高中数学选修2-2-2-3知识点
人教版高中 数学选修二 全册知识点 归纳总结
第一章 常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命 题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ，则 q ”，它的逆命题为“若 q ，则 p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若 p ，则 q ”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定， 则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若 q ，则 p ”. 6、四种命题的真假性：
4 cosa,b a b ； 5 a b a b ．
ab
35、向量数乘积的运算律： 1 a b b a ； 2 ab a b a b ；
3 a b c a c b c ．
36、若 i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量 p ，存在有序实数组x, y, z ，
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高中数学选修2-2知识点总结
第一章、导数
1．函数的平均变化率为
=
∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =
在0x x =处的瞬时变化率是x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或
0|'x x y =，即)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim
0000
.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若()
g x均可导（可积），则有：
f x，()
.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数'()
f x
②令'()
f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令'()
f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()
f x
(3)求方程'()
f x=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，
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高二数学选修2－3知识点
第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．
排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列
4、排列数：
5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
6、组合数：
7、二项式定理：
()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n
r n r r +-==101() 第二章 随机变量及其分布
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题
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一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式
1. 数列的概念
数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第n 个数。
2. 数列的通项公式
数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。
3. 数列的递推公式
数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。
4. 常见数列的通项公式和递推公式
- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d （递推公式）
- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q （递推公式）
- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）
二、2-3数列的求和、数列的性质及应用
1. 数列的求和
- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2
- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 1
2. 数列的性质
- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。
- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。
- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。
- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。
- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。
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第一章 计数原理
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列
4、排列数： ),,()!
(!
)1()1(N m n n m m n n m n n n A m
∈≤-=
+--=Λ
5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n
m m
m n m
n
-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ
;
m
n n m n C C -=
m
n m n m n C C C 1
1+-=+
7、二项式定理：
()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n
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a,b,c 称为空间的一个基底， a ， b ， c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构
成空间的一个基底． 39、设 e1 ， e2 ， e3 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底）， 以 e1 ， e2 ， e3 的公共起点 为原点，分别以 e1 ， e2 ， e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向 建立空间直角坐标系 xyz ．则对于空间任意一个向量 p ，一定可以把它平移，使它的起点与
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
四种命题的真假性之间
假
假
假
假
的关系：
题，它们有相同的真假性；
1 两个命题互为逆否命
2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若 p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件． 若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q ． 当 p 、q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q 是假命题． 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q ． 当 p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题；当 p 、q 两个命题都是假命题 时， p q 是假命题． 对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作 p ． 若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
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第一章 计数原理
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列
4、排列数：
),,()!
(!
)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=
+--=Λ
5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n
m m
m n m
n
-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ
;
m
n n m n C C -=
m
n m n m n C C C 1
1+-=+
7、二项式定理：
()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n
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第一章 计数原理
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列
4、排列数：
),,()!
(!
)1()1(N m n n m m n n m n n n A m
∈≤-=+--=
5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n A A C m n
m m
m n m n
-=+--==
)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==
;
m
n n m n C C -=
m
n m n m n C C C 1
1+-=+
7、二项式定理：
()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n
+=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n
高中数学选修2-2与选修2-3知识点(反复修改)
数学选修2-2第一章导数及其应用知识点必记
1、函数的平均变化率:
=∆∆=∆∆x f
x y x
x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000. 3、平均变化率和导数的几何意义是什么？
答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4、导数的背景:切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？
6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：
7、用导数求函数单调区间的步骤: (注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域)。 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围就是递减区间； 8、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 9、求可导函数f (x )的极值的步骤
高中数学选修2-2-2-3知识点
高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用 知识点：
一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000
()()
lim x f x x f x x
∆→+∆-∆，
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000
()()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割
线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜
率k ，即000
()()
lim
()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-
3. '
4.
导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
考点：无 知识点：
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；
2 若()f x x α=,则1
()f x x αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
,
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
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的斜率 k，即 k
lim x0
f (xn ) f (x0 ) xn x0
f (x0 )
3. 导函数：当 x 变化时， f (x) 便是 x 的一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数. y f (x) 的导函数有时也记作
y ,即 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
考点：无
3）复合函数求导
y f (u) 和 u g(x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y f (g(x)) 为一个复合函数
y f (g(x)) g(x)
考点：导数的求导及运算
★1、已知 f x x2 2x sin ，则 f ' 0
★2、若 f x ex sin x ，则 f ' x
2
三.导数在研究函数中的应用
知识点：
1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间 (a, b) 内，如果 f (x) 0 ，那么函数 y f (x) 在这个区间单调递增；
4 若 f (x) cos x ,则 f (x) sin x ;
5 若 f (x) ax ,则 f (x) ax ln a
高中数学选修 2----2 知识点
第一章 导数及其应用
知识点：
一．导数概念的引入
1.
导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数 y
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一、三角函数基本知识
1. 弧度制和角度制的相互转换
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的定义与性质
3. 周期、对称性及图像变换
4. 函数值、解析式和定义域、值域
5. 三角函数间的基本关系
6. 弦割定理和余弦正弦定理
二、三角函数的图像及其相关式子
1. 函数y=sin(x)
三、三角函数的诱导公式
1. 诱导公式的基本概念
2. 诱导公式的归纳证明
3. 应用：求三角函数值
1. 三角函数和差化积公式
3. 正弦和余弦的二倍角公式
6. 万能公式：将任意一个三角函数表达为tan(x/2)的形式
1. 三角函数在一定区间内的值域和零点
2. 基本方程的分类及其解法
3. 一次三角方程及其解法
3. 三角函数的附加恒等式
4. 三角函数的化简或证明
1. 直角三角形的三角函数关系及其应用
2. 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的周长和面积的计算
4. 海伦公式及其应用
五、导数与微分的基本概念
1. 函数的概念及其分类
2. 极限的概念及其基本性质
4. 可导函数的判定方法
5. 常用函数的导数公式
6. 导数与函数图象的关系
六、函数的单调性、最值和曲线的几何特征
1. 函数的单调性和最值
2. 曲线的拐点和点的分类
3. 曲线的凸凹性及其判定方法
4. 图象和函数的简图
七、导数的应用
3. 曲线的渐近线
4. 物理学中的应用：单位变化法
八、反三角函数
3. 反三角函数的图像及其性质
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第一章、导数
1．函数的平均变化率为
x
f x
y x
x f x x f x x x f x f )
()()()(11
1
2
12注1：其中x 是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)
(x f y 在0x x
处的瞬时变化率是
x
x f x x f x
y x x )()(lim
lim
000
，
则称函数
)
(x f y
在点
0x 处可导，并把这个极限叫做
)
(x f y
在0x 处的导数，记作)(0'
x f 或
|'
x x
y ，即)(0'
x f =x
x f x x f x
y x
x )
()(lim
lim 00
.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数
(1)y c '
y 0
(2)n
y x
*
n N
1
'n y nx
(3)x
y a 0,1
a a 'ln x y a a (4)x
y e
'
x
y e
(5)log a y x 0,1,0a
a x 1'ln y x a (6)ln y x 1'y x (7)sin y x 'cos y x (8)cos y
x
'
sin y x
6、常见的导数和定积分运算公式:若f x ，g x 均可导（可积），则有：
和差的导数运算
'
'
'
()
()
()
()
f x
g x f x g x 积的导数运算
'
'
'
()()()()()()
f x
g x f x g x f x g x 特别地：''Cf x
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第一章、导数
1．函数的平均变化率为
x
f x
y x
x f x x f x x x f x f )
()()()(11
1
2
12注1：其中x 是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)
(x f y 在0x x
处的瞬时变化率是
x
x f x x f x
y x x )()(lim
lim
000
，
则称函数
)
(x f y
在点
0x 处可导，并把这个极限叫做
)
(x f y
在0x 处的导数，记作)(0'
x f 或
|'
x x
y ，即)(0'
x f =x
x f x x f x
y x
x )
()(lim
lim 00
.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数
(1)y c '
y 0
(2)n
y x
*
n N
1
'n y nx
(3)x
y a 0,1
a a 'ln x y a a (4)x
y e
'
x
y e
(5)log a y x 0,1,0a
a x 1'ln y x a (6)ln y x 1'y x (7)sin y x 'cos y x (8)cos y
x
'
sin y x
6、常见的导数和定积分运算公式:若f x ，g x 均可导（可积），则有：
和差的导数运算
'
'
'
()
()
()
()
f x
g x f x g x 积的导数运算
'
'
'
()()()()()()
f x
g x f x g x f x g x 特别地：''Cf x
高中数学选修2系列知识点
选修2-1、2-2、2-3知识点
选修2-1
第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系
① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件
p 是q 的充要条件：p q ⇔
p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件：,p q q
p 靠
3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”
4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 例：“a=1”是“0,21a
x x x
∀>+
≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.
三种圆锥曲线的性质（以焦点在x 轴为例）
椭圆
双曲线
抛物线
定义
与两个定点的距离和等于
常数122 (2||)a a F F >
与两个定点的距离差的绝对
值等于常数
122 (2||)a a F F >
与一个定点和一条定直线的距离相等
标准方程
22
221(0)x y a b a b +=>> 22
221(,0)x y a b a b
-=> 22(0)y px p =>
图形
顶点坐标
(±a,0),(0,±b)
(±a,0)
(0,0)
互 否
为 逆 为 逆 互 否
互
否
互
否
互 逆
原命题 若p 则q
互 逆
逆命题 若q 则p
逆否命题 若q ⌝则p ⌝
逆否命题 若q ⌝则p ⌝
2.
“回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某
高中数学选修2-1、2-2、2-3知识总结
1. 空间向量及其运算
① a a a x12 y12 z12 ,d x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
② 共线向量定理： a / /b a b (b 0)
③ 共面向量定理： p, a,b共面 p xa yb(x, y R) ；
四点共面 MP xMA yMB(x, y R)
率，即 k＝ f (x0)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点 4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C 为常数)； ②( x )′＝ x1 (x＞0， Q )； ③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex；
⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且 a≠1)；
取，以及区间的分割.微积分基本定理
b a
f (x)dx F (x) |ba F (b) F(a) .
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性
（1）设函数 y f (x) 在某个区间（a，b）可导，如果 f ' (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；
如果 f ' (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数；
⑦ (ln x) 1 ； x
(2)导数的运算法则：
⑧ (loga
x)
1 x ln a
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高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用 知识点：
一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000
()()
lim x f x x f x x
∆→+∆-∆，
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000
()()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割
线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的
斜率k ，即000
()()
lim
()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-
3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',
即0
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
考点：无 知识点：
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α
=,则1
()f x x
αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x
f x a =,则()ln x
f x a a '=
6 若()x
f x e =,则()x
f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1()ln f x x a
'=
8 若()ln f x x =,则1()f x x
'= 2）导数的运算法则
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•
3. 2
()()()()()
[
]()[()]
f x f x
g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•
考点：导数的求导及运算
★1、已知
()22sin f x x x π=+-，则()'0f =
★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =
★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，
4)1(=-'f ，则a=（ ）
3
19.3
16
.3
13.3
10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4
1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90°
★★5.如果曲线2
932
y x =
+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =
三.导数在研究函数中的应用
知识点：
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:
(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;
-可编辑-
(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线3
x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）
C.（2，8）
D.（－21，－81
）
★2.曲线53
123
+-=
x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π
43
二、题型二：导数在单调性中的运用
★1.(05广东卷)函数3
2
()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)
★2．关于函数
762)(2
3+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数
C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数
D ．在区间（∞-，0）
),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数
★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中
()y f x =的图象大致是（ ）
★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）
已知函数).(111)(R a x
a
ax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a
=-=
（Ⅱ）当1
2
a ≤
时，讨论()f x 的单调性． 三、导数在最值、极值中的运用：
★1.（05全国卷Ⅰ）函数
93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2
B. 3
C. 4
D.5
★2．函数512322
3
+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)
0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取
得极值－2.
（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；
★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2
312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
（1）求b a ,的值； （2）讨论)(x f 的单调性；
第二章 推理与证明 知识点：
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤：
•通过观察个别情况发现某些相同的性质；