用这两个公式是解题的关键.15、如图,△ABC 中,∠A =60°,∠B =40°,DE ∥BC ,则∠AED 的度数是______.答案:80°分析:根据三角形内角和定理可得∠C =80°,根据平行线的性质即可得答案.∵∠A =60°,∠B =40°,∴∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =80°,∵DE ∥BC ,∴∠AED =∠C =80°,所以答案是:80°小提示:本题考查三角形内角和定理及平行线的性质,任意三角形的内角和等于180°;两直线平行,同位角相等;熟练掌握相关性质及定理是解题关键.解答题16、如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多1,AB与AC的和为11(1)求AB、AC的长;(2)求BC边的取值范围.答案:(1)AB=6,AC=5(2)1<BC<11分析:(1)根据三角形中线的定义,BD=CD.所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差,然后联立关于AB、AC的二元一次方程组,利用加减消元法求解即可.(2)根据三角形三边关系解答即可.(1)解:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=1,即AB−AC=1①,又AB+AC=11②,①+②得:2AB=12,解得AB=6,②−①得:2AC=10,解得AC=5,∴AB和AC的长分别为:AB=6,AC=5;(2)∵AB=6,AC=5;∴1<BC<11.小提示:本题考查了三角形的三边关系,三角形的中线定义,二元一次方程组的求解,利用加减消元法求解是解题的关键.17、如图,在△ABC中,CD平分∠BCA,E为CD延长线上一点,EF⊥AB于点F,已知∠ACB=70°,∠E= 30°.求∠A的度数.答案:25°分析:利用垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF,利用对顶角的性质求出∠CDB,再利用角平分线的定义求出∠DCB,进而利用三角形内角和定理求出∠B,∠A.解:∵EF⊥AB,∴∠EFD=90°,又∵∠E=30°,∴∠EDF=180°−∠E−∠EFD=60°,∴∠CDB=∠EDF=60°.∵CD平分∠BCA,∠ACB=70°,∴∠DCB=12∠ACB=12×70°=35°.∴∠B=180°−∠CDB−∠DCB=180°−60°−35°=85°,∴∠A=180°−∠B−∠ACB=180°−85°−70°=25°,即∠A的度数为25°.小提示:本题考查角平分线、对顶角、三角形内角和定理的应用,解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和三角形内角和定理.18、如图,在△ABC中,CD、CE分别是△ABC的高和角平分线,∠BAC=α,∠B=β(α>β).(1)若α=70°,β=40°,求∠DCE的度数;(2)试用α、β的代数式表示∠DCE的度数_________.答案:(1)∠DCE=15°(2)α−β2分析:(1)根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值,再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE.(2)由(1)的解题思路即可得正确结果.(1)解:∵∠BAC=70°,∠B=40°∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(70°+40°)=70°,∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=12∠ACB=35°.∵CD是高线,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=90°−∠BAC=20°,∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=35°−20°=15°.(2)解:∵∠BAC=α,∠B=β∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(α+β),∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=12∠ACB=12×[180°−(α+β)]=90°−α+β2.∵CD是高线,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=90°−∠BAC=90°−α,∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=90°−α+β2−90°+α=α−β2.小提示:本题主要考查角平分线,高线以及角的转换,掌握角平分线,高线的性质是解题的关键.。
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《八年级数学(上)基础知识归纳----考验版,看能否背下来》 【平方根定义】若x 2=a ,则x=_______ ,把_______叫作a 的平方根
注: ①只有a ______时 ,a 的平方根才存在(即_____没有平方根) ②根号内的数______ 【例:要使1-x 有意义,则x_______】 【立方根定义】若x 3=a ,则x=_____ , 把_____叫作a 的立方根
形如2a 化简:①当a>0时 ,2a 等于_____ ;②当a<0时 ,2a 等于__________ 形如a 化简: ①当a>0时 , a 等于_____ ;②当a<0时 , a 等于__________ 【归纳】_____2=a 【例:化简()2
1π- 解:原式=_____________________ 】
①x 轴上的点 :_________ y 轴上的点 :_________
③第一象限的点 : (____ ,____) 第二象限的点 : (____ ,____) 第三象限的点 : (____ ,____) 第四象限的点 : (____ ,____)
《 点关于y 轴/ x 轴对称 》 一、【语言归纳】 ①点关于y 轴对称:
坐标 ; 坐标 ②点关于x 轴对称:
坐标 ; 坐标 二、【式子归纳】
①y 轴对称:A (a , b )→ B (___ ,___) ②x 轴对称:A (a , b )→ B (___ ,___)
《 点的平移 》
一、【语言归纳】
① 点向右平移, 坐标
点向左平移, 坐标
② 点向上平移, 坐标 点向下平移, 坐标 二、【式子归纳】
①左右平移:A (a , b )→ B (___ ,___) ②上下平移:A (a , b )→ C (___ ,___)
三、【一句话归纳】“点的平移:右___左___、上___下____”
O y
x
第一象限
象限第二
象限
第三象限
第四1
C
O B
O x
y A (a ,b )
A (a ,b )
y x
①关于____对称
② 关于____对称
b a b
a
向右平移向左平移向上平移向下平移
A (a ,b )B
B′
C′
C ①②
③ ④h 个单位h 个单位k 个单位
k 个单位
直线的平移
一、【式子归纳】
直线向上平移 :y=kx+b −−
−→−k
向上平移y= 直线向下平移 :y=kx+b −−
−→−k
向下平移y= 二、【一句话归纳】 :“直线的平移:上____下____” (关于左右平移以后再学)
① 一次函数:一般形式为 ( )
正比例函数是特殊(b=0)的一次函数:一般形式为 ( ) ② 当k>0时,y 随x 的 而 ;当k<0时,y 随x 的 而 。
③ 图像经过位置与k 、b 关系
k>0,b>0
k>0,b<0
K<0,b>0
K<0,b<0
、 、原点 k>0,b=0 、 、原点 k<0,b=0
④求一次函数解析式 【一句话】:____→____→____→____→____
注:需知____个点的坐标才可求出解析式(如果是正比例函数,只用____个点即可)
证明一般的三角形全等的方法有:____、____、____、____
注:①如果证明两个直角三角形全等,除了可用上述四种方法外,还可以用____定理 ②格式:
《勾股定理》
①若一个三角形是直角三角形,→那么两________________等于斜边的________
②若一个三角形是直角三角形,且两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,→那么____________ 《勾股定理逆定理》
①一个三角形 ,如果其中两____________等于第三边的____,→那么这个三角形是直角三角形 ②如果一个三角形的存在关系
、、三条边c b a ,→那么这个三角形是直角三角形
频率=________ , 数据总数=________ ,频数= ____________
在统计中将数据分成若干组,那么各组的频数之和等于____ ,频率之和等于_______
②①
在直角三角形中,
_____________等于斜边的一半
30°角_____________等于斜边的一半
其他:①两锐角_____②面积有两种算法,画图举例说明
【直角三角形性质】【角平分线的性质】角平分线上的点______________相等
【反之】:_______________相等的点,在这个角的角平分线上
《八年级数学(上)基础知识归纳----考验版,看能否背下来》 【平方根定义】若x 2=a ,则x=_______ ,把_______叫作a 的平方根
注: ①只有a ______时 ,a 的平方根才存在(即_____没有平方根) ②根号内的数______ 【例:要使1-x 有意义,则x_______】 【立方根定义】若x 3=a ,则x=_____ , 把_____叫作a 的立方根
形如2a 化简:①当a>0时 ,2a 等于_____ ;②当a<0时 ,2a 等于__________ 形如a 化简: ①当a>0时 , a 等于_____ ;②当a<0时 , a 等于__________ 【归纳】_____2=a 【例:化简()2
1π- 解:原式=_____________________ 】
①x 轴上的点 :_________ y 轴上的点 :_________
③第一象限的点 : (____ ,____) 第二象限的点 : (____ ,____) 第三象限的点 : (____ ,____) 第四象限的点 : (____ ,____)
《 点关于y 轴/ x 轴对称 》 一、【语言归纳】 ①点关于y 轴对称:
坐标 ; 坐标 ②点关于x 轴对称:
坐标 ; 坐标 二、【式子归纳】
①y 轴对称:A (a , b )→ B (___ ,___) ②x 轴对称:A (a , b )→ B (___ ,___)
《 点的平移 》
一、【语言归纳】
③ 点向右平移, 坐标
点向左平移, 坐标
④ 点向上平移, 坐标 点向下平移, 坐标 二、【式子归纳】
①左右平移:A (a , b )→ B (___ ,___) ②上下平移:A (a , b )→ C (___ ,___)
三、【一句话归纳】“点的平移:右___左___、上___下____”
O y
x
第一象限
象限第二
象限
第三象限
第四1
C
O B
O x
y A (a ,b )
A (a ,b )
y x
①关于____对称
② 关于____对称
b a b
a
向右平移向左平移向上平移向下平移
A (a ,b )B
B′
C′
C ①②
③ ④h 个单位h 个单位k 个单位
k 个单位
直线的平移
一、【式子归纳】
直线向上平移 :y=kx+b −−
−→−k
向上平移y= 直线向下平移 :y=kx+b −−
−→−k
向下平移y= 二、【一句话归纳】 :“直线的平移:上____下____” (关于左右平移以后再学)
① 一次函数:一般形式为 ( )
正比例函数是特殊(b=0)的一次函数:一般形式为 ( ) ② k 、b 与图像关系
③用待定系数法求一次函数解析式的步骤:____→ 找 →____→____→ 答
证明一般的三角形全等的方法有:____、____、____、____
注:①如果证明两个直角三角形全等,除了可用上述四种方法外,还可以用____定理 ②格式:
《勾股定理》
①若一个三角形是直角三角形,→那么两________________等于斜边的________
②若一个三角形是直角三角形,且两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,→那么____________ 《勾股定理逆定理》
①一个三角形 ,如果其中两____________等于第三边的____,→那么这个三角形是直角三角形 ②如果一个三角形的存在关系
、、三条边c b a ,→那么这个三角形是直角三角形
频率=________ , 数据总数=________ ,频数= ____________
在统计中将数据分成若干组,那么各组的频数之和等于____ ,频率之和等于_______
②①
在直角三角形中,
_____________等于斜边的一半
30°角_____________等于斜边的一半
其他:①两锐角_____②面积有两种算法,画图举例说明
【直角三角形性质】【角平分线的性质】角平分线上的点______________相等
【反之】:_______________相等的点,在这个角的角平分线上。