1.1集合与元素
高中数学：1.1.1集合的概念
1．1 集合与集合的表示方法1．1．1 集合的概念1．了解集合的概念． 2．理解元素与集合的关系． 3．掌握集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A ，B ，C ，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a ，b ，c ，…表示．2．元素与集合的关系 知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于Aa ∈A“a 属于A ” 不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于Aa ∉A“a 不属于A ”元素 意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性 集合中的元素互不相同，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b无序性集合中的元素可以任意排列顺序4集合⎩⎨⎧空集：不含任何元素，记作∅非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内排除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2016届本科生D．满足3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是所有偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011≤x≤2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．判断一组对象构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的所有员工； ②我国的大河流； ③不大于3的所有自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点； ⑤未来世界的高科技产品； ⑥所有的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3扫一扫 进入91导学网(www ．91daoxue ．com )元素与集合的关系【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C ．【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可． 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2解析：选D ．因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0即－4<a ≤－2．集合中元素的特性已知集合P 中有三个元素a －3，2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 【解】 因为－3∈P ，a 2＋4≥4， 所以a －3＝－3或2a －1＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1．经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1，4，满足集合中元素的互异性； a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3，5，也满足集合中元素的互异性． 综上可知，a 的值为0或－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 即a ＝±1． 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合互异性， 所以a ≠1； 当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1， 符合互异性． 所以a ＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以判断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a ∈A 与a ∉A 取决于a 是不是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性，对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而容易忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是( ) A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点 B ．平面内两边之和小于第三边的三角形 C ．新华书店中有意义的小说 D ．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B ．选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉∅；③0∈N ＋；④－3∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．①②④正确，③错误，故选C ．3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．“book 中的字母”构成的集合中有b ，o ，k 共3个元素．4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时， 满足题意，故m ＝3． 答案：3[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( ) A ．2017年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目 B ．某学校高一年级高个子的学生 C ．2的近似值D ．2016年全国经济百强县解析：选D ．由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数， (4)正确．故选B ．3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D ．因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D ．4．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：选C ．因为－1＝3×0－1∈A ，故A 错； －11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A ，故B 错； －34＝3×(－11)－1∈A ，故D 错； 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A ，故C 正确．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A ．x 2＝|x |，－3x 3＝－x ． 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x ．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 含有三个元素3，4，6，且当a ∈A ，有8－a ∈A ，那么a ＝________． 解析：若a ＝3，则8－a ＝5∉A ，故a ≠3； 若a ＝4，则8－4＝4∈A ，故a ＝4合适； 若a ＝6，则8－6＝2∉A ，故a ≠6． 答案：48．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2． 即元素的个数为3． 答案：39．由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 017＋b 2 017的值．解：由a ，ba ，1组成一个集合，可知a ≠0，且a ≠1．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)， 所以a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋0＝－1．10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R ． (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1．若－3＝a －3，则a ＝0．此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1．此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1． (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1． 当a ＝a －3时， 有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1， 此时A 中有两个元素－2，1， 符合题意．综上知a ＝1．[B 能力提升]11．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C ．集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．12．已知集合A 中的元素满足ax 2－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，则实数a ＋b 的值为________．解析：当a ≠0时，由题意可知方程ax 2－bx ＋1＝0有两个相等的实数根， 故⎩⎨⎧1＋1＝－－ba，1×1＝1a，解得a ＝1，b ＝2．故a ＋b ＝3．当a ＝0时，b ＝1，此时也满足条件， 所以a ＋b ＝1， 故a ＋b 的值为1或3． 答案：1或313．已知集合A 中含有1，0，x 这三个元素． (1)求实数x 的取值范围； (2)若x 2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x 的取值范围为x ≠1，x ≠0的实数．(2)若x 2＝0，则x ＝0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1．当x ＝1时，集合中元素为1，0，1，舍去； 当x ＝－1时，集合中元素为1，0，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合元素的互异性， 所以x ＝－1．14．(选做题)某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1，2，3，…，8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8－x 号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？ (2)若有两个名额，则有多少种分派方法？解：(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M ，则有x ∈M ，8－x ∈M ． 若只有一个名额，即M 中只有一个元素，必须满足x ＝8－x ，故x ＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M 中有且仅有两个不同的元素x 和8－x ，从而全部含有两个元素的集合M 应含有1，7或2，6或3，5．也就是两个名额的分派方法有3种．。
北师大版中职数学基础模块上册：1.1.1集合与元素(教案)
(4）任意一个正整数，能否被5整除是确定的，所以能被5整除的正整数能组成集合.
解(1）能；(2）不能；(3）能；(4）能．
合作交流
同桌两人，其中一人举出一个集合的例子，另一人
说出这个集合中的两个元素，再交换练习，看谁的正确率高.
完成“合作交流”中问题
活动四：
课堂小结
作业布置
（一）课堂小结
（二）作业布置
完成课本中P4 ——练习1./2./3./4.
活动五：板书设计
1.1.1 集合与元素
一、集合与元素概念及其表示方法练习小结
二、集合与元素关系练习作业
三、集合中元素的特征
活动六：教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。
所谓教学反思，是指。
集合的概念集合与元素
动脑思考 探索新知
一、集合与元素 的概念
将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合（简称集）．
组成集合的对象叫做这个集合的元素．
观察你的文具盒，什么是集合？什么是元素 ？
.
操作
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动脑思考 探索新知
二、集合的性质
确定性
互异性
无序性
一个给定的集 合中的元. 素必 须是确定的
一个给定的集 合中的元素都 是互不相同的
我们每个人手里都有一把自 学成才的钥匙，这就是：理想、 勤奋、毅力、虚心和科学的方法。
----------华罗庚
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第一章 集合与充要条件
1.1 集合的概念
1.1.1 集合与元素
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张立艳
【学习目标】理解集合、元素的概念及其关系， 掌握常用数集的字母表示；
• 【学习重点】
• 集合的概念
一个给定的集 合中的元素排 列无顺序
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三、集合与元素表示方法：
一般采用大写英文字母A，B，C…表示集合，小写英文 字母a，b，c… 表示集合的元素.
动脑思考 探索新知
四、元素与集合的关 系
元素与集合
元素a是集合A 的元素，. 记作a∈A， 读作a属于A.
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元素a不是集合A 的元素，
记作a A，
读作a不属于A.
例1 下列对象能否组成集合： （1）所有小于10的自然数； （2）某班个子高的同学； （3）方程x2-1=0的所有解； （4）不等式x-2˃0的所有解． （5）方程x2+1=0的解集
五、集合的分类：
1、有限集：含有有限个元素的集合 2、无限集：含有无限个元素的集合 3、空集：不含任何元素的集合，记作ɸ
一、集合的概念
z
【问题】怎样表示小于5的所有实数组成的集合？
【新知识】描述法表示集合
步骤：1.分析集合的元素的特征；2.利用元素的特
征表示这个集合
方法：在花括号中画一条竖线；竖线的左侧写集合
季学期的课程集合的元素
z
【新知识】列举法表示集合
将集合的元素一一列出，用逗号分隔，再用花括号“{ }”括为一 个整体。 元素很多时，可在花括号内只写几个元素，其他元素用省略号表 示。 列举法表示集合时，不考虑元素的排列顺序（无序性），集合中 元素不重复（互异性）。
z
【知识巩固】 例2 用列举法表示下列集合
的代表元素x，并标出元素x属于哪种数集；竖线的 右侧写出元素x其他所有的特征性质。
集合的元素为实数R，可以不标出
z【知识巩固】例3源自 （1）小于5的所有整数组成的集合 （2）不等式2x+1≤0的解集 （3）所有奇数组成的集合 （4）直角坐标系中，由x轴上所有的点组成的集合
z
【新知识】
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z
方程x2+1=0的解集
方程x+2=2的解集
z
1.1.2 集合的表示法
列举法
描述法
z
【实例】请同学们告诉我，你们这个学期 课表上的课程有哪些？
这些课程构成了1个集合——17级医学检验专
业17年秋季学期的课程集合。
所列出的这些课程是17级医学检验专业17年秋
数
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学
z
z
第一章
护理高职数学(第一册)第一章集合知识梳理
高职护理1708数学（第一册）概念知识梳理（1）第1章集合§1.1集合与元素1.一般的，有某些确定的对象所组成的整体叫做集合.集合通常用大写英文字母A 、B 、C ，…表示.2.集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素.集合的元素通常用小写英文字母a 、b 、c ，…表示.3.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉ A.4.一般的，含有有限个元素的集合，叫做有限集；含有无限个元素的集合，叫做无限集。
5.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø.如方程032=+χ的实数解组成的集合就是空集.6.如果集合中的元素是数，那么这样的集合叫做数集.常用数集及其符号如下表.数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N +Z Q R7.(补充)素（质）数、合数概念：“1”既不是素数也不是合数.8.奇（单）数、偶（双）数：偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数.§1.2集合的表示方法1.一般的，把集合中的元素一一例举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，用列举法表示集合，元素之间要用逗号隔开.2.元素的特性：①确定性；②无序性；③互异性.3.一般的，用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫做描述法.描述法的一般形式为：｛x |x 具有的共同特征｝.4.不等式的解组成的集合称为不等式的解集。
§1.3集合之间的关系1.我们常用封闭曲线的内部表示集合，这种表示集合的图形叫做维恩（Venn ）图.2.没有公共元素有部分公共元素集合A 都是集合B 的元素3.一般的，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若x ∈A ，则x ∈B ），那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A ，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”.4.根据子集定义，我们可以得出：A ⊆A ，即任何一个集合是它自身的子集.5.对于空集，我们规定：Ø⊆A ，即空集是任何集合的子集.6.N 、Z 、Q 、R 关系维恩图.(R Q Z N ⊆⊆⊆)7.一般的，对于两个集合A 与B ，如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ⫋B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.8.空集是任何非空集合的真子集.9.一般的，如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等.集合A 与集合B 相等记作A=B.10.子集个数计算公式：子集个数=2n （n 是子集的个数）.§1.4集合的运算1.一般的，给定两个集合A 、B ，由既属于集合A 又属于B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”，（如下图）即A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B}.2.对于任意集合A,B,C,有（1）交换律A ∩B=B ∩A ；（2）结合律（A ∩B ）∩C=A ∩（B ∩C ）.3.一般的，给定两个集合A ，B ，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”.由并集的定义可知，A ∪B 中的元素属于A 或属于B ，即：A ∪B={x |x ∈A 或x ∈B}.4.对于任意集合A,B,C,有（1）交换律A ∪B=B ∪A ；（2）结合律（A ∪B ）∪C=A ∪（B ∪C ）.5.一般的，如果我们所研究的集合涉及的全部元素都属于集合U ，那么这个集合U 我们叫做全集.如果A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作C U A ，读作“A 在U 中的补集”，即C U A={x |x ∈U 且x ∉A}.A A AB B BAB6.对于全集U 和他的一个子集A ，有（1）A ∩（C U A ）=U（2）A ∪（C U A ）=Ø（3）C U （C U A ）=A.§1.5充要条件1.一般地，若命题“如果p ，那么q ”是正确的，即p ⇒q ，那么我们就说p 是q 的充分条件，或q 是p 的必要条件.2.一般地，若p 是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，也称p 与q 是等价的，或称p 等价于q ，记作p ⇔q.3.归纳逻辑思维关系.件，既不充分也不必要条④充要条件③必要而不充分条件②充分而不必要条件①q p q p q p q p ⇔⇔⇐⇒,,,第一章集合（补充知识）1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。
1.1集合.元素及其关系
｛数学，物理，语文，英语，机械基础，金属切削｝
｛2，4，6，8｝
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说明：
1）集合中的元素不能重复出现。 2）列举法多用于元素个数较少集合。 3）当集合为元素个数较多的有限集或为无限集 时，如用列举法表示，可以在大括号内只写出几 个元素，其他元素用省略号表示，但写出的元素 必须让人明白省略号表示了哪些元素。
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5）几个特殊集合： （1）无限集：含有无限个元素的集合。 （2）有限集：含有有限个元素的集合。 （3）单元素集：只含有一个元素的集合。 （4）空集：不含有任何元素的集合。
6) 0与{ }的区别： 0表示一个元素; { }表示不含有任何元素的集合。
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例题：
例1.下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）小于10的正奇数； （3）方程 X2-9=0的所有解； （4）不等式X-7>0的所有解。 解：（1）由于短发没有具体的标准，表述的 对象是不确定的，所以不能构成一个集合。 （2）由于小于10的正奇数包括1,3,5,7,9五个 数，它们是确定的对象，所以可以构成一个 集合。
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例如：
" 中国的直辖市 " 构成一个集合,该集合的元素就是北 京、天津、上海和重庆这四个城市 .
" young 中 的 字 母" 构 成 一 个 集 合, 该 集 合 的 元 素 就是 y , o , u , n , g 这 五 个 字 母. " book 中 的 字 母" 也 构 成 一 个 集 合, 该 集 合 的 元 素 就 是 b , o , k 这 三 个 字 母.
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4）一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示
第一章 1.1集合的概念 第1课时
1．1集合的概念第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．思考我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．组成集合的元素一定是数．(×)2．接近于0的数可以组成集合．(×)3．分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的．(√)4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)一、对集合的理解例1(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．A．③④B．②③④C．②③D．②④答案 B解析①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．答案②解析①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．二、元素与集合的关系例2下列关系中正确的个数为()①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z.A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．反思感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练1给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．三、元素特性的应用例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；综上所述，a＝0或a＝－1.延伸探究若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．解∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，符合题意．故所求a的值为1.反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练2已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________. 答案－1解析若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根答案 D2．下列结论不正确的是()A．0∈N B.2∉Q C．0∉Q D．8∈Z答案 C解析0是有理数，故0∈Q，所以C错误．3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案 A解析由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案10解析由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．5．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________．答案x≠0,2解析由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．(2)常用数集的表示．(3)集合中元素的特性及应用．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．1．以下各组对象不能组成集合的是( ) A ．中国古代四大发明 B ．地球上的小河流 C ．方程x 2－7＝0的实数解 D ．周长为10 cm 的三角形 答案 B解析 因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合． 2．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C.37 D.7答案 D解析 由题意知a 应为无理数，故a 可以为7. 3．有下列说法：①集合N 中最小的数为1；②若－a ∈N ，则a ∈N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 N 中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N ，而－2∉N 可知②错；若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A. 4．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.5．集合A 中有三个元素2,3,4，集合B 中有三个元素2,4,6，若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 B解析 集合A 中的元素3不在集合B 中，且仅有这个元素符合题意．6．下列说法中：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________． 答案 ②④解析 因为集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．7．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________. 答案 3解析 由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.8．若由a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b,0组成的集合相等，则a 2 019＋b 2 019的值为________．答案 －1解析 由已知可得a ≠0，因为两集合相等，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝0，a 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0，a ＝1，(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1，经检验，a ＝－1，b ＝0，满足条件， 所以a 2 019＋b 2 019＝－1.9．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解 ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求元素x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．解 (1)由集合元素的互异性可得x ≠3，x 2－2x ≠x ，且x 2－2x ≠3，解得x ≠－1，x ≠0，且x ≠3. (2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，所以x ＝－2. 经检验，知x ＝－2符合互异性．故x ＝－2.11．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0 答案 B解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ； 若a ＝4，则6－4＝2∈A ； 若a ＝6，则6－6＝0∉A ，故选B.12．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．－1∈MB ．1∈MC ．2∈MD ．3∉M 答案 A解析 ①当x ，y 均为正数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为3；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y |y |＋xy |xy |的值为－1；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为－1，所以集合M 的元素有－1,3，故选A.13．由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 答案 C解析 由题意知a 2≠4,2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，结合选项知C 正确，故选C.14．已知集合A 中的元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则－1________A ，－34________A ．(填“∈”或“∉”) 答案 ∈ ∈解析 当k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ；令－34＝3k －1，得k ＝－11，所以－34∈A .15．已知集合M 有2个元素x,2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3. 答案 ②解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，2－x ≠－1，x ≠2－x .解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0,2，故①可能正确；当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 16．设集合A 中的元素均为实数，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－(－1)＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11－a，所以集合A 不可能是单元素集。
1.1集合与元素
学习内容：：集合与元素学习目标：1、通过实例，体会集合的含义；理解集合的有关概念.2、理解集合的构成原则，能根据集合的构成原则，表达和判别集合.3、会用“∈”和“∉”符号表示元素与集合之间的关系.4、知道集合的分类，体会空集的含义.5、知道常用数集的符号表示.重点、难点：集合的基本概念及元素与集合的关系.一．学前预习、体验感悟1．什么叫集合？什么叫元素？2．集合与元素之间的关系用什么符号表示？3．集合可以分成哪几类？这种分类的标准是什么？4．请你写出五个常用数集的符号。
预习疑难摘要：．二．合作探索、建构数学1．你知道中国的“西南三省“是哪个三个省份吗？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2．全世界共有四大洋，它们的名称是什么？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3．太阳光实际上是有七种单色光组成的，你知道是哪七种吗？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
思考：上述三个问题中，每个问题所涉及的对象是确定的吗？4．你是怎样理解“确定的对象”这个关键词的？ 思考：由一些不确定的对象组成的整体能构成集合吗？5．你会用符号“∈”和“∉” 表示元素与集合之间的关系吗？三．合作交流、应用数学1．合作与讨论下列对象能否组成集合？（1） 中国的直辖市；（2） 方程012=-x 的所有解；（3） 大于3的自然数；（4） 著名的科学家。
2．思考与讨论：请你举一些集合的例子，并指出它们的元素有哪些？3．下列对象的全体哪个可以构成集合 ( )A 、本校成绩好的学生B 、本班个子高的同学C 、本班身体好的同学D 、本班所有的女生4．数一数下列每个集合中的元素有多少个？（1）小于10的自然数；（2）不小于10的自然数；（3）我们班上身高在2米以上的同学。
通过上面三个问题的证明，我们得到：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，叫做有限集＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，叫做无限集＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，叫做空集，记作：＿＿＿6．用符号“∈”和“∉”填空：(1)0____N；(2)0_____N+；(3)3.5_____Z；(4)2_____Q ；(5)π_____R四．体会交流、总结回顾在本节课中，我们学习了哪四个知识点？。
湘教版高中数学必修第一册第1章1-1-1第1课时集合与元素课件
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0， 满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0．
三个元素．]
5
题号
1
√
2
3
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数．故选D．]
4
5
题号
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1___∈_____B(填“∈”或 1
“∉”)．
2
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B．]
3
4
5
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的 值为___－__1_或__－__4___．
√A．一切很大的数
√B．好心人
题号
√C．漂亮的小女孩
D．不小于3的自然数
1 2
ABC [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A，3
4
B，C中的元素均不能构成集合．故选ABC．]
5
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
题号
A．1
B．2
1
√C．3
D．4
2
3
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 4
[母题探究] 本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
反思领悟 根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练] 3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值．
1.1.1集合与元素,集合的表示法
思考：
1. 0 ∉ （填∊ 或∉ ）
集合的表示法（一）
如何表示下列两个集合呢? （1）小于5的所有自然数组成的集合 （2）我国古代的四大发明组成的集合
思考1：这两个集合的元素有哪些？ （1）0，1，2，3，4 （2）活字印刷术，造纸术，指南针，火药
×
（4）A={1，4，8}， B={8，4，1}， A和B表示为同
一集合。
√
集合的3个特性
1.确定性：集合中的每一个元素都必须是确定。 2.互异性：集合中的任意两个元素互不相同。
3.无序性：集合中的元素排列是无先后顺序的。
常用的数集表示
集合记号 N*或N+ N Z Q R
集合意义 正整数集
非负整数集(自然数集) 整数集 有理数集 实数集
课堂小结
1．集合的有关概念 （集合、元素、属于、不属于)
2．集合的三个特性 （确定性，互异性，无序性）
3．常用数集的定义及记法.
4、集合的分类
（有限集、无限集、 空集 ）
5、集合的表示法 （列举法、描述法、文氏图法）
作业布置
超星作业 1.1.1集合与元素 集合的表示法
描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法。
具体方法是：在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写上集合的代表元素,并标 出元素的取值范围，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质。 例如：小于5的所有实数组成的集合可表示为：
{x∈R|x<5} 或{x|x<5}
思考2：大于7小于18的有理数组成的集合如何表示？
{ x∈Q 7< x＜18 }
代表元素
所有元素所共有 的“特征性质”
两种描述法： （1）符号描述法——用数学符号把元素所具有的属性描述出来，如 {x∈R|x<5}
(word完整版)集合知识点汇总与练习,推荐文档
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。
集合与元素
教师参阅
开始
概念
例题
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集合思想的发展
“凡是具有某种特殊性质的东西的全体即称为集 合。”---那汤松实变函数论
“凡是具有某种性质的、确定的有区别的事物
的全体就是一个集合（SET）或简称集。”--- 集 合论 “所谓集合乃是可以区别的事物的汇集”--河田敬 集合拓扑测度 “某些指定的‘东西’ 集在一起就成为 集。”---欧阳光 集合和应射
1.1.1 集合与元素
1、我班学习较好的所有的同学； 不构成 2、全体大于-6的整数； 构成 3、美丽的校园。
不构成
- 练习 -
练习1：（口答）下列每组事件是否构成集合？
练习2：（口答）用属于“”或不属于“”填空：
8____N
8____Z
-4____Z
-4____N -4____Q
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集合思想的发展
“若干个（有限或无限多个）固定事物的全体 就是一个集叫做一个集合。”---张禾瑞近似代数 基础 “一组对象的全体形成一个集合。”--- 高中 数学发散思维辅导
“集合是指由一些事物的组成的整体。”--职高教材
“某些确定的对象组成的整体就成为集合。”-- 2001职高教材
作业：
P2 4
练习 1.1(1) 1、2、3 返回 退出 继续
学生自学 教师参阅 概念 例题
祝同学们进步！
第一章 集合
1.1 集合的概念
主要内容:集合与元素,有限集和无限集,空集。 本节重点：集合概念及其表示方法，子集概念
本节难点：正确运用集合两种表示法；
分清元素与子集、属于与包含的区别。
人教版《数学》第一册教案——1.1集合与元素
答案：1． 是； 不是．2． ； ； ； ； ； ．
综合应用
15´
小结:
集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）
2´
例3（启发学生回答）由大于2并且小于5的自然数组成的集合是由哪些元素组成？解 由于大于2并且小于5的自然数只有3和4，所以这个集合是由3和4组成.
给出定义
2´
由例题帮助学生理解题
15´
巩固练习
1．下列对象是否能确定一个集合：
全体大于10的自然数；
与1接近的实数.
2．用“ ”、“ ”填空：
-3N； 0.5Z； 3N；
3．元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ．
4．集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）．
注：1．集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q、……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q、……
2．“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。
例1 （讲授）判断下列对象是否可以组成集合：
⑴ 某学校数控专业的全体学生；⑵ 的所有实数根；⑶ 不等式 的所有解；
⑷ 平面上与点 的距离为2 cm的所有点．
实例：一个班集体，一个家庭，平面上点的集合等，引入集合的定义
5´
新授内容
1．集合的概念
（1）集合：由某些指定的对象组成的整体形成一个集合。（或集合是由一些事物组成的整体）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
1.1.1集合与 元素
（3）A={2，2，4}，表示是否准确？
（4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？
生：在师指导下一一回答上述问题.
师：由以上四个问题可知，
集合元素具有三个特征：
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.
5、集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列出来，写在大括号内的表示集合的方法。例：用列举法表示下列集合：①方程x2=x的所有实数根组成的集合。②由1-20以内的所有质数组成的集合。
集合的含义与表示教案
课题
1.1集合的含义与表示
使用教具
课件
教学目标
1、理解集合、元素的概念；
2、掌握集合和元素的符号表示；
3、能正确表示出元素与相关集合的关系；
4、集合中元素的特征；
5、记住数集的概念和常见数集的字母符号；
6、理解集合的几种表示方法。
教学重点
教学难点
重点：集合的基本概念与表示方法；
难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
各组成员分工明确，记录员，发言人，板书人等做好准备工作。
汇总归纳
全班展示
1、答案略
2、(1) 由于小于10的自然数包括0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数，它们是确定的对象，所以它们可以组成集合．
（2）由于个子高没有具体的标准，对象是不确定的，因此不能组成集合．
（3）方程 的解是−1和1，它们是确定的对象，所以可以组成集合．
各组展示讲解过程中，其他所有成员认真倾听，有更好的方法和建议或不同见解，做好补充。
反馈检测
总结拓展
1.元素、集合的定义
1.1.1集合与元素的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的4个集合。
2
2
集合中的元素有什么性质
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。
也就是说，对于一个已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里
，是确定的，要么在 ，要么不在，不能含糊其辞。
比如“较小的数”就不能构成集合
2
集合中的元素有什么性质
例1
考察下列每组对象，能构成集合的是（ D )
A.2 021年全国高考数学试卷中的所有难题
B.中国各地美丽的乡村
C. 3的近似数
D.不小于3的自然数
2
集合中的元素有什么性质
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
3－x
解析
由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为
2,1,0，因此A中元素有2,1,0.
5
随堂练习
2.给出下列说法：
①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则 Nhomakorabeaa∉Z；
③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为
A.0
解析
B.1
√
C.2
D.3
实数集中没有最小的元素，故①不正确；
当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.
5
随堂练习
5.现有下列各组对象：
①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的
所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标
系中第一象限内的点.其中能构成集合的是
1.1集合与元素
实数 集 R
练习2. 用符号“ ”或“ ”填空 （1）0 N （2）-3 N （3）3.7 （4）5 N （5） Z （6） 3 （7） 2 R （8）0 R
N Q
三、问题解决
某校举行一年一度的校运动会，比赛项目有 100米、200米、实心球、铁饼、800米、 1500米、3000米、4X100 、三级跳远、立 定跳远、跳高，共11项。 （1）田赛、径赛项目分别有哪些？它们能否 组成集合？如果能组成集合，集合的元素 分别是哪些？ （2）个人项目、团体项目分别有哪些？它们 能否组成集合？如果能组成集合，集合的 元素分别是哪些？
解（3）大于3的自然数是确定的对象，可 以组成集合。
解（4）由于判定一个科学家是否著名没有 具体的标准，对象是不确定的，所以不能 组成集合。
练习1.同学们，请你举一些集合的例子，并 指出它们的元素有哪些。老师和其他同学 当评委来评判。 练习2.下列对象能否组成集合？ （1）中国古代的四大发明 （2）一个星期七天的名称 （3）本校一年级高个子男生 （4）小于5的自然数
1.1 集合与元素
一.激趣导入
（1）中国的“西南三省”是哪三个省份？
四川省 贵州省 云南省
（2）全世界共有四大洋，它们的名称是什么？
（3）太阳光其实是由七种单色光组成的，你 知道是哪七种吗？
赤、橙、黄、 绿、青、兰、 紫 绚丽ห้องสมุดไป่ตู้七色光
二.探索· (一) 发现
一般地，由某些确定的对象所组成的整体 叫做集合。集合通常用大写字母A、B、 C……表示。 集合中的每个确定的对象叫做这个集合的 元素。集合中的元素通常用小写英文字母 a,b,c,……表示。 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记 作 a A ；如果a不是集合A的元素，就说a不 属于A，记作 a A 。
1.1集合的概念课件高一上学期数学人教A版
集合
集合的含义
数集
｛x｜y＝x²-2x+1｝
表示函数y=x²-2x+1，的所有自变量的取值组成的集合
数集
｛y｜y=x²-2x+1，x∈R｝
1.1 集合的概念
集合与元素的含义（了解）
集合与元素的关系（理解）
集合的表示方法（掌握）
课标要点
目录
1. 集合与元素的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）.
通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素.
2. 元素与集合的关系
关系
概念
记作
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于A
不属于
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A
a ∉A
a不属于A
3. 集合中元素的三个特性
特性
含义
事例
确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了
C
1. 常用数集及其记法
数集
意义
符号
非负整数集
全体非负整数组成的集合
N
正整数集
全体正整数组成Βιβλιοθήκη 集合Nˉ或N整数集
全体整数组成的集合
Z
有理数集
全体有理数组成的集合
Q
实数集
全体实数组成的集合
1.1 集合的概念-学生版
知识梳理1．元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．6．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．7．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．例题解析【例1】下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.【例2】已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C 钝角三角形 D.等腰三角形 【例3】设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.【例4】已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.【例5】下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素【例6】下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x 【例7】方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.【例8】已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝【例9】若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= .1. 把一些元素组成的总体叫作集合，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x （共同特性），适用于无限集.1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程2x =4的所有解。
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个集合的元素，要么不是这个集合的元素，这是明确 的。 （2）互异性 集合中的任何两个元素都是互不相同的，相同的元素 归于同一个集合时，只能算作这个集合的一个元素。 （3）无序性 同一个集合中不考虑元素之间的顺序。即
a, b, c b, a, c
6、集合的分类 为了进一步研究集合，需要给集合进行分类。 按照集合中元素个数的多少，集合分成三类：含有有 限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合 称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，记为：
C 、方程 x 2 2 x 1的解集为 1,1
2
D 、若 a Q ，则 a R
1 1 2 3
4. 方程 ax 5x c 0 的解集为 A , ，则 a ____, c _____ 。
5．用适当符号填空( ) ,
0 ____
； ____ Q ；
【总结】 若 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A ，记作： a A 若 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A ，记作： a A 4、常用数集 数学里使用最多的当然是数集，有一些常用数集有专 门的符号表示： 自然数集： N ；正整数集： N 或 N ；整数集： Z ；有 理数集： Q ；实数集： R 5、元素的三特征 集合中的元素必须具备几个特征： （1）确定性： 当一个集合给定以后，对于任何一个对象，要么是这
1 ____ Z ； 0 ____ N ； 0 ____ 0 2
6．已知 x 1, x 2 x 4 ，求 x 的值
2
作 业
教 学 反 思
中的一个元素。 我们就说 1 属于集合 A；记作：1 A 6 不是集合 A 中的元素。我们就说 6 不属于集合 A， 记作： 6 A 【例 1】集合 M 1, 2, x 2 ，求 x 的取值范围。
变式：设 A x 2, 2 x 2 5 x,12 ，且 3 A ，求 x 的值
教学难点：对元素的三个特征的认识和简单应用
多媒体，投影
板 书 设 计
教
学
程
序
设
计
“集合”一词在初中数学中已经被广泛的使用了， 在高中数学里将会有更多的应用，那么“集合”这个 词在数学里的含义是什么呢？请你在课本上找一找。 （同学回答） 1、集合：由某些确定的对象所组成的整体叫做集合。 （板书） 关键词：确定 也就是说：一个对象属不属于这个集合是明确的，不 会出现既在这个集合又不在这个集合里的对象。 举例： （1）高一（3）班的全体同学； （2）高一（3）班个子高的同学； （3）高一（3）班 1.60 米以上的同学。 你能举出一些集合的例子吗？ 2、集合的表示 为了明确到底是哪些“指定的对象”组成了一个集合， 我们就用大括号 将这些指定的对象括起来表示一个 集合。常用大写的字母去表示集合。 3、元素以及集合与元素的关系 集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，常用小 写的英文字母表示。 举例： 1,2,3,4,5 组成的集合 A 1, 2,3, 4,5 ， 就是集合 A 1
南 京 市 中 学 教 案
年 课 题 §1.1 集合与元素 课 型 月 日
新授课
教 学 目 标 教 学 内 容 （重点、 难点） 教学 方法、 教学 手段
1、能描述集合的定义，会正确判断元素与集合的关系； 2、正确认识元素的三个特征； 3、熟练使用常用数集的符号。
教学重点：正确认识集合，能判断元素与集合的关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．考察下列每组对象，可以构成集合的有（
）个。
反 馈 练 习 设 计
①比较小的数； ②方程 x 4 的所有实数根； ③所有的三角形 ；④10 电子 1
2
班所有男生； ⑤10 旅管班个子高的女生 ； ⑥不大于 10 的非负偶数 C 、5 A 、3 B 、4 D 、6 2．大于 1 小于 2 的有理数集是（ ） C 、整数集 A 、有限集 B 、无限集 D 、空集 3. 下列判断正确的是 （ ） A 、集合 N 中最小的元素是1 B 、若 a N ，则 a N