初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第18讲_圆的基本性质

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第18讲圆的基本性质

第十八讲圆的基本性质

到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．

圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：

1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；

2．了解弧的特性及中介作用；

3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．

熟悉如下基本图形、基本结论：

【例题求解】

【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．

作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．

注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．

圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．

【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )

A ．2

B ．25

C ．45

D ．16

175

思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．

【例3】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．

思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．

初中数学竞赛辅导(圆)

平面几何基础知识教程（圆）

一、几个重要定义

外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心

内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心

垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心

凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）

（折四边形）

二、圆内重要定理：

1．四点共圆

定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补

证明：略

判定方法：

1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略

特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆

3．视角定理：若折四边形ABCD中，∠=∠

ADB ACB，则A，B，C，D四点共圆

证明：如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P

因为∠=∠

ADB ACB，所以

180

∠=∠

∠+∠=∠+∠+∠=

∠+∠+∠=

ΔCPB∽ΔDPA

所以有

再注意到

因此Δ∽Δ

因此

由此

（ΔABD的内角和）

因此A，B，C，D四点共圆

PC PB

PD PA

CPD BPA

PCD PBA

BCD BAD BCA PCD BAD

BDA PBA BAD

特别地，当∠=∠

ADB ACB=90时，四边形ABCD有一外接圆

2．圆幂定理：

圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则PA PB PC PD

2019-2020年初中数学竞赛专题培训第十八讲归纳与发现.docx

的方法是事物内在系和律性的一种重要思考方法，也是数学中命与解思路的一种重要手段．里的

指的是常用的，也就是在求解数学，首先从的特殊情况的察入手，

取得一些局部的果，然后以些作基，分析概括些的共同特征，从而

解的一般途径或新的命的思考方法．下面几个例，以一般．

例 1 如 2-99 ，有一个六形点，它的中心是一个点，算作第一；第二每有

两个点 ( 相两公用一个点) ；第三每有三个点，⋯个六形点共有n ，第

n有多少个点？个点共有多少个点？

分析与解我来察点中各点数的律，然后出点共有的点数．

2019-2020 年初中数学培第十八与

因此，个点的第n 有点 (n-1) × 6 个． n 共有点数

例 2 在平面上有同一点 P，并且半径相等的 n 个，其中任何两个都有两个交点，任何三个除P 点外无其他公共点，那么：

(1)n 个把平面划分成多少个平面区域？

(2)n 个共有多少个交点？

分析与解 (1)在2-100中，以P 点公共点的有1， 2， 3， 4， 5 个 ( 取 n 个特定的 ) ，察平面被它所分割成的平面区域有多少个？此，我列出表18． 1．

由表 18． 1 易知

S2-S 1=2，

S3-S 2＝ 3，

S4-S 3＝ 4，

S5-S 4＝ 5，

⋯⋯

由此，不推

S n-S n-1＝ n．

把上面 (n-1) 个等式左、右两分相加，就得到

S n-S 1＝ 2＋3＋ 4＋⋯＋ n，

因 S1=2，所以

下面 S n -S n-1 =n，即 S n=S n-1＋ n 的正确性略作明．

因 S n-1n-1 个把平面划分的区域数，当再加上一个，即当n 个定点P ，个加上去的必与前n-1 个相交，所以个就被前n-1 个分成n 部分，加在 S n-1上，

数学培优竞赛新方法-第18讲从三角形的内切圆谈起

第18讲从三角形的内切圆谈起

数学是一个非常美的领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这不是很美吗？那里有真正自由，正是这种自由才是数学美的力量所在。

-----瑟斯顿

知识纵横

和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：

1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；

2.圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：

例题求解

【例1】如图，⊙O 是ABC Rt ∆内切圆，切点为F E D 、、，

若BE AF 、的长度是方程030132

=+-x x 的两个根，则ABC ∆的面积是

【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 于点E ，则DAE ∆与直角梯形EBCD 的周长的比值为（）A.43 B.54 C.65 D.7

【例3】如图，已知过原点O 和)2,2(M 的动圆⊙1O 交坐标轴于B A 、两点，设BOA ∆的内切圆⊙I 的直径为d ，求AB d +的值.

【例4】如图，在ABC Rt ∆中，其中3,4,90==︒=∠BC AC C ，其中⊙1O 、⊙2O ，...、⊙n O 为n 个相等的圆，⊙1O 与⊙2O 相外切，⊙2O 与⊙3O 相外切，……，⊙1-n O 与⊙n O 相外切，⊙1O 、⊙2O ，...、⊙n O 都与AB 相切，且⊙n O 与BC 相切，⊙1O 与AC 相切，求这些等圆的半径r （用n 表示）.

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页

初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）

第一讲走进追问求根公式

第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理

第四讲明快简捷—构造方程的妙用

第五讲一元二次方程的整数整数解

第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想

第八讲由常量数学到变量数学

第九讲坐标平面上的直线

第十讲抛物线

第十一讲双曲线

第十二讲方程与函数

第十三讲怎样求最值

第十四讲图表信息问题

第十五讲统计的思想方法

第十六讲锐角三角函数

第十七讲解直角三角形

第十八讲圆的基本性质

第十九讲转化灵活的圆中角

第二十讲直线与圆

第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理

第二十三讲圆与圆

第二十四讲几何的定值与最值

第二十五讲辅助圆

第二十六讲开放性问题评说

第二十七讲动态几何问题透视

第二十八讲避免漏解的奥秘

第二十九讲由正难则反切入

第三十讲从创新构造入手

第一讲走进追问求根公式

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】

【例1】满足的整数n 有个。

初中数学专题讲义-圆(含答案)

初中数学专题讲义-圆【考纲说明】

【知识梳理】

一、圆的定义

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

（1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。（1）劣弧：小于半圆的弧。（2）优弧：大于半圆的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质 1、圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论：

➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只

要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

中考数学专题复习第7章圆第18讲圆的有关基本性质-人教版初中九年级全册数学试题

第18讲圆的有关基本性质

☞【基础知识归纳】☜

☞归纳1：弧、弦、圆心角之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等

．．的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

【方法点拨】

正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，

①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，

三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．

☞归纳2：圆周角定理

定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是___直角__；90°的圆周角所对的弦是直径

推论3: 圆内接四边形的对角互补

【方法点拨】在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧要掌握．

【注意问题归纳】

①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．

利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．

②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．

③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件☞归纳 3：圆的切线

性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

如图所示，如果CD切⊙O于点A，那么OA⊥CD

判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

如图所示，如果AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,

那么CD是⊙O的切线.

☞【常考题型剖析】☜

☺题型一、圆心(周)角、弧、弦之间的关系

【例1】（2016某某）如图1，在⊙O中，=

九年级数学竞赛讲座圆的基本性质附答案

【例题求解】

【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．

圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．

【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ．

C ．45

D ．16175

思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．

【例3】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．

思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．

【例4】如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ；

(3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=2

初三辅导6《圆的基本性质》的知识点及典型例题

《圆的基本性质》的知识点及典型例题

知识框图

1、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。过三点可作个圆。过四点可作个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分

垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分

垂径定理的逆定理2：平分弧的直径

3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的

圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与

A B，那么所求的是弧长

劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求⌒

4.圆周角性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.练习

一、填空题：

1、如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________

2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________

3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________

（1题图）（2题图）（3题图）（4题图） 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ．

九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形．

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．

熟悉以下基本图形和以上基本结论．

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．

例题与求解

【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC

BAC 度数为_______．（黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（

）

A ．A

B +CD =EF B ．AB +CD >EF

C ．AB +C

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．

初中数学竞赛知识点和真题第18讲四点共圆

第18讲四点共圆

……对数学之美的感觉，对数与形之和谐的感

觉，对几何学之优雅的感觉。这是一种所有数学家都

深知的真正的美感。而这就是一种敏感性。

——庞加莱

知识方法扫描

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.

证明四点共圆常常利用以下一些方法思考：

(1) 要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等．特别是先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角；此外若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆．

(2) 若两线段AB ，CD 相交于E 点，且AE·EB=CE·ED ，则A ，B ，C ，D 四点共圆；若相交直线PA ，PB 上各有一点C ，D ，且PA·PC=PB·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆．

共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介．

经典例题解析

例1．在锐角△ABC 中，以BC 为直径作圆与BC 边上的高AD 及其延长线交于M ，N 。以AB 为直径作圆与AB 边上的高CF 及其延长线交于P ，Q 。求证：M ，P ，N ，Q 四点共圆。

证明连接BM ，MC ，在Rt △BMC 中，∠BMC ＝90°，

MD ⊥BC ，故BM 2＝BD ·BC 。

即 BM ＝BN ＝BC BD ⋅，同理 BP ＝BQ ＝BA BF ⋅.

走进重高培优讲义专题集训初中综合教练第18讲圆的基本性质

第18讲圆的基本性质

1．理解并掌握弧、弦、圆心角和圆周角的关系，能灵活运用解决问题．

2．理解并掌握圆的轴对称性、中心对称性和旋转不变性．

3．理解并掌握探索垂径定理，会用垂径定理进行有关计算．

4．理解并掌握圆心角定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质，理解圆弧、弦、圆心角、圆周角等圆有关的元素之间的关系，学会将圆有关的问题转化为特殊三角形的问题解决．

1．概念易混淆：弦是连接圆上任意两点的线段；弧是圆上任意两点间的部分．弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦．

2．垂径定理的推论中，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

3．理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件．

4．同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补．

5．基本性质中以认识为基础突出了应用，应用主要有两个方面：一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对应量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成的直角三角形进行相关计算．多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大．

例1 如图，已知矩形ABCD 中，,4,3cm BC cm AB ==若以A 为圆心、5 cm 长为半径画⊙A，则点C 与⊙A 的位置关系为( )．

A ．点C 在⊙A 上

B ．点

C 在⊙A 外 C ．点C 在⊙A 内

D ．无法判断

【参考答案】A

【方法归纳】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆心的距离等于半径时，点在圆上；点与圆心的距离小于半径时，点在圆内；点与圆心的距离大于半径时，点在圆外．

中考培优竞赛专题经典讲义第18讲圆与相似

第18讲圆与相似

模型讲解

【例题讲解】

例题1如图，AB 为O O 的直径，C 为O O 上一点，弦 AD 平分/ BAC ，交BC 于点E , AB = 6, AD = 5, 则AE 的长.

•/ AB 为O O 的直径， •••/ ADB = 90°

••• BD = AB 2- AD 2 = 62-52 = 11 ,

•••弦 AD 平分/ BAC ,

CD = BD = 11 ,

色 ABE s 匕

DCE

二 ABEs^ ADC

【解析】如图，连接BD 、CD ,

•••/ CBD = Z DAB ,

在厶ABD 和厶BED 中,

/ BAD = Z EBD / ADB = Z BDE • △ ABD s\ BED ,

解得DE = 11

例题2如图，在△ ABC 中，以AC 边为直径的O O 交BC 于点D ，过点B 作BG 丄AC 交O O 于点E 、H ，连 AD 、ED 、EC .若 BD = 8, DC = 6，求 CE 的长.

•••/ ADC = 90 ° ,

•/ BG 丄 AC ,

•••/ BGC = Z ADC = 90°, •••/ BCD = Z ACD, • △ ADC BGC ,

DC = AC

…CG BC '

• - CG • AC = DC • BC = 6X 14= 84, 连接AE ,

•/ AC 为O O 的直径，

:丄 AEC = 90°,

•••/ AEC = Z EGC = 90°, •••/ ACE = Z ECG , •••△ CEG CAE , • CG = CE

第18讲圆的基本性质备战2020中考数学考点举一反三讲练(教师版)

第18讲圆的基本性质

一、考点知识梳理

【考点1 圆的有关概念及性质】

1.定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形

2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦

3.直径：直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦

4.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做等弧

5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆

6.同心圆：圆心相同的圆叫做同心圆

7.圆的对称性

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线

圆是中心对称图形，对称中心为圆心

【考点2 三角形的外接圆】

1.不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等；

【考点3 垂径定理】

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

【考点4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】

1.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等

2.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论3：圆内接四边形的对角互补

初中数学重点梳理：圆的基本性质

圆的基本性质

知识定位

圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理

1、圆的定义：

（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．

（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．

⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O

读作“圆O”。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．

2、弦和弧：

（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．

（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B

弧AB．

（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

中考数学几何复习第七章圆第18课时三角形的内切圆教案

第七章：圆

第17课时：三角形的内切圆

教学目标：

1、使学生学会作三角形的内切圆．

2、理解三角形内切圆的有关概念．

3、掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征．

4、会关于内心的一些角度的计算．

教学重点：

掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念．同三角形的外接圆一样，务必使学生准确掌握三角形内切圆的画法．

教学难点：

画钝角三角形的内切圆，学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形．

教学过程：

一、新课引入：

我们已经学习过三角形的外接圆的画法及有关概念，现在我们用同样的思想方法来研究三角形的内切圆的画法及有关概念．

二、新课讲解：

在一块三角形的纸片上，怎样才能剪下一个面积最大的圆呢？实际上它就是作图问题：

例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．

已知：△ABC．

求作：和△ABC的三边都相切的圆．

让学生展开讨论，教师指导学生发现，作圆的关键是确定圆心，因为所求圆与△ABC的三边都相切，所以圆心到三边的距离相等，显然这个点既要在∠B的平分线上，又要在∠C的平分线上．那它就应该是两条角平分线的交点，而交点到任何一边的垂线段长就是该圆的半径．学生动手画，教师巡视．当所有学生把锐角三角形的内切圆画出来时，教师可打开计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要分步骤进行．然后学生按左右分别画直角三角形和钝角三角形的内切圆．这时学生在画钝角三角形的内切圆时，可能出现与边相交或相离的情形，这很正常，教师要帮助学生加以纠正，并最终指导学生完成下列问题：

l．三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第18讲_圆的基本性质