2018届二轮 椭圆、双曲线、抛物线 专题卷(全国通用)

第2讲椭圆、双曲线、抛物线

A组基础题组

1.(2017长沙统一模拟考试)椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰是边长为2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为( )

A.+=1

B.+y2=1

C.+=1

D.+=1

2.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=( )

A.2

B.3

C.4

D.2+1

3.若抛物线y2=2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为( )

A.y2=4x

B.y2=36x

C.y2=4x或y2=36x

D.y2=8x或y2=32x

4.已知斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,M是线段AB 的中点,F为C的焦点,△OFM的面积等于2,则k=( )

A. B. C. D.

5.(2017贵州贵阳检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是( )

A. B.

C. D.

6.(2017太原模拟试题)已知双曲线经过点(1,2),其一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的标准方程为.

7.若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为.

8.(2017云南第一次统一检测)已知双曲线M:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,与双曲线M的两条渐近线交于C,D两点.若|AB|=|CD|,则双曲线M的离心率是.

9.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,其中一个顶点是抛物线x2=-4y 的焦点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M,求直线l的方程和点M的坐标.

10.(2017陕西高三教学质量检测试题(一))已知椭圆与抛物线y2=4x有一个相同的焦点,

且该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB的面积.

B组提升题组

1.(2017福建普通高中质量检测)已知A(-2,0),B(2,0),斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N满足|MA|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为( )

A.-2

B.-

C.

D.2

2.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b 为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.

3.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C 交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(2)求证:A为线段BM的中点.

4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知R(x0,y0)是椭圆C:+=1上的一点,从原点O向圆R:(x-x0)2+(y-y0)2=8作两条切线,分别交椭圆于点P,Q.

(1)若R点在第一象限,且直线OP,OQ互相垂直,求圆R的方程;

(2)若直线OP,OQ的斜率存在,并记为k1,k2,求k1k2的值.

答案精解精析

A组基础题组

1.C 易知b=c=,故a2=b2+c2=4,从而椭圆E的标准方程为+=1.选C.

2.C 设双曲线的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a=2. |BF1|-|BF2|=2a=2,又|AF1|=|BF1|,故|AF2|-|BF2|=4,

又|AB|=|AF2|-|BF2|,故|AB|=4,故选C.

3.C 因为抛物线y2=2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6,所以若设该点为P,则

P(x0,±6).因为P到抛物线的焦点F的距离为10,所以由抛物线的定义得x0+=10.①因为P在抛物线上,所以36=2px0.②

由①②解得p=2,x0=9或p=18,x0=1,

则抛物线的方程为y2=4x或y2=36x.

4.C 由抛物线方程y2=4x可知焦点F(1,0).

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

∵M为线段AB的中点,

∴

将=4x1,=4x2两式相减可得-=4(x1-x2)⇒(y1+y2)·(y1-y2)=4(x1-x2)⇒=,

即k=,∵k>0,∴y0>0.

∴S△OFM=×1×y0=2,解得y0=4,

∴k==.故选C.

5.B 依题意,双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,且“右”区域是由不等式组

所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1<,即>,因此双曲线的离心率e=∈,选B.

6.答案-x2=1

解析解法一:因为点(1,2)在渐近线y=2x的左上方,所以双曲线的焦点在y轴上,故设双曲线的标准方程为-=1(a>0, b>0),所以解得a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为-x2=1.

解法二:因为双曲线的渐近线方程为y=2x,所以设双曲线的方程为-x2=λ(λ≠0),又双曲线过点(1,2),所以λ=1,所以双曲线的标准方程为-x2=1.

7.答案

解析由已知得a=1,b=c=,所以椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以1=+2=3,解得=,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2=4=.

8.答案

解析设双曲线的右焦点为F(c,0),易知|AB|=.

该双曲线的渐近线方程为y=±x,

当x=c时,y=±,所以|CD|=.