线性代数期末复习要点

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线性代数复习要点

线性代数复习要点

线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支,其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。

线性代数广泛应用于各个领域,如物理学、计算机科学、工程学等。

下面是线性代数复习的要点:1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量,用箭头表示。

-向量空间是指由一组向量生成的集合,满足加法和数乘运算的封闭性。

-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。

-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。

-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。

2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。

矩阵的大小由行数和列数确定。

-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。

-矩阵的转置是指行变为列,列变为行的操作。

-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。

-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,保持线性关系。

3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数,用于描述矩阵的性质。

-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。

-行列式的值为0表示矩阵不可逆,即不存在逆矩阵。

-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后,仍然与原向量方向相同的结果。

-特征向量是指通过线性变换后,与其特征值对应的向量。

4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合,其中未知量的次数等于方程的个数。

-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。

-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。

-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式,再通过回代求解。

-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。

5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1,其余元素为0的矩阵。

-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。

-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。

-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。

线性代数期末总复习

线性代数期末总复习

3. 计算
降阶:按行、按列展开公式,但在展开之前往往先用 性质对行列式做恒等变换,化简之后再展开。 数学归纳法、递推法、公式法、三角化法、定义法 把每一行(列)加至“第”一行(列); 把每一行(列)均减去“第”一行(列); 逐行(列)相加(减); 当零元素多时亦可立即展开. 爪型行列式计算
4. 应用
(ii) AX = 0 只有零解 ⇔ 秩(A)= n = 未知量的个数. (iii) A是方阵时,AX = 0 只有零解 ⇔ | A |≠ 0.
(2)、非齐次线性方程组 AX = b (i) AX = b 有解 ⇔ b可以由 A的列向量组线性表示; ⇔ r ([ A, b])=r ( A) AX = b 无解 ⇔ r ([ A, b]) ≠ r ( A)
有解的充要条件是 a1 + a2 = a3 + a4 ,并在有解时 求出方程组的通解。
解:对方程组的增广矩阵 [A b] 作初等行变换化为阶梯 形矩阵得:
1 0 [ A b] = 0 1
1 0 → 0 0 2 1 0 2
2 1 0 3
0 0
0 0 2 0 1 2 1 −2
2 2 λ1 y12 + λ2 y2 + L + λn yn
A为实对称矩阵.
求正交矩阵 T 使得 T −1 AT=diag{λ1 , λ2 ,L , λn } = T T AT
3、正定矩阵
(1) 定义 f ( x1 , x2 ,L xn ) = X T AX 为 正定(半正定、负定、半负定)二次型 A为正定矩阵:实的、对称的且对任何X ≠ 0, 都有X T AX > 0 对称的 AX (2) 性质 (i) 设A为正定实对称阵,则AT , A−1 , A∗均为正定矩阵; (ii) A, B均为n阶正定矩阵, 则A + B也是正定矩阵. 若

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第一章行列式一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等,即|A | = |A T|.(行列互换,行列式不变)性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.推论1如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.a ua i2a i3anai2^13ka na i2a i3a2Xa22a23 — ka 2xka’2 転23 = ka 2}a22 a23角1 a 32 «33a 3i角2 。

33脳31«33若行列式中有一行(列)为0,则行列式为0.行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.坷 1坷]a n 纠341 a n 坷 3a21+b l a 22+b 2 如+4—a 21 a 22"23+ b l b 2 S。

31 “32 。

33。

31 “32 “33。

31 “32 “33 性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式不变.a\\a i2ai3au a n + ka !3 a i3 aCL CLa CL + kaaW21 u 22w23^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33°31 “32 + 氐 °33 。

33性质7 (Laplace 定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和,BP : | A| = a ix A i} + a i2A i2 + • • • + a in A in (1 = 1,2,• • •, n )推论2性质4 。

21 ^22a31 “32ka [{ ka {2。

13。

23a 33 。

21 °3a n"12 "13 a22 ^23a 32= 40 = 0性质5行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.二. 行列式的计算 1、字母型(用性质求值)2a I 】(1)、若三阶行列式£>= a tJ =3,则2°3i"1 “3—2d] -2^2—2a*(2)、若三阶行列式D = S b 2 g=-1,则 -2叽-2b 2 -2b.C] c 2 c 3-2C] -2C 2 -2C 32、四阶行列式计算降阶计算。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

第一章行列式
知识点1:行列式、逆序数
知识点2:余子式、代数余子式
知识点3:行列式的性质
知识点4:行列式按一行〔列〕展开公式
知识点5:计算行列式的方法
知识点6:克拉默法那么
第二章矩阵
知识点7:矩阵的概念、线性运算及运算律
知识点8:矩阵的乘法运算及运算律
知识点9:计算方阵的幂
知识点10:转置矩阵及运算律
知识点11:伴随矩阵及其性质
知识点12:逆矩阵及运算律
知识点13:矩阵可逆的判断
知识点14:方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15:矩阵方程的求解
知识点16:初等变换的概念及其应用
知识点17:初等方阵的概念
知识点18:初等变换与初等方阵的关系
知识点19:等价矩阵的概念与判断
知识点20:矩阵的子式与最高阶非零子式
知识点21:矩阵的秩的概念与判断
知识点22:矩阵的秩的性质与定理
知识点23:分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24:矩阵分块在解题中的技巧举例
第三章向量
知识点25:向量的概念及运算
知识点26:向量的线性组合与线性表示
知识点27:向量组之间的线性表示及等价
知识点28:向量组线性相关与线性无关的概念
知识点29:线性表示与线性相关性的关系
知识点30:线性相关性的判别法
知识点31:向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32:矩阵的秩与向量组的秩的关系
知识点33:求向量组的最大无关组。

《线性代数》复习重点内容-(详细版)

《线性代数》复习重点内容-(详细版)

10. 方阵 A 是可逆矩阵 ⇐⇒ A 是非奇异矩阵 ⇐⇒ A 是满秩矩阵 ⇐⇒ |A| ̸= 0. 方阵 A 是不可逆矩阵 ⇐⇒ A 是奇异矩阵 ⇐⇒ A 是降秩矩阵 ⇐⇒ |A| = 0.
11. n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是
;
(ii) 有唯一解的充要条件是
(iii) 有无穷多个解的充要条件是
第3页
...
...
3. ak1 · · · akk
=
c11 · · · c1k b11 · · · b1n
...
...
...
...
cn1 · · · ank bn1 · · · bnn
. 【P. 7 例 5】 . 【P. 7 例 6】 . 【P. 14 例 10】
第2页
+ 学习绝不仅仅为了考试 + 编写本份资料仅仅为了考试 +
三、16 个重要概念 1. 行列式【P. 6 定义】 2. 余子式、代数余子式【P. 16】 3. 矩阵【P. 29 定义 1】 4. 伴随矩阵【P. 41 例 9】 5. 逆矩阵【P. 43 定义 7】
6. 奇异矩阵、非奇异矩阵【P. 43】 7. 两个矩阵的等价【P. 59】 8. 矩阵的秩【P. 66】 9. 满秩矩阵、降秩矩阵【P. 66】 10. 线性相关、线性无关【P. 87 定义 4】 11. 最大无关组、向量组的秩【P. 90 定义 5、P. 91 推论】 12. 基础解系【P. 95】 13. 正交矩阵【P. 115 定义 4】 14. 特征值、特征向量【P. 117 定义 6】 15. 两个矩阵的相似【P. 121 定义 7】 16. 两个矩阵的合同【P. 129 定义 9】
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线性代数期末复习提纲

线性代数期末复习提纲

★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式:(1)TAA =; (2)AA11=-; (3)A kkA n=;(4)1*-=n AA ; (5)B A AB =; (6)B A BA BA ==**0;(7)⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ijij ,,01; (8)⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a nj ij ij ,,01(其中B A ,为n 阶方阵,k 为常数)5、行列式的常见计算方法:(1)利用性质化行列式为上(下)三角形;(2)利用行列式的展开定理降阶; (3)根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义,熟记几个特殊行列式的值。

2、掌握排列与逆序的定义,会求一个排列的逆序数。

3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。

4、会计算简单的n阶行列式。

5、知道并会用克莱姆法则。

第二部分矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法(公式法、初等变换法、分块对角阵求逆)。

4、n阶矩阵A可逆⇔0A⇔A为非奇异(非退化)的矩阵。

≠⇔n)(⇔A为满秩矩阵。

R=A⇔0AX只有零解=⇔bAX=有唯一解⇔A的行(列)向量组线性无关⇔A的特征值全不为零。

⇔A可以经过初等变换化为单位矩阵。

⇔A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

6、矩阵秩的概念及其求法((1)定义法;(2)初等变换法)。

7、矩阵的分块,分块矩阵的运算:加法,数乘,乘法以及分块矩阵求逆。

【要求】1、 了解矩阵的定义,熟悉几类特殊矩阵(单位矩阵,对角矩阵,上、下三角形矩阵,对称矩阵,可逆矩阵,伴随矩阵,正交矩阵)的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法,数乘,乘法,转置等运算法则,会求方阵的行列式。

线性代数期末复习要点

线性代数期末复习要点

注:一般而言, 1o ( AB)k Ak Bk , 正确: ( AB)k (AB)(A B)( AB) ;
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2, 正确: ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ;
3o ( A B)2 A2 2AB B2 , 正确: ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件:
A
0
A 可逆,且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质: 1o ( A1 )1 A ; 3o ( AT )1 ( A1 )T ;
4、伴随矩阵的性质:
2o ( AB)1 B1 A1 ;
4o
(kA)1
1 k
A1
(k
1、 Ax 0的基础解系:解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理:只有当 R( A) r n 时,才存在基础解 系,且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系,其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法:
组有且仅有唯一解,且
xj
Dj D
( j 1,2,, n )
注:齐次线性方程组有非零解 D 0。 (逆否命题:齐次线性方程组仅有零解 D 0。)
第二章 矩阵
一、矩阵的定义:矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法:只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法:数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘;而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行(列) 的每一个元素相乘。

线代期末复习要点

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线代期末复习要点第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分:基本知识一、行列式1.行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2.行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二.矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2.矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;④|kA|=k^n|A|3.矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。

线性代数期末复习

线性代数期末复习

二、相似矩阵 1、相似矩阵的定义与性质。 、相似矩阵的定义与性质。 性质 2、区分矩阵相似、矩阵等价(P.54 定义 1. 15) 、矩阵合 、区分矩阵相似、矩阵等价( 等价 ) 同的概念。 同的概念。
三、矩阵的对角化 1、矩阵可以对角化的判定(定理 4 . 9 及其推论 、 、矩阵可以对角化的判定( 判定 定理 4 . 10 ) 。 2、当矩阵 A 可以对角化时,求出可逆矩阵 P、对角矩阵 、 可以对角化时, 、 Λ,使 P −1 A P = Λ 。 进而, 可以对角化时, 进而,当矩阵 A 可以对角化时,r ( A ) = 矩阵 A 的非零特 征值的个数。 征值的个数。 3、实对称矩阵 A 的对角化:求出正交矩阵 Q、对角矩阵 、实对称矩阵 对角化: 、 Λ , 使 Q− 1 A Q = Λ 。 4、当矩阵 A 可以对角化时,利用矩阵 A 的特征值和特征 、 可以对角化时, 向量, 向量,求出矩阵 A 以及 A k 。
9、练习1. 6 的 3、求解下列矩阵方程: 、练习 求解下列矩阵方程:
2 1 0 5 1 1 (3*)X 1 1 2 = 0 0 − 6 3*) 1 2 5 1 0 − 1
0 0 1 ( − 1 2 − 1 )、 0 2 − 1
16、习题二的 8 : 、 考题有时会更难; 注:① 考题有时会更难; ② 题中方程组的两个解 γ1 ,γ2 可能会以另一种形式给 出: 设 4 × 3 矩阵 A 分块为 A = ( α1 ,α2 ,α3 ) ,其中 α i ∈ R4 ,i = 1,2,3,− α1 + α2 = β ,α1 + α3 = β ,且线性 , , , 方程组 A x = β 满足 r ( A ) = r (A ) = 2 ,试求出该方程组 的全部解。 的全部解。 17、习题二的 10 ; 、 18、习题二的 12 。 、

线性代数期末复习知识点参考

线性代数期末复习知识点参考

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.推论1 如果行列式有两行(列)的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值为零.性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知,那么( )A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M ,i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式.3. 行列式按行(列)展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算(1)二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- (3)对角行列式1212n nλλλλλλ=,n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-(4)三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==(5)消元法:利用行列式的性质,将行列式化成三角行列式,从而求出行列式的值.(6)降阶法:利用行列式的性质,化某行(列)(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素,再按该行(列)展开,通过降低行列式的阶数求出行列式的值.(7)加边法:行列式每行(列)所有元素的和相等,将各行(列)元素加到第一列(行),再提出公因式,进而求出行列式的值.例:思路:将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1,按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。

《线性代数》期末复习要点

《线性代数》期末复习要点

《线性代数》期末复习要点第一章行列式1、行列式的计算(略)2、Cramer法则:系数行列式D≠0,则方程租有唯一解。

齐次方程租有非零解,则D=0。

3、Vandermonde行列式。

(略)第二章矩阵1、矩阵的计算(略)2、对称矩阵:A∧T=A。

反称矩阵A∧T=-A。

3、矩阵可逆,则|A|≠0。

4、分块矩阵(略)5、初等变换与初等矩阵(略)6、m×n阶矩阵A,B等价,则当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使PAQ=B。

7、(1)可逆矩阵一定满秩,即r=n。

(2)若A的一个r阶子式不等于零,则r(A)≥r,若A的r+1阶子式都为零,则r(A)≤r。

8、矩阵秩的不等式:(1)r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

(2)A,B分别为m×n阶和n×k 阶矩阵,r(AB)≥r(A)+r(B)-n。

特别的,当AB=0时,r(A)+r(B)≤n。

(3)A,B 均为m×n阶矩阵,则r(A+B)≤r(A)+r(B)。

第三章n维向量空间1、线性相关:(1)k1,k2,kn不全为0且能使kiα1+k2α2+……+knαn=0成立,则α1,α2,……,αn线性相关。

(2)至少一个向量是其余向量的线性组合。

(3)含零向量的向量组是线性相关的。

(4)n维向量中的两个向量组T1={α1,α2,α3,……,αr},T2={β1,β2,β3,……βs},若T1可由T2线性表示,且r>s,则T1线性相关。

若T1可由T2线性表示但T1线性无关,则r≤s。

(5)n+1个n维向量一定线性相关。

2、(1)零向量自身线性相关。

非零向量自身线性无关。

(2)向量组中一部分线性相关,则整体线性相关,若向量组整体线性无关,则向量组的一部分线性无关。

3、向量组的任意极大线性无关组都与之等价,向量组的任意两个极大线性无关组都等价。

4、矩阵的秩等于其行(列)向量组的秩。

5、向量空间的基与维数,空间向量的坐标(略)6、基变换和坐标变换:{α1,α2,α3,……,αr},{β1,β2,β3,……βsr}是向量空间V的两组基,若有r维方阵C,使[β1,β2,β3,……βs]=[α1,α2,α3,……,αr]C,则称C为从基{α1,α2,α3,……,αr}到基{β1,β2,β3,……βs}的过渡矩阵(基变换矩阵)。

线代期末重点总结

线代期末重点总结

线代期末重点总结一、向量空间1. 向量空间定义向量空间是指具有加法和标量乘法运算的集合,满足一定条件。

a) 任意向量 u、v 属于向量空间 V,有 u + v 属于 V。

b) 任意标量 k 和向量 u 属于 V,有 k * u 属于 V。

c) 向量加法满足交换律、结合律和存在零向量的性质。

d) 标量乘法满足结合律和分配律的性质。

2. 子空间集合 V 的一个子集 W 是 V 的子空间,如果 W 本身也是向量空间。

a) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法封闭。

b) 非空集合 W 包含零向量,即原空间中的零向量也属于子空间 W。

c) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法满足分配律和结合律的性质。

3. 线性相关与线性无关a) 如果存在非零向量 c1, c2, ..., cn,使得线性组合 a1c1 + a2c2 + ... + ancn = 0,其中 ai 是标量,那么称向量组 c1, c2, ..., cn 线性相关。

b) 如果向量组 c1, c2, ..., cn 不是线性相关,那么称它们线性无关。

4. 基与维数a) 如果向量组 v1, v2, ..., vn 线性无关,并且能够生成向量空间 V,那么称它们是 V 的一个基。

b) 向量空间 V 中的向量个数称为维数,记作 dim(V)。

c) 如果 V 的一个基含有 n 个向量,则维数 dim(V) = n。

5. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射。

a) 线性变换必须满足保持向量加法性质:T(u + v) = T(u) + T(v)。

b) 线性变换必须满足保持标量乘法性质:T(k * u) = k * T(u)。

二、矩阵表示和运算1. 矩阵表示a) 矩阵是一个二维数组,由若干个行和列组成。

b) 行向量和列向量可用矩阵表示。

c) 线性变换可用矩阵表示。

2. 矩阵乘法a) 两个矩阵 A(m × n) 和 B(n × p) 的乘积 C(m × p) 定义为 C_ij = sum(A_ik * B_kj),其中 i = 1, ..., m;j = 1, ..., p。

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳

第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行(列)展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算1. 行列式的计算:① (定义法)1212121112121222()1212()n nnn n j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④ 若A B 与都是方阵(不必同阶),则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线:(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-1⑥ 范德蒙德行列式:()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111⑦ a b -型公式:1[(1)]()n a b b b b a bban b a b b b a b b b ba-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式,其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同,再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算.⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;3. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵. 记作:()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).b. 数与矩阵相乘:数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ,规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘:设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==, 其中注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘:11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量; c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质:mn m n AA A +=, ()()m n mn A A =⑤ 矩阵的转置:把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵T A =.A 是反对称矩阵T A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵:TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵: ()1121112222*12n Tn ij nnnn A A A A A A AA A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AAA A A E ==,1*n A A -=, 11A A --=.分块对角阵的伴随矩阵:***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注: 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵:111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 (逆矩阵的定义1A B B A E A B-==⇒=) 3.可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时, 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:①对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A;②对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A.注意:初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A矩阵秩的描述:①、()=r A r,A中有r阶子式不为0,1+r阶子式(存在的话) 全部为0;②、()<r A r,A的r阶子式全部为0;③、()≥r A r,A中存在r阶子式不为0;☻矩阵的秩的性质:①()A O r A≠⇔≥1; ()0A O r A=⇔=;0≤()m nr A⨯≤min(,)m n②()()()T Tr A r A r A A==③()()r kA r A k=≠其中0④()(),,()m n n sr A r B nA B r ABB Ax⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB≤{}min(),()r A r B⑥若P、Q可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ===;即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m nAxr AB r Br A nAB O B OAAB AC B Cο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩只有零解在矩阵乘法中有左消去律;若()()()n sr AB r Br B nB⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r rE O E Or A r A AO O O O⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价,称为矩阵的等价标准型.⑨()r A B±≤()()r A r B+, {}max(),()r A r B≤(,)r A B≤()()r A r B+⑩()()A O O Ar r A r BO B B O⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A Cr r A r BO B⎛⎫≠+⎪⎝⎭☻求矩阵的秩:定义法和行阶梯形阵方法 6 矩阵方程的解法(0A ≠):设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构(通解)(1)齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系) (2)非齐次线性方程组的解的结构(通解) 1.线性表示:对于给定向量组12,,,,n βααα,若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++,则称β是12,,,n ααα的线性组合,或称称β可由12,,,n ααα的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n ααα的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解 ②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭); ④、1122n n a x a x a x β+++=(线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅,则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b bb c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i i A c β= ,(,,)i s =1,2⇔i β为i Ax c =的解 ⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即:C 的列向量能由A 的列向量线性表示,B 为系数矩阵. 同理:C 的行向量能由B 的行向量线性表示,A 为系数矩阵.即: 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔111122*********22211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩3. 线性相关性判别方法:法1法2法3 推论♣ 线性相关性判别法(归纳)♣ 线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. (向量个数变动)④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. (向量维数变动) ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B .12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行(列)向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 5. 线性方程组理论Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1(1)解得判别定理(2)线性方程组解的性质:1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解(3) 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件:① 12,,,s ηηη线性无关; ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数. (4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤 (5)其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解,1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同)⇔()()A r r A r B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 且有结果: ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等;② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =(左乘可逆矩阵P );矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =(右乘可逆矩阵Q ).第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化,尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为:αβ⊥④21ni i a α====∑⑤(,1ααα==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 线性性:1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=,则称λ是方阵A 的一个特征值,x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量.②0E A λ-=(或0A E λ-=).③()E A λϕλ-=(或()A E λϕλ-=).④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=⑤12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ,A tr 称为矩阵A⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. ⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比,()12,,,n b b b 为A 各列的公比.⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ,()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O=⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ;12()()()()n f A f f f λλλ=.⑩ A 与TA 有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法 (1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=,求出特征值i λ.(2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,in r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,i n r k k k -为任意不全为零的数.5. ①1P AP B -= (P 为可逆矩阵) ②1P AP B -= (P 为正交矩阵)③A 与对角阵Λ相似.(称Λ是A6. 相似矩阵的性质: ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量.②A B =tr tr ③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1PAP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:121n P AP λλλ-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭. ② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=,其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注:当iλ=0为A 的重的特征值时,A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化.8. 实对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 不同特征值对应的特征向量必定正交;○注:对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--; ④ 必可用正交矩阵相似对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为标准形;⑤ 与对角矩阵合同,即:任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形; ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAAE =正交矩阵的性质:① 1TAA -=;② TT AAA A E ==;③ 正交阵的行列式等于1或-1;④ A 是正交阵,则TA ,1A -也是正交阵; ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵;⑥ A 的行(列)向量都是单位正交向量组.10. 11.123,,ααα线性无关,单位化:111βηβ=222βηβ=333βηβ=技巧:取正交的基础解系,跳过施密特正交化。

线性代数各章复习重点汇总

线性代数各章复习重点汇总

线性代数各章复习重点汇总线性代数是数学的一个重要分支,研究向量空间、线性变换、线性方程组等概念和性质。

下面是线性代数各章的复习重点汇总。

1.线性方程组:-线性方程组的基本概念和性质,包括齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。

-线性方程组的解的存在性与唯一性,以及求解线性方程组的方法(高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则等)。

-线性方程组的等价关系与等价变换。

2.矩阵与行列式:-矩阵的基本概念和性质,如矩阵的加法、减法、乘法等运算。

-方阵的特殊性质,如对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。

-行列式的定义和性质,包括行列式的展开定理、行列式的性质推导等。

3.向量空间:-向量空间的定义和性质,如线性相关性、线性无关性、基、维数等。

-子空间的概念和性质,包括子空间的交、和、直和等操作。

-线性组合、张成空间、极大线性无关组等概念。

4.线性变换与矩阵:-线性变换的定义和性质,包括线性变换的特征值、特征向量等。

-线性变换的矩阵表示,以及矩阵与线性变换之间的转换关系。

-线性变换的合成、逆变换等操作,以及线性变换的标准形式(例如,矩阵的对角化)。

5.特征值与特征向量:-特征值与特征向量的定义和性质,包括特征值的重数、特征向量的线性无关性等。

-特征值与特征向量的计算方法,如特征方程的求解、特征值的代入等。

-特征值与特征向量的应用,如对角化矩阵、相似矩阵等。

6.正交性与标准正交基:-向量的正交性和标准正交性的概念和性质,包括向量的点积、向量的夹角等。

-标准正交基的定义和求解方法,如施密特正交化过程等。

-正交矩阵的定义和性质,以及正交矩阵与标准正交基之间的关系。

以上是线性代数各章的复习重点汇总,希望能够帮助你理清知识重点,并提高复习效率。

祝你取得好成绩!。

线性代数期末总结

线性代数期末总结

线性代数期末总结【引言】线性代数是数学中的一个重要分支,它研究的是向量空间和线性变换。

线性代数不仅是数学学科的基础,也是许多其他学科的基础,如物理学、计算机科学、经济学等。

本文将对线性代数的相关概念、理论以及应用进行总结。

【一、向量和向量空间】1. 向量的定义和性质:向量指的是大小和方向都有的物理量,可以用一组有序的实数来表示。

向量的加法、数乘和内积等运算满足一定的性质。

2. 向量空间的定义:向量空间指的是由一组向量构成的集合,满足封闭性、加法交换律、加法结合律、数乘结合律等性质。

3. 线性相关性与线性无关性:一组向量中存在线性关系时称为线性相关,否则称为线性无关。

线性无关向量可以张成一个向量空间。

【二、矩阵和线性变换】1. 矩阵的定义和性质:矩阵是一个由数构成的矩形阵列。

矩阵的加法、数乘和乘法等运算满足一定的性质。

2. 线性变换的定义和性质:线性变换是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,它满足封闭性、线性性质和保持零向量等性质。

3. 线性变换的矩阵表示:线性变换可以通过矩阵来表示,称为线性变换的矩阵表示。

线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质,如矩阵的秩、特征向量等。

【三、特征值和特征向量】1. 特征值和特征向量的定义:对于线性变换A和非零向量v,如果Av=kv,则k称为A的特征值,v称为A的特征向量。

2. 特征值和特征向量的性质:特征向量在线性变换之后只改变了大小,而方向保持不变。

特征值和特征向量的性质与矩阵的性质有一定的关联。

3. 对角化和相似矩阵:如果能找到一个可逆矩阵P使得P^{-1}AP=D,其中D是一个对角矩阵,则称矩阵A可对角化。

相似矩阵具有相同的特征值,可以通过相似矩阵的变换得到。

【四、线性方程组和矩阵运算】1. 线性方程组的解法:线性方程组可以通过矩阵运算来求解,常见的方法有高斯消元法、克拉默法则和矩阵的逆等。

2. 矩阵的运算:矩阵之间可以进行加法和数乘运算,还可以进行矩阵乘法、转置等运算。

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的系数行列式 D 0 , 那么它有唯一解
xj
Dj D
,
j 1, 2 , , n .
其中 Dj ( j = 1, 2, … , n ) 是把系数行列式 D 中第 j 列换成常数项 b1 , b2 , … , bn 所得到
的行列式.
x1 a12 x2 a1n xn b1 方程组有解的判定定理: x1 a22 x2 a2 n xn b2 定理 1 如果线性方程组 (1) 的系数行列 式 D 0 , 则 (1)一定有解, 且解是唯一的. x1 an 2 x2 ann xn bn
(1)
叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 m×n 矩阵. 这 m×n 个
数叫做矩阵的元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列
元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数
的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为
A = (aij)m×n 或 A = (aij) ,
m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
矩阵.
3) 设 A 为 n 阶方阵,若满足 A2 = A, 则称 A
为幂等矩阵. 若满足 A2 = E, 则称 A 为对合矩阵.
若满足 AAT = ATA = E, 则称 A为正交矩阵.
a2 an m m
由爪型行列式的结果知, 当 m = 0 时, Dn =0 ; 当 m ≠ 0 时, Dn = mn-1 (m + a1 + a2 + … + an) 4)将某一行(列)的倍数分别加到其他行
(列)这一步骤前面已经用过,不再举例.
5)按某一行(列)展开. 比如计算
1 2 1 1 Dn 1 1 1 x x x
号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A
或 AT 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有
(AT)T = A ; (A + B)T = AT + BT ;
(A)T = AT ; (AB)T = BTAT .
2) 设 A 为 n 阶方阵,若满足 AT = A , 则称 A 为对称矩阵, 若满足 AT = - A , 则称 A 为反对称
5)
行列式中某一行(列)的所有元素的公因
子可以提到行列式符号的外面.
6) 行列式中如果有两行(列)元素成比例,
则此行列式为零.
7) 若行列式的某一列(行)的元素都是两数
之和, 则该行列式可折成两个行列式之和. 8) 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同
一数, 然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行 列式的值不变.
Dn = c1a2…an .
,
2)逐行(列)相加减. 比如计算
1 2 3 n 2 n 1 n 2 3 4 n 1 n n Dn 3 4 5 n n n
到下一行,得
n n
n n
n n
从第 n - 1 行直到第一行, 每一行乘以 -1 加
A + B = (aij + bij)
A + B 称为 A 与 B 的和.
当 n = t 时可以作乘法: AB = (cij)s×m , 其中
cij aik bkj
k 1
n
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义
1 1 1
1 x 1 1 n 1 Dn ( 1) 0 1 x 1 0 0
0 1 x 1 n 1
再从第 2 行开始, 每行乘以 -1 加到上一行, 得
x 1 x Dn ( 1)
n 1
x 1 x
x 1 x 1 n 1
(1)

n i j 1
(x
i
xj)
2)
三角行列式 , 即
a11
a12
a1n
a 22 a 2 n a11a 22 a nn (上三角) a nn
a11 a 21 a n1 a 22 a n 2 a nn a11a 22 a nn (下三角)
a11 a 21 a n1
4.计算行列式时利用行列式的性质很 重要,试进一步加以说明. 答
计算行列式应根据具体情况具体分析,
但总的原则是利用行列式的性质将所给行列式化 成简单的,已知的或容易计算的行列式.下面列 举几个常用到的情况. 1) 将行列式各行(列)分别乘以一个数统 统加到某一行(列)上去.比如爪型行列式:
a1 b2 Dn b3 bn
kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
2) 矩阵的运算性质
(i) 矩阵的加法满足
交换律: A + B = B + A,
结合律: (A + B) + C = A + (B +C).
(ii) 矩阵的乘法满足结合律:
(AB)C = A(BC).
(iii) 矩阵的法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA. (iv) 数乘矩阵满足: ( k + l)A = kA +lA; k(A + B) = kA + kB; k(lA) = (kl)A; k(AB) = (kA)B = A(kB).
线性代数期末复习要点
第一部分 行列式
第二部分 矩阵及线性方程组的求解
第三部分 向量的线性相关性 第四部分 相似矩阵及二次型
第一部分 行列式
一、内容提要
1. 全排列及其逆数
2 . n 阶行列式的定义
a11 a 21 D a n1
a12 a 22 an 2
t

a1n
a2n a nn
2) 方阵
对 (1) 式,
列矩阵
行矩阵
当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵.
当 m = 1 时, A 称为行矩阵.
当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
3) 同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称
它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型 矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,…,m;j=1,…n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作 A=B.
1 2 n 2 n 1 n 1 1 1 1 0 Dn 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
副对角线以下 的元素全为零
( 1)
n ( n 1) 2
n .
3)加边法. 此法大多适用于某一列(行)
有一个相同的字母. 比如计算
a1 m Dn a1 a1
定理 2 如果齐次线性方程组(2)的系数行
列式 D 0 ,则齐次线性方程组(2)没有非零解.
1. 行列式有哪些常用公式?

1)
常用公式有:
范德蒙德行列式, 即
1 Dn x1 2 x1
n x1 1
1 x2 2 x2
n x 2 1

1 xn 2 xn
n x n 1
c2 a2
c3 a3
cn 爪型行列式
(ai 0,i=2,3, … ,n)
an
那么将第 i 列的 (-bi/ai)倍 (i = 2,3,…,n) 统
统加到第1列,得
c1 0 Dn 0 0
其中 所以
c2 a2
c3 a3

cn
已化为三 角行列式
an
b2 c2 bn cn c1 a1 a an 2
a12

a1n ( 1)
n ( n 1) 2
a 2 ,n1
a1n a 2 ,n1 a n1
a1n a n1 a n 2
n ( n 1) a 2 ,n1 a 2 n ( 1) 2 a1n a 2 ,n1 a n1

a nn
3. 计算行列式的方法有哪些? 答
1 , ij 0 , 当i j; 当 i j.
其中
6. 克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
1) 2) 计算行列式的方法通常有: 依定义计算行列式. 用对角线法计算行列式,它只适用于二
阶和三阶行列式.
3)
利用一些简单的、已知的行列式来计算
行列式.例如,利用三角形行列式;一行(列)
全为零的行列式;两行(列)成比例的行列式;
范德蒙德行列式等等.
4) 利用行列式的性质对行列式进行变形,
变成已知的或容易计算的行列式. 5) 利用按行(列)展开的性质对行列式进 行降阶来计算行列式. 6) 用数学归纳法计算行列式. 7) 综合运用上述各法来计算行列式. 其中 3),4),5),6),7)最常用.

3) 方阵的幂
设 A 是 n 阶方阵, 定义 A1 = A, A2 = A· … , Ak+1 = Ak · A, A, 其中 k 为正整数.
4) 方阵的行列式
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的知行列式, 叫做 方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA.
3. 一些特殊的矩阵
1) 设 A 为 m×n 阶矩阵,把它的行换成同序
3 2 1 x x
4 3 1 x
n n 1 n3 1
2 n2
从第二行开始, 每行乘以 -1 加到上一行, 得
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