上海市重点中学11高一上学期期末考试数学试题
上海重点高中年高一上期末考试数学
5
上海重点高中高一第一学期期末考试
一 ：填空题（每小题 3 分，共 42 分）
1
1 设函数 f (x) x
， g (x)
x
1 2 x ,则 f (x) g( x)
x
2 若函数
f ( x) 的定义域是
2，4 ，则函数
3
若 f ( x)
1
x
a 是奇函数，则 a
21
2
f (x ) 的定义域是
4
函数 y
2
x 2x 8 的单调递减区小题 4 分 )
已知 f ( x)
k2
x
k 2 (k
Z ) 满足 f (2)
f (3)
（1) 求 k 的值
(2) 是否存在正整数 m ,使 g(x) 1 mf (x) (2m 1) x,x 出 m 的范围 ,若不存在 ,说明理由 .
1,2 为单调增函数 ?若存在 ,求
2 log 618
11 化简 log 6 3
=
log 2 6
12 已知函数 f (x) x2 2x( x a,b ) 的值域为 1,3 ，则 b a 的取值范围是
13 已知函数 f (x) 是偶函数，并且对于定义域内任意的 2 x 3 时， f (x) x ，则 f (2015.5)
x , 满足 f ( x 2)
（2） 若对任意的 t
R , 不等式
2
f (t - 2t)
f (2t2 - k)
0 恒成立 , 求 k 的取值范围
22 ( 本题满分 8 分 ,每小题 4 分 )
（1） 已知二次函数 f (x) 满足 f (2)
上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市高一年级第一学期数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟 满分：150分 ）一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________． 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________． 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则=)(x f ____________． 4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________． 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________． 6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是 ． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________． 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．10．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围 ． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =题的是__________．13．如图所示，已知函数()2log 4y x =图像上的两点 ,A B 和函数2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时点B 的坐标为(),p q ，则22qp +的值为14．若点A 、B 同时满足以下两个条件：（1）点A 、B 都在函数()y f x =上；（2）点A 、B 关于原点对称； 则称点对(),A B 是函数()f x 的一个“姐妹点对”．已知函数()()()24020x x f x x xx -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是 ． 二、选择题（每题5分，共20分）15．“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的……………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若2{|21},{|}M x y x N y y x ==+==-，则集合N M ,两的关系是（ ） A ．{(1,1)}MN =-B ．M N ＝∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆17．已知()f x 是R 上的偶函数， 当0x >时()f x 为增函数， 若120,0x x <> 且12||||x x <， 则下列不等式成立的是…………………………………( ) A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -<- C ．12()()f x f x ->- D ．12()()f x f x -<-18．函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称．据此可以推测，对 任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是………………………………………………………………（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,4,16,64三、解答题（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域 内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（1）若3a =，求出集合P ； （2）若Q P ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ）某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为230400010x y x =-+． （1）当该产品的年产量为多少时，每吨的平均成本P 最低，并求每吨最低成本；（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时可获得最大利润，并求出最大年利润Q ．21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-，其中a 是实数． （1）当2a =时，解上述方程；（2）根据a 的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的t 的取值范围； （3）若()312f =，且()x mf aa x g xx 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg 2，求a 的取值范围；（3）设函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，证明：函数()M x x f x∈+=22．高一年级数学试卷答案一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_．7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(-9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围__11[,)62__． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m ≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④13．．()()()1,3,1,3-- 二、选择题（每题5分，共20分）15．A 16．D 17．B 18．D三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 解（1）若3a =，由不等式301x x -≤+，即(3)(1)0x x -+≤且1x ≠-，……… 4分 解得集合{|13,}.P x x x R =-<≤∈ ……………………………… 6分 （2）由不等式|1|1x -≤，解得{|02,}.Q x x x R =≤≤∈ …………………8分由不等式01x ax -≤+，得()(1)0x a x -+≤且1x ≠-，…………………9分 当1a >-时，{|1,}P x x a x R =-<≤∈， 又因为Q P ⊆，所以2a ≥；当1a <-时，{|1,}P x a x x R =≤<-∈，Q P 不成立；当1a =-时，P =∅，QP 也不成立．因此，求实数a 的取值范围是[)2,.+∞（可以不讨论直接判断得出）… 12分20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ） 解（1）()400030,150,25010x P x x=+-∈………………………………3分3010≥=……………………………………………5分()4000200150,25010x x x=⇒=∈ ……………………………6分 当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．………7分（2）()216304000,150,25010x Q x x x =-+-∈………………………10分 ()212301290129010x =--+≤ ……………………………12分 ()230150,250x =∈……………………………………………13分 生产230吨时，最大年利润1290Q =万元．…………………14分 21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）解（1）1030(1)(3)2x x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩…………………………………………3分x ⇒=2分 （2）原方程可化为1030(1)(3)x x x x a x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩，……………………………6分即21353x x x a<<⎧⎨-+-=⎩，………………………………………………8分 作出253(13)y x x x =-+-<<及y a =的图像． 当1x =时1y =，当3x =时3y =，当52x =时134y =．由图像知： ① 413>a 或1≤a 时，两曲线无公共点，故原方程无解；………………10分 ② 当131≤<a 或413=a 时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实数解；…12分③ 当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解．…………14分22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 解(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()001102f k k =⇒--=⇒= ……………………………… 4分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f xx且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且……………………………5分x y a =在R 上递减，x y a -=在R 上递增，故()f x 在R 上单调递减． …6分不等式化为)4()(2-<+x f tx x f 04)1(,422>+-+->+∴x t x x tx x即恒成立，………………………… 8分016)1(2<--=∆∴t ，解得53<<-t ．………………………………… 9分(3)∵()312f =，231=-∴a a ，即,02322=--a a122a a ∴==-或（舍去）………………………………………………………10分 ∴()()22222)(2222+--+=-+=---x x x x x xm a a x mf a ax g ．令xxaa x f t --==)(由(1)可知xxaa x f --=)(为增函数∵1x ≥，∴()312t f ≥=……………12分 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (32t ≥)……………………………13分 若32m ≥，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2……………… 14分 若32m <，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去…15分 综上可知m ＝2． ……………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ， 使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……………………… 4分 ()()()()2222(2)lglg lg lg 2221011211a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++………………………………………………………………………………6分 当2=a 时，21-=x ；……………………………………………………7分 当2≠a 时，由0≥∆，得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a ，……9分∴[]53,53+-∈a ． ………………………………………………10分()()()()()00002112000000311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦（），……………………………………………………………………………………13分又∵函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a，其中10+=a x ，…………………16分∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x∈+=22 ．…………………18分。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、填空题1化成有理数指数幂的形式为__________. 0)a >【答案】13a 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答. 【详解】. 0a >114111113333444()()()a a a a a +=⋅===故答案为：13a 2．不等式的解集是___________. |1|2x -<【答案】(1,3)-【分析】根据绝对值的意义直接求解即可. 【详解】, |1|2x -< ,212x ∴-<-<解得，13x -<<所以不等式的解集为. (1,3)-故答案为：(1,3)-3．已知a 、b 是方程的两个根，则______． 23410x x -+=11a b+=【答案】4【分析】直接利用韦达定理代入计算即可.【详解】由韦达定理可得，41,33a b ab +==4113413a b a b ab++===故答案为：4.4．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________． 54︒10cm 2cm 【答案】15π【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可. 3π10α=【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为3π5410α=︒=. 213π1015π210⨯⨯=2cm 故答案为： 15π5．已知，则角属于第____________象限． sin 0tan θθ<θ【答案】二或三【分析】根据题意，结合三角函数在各个象限的符号，即可得到结果. 【详解】因为，即与的符号相反， sin 0tan θθ<sin θtan θ所以为第二或第三象限， θ故答案为: 二或三6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. ()y f x =R 0x >()21x f x =-(2)f -=【答案】3-【详解】 由题意得，函数为奇函数，所以.()y f x =()2(2)2(21)3f f -=-=--=-7．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a 的()3x f x a =+1()y f x -=1()y f x -=(3,2)值为__________． 【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入1()y f x -=(3,2)()y f x =(2,3)(2,3)()y f x =的解析式求得的值．a 【详解】解：的图象过点，1()y f x -= (3,2)函数的图象过点，∴()y f x =(2,3)又，()3x f x a =+，即．233a ∴+=6a =-故答案为：． 6-8．已知，则____________． cos )ααβ=-=π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(2)αβ-=【分析】根据，得到，求出π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭sin )ααβ=-=法，结合余弦的和角公式求出答案.【详解】，故，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为，所以，sin()0αβ-=>π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，sin )ααβ==-==故()()()()2cos cos cos sin sin cos αβααβααβααβ⎡⎤-=+--⎦=--⎣. ==9．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若1x yxy+-，则________.sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-b a =【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值. cos5a πba【详解】由已知分子分母同时除以得，sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-cos 5a π. tan85tan 151tan 5ba b a πππ+=-又，所以. tantan853tantan()15531tan tan 35πππππππ+=+=-tan 3b a π=【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题.10．若函数有2个零点，则实数a 的取值范围是______．()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩【答案】(](]2,01,2- 【分析】画出的图像，分，，，，讨()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩2a ≤-20a -<≤01a <≤12a <≤2a >论观察图像可得答案.【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点2a ≤-()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合；20a -<≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点；01a <≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，有2个零点；12a <≤()2,1,x x x x af x x x a⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点；2a >()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩综上：实数a 的取值范围是 (](]2,01,2- 故答案为：.(](]2,01,2- 【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行.二、单选题11．以下命题正确的是（ ） A ．终边重合的两个角相等 B ．小于 的角都是锐角 90 C ．第二象限的角是钝角 D ．锐角是第一象限的角【答案】D【分析】根据象限角的定义判断求解即可.【详解】对于A,例如和中边相同，但两个角不相等，故A 错误；30 390对于B,例如，但不是锐角，故B 错误；090< 0 对于C,例如是第二象限角，但不是钝角，故C 错误； 210- 210- 因为锐角为大于小于，所以锐角在第一象限，故D 正确. 0 90 故选:D.12．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：32()22f x x x x =+-- (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =-(1.4375)0.162f =(1.40625)0.054f =-那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2 B ．1.4 C ．1.3 D ．1.5 32220x x x +--=【答案】B【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1)0,(1.5)0f f <>(1)(1.5)0f f <(1,1.5)，所以不满足精确度；1.510.50.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.25)0f <(1.25)(1.5)0f f <(1.25,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.250.250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.375)0f <(1.375)(1.5)0f f <(1.375,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.3750.1250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.4375)0f >(1.4375)(1.375)0f f <(1.375,1.4375)，所以满足精确度；1.4375 1.3750.06250.1-=<0.1所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包32220x x x +--=0.05(1.375,1.4375)括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B13．已知全集及集合，，则的U =R 2128,4aA a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，A B 元素个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个A B A B A B 数．【详解】解：，2128,4a A a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，，，，1，2，3，，或，且{|223A a a ∴=--<…}{|14a Z a a ∈=-<…}{0a Z ∈=4}{|5B b b =<-2}b >，U =R ，， ∴{|52}B b b =-……{0,1,2}A B = 的元素个数为：3．∴A B 故选：． B 14．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为1()||1f x x =-（ ）①函数的定义域为； ②； ()f x {}1x x ≠2022((2023))2021f f =-③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数的最大值为； ()f x 1x =(1,1)x ∈-()f x 1-⑤方程有四个不同的实根． 2()40f x x -+=A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据分式分母不为零可求得定义域判断①；利用解析式可求得判断()f x ()()2023f f ②；通过判断③；分别在和的情况下得到，判断④；利用()()20f f ≠(]1,0x ∈-[)0,1x ∈()max f x 数形结合判断⑤.【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；10x -≠1x ≠±()f x \{}1x x ≠±对于②，，，②正确；()120232022f = ()()112022202312022202112022f f f ⎛⎫∴===-⎪⎝⎭-对于③，，，， ()12121f ==- ()10101f ==--()()20f f ∴≠不关于直线对称，③错误；()f x \1x =对于④，当时，，此时； (]1,0x ∈-()1111f x x x ==---+()()01f x f ≤=-当时，，此时； [)0,1x ∈()11f x x =-()()01f x f ≤=-综上所述：当时，，④正确；()1,1x ∈-()max 1f x =-对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，()f x 24y x =-由图象可知与有四个不同交点，()f x 24y x =-方程有四个不同的根，⑤正确.∴()240f x x -+=所以正确的个数为3. 故选：B.三、解答题15．已知，求下列各式的值：1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭(1)；tan α(2)． sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++【答案】(1)13(2) 1-【分析】(1)两角和的正切展开求解.(2)两角和的正余弦展开合并同类项，再运用两角和的正余的逆运用转化为正切求解.【详解】（1） πtantan π1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅1tan 3α∴=（2）()()sin sin cos cos sin ,cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=⋅+⋅+=⋅-⋅sin()2sin cos 2sin sin cos()2sin sin cos cos sin 2sin cos cos s c s in o sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-∴=++⋅+⋅-⋅⋅-+⋅ ()()()sin cos sin sin cos tan sin sin cos cos cos βααβαββααβαββα-⋅-⋅===-⋅+⋅-又 ()11tan tan 523tan 1111tan tan 61132βαβααβ-----====-+⋅-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭sin()2sin cos 12sin sin cos()αβαβαβαβ+-∴=-++16．某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平()0x x ≥方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司2x每年的燃料费为（，k 为常数）万元．记y 为该公司10年的燃料费与安装太阳能板1040kx +0x ≥的费用之和．(1)求k 的值，并写出函数的表达式；()y f x =(2)求y 的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x ． 【答案】(1)，()； 800k =80042xy x =++0x ≥(2)38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k 值，进而写出函数的表达式. ()y f x =(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x 值. 【详解】（1）依题意，当时，，解得， 0x =2040k=800k =于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，，800800101040242x xy x x =⋅+=+++0x ≥所以，函数的表达式为，. 800k =()y f x =80042xy x =++0x ≥（2）由(1)知，，， 0x ≥8004223842x y x +=+-≥=+当且仅当，即时取“=”， 800442x x +=+36x =所以y 的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米. 17．已知函数的表达式为.()y f x =()9233x x f x a =-⋅+(1)若，求函数的值域； 1,[0,1]a x =∈()y f x =(2)当时，求函数的最小值；[1,1]x ∈-()y f x =()h a (3)对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i ）；（ii ）()h a ,m n 3n m >>当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ()h a [,]m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦,m n 【答案】(1)[]2,6(2)22821,9331()3,33126,3aa h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由，利用的范围可得的范围，进而可得答案；()2312x y =-+x 3x （2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答3x t =()f x ()()223g t t a a =-+-13a <133a ≤≤3a >案；（3）假设满足题意的，存在，函数在上是减函数，求出的定义域、值域，列m n ()h a ()3,+∞()h a 出方程组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【详解】（1）当时，由，得，1a =9233x x y =-⨯+()2312x y =-+因为，所以，，[]0,1x ∈[]31,3x∈[]2,6y ∈所以函数的值域为.()y f x =[]2,6（2）令，因为，故，函数可转化为3x t =[]1,1x ∈-1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ， ()()222233g t t at t a a =-+=-+-①当时，；13a <()1282393ah a g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭②当时，；133a ≤≤()()23h a g a a ==-③当时，．3a >()()3126h a g a ==-综上所述，. ()22821,93313,33126,3a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（3）假设满足题意的，存在，m n 因为，，3n m >>()126h a a =-所以在上是严格减函数，()y h a =()3,+∞所以在上的值域为，()y h a =[],m n ()(),⎡⎤⎣⎦h n h m 又在上的值域为，所以，即， ()y h a =[],m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦()()22h n m h m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩两式相减，得，()()()226m n m n m n m n -=-=+-因为，所以，3n m >>6m n +=而由，可得，与矛盾．3n m >>6m n +>6m n +=所以，不存在满足条件的实数，．m n 18．已知函数的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数()f x 值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数是“正函数”； ()()2lg 11f x x =++（2）如果函数不是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()11a f x x x =+-+（3）如果函数是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+【答案】（1）证明见解析，（2）（3）(,1]-∞(){}6,13- 【解析】（1）有题知：，即证.()1f x ≥（2）首先讨论当时，显然不是“正函数”. 当时，从反面入手，假设0a ≤()11a f x x x =+-+0a >是“正函数”，求出的范围，再取其补集即可.()f x a （3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+【详解】（1）.2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=函数值恒为正数，故函数是“正函数”.2()lg(1)1f x x =++（2）当时，，0a ≤(0)10f a =-<显然不是“正函数”. ()11a f x x x =+-+当时0a >假设为“正函数”.则恒大于零. ()11a f x x x =+-+()f x. ()1221a f x x x =++-≥+所以，即20->1a >所以不是“正函数”时， ()11a f x x x =+-+.01a <≤综上：.1a ≤（3）有题知：若函数是“正函数”， ()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+则或. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+解得：或.61a -<<3a =【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则__________． {1,1,2}A =-{}20B x x x =+=A B = 【答案】{}1-【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．B 【详解】解：，1，，，，{1A =- 2}{1B =-0}．{1}A B ∴=- 故答案为：．{}1-2．设a 、b 都为正数，且，则的最小值为________. 4a b +=11a b +【答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可. 11a b +1114()4a b ⨯⋅+【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：， 111111114(()((2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=当且仅当时取等号，即时取等号，b a a b=2a b ==故答案为：13．函数，则______________. 2()1y f x x ==-1(3)f -=【答案】 53【解析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求. 231x =-x 【详解】由解得，所以. 231x =-53x =15(3)3f -=故答案为： 534．已知且，若，，则_______________.0a >1a ≠log 2a m =log 3a n =m n a +=【答案】6【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理：log 2,2m a m a =∴= 3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故答案为：6【点睛】对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数，是偶函数，则的值为______．()()221f x ax b x =+++22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦a b +【答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得，所以，所以.2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩1,2a b ==-1a b +=-故答案为：1-6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．22mm y x -++=m R m 【答案】或01【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.220m m -++>m m 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.220m m -++>12m -<<m 0m =1故答案为：或017．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一340x x +-=()1,32x =个取的点是______．x =【答案】1.5## 32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，3()4f x x x =+-因为，，(1)20f =-<(2)60f =>所以下一个有根区间是，(1,2)那么下一个取的点是．1.5x =故答案为：1.58．已知函数的最小值为-2，则实数a =________.22([0,1])y x ax x =+∈【答案】 32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，222()2()y f x x ax x a a ==+=+-x a =-当时，即，函数在时单调递减，1a ≤-1a ≤-2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，显然符合； min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-1a ≤-当时，即时，； 01a <-<10a -<<2min ()2f x a a =-=-⇒=10a -<<当时，即时，函数在时单调递增，0a -≤0a ≥2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，不符合题意，综上所述：， min ()(0)02f x f ==≠-32a =-故答案为： 32-9．设方程的实根，其中k 为正整数，则所有实根的和为22log 1122x a a --=-+12,,,k x x x ______．【答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.2()log 11g x x =--【详解】令，，2()|log ||1|f x x =-22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=所以函数图象关于轴对称，2()|log ||1|f x x =-y 令，则的图象关于直线对称，2()log 11g x x =--()(1)g x f x =-1x =因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线22log 1122x a a --=-+2()log 11g x x =--的交点横坐标.222y a a =-+由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.22log 1122x a a --=-+1x =所以.12344x x x x +++=故答案为：4.10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等()2x f x =2()2g x x x a =-+1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈式恒成立，则实数a 的取值范围为________．()()121f x g x -≥【答案】(,1][6,)-∞+∞U【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2]a 组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，()2x f x =[1,2]所以，min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====所以在上的值域为，()2x f x =[1,2][2,4]因为的对称轴为直线，2()2g x x x a =-+1x =所以在上为增函数，2()2g x x x a =-+[1,2]所以，min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==所以在上的值域为，2()2g x x x a =-+[1,2][1]a a -,因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈()()121f x g x -≥所以，解得， (1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或所以或，1a ≤6a ≥所以实数a 的取值范围为，(,1][6,)-∞+∞U 故答案为：(,1][6,)-∞+∞U 【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2](1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“”是“”的（ ）x y >33x y >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为 ， 2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则， x y >223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则，即， 223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0x y ->x y >所以 ，即“”是“”的充要条件，33x y x y >⇔>x y >33x y >故选：C.12．如果，那么（ ）12log 0.8log 0.80x x <<A ．B ． 2101x x <<<1201x x <<<C ．D ．121x x <<211x x <<【答案】C【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C 正0.820.810.8log log 0log 1x x <<=0.8log y x =确.【详解】因为，则，12log 0.8log 0.80x x <<0.820.810.8log log 0log 1x x <<=又因为在上单调递减，0.8log y x =()0,∞+那么，121x x <<故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ） 2y ax bx =+(0)b a y x x =>A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >b x 02a =->0b a<幂函数为减函数，符合题意；(0)b a y x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0b x 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b a y x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a=-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b a y x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b a y x x =>故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） ||y x a =--1a y x =+[1,2]a A ．B ．C ．D ． (,0)-∞(1,0)(0,1]-⋃(0,1)(0,1]【答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.a 【详解】函数的图像关于对称，||y x a =--x a =所以当，y 随x 的增大而减小，当，y 随x 的增大而增大.x a >x a <要使函数在区间上都是严格减函数，||y x a =--[1,2]只需； 1a ≤要使在区间上都是严格减函数，只需； 1a y x =+[1,2]0a >故a 的范围为.01a <≤故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1) 4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1），故解集为； ()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--(1,8)（2），|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-故解集为.(1,)+∞16．已知函数． ()22(11)1x f x x x =-<<-(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x (2)判断函数的单调性并证明．()f x 【答案】(1)是奇函数，理由见解析()f x (2)在上单调递减，证明见解析()f x (1,1)-【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）是奇函数，理由如下：()f x 函数，则定义域关于原点对称， ()22(11)1x f x x x =-<<-因为，所以是奇函数； ()()221x f x f x x --==--()f x （2）任取，1211x x -<<<则 22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- ， 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----因为，所以， 1211x x -<<<2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<所以，所以在上单调递减.12())0(f x f x ->()f x (1,1)-17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到log 2a y x =-0a >1a ≠函数的图像．()y f x =(1)求函数的解析式()f x (2)设函数，若对一切恒成立，求实数m 的取值范围；()()()1f x f x F x a ++=()m F x <()1,x ∈-+∞(3)讨论关于x 的方程，在区间上解的个数． ()log ap f x x=()1,-+∞【答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所()F x (1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 求范围；(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间()log a p f x x =1(1p x x x +=>-0)x ≠(1)p x x =+上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.(1,)-+∞【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，log 2(0a y x a =->1)a ≠得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象； log (1)2a y x =+-()log (1)a f x x =+（2）函数，，()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x a a x x +++++===++1x >-若对一切恒成立，()m F x <(1,)∈-+∞x 则对一切恒成立，(1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 由在严格单调递增，得，(1)(2)y x x =++(1,)-+∞(1)(2)0y x x =++>所以，即的取值范围是；0m ≤m (,0]-∞（3）关于的方程 x ()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=且， 1(1p x x x ⇔+=>-0)x ≠所以只需讨论在区间且x ≠0上的解的个数．(1)p x x =+(1,)-+∞由二次函数且的图象得，(1)(1y x x x =+>-0)x ≠当时，原方程的解有0个； 1(,)4p ∈-∞-当时，原方程的解有1个； 1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭当时，原方程的解有2个． 1(,0)4p ∈-18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()1050x f x =+(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围． ()1252g x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭【答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案； （2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，()f x ()f x [25,2000]②的最大值不超过75，③在上恒成立； ()f x ()5x f x ≤[25,2000]（2），不满足要求③，故不符合； ()1050x f x =+()5050115f =>（3）因为，所以函数满足条件①， 12a ≥()gx 由函数满足条件②得，解得()g x 2575≤a ≤由函数满足条件③得，对恒成立， ()gx 255x ≤[25,2000]x ∈即恒成立，2a ≤[25,2000]x ∈时取等号，所以． 2≥=25x =1a ≤综上所述，实数的取值范围是． a 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数 ()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的(],x m ∈-∞()f x 值，使得关于x 的不等式恒成立，求k 的取值范围；()()22310f x m k m k ≤--+-(2)设t 为实数，若关于x 的方程恰有两个不相等的实数根且，()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦12,x x 12x x <试将表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域． 1221212log 211++--+-x x x x 【答案】(1)4k ≥(2)， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+(]1,3【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可； 4(3)83k m m ≥-++-(2)先得出，再对，进行分类讨论. ()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩1x >1x ≤【详解】（1）当时，，故.(,]x m ∈-∞max ()f x =102m ≤≤要使得不等式恒成立，2()(2)310f x m k m k ≤--+-需使，2(2)310m k m k --+-1≥即对于任意的都成立. 2(2)3110m k m k --+-≥[0,2]m ∈因为，所以. 133m ≤-≤4(3)83k m m ≥-++-由，得 30m ->403m <-4(3)84843m m -++≤-+=- （当且仅当时取等号）1m =所以；4k ≥（2）由函数，得， ()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩①若，则方程变为，1x ≤[]2()log ()0f f x t x --=x =2log ()t x -即，则，2x t x =-2x t x =+为递增函数，，则有；2x y x =+1x ≤3t ≤②若，则方程变为1x >[]2()log ()0f f x t x --=，即，且，故，()222log log log ()x t x =-2log x t x =-0t x ->1t >于是分别是方程、的两个根，则，，12,x x 2x t x =-2log x t x =-11x ≤21x <即，121x x ≤<由于函数与的图像关于直线对称，2log y x =2x y =y x =故，12x x t +=， 122122log 2()x x t x x t +=-+=()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t=故，且， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t =+13t <≤故此函数的定义域为.(]1,3【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数，设区间是D 的一个子集，若存在，使得函()y f x =[,]m n 0(,)x m n ∈数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区()y f x =[]0,m x []0,x n ()y f x =间上具有性质P ．[,]m n （1）若函数在区间上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；2y ax bx =+[0,1]（2）设c 是常数，若函数在区间上具有性质P ，求实数c 的取值范围．3y x cx =-[1,2]【答案】（1）；（2）．20a b -<<()3,12c ∈【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+()f x 的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；2y ax bx =+,a b （2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出3y x cx =-[1,2]c 在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.3y x cx =-[1,2]c c 【详解】（1）当函数在区间上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线， 2y ax bx =+[0,1]故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是； 0a >(0,1)2b x a=-∈于是，实数a ，b 所满足的条件为：．20a b -<<（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，3()f x x cx =-1x 2x [1,2]总有． ()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-若，当时，总有且，3c ≤12x x <120x x -<22112211130x x x x c ++->++-=故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．()()120f x f x -<3y x cx =-[1,2]若，当时，总有且，12c ≥12x x <120x x -<222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．()()120f x f x ->3y x cx =-[1,2]若，当且时，总有且， 312c <<12x x <12,x x ⎡∈⎢⎣120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=故，因此在区间上是严格减函数； ()()120f x f x ->3y x cx =-⎡⎢⎣当且时，总有且， 12x x <12,2x x ⎤∈⎥⎦120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=故，因此在区间上是严格增函数．()()120f x f x -<3y x cx =-2⎤⎥⎦因此，当时，函数在区间上具有性质P ．()3,12c ∈3y x cx =-[1,2]【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理P 解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P的情况，然后再进行验证即可. P。
2021-2022学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷(含详解)
2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．2.函数()()2ln 4f x x=-的单调增区间是______．3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．5.已知函数()()12f x xx α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一B.二C.三D.四14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C .充分必要D.既不充分也不必要15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +- B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题17.求函数()f x =18.已知0a >，b R ∈，且函数()12xf x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()ff x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．【1题答案】【答案】4【解析】【分析】根据题意，令3x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()112x f x -+=，令3x =，可得()()3131424f f -+===.故答案为：4.2.函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【2题答案】【答案】(2,0]-【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解【详解】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【3题答案】【答案】1213-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为θ是第四象限角，5cos 13θ=，则12sin 13θ==-，所以，202112cos cos sin 2213ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1213-.4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．【4题答案】【答案】18-##-0.125【解析】【分析】化简函数为()2442(log )3log 1f x x x =++，4log t x R =∈，得到()2231f t t t =++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()()4242log 4log 2(log 1)(log 1)f x x x x x =⋅=++24444(log 1)(2log 1)2(log )3log 1x x x x =++=++，令4log t x R =∈，可得()22312312()48f t t t t =++=+-，当34t =-时，()min 31()48f t f =-=-，即函数()f x 的最小值为18-.故答案为：18-.5.已知函数()()12f x x x α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．【5题答案】【答案】23log 2或1-.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()()12f x xx α=≤≤，当0α>时，函数()f x 在[]1,2上为单调递增函数，可得1212α-=，解得23log 2α=；当0α=时，显然不成立；当0α<时，函数()f x 在[]1,2上为单调递减函数，可得1122α-=，解得1α=-，综上可得，23log 2α=或1α=-.故答案为：23log 2或1-.6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．【6题答案】【答案】15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．【7题答案】【答案】()(),23,4∞-⋃【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式()()2021202142x x --->-转化成2021202111(()42x x >--（Ⅰ）1041021142x x x x ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪--⎩，解得34x <<；（Ⅱ）104102xx ⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得2x <；（Ⅲ）1041021142x x x x ⎧<⎪-⎪⎪<⎨-⎪⎪>⎪--⎩，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)-∞故答案为：(,2)(3,4)-∞ 8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．【8题答案】【答案】6[,1)2--.【解析】【分析】根据题意，列出不等式组222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数，因为()()2212f a f a ->+，可得222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12a -≤<-，所以实数a 的取值范围是6[,1)2--.故答案为：[,1)2--.9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．【9题答案】【答案】P R Q =<【解析】【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P 、R 的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P 、Q 的大小关系.【详解】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin R P θθθθθθθθ=-=+-=-=又2233cos sin (cos sin )P Q θθθθ-=---(cos sin )(cos sin )(cos sin )(1cos sin )θθθθθθθθ=-+--+(cos sin )(cos sin 1cos sin )θθθθθθ=-+--(cos sin )(cos 1)(1sin )θθθθ=---因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0,cos 10,1sin 0θθθθ->-<->所以0P Q -<，即P Q<所以P 、Q 、R 的大小关系为P R Q =<.故答案为：P R Q=<10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数在R 上单调递减，又()0001250=3236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11112512236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222125252=23618f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3331253=1236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且当3x >时，()()0,1f x ∈，当0x <时，令,N *x n n =-∈，则()12536151222Z 236251010n n nn n n nn n f n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=++=++∉ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，函数()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．故答案为：3.11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．【11题答案】【答案】2,)++∞【解析】【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =+，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t的方程有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞.令2()g t t at b=++，则(2)01)0gg>⎧⎪⎨+<⎪⎩，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当1≥x时，11()11f x x xx x=++-=+，当01x<<时，112()11f x x xx x x=++-=+-，当0x<时，112()11f x x xx x x=--+-=--+，则f(x)图像如图所示：当0x<时，2()11f x xx=--+≥+，当0x>时，min()2f x=．令()t f x=，则20t at b++=，∵关于x的方程()()()20f x af x b++=恰有六个解，∴关于t的方程20t at b++=有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞，令2()g t t at b=++，则(2)4201)91)0g a bg a b=++>⎧⎪⎨+=++++<⎪⎩，∴42ba-->且a<，要存在a满足条件，则42b--<，解得2b>+．故答案为：2,)++∞．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）【12题答案】【答案】ln 4##2ln 2【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，()f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e xf x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e m f x ⎤∈⎦，不妨设0a b c <≤≤，因为对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=>，所以24e e a b c +>，因为对任意,,a b c I ∈都成立，所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln 4c ≤，所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4．故答案为：ln 4.二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一 B.二C.三D.四【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】将2021- 转化为()0,360内的角，即可判断.【详解】20213606139-=-⨯+ ，所以2021- 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.故选：B14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <，由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()12f x x =-，则函数()()12g x f x x x =+=在R 上严格递增，但函数()12f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +-B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得()221lg[2(1)]1lg(22)1lg lg 105x x g x x x ++=+-=+-==.故选：B.16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】【分析】结合0BA BC ⋅<uu r uu u r，得到90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到AB BC <，可判定③正确，④不正确.【详解】由题意，函数()2xf x x =+为单调递增函数，因为点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠，不妨设123x x x <<，可得12123232(,),(,)BA x x y y BC x x y y =--=--，则12321232()()()()BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--，因为123x x x <<，可得1232()()0x x x x --<，31221222313222(()()[())][2()]()2x x x x x x x x y y y y -+----+-=又由因为12220x x -<，120x x -<，32220x x ->，320x x ->，所以31221232[())][())22(22(]0xxxxx x x x -+-+-<-，所以12321232()()()()0BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--<所以90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；由两点间的距离公式，可得AB BC ==根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A 到B 的变化率小于点B 到C 点的变化率不相同，所以AB BC <，所以ABC 不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.故选：A.三、解答题17.求函数()f x =【17题答案】【答案】定义域为(1,)+∞，值域为[1,)+∞，递减区间为(1,2]，递增区间为[2,)+∞.【解析】【分析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由2331(1)111x x x x x -+=-+---，结合基本不等式，可求得函数的值域，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数()f x =23301x x x -+≥-且10x -≠，因为方程223333(024x x x -+=-+>，所以10x ->，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为(1,)+∞又由2233(1)(1)11(1)1111x x x x x x x x -+---+==-+----，因为10x ->，所以1(1)1111x x -+-≥=-，当且仅当111x x -=-时，即2x =时，等号成立，所以23311x x x -+≥-，所以函数()f x 的值域为[1,)+∞，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增.18.已知0a >，b R ∈，且函数()12x f x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．【18题答案】【答案】()f x 为奇函数，11,2a b ==，【解析】【分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若()f x 为奇函数，则()()0(R)f x f x x -+=∈，所以11022x x b b a a-+++=--恒成立，即212122x x x b a a+=--⋅-，所以22222212[2(1)2]x x x x a b a a a -⋅+=--⋅++⋅-恒成立，所以21222(1)ab a b a =⎧⎨-=-+⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当()f x 为奇函数时，11,2a b ==，若()f x 为偶函数，则()()(R)f x f x x -=∈，所以1122x x b b a a-+=+--恒成立，得22x x -=，得0x =，不合题意，所以()f x 不可能是偶函数，综上，()f x 为奇函数，11,2a b ==，19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．【19题答案】【答案】（1）1 1.5k =，11a =，23k =，212a =（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.【小问1详解】将()()1,1.5,3,4.5代入11ay k x =中，111 1.53 4.5a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得：111.51k a =⎧⎨=⎩，将()()4,6,9,9代入22ay k x =中，22224699a a k k ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得：22312k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1 1.5k =，11a =，23k =，212a =.【小问2详解】设分配生产乙商品的投资为m （0≤m ≤20）万元、甲商品的投资为()20m -万元，此时的总利润为w ，则())12231.5203131.52w m m =-+⋅=-+，因为0≤m ≤20，1=，即1m =时，w 取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．【21题答案】【答案】（1）3(3,)4-（2）()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，最小值为12.【解析】【分析】（1）求得函数的导数()22(1)1a x f x x--'=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，得到函数()f x 在1[,2]2上单调递减，得到()32g a a =；若10a ->时，令()0h x =，求得x =12≤2≥，122<<三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()11(1)f x x ax a x x x =+-=-+，可得()2221(1)1(1)a x f x a x x--'=--=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，则满足()()11()11024(2)4110h a h a ⎧=--<⎪⎨⎪=-->⎩，解得334a -<<，即实数a 的取值范围为3(3,)4-.【小问2详解】解：由（1）知()22(1)1a x f x x--'=，设()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，即1a ≥时，()0h x <，即()0f x '<，函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(),(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；若10a ->时，即1a <时，令()0h x =，即2(1)10a x --=，解得x =x =12≤时，即3a ≤-时，()0h x >在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '>，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递增，所以5151(2)2,()()22(2)2f a L a f a M a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=-；2≥时，即314a ≤<时，()0h x <在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '<，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(,(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；③当122<<时，即334a -<<时，当1[2x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2]x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x =()f x取得最小值，即()L a =，又由1515(),(2)22222f a f a =-=-，可得13((2)22f f a -=，（i ）当30a -<≤时，1()(2)02f f -<，即1((2)2f f <，所以5()(2)22M a f a ==-，此时()()()522g a M a L a a --==-；（ii ）当304a <<时，1()(2)02f f ->，即1((2)2f f >，所以151()()222M a f a ==-，此时()()()5122g a M a a L a --==-，综上可得，函数()g a 的解析式为()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，当3a ≤-时，()9(3)2g a g ≥-=；当34a ≥时，()39(48g a g ≥=；当30a -<≤时，令[1,2)t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，根据二次函数的性质，可得当1t =时，函数()t ϕ取得最小值，最小值为()112ϕ=；当304a <<时，令1(,1)2t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，则()()112t ϕϕ>=，综上可得，函数()g a 的最小值为12.23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()f f x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．【23题答案】【答案】（1）123415152,1,22x x x x --+==-==（2）31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）见详解.【解析】【小问1详解】因为2a =-，所以()f x x =即220x x --=，所以122,1x x ==-，所以()f x 的不动点为122,1x x ==-；解(())f f x x =，22242(())(2)(2)242f f x f x x x x x =-=--=-+=，所以42420x x x --+=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式22x x --，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22(2)(1)0x x x x --+-=，所以123,4152,1,2x x x -±==-=，所以(())f f x 的不动点为123,4152,1,2x x x -±==-=；【小问2详解】由2()f x x a x =+=得20x x a -+=，由222422(())()()2f f x f x a x a a x ax a a x =+=++=+++=、得42220x ax x a a +-++=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式2x x a -+，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22()(1)0x x a x x a -++++=，因为()f x 与(())f f x 均恰有两个不动点，所以①12140,144340a a a ∆=->∆=--=--<或②1140a ∆=->且20x x a -+=和210x x a +++=有同根，由①得3144a -<<，②中两方程相减得210x +=，所以12x =-，故34a =-，综上，a 的取值范围是31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】（3）设()f x 的不动点为,a b ，(())f f x 的不动点为a b c d ,,,，所以(),(),(),()f a a f b b f c c f d d ==≠≠，设()(())h x f f x =，则()(())h c f f c c ==，所以(())((())()h f c f f f c f c ==，所以()f c 是()(())h x f f x =的不动点，同理，()f d 也是()(())h x f f x =的不动点，只能(),()f c d f d c ==，假设存在()(())f x g g x =，则()()g a a g b b =⎧⎨=⎩或()()g a bg b a =⎧⎨=⎩，因为()y f x =过点(,),(,)c d d c ，所以(),()g c c g d d ≠≠，否则()(())()f c g g c g c c ===矛盾，且(),()g c d g d c ≠≠，否则()(())()f c g g c g d d ===，所以一定存在(),(),(),()g c t g t d g d s g s c ====，,S t 与cd 均不同，所以((())g g g t t =，所以(())f f t t =，所以(())f f x 有另外不动点，矛盾，故不存在函数()g x 满足()(())f x g g x =．。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学一、填空题（本题满分40分，每题4分，共10题）1. 函数的定义域是_________ ．y =【答案】()1,-+∞【解析】【详解】试题分析：函数满足，即函数定义域为10x +>()1,-+∞考点：求函数定义域2. 已知幂函数的图象过点，则______.()y f x=(()3f =【解析】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值．()y f x =()3f 【详解】由题意设， ()y f x x α==∵函数的图象过点，()y fx =(∴， 1222α==∴， 12α=∴，()12f x x =∴．()1233f ==【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题．3. 已知函数的两个零点分别为，则___________. ()21f x x x =+-12,x x 221212x x x x +=【答案】1【解析】【分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；210x x +-=1x 2x 【详解】解：依题意令，即，()0f x =210x x +-=所以方程有两个不相等实数根、，210x x +-=1x 2x 所以，，121x x +=-121x x ⋅=-所以； ()()2212121212111x x x x x x x x +=+--=⨯=故答案为：14. 已知函数是奇函数，则实数______． ()22f x ax x =+a =【答案】0【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数为奇函数，()f x ∴，()()f x f x -=-即，2222ax x ax x -=--整理得在R 上恒成立，20ax =∴．0a =故答案为．0也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．5. 若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-a 【答案】 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题知，再解不等式组即可得答案. 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-所以，即，解得, 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩0105a a >⎧⎪⎨<≤⎪⎩105a <≤所以，实数的取值范围是 a 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为： 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦6. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形60cm 20cm 18cm 的中心角的弧度数为____________．【答案】209【解析】 【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心α9cm OC =角的弧度数.【详解】解：如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为AB 60cm CD 20cm α则，则，即． A A ,AB OA CD OC αα=⋅=⋅60320OA OC ==3OA OC =因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数． 18cm AC =9cm OC =A 209CD OC α==故答案为：. 2097. 已知函数，且，那么=_________. 331()5f x ax bx x =+--(2)2f -=(2)f 【答案】-12【解析】【分析】代入，整体代换求值即可.2,2x x =-=【详解】由题意，，即， 33)(21(2)(2(2)52)f a b -=+--⨯--=-3317222a b +⨯-⨯=-故, 331(2)22575122f a b =+⨯--=--=-故答案为：-128. 已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的()14f x x x =+-x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 取值范围为________．【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可. ()2max 2m f x m ≥-+【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12y x x =+≥1x =因为当时，； 16x =1137666y x x =+=+=当时， 3x =1133y x x =+=+=所以，根据对勾函数性质，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11342,6y x x ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦所以，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()11340,6f x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦因为关于的不等式在区间上总有解， x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，， 21326m m -+≤m ≤≤所以，实数的取值范围为 m故答案为：9. 已知函数，函数，如果恰好有两个零点，()22,2()2,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()(2)g x b f x =--()()y f x g x =-则实数的取值范围是________．b 【答案】7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形()()y f x g x =-()()(2)h x f x f x =+-()h x 结合进行求解即可.【详解】，()(2)g x b f x =-- ，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-由，()(2)0f x b f x -+-=得，()(2)b f x f x =+-设，()()(2)h x f x f x =+-若，则，，0x ≤0x -≥22x -≥则，2()()(2)2h x f x f x x =+-=++若，则，，02x <≤20x -≤-<022x ≤-<则，()()(2)2222222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=若，则，，2x >2x -<-20x -<则， 22()()(2)(2)2258h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+即，222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ⎧++≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩作出的图象如图，()h x当时，， 0x ≤22177()2()244h x x x x =++=++≥当时，， 2x >22577()58()244h x x x x =-+=-+≥由图象知要使有两个零点，即有四个根，()()y f x g x =-()h x b =则满足或， 74b =2b >故答案为： 7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10. 设，，若存在，使得()1f x x =-4()g x x =-121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈12()()f x f x ++⋅⋅⋅+成立，则正整数的最大值为________1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++n 【答案】6【解析】【分析】由题设且上有，所以，使得()()3n n f x g x -≥1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈成立，只需即可，进1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-而求得正整数的最大值.n 【详解】由题意知：，使成121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-立，而当且仅当时等号成立， 4()()113n n n n f x g x x x -=-+≥-=12[,4]4n x =∈∴，而，即， ()()3(1)n n f x g x n -≥-1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为. 653(1)4n -≤7712n ≤n 6故答案为：. 6【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即1111()()...()()3(1)n n f x g x f x g x n ---++-≥-，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要()()3(1)n n f x g x n -≥-即可求最值.max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-二、选择题（本题满分16分，每题4分，共4题）11. 已知为实数，若，则是的（ ）a b 、2:0,:0ab a αβ=+=αβA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；0ab =1,0a b ==20a +=当，则，有，满足必要性；20a =0a b ==0ab =所以是的必要不充分条件．αβ故选:B ．12. 已知实数，，则的最小值为（ ） ,0,191a b a b >+=119a b +A. 100B. 300C. 800D. 400【答案】D【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等1919362b a a b++号成立的条件.【详解】由， ,0,191a b a b >+=∴，当且仅当时等号成1191191919()(19)362362400b a a b a b a b a b +=++=++≥+=a b =立. ∴的最小值为400. 119a b+故选：D13. 设函数的定义域为，对于下列命题：()f x R ①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最小值；M x ∈R ()f x M ≥M ()f x ②若函数有最小值，则存在唯一的，使得对任意，有；()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥③若函数有最小值，则至少存在一个，使得对任意，有； ()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥④若是函数的最小值，则存在，使得．()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥则下列为真命题的选项是（ ）A. ①②都正确B. ①③都错误C. ③正确④错误D. ②错误④正确 【答案】D【解析】【分析】根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于①，不一定是函数的函数值，所以可能的最小值大于，故错误； M ()f x ()f x M 对于②，函数有最小值，则可能存在若干个，使得对任意，有，故错()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥误；对于③，函数有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个，使得对任意，有()f x 0R x ∈x ∈R ，故正确；()()0f x f x ≥对于④，若是函数的最小值，则存在，使得，故错误；.()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥故真命题的选项是②错误④正确.14. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-1a >129x x +范围是（） A.B. C. D. [)6,+∞()6,+∞[)10,+∞()10,+∞【答案】D【解析】【分析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数1x 2x 1x a x =1log a x x =1x 2x 与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为1y x =x y a =log a y x =101x <<21x >x y a =log a y x =反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为121x x ⋅=12x x +129x x +,即可得解.1228x x x ++【详解】因为,分别是函数和的零点 1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-则,分别是和的解 1x 2x 1x a x =1log a x x=所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标1x 2x 1y x =x y a =log a y x =所以交点分别为 121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以,101x <<21x >由于函数与函数和函数都关于对称1y x =x y a =log a y x =y x =所以点与点关于对称A B y x =因为关于对称的点坐标为 111,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以 121x x =即,且121x x ⋅=12x x ≠所以129x x +1228x x x =++28x ≥+,由于,所以不能取等号228x >+12x x ≠因为21x >所以2282810x +>+=即()12910,x x +∈+∞故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.三、解答题（本题满分44分，共4题）15. 已知．sin 2cos αα=（1）求的值； πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求的值． ()2i 2n sin 1s πcos ααα+-【答案】（1）3-（2） 132【解析】【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可；tan 2α=（2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可.【小问1详解】解：由知，sin 2cos αα=tan 2α=所以， πtan 121tan 341tan 12ααα++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭【小问2详解】解：由知；sin 2cos αα=tan 2α=所以. ()22222213sin πcos s s sin 13sin co 3t in cos t 1an an ααααααααα+++===-16. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元满足（k 为常数），如果(0)m ≥41k x m =-+不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） 816x x+（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） 1636(0)1y m m m =--≥+（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值. 16(1)1m m +++16361m m --+【小问1详解】由题意知，当时，（万件），0m =2x =则，解得，∴． 24k =-2k =241x m =-+所以每件产品的销售价格为（元）， 8161.5x x +⨯∴2020年的利润． 816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+【小问2详解】∵当时，， 0m ≥10m +>∴， 16(1)81m m ++≥=+当且仅当即时等号成立． 16(1)1m m =++3m =∴，83729y ≤-+=即万元时，（万元）．3m =max 29=y 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．17. 已知函数.()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠（1）当时，求不等式的解集；2a =()3f x <（2）当时，设，且，求（用表示）；10a =()()1g x f x =-(3),(4)==g m g n 6log 45,m n （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存k 22(1)lg()+>g x kx []3,5在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.k 【答案】（1）；（2）；（3）存在，3. 37,22⎛⎫⎪⎝⎭21m n m n +-+【解析】【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果；2a =2log (23)2x -<（2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果； lg3,lg5m n ==（3）依题意得在区间上有解； 令，则，因此()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <求得的最大值即可求得结果.()h x 【详解】（1）当时，2a =()()2log 2313f x x =-+<故 ，所以不等式的解集为； 0234x <-<()3f x <37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）当时，，10a =()()()1lg 23g x f x x =-=-， ()()3lg3,4lg5m g n g ∴====. 6lg45lg9lg52log 45lg6lg3lg21m n m n ++∴===+-+（3）在（2）的条件下，不等式化为， ()()221lg g x kx +>()()22lg 21lg x kx ->即在区间上有解. 令，则，()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <，， ()()2222112x h x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭111,53⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，又是正整数，故的最大值为3. ()()max 81525k h x h ∴<==k k18. 若函数对定义域内的任意x 都满足，则称具有性质． ()f x ()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭()f x M （1）判断是否具有性质M ，并证明在上是严格减函数； ()1f x x x=+()f x ()0,1（2）已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左()ln g x x =()1,0A ()0y t t =>()g x B C 、B 边），验证函数具有性质并证明；()g x M AB AC <（3）已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为()1h x x x=-m n k ，，()h x [],m n ，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．[],km kn k 【答案】（1）具有，证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据具有性质的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可；M （2）根据具有性质的定义判断即可，再根据得，进而根据两点间的距离公式M |ln |x t =,e e t t C B x x -==作差法比较即可；（3）根据题意，分或，结合函数单调性讨论求解即可.01m n <<<1m n <<【小问1详解】 解：因为，所以函数具有性质， ()11111f x f x xx x x⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭()f x M 任取，1201x x <<<则， 121212121212121211111()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，1201x x <<<121210,0x x x x >>-<所以，即，12())0(f x f x ->12()()f x f x >所以，在区间上单调递减.()f x ()0,1【小问2详解】 解：因为，所以具有性质， 11ln ln ln ()g x x g x x x ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭()g x M由性质得或，解得或，|ln |x t =ln x t =-ln x t =e t x -=e =t x 因为，，所以，0t >e e t t -<,e e t t C B x x -==所以，||AB ==||AC ==所以，2222||||(1e )(1e )2(e e )(e e )t t t t t t AB AC ---⎡⎤-=---=-+-⎣⎦当，，当且仅当时取等号，且， ()0,x ∈+∞1()2f x x x =+≥1x =10e 1e et t t -<=<<所以，2(e e )0,e e 0t t t t ---+<->所以，即.22||||2(e e )(e e )0t t t t AB AC --⎡⎤-=-+-<⎣⎦AB AC <【小问3详解】解：注意到，由于均为正整数，(1)0h =,,m n k 所以，要使存在正数，当的定义域为时，其值域为，则或m n k ，，()h x [],m n [],km kn 01m n <<<，1m n <<当，01m n <<<因为为单调递减函数， 1101,()||x h x x x x x<<=-=-所以，其值域为，((),())h n h m 所以，(),()h n km h m kn ==所以，即，整理得，即，与定义域为矛盾； ()()h n m h m n =11n m nn mm -=-2211n m -=-m n =[],m n 当时，1m n <<因为为增函数， 111,()||x h x x x x x>=-=-所以，其值域为， ((),())h m h n 所以，即 (),()h m km h n kn ==11,m km n kn m n-=-=所以，即，与定义域为矛盾； 22221(1)1,(1)1,1k m k n m n k -=-===-m n =[],m n 综上，不存在正数满足条件.m n k ，，【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合函数，均为正整数得到(1)0h =,,m n k或，进而分类讨论求解即可. 01m n <<<1m n <<。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．函数的定义域是________.2()log (3)f x x =-【答案】(3,)+∞【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，则x ﹣3＞0，即x ＞3，故函数的定义域为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，正确判断函数成立的条件是解决此类问题的关键． 2．不等式的解集为__________. 21x x ≥-【答案】{}12x x <≤【分析】利用分式不等式的解法求解即可.【详解】因为， 21x x ≥-所以，则，即，故， 201x x -≥-()2101x x x --≥-201x x -+≥-201x x -≤-所以，解得，故，()()21010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩121x x ≤≤⎧⎨≠⎩12x <≤所以的解集为. 21x x ≥-{}12x x <≤故答案为：.{}12x x <≤3．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭()f x x α=()0,∞+__________.α=【答案】-1【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函()f x x α=()0,∞+0α<()f x x α=数即可得答案.【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，()f x x α=()0,∞+所以，0α<所以， 12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为幂函数奇函数，且， ()f x x α=12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭所以，1α=-故答案为：-14．已知角的终边经过点，则___________.α(1,3)P -tan α=【答案】3-【分析】根据正切函数定义计算【详解】由题意． 3tan 31α==--故答案为：．3-5．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________. cm 2π10cm 2cm 【答案】## 52π5π2【分析】由扇形面积公式可直接求得结果. 【详解】扇形面积. 115102222S lr ππ==⨯⨯=故答案为：. 52π6．若，则________． 1sin cos 5αα+=sin 2α=【答案】 2425-【分析】直接将两边平方，结合二倍角公式计算可得； 1sin cos 5αα+=【详解】解：因为，所以，即1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=221sin +2sin cos cos 25αααα+=，即，所以 11+sin 225α=24sin 225α=-故答案为： 2425-7．方程的两个实根分别为，则__________.（结果表示成含20(0)x x m m +-=>12,x x 221212x x x x +=m的表达式）【答案】m 【分析】根据韦达定理运算求解.【详解】∵方程的两个实根分别为，则当时恒成立，可20(0)x x m m +-=>12,x x 140m ∆=+>0m >得， 12121x x x x m +=-⎧⎨=-⎩∴.()()22121212121x x x x x x x x m m +=+=-⨯-=故答案为：.m8．方程的解为______.()lg 21lg 1x x ++=【答案】2.【解析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩【详解】方程等价于，()lg 21lg 1x x ++=()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩所以，解得.()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩2x =故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9．函数的值域是_______. 121xy =+【答案】(0,1)【分析】由函数解析式导出，利用指数式的有界性，，即可求解y 的取值范围，即为值域. 12x y y-=【详解】由函数解析式，， 121,2x x y y y y-+=∴=，解得 120,0x y y->∴> 01y <<则值域为，(0,1)故答案为：(0,1)【点睛】指数函数，值域为，即恒成立.2x y =(0,)+∞20x >10．如果对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是____________.19x x a +++>【答案】(),8∞-【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a 的取值范围.19x x +++【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a 的取值()19198x x x x +++≥+-+=91x -≤≤-8a <范围是.(),8∞-故答案为：(),8∞-11．已知函数，若，且，则的取值范围是______．()ln f x x =0a b <<()()f a f b =2+a b【答案】()3,+∞【分析】由，可得，，得，所以()()f a f b =0a b <<01,1a b <<>ln ln a b -=1b a =22a b a a+=+，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围 2()(01)g x x x x=+<<【详解】的图象如图，()ln f x x =因为，()()f a f b =所以，ln ln a b =因为，0a b <<所以，，ln 0a <ln 0b >所以，01,1a b <<>所以，ln ln ,ln ln a a b b =-=所以，所以，ln ln a b -=ln ln ln()0a b ab +==所以，则， 1ab =1b a =所以， 22a b a a+=+令，则， 2()(01)g x x x x =+<<22()1x g x x x'-=-=当时，，01x <<()0g x '<所以在上递减，()g x (0,1)所以，()(1)123g x g >=+=所以，23+>a b 所以的取值范围为，2+a b ()3,+∞故答案为：()3,+∞12．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M ､m ，()()221202120211-++-=+x xx f x x []2022,2022-则___________.M m +=【答案】2【分析】，令()()221202120211-++-=+x xx f x x 220212021112x x x x -+-=++，易得函数为奇函数，则，从()[]220212021,202222,2021x xg x x x x -+-=∈-+()g x ()()max min g x g x =-而可得出答案.【详解】解：()()221202120211-++-=+x x x f x x 2220212021121x xx x x -+=++-+， 220212021112x xx x -+-=++令， ()[]220212021,202222,2021x xg x x x x -+-=∈-+因为， ()()22021202121x xg x g x x x -+---==-+所以函数为奇函数，()g x 所以，即，()()max min g x g x =-()()max min 0g x g x +=所以，()()()()max min max min 112f x f x g x g x +=+++=即.2M m +=故答案为：2.二、单选题13．已知，，都是实数，则“”是“”的（ ）a b c a b <22ac bc <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当时，若时不成立；a b <0c =22ac bc <当时，则必有成立，22ac bc <a b <∴“”是“”的必要不充分条件.a b <22ac bc <故选：B14．下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）A ．和y =2y =B ．和1y =0y x =C ．和y x =y =D ．和2log a y x =2log a y x =【答案】C【分析】如果函数的三要素中有一个不同，则两个函数不同；判断两个函数相同，需要判断定义域、对应关系相同.【详解】选项A ，函数的定义域为R ，定义域为，所以两个函数不同； y 2y =[)0+∞，选项A ，函数的定义域为R ，定义域为，所以两个函数不同；1y =0y x ={}|0x x ≠选项C ，因为，定义域都为R ，所以函数和y x ==y x =y =选项D ，函数的定义域为，定义域为，所以两个函数不同. 2log a y x ={}|0x x ≠2log a y x ={}|0x x >故选：C.15．函数的图像的对称性为（ ） 412x x y +=A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线对称y x =【答案】B 【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【详解】解：因为，所以， 4141()22222x x x x x x x f x -+==+=+()222(2)x x x x f x f x ---=+=+=所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．()f x y 故选：．B 16．若，则函数的两个零点分别位于区间 a b c <<()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--A ．和内B ．和内 (,)a b (,)b c (,)a -∞(,)a bC ．和内D ．和内(,)b c (,)c +∞(,)a -∞(,)c +∞【答案】A【详解】试题分析：，所以有零点，排除B ，D()()()()()()0,0f b b c b a f c c a c b =--=--(,)b c选项.当时，恒成立，没有零点，排除C ，故选A.另外，也可x c >()0f x >()()()0f a a b a c =-->知内有零点.(,)a b 【解析】零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是(,)a b (,)c a b ∈方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以[],ab·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.[],a b三、解答题17．已知集合. {}{}24(0),230A xx a a B x x x =-≥>=--<∣∣(1)若，求；3a =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围. B A ⊆a 【答案】(1) {}13xx <<∣(2)01a <≤【分析】（1）由不等式的解法，结合集合的运算求解即可；（2）由集合的包含关系得出实数的取值范围.a 【详解】（1）或，. {}{437A xx x x =-≥=≥∣∣}1x ≤{}{}223013B x x x x x =--<=-<<∣∣因为，所以. {}17A xx =<<∣{}13A B x x ⋂=<<∣（2）或，因为，， {}{4|4A x x a x x a =-≥=≥+∣}4x a ≤-B A ⊆443a +>>所以，即. 430a a -≥⎧⎨>⎩01a <≤18．（1）化简：.()()()()π3πcos πcos cos 2πsin 22sin πcos παααααα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-（2）已知，且在同一象限，求的值. 31sin ,cos 52αβ==-,αβ()cos αβ+【答案】（1）0；（2【分析】（1）根据诱导公式化简整理；（2）先根据三角函数值判断所在象限，进而利用平方,αβ关系可求，代入两角和的余弦公式运算求值.cos ,sin αβ【详解】（1）()()()()()()()π3πcos πcos cos 2πsin cos sin cos cos 22cos cos 0sin πcos πsin cos αααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+=+=-+=+---.（2）∵，且在同一象限，则为第二象限角， 31sin 0,cos 052αβ=>=-<,αβ,αβ∴，4cos =,sin 5αβ=-==故. ()413cos cos cos sin sin 525αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震I 级度量可定义为； r 2lg 23r I =+(1)若，求相应的震级；（结果精确到0.1级）61.210I =⨯(2)中国地震台网测定：2021年11月17日13时54分在江苏省盐城市大丰区海域发生5.0地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川8.0级地震的相对能量是大丰区8.0I 海域5.0级地震相对能量的多少倍？（结果精确到个位）5.0I 【答案】(1)6.1(2)31623【分析】（1）由里氏震级度量公式计算即可；（2）由公式解出，再代入数值计算即可. 2lg 23r I =+I 【详解】（1）当时，61.210I =⨯则有. 6222lg()2(lg125)2(1.085)2 6.11.213330r =+=++≈++=⨯所以相应的震级为级. 6.1（2）由，可得， 2lg 23r I =+36210r I -=所以. 3869928.0235695.022101010316231010I I ⨯-⨯-===≈所以汶川8.0级地震的相对能量是大丰区海域5.0级地震相对能量的倍.8.0I 5.0I 3162320．已知二次函数，．2()1=++f x x ax [1,2]x ∈-（1）如果函数单调递减，求实数的取值范围；()f x a （2）当时，求的最大值和最小值，并指出此时x 的取值；1a =()f x （3）求的最小值，并表示为关于a 的函数．()f x ()H a 【答案】（1）；（2）当时，，当时，；（3）(]4--∞，12x =-min 3()4f x =2x =max ()7f x =()H a =． 22,21,42452,4a a a a a a -≥⎧⎪⎪--<<⎨⎪⎪+≤-⎩【分析】（1）根据函数开口向上，对称轴为，进而结合题意得：，解不等式即可得2a x =-22a -≥答案；（2）由题知，进而根据二次函数性质即可得答案； 2213()124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭（2）根据题意，分，，三种情况讨论函数单调性求解最小值即可.4a ≤-42a -<<2a ≥【详解】解：（1）因为函数开口向上，对称轴为， 2()1=++f x x ax 2a x =-若函数在上单调递减，则，解得：. ()f x [1,2]x ∈-22a -≥4a ≤-故当函数单调递减，实数的取值范围是：. ()f x a (]4--∞，（2）当时，， 1a =2213()124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得最小值. 12x =-()f x min 3()4f x =当时，函数取得最大值.2x =()f x max ()7f x =（3）因为函数开口向上，对称轴为， 2()1=++f x x ax 2a x =-所以当，即：时，函数在上为单调递减函数，故22a -≥4a ≤-()f x [1,2]-；()()()min 225H a f x f a ===+当，即：时，函数在上为单调递增函数，故12a -≤-2a ≥()f x [1,2]-()()()min 12H a f x f a ==-=-；当，即时，函数在上为单调递减函数，在上为单调递增122a -<-<42a -<<()f x 1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦函数，故； ()()2min 124a a H a f x f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭综上，. ()H a =22,21,42452,4a a a a a a -≥⎧⎪⎪--<<⎨⎪⎪+≤-⎩【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值和单调性问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题第三问解题的关键在于由二次函数的单调性分，，三种情况讨4a ≤-42a -<<2a ≥论求解.21．设. 21()21x x f x -=+（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；()y f x =（2）求证：函数在R 上是严格增函数；()y f x =（3）若，求t 的取值范围.()2(1)10f t f t -+-<【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或．1t >2t <-【分析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用（1）（2）的结论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：()y f x =的定义域为，关于原点对称， 21()21x x f x -=+(,)∞∞-+ ()()2212112()()2112221x x x xx xx x f x f x --------====-+++∴为奇函数；()y f x =（2）证明：任取，且12,x x R ∈12x x < 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++ ()()()()()1212212212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---=-= ⎪++++++⎝⎭∵，12x x <∴，，， 21220x x >>12220x x -<2210x +>1210x +>第 11 页 共 11 页∴，即 ()()120f x f x -<()()12f x f x <∴函数在R 上是严格增函数()y f x =（2）∵在R 上是奇函数且严格增函数，()y f x =所以()()()2222(1)10(1)1111f t f t f t f t f t t t -+-<⇔-<--=-⇔-<-220t t ⇔+->，解得或 (2)(1)0t t ⇔+->1t >2t <-所以t 的取值范围是或．1t >2t <-。
2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末考试数学试卷带讲解
【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数 的取值集合.
【详解】解：因为幂函数 ，所以 ，
解得 或 ，
幂函数 的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以 ，即 ，
所以 或 均符合题意，则实数 的取值集合是 .
故答案为： .
7.不等式 的解为______.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质确定幂函数 的奇偶性与单调性即可解不等式.
A.若 ，则函数 的图象关于原点对称
B.若 ， ，则方程 有大于2的实根
C.若 ， ，则方程 有两个实根
D.若 ， ，则方程 有三个实根
【答案】B
【分析】A.取 ， 判断；B.由 ， 仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上下平移判断；C.取 ， 判断；D.取 ， 判断.
【详解】A.若 ， ，则函数 不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；
（3）根据保序同构函数的定义可知 为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
假设存在一个从集合 到集合 的“保序同构函数”，
由“保序同构函数”的定义可知，集合 和集合 中的元素必须是一一对应的，
不妨设整数0和1在 中的像分别为 和 ，
根据保序性，因为 ，
所以 ，
又 也是有理数，但是 没有确定的原像，
因为0和1之间没有另外的整数了，
故假设不成立，故不存在从集合 到集合 的“保序同构函数”；
（1）写出服药后 与 之间的函数关系式 ；
（2）进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于 毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
【答案】代入函数 的解析式，求出 的值，将点 的坐标代入函数 的解析式，由此可得出函数 的解析式；
上海某重点中学2011-2012学年高一上学期期末考试数学试题
上海市某重点高中2021-2021学年度第一学期高一数学期终试卷 〔总分值100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上〕一．填空题：1．命题“假设a ＞b ，那么33a b >〞的逆命题是 ． 2．集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且,R =B A 那么实数a 的取值范围是 ．3．不等式2|12|≥+x 的解为 ．⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x D 01)(，令)1()(+=x D x F ，那么）)((x D F = ． xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，那么实数a= ． 6．假设函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的反函数的图像过点)1,2(-，那么a= ．)2lg(2--x x =)6lg(2x x --的解为 ．2)1(22+-+=x a x y 在区间(]4-，∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是 ．)(22)(22R x x x x f ∈-+=的最小值是 ．k x x f --=1||1)(只有一个零点，那么实数k= ． 11.()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 〔a ＞0，1a ≠〕是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是 。
210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立，那么实数k 的取值范围是 ．13．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，那么当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为_______________．x x f 241)(-=的图像关于点P 对称，那么点P 的坐标是 ． 二．选择题：15．以下函数中，与函数1y x= 有一样定义域的是 ( ) 〔A 〕2()log f x x = 〔B 〕1()f x x=〔C 〕 ()||f x x = 〔D 〕()2x f x = 16．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，那么1()4f 的值为 ( ) 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕417．“2=a 〞是函数||)(a x x f -=在[)∞+，2上为增函数的 ( ) 〔A 〕充分非必要条件 〔B 〕必要非充分条件〔C 〕充要条件 〔D 〕既非充分也非必要条件18．定义区间(,)c d ，[,)c d ，(,]c d ，[,]c d 的长度均为()d c d c ->.实数a b >，那么满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 ( ) 〔A 〕a-b〔B 〕a+b 〔C 〕2 〔D 〕4三．解答题： 19．设函数()()26f x ln x x =--的定义域为集合A ，集合51B x x ⎧=⎨+⎩＞1⎫⎬⎭． 请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为A B ⋂，并说明理由．20．设f(x)=xx a 2112+-⋅是R 上的奇函数． (1)求实数a 的值；(2)判定f(x)在R 上的单调性并加以证明．21.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业构造，调整出x 名员工从事第三产业，调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为)500310x a -（万元）（0>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（1）假设要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，那么最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在〔1〕的条件下，假设要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，那么a 的取值范围是多少？22.集合M={f(x)|在定义域内存在实数0x ，使得）（1)()1(00f x f x f +=+成立}. （1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由. （2）证明：函数M x x f x ∈+=22)(.（3）设函数M a x f x ∈+=12lg)(，求实数a 的取值范围.。
上海重点高中高一第一学期期末考试数学(带答案)
上海重点高中高一第一学期期末考试一 ：填空题（每小题3分，共42分）1 设函数 x x x f 1)(-=，x xx g 21)(-=,则=+)()(x g x f __________ 2 若函数)(x f 的定义域是[]42，，则函数)(2x f 的定义域是__________ 3 若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a __________ 4 函数822+--=x x y 的单调递减区间是__________5 已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，且)1()1(x f x f +=-，3)0(=f ，若)(x f 的最小值为2，则函数的解析式为__________6 幂函数t x y =的图像，当），（10∈x 时，在直线x y =上方，当），（∞+∈1x 时在直线x y =下方，则实数t 的取值范围是__________7 不等式1)1-2(2<x a 的解集为)0(，-∞，则实数a 的取值范围是__________8 函数)(x f 的定义域为R ，对于任意的R x ∈，有)1()3(x f x f --=+，那么函数)(x f 的图像关于点_________对称9 已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g __________10 已知函数m x f x -=--|1|2)( 的图像与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是_________ 11 化简6log 18log 3log 2626+=_________ 12 已知函数[]),(2)(2b a x x x x f ∈-= 的值域为[]3,1-，则a b -的取值范围是_________13 已知函数)(x f 是偶函数，并且对于定义域内任意的x ,满足)(1)2(x f x f -=+ ，若当32<<x 时，x x f =)(，则=)5.2015(f _________14 对于函数①1|2-x |)(+=x f ， ②2)2()(-=x x f ③21)(-=x x f 命题甲：)2(+x f 是个偶函数； 命题乙：)(x f 在)2(，-∞上是减函数，在),2(+∞上是增函数； 命题丙：)()2(x f x f -+在），（∞+∞-上是增函数，能使命题甲，乙，丙均为真的所有函数的序号是_________二 选择题（每题4分，共16分）15 设)(x f y =和)(x g y =是两个不同的幂函数，集合{})()(|x g x f x M ==，则集合中的元素个数是 （ ）A 1 或2或0B 1或2或3C 1或2或3或4D 0或1或2或316 已知函数⎩⎨⎧-+=2244)(xx x x x f 00<≥x x ， 若)()2(2a f a f >- ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ),2(1-+∞∞- ），（ B）（2,1- C )1,2(- D ),1()2,(+∞⋃--∞17 在R 上定义的函数)(x f 是奇函数,且)2()(x f x f -= ,若)(x f 在区间)2,1( 是减函数,则函数)(x f ( )A 在)1,2(--上增, 在)4,3(上增B 在)1,2(--上减,在(3,4)上减C 在(-2,-1)上减,在(3,4)上增D 在(-2,-1)上增,在(3,4)上减18 定义在R 的偶函数)(x f 满足:对任意的(]）（，，21210x x x x ≠∞-∈ ,有[]0)()()(1212>--x f x f x x ,则当*N n ∈ 时,有( )A )1()1()(+<-<-n f n f n fB )1()()1(+<-<-n f n f n fC )1()()1(-<-<+n f n f n fD )()1()1(n f n f n f -<-<+三 解答题19 (本题8分,每小题4分)已知)()(22Z k x x f k k∈=++- 满足)3()2(f f <（1)求k 的值 (2)是否存在正整数m ,使[]2,1,)12()(1)(-∈-+-=x x m x mf x g 为单调增函数?若存在,求出m 的范围,若不存在,说明理由.20 (本题满分8分,每小题4分) 已知函数xx xx x f --10101010)(+-= (1)求)(x f 的定义域并判断函数的奇偶性; (2)求)(x f 的值域21 (本题满分8分,每小题4分)定义域为R 的函数ab x f x x ++=+122-)(是奇函数. （1）求b a ,的值（2）若对任意的R t ∈, 不等式0)-2()2-(22<+k t f t t f 恒成立,求k 的取值范围22 (本题满分8分,每小题4分)（1）已知二次函数)(x f 满足1)2(-=f ,1)1(-=-f ,且)(x f 的最大值是8, 试确定此二次函数;（2）设函数22-)(2+=x ax x f ,对于满足41<<x 的一切x 值都有0)(>x f ,求实数a 的取值范围23 (本题10分,第(1)小题2分,第(2),(3)题各4分)函数x x f 2)(= 和 3)(x x g = 的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点)(11y x A ， ，)(22y x B ，且21x x <（1）请指出示意图中曲线1C ,2C 分别对应哪一个函数？（2）若[]1,1+∈a a x ，[]12+∈b b x ， ，且{}12118107654321,，，，，，，，，，∈b a ，指出b a ,的值，并说明理由 （3） 结合函数图像示意图，请把)6(),6(g f ，)2007(),2007(g f 四个数从小到大的顺序排列答案 1 )0(>-x x , 2[][]2,22,2 --, 321, 4 []2,1-, 52)1()(2+-=x x f ,610<<t ,7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,2222,1 , 8 ()0,2, 91-, 10 []1,0, 11 1, 12 []4,2, 13 52-, 14 2, 15 B, 16C, 17D, 18C, 19(1) 1,0==k k (2)不存在20 （1） 定义域为R 奇函数； （2）()11,)(-∈x f21 （1） 1,2==b a ，（2）1-<k 22 （1）744)(2++-=x x x f ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈210，a 23 （1）1C 对应3)(x x g =，2C 对应xx f 2)(=（2）91==b a ，（3）)2007()2007()6()6(f g g f <<<。
上海重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知，则______.（用表示）2log 3k =12log 9=k 【答案】 22k k+【分析】利用换底公式求解即可.【详解】因为， 2lg 3log 3lg 2k ==所以. 122lg 3lg 92lg 32lg 32lg 2log 9lg 3lg12lg 4lg 32lg 2lg 322lg 2k k=====++++故答案为： 22k k+2．函数的定义域为________.()ln(1)f x x =-【答案】.(1,2]【分析】使表达式有意义，直接解不等式组可得.【详解】由 得：，2010x x -≥⎧⎨->⎩12x <≤故答案为： (1,2]【点睛】此题考函数定义域的求法，属于简单题.3．已知函数（其中且）的图像恒过定点，则点的坐标是______.12x y a -=+0a >1a ≠P P 【答案】(1,3)【分析】令即可求出的横坐标，进而可求出的坐标.10x -=P P 【详解】令，此时，，此时，所以图象恒过.10x -=1x =101x a a -==()13f =()1,3P 故答案为: .(1,3)4．函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为231y x x=-+()01,2x ∈()1,20x ______. 【答案】 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据二分法的定义求解.【详解】设，则， 23()1f x x x =-+33(1)31130,(2)41022f f =-+=>=-+=-<取区间的中点为，， ()1,232393()210244f =-+=>所以可确定所在的区间为， 0x 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为: . 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．“”是“”的______条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充1a =222a x x +≥分也不必要”）【答案】充分不必要【分析】利用充分不必要判断即可【详解】当时，， 1a =222212a x x x x +=+≥=当且仅当时，取等号，所以充分性成立， 2211x x x =⇒=±由， 222a x x +≥=≥所以，故必要性不成立，1a ≥所以“”是“”的充分不必要条件， 1a =222a x x +≥故答案为：充分不必要6．已知幂函数的图像关于轴对称，则______. ()231m y m m x =--y m =【答案】2【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据函数图像关于轴对称求得的值.m y m 【详解】因为为幂函数， ()231m y m m x =--所以，221120m m m m --=⇒--=解得或，2m =1m =-当时，轴对称，符合题意.2m =23y x ==y当时，. 1m =-13y x -==所以的值为，m 2故答案为：2.7．若函数是定义在上的奇函数，则______. ()21x x x f x b =++[]12,a a -22a b +=【答案】1【分析】根据奇函数的性质得到和，再解方程即可. 120a a -+=2211x x x bx x bx -=--+++【详解】因为函数是定义在上的奇函数 ()21x x x f x b =++[]12,a a -所以，解得.120a a -+=1a =因为，()()f x f x -=-所以，解得. 2211x x x bx x bx -=--+++0b =所以.221a b +=故答案为：18．若是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________.()f x R 0x >()21-=+x f x 0x <()f x =【答案】##21x --12x --【分析】根据奇函数的定义进行求解即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，()f x R 所以当时，，0x <()()()2121x x f x f x =--=-+=--故答案为：21x --9．若函数，则实数取值范围是_________.()f x =[0,)+∞m 【答案】 1[0,2【解析】根据二次函数的图象和性质，当时，检验即可，当时，不成立，当 时，0m =0m <0m >利用判别式法求解.【详解】当时，，0m =()f x =[0,)+∞当 时，的值域不可能为，0m <()f x [0,)+∞当时， 解得， 0m >140m m ∆=-⨯⨯≥102m <≤综上：实数取值范围是， m 1[0,]2故答案为： 1[0,2【点睛】本题主要考查函数的值域以及二次函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为______. ()2,131,14x a x f x x x --⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩()1f ()f x a 【答案】()3,+∞【分析】由，求得的范围及最大值，再分析的单调性，讨论时函数1x ≥()f x ||()2x a f x -=1,1a a <≥在的范围建立不等式所求范围．()f x 1x <【详解】因为，()2,131,14x a x f x x x --⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩当时函数单调递减且， 1x ≥()314f x x =-+()14f x ≤由是函数的最大值，()1f ()f x 所以的最大值为， ()f x 14当时， 1x <()2112x a x a f ---⎛⎫⎪⎝⎭== 可得在时函数单调递减，在单调递增，x a >x a <若，，则，不符题意； 1a <1x <()11124a a f a -⎛⎫==> ⎪⎝⎭若，，则，即， 1a ≥1x <11(1)412a f -⎛⎫⎪⎝⎭=< 3a >综上可得的范围是．a ()3,+∞故答案为：()3,+∞11．若关于的不等式的解集为R ，则实数能取到的最小值为______.x 4433222x x a x x a +++--≥a 【答案】3 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出()43f x x =()2g x x a =+()(){}max ,1f x g x ≥，求出实数的最小值.21a -+≥a 【详解】设，，则不等式变为，()43f x x =()2g x x a =+()()()()2f x g x f x g x ++-≥若，则，()()f x g x ≥()()()()()22f x g x f x g x f x ++-=≥若，则，()()f x g x <()()()()()22f x g x g x f x g x ++-=≥即，，()(){}2max ,2f x g x ≥()(){}max ,1f x g x ≥作出的图象，实线部分即为，()(),f x g x ()(){}max ,f x g x 要想保证，只需最小值大于等于1，()(){}max ,1f x g x ≥由图可知：，故只需即可，即，解得：.()11f -=()11g -≥21a -+≥3a≥故答案为：312．已知函数，对于任意的，都存在，使得()322x f x =⋅+[]10,1x ∈[]20,1x ∈成立，则实数的取值范围为______. ()()123202f x f x m ++=m 【答案】 24log ,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据求出，进而得到，即，由[]10,1x ∈()[]15,8f x ∈()2810f x m ≤+≤[]23228,10x m +⨯+∈函数单调性得到，由题干条件得到21322322,322x m m m ++⎡⎤⨯+∈⨯+⨯+⎣⎦，列出不等式组，求出答案.[]18,10322,322m m +⎡⎤⊆⨯+⨯+⎣⎦【详解】，故，[]10,1x ∈()[][]132,3225,8f x ∈+⨯+=故，解得：， ()()[]123205,82f x f x m =-+∈()2810f x m ≤+≤即，[]23228,10x m +⨯+∈因为，所以， []20,1x ∈21322322,322x m m m ++⎡⎤⨯+∈⨯+⨯+⎣⎦要想保证对于任意的，都存在，使得成立， []10,1x ∈[]20,1x ∈()()123202f x f x m ++=需要满足， []18,10322,322m m +⎡⎤⊆⨯+⨯+⎣⎦所以，解得：， 1322832210m m +⎧⨯+≤⎨⨯+≥⎩214log 3m m ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩故. 24log ,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为： 24log ,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、单选题13．已知，，则下列不等式中正确的是（ ）a<01b <-A ．B ． 2a ab ab >>2ab ab a >>C ．D ．2ab a ab >>2ab ab a >>【答案】C【分析】利用不等式的性质求解.【详解】因为，所以所以，1b <-1,b >21b >所以，又因为，所以，21b b >>a<02ab a ab >>故选:C.14．函数的单调减区间为（ ） ()()20.5log 815f x x x =-+-A ．B ．C ．D ．(),4-∞()4,+∞()3,4()4,5【答案】C 【分析】令，求出原函数定义域后，分别讨论函数与2815t x x =-+-()0.5log f x t =2815t x x =-+-，的单调性，再通过复合函数同增异减得出答案.()3,5x ∈【详解】函数定义域为，()()20.5log 815f x x x =-+-()3,5x ∈令，，则，2815t x x =-+-()3,5x ∈()05.log f t t =函数在定义域上为单调减函数，()05.log f t t =函数，，在上单调递增，在上单调递减，2815t x x =-+-()3,5x ∈()3,4()4,5则函数在上单调递减，在上单调递增，()()20.5log 815f x x x =-+-()3,4()4,5故选：C.15．设，，且，则的最小值为（ ） x ()0,y ∈+∞41x y +=11x y+A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】因为， ()911511445y x x x y y y x y x ⎛⎫+=++ =++≥+⎪⎝⎭=当且仅当，即，即时取得等号， 4y x x y =2x y =11,36x y ==故选:D.16．已知下列五个命题：①若为减函数，则为增函数；②若为增函数，则函数()f x ()f x -()f x 在其定义域内为减函数；③函数，在区间上都是奇函数，则()()1g x f x =()f x ()g x [],a a -在区间是偶函数；④一条曲线和直线的公共点个数是，()()f x g x [],a a -22y x =-()y a a =∈R m 则的值不可能是1；⑤函数的图像关于直线对称.其中真命题个数的是（ ） m ()11f x x =-1x =A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】根据函数的单调性，奇偶性，对称性等性质分别对五个命题进行分析判断从而得出结论.【详解】①任设定义域内的两个变量 , 若为减函数，则, 所以 12,x x ()f x ()()12f x f x -<-()f x -为增函数, 所以①正确.②因为 在其定义域内要求分母不为零, 所以若为增函数, 设 , 因为 1()()g x f x =()f x ()f x x =, 根据分式函数的性质可知, 无意义, 所以②错误.(0)0f =(0)g ③若在区间 上都是奇函数, 则 , 所以(),()f x g x [,]a a -()(),()()f x f x g x g x -=--=-, 所以 在区间 是偶函数, 所以③正确.()()()()f x g x f x g x --=()()f x g x ⋅[,]a a -④函数的图像如图，和直线的公共点个数是，则的值可能为2，3，22y x =-()y a a =∈R m m 4，不可能是1，所以④正确.⑤函数,则有，，由于，()11f x x =-()10101f ==--()12121f ==-(0)(2)f f ¹则函数的图像不关于直线对称.所以⑤错误. ()11f x x =-1x =故正确的是①③④.故选：B.【点睛】本题考查的函数的单调性，奇偶性，对称性等性质以及函数的零点，注重数形结合，函数与方程思想，属于较难题.三、解答题17．已知全集，集合，.U =R {}|3381x A x =<<{}|323B x m x m =-<<+(1)若，求；0m =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围.A B B ⋃=m 【答案】(1){}|34A B x x ⋂=≤<(2) 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据集合的运算性质求解即可.（2）首先根据题意得到，再根据包含关系得到，解不等式组即可. A B ⊆23431m m +≥⎧⎨-≤⎩【详解】（1）当时，0m =，{}{}{}4|3381|333|14x x A x x x x =<<=<<=<<，或，{}3|3B x x =-<<{|3B x x =≤-}3x ≥则.{}|34A B x x ⋂=≤<（2）因为，，{}|14A x x =<<{}|323B x m x m =-<<+因为，所以，A B B ⋃=A B ⊆所以. 23414312m m m +≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩故的取值范围为. m 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．已知函数的表达式为. ()y f x =()22f x x x=+(1)用定义证明函数在上是严格增函数；()y f x =()1,+∞(2)设函数，，求的值域.()()21g x f x =+[]0,2x ∈()g x 【答案】(1)证明见解析(2) 1273,5⎡⎤⎢⎣⎦【分析】(1)根据函数单调性的定义证明；(2)根据函数的单调性求最值，即可求值域.【详解】（1）()1212,1,,,x x x x ∀∈+∞< ()22211212121212122()22()()()x x f x f x x x x x x x x x x x --=+--=+-+， 1212122()()x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦因为所以()1212,1,,,x x x x ∈+∞<1212120,2,1,x x x x x x -<+>>所以，所以， 1222x x <12122()0x x x x +->所以，所以， 1212122()()0x x x x x x ⎡⎤-+-<⎢⎥⎣⎦()12()f x f x <所以函数在上是严格增函数.()y f x =()1,+∞（2）设，因为，所以，21t x =+[]0,2x ∈[]1,5t ∈由(1)得单调递增， ()[]21,52,f t tt t +∈=所以，即， ()(1)(5)f f t f ≤≤()12735f t ≤≤所以的值域为. ()()21g x f x =+1273,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数，.()22f x x x m =-++m R ∈(1)当时，解不等式；1m =()4f x ≤(2)若存在实数，使得不等式，求实数的取值范围.0x ()0023x f x -+<m 【答案】(1)[]1,1-(2)91m -<< 【分析】（1）分类讨论求解不等式组即可得到答案.（2）首先将题意转化为存在实数，使得不等式有解，再利用绝对值三角不0x 002423x x m -++<等式求解即可.【详解】（1）由题知：，()221f x x x =-++， ()()111222214x x x x ⎧<-⎪⇒-≤<-⎨⎪---+≤⎩， ()()1211222214x x x x ⎧-≤<⎪⇒-≤≤⎨⎪--++≤⎩， 22214x x x ≥⎧⇒∅⎨-++≤⎩综上：所求不等式解集为.{|11}x x -≤≤（2）存在实数，使得不等式，0x ()0023x f x -+<即存在实数，使得不等式有解， 0x 002423x x m -++<因为时取等()()000000002424224224,4220x x m x x m x x m m x x m -++=-++≥-++=+-+≥号， 所以，解得，即.45m +<45m -5<+<91m -<<20．已知函数. ()1lg 1x f x x+=-(1)判断并证明的奇偶性；()f x (2)判断并证明的单调性：()f x (3)求解不等式.()()()lg 20f f x f +>【答案】(1)奇函数 (2)单调递增(3) 19,311⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)根据奇偶性的定义判断证明；(2)根据单调性的定义结合复合函数的单调性证明；(3)根据函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】（1）判断为奇函数，证明如下，()f x 令得解得， 101x x+>-(1)(1)0x x +->11x -<<所以的定义域为，()f x ()1,1-又因为， ()1111lg lg lg ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭所以为奇函数.()f x（2）判断为增函数，证明如下，()f x 因为， ()1(1)22lglg lg(1)111x x f x x x x +--+===----设， 2()11g x x=--，1212,(1,1),x x x x ∀∈-<， ()()121212122()22()()111111x x g x g x x x x x --=--+=----因为，所以，1212,(1,1),x x x x ∈-<121210,10,0x x x x ->->-<所以，即，12()()0g x g x -<12()()<g x g x 所以在单调递增， 2()11g x x=--()1,1-又因为函数单调递增，lg y x =所以函数在单调递增. ()1lg 1x f x x+=-()1,1-（3）由可得，()()()lg 20f f x f +>()()()lg 2f f x f >-由（1）知为奇函数，所以，()f x ()()()lg 2f f x f >-则有， ()()1lg 2f f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭又因为为增函数，()f x 所以，即，也即， 1()111lg 12111()lg 2f x x f x -<<⎧⎪⎪-<<⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩11lg 1111lg 121111lg lg 12x x x x x+⎧-<<⎪-⎪⎪-<<⎪⎨⎪-<<⎪+⎪>⎪-⎩111010111lg 12111112x x x x x +⎧<<⎪-⎪⎪-<<⎪⎨⎪-<<⎪+⎪>⎪-⎩解得，所以原不等式的解集为. 19311x -<<19,311⎛⎫- ⎪⎝⎭21．已知函数在时有最大值和最小值，设. ()()22,0f x ax ax b a b =-+≥[]1,3x ∈40()()f x g x x=(1)求实数，的值；a b (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；()22log log 0g x k x -≤[]4,8x ∈k (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. x ()22131021x x m g m -+-+=-m 【答案】(1)，1a =1b =(2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)()1,+∞【分析】（1）根据题意得，再根据二次函数单调性列方程求解即可；0a >（2）由题知在上恒成立，设，进而得2221log 2log 0log x k x x+--≤[]4,8x ∈2log t x =，在上恒成立，再求最值即可得答案； 2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭[]2,3t ∈（3）用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图()22131021x x m g m -+-+=-象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.m 【详解】（1）解：， ()()2221f x ax ax b a x b a =-+=-+-(),0a b ≥因为，当时，，为常函数，不满足题意；0a =()f x b =所以，，在上单调递增， 0a >()()21f x a x b a =-+-[]1,3x ∈因为函数在时有最大值和最小值，()()22,0f x ax ax b a b =-+≥[]1,3x ∈40所以，解得， ()()10334f b a f a b ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩1a b ==所以，.1a =1b =（2）解：由（1）知，， ()221f x x x =-+()()12f x g x x x x==+-因为不等式在上恒成立，()22log log 0g x k x -≤[]4,8x ∈所以在上恒成立， 2221log 2log 0log x k x x+--≤[]4,8x ∈设，则，2log t x =[]2,3t ∈所以，，在上恒成立， 120t kt t+--≤[]2,3t ∈所以，在上恒成立， 2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭[]2,3t ∈因为，所以， []2,3t ∈111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，当时，取得最大值，最大值为， 113t =211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭211394⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以， ，在上恒成立，则， 2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭[]2,3t ∈49k ≥所以的取值范围是.k 4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）解：方程等价于， ()22131021x x m g m -+-+=-122123102121x x x m m -+-+-+=--即，， ()()2211321120x x m m --+-++=210x -≠令，则方程化为，，21x t -=()()213120t m t m -+++=()0t ≠因为方程有三个不同的实数解， ()22131021x x m g m -+-+=-所以，画出的图像如下图所示，21x t =-所以，，有两个根､，且或，.()()213120t m t m -+++=()0t ≠1t 2t 1201t t <<<101t <<21t =记，()()()21312h t t m t m =-+++所以，，即，此时 ()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩121m m ⎧>-⎪⎨⎪>⎩1m >或得，此时无解，()()()012011013012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩1211133m m m ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩m 综上， ，即实数的取值范围1m >m ()1,+∞【点睛】本题第三问解题的关键在于令，进而结合题意，数形结合得21x t -=，，有两个根､，且或，，再根据零()()213120t m t m -+++=()0t ≠1t 2t 1201t t <<<101t <<21t =点存在性定理求解即可.。
上海重点高中高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．函数的定义域是 .()lg(1)f x x =-【答案】()1,+∞【分析】利用真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， ()lg(1)f x x =-则，解得，10x ->1x >即函数的定义域是， ()lg(1)f x x =-()1,+∞故答案为：.()1,+∞【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于基础题. 2．已知，则______. 2()(0)f x x x =≥1(4)f -=【答案】2【分析】先求出反函数的表达式，然后代入求值即可.【详解】令，由于，则，所以，得，()2y f x x ==0x ≥0y≥x =())10f x x -=≥所以. 1(4)2f -==故答案为：23．无穷等比数列的首项为，公比为，且，则________. {}n a 1a q 112i i a +∞==∑12a q +=【答案】1【分析】根据无穷等比数列求和的性质即可得的等式关系，即可得答案.1,a q 【详解】等比数列的首项为，公比为，所以，{}n a 1a q 11n n a a q -=则，所以. ()11111112i i i i a a a q q ∞∞++-=====-∑∑121a q +=故答案为：.14．等比数列的前项和为，若，则实数_______. {}n a n n S 21n n S t =⋅-t =【答案】1【分析】利用公式求数列通项，可解得实数，验证数列满足等比数列即可.()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩t 【详解】，则，21nn S t =⋅-1121==-a S t 当时，，2n ≥()11121212n n n n n n a S S t t t ---=-=⋅--⋅--=⋅依题意时也应该满足，有，解得，1n =12-=⋅n n a t 21-=t t 1t =则，满足为等比数列，所以. 12n n a -=12n na a +={}n a 1t =故答案为：15．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等. 对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”. 现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为______. 【答案】141【分析】根据“逐项差数之差或者高次差相等”这个定义，求数列的差的数列，再求这个数列的差的数列，直至出现等差数列，倒推回去就可得原数列的第8项.【详解】由题意得1，5，11，21，37，61，95，的差的数列为4，6，10，16，24，34， 这个数列的差组成的数列为2，4，6，8，10是等差数列，则这个数列的下一项是12， 数列为4，6，10，16，24，34的下一项是34+12=46， 数列1，5，11，21，37，61，95的下一项是为，9546141+=所以一个高阶等差数列，前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为. 141故答案为：1416．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为()()f x x R αα=∈1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭()()13f a f +<a ______．【答案】()(),42,a ∈-∞-+∞ 【分析】由幂函数的图象经过点，代入可得函数解析式，进而可判断函数()()f x x R αα=∈1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性与奇偶性，解不等式即可.【详解】由幂函数的图象经过点，()()f x x R αα=∈1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭得，解得：， 142a æöç÷=ç÷èø2α=-即，为偶函数，且在上单调递减，()2f x x -=()0,+¥设，即， 1a t +=()()3f t f <当时，由单调性可知，0t >3t >又函数为偶函数，所以当时，， 0t <3t <-所以，或，13a +>13a +<-解得或，即， 2a >4a <-()(),42,a ∈-∞-+∞ 故答案为：.()(),42,a ∈-∞-+∞ 7．已知函数的最小值为-2，则实数a =________. 22([0,1])y x ax x =+∈【答案】32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可. 【详解】，所以该二次函数的对称轴为：， 222()2()y f x x ax x a a ==+=+-x a =-当时，即，函数在时单调递减， 1a ≤-1a ≤-2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，显然符合；min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-1a ≤-当时，即时，； 01a <-<10a -<<2min ()2f x a a =-=-⇒=10a -<<当时，即时，函数在时单调递增， 0a -≤0a ≥2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，不符合题意，综上所述：，min ()(0)02f x f ==≠-32a =-故答案为：32-8．设数列{}为等差数列，其前n 项和为，已知，若对任意n a n S 14725899,93a a a a a a ++=++=n ∈N*，都有成立，则k 的值为______. n k S S ≤【答案】20【分析】由题意，转化“对任意n ∈N*，都有成立”为Sk 为Sn 的最大值．可求得d ＝－2，ann k S S ≤＝41－2n ，当Sn 取得最大值时，对任意n ∈N *满足，求解即可10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩【详解】对任意n ∈N *，都有成立，即Sk 为Sn 的最大值． n k S S ≤因为a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93， 所以a 4＝33，a 5＝31，故公差d ＝－2，an ＝a 4＋(n －4)d ＝41－2n ， 当Sn 取得最大值时，对任意n ∈N *满足10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩解得n ＝20.即满足对任意n ∈N *，都有成立的k 的值为20.n k S S ≤故答案为：209．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()g x a __________ 【答案】[)1,-+∞【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求()g x ()y f x =y x a =--出的取值范围.a 【详解】解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移()f x x y e =y x =-动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， ()f x x a =--也就是函数有两个零点，此时满足，即，()g x 1a -≤1a ≥-故答案为：.[)1,-+∞【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.10．数列满足，前16项和为540，则 ______________.{}n a 2(1)31nn n a a n ++-=-1a =【答案】7【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数n 项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.1a 1a 【详解】，2(1)31nn n a a n ++-=-当为奇数时，；当为偶数时，. n 231n n a a n +=+-n 231n n a a n ++=-设数列的前项和为，{}n a n n S16123416S a a a a a =+++++135********()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++，118392928484540a a =++=+=.17a ∴=故答案为：.7【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.二、单选题11．已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：()y f x =[0,5]x0 1 2345y1- 2.2 4.63.16-1-8.8设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（ ）A ．2 B ．3 C ．5()y f x =[0,5]n nD ．6【答案】B【分析】根据零点的存在定理，判断区间内存在零点.【详解】由零点存在性定理，在上至少各有一个零点，在区间上零点至少3个. (0,1),(2,3),(4,5)[0,5]故选:.B12．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（ ） {}n a log n k a n =21a a >{}n a A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】C【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性即可求解 【详解】当时，则，所以，21a a >log 2log 10k k >=1k >所以能推出数列为严格增数列；{}n a 当数列为严格增数列时，则能推出， {}n a 21a a >故“”是“数列为严格增数列”的充要条件 21a a >{}n a 故选：.C 13．下列结论正确的是（ ）A ．已知为一个数列，那么对任意正整数，均有； {}n a n 1n n n a S S -=-B ．对于任意实数，一定存在实数，使得为的等比中项；a b 、c c a b 、C ．若数列的前项和，则一定是等差数列；{}n a n 2n S n bn c =++{}n a D ．若数列是等差数列，则数列一定是等比数列. {}n a {3}n a 【答案】D【分析】对于A ：利用和与项的关系即可判断；对于B ：利用等比中项的定义可判断；对于C ：利用和与项的关系求出，检验可判断；对于D ：利用等比数列的定义式可判断. n a 1a 【详解】对于A ：缺少条件，A 错； 2n ≥对于B ：当异号时不存在，B 错；a b 、对于C ：①，当时，②2n S n bn c =++2n ≥21(1)(1)n S n b n c -=-+-+①-②，得，而，21n a n b =+-11a b c =++当时，不满足，C 错；0c ≠11a b c =++21n a n b =+-对于D ：令等差数列公差为，则，D 正确；{}n a d 113333na a n n n a d a ---==故选：D14．设是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数，，使得()f x 1x 2x R ∈，则称函数具有性质P ，那么下列函数：①；②()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；③；具有性质P 的函数的个数为（ ）()2f x x =()21f x x =-A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得1x 2x R ∈． 1212()()(22x x f x f x f ++=【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如1(1)(1)(1)11((0)0222f f f f +-+--====，存在；②假设存在不相等，，使得，即，得，1x 2x R ∈1212()()(22x x f x f x f ++=2221212(22x x x x ++=12x x =矛盾，故不存在；③函数为偶函数，，令， (0)1f =2()|1|0f x x =-=x =则，存在． (0)1f f ===故选：．C 【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．三、解答题15．已知函数（）是定义在上的奇函数，求的值. 16()1x f x a a+=-+,0,1a a a ∈>≠R R a 【答案】3a =【分析】函数定义域为R ，由，求的值，再检验函数满足奇函数. (0)0f =a 【详解】函数是定义在上的奇函数,则，解得. R 6(0)102=-=f a3a =当时，，3a =16231()11333131x x x x f x +-=-=-=+++任取，，符合题意. x ∈R 3131()()3131x x xx f x f x -----==-=-++综上，.3a =16．已知数列各项均为正数，且满足，.{}n a 12a =221120n n n n a a a a ++--=(1)求证：数列为等比数列；{}n a (2)令，求数列的前项和. ()2n n b n a =+{}n b n n S 【答案】(1)证明见解析(2)1(1)22n n S n +=+⋅-【分析】（1）根据已知式子化简得出，即可根据等比数列的定义证明； 12n na a +=（2）根据小问一证明结果得出，即可得出，即可根据错位相减法得出答案.n a n b 【详解】（1）因为，则，221120n n n n a a a a ++--=11(2)()0n n n n a a a a ++-+=又，所以，即， 0n a >120n n a a +-=12n na a +=所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列.{}n a （2）由（1）得，则，2n n a =(2)2nn b n =+⋅， 23324252(2)2n n S n ⨯+=⨯+⨯++⋅+ ，123425(2)324222n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅++ 两式相减得213(2)322222n n n S n +-⋅=⨯++++-+()11231121242(2)24(2)22(1)212222n n n n n n n n +++-=++++⋅=++++--⋅=-+⋅- 即.1(1)22n n S n +=+⋅-17．某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），游客人均消费()f x x 8()8f x x=+()g x 与第天近似地满足（元），且. x ()143|22|g x x =--130x ≤≤x N ∈(1)求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式；x ()p x (2)记（1）中的最小值为（千元），若最终总利润为（千元），试问该园区能否收回投资()p x m 0.3m 成本？【答案】(1) 9688976,122,()132081312,2330,x x x xp x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++≤≤∈⎪⎩N N (2)能收回投资成本.【分析】(1)根据化简即可；()()()p x f x g x =⋅(2) 当且时，利用基本不等式求得最小值；当且时，利用单调性求122x ≤≤x N ∈2330x ≤≤x N ∈得最小值，最终得到的最小值千元，因此万元即可判断. ()p x 1116m =0.333.48m =【详解】（1）8()()()(8|22|)p x f x g x x x=⋅=+--；9688976,122,132081312,2330,x x x x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++≤≤∈⎪⎩N N （2）当且时，， 122x ≤≤x N∈968()89769761152p x x x =++≥=当且仅当，即时取等号，此时的最小值为1152千元； 9688x x=11x =()p x 当且时，为单调递减函数， 2330x ≤≤x N ∈1320()81312p x x x=-++所以当时取到最小值，最小值为1116千元.30x =综上，的最小值千元，因此万元万元， ()p x 1116m =0.333.48m =30>能收回投资成本.18．已知，定义：表示不小于的最小整数，例如：，. x ∈R ()f x x (1.4)2f =( 3.8)3f -=-(1)若，且满足，求实数的取值范围； 0x <(2021)2022f x -=x (2)若，且满足，求实数的取值范围. 0x >1(6(3())3xf f x f x +=+x 【答案】(1) 10x -≤<(2) 4533x <≤【分析】（1）由已知可得，解不等式结合已知得出实数的取值范围； 202120212022x <-≤x （2）由已知得出，则，原式转为解，分，16673x<+<1(6)73x f +=(3())7f x f x +=(0,1]x ∈和讨论，得出实数的取值范围．(1,2]x ∈(2,3]x ∈x 【详解】（1），则， (2021)2022f x -=202120212022x <-≤又因为，解得． 0x <10x -≤<（2），，，则，即，解得0x >1013x ∴<<16673x<+<1(6)73x f +=(3())7f x f x +=63()7x f x <+≤若，则且，得，显然不成立； (0,1]x ∈3(0,3]x ∈()1f x =3()(1,4]x f x +∈若，则且，得；(1,2]x ∈3(3,6]x ∈()2f x =3()(5,8]x f x +∈若，则且，得，显然不成立. (2,3]x ∈3(6,9]x ∈()3f x =3()(9,12]x f x +∈因此，所以，实数的取值范围是.()2f x =6327x <+≤x 4533x <≤19．已知数列满足，.{}n a 11a =211n n n a a na n +=-++(1)计算的值； 234,,a a a (2)求数列的通项公式；{}n a (3)设为整数，不等式且均成n b =p 12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n ≥n ∈N 立，求的最大值.p 【答案】(1)；2342,3,4a a a ===(2),N n a n n +=∈(3)1【分析】（1）根据递推公式即可计算出的值；（2）由（1）作出猜想211n n n a a na n +=-++234,,a a a，并用数学归纳法证明即可得数列的通项公式为；（3）根据不等式恒成立问题可n a n ={}n a n a n =求得，利用数列单调性求出最小值并取整即可得的最大值in21m 111111np b b b ⎤⎛⎫⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅+⎥ ⎪⎪⎪⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎦p 为1.【详解】（1）由题意可知1212112,a a a =-++=22232213,a a a =-⨯++=；34323314a a a =-⨯++=所以2342,3,4a a a ===（2）由（1）猜想：. n a n =证明：当时，，符合上式； 1n =11a =假设当时，成立，n k =k a k =那么时，，1n k =+2221111k k k a a ka k k k k k +=-++=-++=+上式也成立.由此，对任意正整数，成立.n n a n =即数列的通项公式为{}n a ,N n a n n +=∈（3）由（2）得= nb不等式且均成立，12111111nb b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n≥n∈N即对一切且均成立，12111111npb b b⎛⎫⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭2n≥n∈N即，其中且.in21m111111npb b b⎤⎛⎫⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅+⎥⎪⎪⎪⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎦2n≥n∈N令，211111110nncb b b⎛⎫⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+>⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭则1(1nncc+=，1(1)21n++23121nn+==>+得.1n nc c+>所以数列为严格增数列，{}ncmin2()(11)(1nc c==+⨯=所以.p≤又因为为整数，所以.pmax1p=。
上海市重点高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知全集，集合，则________．{}1,2,3,4,5U ={}4,5A =A =【答案】{}1,2,3【分析】根据补集的定义计算可得.【详解】解：因为全集，集合，{}1,2,3,4,5U ={}4,5A =所以.{}1,2,3A =故答案为：{}1,2,32．不等式的解集为_________．2650x x ++≤【答案】{}51x x -<<【分析】转化为二次函数的函数值为负时，自变量的取值范围.265y x x =++x 【详解】2650x x ++≤()()150x x ∴++≤对应的二次函数为265y x x =++画出函数图像为：所以时2650y x x =++<51x -<<-不等式的解集为2650x x ++≤{}51x x -<<故答案为：{}51x x -<<3．函数_________．()f x 【答案】(][),11,-∞-⋃+∞【分析】根据二次根式的性质得到绝对值不等式，解出即可．【详解】由题意得：，解得：或,10x -≥1x ≥1x ≤-故函数的定义域是.()f x (][),11,-∞-⋃+∞故答案为: ．(][),11,-∞-⋃+∞4．已知，则的值为_________．2log 3,l 0(og ,1)a a m n a a ==>≠m n a +【答案】6【分析】由对数的运算法则可得，进而可得.log 6a m n +=log 66a m n a a +==【详解】解：因为，2log 3,l 0(og ,1)a a m n a a ==>≠所以，log 3log 2log 6a a a m n +=+=所以.log 66a m n a a +==故答案为：65．若一个奇函数的定义域为，则的值为______________．{},,2a b a b +【答案】2-【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，即可得的值.,a b a b +【详解】解：若奇函数的定义域为，则，必有{},,2a b {}2,,2a b ∈{}2,,2a b -∈故或；2a =-2b =-若，则，必有，则，所以；2a =-{},,2b a b ∈{},,2b a b -∈b b =-0b =若，则，必有，则，所以；2b =-{},,2a a b ∈{},,2a a b -∈a a =-0a =综上：.2a b +=-故答案为：.2-6．若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是_________．:13x α≤≤:x m β≥αβm 【答案】1m £【分析】依题意可得推得出，即可求出参数的取值范围.αβ【详解】解：因为，且是的充分条件，:13x α≤≤:x m β≥αβ即推得出，所以.αβ1m £故答案为：1m £7．已知,则的值为__________． e ,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩()5f 【答案】 1e【分析】由题意可得，再将代入计算即可.(5)(1)f f =-=1x -【详解】解：由题意可得，()5(53)(2)f f f =-=又因为. 1(2)(23)(1)f f f -=-=-==1e e 故答案为： 1e8．用列举法表示_________． 6,N,N x x a x a ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭【答案】{}6,3,2,1【分析】根据元素的特征用列举法表示即可.【详解】解：. {}6,N,N 6,3,2,1x x a x a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭故答案为：{}6,3,2,19．设方程解集为A ，解集为B ，解集为C ，且22210x mx m -+-=2680x x -+=2320x x -+=，，则_________．A B ⋂=∅A C ⋂≠∅m =【答案】4-【分析】先求出集合，根据题意和找到集合中有的元素和没有的元素,,A B A B ⋂=∅A C ⋂≠∅A 根据集合中有的元素求出参数的值，然后再检验是否符合和.m A B ⋂=∅A C ⋂≠∅【详解】2680x x -+= ，即或()()240x x ∴-⋅-=2x =4x ={}2,4B ∴=又2320x x -+= ，即或()()210x x ∴-⋅-=2x =1x ={}2,1C ∴=又因为A B ⋂=∅所以且2A ∉4A ∉又因为A C ⋂≠∅所以或1A ∈2A ∈所以只有成立，1A ∈所以是方程的根，即122210x mx m -+-=21210m m -+-=故，即2200m m --=()()540m m -⋅+=所以或5m =4m =-当时，方程变为5m =22210x mx m -+-=()()254140x x x x -+=--=所以不满足，故不符合题意舍去.{}1,4A =4A ∉当时，方程变为4m =-22210x mx m -+-=()()245510x x x x +-=+-=所以满足，和，满足题意.{}1,5A =-A B ⋂=∅{}1A C ⋂=≠∅故答案为：4-10．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数，，则不等式()f x R [)0,∞+()10f -=的解集为__________．()2log 0f x <【答案】 1(,2)2【分析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可．【详解】是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，()f x R [0,)+∞(1)0f -=，则不等式等价为不等式，(1)(1)0f f ∴=-=()2log 0f x <()()2log 1f x f <∴，即，可得，即不等式的解集为. 2|log |1x <21log 1x -<<122x <<1(,2)2故答案为：. 1(,2)211．已知，，若，则的最小值为__________． a b ∈R 2a b -=122a b+【答案】4【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，且，则，， a b ∈R 2a b -=20a >102b >所以，当且仅当，即，时取等号； 1242a b +≥==122a b =1a =1b =-所以的最小值为. 122a b +4故答案为：412．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3600元和5200元；方案二：一次性付款购买．若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省________元．【答案】800【分析】根据方案一先判断出两次实际付款元与元对应的原价，然后根据两次的原价可36005200计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节省的钱.【详解】解：因为且，所以实际付款元对应的原价为3600400050000.9=<36002000>36004000元，实际付款元对应的原价大于元，52005000设实际付款元对应的原价为元，5200()5000x +所以，解得，50000.90.75200x ⨯+⨯=1000x =所以实际付款元对应的原价为元，52006000所以两次付款的原价之和为元，4000600010000+=若按方案二付款，则实际付款为：元，50000.950000.78000⨯+⨯=所以节省的钱为元，()360052008000800+-=故答案为：.80013．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________． 2log 69a x x x <+-[]2,4x ∈a 【答案】()1,2【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.29l 6og a x x x <-+01a <<1a >【详解】解：因为不等式在上恒成立，2log 69a x x x <+-[]2,4x ∈所以在上恒成立，29l 6og a x x x <-+[]2,4x ∈令，，， ()log a f x x =()()22369x g x x x ==--+[]2,4x ∈则问题转化为在上恒成立，()()f x g x >[]2,4x ∈若，此时在上单调递减，，而当01a <<()log a f x x =[]2,4x ∈()log log 20a a f x x =<<[]2,4x ∈时，，显然不合题意；()[]0,1g x ∈当时，画出两个函数的图象，1a >要想满足在上恒成立，只需，即，解得()()f x g x >[]2,4x ∈()()22f g >log 21log a a a >=12a <<．综上：实数的取值范围是.a ()1,2故答案为：()1,214．已知函数，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同()223,,x x x a f x x x a⎧--<=⎨-≥⎩m x ()f x m =的实数根，则的取值范围是__________．a 【答案】14a <<【分析】在直角坐标系中画出，的图象，对分类讨论，结合函数图象即可2123y x x =--2y x =-a 判断.【详解】解：在直角坐标系中画出，的图象，2123y x x =--2y x =-由，解得， 223x x x --=-x =其中，对称轴为，，()2212314y x x x =--=--1x =()1min 4y =-对于，令，解得，2y x =-24y =-4x =当时，任意，恰有个实数根，如下图所示： a ≤m ()f x m =1时，任意，至多有2个实数根，如下图所示： 1a <≤m ()f x m =当时，存在使得恰好有3个实数根，如下图所示：14a <<m ()f x m =当时，任意，至多有2个实数根，如下图所示：4a ≤m ()f x m =综上可得：的取值范围为.a 14a <<故答案为：14a <<二、单选题15．已知是集合A 到集合B 的函数，若对于实数，在集合A 中没有实数与之,2x A B y ===R k B ∈对应，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(],0-∞()0,∞+(),0∞-[)0,∞+【答案】A【分析】求出函数的值域，再根据函数的定义，即可得答案；y 【详解】，20,>===x A B y R 根据函数的定义可得. 0k ≤故选：A.16．下列命题是真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则 ac bc >a b >22a b >a b >C ．若，则D ．若，则 0a b >>11a b<,a b c d >>a c b d ->-【答案】C【分析】根据不等式的性质判断A 、C ，利用特殊值判断B 、D.【详解】解：对于A ：因为，当时，当时，故A 错误； ac bc >0c >a b >0c <a b <对于B ：因为，则，无法得到，如，，显然满足，但是22a b >a b >a b >1a =-0b =22a b >a b <，故B 错误； 对于C ：因为，所以，故C 正确； 0a b >>11a b<对于D ：因为，则，无法得到，,a b c d >>a c b d +>+a c b d ->-如，，，，满足，但是，，故D 错误； 10a =9b =8c =10d =-,a b c d >>2a c -=19b d -=故选：C17．函数的零点所在的大致区间是（ ） ()23log f x x x =-A ．B ．C ．D ． ()0,1()1,2()2,3()3,+∞【答案】C 【分析】根据零点存在性定理分析判断即可. 【详解】因为和在上单调递增， 2log y x =3y x=-(0,)+∞所以在上单调递增， ()23log f x x x =-(0,)+∞因为，， ()2312log 2022f =-=-<()2233log 3log 3103f =-=->所以在上有唯一零点，()f x ()2,3即的零点所在的大致区间是，()f x ()2,3故选：C18．已知函数，若对于任意，存在，使得()()()21lg 1,2xf x xg x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+-[]10,3x ∈[]21,2x ∈，则实数的取值范围为（ ）()()12f x g x ≤m A ． B ． C ． D ． 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得()f x ()g x ()()12max max f x g x ≤，即可得到不等式，解得即可.【详解】解：因为，所以，所以，即，[]0,3x ∈[]211,10x +∈()[]2lg 10,1x +∈()[]0,1f x ∈由，则，即，[]1,2x ∈111,242xm m m ⎛⎫ ⎪⎥⎝⎭⎡⎤-∈--⎢⎣⎦()11,42g x m m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦因为对于任意，存在，使得，[]10,3x ∈[]21,2x ∈()()12f x g x ≤所以，则，解得，即.()()12max max f x g x ≤112m -≥12m ≤-1,2m ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦故选：A三、解答题 19．解答下列问题：(1)用表示ln ,ln ,ln x y z (2)已知，且，求M 的值． 23xyM ==231x yxy+=【答案】(1)；11ln 4ln ln 32x y z +-(2). 72【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；(2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可23log ,log x M y M ==11log 2,log 3,M M x y ==231x yxy+=得，代入计算即可. 231y x+=【详解】（1）解：因为； 4411ln ln 4ln ln 32y x y z =-=-=+-（2）解：因为，所以， 23x y M ==23log ,log x M y M ==所以11log 2,log 3,M M x y==又因为， 231x yxy+=即， 231y x+=所以， 2log 33log 2log 721M M M +==所以.72M =20．设集合，集合，21,A x x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭R {}21,B x x x =-<∈R (1)求集合，集合； A B (2)求，．A B ⋂A B ⋃【答案】(1)， {}02,A x x x =<<∈R {}13,B x x x =<<∈R (2)， {}03,A B x x x ⋃=<<∈R {}12,A B x x x ⋂=<<∈R【分析】（1）解分式不等式求出集合，解绝对值不等式求出集合； A B （2）根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】（1）解：由，即，等价于，解得， 21x>2210xx x --=>()20x x ->02x <<所以，{}21,02,A x x x x x x ⎧⎫=>∈=<<∈⎨⎬⎩⎭R R 由，即，解得，所以 21x -<121x -<-<13x <<{}{}21,13,B x x x x x x =-<∈=<<∈R R （2）解：由，， {}02,A x x x =<<∈R {}13,B x x x =<<∈R 所以，.{}03,A B x x x ⋃=<<∈R {}12,A B x x x ⋂=<<∈R 21．已知函数为奇函数． ()122xxf x a =⋅-(1)求实数的值；a (2)判断并证明在上的单调性． ()f x R 【答案】(1)1a =(2)为上的增函数，证明见解析 ()f x R【分析】（1）首先求出函数的定义域，根据奇函数的性质，求出参数的值，再检验即可； ()00f =（2）根据题意，由（1）的结论可得函数的解析式，设，由作差法分析可得结论．()f x 12x x <【详解】（1）解：函数的定义域为，又函数为奇函数， ()122x xf x a =⋅-R所以，即，解得， ()00f =01202a ⋅-=1a =所以，则， ()122xxf x =-()()112222xx x x f x f x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭故为奇函数，符合题意，所以. ()122xxf x =-1a =（2）解：由（1）可知，，则为上的增函数， ()12222xx x x f x -=-=-()f x R 证明如下：设，12x x <则， ()()()11221212121()()222222122x x x x x xx x f x f x --⎛⎫-=---=-+⎪⎝⎭又由，则，即，， 12x x <12022x x <<12220x x -<1211022x x +>则， 12())0(f x f x -<则函数在上为增函数．()f x R 22．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x 低于40万部时，每销售1万部手机的收入()0x x >万元；当年销售量x 不低于40万部时，每销售1万部手机的收入()4005R x x =-万元 ()2900040000R x x x =-(1)写出年利润y 万元关于年销售量x 万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．【答案】(1) 2538050,04040000208950,40x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)38万部时，最大利润为7170万元.【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；040x <<40x ≥（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润. 040x <<40x ≥【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），()0x x >5020x +故利润，而，()()5020y x R x x =⋅-+()24005,040900040000,40x x R x x xx -<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩故，()()()240055020,0409000400005020,40x x x x y x x x x x ⎧-⋅-+<<⎪=⎨⎛⎫-⋅-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩整理得，；2538050,04040000208950,40x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利040x <<()225380505387170y x x x =--+-+-=38x =润最大值为；max 7170y =时，， 40x ≥4000040000208950208950y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭其中，在上单调递减，在上单调递增，因40000()20202000h x x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭40,⎡⎣()+∞为 ，故时，4445<<4000040000(45)2045(44)20444544h h =+⨯<=+⨯45x =取得最小值 40000()20h x x x=+故在 时，y 取得最大值40000208950y x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭45x =max 400008000900895080507162459y =--+=-< 而，71627170<故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.23．已知定义域为R 的函数，，若对任意，均有()f x S ⊆R 1212,,x x x x S ∈-∈R ()()12f x f x S -∈，则称是S 关联． ()f x (1)判断函数是否是关联，并说明理由： ()()12112f x xg x x =-=-、[)1,+∞(2)若是关联，当时，，解不等式：；()f x {}2[)0,2x ∈()2f x x x =-()02f x ≤≤(3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． ()f x {}2()f x []1,2【答案】(1)函数是关联，函数不是关联，理由见解析 ()21f x x =-[)1,+∞1()12g x x =-[)1,+∞(2)或{|13x x ≤≤}0x =(3)必要不充分条件，证明见解析【分析】（1）根据给定的定义为时，求的取值区间即可判断作答. [)1,+∞12()()f x f x -（2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答. (2)()2f x f x +-=（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答. 【详解】（1）函数是关联，证明如下：()21f x x =-[)1,+∞任取R ，若，则，12,x x ∈12[1,)-∈+∞x x ()()()[)121222,[1,)f x f x x x -=-∈+∞⊂+∞()()()12122[1,)f x f x x x ∴-=-∈+∞所以函数是关联； ()21f x x =-[)1,+∞函数不是关联，证明如下：： 1()12g x x =-[)1,+∞若，则， 12[1,)-∈+∞x x 121211()()(),22⎡⎫-=-∈+∞⎪⎢⎣⎭f x f x x x 所以函数不是关联； 1()12g x x =-[)1,+∞（2）因是关联，则，有，即，()f x {}2122x x -=12()()2f x f x -=(2)()2f x f x +-=当时，，而，[)0,2x ∈22111(),2244⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x x x x ()02f x ≤≤即，解得或，所以不等式的解集为或，202≤-≤x x 12x ≤≤10x -≤≤{|12x x ≤<}0x =当时，，[2,22),,0x n n n Z n ∈+∈≠()2112224f x x n n ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭所以当时，，[2,4)x ∈2577()(2)2,4244⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x f x x 而，得，解得，所以不等式的解集为，0()2f x ≤≤2570224⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭x 23x ≤≤{}|23x x ≤≤当时，或当时，，此时不等式无解； 0n <()0f x <2n ≥()2f x >0()2f x ≤≤综上得或，13x ≤≤0x =所以不等式的解集为或，.2()3f x ≤≤{|13x x ≤≤}0x =（3）“是关联”是“是关联”的必要不充分条件，证明如下，()f x {}2()f x []1,2易得函数是关联，但时，所以函数不是,()1,x x Zf x x x Z ∈⎧=⎨-∉⎩{}21 2.112≤-≤2)(2.1()0f f <-()f x 关联； [1,2]所以充分性不成立；当函数是关联时，即，，()f x [1,2]2112x x ≤-≤21)1(()2f x f x -≤≤则有，，即有， 1(2)(1)2f x f x -≤++≤)1(1()2f x f x -≤+≤)2(2()4f x f x -≤+≤又，则有，于是得，1(2)2x x ≤+-≤)1(2()2f x f x -≤+≤(2)()2f x f x +-=从而得，即函数是{2}关联； ()()21212,=2x x f x f x -=-()f x 所以“是关联”是“是关联”的必要不充分条件.()f x {}2()f x []1,2【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
上海市重点中学高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若，化简：________.0a >⎛= ⎪ ⎪⎝⎭【答案】2a 【解析】利用指数幂的运算法则计算即可．【详解】 313122222a a a a +⎛=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为： 2a 2．已知扇形的弧长为，半径为2，则此扇形的圆心角的弧度数是______． 5π3【答案】5π6【分析】由弧长的计算公式代入即可得出答案.【详解】此扇形的圆心角的弧度数是.5π5π326=故答案为：. 5π63．在年利率为5%，且按年计复利的条件下，1万元存款连本带利超过5万元需要_____年．()1.05log 532.98≈【答案】33【分析】设需要年，则，由对数函数的性质解不等式即可. x 1(15)5x ⋅+>％【详解】设需要年，则，所以， x 1(15)5x ⋅+>％ 1.05log 532.98x >≈故需要33年． 故答案为：334．已知，，用a 及b 表示______． 7log 3a =72b =7log 72=【答案】23a b +【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解．72b =7log 2b =【详解】因为，所以，所以．72b =7log 2b =()237777log 72log 322log 33log 223a b =⨯=+=+故答案为：． 23a b +5．若幂函数（m 为整数）的定义域为，则______．221m m y x -++=R m =【答案】，，012【分析】利用幂函数的单调性可以得出，求解即可得到答案. 2210m m -++>【详解】因为的定义域为221mm y x -++=R 所以， 2210m m -++>解得，11m <<又为整数， m 所以． 0,1,2m =故答案为：，，.0126．不等式的解集是______．22log 2xx +>【答案】(1,)+∞【分析】构造函数，根据函数的单调性即可求出解集. 【详解】令，显然为严格增函数， 2()2log x f x x =+()f x 又， (1)2f =故解集为． (1,)+∞故答案为：(1,)+∞7．用集合符号填空：______ Q ．{},,Q a a x x y =∈【答案】【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 0y =0y ≠【详解】当时，， 0y={}{},,Q ,Q Q a a x x y a a x x =∈==∈=当时,包含无理数， 0y≠{},,Q a a x x y =∈故 ，{},,Q a a x x y =∈Q 故答案为： .8．设为实数，函数是奇函数，则__．a ()(),02,01g x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪+⎩()g x =【答案】 221x ---【分析】根据可求，再由时可求解. ()00f =a 0x >()()g x f x =--【详解】因为是奇函数，所以，所以. ()f x ()020f a =+=2a =-当时，． 0x >220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭故答案为:. 221x ---9．实数a ，b 满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实222450a b a b ++-+=20ax bx c ++<数c 的取值范围是______． 【答案】{|1}c c <-【分析】先求出的值，再转化为对一切实数恒成立进行处理即可. ,a b 220x x c -->【详解】因为实数，满足， a b 222450a b a b ++-+=所以，得，， 22(1)(2)0a b ++-=1a =-2b =因为不等式的解为一切实数为真命题，20ax bx c ++<所以对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立， 220x x c -++<220x x c -->所以△，解得， 2(2)40c =-+<1c <-所以实数的取值范围为． c {|1}c c <-故答案为：{|1}c c <-10．已知是定义在上的函数且图像关于y 轴对称，在区间上是严格()2y f x =+R ()y f x =[)2,+∞增函数，则不等式的解集为______．()()3112xf f -+<【答案】(,1)-∞【分析】由题意可知的图像关于对称，且在上严格递减，在上是严格()y f x =2x =(,2)-∞[)2,+∞递增，所以与对称轴距离小的函数值小，依题意列出不等式求解.【详解】因为的图像关于轴对称，所以的图像关于对称， ()2y f x =+y ()y f x =2x =又在区间上是严格增函数， ()y f x =[)2,+∞所以在上严格递减，()y f x =(,2)-∞由得，1(31)(12)x f f +-+<1312122x +-<+--所以，解得，所以原不等式的解集为． 13110x +<+1x <(,1)-∞故答案为：(,1)-∞11．设函数满足：对任意的非零实数x ，均有．则在区间()y f x =()()()214f f x xf x=+-()y f x =上的最大值为______．(),0∞-【答案】4-【分析】原式当中代入，可解出，，从而写出表达式，结合基本不等式可1,2x x ==(1)f (2)f ()f x求出最大值.【详解】因为对任意非零实数，均有， x (2)()(1)4f f x f x x=+-所以，解得， (2)(1)(1)41f f f =+-(2)4f =所以，解得， (2)(2)2(1)42f f f =+-(1)3f =所以，()34444f x x x=+-≤-=-当且仅当时，即43x x=x =即在上的最大值为． ()f x (),0∞-4--故答案为：4-12．给定实数集合，，定义运算.设，A B {},,A B x x ab a b a A b B ⊗==++∈∈{}0,2,4,,18A =⋅⋅⋅，则中的所有元素之和为______.{}98,99,100B =A B ⊗【答案】29970【详解】由，(1)(1)1x a b =++-则可知所有元素之和为. (1319)30031029970+++⨯-⨯= 故答案为：29970.二、单选题13．设，“是偶数”是“n 是偶数”的（ ） Z n ∈2n A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充要条件的判断即可选出答案. 【详解】是偶数等价于n 是偶数，故为充要条件， 2n 故选:C ．14．以下说法为真命题的个数是（ ）①当时，总有，则函数在区间上是严格增函数； 0x >()()0f x f >()y f x =[)0,∞+②当且时，总有，则是的最小值； n N ∈4n ¹()()4f n f >()4f ()()y f n n =∈N ③如果在区间上的图像是一段连续不断的曲线，如果，则函数()y f x =[],a b ()()0f a f b >在上没有零点．()y f x =(),a b A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】②可根据任意性可判断，①和③可根据举例来判断.【详解】对于①，当时， ，但不满足0x >()3(3)3(3)(4)218(0)f x x x f f =---≥=->-=()f x 在上单调递增，故①错误；[0,)+∞对于②，对任意且时，总有，才能得是的最小值；n N ∈4n ¹()()4f n f >()4f ()()y f n n =∈N 故②错误；对于③，,则满足，但，故在上()2y f x x ==()()11,11,f f =-=()()110f f ->()00f =()f x ()1,1-有零点，故③错误. 故选：A.15．函数的图象大致为（ ）222()1x xf x x --=-A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项. 【详解】由得的定义域为，210x -¹()f x {}|1x x ≠±因为，所以函数为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----()f x 虚线的方程为，则当时，，排除C ，所以B 选项符合. 1x =±2x =5(2)04f =>故选：B【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.16．设函数的定义域为R ，满足，且当时，.若对任意()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-，都有，则m 的取值范围是(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-A ．B ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】时，，，，即右移1个单位，(0,1]x ∈ ()=(1)f x x x -(+1)= ()f x 2f x ()2(1)f x f x ∴=-()f x 图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：23x <≤()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---84(2)(3)9x x --=-，（舍），时，成2945560x x -+=1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(,]x m ∴∈-∞8()9f x ≥-立，即，，故选B ．73m ≤7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎝⎦【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．三、解答题17．已知全集为，集合，．R {A x y =={}11B x x m =-<<+(1)若，求，； 4m =A B ⋃A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围．B A ⊆【答案】(1)， [2,5)A B =-U (4,5)A B =I (2) (,3]-∞【分析】（1）求解集合，依据交集、并集、补集的定义逐一计算即可； A （2）讨论和两种情况下的范围，取并集得出结果. B =∅B ≠∅m【详解】（1）集合， {|{|24}A x y x x ===-≤≤当时，．4m =15{|}B x x =<<-所以，或，． [2,5)A B =-U {|2A x x =<-4}x >(4,5)A B =I （2）因为，B A ⊆当时，，成立；B =∅2m ≤-B A ⊆当时，，，解得：， B ≠∅2m >-114m -<+≤23m -<≤综上，，所以实数的取值范围是． 3m ≤m (,3]-∞18．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，求： （1）3x+4y 的最小值； （2）求xy 的最小值．【答案】（1）3x+4y 的最小值为5．（2）xy 的最小值为．【详解】试题分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出． （2）正数x ，y 满足x+3y=5xy ，利用基本不等式的性质即可得出． 解：（1）∵正数x ，y 满足x+3y=5xy ，∴． 135y x+=∴ 1131312134(34)((13(135555x y x y x y y x y x +=++=++≥+=∴当x=1时，f （x ）取得最小值，f （1）=3+2=5． ∴3x+4y 的最小值为1． 当且仅当x=1，y=时取等号． ∴3x+4y 的最小值为5．（2）∵正数x ，y 满足x+3y=5xy ， ∴5xy≥，解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．∴xy 的最小值为．【解析】基本不等式．19．某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为和（万元），事先根据相关资料得出它们与P Q 投入资金（万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为，乙的利润模x P ax b =+型为．（为参数，且）. Q b ax α=+,,a b α0a ≠x 20 40 60 80P33363942（1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数x 模型（2）今将万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于30075万元．设对乙种产品投入资金（万元），并设总利润为（万元），如何分配投入资金，才能使总m y 利润最大？并求出最大总利润．【答案】（1）；（2）当甲产品投入万元，乙产品投入330,020P x x =+≥400Q x =+≥200100万元时，总利润最大为万元130【分析】（1）根据题意,将数据分别代入甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模x 型中,解方程组,即可求出函数表达式.（2）根据题意,设对乙种产品投资,对甲种产品投资,代入两个利润公式,利用换元法求出m ()300m -函数的值域,然后求最大值即可.【详解】解：（1）由甲的数据表结合模型代入两点可得P ax b =+()20,33()40,36代入有 20334036a b a b +=⎧⎨+=⎩得, 320a =30b =即 330,020P x x =+≥由乙的数据图结合模型代入三个点可得,,可得Q b ax α=+()0,40()36,58()100,70, 040365810070b b a b a αα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩得,, 3a =40b =12α=即400Q x =+≥（2）根据题意,对乙种产品投资（万元）,对甲种产品投资（万元）, m ()300m -那么总利润, ()3300304020y m =-+++311520m =-++由,解得, 7530075m m ≥⎧⎨-≥⎩75225m ≤≤所以, 311520y m =-+令,故, t =[]75,225m ∈t ⎡⎤∈⎣⎦则, 23311520y t t =-++()231013020t =--+所以当时,即时,,10t =100x =max 130y =答：当甲产品投入万元,乙产品投入万元时,总利润最大为万元200100130【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的应用,利用函数模型求出解析式,根据换元法换成二次函数求极值.20．已知函数．()2log g x x =(1)若关于x 的方程有两个不等根，，求的值； ()g x n =α()βαβ<αβ(2)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； R m ∈()()f x g x m =+()y f x =(3)是否存在实数，使得对任意，关于x 的方程在区间()2,4a ∈[]1,2p ∈()()244gx ag x -+31a p -=上总有3个不等根，，，若存在，求出实数a 与的取值范围；若不存在，说1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x ⋅⋅明理由．【答案】(1)1αβ=(2)非奇非偶函数，理由见解析(3)存在，实数的取值范围为，的范围为a 1411(,]53123x x x 12311[,)84x x x ∈【分析】（1）化简函数，建立方程直接运算即可 （2）根据奇偶函数的定义判断即可（3）利用换元法将方程转化为二次函数问题，再根据根的情况列出不等式组求解【详解】（1）， ()222log ,01log log ,1x x g x x x x -<<⎧==⎨≥⎩因为关于的方程有两个不等的实数根、，x ()g x n =αβ()αβ<所以，，所以，即， 2log n α-=2log n β=22log log αβ-=222log log log 0αβαβ+==所以；1αβ=（2），()()2|log ()|f x g x m x m =+=+由得，显然定义域不关于原点对称， 0x m +>x m >-故是非奇非偶函数；()f x （3）因为在上严格减，在上严格增，2()|log |g x x =1[,1]8[1,4]又，，，1(38g =(1)0g =(4)2g =令，则当时，方程有两个不等实数根， ()t g x =(0,2]t ∈()t g x =由（1）得两个根之积为1，当时，方程有且仅有一个根且此根在区间内或1，(2,3]{0}t ∈ ()t g x =11[,)84令，2()4431h t t at a =-+-所以原题目等价于，对任意，关于的方程在区间上总 [1,2]p ∈t ()h t p =[0,3]有2个不等根，且有两个不等根，只有一个根，1212,()t t t t <1()t g x =2()t g x =则必有，则，解得，12023t t <≤<≤()()()03122155133592h a h a h a ⎧=->⎪=-<⎨⎪=-≥⎩141153a <≤此时，则其根，所以，2()(2,3)t g x =∈11[,)84x ∈12311[,)84x x x ∈综上，实数的取值范围为，的范围为.a 1411(,]53123x x x 12311[,84x x x ∈21．已知函数、在数集D 上都有定义，对于任意的，，当时，()f x ()g x 1x 2x D ∈12x x >或成立，则称是在数集D 上()()()()121212f x f x g x g x x x -≤≤-()()()()122112f x f x g x g x x x -≤≤-()g x ()f x 的限定函数．(1)试判断函数是否是函数在上的限定函数； ()21g x x =-()1f x x=()0,D =+∞(2)设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数()g x ()f x ()11D D D ⊆()g x 1D ()f x 在区间上是严格减函数；1D (3)设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求()2f x x =()f x ()0,D =+∞在上的单调区间，并说明理由．()f x ()0,D =+∞【答案】(1)是，证明见解析(2)证明见解析(3)函数在上的限定函数为，的严格增区间是，()f x ()0,D =+∞()2g x x =-()f x ⎫+∞⎪⎭()f x 的严格减区间是，理由见解析. ⎡⎢⎣【分析】（1）根据限制函数的定义，即可得出结论；（2）对任意的，上恒为负值，所以，，根据限制函数的定义，推出1x 21x D D ∈⊆1()0g x <2()0g x <，进而证出函数的单调性； 1212()()0f x f x x x -<-（3）设，通过化简得，得到120x x <<121212()()()f x f x x x x x-=+-，然后推出，由，可得增区间，由122112()()22f x f x x xx x -<<-()2g x x =()0g x >，可得减区间．()0g x <【详解】（1）解：对任意， 120x x <<因为，1212221212221111()()111f x f x x x x x x x x x x x ---<==-<---所以在上的限制函数为． ()f x (0,)D =+∞21()g x x =-（2）证明：对任意的上恒为负值，所以，，121,x x D D ∈⊆1()0g x <2()0g x <由于或成立， 121212()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-122112()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-所以，不妨设，则， 1212()()0f x f x x x -<-12x x <12()()f x f x >所以在上是严格减函数；()f x 1D （3）解：设，120x x <<则，221212121212()()()f x f x x x x x x x x x --==-+--，即，122112()()22f x f x x x x x --<<--()2g x x =由，解得， ()20g xx =->x <因而当，，严格减， x ∞⎫∈+⎪⎭()0g x <()f x 即的严格增区间是．()f x ⎫+∞⎪⎭当时，，严格增， x ⎛∈ ⎝()0g x >()f x 即的严格减区间是．()f x ⎡⎢⎣故函数在上的限定函数为，的严格增区间是，()f x ()0,D =+∞()2g x x =()f x ⎫+∞⎪⎭()f x 的严格减区间是. ⎡⎢⎣。
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上海市某重点高中2011-2012学年度第一学期高一数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：1．命题“若a ＞b ，则33a b >”的逆命题是 ． 2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且,R =B A 则实数a 的取值范围是 ．3．不等式2|12|≥+x 的解为 ．4.设函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x D 01)(，令)1()(+=x D x F ，则）)((x D F = ．5.设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a= ． 6．若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的反函数的图像过点)1,2(-，则a= ． 7.方程)2lg(2--x x =)6lg(2x x --的解为 ．8.若函数2)1(22+-+=x a x y 在区间(]4-，∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 ． 9.函数)(22)(22R x x x x f ∈-+=的最小值是 ．10.若函数k x x f --=1||1)(只有一个零点，则实数k= ． 11.已知()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （a ＞0，1a ≠）是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是 ．12.若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ．13．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为_______________． 14.已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是 ． 二．选择题：15．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是 ( ) （A ）2()log f x x = （B ）1()f x x =（C ） ()||f x x = （D ）()2x f x = 16．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．“2=a ”是函数||)(a x x f -=在[)∞+，2上为增函数的 ( ) （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件18．定义区间(,)c d ，[,)c d ，(,]c d ，[,]c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 ( ) （A ）a-b （B ）a+b （C ）2 （D ）4三．解答题：19．设函数()()26f x ln x x =--的定义域为集合A ，请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为A B ⋂，并说明理由．20．设f(x)=xx a 2112+-⋅是R 上的奇函数． (1)求实数a 的值；(2)判定f(x)在R 上的单调性并加以证明．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x 名员工从事第三产业，调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为)500310xa -（万元）（0>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？22.已知集合M={f(x)|在定义域内存在实数0x ，使得）（1)()1(00f x f x f +=+成立}.（1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由. （2）证明：函数M x x f x ∈+=22)(. （3）设函数M ax f x ∈+=12lg )(，求实数a 的取值范围.上海市某重点高中2011-2012学年度第一学期高一数学期终试卷（参考答案）（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）：1．命题“若a ＞b ，则33a b >”的逆命题是___________________。
解：若a ＞b ，则33a b >。
2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且,R =B A 则实数a 的取值范围是_______。
解：1≤a 。
▋3．不等式2|12|≥+x 的解为_____________。
解：⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤⎝⎛∞，，2123-- 。
▋ 4.设函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x D 01)(，令)1()(+=x D x F ，则）)((x D F =_____________。
解：1。
▋ 5.设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a=_____________。
解：-1。
▋6．若函数)1,0()(≠>=a a a x f x的反函数的图像过点)1,2(-，则a=_____________。
解：21。
▋ 7.方程)2lg(2--x x =)6lg(2x x --的解为_____________。
解：-2。
▋8.若函数2)1(22+-+=x a x y 在区间(]4-，∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______。
解：(]3--，∞。
▋ 9.函数)(22)(22R x x x x f ∈-+=的最小值是_____________。
解：4。
▋ 10.若函数1()||1f x k x =--只有一个零点，则实数k =_____________。
解：1-。
▋11.已知(2)11()1x a x x f x x a-+<⎧=⎨⎩≥（0a >，1a ≠）是R 上的增函数，那么a 的取值范围是_____________。
解：3[2)2，。
▋12.若不等式210x kx k -+->对(12)x ∈，恒成立，则实数k 的取值范围是___________。
解：(2]-∞，。
▋13．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为_____________。
解：41-。
▋ 14.已知函数1()42xf x =-的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是_____________。
解：1(2)8，。
▋二．选择题(本大题共4题，每题3分，满分12分）： 15．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是 ( )（A ）2()log f x x =（B ）1()f x x=（C ）()||f x x =（D ）()2x f x = 解：A 。
▋16．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 ( )（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4解：B 。
▋17．“2=a ”是函数||)(a x x f -=在[)∞+，2上为增函数的 ( )（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件解：A 。
▋18．定义区间()c d ，，[)c d ，，(]c d ，，[]c d ，（c d <）的长度均为d c -。
已知实数b a <，则满足111x a x b+--≥的x 构成的区间的长度之和为 ( )（A ）a b -（B ）a b +（C ）2（D ）4解：C 。
▋三．解答题(本大题共4题，满分46分)：19．(本题101⎫⎬⎭．请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为A B ⋂，并说明理由． 解：由062>--x x 得()()+∞-∞-=,32, A ,……………………………………2分又由115>+x ，015-1<+x ，014-x <+x ，()()041<-+x x ，得()4,1-=B ，……………………………………5分所以，()4,3=B A ，……………………………………7分所以，不等式01272<+-x x 的解集为A B ⋂.(答案不唯一）………………10分20．(本题10分，第（1）小题,5分，第（2）小题5分）设f(x)=xx a 2112+-⋅是R 上的奇函数． (1)求实数a 的值；(2)判定f(x)在R 上的单调性并加以证明。
解：（1）因为)(x f 是奇函数，所以)()-(x f x f =，即x x a --2112+-⋅x x a 2112-+-⋅=，……………………………………2分122-+x x a xx a 2112-+-⋅=，122+⋅-=-x x a a ，12)12(+=+x x a ，所以1=a .……………………………5分 （2）f(x)=xx 2112+-，设任意21x x <，f(x 1)-f(x 2)=112112x x +-222112-x x +-…………………………6分=)21)(21()12)(12()12)(12(212121x x x x x x ++-+-+-0)21)(21()22(22121<++-=x x x x .……………………9分所以，f(x 1)<f(x 2)，函数f(x)在R 上的单调递增.…………………………10分(本题12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x 名员工从事第三产业，调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为)500310xa -（万元）（0>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（3）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（4）在（1）的条件下，若要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解：（1）由题意得100010%)2.01)(1000(10⨯≥+-x x …………………………2分， 即05002≤-x x ，解得5000≤≤x ，又0>x ，所以，5000≤<x ，…………4分 即最多调整出500名员工从事第三产业.…………………………5分 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为x xa )5003(10-万元，从事原来产业的员工的年总利润为%)2.01)(1000(10x x +-. 则x xa )5003(10-%)2.01)(1000(10x x +-≤，…………………………8分 50032x ax -500-10002x x +≤，ax 500210002x x ++≤，即a 110005002++≤xx 恒成立，…………………………10分 因为51100050022110005002=+⋅≥++xx x x ， 当且仅当xx 10005002=，即500=x 时，等号成立. 所以，50≤<a ，即a 的取值范围是(]50，.…………………………12分 23.(本题14分）已知集合M={f(x)|在定义域内存在实数0x ，使得）（1)()1(00f x f x f +=+成立}.（4）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由. （5）证明：函数M x x f x∈+=22)(.（6）设函数M ax f x ∈+=12lg)(，求实数a 的取值范围. 解：（1）假设M x f ∈)(，则存在0x ，使得,1111100+=+x x ………………2分 即01020=++x x ，而此方程的判别式0341<-=-=∆，方程无实数解，所以，M x f ∉)(。