复变函数大作业
复变函数练习题
复变函数练习题
1. 计算复数z=3+4i的模长和辐角。
2. 证明复数的加法满足交换律和结合律。
3. 给定复数序列{z_n},其中z_n=(1+i)^n,求当n趋向无穷大时的极限。
4. 证明欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx。
5. 解复变方程(z-1)(z-2)=0。
6. 计算复数z=1-i的共轭复数。
7. 证明复数的乘法满足分配律。
8. 给定复变函数f(z)=z^2+1,求其在z=2处的导数。
9. 证明复数的除法满足结合律。
10. 已知复变函数f(z)=1/(z-1),求其在z=2处的值。
11. 证明复数z=a+bi的实部和虚部满足a^2+b^2=|z|^2。
12. 解复变方程z^2+z+1=0。
13. 证明复数的乘法满足交换律。
14. 计算复数z=2+3i的逆元,并验证乘积等于1。
15. 证明复数的倒数是其共轭复数除以其模长的平方。
16. 给定复变函数f(z)=z^3-3z^2+2z+1,求其在z=1处的值。
17. 证明复数的模长是非负的。
18. 给定复数序列{z_n},其中z_n=1/n,求其和的极限。
19. 证明复数的乘积的模长等于各自模长的乘积。
20. 给定复变函数f(z)=(z-1)/(z+1),求其在z=i处的值。
复变函数期末大作业(matlab例题)
Eg02. 计算 z1
i zezdz z2
0
,
i 2
d=[1 2 1 0];
[r p k]=residue(n,d)
I=2*pi*i*sum(r) 运行结果: r =-1 -1 1
p =-1 -1 0
k = []
I=0
- 710/113i
第六章
Ex01. 探讨 z 2 经过映射 z 1 的变换,并作用图形法展示 w e 。 z
解:MATLAB 程序如下 r=2; t=0:0.01*pi:2*pi; z=r*exp(i*t); w=exp(z+1./z); plot(w); title('w= exp(z+1./z) '); axis equal 运行结果:
1)^2)/(tan(1)^2 + 1) - 4*tan(1)^2))/(tan(1)^2 + 1) + (4*exp(-1)*tan(1))/(tan(1)^2 +
1)) - ((2*exp(-1))/(tan(1)^2 + 1) + (2*exp(-1)*tan(1))/(tan(1)^2 + 1))*(z - 1)
运行结果: ans = -15^(1/7)
15^(1/7)*exp((pi*1i)/7) 15^(1/7)*exp((pi*3i)/7) 15^(1/7)*exp((pi*5i)/7) -15^(1/7)*exp((pi*2i)/7) -15^(1/7)*exp((pi*4i)/7) -15^(1/7)*exp((pi*6i)/7) Ex03 绘制 cos(z)图像。 解:MATLAB 程序如下: z=5*cplxgrid(30); y=cos(z); surf(real(z),imag(z),real(y),imag(y)) view(0,0) 运行结果:
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案:1.计算下列复数的幂函数:$z=1+i$,$n=3$。
答案:$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数:$z=-2+i$,$n=4$。
答案:$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程:$z^2+4z+5=0$。
答案:可以使用求根公式求解,$(z+2)^2+1=0$,得到两个解:$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式:$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案:$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数:$z=2-i$。
答案:$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式:$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案:$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部:$z=3+2i$。
答案:实部为3,虚部为28.计算下列复数的模长:$z=-4+3i$。
答案:$,z, = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数:$z=-1-i$,$n=2$。
答案:$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数:$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案:$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.(1) 72)52)(43(ii i −+;(2) .4218i i i +−2. 当x ,y 等于什么实数时,等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立?3.证明:(1);2z z z = (2)1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值: (1)();35i −(2)().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ,证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围:(1);65=−z(2);12≥+i z(3).i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域,并指出它是有界的还是无界的: (1);32≤≤z(2).141+<−z z9.将方程tt z 1+=(t 为实参数)给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题(1)设iy x z +=,y x ≠||,4z 为实数,则( ).A .0=xy B.0=+y x C .0=−y x D.022=−y x(2)关于复数幅角的运算,下列等式中正确的是( ). A .Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C .2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += (3)=+31i ( ).A .ie 62πB.ie 62π−C .ie 62π± D.i e62π±(4)2210<++<i z 表示( ). A .开集、非区域 B.单连通区域 C .多连通区域 D.闭区域(5)z i z f =−1,则()=+i f 1( ).A .1 B.21i+ C .21i− D.i −1 (6)若方程1−=z e ,则此方程的解集为( ).A .空集 B.π)12(−=k z ,(k 为整数) C .i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立?3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −,)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−,i i e41π+,i 3和ii )1(+值.第二章 导数1.下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域,并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f(3)(),dcz baz z f ++=(d c ,中至少有一个不为0).3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数,试确定l 、m 、n 的值.4.证明:如果()z f 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,那么是常数. (1)()z f 恒取实值. (2))(z f 在区域D 内解析. (3)()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在?(1)())Re(z z f =;(2)())Im(z z f =.6.证明;,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题(1)函数()z f w =在点0z 可导是可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(2)函数()z f w =在点0z 可导是连续的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(3)函数()),(),(y x iv y x u z f +=,则在()00,y x 点,v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(4)函数()22ix xy z f −=,那么( ). A .()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C .()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导(5)若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ,,),(xy y x v =()iv u z f +=,则()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C .()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微(6)若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=, 那么()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C .()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ (7)函数()z z z f = ,则( ). A .()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C .()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导(8)设()34−=′z z f ,且()i i f 31−=+,则()=z f ( ).A . i z z −−322 B. i z z 3322+− C .i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域,并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点,而()z g 在0z 解析,那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数,那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .(1)自原点至1+i 的直线段;(2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1+i ;(3)自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫,其中C 为正向圆周,2=z .4.计算下列积分 ,其中C 为正向圆周,1=z . (1);21dz z C ∫− (2);4212dz z z C ∫++(3);cos 1dz zC ∫ (4);211dz z C∫−(5);dz ze Cz ∫(6)().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分:(1)dz z C ∫−21,C :12=−z ;(2)dz a z C ∫−221,C: a a z =−;(3),3dz z zC ∫− C :2=z ;(4)()()dz z z C∫++41122,C :23=z ;(5)dz zzC ∫sin ,C :1=z ; (6)dz z zC∫−22sin π,C :2=z .6.计算下列各题: (1)∫−ii z dz e ππ32;(2)∫−iizdz ππ2sin ;(3).)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分:(1)dz i z z C ∫+++2314,C :4=z ,正向; (2)dz z iC ∫+122,C :61=−z ,正向; (3),cos 213dz z zC C C ∫+= 1C :2=z ,正向,2C :3=z ,负向;(4)dz i z C ∫−1,C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形; (5)()dz a z eC z∫−3;其中a 为1≠a 的任何复数,C :1=z ,正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线,a 为不等于0的任何复数,试就a 与a −跟C 的各种不同位置,计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.(1)设C 为θi e z =,θ从2π−到2π的一段,则=∫Cdz z ( ).A .i B.2i C .-2i D.- i(2)设C 是从0=z 到i z +=1的直线段,则=∫Cdz z ( ).A .1+i B.21i+ C .i e4π− D. ie 4π(3)设C 为θi e z =,θ从0到π的一段,则=∫Czdz arg ( ).A .i 2−−π B. π− C .i 2+π D. i 2−π(4)设C 为t i z )1(−=,t 从1到0的一段,则=∫Cdz z ( ).A .1 B.-1 C .i D.- i(5)设C 为1=z 的上半部分逆时针方向,则=−∫Cdz z )1(( ).A .2i B.2 C .-2i D.- 2(6)设C 为θi e z 21=,正向,则=−∫C z dz e e zsin ( ).A .sin1 B.e i 1sin 2π C .e i 1sin 2π− D.0(7)=++∫=dz z z z 12221( ).A .i π2 B.i π2− C .0 D.π2 (8)设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度,则=+∫C dz z )1sin(( ).A .0 B.2cos − C .12cos − D. 12cos − (9)=++∫=+dz z z e z z 232)1(232( ). A .0 B.i π32C .i π2 D. i π2−(10)=++∫=dz z z zz 121682cos π( )A .0 B.i π C .i π− D. i π2.(11)=+∫=dz z zz 221( ).A .0 B.i π2 C .i π2− D. i π(12)=∫=dz z e z z12( ).A .i π2 B. i π C .0 D. π (13)1322z z z e dz ==∫( ).A .i π2 B. i π16 C .i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12,其中Γ是圆环域:221≤≤z 的边界.3.(1)证明:当C 为任何不经过原点的闭曲线时,则;012=∫dz zC(2)沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C(3)沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C :2=z ,试求()i f ,()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C :.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ,求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径:()为正整数);p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数,并指出它们的收敛半径: ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径: ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内;在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题:()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛,能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型,如果是极点,指出它的阶数:()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分(利用留数,圆周均取正向).();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点?并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值,如果:求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分,C 为正向圆周:()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分:();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题:()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型,并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题:(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为(). (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).A. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 B. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题:1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章:,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.(1)以z =5为圆心,6为半径的圆;(2)以z =-2i 为圆心,1为半径的圆周及圆周的外部;(3)i 和i 两点的连线的中垂线. 8.(1)圆环形闭区域,有界; (2)中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域,无界. 9.xy =1。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数考题
复变函数考题福师《复变函数》课程练习题作业⼀⼀、判断题(对的⽤T 表⽰,错的⽤F 表⽰)1、如果0()f z '存在,那么()f z 在0z 解析。
( F )2、()n Ln z nLnz =。
( F 3、当且仅当z 为实数时,ze 为实数。
( F )4、设()f z u iv =+在区域D 内是解析的,如果u 是实常数,那么()f z 在整个D 内是常数;如果v 是实常数,那么()f z 在D 内也是常数。
( T )⼆、填空 1、Re n =;Im n = 。
考核知识点:棣莫佛公式,实部、虚部的定义提⽰:将函数化为复数的三⾓函数形式。
2、设ω是1的n 次根,1ω≠,则211n ωωω-++++= 。
考核知识点:复数的n 次⽅根及等⽐数列求和公式.3、在映射2z ω=下,扇形区域0arg ,14z z π<<<的像区域为。
考核知识点:复数的乘幂运算4、若()()11n n i i +=-,则n = 。
考核知识点:欧拉公式,棣莫佛公式三、计算1、计算下列函数值:1)()n i L e ;2考核知识点:复数对数函数。
提⽰:可以查看视频课件第⼆章第三节初等多值函数。
2、下列函数在复平⾯上何处可导?何处解析?1; 2)()()2222x y x i xy y --+- 。
考核知识点:以上两个函数的可导性,解析性。
提⽰:两个函数的解题思路是相似的,利⽤C-R 条件。
3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数?求出其导数。
考核知识点:解析函数。
提⽰:利⽤C-R 条件。
4、已知222371(),:3C f z d C x y zζζζζ++=+=-?,求()1f i '+。
考核知识点:柯西积分公式。
提⽰:22371()2(371)C f z d i z z zζζζπζ++==++-? 5、计算积分1)()2311z z dz z z =--?; 2)211sin 41z z dz z π+=?? ???-?; 3)()12121z z e dz z z -=+?; 4)()23132z dzz z -=-?。
大学复变函数题
大学复变函数题复变函数是数学中的一个重要概念,它在实际问题的研究中起着重要的作用。
下面我将介绍几个关于大学复变函数的题目,以便更好地理解和应用这一概念。
1. 题目一:计算复变函数的极限给定复变函数$f(z)=\frac{z^2-1}{z-i}$,求当$z\to i$时,$f(z)$的极限值。
解析:我们可以使用极限的定义来求解这个问题。
首先假设$z=x+iy$,其中$x$和$y$分别表示实部和虚部。
将$z$代入$f(z)$中,得到:$$f(z)=\frac{(x+iy)^2-1}{x+iy-i}$$化简后得到:$$f(z)=\frac{x^2-y^2-1+2xyi}{x+(y-1)i}$$当$z\to i$时,即$x\to 0$且$y\to 1$,代入上式可以得到极限值: $$f(i)=\lim_{z\to i} f(z) = \frac{-1-2i}{-i} = 1-2i$$因此,当$z\to i$时,$f(z)$的极限值为$1-2i$。
2. 题目二:计算复变函数的导数给定复变函数$f(z)=e^z+z^2$,求$f(z)$的导数。
解析:要计算复变函数的导数,我们可以直接对其进行求导。
给定$f(z)=e^z+z^2$,对$z$求导得到:$$f'(z) = \frac{d}{dz}(e^z+z^2) = e^z+2z$$因此,$f(z)$的导数为$f'(z) = e^z+2z$。
3. 题目三:计算复变函数的积分给定复变函数$f(z)=\frac{1}{z^2+4z+3}$,求$\int_C f(z) dz$,其中$C$为单位圆周。
解析:要计算复变函数的积分,我们可以使用留数定理。
首先找到函数$f(z)$在复平面上的奇点,即令分母等于零得到: $$z^2+4z+3 = 0$$解这个方程可以得到$z=-3$和$z=-1$。
根据留数定理,我们只需要计算这两个奇点对应的留数,并将其相加即可得到积分的结果。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。
大学复变函数专项试卷及答案
大学复变函数专项试卷及答案一、填空题(每小题4分,共24分)1. =+++-)121311Re(i i i .2. 若函数())6()1(232222y x xy i y m xy x z f +-+--+=在复平面内处处解析,那么实常数m = 。
3.设C 为1<=r z ,那么⎰--C z z dz)1)(1(32= 。
4.幂级数∑∞=03n nnz 的收敛半径=R 。
5.设C是沿2x y =自原点到i +1的曲线段,求dzz C⎰= 。
6.函数341)(-=z z f 在0=z 处的泰勒级数为 。
二.单项选择题(每小题4分,共20分) 1.的主值为)1(i Ln -()A .42ln πi+ B. 42ln πi- C .2ln 4i +πD.2ln 4i -π2.设22-+=ni nin α),3,2,1( =n ,则=∞→n n αlim ( ) A. 0; B. 1; C. -1+i ; D. 1+i 。
3.满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是( )。
A .有界单连通区域; B. 无界单连通区域; C .有界复连通闭域; D.无界复连通闭域。
4.下列函数中,不在复平面内解析的函数是( )A.1)(+=z ez f ; B .-=z z f )( ;C .n z z f =)( ;D .)sin (cos )(y i y e z f x+=。
5.下列级数中,条件收敛的级数是()A. ∑∞=+08)56(n nni ; B. ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-03)1(n n n i n ; C. ∑∞=02n n i; D.∑∞=+0)1(1n n in .三.计算题(每小题7分,共49分) 1.设i z 31+=求61z 。
2.判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导,在何处解析。
3.计算积分⎰-Cdz z z 4)2(sin π,其中C :2=z 。
网络教育《复变函数》作业及答案
3!
(2n 1)!
17、求函数 sin z3 z6
在0
|
z
|
内的罗朗展式。
解: sin z3
1
z3
... (1)n
z 6n3
...;
z 6 z3 3!
(2n 1)!
四、证明题 1、若函数 f(z)在 z0 处可导,则 f(z)在 z0 连续。 证明:根据定义可得:若函数 f(z)在 z0 处可导,则 f(z)在 z0 连续。
20、cos z 与 sin z 的周期均为 2k 。( √ )
21、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件。(√ )
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22、若函数 f(z)在 z0 处解析,则 f(z)在 z0 连续。(√ )
则
lim
zz0
f
(z) _= (x02
2x0 y0) i(1sin(x02
y02 ),
13、幂级数 nxn 的收敛半径为____1______ n0
14、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 f '(z) 的__ m-1 级___零点。
15、函数 f (z) | z | 的不解析点之集为__ lim z1 z2 ... zn ____。
z 1
解: z 1 (z 1)(z 1) | z |2 1 z z ; z 1 | z 1|2 | z 1|2 | z 1|2
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15、设 f (z)
复变函数14套题目和答案
复变函数14套题目和答案《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、判断题(20分):1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛,则与都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析,且,则(常数).()5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.()7.若存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则.()9.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D内恒等于常数.()二.填空题(20分)1.__________.(为自然数)2._________.3.函数的周期为___________.4.设,则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若,则______________.8.________,其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点,则.三.计算题(40分):1.设,求在内的罗朗展式.2.3.设,其中,试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明:如果在内为常数,那么它在内为常数.2.试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题(二)1、判断题.(20分)1.若函数在D内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cos z 与sin z在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点,则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.()8.若数列收敛,则与都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设,则 2.设,则________.3._________.(为自然数)4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m>0,则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设,则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分:,积分路径为(1)单位圆()的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一.判断题.(20分).1.cos z与sin z的周期均为.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析,则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛,则与都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数,则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在上解析,且,则.()8.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点.()10.若是的可去奇点,则.()二.填空题.(20分)1.设,则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若,则__________.4.___________.5._________.(为自然数)6.幂级数的收敛半径为__________.7.设,则f(z)的孤立奇点有__________.8.设,则.9.若是的极点,则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分:,其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明:如果在内为常数,那么它在内为常数.2.设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数练习题
复变函数练习题复变函数练习题复变函数是数学中一个重要的分支,它研究的是具有两个自变量和两个因变量的函数。
复变函数的研究对于理解数学和应用数学都具有重要意义。
下面我们来看一些复变函数的练习题,通过解答这些问题,我们可以更好地理解和掌握复变函数的性质和应用。
1. 设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y),其中 u(x, y) 和 v(x, y) 是实函数,z = x + iy 是复数。
证明 f(z) 是解析函数的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 满足柯西-黎曼方程。
解答:柯西-黎曼方程是复变函数解析性的重要条件。
根据柯西-黎曼方程,我们有以下等式:∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x我们可以通过对 u(x, y) 和 v(x, y) 分别求偏导数,然后比较上述等式的左右两边,来验证柯西-黎曼方程是否成立。
如果等式成立,那么 f(z) 就是解析函数。
2. 设 f(z) = z^2 + 2z + 1,其中 z 是复数。
求 f(z) 的导数,并将其表示为复变函数的形式。
解答:我们可以将 f(z) 展开为:f(z) = (x + iy)^2 + 2(x + iy) + 1= (x^2 - y^2 + 2ixy) + (2x + 2iy) + 1= (x^2 - y^2 + 2x + 1) + i(2xy + 2y)根据导数的定义,我们可以求出 f(z) 的导数为:f'(z) = (2x + 2) + i(2y + 2)3. 设 f(z) = e^z + 1,其中 z 是复数。
求 f(z) 的导数,并将其表示为复变函数的形式。
解答:根据复数的指数函数的定义,我们有:e^z = e^(x + iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)将 e^z 和 1 相加,我们可以得到 f(z) 的表达式:f(z) = e^x * (cosy + isiny) + 1= (e^x * cosy + 1) + i(e^x * siny)根据导数的定义,我们可以求出 f(z) 的导数为:f'(z) = e^x * cosy + i * e^x * siny4. 设 f(z) = z^3 + 2z^2 + 3z + 4,其中 z 是复数。
复变函数练习题
复变函数练习题1. 求下列复变函数的导数:a) $f(z) = z^3 - 2z^2 + 4z - 3$b) $g(z) = e^z \sin(z)$c) $h(z) = \frac{1}{z^2+1}$2. 计算下列复变函数的积分:a) $\int_C (3z^2 - 2\bar{z}) \, dz$,其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \cos(z) \, dz$,其中 $C$ 是由直线段 $z=1$ 到 $z=i$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{z^2-4} \, dz$,其中 $C$ 是由两个阶梯型路径组成的,从 $z=-2$ 到 $z=-1$,然后从 $z=-1$ 到 $z=2$。
3. 求下列复变函数的奇点,并判断其类型(可去奇点、极点或本性奇点):a) $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$b) $g(z) = \frac{\sin(z)}{z}$c) $h(z) = \frac{1}{\sqrt{z+2}}$4. 计算下列复变函数的Laurent级数展开:a) $f(z) = \frac{1}{z^2(z-1)}$b) $g(z) = \frac{e^z}{z^3}$c) $h(z) = \frac{1}{(z^2-1)^2}$5. 利用残数定理计算下列积分:a) $\int_C \frac{e^z}{z(z-1)^3} \, dz$,其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \frac{\ln(z)}{z(z+1)} \, dz$,其中 $C$ 是由圆 $|z-1|=1$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{e^z-1} \, dz$,其中 $C$ 是由直线段 $z=-\pi$ 到$z=\pi$ 给出的路径。
以上是关于复变函数练习题的内容,通过解答这些问题,可以加深对复变函数的理解。
复变函数大作业
复变函数大作业1. (选做题)求下列复数z 的实部和虚部、共轭复数、模与辐角: (1)132i +(2)131i i i --(3)()()34252i i i+-(4)8214i i i -+. 解:用MATLAB 输入:>> a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]输出a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i1.0000 - 3.0000i>>real(a)ans =0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000>>imag(a)ans =-0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000>>conj(a)ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i1.0000 + 3.0000i>>abs(a)ans =0.2774 2.9155 13.4629 3.1623>>angle(a)ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490即复数z 的实部和虚部、共轭复数、模与辐角上所示16. (1)求方程3+8=0z 的所有根;(2)求微分方程80y y '''+=的一般解。
解:(1)用MATLAB 输入:>> z=solve('z^3+8=0','z')输出:z =-21 - 3^(1/2)*i3^(1/2)*i + 1即方程的根为2,1,1-(2)用MATLAB 输入:>> y=dsolve('D3y+8*y=0','x')输出:y =C1/exp(2*x) + C2*exp(x)*cos(3^(1/2)*x) + C3*exp(x)*sin(3^(1/2)*x)即微分方程的一般解为-2x x 123c e+e (c用MATLAB 画图如下:输入:(1)取C1,C2,C3均为1:>> x=[-10:0.01:10];>> y=exp(-2*x)+exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+exp(x).*cos(3^(1/2)*x);>>plot(x,y)(2)取C1,C2,C3均为2:-10-8-6-4-202468108>> x=[-10:0.01:10];y=2*exp(-2*x)+2*exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+2*exp(x).*cos(3^(1/2)*x); plot(x,y)(3)取C1为5,C2、C3均为1:>> x=[-10:0.01:10];y=5*exp(-2*x)+exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+exp(x).*cos(3^(1/2)*x);plot(x,y)(4)取C1为-2,C2、C3均为1:>> x=[-10:0.01:10];-10-8-6-4-20246810-202468108-10-8-6-4-20246810-0.500.511.522.59y=-2*exp(-2*x)+exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+exp(x).*cos(3^(1/2)*x);plot(x,y)-10-8-6-4-20246810-10-8-6-4-228。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -.6. 2k i π,()k z ∈.7. 0;8. i ±;9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
大学数学复变函数练习题及答案
大学数学复变函数练习题及答案1. 解析函数(1)求函数 $f(z)=|z|^2+z^3$ 的实部和虚部。
解:设 $z=x+yi$,其中 $x,y \in \mathbb{R}$,则有$f(z)=|z|^2+z^3=(x^2+y^2)+(x+yi)^3=(x^2+y^2)+(x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3))$则实部为$u(x,y)=x^3-3xy^2+x^2+y^2$,虚部为$v(x,y)=3x^2y-y^3$。
(2)求函数 $f(z)=xe^z$ 的实部和虚部。
解:设 $z=x+yi$,其中 $x,y \in \mathbb{R}$,则有$f(z)=xe^z=x(e^x \cos y + i e^x \sin y)$则实部为 $u(x,y)=x e^x \cos y$,虚部为 $v(x,y)=x e^x \sin y$。
2. 应用题(1)一个圆盘的温度分布表示为 $u(r,\theta)=r^2(1-\cos \theta)$其中 $r$ 表示距离圆心的半径,$\theta$ 表示与 $x$ 轴的夹角。
求圆盘表面的温度分布。
解:由题意可知,圆盘的温度分布是一个解析函数,且满足实部和虚部均为调和函数的条件。
而根据复变函数理论,解析函数的等温线一定是亚纯函数的对数螺旋线。
由此,圆盘表面的温度分布可以表示为$f(z)=|z|^2(1-\cos(\arg(z)))$,其中 $z=re^{i\theta}$。
(2)已知 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数,其中 $u(x,y)$ 和$v(x,y)$ 均为连续可微函数。
试证明:当且仅当 $u_x=v_y$ 和 $u_y=-v_x$ 时,$f(z)$ 为调和函数。
证明:设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数,则满足柯西-黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
复变函数大作业
grid on
问题验证:
1、选定入射角度为30度,入射点不同时
入射点为(0.3, 0.6)经过40次反射后matlab仿真结果:
入射点为(0.5, 0.2)反射40次后matlab仿真结果:
入射点为(0.1, 0.7)反射40次后matlab仿真结果:
2、入射点为(0.6, 0.4),入射角不同时
cla reset %清空之前绘制的坐标
figure(1); %绘制x, y轴坐标系
ezplot('x^2+y^2=1'); %画出单位圆
hold on; %维持当前图像
plot(x,y,'*'); %入射点的坐标
in = sprintf('(%.2f,%.2f)',x,y);
text(x,y,in);
组员:17020310047陈建恒,17020310051胡伟津
复变函数大作业
问题描述:
在圆环内一点(X0,Y0)处有一条光线入射,圆环半径R。
推导该光线经过m次反射后方向的公式。
伴随(X0,Y0)的不同,分析按照相同方向入射的光线反射有什么特点?
给定相同(X0,Y0),分析按照不同的方向射出的光线反射方向有什么特点?
%对入射点,出射点进行初始化,out表示反射点,in表示入射点
if angle==0 %反射角为0度
out_y = y;
in_y = out_y;
in_x = -sqrt(1-y^2);
out_x = -in_x;
elseif angle==180 %反射角为180度
in_y = y;
out_y = y;
in_x = out_x; %原来的反射点变为新的入射点
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复变函数大作业
1. (选做题)求下列复数z 的实部和虚部、共轭复数、模与辐角: (1)132i +(2)131i i i --(3)()()34252i i i
+-(4)8214i i i -+. 解:用MATLAB 输入:
>> a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]
输出
a =
0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i
1.0000 - 3.0000i
>>real(a)
ans =
0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000
>>imag(a)
ans =
-0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000
>>conj(a)
ans =
0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i
1.0000 + 3.0000i
>>abs(a)
ans =
0.2774 2.9155 13.4629 3.1623
>>angle(a)
ans =
-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490
即复数z 的实部和虚部、共轭复数、模与辐角上所示
16. (1)求方程3+8=0z 的所有根;
(2)求微分方程80y y '''+=的一般解。
解:(1)用MATLAB 输入:
>> z=solve('z^3+8=0','z')
输出:
z =
-2
1 - 3^(1/2)*i
3^(1/2)*i + 1
即方程的根为2,1,1-
(2)用MATLAB 输入:
>> y=dsolve('D3y+8*y=0','x')
输出:
y =
C1/exp(2*x) + C2*exp(x)*cos(3^(1/2)*x) + C3*exp(x)*sin(3^(1/2)*x)
即微分方程的一般解为-2x x 123c e
+e (c
用MATLAB 画图如下:
输入:
(1)取C1,C2,C3均为1:
>> x=[-10:0.01:10];
>> y=exp(-2*x)+exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+exp(x).*cos(3^(1/2)*x);
>>plot(x,y)
(2)取C1,C2,C3均为2:
-10-8-6-4-20246810
8
>> x=[-10:0.01:10];
y=2*exp(-2*x)+2*exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+2*exp(x).*cos(3^(1/2)*x); plot(x,y)
(3)取C1为5,C2、C3均为1:
>> x=[-10:0.01:10];
y=5*exp(-2*x)+exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+exp(x).*cos(3^(1/2)*x);
plot(x,y)
(4)取C1为-2,C2、C3均为1:
>> x=[-10:0.01:10];
-10-8-6-4-20246810
-20
2
4
6
8
10
8
-10-8-6-4-20246810
-0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
9
y=-2*exp(-2*x)+exp(x).*sin(3^(1/2)*x)+exp(x).*cos(3^(1/2)*x);
plot(x,y)
-10-8-6-4-20246810
-10-8
-6
-4
-2
2
8。