幂函数剖面薄圆环振子的扭转振动特性
第4章 扭转
4.1 概述
某轮传递功率P=30kW ，转数 n = 300 rpm， 例： 某轮传递功率 ， 则它对轴作用的外扭转力偶矩为? 则它对轴作用的外扭转力偶矩为
30 P Me = 9549 = 9549 n 300
= 954.9 N ⋅ m
思考：如果传递的功率单位为马力（ ， 思考：如果传递的功率单位为马力（PS)，那麽公 式会怎样？ 式会怎样？
W= t
πD3
16
(1−α ) =
4
π ×903
16
3) 校核强度。 校核强度。
τmax
90 − 2×15 1− 90
4
=114.9×103 mm3
Tmax 9.56×106 = = = 83.2M > [τ]=80MPa Pa 3 W 114.9×10 t
扭转切应力
τρ
Tρ = Ip
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
5. 最大切应力 当 ρ = ρmax
τ max
式中
T = Wt
Wt =
Ip
ρmax
称抗扭截面系数，单位： 称抗扭截面系数，单位：m3.
ห้องสมุดไป่ตู้
4.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
Ip和Wt公式
Ip =
D
πD4
32
W = t
πD3
16
Ip =
d
MC 2 C MD 3 D
4.2 扭矩 扭矩图
2)计算轴上各段的扭矩 计算轴上各段的扭矩 BA段：∑Mx =0 段 T1 = -MB =-2387.25Nm
MB B T1 MB B MA A T3 MD D T2
AC段：∑Mx =0 段 T2 = MA−MB=2387.25Nm CD段：∑Mx =0 段 T3 =MD = 954.9Nm 3) 作扭矩图 按比例绘出扭矩图如右所示。 按比例绘出扭矩图如右所示。
扭转振动测试的实验研究
第23卷 第1期 昆 明 理 工 大 学 学 报 Vol.23No.1 1998年2月 JOURNAL OF KUNMIN G UN IV ERSIT Y OF SCIENCE AND TECHNOLO GY Feb.1998扭转振动测试的实验研究Ξ张建勋 罗德扬(昆明理工大学建筑工程及力学系,昆明 650093)摘要 扭转振动可以看作是匀速轴转动的相位调制.如果可能从回转轴上取出回转编码信号,在一定条件下,此信号的相位解调就表示轴的扭转振动.进行相位解调的有效方法是使用FF T分析仪将实信号变为解析信号,而后将其幅值和相位调制分量分解出来.利用希尔伯特变换技术进行幅、相解调,这在通讯领域应用较为广泛.而将其用于扭转振动的检测和分析,目前来说还不多见.为此,我们设计了一套实验装置,利用相应的设备和开发软件进行了一系列实验,得到了一些数据和结果.由于整个解调过程是数字化的.因而具有精度高、应用范围广、适应性强等一系列传统模拟方法所不可比拟的优点,并摒弃了复杂、昂贵而精度有限的扭振传感器.关键词 希尔伯特变换;扭转振动;相位调制;相位解调;编码信号;扭振传感器中图分类号 TG506191 扭转振动分析原理和方法图1显示实现相位解调和扭振分析的测试分析系统.分析系统主要由双通道信号分析仪B K2034和286微机组成,二者间由GPIB通用接口总线联结,并由开发的通讯软件B KU TIL支持.此程序使计算机能监测,控制B K2034的运行和数据输入输出等.根据扭振分析的理论,实际分析过程可用图2表示.图中,双边框的过程由B K2034实现,单边框内的过程由计算机完成.从光电编码器输入的被扭振调制的编码脉冲,被输入B K2034,在转速同步脉冲和外部采样脉冲的控制下进行时域同步平均,达到排除与转速频率无关的噪声的干扰.转速脉冲作为同步平均的触发信号,外部采样则保证了频率跟踪.在达到给定的平均次数后, B K2034自动对平均信号用FF T进行谱分析.并显示同步平均谱.带通滤波是由程序控制以人机对话方式进行的,在定了适当的中心频率和带宽后,仅只有带宽内的数据被读入计算机从而实现带通滤波.程序按频移原理及离散付里叶变换的周期特性将滤波谱进行重新排列,完成谱不移并生成数据文件.该数据文件被输入B K2034调用其FF T功能进行付里叶变换.变换后的数据又写入计算机后,由程序控制组成了复信号,并算出它的包络和Ξ收稿日期:1997-10-15相位.计算结果经标定后输入2034显示分析结果,并可打印出硬拷贝.图1 扭振分析系统图2 扭振分析流程图回转轴的扭转振动,无论是伴随着回转的周期性振动,还是每转重复发生的瞬态振动,都是以轴的回转频率的整数倍(包括相等)频率为基频的周期振动.理论上扭振编码信号的频谱应为离散状,所有谱线包括谐波谱线和边带谱线都位于回转频率的整数位置上.由于整个分析过程是数字过程,主要运算为付里叶正逆变换,其间还对频谱进行矩形截断以实现带通滤波.为保证数字化分析的可靠性,必须对扭振信号进行整周期截取,以避免泄漏和栅栏效应.实现整周期截取的关键是采用频率跟踪技术,使A/D 变换中的采样频率自动跟踪轴的频率始终为回转频率的整倍数(称为乘法因子,本例中为1024),而不是由A/D 内部时钟控制.当轴的转速变化时,仍能保证对每一转的编码信号有相同的采样点,而形成一个完整的数据块.在B K2034进行数据采取时,就是用脉冲发生器产生的采样脉冲来实现频率跟踪的.而转速脉冲用来触发A/D 变换器保证每一个数据块的起始点位于编码信号(即扭振信号)的某固定相位上,保证了同步平均的可靠.B K2034在进行运算分析时,每个数据块是2048点,而脉冲发生器每转发出的是1024个采样脉冲,所以一个数据块包含了两转的编码和扭振信号.理论分析证明,在频谱图上,编码脉冲及调制边带的谱线应当位于分析仪的偶数谱线上,奇数谱线实为干扰噪声.根据这一分析,在进行带通滤波时,程序将通带内所有奇数谱线置零,消除噪声以提・96・第1期 张建勋等:扭转振动测试的实验研究高分析精度.图3 调幅调相信号及频谱由计算机完成频谱平移和数据组合后,需进行付里叶逆变换.这是调用B K2034的FF T 功能来完成的.数据的实部和反号后的虚部(取共轭)分别视为两路时间信号输入B K2034作付里叶正变换.得到各自的变换后实虚部共4组数据,程序将这些值重新组合成一复时间信号,该信号的模就是编码脉冲的包络,幅角除以修正因子(与每转编码脉冲数及通带滤波中心频率有关)就得到了扭转动的角位移时间历程.实现上述信号分析过程的应用程序软件是解调程序APDM (幅相解调).程序既控制调用B K2034相关功能又完成灵活的数据传输、转换、存储和各种运算.考虑使用的一般性和通用性,程序是在B K2034完成时域同步平均和谱分析并显示出编码频谱的基础上运算的.a 包络信号b 相位信号图4 APDM 解调的结果APDM 程度具有很高的可靠性和准确性,用B KU TIL 程序向B K2034写入一系列专门生成的数据文件,模拟各种情况下的调幅调相波及频谱,而后用APDM 进行解调,均得到十分满意的结果.图3表示了一个幅相均被调制的周期信号及其频谱,在这个最一般的例子中载波、调幅波调相波均是有两个谐波(基频和二次谐波)的一般周期信号.图4表示了由APDM解调出的结果.图4a 为包络,图4b图5 扭振试验装置简图为相位.分析结果完全符合数据文件的设定参数.2 扭转振动试验装置扭转试验装置用来产生频率和幅值大小可以调节的扭转振动,输出扭转编码信号,并能同时产生用于频率跟踪的采样脉冲和同步触发用的转速脉冲.211 试验装置的构成・07・昆 明 理 工 大 学 学 报 1998年图5是本试验装置的结构简图.直流电机经过单级万向联轴节带动扭振轴旋转.在轴的另一端装有一个圆盘(编码盘)在靠近圆盘边缘的圆周上,均匀分布着60个小孔,圆周正好与固定在装置底坐上的红外光电开关的光线通道重合.当圆盘转动时,该圆周上的有孔和无孔部分交替通过光线通道,使光电开关中的光敏二极管交替地闭合断开,通过负载电阻输出编码脉冲.当扭振轴与电机轴在一条直线上时,扭振轴与电机一道作匀速转动;当二者成一角度时,根据万向联轴节特性,扭振轴会产生每转两周的扭转振动,振动频率为电机回转率的两倍.轴的扭振将调制编码脉冲的相位,用这种方法简单而又可靠地拾取到扭转振动信号.a 转速脉冲,b 采样脉冲,c 编码脉冲图6 试验装置产生的三种脉冲直流电机还通过一对1∶1的同步齿轮带动一个光电脉冲发生器转动,电机转一周,扭振轴转一周,脉冲发生1024采样脉冲,同时还在固定相位上发出一个转速脉冲,采样脉冲输入B K2034,驱动A/D 转换器,保证在电机的任何转速下,对每转的编码脉冲都是1024个采样点,实现了频率跟踪;转速脉冲输入B K2034作为采样时的触发脉冲,以实现同步平均.图6 a ,b ,c 分别表示由试验装置产生的转速脉冲,采样脉冲和编码脉冲.为实现采样频率自动跟踪回转频率,通常是采用一种称为频率乘法器的仪器,这种仪器国内尚无产家生产且相当昂贵.使用与电机轴同速转动的光电脉冲发生器,在此试验装置中简单可靠地解决了这一问题.3 扭振分析实例与分析参数选择311 分析实例图7所示为扭振轴的扭转振动分析结果.图7a 是扭振的时间历程,横坐标是转角,共两转720度,纵坐标是扭转振动的角位移,该图清楚地显示出存在着两周的扭转振动,这是与万向联轴节特性相符的.图中的角位移扩大了60倍(n =1N =60),其实际峰—峰值为240/60=4度.图7显示的是该扭振的位移频谱,频谱中的主要成分就是由联轴节引起的频率为2倍回转频率的扭振.多次分析结果,该频率分量的平均值为66177(RMS )标准差为01002;这说明了试验装置的稳定性和分析技术的可靠与精确性.频谱中的回转频率分量是由转轴的径向抖动引起的.・17・第1期 张建勋等:扭转振动测试的实验研究a 扭振的时间历程b 扭振的位移频谱图7 扭振轴的扭振分析结果312 带通滤波参数的选择在整个分析过程中,带通滤波是关键步骤之一,其参数是中心频率和带宽,即被解调的边带对数.对编码脉冲的不同次谐波,由同一扭振信号调制后产生的相位调制量是不同的;正如前面的理论分析指出的,由分析程序得出的结果是放大了nN 倍的扭振信号nN p (t ),(n 为谐波次数,N 是每转编码脉冲数).一般来说,n 的优选值是1,即选编码脉冲的基频分量及其边带为解调对象,此时滤波器的中心频率为nf .这样选择有三个考虑,一是使每转编码脉冲数N 有比较大的选择范围;二是周期信号的基频分量一般幅值最大,选基频可提高分析的信噪比;三是调制指数β与nN 之积正成比,选n =1使β较小,对下面要讨论的避免边带干涉是有利的.另一方面,在实际扭振量p (t )很小时,为提高分析灵敏度,也可选用高次谐波.相位调制理论指出,即使最简单的单频调制也会产生无限延伸的边频带,这样两个相邻谐波的边频带就会重叠产生干涉.实际上,边带幅值沿谐波左右延伸时是迅速衰减的,因而调制带宽可近似认为是有限的,在选择解调带宽时,一方面带宽应足够宽,以保证绝大部分调制信息.但从避免相邻边带干涉角度出发,解调带宽又应该是有限的.折衷原则是在保证分析精度的情况下,选择较小的带宽.图8 分析结果与λ的关系图8表示扭振分析结果与解调带宽之间的关系.图中的纵坐标是扭振幅值(基频分量),横坐标是被解调的边带对数λ.很明显,随着λ的增加,振幅值逐步增加,当λ>4时,分析值趋于一稳定值.这就是实际上的扭振幅值(放大了nN 倍).根据贝塞尔函数曲线及试验结果在β《1时(β以弧度计),λ=1即只需解调一对边带就可能得到足够精确的分析结果;在β较大时,可选2-5条边带.本例中λ=4.313 每转脉冲数N 及编码波形选择理想的编码波形,其频谱中相邻谐波分量之间的间隔应尽可能的宽,给解调带宽有较・27・昆 明 理 工 大 学 学 报 1998年大的选择余地,也减少边带干涉的影响.在各种脉冲波形中,容易得到而又合乎这个要求的是占空比相等的矩形脉冲.这种脉冲系列的频谱中只有奇次谐波,即n =1,3,5,…,任意两个相邻谐波间的频率跨度等于2N f ,这样解调带宽理论上也可达2Nf.而不至于进入相邻边频带.编码信号的每转脉冲数N 直接影响实际的调制指数β,如果N 是可调的,则在扭转幅值较大时,可用较小的N 值,使边带适当的缩小,以利于解调;而在扭转幅度较小时,可用适当大的N 值,以提高分析灵敏度和精度.一个简单的分频器,可以以整倍数减小N 值,同时又具有整形作用使输出信号为理想的方波.因而可选用N 值较大的编码发生器.后接分频器,根据具体情况作调整,以得到较佳的分析参数.a 离散频谱b 连续频谱图9 扭振编码信号的频谱314 频率跟踪的效应如前所述频率跟踪技术是此分析方法的关键之一.图9a 所示的是采用频率跟踪所得到的扭振编码的频谱,频谱呈现明显的离散状,而在不采用此技术时,频谱呈连续状,如图9b 所示,这主要是由于非周期截断而产生泄漏引起的.只有在周期信号所具有的离散频谱的前提下,才能用本课题所研究的数字方法进行扭转振动分析.4 结论通过以上工作,得出下列结论:1)当回转系统产生扭转振动或瞬时回转振荡时,所检测到的振动信号和回转编码脉冲会产生幅、相调制.利用希尔伯特变换技术对其进行解调,就能准确分离出扭振及瞬时振荡的全过程.由于解调过程是数字化的,因而具有精度高,应用范围广,适应性强等一系列传统模拟方法所不可比拟的优点,并摒弃了复杂,昂贵而精度有限的扭振传感器.2)频率跟踪技术是本课题所研究的扭振分析方法得以成功的关键之一.频率跟踪技术使信号采集时的A/D 变换采样频率自动跟踪参考轴的回转频率(相差一个固定的倍数),保证了在参考轴的转速稍有变化时,对每一转的编码信号有相同的采样点数(1024)和一致的触发相位;编码信号的频谱呈周期信号特有的离散状,所有信号谱线均位于轴回转频率的整数倍位置上.这就保证了在信号分析中的周期截取,避免了泄漏的产生,使分析结果精确可靠,并避免了非相关噪声的干扰.传统频率跟踪技术需要由锁相环控制的频率位乘器,此仪器十分昂贵且国内尚无可靠的产品.在本课题中,是采用同步齿轮由电机驱动一个光电脉冲发生器每转发出1024脉冲作为采样脉冲,实现了可靠的频率跟踪,此方法简单、可靠、有推广价值.3)用光电编码发生器检测扭振信号,取代了昂贵,复杂,且性能不高的扭振传感器.编码发生器由安装在扭振轴端的孔盘和远红外光电开关组成,每转发出60个被调相的编・37・第1期 张建勋等:扭转振动测试的实验研究码脉冲.利用触发器和分频器可改善编码信号的波形和每转脉冲数、调整分析参数.4)扭转编码脉冲以占空比相等的矩形脉冲最为有利;一般情况下,应选用编码脉冲的基频分量及边带作为解调对象,当扭振信号较弱时,可选用其高次谐波,这样既能有较高的分析精度,又能有效地避免相邻边带干涉;解调带宽在保证分析精度情况下,选择较小的宽带,每转脉冲数N 如果可调,则在扭转幅值较大时,选用较小的N 值,使边带适当缩小,以利于解调,而在扭转幅度值较小时,选用适当大的N 值,以分析灵敏度和精度.5)本文讨论的分析方法所得出的扭振函数在时域内十分细致地显示整个信号的时间历程,而且其频谱也十分清晰.6)本文所研究的扭振测试和分析方法.特别适合各种回转系统如内燃机曲轴、发电机、齿轮传动链等的扭转振动.有广阔的应用前景.参 考 文 献1 RANDLL R.B 1,LUO DEY AN G ,Hilber Transfom Techniques for Torsional Vibration Analllysis .The Institution of Engineers Australia ,Vibration and Noise confe rence ,Melbourne 18-20september 1990.2 R.B 1RANDALL ,Hilbert Transform Techniques In Machine Diagnostcs.Bruel K jaer Australia Pty Ltd.3 MCFADDEN P.O.Detecting Fatigue Cracks in G ears by Amplitude and Phase Demodulation of the Meshing Vibration .J.Vib.Acoust.stress Rel.Des 1,108/165,April 19864 黄迪山,陆乃炎,童忠钫,程耀东.应用希尔伯特变换提取相位信号.振动与动态测试,1988,(2):68～715 (美)J ・S 米切尔.机器故障的分析与监测,北京:机械工业出版社,1990.15～25Experimental Study on Torsional Vibration DetectionZhang Jianxun Lou Deyang(Department of Architectural Engineering and Mechanics ,Kunming University of Science and Technology ,Kunmng 650093)ABSTRACT Tosional vibration can be considered a phase modulation of a uniform shaft speed.If a shaft en 2clder encoder signal is available the phasedemodulation of this signal indicatds the torsional uibration the shaft FFT analyser is used to construct the analytic signal correspondring to a measured real signal and the amplitude and phase modulation components is to be decomposed.The Hilbert transformation technigue for anplitnde demodulation and phase demodulation is widely applied to communication ,But it has mot beem applied sowidely in torsional wibration detection and analysis.S o we havi designedan enperiment set -up ,using acrresponding eguipment anddevebped software forexperimentation We obtained some datas and results.As all process demodulationis digital ,it has the advantage of high precision ,widely application ,adaptable ,which the traditonal way modelling can mot becompoued with throws away tor 2sional vibration transmitter which is complicated ,expensive and low precision.K ey w ords Hilbert transformation ;torsional vibration ;phase modulation ;phase demodulation ;encdet sig 2nal ;transmittet.・47・昆 明 理 工 大 学 学 报 1998年。
北航强度震动Chapter 4
13
12/16/2013 1:33:33 PM
School of Energy and Power Engineering
14
4.1.6 共振特性
振动频率与旋转速度的关系
激振力频率 共振时
fe z n
fv f e
Z为结构系数，正整数 fv是行波振动频率
nres f / ( z K )2 B
Structural Stressing and Vibration in Aircraft Gas Turbine Engines 第四章 盘和壳体的振动 Chapter 4 Vibrations of Disc and Shell
能源与动力工程学院 School of Energy and Power Engineering
School of Energy and Power Engineering 24
6
s 17-05-21, 19:46
asus 17-05-19, 13:36
Pressure Loading on Blades
asus 17-05-14, 23:24
压气机叶盘转子耦合振动示例
12/16/2013 1:33:33 PM
10E
2000
1000
3E
0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
n (r/min)
12/16/2013 1:33:33 PM School of Energy and Power Engineering 23 12/16/2013 1:33:33 PM
Fluid-Structure Interaction
改变壳体的结构尺寸 采用阻尼系数高的材料
任意面内荷载作用下薄圆盘的自由振动与屈曲分析
任意面内荷载作用下薄圆盘的自由振动与屈曲分析作者：李国荣周叮李雪红霍瑞丽来源：《振动工程学报》2021年第05期摘要：基于單集中力作用下半无限平面的应力分布公式，利用外载荷叠加原理，得到自平衡面内集中力系作用下薄圆盘的应力分布公式，通过积分计算进一步获得自平衡面内分布力系作用下薄圆盘的应力分布表达式。
取切比雪夫多项式与边界函数的乘积作为容许函数，应用里兹法分别导出薄圆盘在任意面内静力荷载作用下的横向自由振动与屈曲的特征值方程，数值求解特征值方程得固有频率和屈曲荷载。
与取幂级数和傅里叶级数乘积作为容许函数以及有限元结果对比验证了方法的快速收敛性和高精度。
关键词：横向振动; 屈曲; 薄圆盘; 面内荷载; 里兹法中图分类号： O326; TU311.3 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2021）05-1001-08DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.05.014引言薄壁结构具有重量轻、经济性好等优点，被广泛应用于航空、桥梁、机械等领域，在使用过程中人们发现其较易发生共振。
而结构边界约束等亦会引起薄壁结构的面内初应力，导致其原有的动力特性发生改变，使得实际使用中出现的共振难以控制。
圆盘在经典边界条件下的振动研究已十分成熟，一些学者研究了圆盘在各种边界条件下的振动特性。
石先杰等[1]采用谱几何法分析了弹性边界条件下圆盘横向自由振动特性。
武兰河等[2]采用微分容积法求解任意边界条件下中厚圆盘的轴对称自由振动。
李秋红等[3]采用改进的Fourier⁃Bessel级数方法和Rayleigh⁃Ritz法对任意弹性边界条件下圆盘的自由振动进行分析。
Shi等[4]提出了一种求解任意边界条件下圆盘自由振动的统一方法，将位移解用一种简单的三角级数展开形式表示。
Zhang等[5]基于简化板理论和改进的二维傅里叶⁃里兹法，建立了圆盘在各种弹性边界条件下振动特性的统一分析模型。
压电振子振动模式及其频率计算
§6.1压电振子的振动模式压电材料的机电转换是通过某一尺寸和形状的压电振子在某种特定条件下产生振动来实现的。
压电振子的振动方式（振动模式）的种类很多，不过，通常可以将这些振动模式分为三大类，即：一.伸缩振动（见图6.1）图6.1 伸缩振动的各模式示意图外加电场方向与压电振子极化方向相同，振子的振动方向与激励声波传播的方向也相同，这类振动模式称为伸缩振动。
显然，这种振动模式激发出的是纵波，即媒质中质点的振动方向与波的传播方向相同。
伸缩振动可以细分为：1.横向长度伸缩型振动棒状压电振子（可以是圆或矩形、方形截面，或者是长条薄片）沿长度（轴向）方向振动，而振子的极化方向与振动方向垂直。
这种振动的特性与机电耦合系数K 31相关，多用于较低的振动频率（50-200KHz）。
横向长度伸缩型振动的条件要求振子长度远大于振子的半径（或截面尺寸），否则会产生复杂的振动耦合干扰，它的基频谐振频率为：f r =（1/2l）（ρS E 11）1/2反谐振频率为：f a =（1/2l）（ρS D 33）-1/2式中：ρ为材料密度；l为振子长度；S E 11和S D 33均为弹性柔顺常数。
根据频率常数，我们可以得出某材料压电振子作横向长度伸缩振动时的谐振频率：f=N l /l式中N l 为横向长度伸缩振动的频率常数。
2.径向伸缩型振动圆薄片形压电振子沿半径方向振动（表现为整个圆周振动，向四周辐射声波），它的极化方向沿厚度方向（与圆片平面垂直）。
它的振动特性与机电耦合系数K p 相关，其振动频率多在200KHz-1MHz范围。
径向伸缩型振动的条件要求振子的厚度远小于振子半径，否则会产生复杂的振动耦合干扰，它的谐振频页码，1/3(W)w 2010/12/11/hichina/tech-area/uttransducer/6-1.htm率为：fr n =φn C r /2πa式中：C r 为沿半径方向的声速；a为振子半径；φn 为方程（1-σE ）J 1（φ）=φJ 0（φ）的第n个正根，J 0和J 1分别为零阶与一阶贝塞尔函数；σE 为电场强度恒定时的泊松比。
机械振动6连续系统的振动3轴的扭转振动
14
3
等直轴的扭转自由振动：
2 a t 2 x 2
2 2
f ( x, t )
a
G
0
x
dx
x
方程形式与弦的横向振动、杆的纵向振动方程一样， 因此也有相同形式的解 ： x x ( x, t ) ( x) F (t ) C sin D cos ( A sin t B cost ) a a 式中有四个待定常数，决定于初始条件和边界条件。
轴的扭转弹性刚度
略去轴质量的单自由度扭振固有频率
10
a 即 0 . 52 . 若α =0.3 ，由表6.3—1得数值解β1 =0.52。 1 L a a 而近似解 1 0.5477 。 两者误差仅5.327%。 L L
如果轴的转动惯量与圆盘转动惯量接近， 用2.3节的瑞利法，将轴转动惯量的1/3加到圆盘转动惯量上， 再按单自由度扭振系统计算，得：
式中Ai,Bi取决于初始条件： ( x,0) 0, 代入上式：
( x,0) ,
(2i 1)x sin Bi 0， 2L i 1
Bi 0，
(2i 1)x (2i 1)a sin Ai ， 2L 2L i 1
14 13
(2i 1)x (2i 1)a ( x, t ) sin Ai sin t 2L 2L i 1
( x, t ) 为杆上距离原点 x 处的截面在时
刻 t 的角位移 截面处的扭矩为 M
14
2 J p dx 2 t
J p dx
：微段绕轴线的转动惯量
2
达朗贝尔原理：
2 M J p dx 2 ( M dx) M fdx 0 t x 2 M f ( x, t ) 即： J p 2 t x 材料力学： M GJ p x 2 代入，得：J p 2 (GJ p ) f ( x, t ) t x x
(完整)LMS – 扭转振动测试分析解决方案ppt
脉冲 信号
A D
信号调理 抗混叠滤波
↑2
32 点拉格朗日
插值
升采样
最终的线性 内插
数字滤波 降采样 转速跟踪同步 重采样
….
连续的瞬态转速信号 (时域数据)
实际
ADC 采样点
过零位 升采样
实际
ADC 采样点
Δ y[0]
1-
Δ
y[1]
6 copyright LMS International - 2005
扭振在角度域的分布
传动带的传递率研究
Inc. Encoder Crank Shaft
1800 ppr
▪ 多转速通道 ▪ 在线扭转振动计算 ▪ 在线计算:
▪ 传动带传递率 % ▪ 传动带拉伸 ▪ 传递误差 ▪ 传动带/带轮 线性位移，速度，加速度 ▪ 轴转动角位移，角速度，角加速度 ▪ 轴间相对角位移，角速度，角加速度(2 轴之间)
Order 2.00 torsional vibration flywheel side
1.20
F
Order 4.00 torsional vibration flywheel side
F
Order 6.00 torsional vibration flywheel side
1.10
1.00
2036.00
角速度,角加速度,扭振角,轴扭矩,传动失效比
分析与时间,频率,角度,阶次的关系
另外,还有导出通道计算功能以及时域原始信号后处理功能
扭矩的计算
32ML (D4 d4)G
M(D4d4)G
32L
扭转刚度K
其中：
：扭振角
M：扭矩
L ：弹性轴工作长度 D ：弹性轴外径
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究【摘要】本研究利用拉格朗日-欧拉描述，探究了薄平板大幅扭转振动的气动特性。
通过气动特性分析和实验方法与数据处理，揭示了振动特性的规律。
在数值模拟结果中发现，薄平板在气流中振动会产生复杂的气动力，进而影响其振动行为。
研究结果表明，振动幅度和频率受到气动力的显著影响。
结论部分总结了本研究的主要发现，并展望了未来进一步研究的方向。
本研究对于深入理解薄平板在气流中的振动特性具有一定的理论和实用价值。
【关键词】薄平板、大幅扭转振动、拉格朗日-欧拉描述、气动特性、实验方法、数据处理、振动特性、数值模拟、研究结论、研究展望1. 引言1.1 研究背景薄平板大幅扭转振动是一种在空气动力学和结构动力学领域中具有重要应用价值的现象。
在空气动力学研究中，薄平板大幅扭转振动现象对于飞机、桥梁等结构的稳定性和气动特性有着重要的影响。
而在结构动力学研究中，薄平板大幅扭转振动也被广泛应用于振动传感器和振动控制系统中。
随着科学技术的不断发展，人们对薄平板大幅扭转振动的研究越来越深入。
目前对于薄平板大幅扭转振动的拉格朗日-欧拉描述和气动特性分析还存在许多问题有待解决。
进一步深入研究薄平板大幅扭转振动的拉格朗日-欧拉描述和气动特性分析，对于提高飞机和其他结构系统的性能具有重要意义。
本研究旨在通过实验方法和数值模拟相结合的方式，深入探讨薄平板大幅扭转振动的气动特性，为相关领域的研究提供新的理论和实验基础。
1.2 研究目的研究目的是为了探究薄平板大幅扭转振动对气动特性的影响，以及寻求优化振动控制方案。
通过拉格朗日-欧拉描述，我们可以更准确地描述平板的振动情况，并深入分析振动与气动之间的相互作用。
这项研究旨在揭示薄平板大幅扭转振动对气动力的动态影响机制，为改进薄平板结构设计和振动控制提供科学依据。
通过实验方法和数据处理的深入探讨，我们将全面了解薄平板振动的特性及其对气动性能的影响规律，为未来的数值模拟和优化设计提供可靠的基础。
其它振动模式
经过压电振子电极面旳电流I为
I dQ dt
而电极面上旳电荷Q为
2 a
Q 0
0 Dz rdrd
27
积分时注意到： 即得
a
krJ0 (kr)dr aJ1(ka)
0
Q
d321Y a2 1
kaJ
0
2J1(ka)(1 ) (ka) (1 )J1
(ka)
2
E0e jt
a2
X 33
J
1
(
ra
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)
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a c
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r2a
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2
(1 )
ra
c
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J
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c
)
（5-55）
42
由（5-50）式知
ra c
J0
(ra c
)
(1
)J1
(ra c
)
0
或者
ra c
J
0
(
r c
a
)
(1 )
J1
(
r c
a
)
43
将这些关系代入到（5-55）式得
kaJ 0
(r a
c
)
幂指数棱台声子晶体对薄板振动弯曲波的调控特性研究
幂指数棱台声子晶体对薄板振动弯曲波的调控特性研究作者：金星张振华来源：《振动工程学报》2023年第06期摘要针对薄板结构的振动控制，提出了一种幂指数棱台声子晶体构型，并对其带隙的产生机理和影响因素进行了分析，结果表明提出的幂指数棱台声子晶体具有三个弯曲波完全带隙，其中第二带隙宽度可达850 Hz。
联合数值仿真和试验方法对声子晶体的弯曲波带隙进行了验证。
随着棱台结构高度的增加，三个带隙的带宽扩大。
棱台的幂函数幂次升高会使带隙的起始频率与终止频率降低，而边缘厚度的增高会弱化能量聚焦效应使带隙的宽度逐渐变窄。
具有线缺陷的声子晶体板可使带隙频段内的弯曲波沿着设计路径传播。
关键词振动控制; 薄板; 声子晶体; 完全带隙; 弯曲波引言板壳类结构在船舶、航空、车辆等领域有着广泛的应用，其减振降噪问题一直是工程界的重要关注点。
声学超材料概念的提出为薄板结构的减振降噪提供了新的技术途径。
其中声学黑洞（ABH）［1］的结构厚度设计成幂指数函数（h（x）=ε|x|m（m≥2））的形式，可使沿该方向传播的振动波能流集中在结构的尖端位置，再通过附加阻尼材料吸收振动能量以达到减振效果，其在梁或板的减振［2］和能量调控［3］等方面具有广阔的应用前景。
此外，周期性结构产生的带隙也打开了结构减振降噪的另一条思路。
近年来国内外学者对带有声学黑洞的周期性结构进行了大量研究。
Zhu等［4］采用平面波展开法和有限元法对嵌入声学黑洞薄板结构进行了研究，发现其可对弯曲波产生双折射效果。
Zhao等［5］提出了一种改进的声学黑洞板结构，并通过数值模拟与仿真验证其可对弯曲波产生准直与聚焦效应。
Tang等［6］利用小波分解能量法对嵌有多个声学黑洞的欧拉‑伯努利梁进行了研究，发现其因声学黑洞效应产生了低频段的弯曲波带隙。
Gao等［7］提出了一种中心嵌有组合声学黑洞的梁结构，发现其在1200 Hz频率下存在两个带隙，并指出第一个带隙是由纵向和横向弯曲振动的耦合作用引起的。
任意拉格朗日-欧拉描述的薄平板大幅扭转振动气动特性研究
收 稿 日 期 ：2018-04-09 ; 修 订 日 期 ：2019-07-12 基 金 项 目 ：国 家 重 点 基 础 研 究 发 展 计 划 （20 1 5 C B 0 5 7 7 01 )国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （51878269,51778103) 汕头 大 学 科
对振动的刚性断面如果其计算域的远场边界不变将能恒定地给出远场边界条件但由于计算域内外边界之间的物理区域在不断发生变化如果进行数值模拟则需在每一时间步形成一次网格如果计算的时间步数量很大由网格生成所带来的附加计算量将很大且难以保证每一步上重新生成的网格的
第 33卷 第 1 期 2020年 2 月
振动工程学报 Journal of Vibration Engineering
在 连 续 介 质 力 学 中 ，流 体 微 元 是 微 观 上 远 大 于 分子运动平均自由程而宏观上远小于所研究的流动 域 的 一 团 流 体 ，并 在 宏 观 上 将 流 体 微 元 看 作 一 个 质 点 。流体力学描述流体微元集合的运动状态，并通 过 三 种 方 法 描 述 流 体 的 运 动 ，其 中 一 种 是 拉 格 朗 日 法 （Lagrangian) ,这种方法跟踪流场每一质点的运 动 ，并获得流场流动参数随时间的变化，其特点是计 算 网 格 与 流 体 质 点 固 定 并 同 步 运 动 ，不 存 在 质 点 与 网格间的相对运动。与欧拉描述法相比，这种方法
Vol. 33 No. 1 Feb. 2020
任 意 拉 格 朗 日 -欧 拉 描 述 的 薄 平 板 大 幅 扭 转 振动气动特性研究
祝 志 文 林 君 福 唐 意 2! 王钦华1
( 1 . 汕 头 大 学 土 木 与 环 境 工 程 系 ，广 东 汕 头 515063# 2 . 中 国 建 筑 科 学 研 究 院 ，北 京 100013)
多个时间相关集中力作用下圆板振动级数解
科技资讯2016 NO.08SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛152科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONTBM刀盘系统的振动大体上可以看作是薄圆板在多个与时间相关的集中力作用下的振动系统。
该文章主要内容是对多个时间相关集中力作用下圆板受迫振动求取解析解。
圆板是一种常见的工程结构单元,当板的厚度h远小于其他几何尺寸时,称为薄板。
根据克希霍夫建立的弹性薄板小挠度弯曲理论,在研究薄板时有以下几个假设。
[1-3](1)变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并与弹性曲面垂直。
(2)薄板无残余应力。
(3)薄板弯曲时厚度的变化忽略不计。
(4)板的挠度比厚度h小得多。
在以上条件基础上,开始求取薄圆板受迫振动的解析解。
1 圆形薄板自由振动基本方程圆薄板自由振动的基本方程为:02222=∂∂+∇∇t wD h w ρ(1)其中:w 为圆板挠度；h 为圆板厚度；ρ为圆板密度。
22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r ,()23112μ-=Eh D 为圆板抗弯刚度。
可得圆板主阵型为:()()()()()[]θββββθm r K C r I C r N C r J C r W m m m m cos ,4321+++=(2)其中, 42h p Dρβ=为频率系数。
当圆板是实心的,必须有C 2=C 4=0 [4-5]。
这样有(2)式化简为:()()()[]θββθm r I C r J C r W m m cos ,31+= (3)用R (r )表示实心薄圆板在r =a 的边界条件。
当边界条件为周边固定,()⎪⎩⎪⎨⎧===00a r drdR a R (4)将()()()r I C r J C r R m m ββ31+=带入(4)式边界条件,要C 1与C 3的非零解,则(4)式的行列式必须为0,得到下列频率方程:()()()()011=+++a I a J a I a J m m m m ββββ(5)求解上式,使用Mathematica中Findroot命令与循环语句,可①作者简介:马珂斌(1989,11—),男,汉,河北石家庄人,硕士,河北工业大学,研究方向:结构强度分析与仿真计算。
径向开槽薄圆环振子径向振动分析
径向开槽薄圆环振子径向振动分析李丹;刘世清;李陆化【摘要】为研究径向开槽圆环的径向振动特性,基于机电类比原理,建立了开槽圆环的径向振动等效电路,并得出其共振频率方程,探讨了圆环第1、第2阶共振频率及振幅放大系数与其半径比的关系.结果表明:圆环第1阶共振时振幅放大系数随半径比的增大而增大,第2阶共振时振幅放大系数随半径比的增大而下降;其共振频率随半径比的增大而单调上升;理论与有限元数值仿真结果基本一致.%The radial vibration of a circular ring with multiple radial slots was studied.Based on the electromechanical analogy,the equivalent circuit and the frequency equation of the slitted circular ring in radial vibration were derived.By numerical calculation,the relationship between the displacement amplitude magnification factor as well as the resonance frequency of the ring in the first and second order vibration and its radius ratio were investigated.It was showed that the amplitude magnification factor of the ring increased in the first resonance while decreased in the second resonance with the increase of its radius ratio,and the resonance frequency increased with the radius ratio increased.The theoretical resonance frequencies were in good agreement with that of the FEM simulations.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)001【总页数】5页(P31-35)【关键词】圆环振子;径向振动;共振频率;位移放大系数;有限元分析【作者】李丹;刘世清;李陆化【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】O426在功率超声领域，除了需要设计各种结构和振动模式的振动系统外，还需要通过对弹性振动体结构进行特殊的设计，如开狭槽或狭缝等，来产生一些特殊模式的振动，以满足不同的应用需要.如纵扭复合振动等[1].文献[2]通过开槽的方法提出一种可显著提高超声焊接质量的纵扭振动传振杆，该系统还可用作超声波电机定子驱动器.在超声焊接等大功率应用领域，常采取在大尺寸变幅杆(工具头)上开设一系列平行狭缝的方式来减弱其纵横耦合振动，提高工具头的位移振幅，以提高系统的纵向声能传输效率[3].近年来在超声拉拔金属成型领域，为提高超声拉拔效率及改善拉拔质量，一类径向振动盘形超声聚能器发展起来了[4-6]. 文献[7]利用解析法研究锥形等几种圆盘聚能器的径向和扭转振动特性，并得出了共振频率方程；文献[8]与文献[9]分别对等厚度及变厚度圆环振子的径向及扭转振动特性进行了研究，得到了系统的机电等效电路及频率方程.为进一步改善此类环形超声聚能器的振动性能，本文提出径向开槽薄圆盘聚能器振子．径向开槽的目的：一方面可降低圆环振子的共振频率；另一方面可将圆盘的径向振动尽可能转换为槽与槽间隔部分的纵振动，以利于提高振动能量的传输效率．本文依据弹性力学理论及机电类比原理，建立了其径向振动机电等效电路，导出了其工作频率方程，并进行了有限元数值仿真分析.图1所示为一个沿半径方向开有一系列狭槽的薄环形弹性振子，其内、外半径分别为b，c，厚度为h.Fb,Fc分别表示振子内、外辐射面处的外力，vb,vc分别表示振子内、外辐射面处的质点振动速度.在柱坐标系中，振子径向振动的运动方程为[9].式(1)中：ur表示径向位移分量；Tr，Tθ，Trθ，Trz分别表示振子内部各应力的分量.在极坐标系中，应变和位移的关系为式(2)中：Sr表示振子应变分量.由广义胡克定律知，应力与应变的关系为式(3)中：G=E/[2(1+υ)]为材料剪切模量；E,υ分别为材料弹性模量和泊松系数.振子实际作复杂的三维耦合振动.为简化分析，作如下假设:1)振子厚度h远小于其直径，即为薄圆环.2)狭槽数量足够多，其长度与振子环宽相当.由于狭缝的分割，可近似地认为环中切应力为零.3)不计狭槽对振子等效质量的影响，振子作轴对称平面径向振动.依据上述假设，正应力Tr是振子中唯一不等于零的量，其余各应力分量及υ均近似为零.由上述各方程化简得振子的径向振动波动方程为式(4)中,为环中径向振动波速.式(4)可化为零阶贝塞尔方程，其通解为由式(5)可得振子的径向振速表达式环形振子中的径向正应力为式(7)中：k=ω/υr，ω为角频率；J0(kr),J1(kr)和Y0(kr),Y1(kr)分别为第一类和第二类零阶、一阶贝塞尔函数;C1，C2为待定常数，由振子径向边界条件确定.令圆环外表面处质点振幅为uc，圆环作自由径向振动时的边界条件为由式(5)和式(7)可得：C1J1(kb)+C2Y1(kb)=0.由式(9)和式(10)得圆环径向位移分布函数为这里，定义圆环振幅放大系数M为内外表面质点振幅之比，即由振速边界条件r=c=-υc及r=b=υb得待定系数C1，C2分别为：将式(13)和式(14)代入式(7)，并结合边界条件，r=c·Sc=-Fc及得振子径向力的表达式为.式(15)和式(16)中：Sb=2πbh,Sc=2πch分别为振子内、外侧面积.由四端网络理论，并结合贝塞尔函数的递推关系式(15)和式(16)可进一步化为：Fb=z3υc+(z2+z3)υb.式(17)和式(18)中式(19)和式(20)中：zb=ρυrSb；zc=ρυrSc.综上，由等效电路理论可得径向开槽圆环振子径向振动的机电等效电路如图2所示.由图2可得开槽圆环自由振动的频率方程Im(z1z2+z2z3+z1z3)=0.将z1，z2，z3的表达式代入式(22)，得振子共振频率方程的具体表达式为利用频率方程式(23)可得径向开槽圆环振子的共振频率随几何尺寸的变化关系. 作为算例，笔者计算了材料为铝的径向开槽圆环振子共振频率f及振幅放大系数M随内外半径比γ的变化关系分别如图3和图4所示.这里满足γ=b/c.计算中,圆环外径c=64 mm，厚度h=7 mm，且保持不变，通过改变圆环内径b来改变其内外半径比.由图3可得，径向开槽圆环振子的第1、第2阶共振频率随半径比增大均单调上升，这与无槽圆环振子的径向振动特性不同[9].由图4可以看出，振子的第1阶共振位移振幅放大系数随半径比增大(环宽变小)而增大，但不显著；其第2阶共振位移振幅放大系数随半径比的增大而单调降低，且在半径比较小时，远大于第1阶振幅放大系数.采用ANSYS有限元软件对振子的径向振动模态进行了仿真分析.圆环振子材料为铝，其材料参数分别为：密度ρ=2 700 kg/m3；泊松系数υ=0.34；几何参数分别为：外径c=64 mm，内径b=30 mm，厚度h=7 mm，狭槽长度均为12.5 mm.对狭槽数量分别为6,12和18的3种情况进行了数值仿真，得到其基频大小如表1所示，fn 为仿真结果，ft为计算所得理论结果；相对误差满足/fn.由表1可以看出，当所开狭槽数较少时，理论与仿真结果偏差较大，但随着圆环中槽数的增加，相对误差逐渐减小.这是因为理论是基于狭槽数量足够多的假设而推导得到时.图5和图6分别是狭槽数为18的圆环振子的基频共振模态振型及相应的位移向量分布图.5 结论本文对径向开槽薄圆环振子的径向振动特性进行了研究，得出了其机电等效电路及共振频率方程.通过数值计算探讨了振子的共振频率与位移放大系数随其几何尺寸的变化关系.研究表明，径向开槽圆环振子的第1、第2阶共振频率均随其内外半径比的增大而单调升高；振子第1阶共振位移放大系数随内外半径比的增大而增大，而第2阶共振时却随之单调降低，且在半径比较小，即环宽较大时，第2阶共振位移放大系数远大于第1阶.从工程应用上讲，采用第2阶共振模式工作优于第1阶.(责任编辑杜利民)A study on the radial vibration of a circular ring with radial slotsLI Dan, LIU Shiqing, LI Luhua(College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China)Abstract：The radial vibration of a circular ring with multiple radial slots was studied. Based on the electro-mechanical analogy, the equivalent circuit and the frequency equation of the slitted circular ring in radial vibration were derived. By numerical calculation, the relationship between the displacement amplitude magnification factor as well as the resonance frequency of the ring in the first and second order vibration and its radius ratio were investigated. It was showed that the amplitude magnification factor of the ring increased in the first resonance while decreased in the second resonance with the increase of its radius ratio, and the resonance frequency increased with the radius ratio increased. The theoretical resonance frequencies were in good agreement with that of the FEM simulations.Key words：circular ring vibrator; radial vibration; resonance frequency; the amplitude magnification factor; FEM simulationDOI：10.16218/j.issn.1001-5051.2017.01.005修订日期：2016-05-11；修订日期：2016-06-20基金项目：国家自然科学基金资助项目(11274279;11074222)作者简介：李丹(1992-),女，安徽蚌埠人，硕士研究生.研究方向：功率超声.通信作者：刘世清.E-mail:***************中图分类号：O426文献标识码：A文章编号：1001-5051(2017)01-0031-05本文对径向开槽薄圆环振子的径向振动特性进行了研究，得出了其机电等效电路及共振频率方程.通过数值计算探讨了振子的共振频率与位移放大系数随其几何尺寸的变化关系.研究表明，径向开槽圆环振子的第1、第2阶共振频率均随其内外半径比的增大而单调升高；振子第1阶共振位移放大系数随内外半径比的增大而增大，而第2阶共振时却随之单调降低，且在半径比较小，即环宽较大时，第2阶共振位移放大系数远大于第1阶.从工程应用上讲，采用第2阶共振模式工作优于第1阶.【相关文献】[1]Lin S E.Study on the longitudinal-torsional composite mode exponential ultrasonic horns[J]．Ultrasonics，1996，34(7)：757-762．[2] Tsujino J，Ueoka T，Otoda K，et al．One-dimensional longitudinal-torsional vibration converter with multiple diagonally slitted parts[J]．Ultrasonics，2000，38(8)：72-76.[3]林仲茂．超声变幅杆的原理与设计[M]．北京：科学出版社，1987．[4]Siddiq A，Sayed T E．Ultrasonic-assisted manufacturing prosesses：Variational model and numerical simulation[J]．Ultrasonics，2012，52(4)：521-529．[5]Siegert K，Uner J．Superimposing ultrasonic waves on the dies in tube and wire drawing[J]．Journal of Engineering Material and Technology，2001，123(4)：517-523．[6]谢涛，齐海群，张俊．超声振动拉丝实验研究[J]．中国机械工程，2006，17(3)：224-226．[7]汪承灏．盘形聚能器的设计理论[J]．声学学报，1979(4)：279-287.[8]苏超，刘世清，王家涛．幂函数剖面薄圆环振子的扭转振动特性[J]．浙江师范大学学报：自然科学版，2012，35(3)：284-289．[9]林书玉．弹性薄圆环的超声频径向振动及其等效电路研究[J]．声学学报，2003，28(2)：102-106.。
压电陶瓷薄圆片振子的厚度剪切振动
压电陶瓷薄圆片振子的厚度剪切振动第16卷第堋199d年1月压电与&声光voL16No.2AprilI994压电陶瓷薄圆片振子的厚度剪切振动林书玉(陕西师范丈学应用声学研究所.西安.?10063)1m1一擒耍本文研兜了切向极化压电陶瓷薄图片的厚度剪切振动.即扭转振动.利用压电方程及运动方程.推出了振子的机电等效电路.得出了振子扭转振动的输入电阻抗.并推出了其共振及反共振掇率方程.由于振子的扭转振动与其截面形状有关.因此.本文提出了振子的截面扭转系数的概念.并给出了实心及空心圜盘的截面扭转系数.本文理论对于扭转振动换能器设计理论的研兜.以及压电陶瓷振子振动模式的系列研兜具有一定的指导意义.关蕾调厚度剪切振动,扭转振动.截面扭转系数.压电陶瓷一-———一___——一—一,'ThicknessShearVibrationofPiezoelectricCeramicThinDiscsLtnshuyu(InApplkd^∞?ShaanxlTcmmUnlvendty?710063?且n)AIMm.actInthisp.1pH.b_shear60Il0rtors~lv/bat.ionofp~zoelectrieceramicthindj0∞was雠I坩i0d.Basedonthepiezoeleel~iCandwaveequati(ms?1heek吐rcm咖I.ica1equivalentc/rcuRand1hereoIIanceandfe9onancefzeq~encyequatlort~welederived-andtheinputelectricimped ancewa3ob-mined.11皓conceptofcn嘴}洲0ntoc~onalcoefficientwasintroducedandthef嚣ul蚀ofcircularandannu-tarcr衄轴cIion鼻wefegiven-Theth∞fy/sofcertain哪nirI|州n憾fortd曙ignofto~onalt埔nsdIIc啪andthestudyofV胁b∞mode.er妇ofpiezoelectricoeratTIicvibra~ms. KeywordsthicknessSlllt~ffvibration.onaIvibration?cram-sectionto~ionaJcoefficient.p/ ezoelecu'icceramics1引言压电陶瓷振子是超声换能器,陶瓷滤波器,压电传感器,压电陀螺等器件的主要组成部分,而关于压电陶瓷振子振动模式的研究则是设计这些器件的理论基础.压电陶瓷振子的振动模式很多,其中包括伸缩振动模式本文1993年12月27日收到以及剪切振动模式等.关于振子的伸缩振动模式以及矩形振子的厚度剪切振动,已经有了比较系统的设计理.但是对于圆形振子的厚度剪切振动即扭转振动.尚缺乏系统的设计理论.随着科学技术的发展.一些新的超声应用技术.例如,超声电机,超声旋转加工,超声疲劳试验以及超声环焊等得到了压电与声光1994年迅速的发展.在这些技术中需要扭转振动超声换能器,而扭转振动超声换髓器的换能元件多为切向极化的压电陶瓷圆片,其振动模式就是圆片的厚度剪切振动,即扭转振动.因此,为了合理设计扭转振动超声换能器,必须对压电陶瓷圆片振子的厚度剪切振动进行系统的理论研究.另一方面,压电陶瓷圆片振子的厚度剪切振动模式属于压电陶瓷振子众多振动模式的一种,为了保证振子振动模式研究理论的完整性,作为一种补充,也必须研究压电陶瓷圆片振子的厚度剪切振动,即扭转振动.本文从压电陶瓷振子的基本方程,即压电和运动方程出发,对压电陶瓷圆片振子的厚度剪切振动进行了研究,得出了振子扭转角及扭矩的分布规律,推出了振子的机电等效线路及频率方程,提出了截面扭转系数的概念,对于扭转振动换能器的进一步研究及振子振动模式理论的进一步完善,具有一定的指导意义.2切向极化压电陶瓷薄圆片的厚度剪切振动分析夸压电陶瓷薄圆片振子的半径及厚度分别为和,授化方向沿圆周的切向,即口方向,电极涂在振子的上下两主平面上,工作时振子的外加激励电场方向沿着=轴,如图1所示,其中箭头所示方向表示振子的极化方向. OSC表示外加激励源.对于压电陶瓷薄圆片的厚度剪切振动,由于横向尺寸即振子的半径远大于其厚度,而厚度与剪切波波长可相比拟,因此,可以只考虑沿厚度方向的传播波,而把振子的横向看成是陛受夹的,故只有应变分量8≠0,而其它应变分量都等于零.另外,由于假定振子材料是绝缘的,没有漏泄电流,同时忽略边缘效应,因此有一n一0,≠0,等=0,当选择应变及电位移D作为自变量时,可得以下压电方程:=c☆一^l;(1):=一15+ID(2)式中,及为切向应力及应变;及且为电位移及电场强度的轴向分量,以为恒电位移下的弹性刚度常数;s是压电劲度常数;为恒应变下的介电隔离率.令为压电陶瓷剪切振动的扭转角,在薄圆片的条件下,扭转角与切应变的关系为:=r(3)式中,r表示振子中任一点的半径.由于压电陶瓷振子的振动由电路及机械运动两部分决定,因此下面分别进行研究.图1切向极化压电陶瓷薄圆片2.t振予的机械运动方程式振子振动时,其内部任一横截面处的扭矩由下式决定:一Ⅱ?础(4)式中,8表示压电陶瓷圆片振子的横截面积, 把式(1)代入式(4),利用瓯的表达式(3)积分后,可得:一如JP一^sD,W(5)式中,j,一/,2称为振子的截面授惯性矩;一对于振子内部厚为如的任一微分元,其力矩平衡方程为:=.㈣式中,0一r加一Ⅱp出?掰='=为振子内厚为出部分的转动惯量.把式(5)代入式(6),利用aD=/az一0,可得振子的运动方程为:磐:(7)一第2期压电陶瓷薄圜片振子的厚度剪切振动式中m一(c/P)"为压电陶瓷薄圆片中的剪切渡的传播速度,也就是扭转波的传播速度对于简谐振动,令妒一(=)",代入式(7)可得:)一0(8)式中,一q为剪切波波数.由式(8)的解可得压电陶瓷薄圆片振子扭转振动的扭转角分布为:一(Asink,z+Bcosk,z)e~(9)式中,A,B为待定常数,可由振子的边界条件决定,令及忱为振子两端面的扭转角,由此可得以下边界条件:10一1,1一一(10)把式(9)代入式(10)可得待定常数A和口为:A一一丝!e--ja",口一一(11)slnktl把式(11)代入式(9)可得扭转角的分布规律为;一—~p]—si—nk—,(—l--.z_)---—~p—]si—nkjz(12)smag把式(12)代入式(5)可得扭矩的分布函数为:一一~sl,k,9]e~sk'(1--z)'-FePze~sk'z一15DW(13)令Mt和Mz分别为振子两端面的外加力矩,即MI一0一一M1,MI=一M2(I4)把式(13)代入式(14)可得以下运动方程:^f1一cj^—qhco五skd4广-一q~z1_,n.15D;W(15) 2=砖,,-塑±si堕n/.-竺,/!塑+^15D,W(16)2.2压电陶瓷薄圃片振子的电路状态方程式把式(2)两边沿振子的横截面取面积分可得;Els一一h|88+fir,1D8-L17)把8一r譬代入上式积分后可得:B一一耋+鼠(I8)式中,8为振动的横截面积.由式(18)可得振子两端的电压为:—E~dz=--h-s如+(19)因为振子两端面的扭转角分别为和,故j—(2.)把式(20)代入式(I9)可得:一,s(+)+D,l(21)令流过振子的电流为j,它与电荷量口,电位移D;之间的关系为:等一瑚一(22)由式(22)求出D;后代入式(21)可得:一(+)+所,丽1(23)利用式(23)解出电流j可得:l=~oV--n(+如)(24)式中,一却-,一脚z,和为振子两端面的扭转角速度{一为振子厚度剪切振动的截止电容;一!为振子厚度剪切振动模式的机电转换系数.式(24)就是振子的电路状态方程式.2.3振子的机电等效因把式(21)的两边乘以机电转换系数可得:一(,+鼽),+(25)由n的表达式可得:his一硝L(26)把的表达式及式(26)代入式(25)可得:一(+南瓦+.^s(27)由式(27)可得:,..!D,h,s一一(+孟(28)把式(28)代入运动方程式(15)～(16)可得: ,r业+一(+z彘'29)压电与声光=蹦,+一(+)(30)裁羁砖=娼.可得如l=t令z一,称为压电陶瓷薄圆片振子厚度剪切振动或扭转振动的特性声阻抗,可把式(29)～式(30)化为:^f=(一)(+南)+jz_tg等?+(31):=(南一彘)(,+弘ftg?+(32)利用式(24),式(31)～(32)三式可得压电陶瓷圆片振子厚度剪切振动的机电等效图,见图2,其中zt=弘flg譬一z:=丽mr,很显然,图2与压电陶瓷细棒纵向振动的机电等效图,薄一图2压电陶瓷薄圜片振子厚度剪切振动的机电等效图片厚度伸缩以及矩形薄片的厚度剪切振动的机电等效图是类似的.由此可以看出,压电陶瓷薄圆片的厚度剪切振动模式是一种刚度振动模式,即纵效应振动.因为振子激发电场的方向平行于剪切波的传播方向.另外,由剪切波的传播方向垂直于质点的振动方向(切向),故振子中的波动是一种横渡2.4压电陶瓷薄圊片振子厚度剪切振动的频率方程当振子的两端不受外加力矩作用时,即振子自由振动时,外加力矩^f及Ⅳz等于零.此时,由图2可得振子的输入电阻抗z'为:㈣,式中,s磊h;sW为压电陶瓷薄圆片振子厚度剪切振动的机电耦合系数.令一嚣为振子的截面扭转系数,很显然,该系数仅与振子的截面形状及尺寸有关.由,及的定义式,对于实心圆片=詈;对于内外半径分别为n和n.的空心圆片,=兰尝妄,由的定义式可把机电再干r'田刚慰xA口|L电耦合系数Hs化为:=—:(34)庸【谁f由式(33)可得振子的频率方程.当Z.=0时,振子的共振频率方程为:tg1一(5).—;÷=0(35)2当z'一..时,振子的反共振频率方程为:tgk,l=∞(36)由上述分析可以看出,由于振子的厚度剪切振动模式是一种刚度振动模式,因此其传播速度,共振频率方程等都与振子的电学边界条件以及压电常数有关.如果压电陶瓷振子的机电耦合系数码s比较小,即压电效应较弱,作为一种近似,可把振子的共振及反共振频率近似看为相等的.5结论本文研究了切向极化压电陶瓷圆片的厚度剪切振动,所得结果对于扭转振动超声换能器的设计及计算以及压电陶瓷振子振动模式的系统研究具有一定的指导意义,具体结论如下:本文得出了压电陶瓷薄圆片振子的机电等效图及频率方程;b.引入了振子截面扭转系数的概念,该(下转第4】页)第2期氧化锌压电薄膜传感器设计理论研究(上接第36页)系数仅与振子的截面形状及几何尺寸有关} c.压电陶瓷薄圆片振子的厚度剪切振动即扭转振动是一种刚度振动筷式,即纵效应振动,而传播的是一种横波Id.本文理论适用于压电陶瓷薄圆片,即要求振子的半径远大于其厚度.参考文献1张沛霖.张仲渊.压电测量.北京:国防工业出版社.19832栾桂冬.张金铎.王仁乾.压电换能器和换能器阵.北京z北京大学出版社,19903王矜奉.姜祖桐.石瑞大.压电振动,北京科学出版杜.1989。
锥形截面薄圆环扭转振动研究
2
150000
100000
50000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
半径比a/b
图 3 锥形截面薄圆环共振频率与半径比的关系 Fig.3. Relationship between resonance frequency and radial ratio
Z
0
3
上式是一个超越方程，通常难以直接求解，在此采 用数值解得到一系列的 Rn k n a ， n 为正整数， 表示 振动的阶次， n 1 时即为基频。从而可以得到锥 形截面薄圆环的扭转共振频率公式为
A j J 3 (ka)Y3 (kb) J 3 (kb)Y 3 ( ka)
2
3 2
2. 锥形截面薄圆环等效电路
锥形截面薄圆环如图 1 所示，内、外半径分别 为 a、 b， 厚度为 h r ， 为厚度变化比例，M a , a 为环形振子内侧 面的外力矩 和扭转振动速 度， 为外侧面的外力矩和扭转振动速度。 M b , b 式中
参考文献 [1] 林仲茂. 超声变幅杆的原理和设计[M].北京:科学出版 社,1987. [1] LIN Z, Theory and design of ultrasonic horns[M]. Beijing: Science Press, 1987. [2]曹凤国， 超声加工技术[M].北京:化学工业出版社,2004. [2]CAO F, Ultrasonic processing technology[M]. Beijing: Chemical Industry Press, 2004. [3]汪承灏，盘形聚能器的设计理论[J]. 声学学报，1979, (4): 279-286. [3]WANG Chenghao, Design theory of disk concentrator[J]. ACTA AUSTICA, 1979(4):279-286 [4]刘世清, 径向及径-扭符合振动模式夹心式压电超声换 能器研究[D],陕西师范大学,2005 [4]LIU S, Study on sandwiched piezoelectric ultrasonic transducer of radial and radial-torsional compound vibration mode[D]. Shaanxi Normal University,2005 [5]Kleesattel,C., Uniform Stress contours for disk and ring resonators vibrating in axially symmetric radial and torsional modes[J]. Acustica, 1968,20:1-13.
橡胶套筒弹性联轴器扭振动态特性计算_陈翔
1995(2):3 - 205.
收稿日期 :2005-05-21
(上接第 80页 )
3 结论
通过 ANSYS模
拟得出的结果与理
论计算结果进行比
较 , 误差在很小的
范围内, 由此证明
o f Science and Techno logy, Shanghai 200237, CHN)
Ab strac t T he torsional v ibration dynam ic characteristics and in te rnal stress o f e la stic coupling we re ca lcu la ted th rough setting m echanica lm ode l, and m ake sim ulation w ith ana ly ses in ang le spped to va lida te the theo re tica l result by setting appropriate pa-
称为临界阻尼 , 设 rc =2 C /Ip , ε=r /rc , 则 : 当 ε<1时 , 称为欠阻尼情况 , 式 (6)有共扼复根 ,
式 (4)的解为 : φ =exp{- ε C Ip t}[ A1 co s( C Ip 1 - ε2 t) +
A2 sin( C Ip 1 - ε2 t)] +φc 当 ε>1时 , 称为过阻尼情况 , 式 (6)具有两个实
5 结论
1)液压胀形桥壳许用弯曲屈服应力较普通桥壳 提高了 77.95%, 第一次缩径后提高了 54.15%, 为总 硬化程度的 86.62%, 后继工序对材料强化影响较小 , 故在满足工艺要求情况下可以减少工序 , 一次缩径成 形。
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ａ ｎｄ ＦＥＭ ｉ ｕ ａ ｉ ｎ ｆ ｒ ｉｓｔ ｒ ｉｎａ ｉ ｒ ｔｏ ｓｍ ｌ ｔｏ ｏ ｔ ｏ ｓｏ ｌｖ ｂ ａ ｉ ｎ
ｓ ｈｏ ｕ Ｃ ａ ， Ｌ Ｕ Ｓ ｉｉｇ， Ｗ ＡＮ Ｊａａ Ｉ ｈｑｎ Ｇ ｉｔｏ
（ ｏｌ ｅｏ ｔｅ ｔｓ Ｐ ｉ ｎ ｆｒ ａｉｎＥ ｇｎｅｎ ，Ｚ ｅａ ｇＮｏｍ ｌ ｎｖｒｔ， ｉ ｕ ｈ ｉｎ ３ １０ ＩＣ ｉａ） Ｃ ｌｇ ｅ ｆＭａｈｍａｉ ， ＾ ｃ ａ ｄＩ ｏｍ ｔ ｎ ｉ ｒ ｇ ｈ ｉｎ ｒａ ｉ ｓｙ Ｊｎ ａＺ ｊ ｇ ２ ０ ４ ｈｎ ｃ ｓ ｎ ｏ ｅｉ ｊ Ｕ ｅｉ ｈ ｅａ
限元 （ Ｅ 模态 的分析 ， 明理论结果与 Ｆ Ｍ仿 真结 果吻合 ， Ｆ Ｍ） 表 Ｅ 对环形扭转振子 的工程设计具有参考价值． 关键词 ： 圆环振 子 ； 超声扭转振动 ； 等效 电路 ； 振动 系统 ； 振动模态
中图分类号 ： ４ ６ ０２ １ 文献标识码 ： Ａ
Ａｎ ａ ｎｕ ａ ｌｒ ｓ ｎ ｃ ｒ ｓ ｎ ｔ ｒ ｗｉｈ ｏ ｒ ｆ ｎｃ ｉ ｎ ｐｒ ｆｌ ｎ ｌ ｒ ｕ ｔ ａ ｏ ｉ ｅ ｏ ａ ｏ ｔ ｐ ｗｅ ｕ ｔｏ ｏ ｉｅ
要： 对剖面厚度按幂 函数变化 的薄 圆环振子 的扭转振动进行 了理论分析 ， 出了其等效 电路 ； 导 进而 由等效
电路得 出了扭转振动频率方程及共振频率表达式 ； 探讨 了环形振 子第 １ 第 ２阶共 振频率及 角位移 放大 系数 、
与其半径 比的关系 ； 给出了薄 圆环振子第 １第 ２阶共振频率及放大系数与其半径 比的拟 合关系 曲线 ． 、 通过有
文章编号 ：０ １ ０ １ ２ １ ）３ ２ ４ ６ １０ － ５ （０ ２ ０ － ８ － ５ ０ ０
幂 函数 剖 面 薄 圆环 振 子 的扭 转振 动特 性
苏 超 ， 刘世清 ， 王家涛
（ 江师 范大 学 数理 与信 息 工程 学院 ， 江 金 华 浙 浙
摘
３ １０ ） ２０ ４
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｏ ｓｏ ａ ｉ ｒ ｔ ｎ ｏ ｈ ｎ ａ ｎ ｌ ｒｒ ｓ ｎ ｔｒｗｉ ｏ ｒ ｆ ｎ ｔｏ ｒ ｆｌ ｓ ｓｕｄ ｅ ｎ ｈ — ｅ ｔ ｒｉｎ ｌｖ ｂ ａ ｉ ｆｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｅ ｏ ａ ｏ ｔ ｐ ｗｅ ｕ ｃｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｗａ ｔ ｉｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｅ ｏ ｈ ｉ ｑ ｖ ｌ ｎ ｉｃ ｉ ｗａ ｅ ｉｅ ｕｉａｅ ｔｃｒ ｕ ｔ ｓ ｄ ｒｖ ｄ－ｔ ｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ ｆｅ ｕ ｎｃ ｑ ｔｏ ｎ ｈ ｅ ｏ ａ ｃ ｅ ｕｅ ｃ ｒ ｂ ａ ｎ ｄ． ｈ ｅ ｏ ａ ｃ ｑ ｅ ｙ ｅ ｕａｉｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ ｆ ｑ ｎ ｙ ｗｅ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ｒ ｒ Ｂｙ ｍｅ ｎ ｆｔｅ ｎ ｍｅ ｃ ｌｍｅ ｈ ｄｓ ｈ ｅ ａｉｎｓ ｐｓｂｅｗｅ ｎ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｉ ｓ ｏ ｓｏ ａ ｓ ｌ ｃ ｍｅ ｔ ａ ｓｏ ｈ ｕ ｒ ａ ｔ ｏ ，ｔ ｅ ｒ ｌｔｏ ｈｉ ｔ ｅ ｅ ｏ ａ ｃ ｒ ｑ ｅ ｃｅ ，ｔｒｉ ｎ ｌｄｉｐ ａ ｅ ｎ ｉ
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Ｏ 引 言
在功 率超 声领 域 ， 设计 各种 不 同形状 和振动 模 式 的弹性 振 子 ， 需要 以满 足不 同应 用 场 合 的需 要 ， 如
收 文 日期 ：０ １１－１ 修 订 日期 ：０ ｌ１ —９ ２ １ －１ ； ２ ２ １ －２１
ａ ｌ ｕ ｅ ｍａ ｎ ｆ ａｉ ｎ ｃ ｅｆ ｉ ｎ ｆ ｈ ｅ ｏ ａｏ ｔ ｈ ｒｔ ｎ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒｖｂ ａｉｎ ｍｏ ａ ｎ ｈ ｉ ａ ｉ ｍｐ ｉ ｄ ｇ ｉ ｃ ｔ ｏ ｆ ｃｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｎ ｔ ｒａ ｅ ｆ ｓ ａ ｄ ｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｉ ｒ ｔ ｄ ａ ｄ ｔ ｅｒｒ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｉ ｏｔ ｔ ｉ ｏ ｌ
第３ ５卷第 ３ ห้องสมุดไป่ตู้ ２１ ０ ２年 ８月
浙江师范大学学 报（ 自然科学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ Ｚ ｅｉ ｇＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ．Ｓｉ） ｏｒ ｌ ｆ ｈｊ ｎ ｏｍ ｌ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｔ ｃ． ｎ ａ ｅｉ
Ｖ １ ５，Ｎ ．３ ｏ ．３ ｏ Ａｕ ． ２ ２ ｇ ０１
ｓｏ ａ ｅ ｏ ｔ ｒ ｉ ｎ ｌｒ ｓ ｎａｏ ．
Ｋｅ ｒ ｓ：ａ ｎ ｌ ｒｒ ｓ ｎ ｔｒ；ｕ ｔａ ｏ ｉ ｏ ｓｏ ａ ｉ ｒ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ｎ ｕ ａ ｅ ｏ ａｏ ｌｒ ｓ ｎ ｃ ｔｒ ｉｎ ｖｂ ａｉｎ；ｅ ｕ ｖ ｅ ｔｃｒ ｕ ｔ ｉ ｒ ｔｏ ｙ ｔｍ ；ｖ ｂ ａｉ ｎ ｌ ｑ ｉａ ｎ ｉｃ ｉ ；ｖｂ ａ ｉｎ ｓ ｓｅ ｌ ｉｒｔ ｏ ｍｏ ｄｅ