高中数学北师大版必修五达标练习第3章章末综合检测(三)含解析
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章达标测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分共48分）1.设a ＜b ＜0,下列不等式一定成立的是（ ）A.a 2＜ab ＜b 2B.b 2＜ab ＜a 2C.a 2＜b 2＜abD.ab ＜b 2＜a 22.关于x 的不等式ax 2+bx －2＞0的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,∪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31,则ab 等于（ ） A.24 B.6 C.14 D. －14 3.〈南充市第一次高考适应性考试〉不等式32+-x x ≤2的解集是（ ） A.{x |x ＜－8或x ＞－3} B.{x |x ≤－8或x ＞－3} C.{x |－3≤x ≤2} D.{x |－3＜x ≤2}4.已知函数y =f (x )的图象如图1，则不等式⎪⎭⎫⎝⎛-+112x x f ＞0的解集为（ ）A.（－∞,1）B.( －2,1)C.( －∞, －2)D.( －∞, －2)∪(1,+∞) 图1 5.设x ,y ∈R ,a ＞1,b ＞1，若a x =b y =3,a +b =23,则yx 11+的最大值为（ ） A.2 B.23 C.1 D. 21 6.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0成立，则a 的最小值为（ ）A.0B. －2C. －25D. －3 7.如图2，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运， 据市场分析每辆客车的运营总利润y （单位：万元）与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系.若使营运的年平均利润最大， 则每辆客车应营运（ ）A.3年B.4年C.5年D.6年 图28.设x ,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--，，00,02,063y x y x y x 若目标函数z =ax +by (a ＞0, b ＞0)的最大值为12，则a 2+b 3的最小值为（ ） A. 625 B. 38 C. 311 D.4二、填空题（每题5分共15分）9.〈许昌五校上学期第三次联考〉已知实数x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-,0,30,02y x y x 则目标函数z =2x －y的最大值是 .10.已知二次函数f (x )=ax 2+2x +c (x ∈R )的值域为［0,+∞),则ac c a 11+++的最小值为 . 11.〈安徽高考〉设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①若ab ＞c 2,则C ＜3π;②若a +b ＞2c ,则C ＜3π;③若a 3+b 3=c 3,则C ＜2π;④若(a +b)c ＜2ab ,则C ＞2π;⑤若(a 2+b 2)c 2＜2a 2b 2,则C ＞3π. 三、解答题（12~13每题12分，14题13分，共37分） 12.已知x ＞0,y ＞0且2x +8y －xy =0,求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值.13.医院用甲、乙两种原料给手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？14.设a ＞0,b ＞0,对任意的实数x ＞1,有ax +1-x x＞b 成立，试比较a +1和b 的大小.参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵a ＜b ＜0,∴a 2－ab =a (a －b )＞0,ab －b 2=b (a －b )＞0.∴a 2＞ab ,ab ＞b 2. ∴a 2＞ab ＞b 2.故选B.2.A 点拨：由题意知－21，31是方程ax 2+bx －2=0的根，故有,.231213121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+-a a b ∴a =12,b =2.∴ab =24. 3.B 点拨：原不等式可化为32+-x x －2≤0，即38+--x x ≤0，即(x +3)(x +8)≥0且x ≠－3, 解得：x ≤－8或x ＞－3.4.B 点拨：由函数y ＝f (x )的图象知：要使⎪⎭⎫⎝⎛-+112x x f ＞0, 则需112-+x x ＜1,即12-+x x ＜0,利用穿根法得－2＜x ＜1.（如答图1） 答图1 ∴原不等式的解集为（－2，1）.5.C 点拨：∵a x =b y =3,∴x =log a 3,y =log b 3. ∴y x 11+=3log 13log 1b a +=3lg lg 3lg lg b a +=3lg )lg(b a ⋅.∵23=a +b ≥2ab ,即ab ≤3（当且仅当a =b 时，取“＝”），由⎩⎨⎧==+b a b a ,32得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,3b a∴当a =b =3时，ab 有最大值3.∴yx 11+的最大值为1. 6.C 点拨：∵不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0成立，∴对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0,ax ≥－x 2－1,即a ≥x x 12+-成立.令g (x )= x x 12+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1.易知g (x )= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1在⎥⎦⎤⎝⎛21,0内为增函数. ∴当x =21时，g (x )max =－25. ∴a 的取值范围是a ≥－25.即a 的最小值是－25.故选C.7.C 点拨：由图象知抛物线顶点坐标为（6，11），且过点（4，7）.设y =a (x －6)2+11,将点（4，7）的坐标代入，得7=a (4－6)2+11,∴a =－1. ∴y =－(x －6)2+11=－x 2+12x －25. ∴x y =－x －x 25+12=12－⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 25.∵xx 25+≥10（当且仅当x x 25=,即x =5时，取“=”）,∴当x =5时，xy有最大值2.故选C.8.A 点拨：不等式组表示的平面区域如答图2中阴影部分， 当直线ax +by =z (a ＞0,b ＞0)过直线x －y +2=0与直线3x －y －6=0的交点（4，6）时，目标函数z =ax +by (a ＞0,b ＞0) 取得最大值12，即4a +6b =12,即2a +3b =6, 而b a 32+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 32632b a +⋅=613+⎪⎭⎫⎝⎛+b a a b ≥ 613+2=625,故选A. 答图2二、9.6 点拨：平面区域如答图3，平移直线2x －y =0,当直线过点A (3,0)时，目标函数的值最大，最大值为6.答图310.4 点拨：依题意f (x )的最小值为0，所以a ＞0且⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 1=a 1－a2+c =0.即a ＞0且ac =1, 所以c ＞0.故c a 1++ac 1+=ac c c a a +++22=a 2+c 2+a +c ≥2ac +2ac ＝4，当且仅当a =c =1时，等号成立.11.①②③ 点拨：对于①,∵ab ＞c 2,∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥ab ab ab 22-=21(当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，.∴①正确.对于②，∵a +b ＞2c ＞0,∴c 2＜42）（b a +.∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab b a b a 24)(222+-+=abab b a 221)(4322-+≥ab ab 2=21 (当且仅当a =b时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，.∴②正确.对于③，∵a 3+b 3=c 3,∴(a 2+b 2) 3－(c 2) 3=(a 2+b 2) 3－(a 3+b 3) 2=3a 4b 2+3a 2b 4－2a 3b 3=a 2b 2 (3a 2+3b 2－2ab )≥4a 3b 3＞0（当且仅当a =b 时取“=”）. ∴(a 2+b 2) 3＞(c 2) 3,即a 2+b 2＞c 2.∴cos C =ab c b a 2222-+＞0,C ＜2π,∴③正确.对于④，∵(a +b )c ＜2ab ,∴c 2＜()2224b a b a +≤ab (当且仅当a =b 时取“=”). ∴cos C ＝ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥ab ab 2=21＞0(当且仅当a =b 时取“=”),C ＜2π.故④不正确.对于⑤，∵(a 2+b 2)·c 2＜2a 2b 2,∴c 2＜22222ba b a +≤ab b a 2222=ab (当且仅当a =b 时取“=”). ∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥abab ab 22-=21(当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭⎫⎝⎛30π，.故⑤不正确. ∴正确命题为：①, ②,③. 三、12.解：（1）由2x +8y －xy =0,得x 8+y 2=1,又x ＞0,y ＞0，则1=x 8+y 2≥xyy x 8282=⋅,得xy ≥64.当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,28,128yx yx ,即⎩⎨⎧==4,16y x 时等号成立.此时()min xy =64. (2)由2x +8y －xy =0,得x 8+y2=1, 则x +y =⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 28 (x +y)=10+y x 2+x y 8≥10+2x yy x 82⋅=18. 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,82,128x y yx yx 即⎩⎨⎧==6,12y x 时等号成立.此时()min y x +=18.13.解：设甲、乙两种原料各用10x g 、10y g ，所需费用为z 元，由题意，知z =3x +2y ,线性约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,40410,3575y x y x y x画出可行域如答图4中阴影部分. 答图4作直线l 0:3x +2y =0,则易知当l 0平移至l 位置时，z 有最小值，此时l 过点A .由⎩⎨⎧=+=+40410,3575y x y x 得A ⎪⎭⎫⎝⎛3,514. ∴应用甲、乙原料分别为514×10=28(g),3×10=30(g)时，费用最省. 温馨提示：本题设“甲、乙原料分别用10x g 、10y g ”比设“甲、乙原料分别用x g ，y g ”运算方便.14.解：设f (x )=ax +1-x x ,则f (x )=ax +1+11-x =(a +1)+a (x －1)+ 11-x ,∵x ＞1,∴x －1＞0.∴f (x )≥(a +1)+2a =(a +1)2.当且仅当a (x －1)=11-x (x ＞1),即x =a11+时，上式取“＝”，又f (x )＞b 恒成立，∴b ＜(a +1)2.又∵a ＞0,b ＞0,∴a +1＞b .。
北师大版高中数学必修五本章练测：第三章不等式(含答案解析).docx
高中数学学习材料唐玲出品第三章不等式（数学北京师大版必修5）8.已知不等式（x+y ）(1ax y+)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A.2 B.4 C.6 D.89.满足不等式y 2-x 2≥0的点（x ，y ）的集合（用阴影表示）是（ ）10.如果正数a ，b ，c ，d 满足a+b =cd =4，那么（ ） A .ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 B .ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 C .ab ≤c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c+d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一11.设，且a b （a 、b 、 ），则M 的取值范围是（ ） A . ，18B . ［，1）C .［ ， ）D .［8，+∞）12.对于满足等式x 2+（y-1）2=1的一切实数x 、y ，不等式x+y+c ≥0恒成立，则实数c 的取值范围 是（ ）A .（-∞，0］B .，+∞） C .-1，+∞） D .［1，+∞）13.不等式2242x x +-≤12的解集为 . 14.若不等式x 22a xa ＞0对x恒成立，则关于t 的不等式a 2t 1＜at22t 3的解集为 .15.设x ，y ，z ，则x 2y z的最大值是 .16.函数y =1x a -（a ＞0，a ≠1）的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn ＞0）上，则1m +1n的最小值为 .三、解答题（共74分）17.（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位： ）能使矩形广告的面积最小？第17题图18.（12分）不等式（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？20.（12分）已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立.（1）求f（2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）设b n=1()f n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＞43(3)nn+.21.（12分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a b22b2a2a2b2＞6a b 22.（14分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第三章不等式（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、计算题17．18.19.20.21.22.第三章 不等式（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.D 解析： y2x是增函数，而0＜b ＜a ＜1，1＜2b ＜2a＜2 .2.D 解析：∵ t a b a b b ，∴ t ≤s .3.C 解析：依题意得x ， x x x 或 x ， x x x ，所以 x ，x 或 或-1≤x -1x -1，故选C.4.A 解析：不等式组可化为x y ＞0，xy ＞0，0 x 2，或 xy ＜0，xy ＜0，0 x 2，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示， ∴ 不等式组x y xy ＞0，0 x 2表示的平面区域为三角形.5.D 解析：∵ x ＞2，∴ f （x ）=x + 1x 2=x -2+1x 2+2≥2 x21x 2+2=4，当且仅当 x 21x 2，即x3时等号成立.故选D.6.C 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又B ，C 两点的坐标分别为（0，4）， ，43， 故S △ABC12 43×1 43. 7.B 解析：特殊值法.令a =7，b =3，c =1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+.8.B 解析：不等式 x y1a x y + ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1+a+y axx y+≥a+1≥9，∴2-4（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4.9.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错；再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B .又cd ≤2()4c d +，故 ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a =b =c =d =2时，等号成立.故应选A .11.D 解析：M≥12.C 解析：令x θ，y θ，则 x y θ θ θπ4∴ x y max -1.∵ x y 恒成立，故c ≥ x y max -1，故选C.13. x x 解析：依题意得x x ≤-1 x x ≤0 x ∈［-3，1］.14.（-2，2）解析：由x 22a x a ＞0对x 恒成立得Δ 4a24a ＜0，即0＜a ＜1， 函数yax是 上的减函数，∴ 2t 1＞t22t 3，解得-2＜t ＜2.15.222解析： x22y 2z2222 21 22xy z 2x 22y 2z 21122xy z 2.16.4 解析：由题意知 （ ， ），∴ n ，∴ n ， ∴n17.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.① 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积 a b ab b a a b ≥ a b 18 500+2 ab 24 500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =58a ，代入①式得a =120，从而b =75，即当a =120，b =75时，S 取得最小值24 500.故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告的面积最小. 18.解：若m 2-2m-3 0，则m -1或m 3.当m -1时，不合题意；当m 3时，符合题意.若m 2-2m-3≠0，设f （x ）=（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1，则由题意得，22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎨=[-(-3)]+4(--)<⎩解得-15<m<3.综上可得，-15<m≤3.19.解：设投资人分别用x，y万元投资甲，乙两个项目，由题意得，10,0.30.1 1.8,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z x y第19题答图上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，作直线x y，并作平行于直线l0的一组直线x y z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，此时z最大，这里点M是直线x与直线 x y的交点.解方程组10,0.30.1 1.8,x yx y+=⎧⎨+=⎩得4,6,xy=⎧⎨=⎩此时，z=4+0.5×6=7（万元）.∴当x，y时，z取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.20.（1）解：∵2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立，∴4≤f（2）≤4，∴f（2）=4.（2）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（-2）=0，f（2）4，∴424,1, 42024.a b c ba b c c a++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩∵ax2+bx+c≥2x，即ax2-x+2-4a≥0，∴ a a a，∴a 14，c2-4a1，故f（x）=24x+x+1.（3）证明：∵b n1()f n24(2)n+＞4(2)(3)n n++412n+13n+，∴S n b1+b2+…+b n＞41314141512n+13n+=4× nn21.证明：∵ b222b， a b222a b①同理b2a22a b，②a2b22a b. ③∵a，b，c是不全相等的正数，∴b222b，2a22a，a2b22a b三式中不能全取“＝”，∴①②③三式相加，得a b22b2a2 a2b2＞6a b.22.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72，蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2(a+2b)≤80-.当且仅当a=2b，即a，b=6时，S max=32.答：矩形温室的边长分别为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤2．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B．C ．4D．4．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ） A ．9B ．94C ．52D ．25．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b +≥+- C≥D ．3322a b ab +≥6．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．87．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．14B ．4C ．18D ．89．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A．BC ．1D ．210．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ）A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<- 11．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a≤b12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题13．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．14．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.15．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 16．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.17．已知,a b 为正实数，直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=- 相切，则11a b+的最小值为________.18．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 19．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.20．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是__________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 22．已知函数()21f x x x =-++． （1）求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()f x 的最小值是m ，且3m a b +=，求212a b +的最小值．23．已知函数()251f x x x =--+. （1）解不等式()3f x x <；（2）当[]1,2x ∈时，2()3f x ax x -+恒成立，求实数a 的取值范围.24．某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6吨，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z(单位：元)与购买天数x(单位：天)的关系为()()*z 9x x 1x N =+∈，每次购买大米需支付其他固定费用900元．()1该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？()2若提供粮食的公司规定：当一次性购买大米不少于21吨时，其价格可享受8折优惠(即原价的80%)，该食堂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由． 25．已知函数2()21f x mx nx =++．（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求m ，n ;（2）设()0{|}A x f x =≥，且1,2A A -∈∉，求3m n +的取值范围． 26．已知2()(1)1f x ax a x =+-- （1）若()0f x >的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求关于x 的不等式301ax x +≤-的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x=+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 2．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6； 故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.4．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++62264119(5)(5444a a a a =++≥+=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．5．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误. 详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-，a b <<有3322a b ab <+，故D 项错误，其余恒成立：1122,a a a a+≥=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时0a b a b a b a b ---+≥---+=⇒当a b <0>>D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.6．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40xy>>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）．故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．7．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b +≥ 4= .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．8．C解析：C 【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值． 【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18． 故选C ． 【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；,0)2a b a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．9．D解析：D 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->，即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题11．C解析：C 【解析】试题分析：作差法化简a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0． 解：∵a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ， ∴a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0， ∴a≥b ， 故选C ．考点：不等式比较大小．12．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：3+【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】 由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12ka b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+ 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.14．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最1- 【分析】 由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4zy x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-，()2717134343343xx y x y x x z x x x +∴+-=-=---，()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-，所以，()()71717131114334343x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立，因此，x y x y z ++-的最小值为13-.1-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7【分析】 根据题中条件，由1222()2212y x y x y y x x y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=， 当且仅当y x x y =，即1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立. 故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A 时此时目标函数在轴上的截距最大此时目 解析：6【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.【详解】由题意，作出不等式组041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数2z x y =+，可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由04x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数2z x y =+的最大值为2226z =⨯+=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．17．【分析】直线与曲线相切则切点在直线与曲线上且切点处的导数相等求出的关系再利用基本不等式求所求分式的最值【详解】解：由得；由得；因为直线与曲线相切令则可得代入得；所以切点为则所以故当且仅当时等号成立此 解析：2【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出a ，b 的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值．【详解】解：由2y x a =-+得1y '=；由1x b y e+=-得x b y y e +'==； 因为直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=-相切，令1x b e +=，则可得x b =-，代入1x b y e +=-得0y =；所以切点为(,0)b -．则20b a --+=，所以2a b +=． 故11111()()112222222b a a a b a b a b a b b a+=++=+++=， 当且仅当1a b ==时等号成立，此时取得最小值2． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值，属于中档题.18．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：(],12-∞【分析】先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()31993336612b a a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当9b a a b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.19．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知 解析：9【分析】将已知等式变形为111a b+=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得.【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b +=.又a ，b 为正数，所以1144(4)1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9.故答案为：9【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.20．【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究 解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于m 的不等式，进而可求其取值范围.【详解】解：由题意知，知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，则只需22430m ∆=-⨯⨯≤， 解得13m ≥. 故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在R 上恒成立问题，如若()200ax bx c a ++≥≠在R 上恒成立，可得00a >⎧⎨∆≤⎩ ；若()200ax bx c a ++≤≠在R 上恒成立，可得00a <⎧⎨∆≤⎩. 三、解答题21．（1）20k =，()16002440,010L x x x =--≥+；（2）30万元. 【分析】（1）0x =，28,y =代入已知模型求出k ，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得 利润函数；（2）利用基本不等式求最值．【详解】（1）由题意，可知当0x =时，28,y = 283010k ∴=-， 解得20k =203010y x ∴=-+ 又每件产品的销售价格为801601.5y y +⨯元， ()801601.580160y L y y x y ⎛⎫+∴=⨯-++ ⎪⎝⎭4080y x =+-2040803010x x ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-+ ()16002440,010x x x =--≥+ （2）0x ≥，()1016001600101070101010x x x x ∴+=++++-≥== 当且仅当16001010x x =++时等号成立， 2440702370y ∴≤-= max 2370y ∴=故该工厂计划投入促销费为30万元时，才能获得最大利润，最大利润为2370万元.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件．22．（1）[]23，-；（2）92．【分析】（1）将()f x 解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得()5f x ≤时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出()f x 的最小值3m =，所以得1a b +=；再将212a b+构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值.【详解】 解：（1）21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩， 解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤．故不等式()5f x ≤的解集为[]23，-. （2）由（1）可知3m =，则1a b +=， 则21212559()2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当23a =，13b =时，等号成立）． 故212a b +最小值为92． 【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 23．（1）23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在1x ≤-、512x -<<、52x ≥去除绝对值符号可得到不等式；综合各个不等式的解集可求得结果；（2）根据x 的范围可转化为2433x ax x -≤-+在[]1,2x ∈上恒成立，通过分离变量可得2max 12a x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，通过求解最大值可得到结果. 【详解】（1）当1x ≤-时，()()25163f x x x x x =-+++=-+<，解集为∅ 当512x -<<时，()251343f x x x x x =-+--=-+<，解得：25,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 当52x ≥时，()25163f x x x x x =---=-<，解得：52x ≥综上所述，()3f x x <的解集为：23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ （2）当[]1,2x ∈时，()43f x x =- ∴不等式可化为：2433x ax x -≤-+，即：212a x x ≥- 当[]1,2x ∈时，11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当112x =，即2x =时，2max 1234x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 34a ∴≥- 即a 的取值范围为：3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；解绝对值不等式的关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在每个区间上的解析式；常用的恒成立问题的处理方法是通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系.24．（1）10天购买一次大米；（2）见解析.【分析】()1根据条件建立函数关系，结合基本不等式的应用求最值即可；()2求出优惠之后的函数表达式，结合函数的单调性求出函数的最值进行判断即可．【详解】解：()1设每天所支付的总费用为1y 元， 则()11900y 9x x 19000.660009x 3609360936091803789x x ⎡⎤=+++⨯=++≥++=⎣⎦， 当且仅当9009x x=，即x 10=时取等号， 则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．()2若该食堂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次大米，设该食堂接受此优惠条件后，每x ，()x 35≥天购买一次大米，平均每天支付的总费用为2y ， 则()21900y 9x x 19000.660000.89x 2889x x⎡⎤=+++⨯⨯=++⎣⎦， 设()900100f x 9x 9x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，x 35≥， 则()f x 在x 35≥时，为增函数，则当x 35=时，2y 有最小值，约为3229.7，此时3229.73789<，则食堂应考虑接受此优惠条件．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，基本不等式的性质以及函数的单调性，属于中档题. 25．（1）12m =，34n =-；（2）1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由1x =和2x =是方程2210mx nx ++=的解可得；（2）1,2A A -∈∉，得出,m n 满足的关系，作出点(,)m n 据平面区域，作直线30x y +=，平移该直线得3z x y =+的取值范围，也即3m n +的取值范围．【详解】（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,2∴2104410m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得1234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）∵()0{|}A x f x =≥，且1,2A A -∈∉，∴2104410m n m n -+≥⎧⎨++<⎩，作出不等式组2104410x y x y -+≥⎧⎨++<⎩表示的平面区域，如图阴影部分（含边界实线，不含虚线部分），由2104410x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得1214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 作直线:30l x y +=，平移直线l 知，向下平移直线l ，3z x y =+减小，而直线l 过点11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，134z x y =+=，∴14z <， ∴ 3m n +的取值范围是1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查简单的线性规划问题．解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得结论，注意可行域中虚线部分不可取．26．（1）3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a =时，解集为(,1]-∞-，当0a >时，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，当1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =-时，解集为{}1-，当10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据不等式的解与方程的根的关系，利用韦达定理列出方程组，求得a 的值，代入求得不等式的解集.（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集.【详解】 解：（1）由题意得11121112a a a -⎧--=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得2a =-， 故原不等式等价于2301x x -+-，即(23)(1)010x x x --⎧⎨-≠⎩所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. （2）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(,1]-∞-;当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭; 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 当11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 当11a=-，即1a =-时，解集为{}1-; 当11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属中档题.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,22．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．63．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．954．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋6．若,x y 满足条件11x yx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225499．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．275B ．245C ．5D ．610．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+11．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >二、填空题13．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 14．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.15．若x ，y 满足约束条件210,10,2,x y x y x +-≥⎧-+≥≤⎪⎨⎪⎩则3z x y =-的最小值为______．16．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3yx +的最大值为_______．17．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.18．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.19．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________. 20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =. （1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x=的值域； （2）当0a >时，解不等式()0f x <.23．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x =23(1)b a b+--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值.24．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围.25．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A C b cB a c--=+.（1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，求ABC 周长的最大值.26．已知定义域在()0,∞+上的函数()f x 满足对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）设(),0,x y ∈+∞，求证()()y f f y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较x 1与x 2的大小； （3）若13a -<<，解关于x 的不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+114114(5)1(52)123131y x y x x y x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x yzx+-=-，并理解z的几何意义，利用数形结合分析问题.4．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．A解析：A【分析】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔m＜（x9x+）min，利用基本不等式可求得（x9x+）min＝6，从而可得实数m的取值范围．当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔当x ＞0时，不等式m ＜x 9x+恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ， 当x ＞0时，x 9x +≥29x x⋅=6（当且仅当x ＝3时取“＝”）， 因此（x 9x+）min ＝6， 所以m ＜6， 故选A ． 【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m 是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求．解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9．A解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()1349362743433325555255x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．10．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．11．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1ba++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b +≥ 4= .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．12．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.二、填空题13．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5. 故答案为：5. 【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.14．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最解析：13- 【分析】 由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4zy x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-，()2717134343343xx y x y x x z x x x +∴+-=-=---，()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-，所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立， 因此，x y x y z ++-的最小值为13-.1-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图化目标函数为由图可知当直线过时直线在轴上的截距最大有最小 解析：1-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件210102x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩作出可行域如图，化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(0,1)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为1-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．16．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线解析：78【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值. 【详解】根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可以画出可行域，如下图阴影部分所示，目标函数3yx +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率， 因此可得，当在点A 时，斜率最大联立2801x y x +-=⎧⎨=⎩，得172x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即71,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以此时斜率为 ()7072138-=--，故答案为78.【点睛】本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.17．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有2212||(0)(20)3C C a b R r ++-=+=，变形可得：2249a b +=， 222222222222222222111111414(4)()(5)(52)1999a b a b a b a b a b a b a b b a b a+=+=++=+++⨯=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．18．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.19．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或t = 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值； (2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可. 【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=- 又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=-0c ∴=；选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=， 由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立,32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-. (3) 因为函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根， 因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即12t >时，2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时， 要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t tx t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =， 综上：实数t 的取值范围为12t >或t =. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．（1）91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）答案见解析.【分析】（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，求得18a =，得出()12584f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解； （2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集.【详解】（1）由题意，函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，所以2()(21)2f x ax a x =-++，因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，所以228c a a ⨯==，所以18a =，所以()12584f x y x x x ==+-，当0x >时，125518444x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立； 当0x <时，12512559848444x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立. 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由2()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，因为0a >时，分三种情况讨论： ①当12a <，即12a >时，1()02f x x a<⇒<<； ②当12a =，即12a =时，无解；③当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<，综上所述，当12a >时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当12a =时，不等式()0f x <的解集为∅； 当102a <<时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.23．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18. 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b+=-有意义，则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥， 即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥， 又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b+=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤，又13(3)()103()b aa b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，当且仅当1338a b a b+=+=时取“=”，即a =32b +=或a =，b = 所以103()64b a a b ++≤，即2218a b b aab a b+=+≤所以22a b ab +的最大值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（1）见解析（2）0<p <0.3 【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×6＋1.18×2＋1.17×3＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18，整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3.因为0<p <1，所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．25．（1）3π；（2） 【分析】（1）正弦定理角化边可得a cbc b a c --=+，利用余弦定理，结合角A 的范围，即可得答案；（2）由（1）得3A π=，由正弦定理可得a 的值，利用余弦定理及均值不等式，即可求得b+c 的最大值，进而可得答案.【详解】（1）由sin sin sin A C b c B a c --=+及正弦定理得：a c b c b a c--=+， 化简得222b c a bc +-=，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又∵(0,)A π∈，∴3A π=. （2）∵ABC 的外接圆半径为2，3A π=，∴由正弦定理得324sin a R π==，解得a =∴由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅， ∴2222212()3()32b c b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，∴b c +≤b c =时，等号成立，∴ABC的周长的最大值为a b c ++=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、均值定理的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.26．（1）证明见解析；（2）12x x >；（3）答案见解析【分析】（1）取y y x x=⋅，代入已知等式即可证得结果； （2）由()()12f x f x <，结合（1）中等式()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得到120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，再根据当且仅当1x >时，()0f x <成立得到121x x >，从而得到12x x >； （3）在已知等式中取特值1x y ==求出()10f =，由（2）可知函数f （x ）在定义域()0,∞+上是减函数，在不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦中，用()1f 替换0后利用函数的单调性脱掉“f ”，则不等式的解集可求.【详解】（1）证明：∵()()()f xy f x f y =+，∴()()y f f x f y x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∴()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）解：∵()()12f x f x <，∴()()120f x f x -<， 又()()11220x f f x f x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∵当且仅当1x >时，()0f x <成立，∴当()0f x <时，1x >，∴121x x >，12x x >； （3）解：1x y ==代入()()()f xy f x f y =+得()()()111f f f =+，即()10f =， ∴()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦可得()()2111f x a x a f ⎡⎤-+++>⎣⎦， 由（2）可知函数()f x 在定义域()0,∞+上是减函数，∴()20111x a x a <-+++<， 当13a -<<时，()()22141230a a a a ∆=+-+=--<，所以()2110x a x a -+++>恒成立； 故只需满足()2111x a x a -+++<即()210x a x a -++<成立即可； 即()()10x a x --<.当11a -<<时，1<<a x ；当1a =时，x ∈∅；当13a <<时，1x a <<；综上可得：当11a -<<时，(),1x a ∈；当1a =时，x ∈∅；当13a <<时，()1,x a ∈【点睛】本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式.。
北师版数学必修5： 第3章 章末综合测评3
章末综合测评(三)不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＜b＜0，则()A.1a＜1b B．0＜ab＜1C．ab＞b2 D.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴两边同乘以b得ab＞b2，故选C.【答案】 C2．设m＝(x＋5)(x＋7)，n＝(x＋6)2，则m、n的大小关系是()A．m≤n B．m＞nC．m＜n D．m≥n【解析】∵m＝(x＋5)(x＋7)＝x2＋12x＋35，n＝(x＋6)2＝x2＋12x＋36，∴m－n＝－1＜0，∴m＜n.【答案】 C3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是()A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a【解析】不等式化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a.∵a＜0，∴x1＞x2，∴不等式的解为x＜5a或x＞－a.【答案】 B4．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是() 【导学号：47172135】A.|a＋b|2≥|ab| B.ba＋ab≥2C.a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22D．(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b≥4【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 【答案】 C5．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图像与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )【解析】 由题意知Δ＝b 2－4a 2＞0，∴(b －2a )(b ＋2a )＞0，∴⎩⎨⎧ b －2a ＞0，b ＋2a ＞0，或⎩⎨⎧b －2a ＜0，b ＋2a ＜0，画图知选C. 【答案】 C6．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) 【导学号：47172136】A.72B ．4 C.92 D ．5 【解析】 ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ， ∵a ＞0，b ＞0，∴2a b ＋b 2a ≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号，∴y 的最小值是92，选C.【答案】 C。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．32．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．20C ．28D ．323．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 4．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋5．若实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A．1[2B ．1[,13)4C． D ．1[,13)56．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-7．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣C．⎡⎤⎣⎦D ．[8．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．89．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A．11a b<B．a2＞b2C．a3＞b3D．a bb a>10．已知正数x，y满足x+y＝1，且2211x yy x+++≥m，则m的最大值为（）A．163B．13C．2 D．411．已知实数x,y满足210210x yxx y-+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y=--的取值范围是( )A．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12．命题p:变量(),x y满足约束条件3450yxx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则yzx=的最小值为14，命题q:直线2x=的倾斜角为2π，下列命题正确的是（）A．p q∧B．()()p q⌝∧⌝C．()p q⌝∧D．()p q∧⌝二、填空题13．西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O，半径OM ON=且为1米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点A，B的连线恰好与圆弧拐角相切于点T（点A，T，B在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______________米.14．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．15．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．16．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________．17．若实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则1x y x ++的取值范围为_____.18．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 19．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.20．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是__________.三、解答题21．解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.22．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围.23．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A C b cB a c--=+.（1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，求ABC 周长的最大值.24．（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.25．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值26．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).2．C解析：C 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域， 由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．A解析：A 【分析】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，利用基本不等式可求得（x 9x +）min ＝6，从而可得实数m 的取值范围． 【详解】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔当x ＞0时，不等式m ＜x 9x+恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ， 当x ＞0时，x 9x +≥=6（当且仅当x ＝3时取“＝”）， 因此（x 9x+）min ＝6， 所以m ＜6， 故选A ． 【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m 是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．5．D解析：D 【详解】 根据实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，画出可行域如图所示22x y +表示可行域内的点与坐标原点O 距离的平方，O 与直线AB ：210x y +-=22001521⨯+-=+， O 与(2,3)C 222313+= ∵可行域不包含(2,3)C∴21135r ≤<，即22x y +的取值范围是1[,13)5 故选：D 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6．C解析：C 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233zy x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ，所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=，故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．9．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 10．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案. 【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5，又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13， 即2211x y y x +++的最小值为13， 所以3m ≤，则m 的最大值为13； 故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题． 11．D解析：D【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围.【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12z y x +=-， 平移直线12z y x +=-， 由平移可知当直线12z y x +=-，经过点C 时， 直线12z y x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12z y x +=-，经过点A 时，直线12z y y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3 代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-， 故5[3z ∈-，5) 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．12．A解析：A【分析】由约束条件作出可行域，由y z x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】 解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式y z x =表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．二、填空题13．75【分析】设则可得AB 长度的表达式利用凑1法结合基本不等式即可求得答案【详解】设其中延长OM 交AB 于D 过B 做SB 垂线交DO 于G 延长ON 交AB 于E 过A 做SA 垂线交NO 于F 如图所示：在中AF=39则即解析：75【分析】设=MOT θ∠，则可得AB 长度的表达式，利用凑“1”法，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】设=MOT θ∠，其中(0)2πθ∈，，延长OM ，交AB 于D ，过B 做SB 垂线，交DO 于G ，延长ON ，交AB 于E ，过A 做SA 垂线，交NO 于F ，如图所示：在Rt AEF 中，AEF θ∠=，AF =39，则sin AF AE θ=，即39sin AE θ=， 在Rt BDG 中，DBG θ∠=，17BG =，则cos BG BD θ=，即17cos BD θ=， 在Rt DOE 中， OT DE ⊥，OT=1，所以11,cos sin DO EO θθ==，又1122DO EO DE OT ⨯⨯=⨯⨯，所以1sin cos DE θθ=， 所以39171()sin cos sin cos AB f AE BD DE θθθθθ==+-=+-=39cos 17sin 1sin cos θθθθ+-， 因为4sin 3cos 5sin()5θθθϕ+=+≤，其中3tan 4ϕ=，当且仅当2πθϕ+=时，等号成立， 所以1(4sin 3cos )(39cos 17sin )139cos 17sin 15()sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθ++-+-=≥ 22221(68sin 207sin cos 117cos )(sin cos )5sin cos θθθθθθθθ++-+= =2263207112sin sin cos cos 716207555(9tan )sin cos 5tan 5θθθθθθθθ++=++72077555≥⨯=， 当且仅当169tan tan θθ=，即4tan 3θ=时等号成立， 所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.故答案为：75.【点睛】解题的关键是根据题意，得到AB 长度的表达式，难点在于需利用凑“1”法，将表达式化简成齐次式，结合基本不等式求解，考查计算化简的能力，属中档题.14．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ． 代入目标函数z y x =-，得044z =-=-．所以z y x =-的最小值是4-.故答案为：4-【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.15．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛 解析：322+【分析】 根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】 由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+，又lg 20200>，所以原不等式可化为12k a b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+【点睛】 关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.16．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点解析：【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值.【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b =，所以a c =-，所以0bc +>，由均值不等式得22b c bc +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()626b c b c =++≥+，当6b c +=时取等号，故228a b b c+++的最小值是26. 故答案为：26【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.17．【分析】作出不等式组对应的平面区域然后化简目标函数利用不等式的几何意义利用线性规划的知识进行求解即可【详解】解：实数满足不等式组的可行域如图三角形的三边及其内部部分：它的几何意义是可行域内的点与连线解析：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可.【详解】解：实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，的可行域如图，三角形ABC 的三边及其内部部分：111x y y x x+++=+，它的几何意义是可行域内的点与()0,1D -连线的斜率加1， 由图象知BD 的斜率最小，CB 的斜率最大，由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,3C ，此时DC 的斜率：3141+=， 由25040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1B ，此时BD 的斜率：11233+=， 则1x y x ++的取值范围为是5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．18．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解 解析：1[,)4+∞. 【分析】 利用基本不等式求得24x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】 因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞. 故答案为：1[,)4+∞. 【点睛】 本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A 时直线在y 轴上的截距最小z 有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y =-取最大值的最优解即可.【详解】由约束条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y x A x y =⎧⇒⎨+=⎩． 目标函数22z x y y x z =-⇒=-由图可知，过A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为12． 故答案为：12【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题. 20．【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于m 的不等式，进而可求其取值范围.【详解】解：由题意知，知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，则只需22430m ∆=-⨯⨯≤， 解得13m ≥. 故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在R 上恒成立问题，如若()200ax bx c a ++≥≠在R 上恒成立，可得00a >⎧⎨∆≤⎩ ；若()200ax bx c a ++≤≠在R 上恒成立，可得00a <⎧⎨∆≤⎩. 三、解答题21．答案见解析【分析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->，再对a 进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案；【详解】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<， （3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >， （4）当14a =时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠， （5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >， 综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭; 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意讨论的依据是比较根的大小.22．（1）见解析（2）0<p <0.3【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×6＋1.18×2＋1.17×3＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18，整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3.因为0<p <1，所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．23．（1）3π；（2） 【分析】（1）正弦定理角化边可得a cbc b a c --=+，利用余弦定理，结合角A 的范围，即可得答案；（2）由（1）得3A π=，由正弦定理可得a 的值，利用余弦定理及均值不等式，即可求得b+c 的最大值，进而可得答案.【详解】（1）由sin sin sin A C b c B a c --=+及正弦定理得：a c b c b a c--=+， 化简得222b c a bc +-=， ∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又∵(0,)A π∈，∴3A π=. （2）∵ABC 的外接圆半径为2，3A π=，∴由正弦定理得324sin a R π==，解得a =∴由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅， ∴2222212()3()32b c b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，∴b c +≤b c =时，等号成立，∴ABC的周长的最大值为a b c ++=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、均值定理的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.24．（1）[)1,2；（2）见解析【分析】（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可．【详解】解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，∴方程23kx +=的解集为1,5， ∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-， ∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩， 解得12x ≤<，∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥， ①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-； 当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a =-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a<-即20a -<<时，解得21x a ≤≤-； 3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤； 综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-；当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．25．（1）4；（2）4.【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy+≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号），∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥，∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号），所以x y +的最小值为4.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.26．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数；（2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用，即需4y ≥，则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ， 则()1220(8)26 16168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥， ()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.。
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大值 Word版含解析
[A 基础达标]1．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3B ．3－22C ．3－23D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x·1x ＝3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号． 2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 解析：选B.因为x ＋1x －1＋5 ＝(x －1)＋1x －1＋6 ≥2（x －1）·1x －1＋6＝8. 所以log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5≥3，所以y min ＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎡⎦⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎡⎦⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝⎛⎭⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4 解析：选D.因为x ＞1，y ＞1，所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝⎛⎭⎫log2x ＋log2y 22＝⎣⎡⎦⎤log2（xy ）22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( ) A ．－3B ．2C ．3D ．8 解析：选C.y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝2×3－5＝1.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，即a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3. 6．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值为________． 解析：x ＋1x ＋y ＋1y＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y＝3＋⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立． 答案：57．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a2＋b2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14. 答案：148．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________． 解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，所以1a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b)＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，所以2a ＋b 的最小值为8. 答案：8 9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值； (2)设x ＞－1，求y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值． 解：(1)2x ＋y ＝3（2x ＋y ）3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2. 所以y ＝2x .又因为1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43. 所以当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83. (2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0.设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. 所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值为9. 10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)． (2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x×163y ＝1 832－480＝1 352， 当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800， 即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352.法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x＝1 832－⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x×9 600x＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝9 600x， 即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45. [B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立， 所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．若a ，b ∈R ，ab >0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________． 解析：a4＋4b4＋1ab ＝a3b ＋4b3a ＋1ab ，由基本不等式得，a3b ＋4b3a ＋1ab≥2a3b ×4b3a ＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a3b ＝4b3a ，4ab ＝1ab同时成立时等号成立． 答案：413．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0.所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0.所以xy ≥1，所以xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， 所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号．所以x ＋y 的最小值为2.14．(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝2米，AD ＝1米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？(2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：(1)设DN 的长为x (x >0)米，则|AN |＝(x ＋1)米，因为|DN||AN|＝|DC||AM|， 所以|AM |＝2（x ＋1）x， 所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝2（x ＋1）2x . 由S 矩形AMPN >9，得2（x ＋1）2x>9， 又x >0，所以2x 2－5x ＋2>0，解得0<x <12或x >2. 即DN 的长的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．(单位：米) (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y ＝2（x ＋1）2x ＝2x2＋4x ＋2x ＝2x ＋2x ＋4≥2·2x·2x＋4＝8(x >0)． 当且仅当2x ＝2x即x ＝1时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为8平方米．。
2020_2021学年高中数学第三章不等式综合测试课时作业含解析北师大版必修5
单元综合测试三(第三章)时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a >b >c ，则一定成立的不等式是( C ) A ．a |c |>b |c | B ．ab >ac C ．a －|c |>b －|c |D.1a <1b <1c解析：∵a >b ，∴a －|c |>b －|c |.2．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( B ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 3．不等式x －1x≥2的解集为( A ) A ．[－1,0) B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：由x －1x ≥2得x ＋1x≤0， ∴其解集为{x |－1≤x <0}．4．已知x 2＋ax ＋b <0的解集为(2,3)，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( D ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(2,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由x 2＋ax ＋b <0的解集为(2,3)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根为2,3，所以－a ＝2＋3＝5，b ＝2×3＝6，即a ＝－5，b ＝6，故bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 5．若x >0，y >0且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( B ) A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y≥1C.xy ≥2D.1xy≥1解析：取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D ，选B. 具体比较如下： ∵0<x ＋y ≤4，∴1x ＋y ≥14，故A 不对； ∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对； 又0<xy ≤4，∴1xy ≥14，∴D 不对．1x ＋1y＝x ＋y xy ≥2xy xy＝2xy，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为( D )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1解析：画出图形如图所示，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标(－2,2)，(a ，－a )，(a ，a ＋4)．∴S ＝12|a ＋2|·|2a ＋4|＝9，∴a ＝1(a ＝－5舍去)．故选D 项．7．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，则不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <g (x )max ，又g (x )max ＝g (4)＝－2，所以a <－2.8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5公里处B ．4公里处C ．3公里处D ．2公里处解析：由已知得y 1＝20x，y 2＝0.8x ，(x 为仓库与车站距离)费用之和y ＝y 1＋y 2＝20x＋0.8x ≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立，故选A.9．有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是( C )A ．4.7 mB ．4.8 mC ．4.9 mD ．5 m解析：设两个直角边为a ，b ，则ab ＝2，周长l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立．10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，则a 的最小值为( C )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：可利用一元二次不等式与二次函数之间的关系求解，也可分离变量化为y ＝x ＋1x型函数，利用其单调性求解．∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－x 2－1x ＝－x －1x . ∵函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，在x ＝12处取得最小值52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若a <b <0，则1a －b 与1a 的大小关系为1a －b <1a. 解析：∵1a －b －1a ＝a －(a －b )a (a －b )＝b a (a －b )<0.∴1a －b <1a. 12．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是a ≥15.解析：x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤15，故a ≥15.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是(－1，2－1)．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．14．若x ，y ∈(0,2]，已知xy ＝2，且6－2x －y ≥a (2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围是a ≤1.解析：x ，y ∈(0,2]，①当x ＝2时，成立．②当x ≠2时，a ≤6－2x －y 8－2y －4x ＋2＝5－2x －y ＋110－2y －4x ＝12＋110－4x －4x ，而12＋110－4x －4x≥12＋110－24x ·4x＝12＋12＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．∴a ≤1.15．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1； ②a ＋b ≤2； ③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3； ⑤1a ＋1b≥2.解析：该题考查均值不等式及不等式的证明方法． ①ab ≤1，由均值不等式ab ≤(a ＋b2)2＝(22)2＝1， ∴正确．②a ＋b ≤2，分析法：要证原式成立．只需证a ＋b ＋2ab ≤2. ∵a ＋b ＝2，只需证2ab ≤0，上式显然不成立，故错误． ③a 2＋b 2≥2，∵a 2＋b 2≥2ab 且2ab ＝4－(a 2＋b 2)， ∴2(a 2＋b 2)≥4，a 2＋b 2≥2， ∴正确．④a 3＋b 3≥3，当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2不成立，举反例，∴错误．⑤1a ＋1b ≥2，分析法：1a ＋1b ≥a ＋b ，即a ＋b ab≥a ＋b ，∴即证1ab≥1.∵0<ab ≤1，∴1ab≥1，故正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z≥36.证明：∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋y x＋4x y＋z x＋9x z＋4z y＋9yz≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．17．(本小题满分12分)解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0. 解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 8<0. ①当－a 7<a8，即a >0时，－a 7<x <a8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为∅； ③当－a 7>a8，即a <0时，a 8<x <－a7.综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a 7<x <a8 ； 当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 8<x <－a7 .18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2＋3x －18>0}，B ＝{x |(x －k )(x －k －1)≤0}，若A ∩B ≠∅，求实数k 的取值范围．解：解法一：由x 2＋3x －18>0，得(x ＋6)(x －3)>0，所以x >3或x <－6，所以A ＝{x |x <－6或x >3}．由(x －k )(x －k －1)≤0，得k ≤x ≤k ＋1，所以B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}． 如图，因为A ∩B ≠∅， 所以k ＋1>3或k <－6， 解得k <－6或k >2.故k 的取值范围是{k |k <－6或k >2}．解法二：先求使A ∩B ＝∅时的k 的取值范围．由解法一，得A ＝{x |x <－6或x >3}，B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}．若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤3，k ≥－6，所以－6≤k ≤2.故使A ∩B ≠∅的k 的取值范围是{k |k <－6或k >2}．19．(本小题满分12分)已知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0，分别求u＝4x －3y 的最大值和最小值．解：已知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥04x －3y －12≤0x ＋2y －3≥0，在同一直角坐标系中，作直线x －2y ＋7＝0,4x －3y －12＝0，x ＋2y －3＝0，再根据不等式组确定可行域，如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝04x －3y －12＝0，解得点A 的坐标为(9,8)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝04x －3y －12＝0，得点C 的坐标为(3,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝0x ＋2y －3＝0，解得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，52.求u ＝4x －3y 的最值，相当于求直线y ＝43x －u 3中纵截距b ＝－u3的最值，显然，b 最大时u 最小，b 最小时u 最大．如图所示，当直线y ＝43x ＋b 与直线AC 重合时，截距b ＝－4为最小．∴u max ＝－3b ＝12；当直线y ＝43x ＋b 经过点B 时，截距b ＝316为最大，∴u min ＝－3b ＝－312.20．(本小题满分13分)某镇为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2010年该镇从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的23.根据测算，该镇从两个企业获得的利润达到2 000万元可以解决温饱问题，达到8 100万元可以达到小康水平．(1)若以2010年为第一年，则该镇从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？(2)试估算2018年底该镇能否达到小康水平？为什么？解：(1)若以2010年为第一年，则第n 年该镇从这两家企业获得的利润为y n ＝320×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋720×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ≥1)＝80[4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]≥2×80×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝2×80×6＝960，当且仅当4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即n ＝2时，等号成立，所以第二年(2011年)上交利润最少，利润为960万元．由2 000－960＝1 040(万元)，知还需另筹资金1 040万元可解决温饱问题．(2)2018年为第9年，该年可从两个企业获得利润y 9＝320×⎝ ⎛⎭⎪⎫328＋720×⎝ ⎛⎭⎪⎫238>320×⎝ ⎛⎭⎪⎫328＝320×81×8116×16＝20×81×8116>20×81×5＝8 100.所以该镇到2018年底可以达到小康水平．21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1，x ∈R .(1)若方程f (x )＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，求实数m 的取值范围． (2)解不等式f (x )<(m ＋2)x 2－2mx . 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，Δ＝(－4m )2－4(m ＋3)(2m －1)>0，x 1＋x 2＝4m m ＋3<0，x 1x 2＝2m －1m ＋3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m >32或m <1，－3<m <0，－3<m <12，解得－3<m <0，所以实数m 的取值范围是(－3,0)． (2)不等式可化为x 2－2mx ＋2m －1<0， 即[x －(2m －1)](x －1)<0，①当m <1时，不等式的解集为{x |2m －1<x <1}； ②当m ＝1时，不等式的解集为∅；③当m >1时，不等式的解集为{x |1<x <2m －1}．。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》检测题(含答案解析)(5)
一、选择题1．已知2244x y +=，则2211x y+的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．1D ．942．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．4 3．设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是（ ）A ．7-B ．2C ．3D ．5-4．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ） A ．15人B ．16人C ．17人D ．18人 5．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋6．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．17．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,118．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．329．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A．BC ．1D ．210．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．211．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）12．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12二、填空题13．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．14．已知对满足4x y xy +=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为___________.15．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是________.16．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.17．若x ，y 满足约束条件210,10,2,x y x y x +-≥⎧-+≥≤⎪⎨⎪⎩则3z x y =-的最小值为______．18．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.19．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题21．已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 22．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数2()21f x mx nx =++．（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求m ，n ;（2）设()0{|}A x f x =≥，且1,2A A -∈∉，求3m n +的取值范围． 24．设1x >，且4149(1)x x +--的最小值为m ．（1）求m ；（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．25．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝3，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），光线QR 经过ABC 的重心，若以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，建立平面直角坐标系．（1）AP 等于多少？（2）D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，求x ，y 所满足的不等式组，并求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围．26．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．D解析：D 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值，又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．B解析：B 【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由z x y =+得：y x z =-+，当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小， 又()2,0A ，min 202z ∴=+=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中，通常有三种类型的最值或取值范围问题： （1）截距型：形如z ax by =+的形式，转化为a zy x b b=-+，将问题转化为直线在y 轴截距的求解问题；（2）斜率型：形如cy d z ax b+=+的形式，转化为d y c c b a x a+⋅+，将问题转化为(),x y 与,b d a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线斜率的求解问题； （3）距离型：形如z Ax By C =++的形式，转化为2222Ax By C z A B A B ++=++题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的求解问题.4．D解析：D 【分析】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果. 【详解】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，则737y x y x <<⎧⎨≥+⎩，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==， 该志愿者服务队总人数为76518++=人. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.5．A解析：A 【分析】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，利用基本不等式可求得（x 9x +）min ＝6，从而可得实数m 的取值范围． 【详解】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔当x ＞0时，不等式m ＜x 9x+恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ， 当x ＞0时，x 9x +≥9x x⋅=6（当且仅当x ＝3时取“＝”）， 因此（x 9x+）min ＝6， 所以m ＜6，故选A．【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．6．C解析：C【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x=-，利用线性规划即可求解.【详解】解：由2z x y=-得122zy x=-，作出x，y满足约束条件424x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线122zy x=-，由图象可知当直线122zy x=-过点C时，直线122zy x=-的截距最大，此时z最小，420xx y=⎧⎨--=⎩，解得()4,2A.代入目标函数2z x y=-，得4220z=-⨯=，∴目标函数2z x y=-的最小值是0.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.7．D解析：D【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.8．B解析：B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.9．D解析：D 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】111()2()22f x x b k f b b b x b b''=+-∴==+≥⋅= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-， 表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.11．A解析：A 【解析】 试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A ．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．12．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：3+【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】 由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12ka b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+ 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.14．【分析】利用基本不等式求得的取值范围对不等式分离常数结合函数单调性求得的取值范围【详解】依题意则当且仅当时等号成立由为正实数得令在上递增所以时有最小值所以故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值要注意 解析：829a ≤【分析】利用基本不等式求得x y +的取值范围，对不等式22210x xy y ax ay ++--+≥分离常数a ，结合函数单调性求得a 的取值范围.【详解】依题意4x y xy +=，则141y x+=，()144559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4,26x yx y y x===时等号成立. 由22210x xy y ax ay ++--+≥，,x y 为正实数得()()210x y a x y +-++≥，1a x y x y≤+++， 令9t x y =+≥，1t t +在[)9,+∞上递增，所以9t =时1t t +有最小值182999+=， 所以829a ≤故答案为：829a ≤ 【点睛】利用基本不等式求最值，要注意掌握“1”的代换的方法.15．8【分析】根据xy 满足的约束条件画出可行域然后平移直线当直线在y 轴上截距最大时目标函数取得最大值【详解】依题意xy 满足约束条件可行域如图所示阴影部分：易得点平移直线（图中虚线）当直线经过C 点时在y 轴解析：8 【分析】根据x ，y 满足的约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩画出可行域，然后平移直线0x y +=，当直线在y 轴上截距最大时，目标函数取得最大值. 【详解】依题意x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩可行域如图所示阴影部分：易得点()2,2A -、()2,2B 、()10,2C -，平移直线0x y +=（图中虚线），当直线0x y +=经过C 点时，在y 轴上的截距最大， 目标函数z x y =+有最大值，1028max z =-=， 所以目标函数z x y =+的最大值是8. 故答案为：8. 【点睛】方法点睛：本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想. 线性规划问题考查的方式是由二元一次不等式组给出线性约束条件确定可行域，求可行域的面积、或确定形状；或者是在线性约束条件下求目标函数的取值范围、最值或取得最值时的点的坐标的确定以及由此衍生出来的其他相关问题，比如直线的斜率、平面距离的最值等问题.16．【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解：∵由正弦定理边角互化得 解析：612【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅，再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =，将其代入()tan A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值． 【详解】解：∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦， ∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+， ∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立， ∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan tan 2A C =， ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan CA C C A C C C A C C C-==++++-， 又∵ tan 0C >，∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==，即tan 3C =等号成立， ∴()tan tan tan tan tan tan 1tan =213A CA CC CA C -≤++-=故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >.17．【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图化目标函数为由图可知当直线过时直线在轴上的截距最大有最小 解析：1-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件210102x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩作出可行域如图，化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(0,1)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为1-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．18．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.19．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键 解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小． 【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-，所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号， 所以p q ． 故答案为：p q ． 【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）[]44-，；（2）(],3∞-． 【分析】（1）由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤，于是可求得a 的取值范围；（2）分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解，转化为求1y x x=-在区间[]1,2上的最大值求解即可． 【详解】（1）由题意得()2102af x x x =-+≥在R 上恒成立， ∴2404a ∆=-≤，解得44a -≤≤，∴实数a 的取值范围为[]4,4-． （2）由题意得[]21,2,122ax x x ∃∈-+≥成立， ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立． 令()[]1,?1,2g x x x x=-∈， 则()g x 在区间[]1,2上单调递增， ∴()()322max g x g ==， ∴322a ≤， 解得3a ≤，∴实数a 的取值范围为(],3∞-． 【点睛】解题时注意以下结论的运用：（1）()a f x >恒成立等价于()max a f x >，()a f x >有解等价于()min a f x >； （2）若函数()f x 的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替． 22．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解. 【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<．①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ， 则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.23．（1）12m =，34n =-；（2）1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【分析】（1）由1x =和2x =是方程2210mx nx ++=的解可得；（2）1,2A A -∈∉，得出,m n 满足的关系，作出点(,)m n 据平面区域，作直线30x y +=，平移该直线得3z x y =+的取值范围，也即3m n +的取值范围．【详解】（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,2∴2104410m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得1234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）∵()0{|}A x f x =≥，且1,2A A -∈∉，∴2104410m n m n -+≥⎧⎨++<⎩，作出不等式组2104410x y x y -+≥⎧⎨++<⎩表示的平面区域，如图阴影部分（含边界实线，不含虚线部分），由2104410x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得1214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，作直线:30l x y +=，平移直线l 知，向下平移直线l ，3z x y =+减小，而直线l 过点11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，134z x y =+=，∴14z <，∴ 3m n +的取值范围是1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查简单的线性规划问题．解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得结论，注意可行域中虚线部分不可取． 24．（1）47=m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)x x +--的最小值；（2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可． 【详解】解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497x x x x +-=-+=--，当且仅当4149(1)x x -=-，即217x -=，也即97x =时等号成立，故47=m ． （2）由（1）知4,7m =， 若不等式2407ax ax -+的解集为R ，则 当0a = 时，407恒成立，满足题意； 当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩， 解得1607a <， 综上，1607a，所以a 的取值范围为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．25．（1）||1AP =；（2）x ，y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为． 【分析】（1）建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由1P ，Q ，R ，2P 四点共线可得直线的方程，由于过ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值；（2）先求出,,RQ PR PQ 所在直线的方程，即得x ，y 所满足的不等式组，再利用数形结合求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围． 【详解】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示． 则(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ．设ABC ∆的重心为E ，则E 点坐标为(1,1)，设P 点坐标为(,0)m ，则P 点关于y 轴对称点1P 为(,0)m -， 因为直线BC 方程为30x y +-=， 所以P 点关于BC 的对称点2P 为(3,3)m -，根据光线反射原理，1P ，2P 均在QR 所在直线上，∴12E P E P k k =， 即113113mm -+=+-， 解得，1m =或0m =．当0m =时，P 点与A 点重合，故舍去．∴1m =． 所以||1AP =.（2）由（1）得2P 为(3,2)，又1(1,0)-P ，所以直线RQ 的方程为210x y -+=； 令210x y -+=中10,2x y =∴=，所以1(0,),2R 所以直线PR 的方程为210x y +-=； 联立直线BC 和RQ 的方程30210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得54(,)33Q ,所以直线PQ 的方程为220x y --=.D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，所以x ，y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩. 直线2410x y ++=和直线PR 22351024+ 点Q 到直线2410x y ++=2254|2+4+1|293353024⨯⨯+所以D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为32955)1030，．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域，考查线性规划问题，考查解析法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析 【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数； （2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论. 【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩， 由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用， 即需4y ≥， 则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ，则()1220(8)26 16168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥，()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L . 【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．33．设x ，y R +∈，1x y +=，求14x y+的最小值为（ ）．A ．2B ．4C ．8D ．94．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25a b+的最小值为（ ） AB ．C．2D ．25．已知x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．326．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为（ ） A ．2B ．4CD．7．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤ B ．3c 6<≤ C ．6c 9<≤ D ．c 9> 8．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ）A．B．C ．6D ．89．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）11．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题13．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 14．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.15．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________．16．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236x y y xy++的最小值是_________．17．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______．18．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.19．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 20．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为_________． 三、解答题21．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x =23(1)b a b+--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值.22．已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈.(1)若函数()f x 的最小值是()10f -=，且1c =，()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，求()()22F F +-的值；(2)若1,0a c ==，且()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立，试求b 的取值范围.23．已知函数()f x =（1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值； （2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.24．已知集合(){}2log 421xA xy ==-+∣，1,11B yy x a x x ⎧⎫==++>-⎨⎬+⎩⎭∣. （1）求集合A 和集合B ； （2）若“Rx B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.25．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程. 26．已知2()3(5)f x x a a x b =-+-+．（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数,a b 的值； （2）若对任意实数,(2)0a f <恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).3．D解析：D 【分析】由“1”有代换利用基本不等式可得最小值． 【详解】因为x ，y R +∈，1x y +=，所以141444()5529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即12,33x y ==时，等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最小值．解题关键是利用“1”的代换凑配出定值．用基本不等式求最值必须满足三个条件：一正二定三相等．特别是相等这个条件常常会不满足，因此就不能用基本不等式求得最值．4．D解析：D 【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25a b +≥. 【详解】∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>，∴252a b +≥=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴25a b +的最小值为2. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．A解析：A 【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.6．B解析：B 【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21a b+取最小值． 【详解】解：圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=，表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上， 故220a b --+=，即22a b +=，∴22122221122422a ba b b a b a a b a b a b a b+++=+=++++⋅， 当且仅当22b aa b=，即2a b =时，等号成立， 故选：B ． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．7．C解析：C【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．8．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40xy>>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x，y满足约束条件261322x yx yy-≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y=-+可化为1y x z=+-，当直线1y x z=+-过点A时，此时直线在y轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A，所以目标函数的最小值为min2211z=-+=.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A【解析】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．11．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以121212()12()()22333332x x x x x x f x f x -----+++⋅=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．C解析：C根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其122【分析】将所求代数式变形为1121121a b a b b b+=+----，将所求代数式与()1b b +-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a ba b+--的最小值.已知正实数a 、b 满足21a b +=，则1211112112121a b b b a b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b b b b b b b b -⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b -=时，即当1b =时，等号成立，因此，11a ba b +--12.12. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常 解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5. 故答案为：5. 【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.15．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析：【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()6b cb c =++≥+，当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.16．【分析】由题得化简整理得再利用基本不等式可得解【详解】由得则当且仅当时等号成立此时或；则的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一 解析：11【分析】 由题得1x yx y xy xy+=⇒+=，化简整理得()2223636361xy xy x y y xy xyxyxy-+++==+-再利用基本不等式可得解. 【详解】由110,0,1x y x y>>+=， 得1x yx y xy xy+=⇒+=，则()2223636x y x y x y y xy xy+++++=()2223636x y xy x xy y xy xy +-++++==()236361111xy xy xy xy xy -+==+-≥=，当且仅当6xy =时等号成立，此时33x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩则2236x y y xy++的最小值是11.故答案为：11. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等 解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可． 【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--． 故答案为()2,1--．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．18．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，2222222222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．19．【分析】求出的最大值然后解相应的不等式即可得【详解】由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题根据参数出现的位置首先求出三角式的最大值然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离解析：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得． 【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤，由211322m m ->得13m <-或12m >． 故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．20．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最解析：4 【分析】先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求12A B+的最小值得解. 【详解】令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--. 所以(2)20,22,0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>.所以12112141(2)()(4)[44222A B A B A B A B B A +=⨯+⨯+=++≥+=. 当且仅当1,12A B ==时取“等号”. 所以12A B +的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18. 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b+=-有意义，则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥， 即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥， 又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b+=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤，又13(3)()103()b aa b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，当且仅当1338a b a b+=+=时取“=”，即a =b =或a =，b = 所以103()64b a a b ++≤，即2218a b b aab a b+=+≤所以22a b ab +的最大值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 22．(1) 8； (2)[]2,0-. 【分析】（1）根据函数()f x 的最小值是()10f -=且1c =，建立方程关系，求出a b 、的值，从而可求()()22F F +-的值；（2）将不等式()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立等价于1b x x ≤-且1b x x ≥--恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论. 【详解】 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立. 又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2 ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]. 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.23．(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()221120a x a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故()()()()22210221*********a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪---+=⎩，解得2a =；（2）()f x 的定义域为R ，即()()221120ax a x ---+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；当210a -≠时，()()222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.24．（1）(,2)A =-∞，[1,)B a =++∞；（2）1a >． 【分析】（1）由对数函数的性质求对数型复合函数的定义域，即集合A ，利用基本不等式求函数的值域可得集合B ；（2）根据必要不充分条件与集合包含之间的关系确定a 的范围． 【详解】（1）4202x x ->⇒<，所以(,2)A =-∞， 因为1x >-，所以10x +>，所以11(1)11111y x a x a a a x x =++=+++-≥-=+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时等号成立． 所以[1,)B a =++∞． （2）由（1）(,1)RB a =-∞+，因为“R x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以A 是B R的真子集，所以12a +>，所以1a >． 【点睛】本题考查求函数的定义域和值域，考查充分必要条件与集合包含之间的关系，考查对数函数、指数函数性质，考查基本不等式求最值，考查由集合包含关系求参数取值范围．知识点较多，但内容较基础．属于中档题．25．（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y =0或x +y =0.【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程；（Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1， 设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1， 两式相减可得21a（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y -+=--+， ∴22b a- ⋅3212=-1， 解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（，0），F 2，0），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my l 的方程x =my 代入23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣my ﹣1=0， 则y 3+y4=y 3y 4213m -=+， |y 3﹣y 4|23m ==+， ∴212ABF S=|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|223m ==≤=+，=，即m =±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0.【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.26．（1）29a b =⎧⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由题意知，1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根，即可得到方程3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧⎨---=⎩，解得即可． （2）若()20f <恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b 的不等式，解不等式可求出实数b 的取值范围；【详解】解：（1）由()0f x >，得23(5)0x a a x b -+-+>．23(5)0x a a x b ∴---<又()0f x >的解集为(1,3)-，所以1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根 3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧∴⎨---=⎩29a b =⎧∴⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩（2）由(2)0f <，得122(5)0a a b -+-+<即2210120a a b -+->又对任意实数a ，(2)0f <恒成立，即2210120a a b -+->，对任意实数a 恒成立，2(10)42(12)0b ∴∆=--⨯-<，解得12b <-， ∴实数b 取值范围为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．。
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修五章末质量评估(三)及答案解析
北师大版高中数学必修五章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设m ∈R ，则下列式子正确的是( )． A ．3－2m ＞1－2mB ．m 3＞m 2C.1m＜mD ．－2m ＞－3m 解析 对于A ，可算得为3＞1，显然成立． 答案 A2．已知集合P ＝{0，m}，Q ＝{x|2x 2－5x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则m 等于( )． A ．1 B ．2 C ．1或25D ．1或2解析 ∵Q ＝{x|0＜x ＜52，x ∈Z}＝{1,2}∴m ＝1或2.答案 D3．不等式x －1x ≥2的解集为( )．A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析 由x －1x ≥2得x ＋1x ≤0，∴其解集为{x|－1≤x ＜0}．答案 A4．已知ab ＞0，且b a ＋ab ≥m 恒成立，则m 的取值范围是( )．A ．{2}B ．[2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[－2，＋∞) 解析 ∵ab ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，∴m ≤2.答案 C5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a|－2＜a ＜2} B ．{a|－2≤a ＜2} C ．{a|－2＜a ≤2} D ．{a|a ≥2}解析 当a ＝2时，原不等式即为－4＜0恒成立．当a ≠2时，由题意⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2，∴－2＜a ≤2. 答案 C6．二次函数f(x)的图像如图所示，则f(x －1)＞0的解集为( )． A ．(－2,1) B ．(0,3) C ．(－1,2]D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析 ∵－1＜x －1＜2，∴0＜x ＜3. 答案 B7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为( )． A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1解析 画出图形，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标 (－2,2)，(a ，－a)，(a ，a ＋4)．∴S △＝12|a ＋2|·|2a ＋4|＝9，∴a ＝1，(a ＝－5舍去)．故选D 项．答案 D8．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于( )．A.32B.23C.43D.34解析 不等式组表示的平面区域如图所示．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B ()1，1，C ()0，4. ∴S △ABC ＝12|AC|·h ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43.故选C.答案 C9．在R 上定义运算：x y ＝x2－y，若关于x 的不等式x(x ＋1－a)＞0的解集是集合{x|－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－1,3]B ．[－3,1]C ．[－3，－1)∪(－1,1]D ．[－1,1)∪(1,3] 解析 x(x ＋1－a)＝x 2－x －1＋a ＝－x x －(a ＋1)＞0⇒xx －(a ＋1)＜0，(1)⎩⎨⎧a ＞－10＜x ＜a ＋1≤2⇒－1＜a ≤1 (2)⎩⎨⎧a ＜－1－2≤a ＋1＜x ＜0⇒－3≤a ＜－1 (3)a ＝－1时，不等式为xx －0<0，x ∈∅显然成立，故选B.答案 B10．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大？( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润y x ＝－(x －6)2＋11x ＝12－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤12－225＝2，此时x ＝25x ，解得x ＝5.答案 C二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.答案 ①③⑤12．已知0＜x ＜6 ，则(6－x)·x 的最大值是________． 解析 ∵0＜x ＜6，∴6－x ＞0. ∴(6－x)·x ≤⎝⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝9.当用仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号． 答案 913．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 解析 由题意，k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0. 答案 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x －1x ，x ≥2，x ，x ＜2，若使不等式f(x)＜83成立，则x 的取值范围为________．解析 当x ≥2时，解x －1x ＜83得x ＜－13或0＜x ＜3，∴2≤x ＜3.当x ＜2时，x ＜83，∴x ＜2，∴x ＜3.答案 {x|x ＜3}15．若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，对x ∈R 恒成立，∴Δ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0]16．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－2或x ＞－12，则关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．解析 由题设知a ＜0且－b a ＝－52，ca＝1，从而ax 2－bx ＋c ＞0可以变形为x 2－b a x ＋c a ＜0即x 2－52x ＋1＜0，∴12＜x ＜2.所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2三、解答题(本大题共4小题，共40分．)17．(10分)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z≥36.证明 ∵(x ＋y ＋z)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2， 即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．18．(10分)已知函数f(x)在定义域(－∞，1]上是减函数，是否存在实数k ，使得f(k －sin x)≥f(k 2－sin 2x)对一切x ∈R 恒成立？并说明理由． 解 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，∴k －sin x ≤k 2－sin 2x ≤1.假设存在实数k 符合题意， ∵k 2－sin 2x ≤1，即k 2－1≤sin 2x 对一切x ∈R 恒成立， 且sin 2x ≥0，∴k 2－1≤0，∴－1≤k ≤1①由k －sin x ≤k 2－sin 2x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122≤k 2－k ＋14，∵⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122的最大值为94，∴k 2－k ＋14≥94，解得k ≤－1或k ≥2②由①②知k ＝－1为符合题意的实数．19．(10分)设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y)|x 2＋y 2≤25}，求实数m 的取值范围．解 根据题意可知，直线mx ＋y ＝0不能与直线x －2y ＋5＝0，3－x ＝0平行，∴m ≠12.不等式组所确定的区域如下图所示．因此只需要满足⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－52m ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5m 2m ＋12≤25，32＋(－3m )2≤25⇒0≤m ≤43.20．(10分)玩具所需成本费用为P 元，且P 与生产套数x 的关系为P ＝1 000＋5x ＋110x 2，而每套售出的价格为Q 元，其中Q(x)＝a ＋xb (a ，b ∈R)，(1)问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本) 解 (1)每套玩具所需成本费用为P x ＝1 000＋5x ＋110x2x ＝110x ＋1 000x ＋5≥2100＋5＝25， 当110x ＝1 000x ，即x ＝100时等号成立， 故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少． (2)利润为x ·Q(x)－P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋x 210＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧5－a2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b＝30，1b －110＜0，解得a ＝25，b ＝30.。
2017-2018学年高中数学北师大版必修5：第3章 章末综合测评3 含解析 精品
章末综合测评(三)不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＜b＜0，则()A.1a＜1b B．0＜ab＜1C．ab＞b2 D.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴两边同乘以b得ab＞b2，故选C.【答案】 C2．设m＝(x＋5)(x＋7)，n＝(x＋6)2，则m、n的大小关系是()A．m≤n B．m＞nC．m＜n D．m≥n【解析】∵m＝(x＋5)(x＋7)＝x2＋12x＋35，n＝(x＋6)2＝x2＋12x＋36，∴m－n＝－1＜0，∴m＜n.【答案】 C3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是()A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a【解析】不等式化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a.∵a＜0，∴x1＞x2，∴不等式的解为x＜5a或x＞－a.【答案】 B4．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是() 【导学号：47172135】A.|a＋b|2≥|ab| B.ba＋ab≥2C.a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22D．(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b≥4【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b22，当且仅当a ＝b时取等号，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 【答案】 C5．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图像与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )【解析】 由题意知Δ＝b 2－4a 2＞0， ∴(b －2a )(b ＋2a )＞0，∴⎩⎨⎧ b －2a ＞0，b ＋2a ＞0，或⎩⎨⎧b －2a ＜0，b ＋2a ＜0，画图知选C. 【答案】 C6．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：47172136】A.72 B ．4 C.92D ．5【解析】 ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b2a ，∵a ＞0，b ＞0，∴2a b ＋b2a ≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C. 【答案】 CA.12 B.14 C.16D.18【解析】 设m ＝x －2y ，则y ＝12x －m2，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y ＝12x －m 2，由图可知当直线y ＝12x －m 2过点A 时，直线y ＝12x －m2的截距最大，此时m 最小，由⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)，此时m 最小，为2－2×2＝－2，则z ＝2x －2y的最小值为2－2＝14，故选B.【答案】 B8．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )【导学号：47172086】A ．(－∞，2]B ．(－2,2)C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式化为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．当a －2≠0时，即a ≠2时，由题意，得⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2.综上所述，a 的取值范围为－2＜a ≤2，故选C. 【答案】 C＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( ) 【导学号：47172137】A.256B.83C.113D ．4【解析】 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时取等号)．【答案】 A10．已知O 是坐标原点，点P (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1 ，y ≤2，上的一个动点，则OP →·OM→的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】 OP →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OP →·OM→的取值范围是[0,2]，故选C. 【答案】 C11．已知实数x ，y 满足2x ＋y －5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．210【解析】 ∵y ＝5－2x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(5－2x )2＝5x 2－20x ＋25＝5(x －2)2＋5，∴当x ＝2时，x 2＋y 2的最小值为 5. 【答案】 A12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x －y ＝0对称，动点P (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋2≥0，kx －my ≤0，y ≥0，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝b －2a －1的取值范围是( ) 【导学号：47172138】A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】 由题意分析直线y ＝kx ＋1与直线x －y ＝0垂直，所以k ＝－1，即直线y ＝－x ＋1.又圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2在直线x －y ＝0上，可求得m ＝－1.则不等式组为⎩⎨⎧－x －y ＋2≥0，－x ＋y ≤0，y ≥0，所表示的平面区域如图，ω＝b －2a －1的几何意义是点Q (1,2)与平面区域上点P (a ，b )连线斜率的取值范围．k OQ ＝2，k AQ ＝－2，故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 【答案】 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若关于x 的不等式m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．【解析】 法一：由m (x －1)＞x 2－x 整理得(x －1)(m －x )＞0，即(x －1)(x －m )＜0，又m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，所以m ＝2.法二：由条件知，x ＝2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根， ∴m ＝2. 【答案】 2 14．函数y ＝16－x －x2的定义域是________． 【导学号：47172139】 【解析】 要使函数有意义，只需6－x －x 2＞0，即x 2＋x －6＜0.∵Δ＝1＋24＝25＞0，∴方程x 2＋x －6＝0有两个不相等的实数根分别为－3,2.∴不等式x 2＋x －6＜0的解为－3＜x ＜2， ∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜2}． 【答案】 {x |－3＜x ＜2}15．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．【解析】由⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，作出可行域如图．由图可知，目标函数z ＝2x －y 在点A (2，－1)处取最大值z ＝2×2＋1＝5. 【答案】 516．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】 由x 2＋y 2＋xy ＝1得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得 －233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值为233. 【答案】233三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式组⎩⎨⎧3x －2x －6≤1，2x 2－x －1＞0.【解】3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2,6)， 2x 2－x －1＞0⇒(2x ＋1)(x －1)＞0⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1＋∞)，所以，原不等式组的解集为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12∪(1,6)．18．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围. 【导学号：47172140】【解】 当a 2－4＝0，即a ＝±2.若a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，∴x ≥14. 此时，原不等式的解集不是空集．若a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解． 此时，原不等式的解集为空集． 当a 2－4≠0时，由题意，得⎩⎨⎧a 2－4＜0，Δ＝(a ＋2)2－4(a 2－4)×(－1)＜0，∴－2＜a ＜65.综上所述，a 的取值范围为－2≤a ＜65. 19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数． (1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值． 【解】 (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6. 当且仅当⎩⎨⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12， 即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6. (2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y x，x ＋2y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32，y ＝3－322时，取“＝”号．所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223.20．(本小题满分12分)某公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200，∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．∴该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大的收益是70万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜(k ＋1)x －k2－x.【解】 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b －x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)原不等式即为x 22－x ＜(k ＋1)x －k 2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x ＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2时，1＜x ＜k 或x ＞2； ②当k ＝2时，x ＞1且x ≠2； ③当k ＞2时，1＜x ＜2或x ＞k .综上所述，当1＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜k 或x ＞2}； 当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＞1且x ≠2}； 当k ＞2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜2或x ＞k }．22．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计) 【导学号：47172141】【解】(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y＝kx2，∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k·32，解得：k＝6 000，∴y＝6 000x2，即此钻石的价值与重量的函数关系式为y＝6 000x2.(2)证明：若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2，现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率＝6 000(m＋n)2－6 000m2－6 000n26 000(m＋n)2×100%＝2mn(m＋n)2×100%≤2×⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22(m＋n)2＝12，当且仅当m＝n时取等号．即当m＝n时，价值损失的百分率最大．。
2018年高中数学北师大版必修五：第3章 章末综合检测(三)含解析
章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1]解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x 2－3x ＋4＞0⇒－1＜x ＜1.2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值的变化而变化解析：选A.因f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，故f (x )>g (x )． 3．不等式x －2x ＋3≤2的解集是( )A ．{x |x ＜－8或x ＞－3}B ．{x |x ≤－8或x ＞－3}C ．{x |－3≤x ≤2}D ．{x |－3＜x ≤2}解析：选B.原不等式可化为x －2x ＋3－2≤0，即－x －8x ＋3≤0， 即(x ＋3)(x ＋8)≥0且x ≠－3，解得：x ≤－8或x ＞－3. 4．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1解析：选B.因为x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，所以(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34.因为x 2y 2≥0，所以34≤1－x 2y 2≤1.5．若不等式4x ＋1x ＋2<0和不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a ，b 的值分别为( )A ．－8，－10B ．－4，－9C ．－1，9D ．－1，2解析：选B.因为不等式4x ＋1x ＋2<0的解集为(－2，－14)，所以不等式ax 2＋bx －2>0的解集为(－2，－14)，所以二次方程ax 2＋bx －2＝0的两个根为－2，－14，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋（－14）＝－b a－2×（－14）＝－2a，所以a ＝－4，b ＝－9.故选B. 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －3）＞10，x 2＋7x ＋12≤0的解集为( )A ．[－4，－3]B ．[－4，－2]C ．[－3，－2]D ．∅解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －3）＞10，x 2＋7x ＋12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3＜－5，（x ＋3）（x ＋4）≤0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，－4≤x ≤－3⇒－4≤x ≤－3. 7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析：选A.设车站到仓库距离为x (x ＞0)，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，因为x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，所以k 1＝20，k 2＝45，所以费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ×45x ＝8，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．8．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －4≤0，y ≥1则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1解析：选A.作出可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A (1，1)处，z 取得最大值，故z max ＝－2×1＋1＝－1.9．已知x ＞0，y ＞0.若2y x ＋8xy ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜2解析：选D.因为x ＞0，y ＞0，所以2y x ＋8x y ≥8(当且仅当2y x ＝8x y 时取“＝”)．若2y x ＋8xy ＞m 2＋2m 恒成立，则m 2＋2m ＜8，解之得－4＜m ＜2.10．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．[3，6] C ．[6，7]D ．[4，5]解析：选A.设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )， 则(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ＝2x －3y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3，解得⎩⎨⎧λ＝－12，μ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．因为－1≤x ＋y ≤4， 所以－2≤－12(x ＋y )≤12.①因为2≤x －y ≤3， 所以5≤52(x －y )≤152.②①＋②得，3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，所以z 的取值范围是[3，8]．11．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－3解析：选C.因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，所以对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，ax ≥－x 2－1，即a ≥－x 2＋1x恒成立．令g (x )＝－x 2＋1x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x . 易知g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12内为增函数．所以当x ＝12时，g (x )max ＝－52，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，＋∞，即a 的最小值是－52.故选C.12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到的最小值为25，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5D ．2解析：选B.画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当直线z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ， 所以25－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20.构造函数m (a )＝5a 2－85a ＋20(5＞a ＞0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（85）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．函数y ＝2－x －4x (x ＞0)的值域为________．解析：当x ＞0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4x，x ＝2时取等号． 答案：(－∞，－2]14．若不等式x 2－4x ＋m <0的解集为空集，则不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集是________．解析：由题意，知方程x 2－4x ＋m ＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m ≤0，解得m ≥4，又x 2－(m ＋3)x ＋3m <0等价于(x －3)(x －m )<0， 所以3<x <m . 答案：(3，m )15．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2内的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，因为OA →＝(－1，1)，OM →＝(x ，y )，所以OA →·OM →＝－x ＋y .取目标函数z ＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z .作斜率为1的一族平行线，当直线经过点C (1，1)时，z 取最小值，即z min ＝－1＋1＝0；当直线经过点B (0，2)时，z 取最大值，即z max ＝0＋2＝2，于是0≤z ≤2，即OA →·OM →的取值范围是[0，2]． 答案：[0，2]16．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________． 解析：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝63. 答案：63三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ，解不等式f (x )－f (x －1)＞2x －1.解：由题意可得x 2＋2x －(x －1)2－2x －1＞2x －1，化简得2x （x －1）＜0，即x (x －1)＜0，解得0＜x ＜1.所以原不等式的解集为{x |0＜x ＜1}．18．(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36. (2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.19．(本小题满分12分)已知x 、y 、z 是实数，a 、b 、c 是正实数，求证：b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋xz )．证明：法一：b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2－2(xy ＋yz ＋xz )＝b a x 2－2xy ＋a b y 2＋c a x 2－2xz ＋a c z 2＋c b y 2－2yz ＋bcz 2＝⎝⎛⎭⎫b a x －a b y 2＋⎝⎛⎭⎫cax －a c z 2＋ ⎝⎛⎭⎫c by －b c z 2≥0. 所以b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋xz )成立．当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．法二：b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2＝⎝⎛⎭⎫b a x 2＋a b y 2＋⎝⎛⎭⎫c a x 2＋a c z 2＋⎝⎛⎭⎫c b y 2＋bc z 2≥2b a ·abxy ＋2c a ·acxz ＋2c b ·bcyz ＝2(xy ＋yz ＋xz )．当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， 所以(2x ＋4)(x －4)<0，所以－2<x <4， 所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， 所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 则x 2－4x ＋7≥m (x －1)．所以对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．又x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2（x －1）×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)．所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．21．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？ 解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.即⎩⎨⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1，3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)证明：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图像上的点都位于直线y ＝14的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)证明：由条件知：f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又因取x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，所以f (2)＝2.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，所以4a ＋c ＝2b ＝1.所以b ＝12，c ＝1－4a .又f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． 所以a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a (1－4a )≤0， 解得：a ＝18，c ＝12.所以f (x )＝18x 2＋12x ＋12.(3)g (x )＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14，在x ∈[0，＋∞)上恒成立． 即x 2＋4(1－m )x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， ①Δ＜0，即[4(1－m )]2－8＜0. 解得：1－22＜m ＜1＋22. ②⎩⎨⎧Δ≥0，－2（1－m ）≤0，f （0）＞0.解得：m ≤1－22，综上m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知实数x ，y 满足221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．82．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤3．已知x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．324．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B．C ．4D．5．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为（ ） A ．2B ．4CD．6．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．327．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<< C ．e 4e x x y -=+D．y =9．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<- 10．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12二、填空题13．若正数,x y 满足113122x y xy++=，则xy 的最小值为_________. 14．若,x y 满足约束条件5,5,25,x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则25x y +=的整数解的个数为___________.15．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是________.16．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.17．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．18．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______．19．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为__________．20．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．三、解答题21．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？22．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求11x y+的最小值；（2）当k 取何值时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 23．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 24．已知函数()251f x x x =--+. （1）解不等式()3f x x <；（2）当[]1,2x ∈时，2()3f x ax x -+恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知函数()()231f x x a x b =-++.（1）当1a =，5b =-时，解不等式()0f x >；（2）当222b a a =+时，解关于x 的不等式()0f x <（结果用a 表示）.26．已知圆22:4210C x y x y +---=． （1）求y 轴被圆C 所截得的线段的长；（2）过圆C 圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S ，求S 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】 作出不等式组221x y x m-≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6， 此时P 符合：2x my x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．2．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 3．A解析：A 【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.4．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.5．B解析：B 【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21a b+取最小值． 【详解】解：圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=，表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上， 故220a b --+=，即22a b +=，∴2212222112242a ba b b a b a b a b a b a +++=+=++++， 当且仅当22b aa b=，即2a b =时，等号成立， 故选：B ． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．6．B解析：B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.7．B解析：B 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．C解析：C【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4exxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，时，等号成立，所以函数y =D项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.9．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题10．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）720+≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围 【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m <<综上，实数m的取值范围为5 7m<故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围12．C解析：C【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件4040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，平移直线2xy=-，由图可知当直22x zy=-+经过点A时，直线在y轴上的截距最大，由4040x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，可得4yx=⎧⎨=⎩，所以2z x y=+的最大值为0248+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或（舍）所以即的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必解析：92【分析】将113122x y xy++=化为232y x xy ++=后，利用基本不等式得23xy -≥一元二次不等式可得结果. 【详解】 由113122x y xy++=得232y x xy ++=，因为0,0x y >>，所以232xy y x -=+≥2y x =时，等号成立.所以2302≥，所以2)22≥2-≥2≤，≥≤所以92xy ≥，即xy 的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．4【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域然后根据画出所表示的直线确定边界再求解满足上整数点的个数【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线直线与可行域的边界交于两点由解得又且当时解析：4 【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域，然后根据画出25x y +=所表示的直线确定边界，再求解满足25x y +=上整数点的个数. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点，由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,(3,1)1,x D y =⎧∴-⎨=-⎩， 又(0,5),[0,3],[1,5]B x y ∴∈∈-，且,x y Z ∈，当0x =时，5y =；当1x =时3y =； 当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-， ∴整数解的个数为4. 故答案：4. 【点睛】关键点点睛：该题考查线性规划问题，考查最优解的整数点的个数问题，正确解题的关键是画出可行域.15．8【分析】根据xy 满足的约束条件画出可行域然后平移直线当直线在y 轴上截距最大时目标函数取得最大值【详解】依题意xy 满足约束条件可行域如图所示阴影部分：易得点平移直线（图中虚线）当直线经过C 点时在y 轴解析：8 【分析】根据x ，y 满足的约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩画出可行域，然后平移直线0x y +=，当直线在y 轴上截距最大时，目标函数取得最大值. 【详解】依题意x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩可行域如图所示阴影部分：易得点()2,2A -、()2,2B 、()10,2C -，平移直线0x y +=（图中虚线），当直线0x y +=经过C 点时，在y 轴上的截距最大， 目标函数z x y =+有最大值，1028max z =-=， 所以目标函数z x y =+的最大值是8. 故答案为：8. 【点睛】方法点睛：本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想. 线性规划问题考查的方式是由二元一次不等式组给出线性约束条件确定可行域，求可行域的面积、或确定形状；或者是在线性约束条件下求目标函数的取值范围、最值或取得最值时的点的坐标的确定以及由此衍生出来的其他相关问题，比如直线的斜率、平面距离的最值等问题.16．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，2222222222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．17．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92，再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y xx y=， 即32x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤.故答案为：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.18．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x yx y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩ 故得到113121323211=5++5+26111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）等号成立的条件为1121=31-y x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19．2【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】画出表示的可行域如图由可得将变形为平移直线由图可知当直经解析：2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩约束条件表示的可行域，如图，由10330x y x y --=⎧⎪⎨⎪+-=⎩可得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩， 将z x y =+变形为y x z =-+，平移直线y x z =-+， 由图可知当直y x z =-+经过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭时， 直线在y 轴上的截距最小， 最大值为31222z =+=，故答案为2. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.20．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题解析：22⎡-⎢⎣⎦【分析】由已知结合辅助角公式可求2294a b +=，然后结合基本不等式22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】由题意可知sincos666y a t b t c t c πππθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，（θ为辅助角）由题意可得3=，故2294a b +=， 由2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22a b -≤+≤，故答案为⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.三、解答题21．每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元． 【分析】设提价后每本杂志的定价为x 元，根据销售总收入等于销售价格乘以销售量，即可得到销售总收入为 2.58000020000.1x x -⎛⎫-⨯⋅ ⎪⎝⎭，再根据题意列出不等式2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥⎪⎝⎭，求解即可． 【详解】设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥ ⎪⎝⎭，即2213200x x -+≤ 解得，2.54x ≤≤所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元． 【点睛】本题主要考查函数在生活中的应用，以及一元二次不等式的解法应用，属于基础题．22．（1）33+；（2）30k -<≤. 【分析】（1）将代数式()123x y +与11x y +相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，所以，()1111112132333333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，当且仅当x =时，等号成立，因此，11x y +； （2）由于不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308-<，合乎题意；②当0k ≠时，可得230k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 23．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解. 【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<．①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ， 则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题. 24．（1）23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）分别在1x ≤-、512x -<<、52x ≥去除绝对值符号可得到不等式；综合各个不等式的解集可求得结果；（2）根据x 的范围可转化为2433x ax x -≤-+在[]1,2x ∈上恒成立，通过分离变量可得2max 12a xx ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，通过求解最大值可得到结果.【详解】（1）当1x ≤-时，()()25163f x x x x x =-+++=-+<，解集为∅ 当512x -<<时，()251343f x x x x x =-+--=-+<，解得：25,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当52x ≥时，()25163f x x x x x =---=-<，解得：52x ≥ 综上所述，()3f x x <的解集为：23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）当[]1,2x ∈时，()43f x x =-∴不等式可化为：2433x ax x -≤-+，即：212a x x≥- 当[]1,2x ∈时，11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当112x =，即2x =时，2max 1234x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 34a ∴≥- 即a 的取值范围为：3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；解绝对值不等式的关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在每个区间上的解析式；常用的恒成立问题的处理方法是通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系. 25．（1）()(),15,-∞-+∞；（2）1a >时，解集为()1,2a a +，1a =时，解集为∅，1a <时，解集为()2,1a a +.【分析】（1）求出()0f x =的根（由因式分解完成），根据二次函数的图象写出结论． （2）化简变形表达式[]()(2)(1)f x x a x a =--+，然后根据2a 和1a +的大小关系分类讨论． 【详解】（1）当1a =，5b =-时()()()24515f x x x x x =--=+-，∴()0f x >的解集为()(),15,-∞-+∞.（2）当222b a a =+时，()()()()22312221f x x a x a a x a x a =-+++=--+⎡⎤⎣⎦，()0f x <即()()210x a x a --+<⎡⎤⎣⎦，①当1a >时，21a a >+，此时不等式的解集为()1,2a a +， ②当1a =时，21a a =+，此时不等式的解集为∅， ③当1a <时，21a a <+，此时不等式的解集为()2,1a a +. 【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解，二次函数的图象，一元二次方程的根之间的关系是解题关键．26．（1）2）4 【分析】（1）将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2210y y --=，将线段长为12y y -=和韦达定理相结合即可得出结果；（2）设:1(,0)x yl a b a b +=>，由直线过圆心可得211a b=+，利用基本不等式可得8ab ≥，最后根据三角形面积公式即可得出结果. 【详解】（1）设圆22:4210C x y x y +---=与y 轴的交点为()10y ,，()20,y ， 将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2210y y --=， 即122y y +=，121y y ⋅=-，所以y 轴被圆C 所截得的线段的长为12y y -==（2）设:1(,0)x yl a b a b +=>，由于l 过(2,1)C ，∴211a b=+，利用基本不等式，得2118ab a b =+≥≥，∴142S ab =≥， 即S 的最小值为4， 此时4,2a b ==，:142x yl +=，即:240l x y +-= 【点睛】本题主要考查了直线截圆所得弦长问题，直线截距式的应用，利用基本不等式求最值，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(包含答案解析)(5)
一、选择题1．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．12．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．33．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．34．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．437．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-58．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225499．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5711．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝二、填空题13．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________.14．已知x ，y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________.15．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则24z x y =+-的最大值是___.16．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b+的最小值为________． 19．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．20．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是__________.三、解答题21．某位病人为了维持身体的健康状态，需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素α和β.根据医学建议：病人每天微量元素α的摄入量应控制在[]300,330（单位：微克），微量元素β的摄入量应控制在[]250,280（单位：微克）.目前，市面上可供选择的营养液主要是A 和B .已知1毫升营养液A 中含微量元素α是30微克，含微量元素β是10微克，每毫升费用5元；1毫升营养液B 中含微量元素α是15微克，含微量元素β是20微克，每毫升费用4元．（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议，并说明理由；（2）如果你是医生，为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议，且每天所需的费用最低，应该推荐病人每天服用营养液A 和营养液B 各多少毫升？该病人每天所需的营养液最低费用是多少元？ 22．已知函数2(1)()a x af x bx c-+=+（a ，b ，c 为常数）．（1）当1,0b c ==时，解关于x 的不等式()1f x >；（2）当0,2b c a =>=时，若()1f x <对于0x >恒成立，求实数b 的取值范围． 23．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x=23(1)b a b+--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值.24．某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为60°，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底BC 与两腰长的和）为y （米）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；（2）当防洪堤的腰长x 为多少米时，断面的外周长y 最小？求此时外周长的值．25．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.26．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩，（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 化简22211()44umn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++， 则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．D解析：D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).4．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.5．C解析：C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系，然后再判断二次函数的图象． 【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，∴21210b a c a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩， 2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．6．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 114tan 24tan 42sin cos 2tan tan tan x x x x x x x x x x++===+≥⨯=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.7．A解析：A 【解析】作出不等式组11x yx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．10．D解析：D 【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围 【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m << 综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．二、填空题13．9【分析】首先由已知确定然后利用基本不等式求最小值【详解】因为所以又所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为9故答案为：9【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件解析：9 【分析】首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值． 【详解】因为abx y xy ==，所以1a y x-=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->，111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等号成立，所以4a b +的最小值为9． 故答案为：9． 【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．14．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在 解析：2-【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =-+，根据直线32z x y =-+在y 轴上的截距最小，找到使得目标函数32z x y =-+取得最小值时的最优解，代入计算即可. 【详解】作出不等式组10301x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y =-+，当直线32z x y =-+经过可行域的顶点()2,1A 时，直线32z x y =-+在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，即min 32122z =-⨯+=-.故答案为：2-. 【点睛】 思路点睛：求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.15．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析：21 【分析】画出,x y 满足的可行域，当目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值，求解即可． 【详解】画出,x y 满足的可行域，由20250x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B ，则目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值为718421+-=.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．16．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有2212||(0)(20)3C C a b R r ++-=+=，变形可得：2249a b +=， 222222222222222222111111414(4)()(5)(52)1999a b a b a b a b a b a b a b b a b a+=+=++=+++⨯=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．17．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10ak b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b aa b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b aa b a b a b+=++≥+⨯=． 详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由10y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0b aa b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b aa b a b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可． 18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案． 【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列，∴2a b +=，∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号， 故14a b +的最小值为92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．19．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】 由函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解. 【详解】由题意，函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解， 令()11x x g x e e --=+因为110,0x x ee -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于m 的不等式，进而可求其取值范围. 【详解】解：由题意知，知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，则只需22430m ∆=-⨯⨯≤，解得13m ≥. 故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在R 上恒成立问题，如若()200ax bx c a ++≥≠在R 上恒成立，可得00a >⎧⎨∆≤⎩ ；若()200ax bx c a ++≤≠在R 上恒成立，可得00a <⎧⎨∆≤⎩. 三、解答题21．（1）不符合，理由见解析；（2）推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元. 【分析】(1)根据题意，由微量元素α的摄入量控制在[]300,330计算营养液B 的服用量必须控制在[]20,22，此时β的摄入量在[]400,440，不符合；(2)根据题意，建立线性规划模型：54z x y =+，其中,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩，利用线性规划求最值．【详解】解：（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素α的摄入量控制在[]300,330（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]20,22（单位：毫升），此时相应微量元素β的摄入量在[]400,440（单位：微克），不符合医学建议. 另解：“若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素β的摄入量控制在[]250,280（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]12.5,14（单位：毫升），此时相应微量元素α的摄入量在[]187.5,210（单位：微克），不符合医学建议”（2）设该病人每天需服用x 毫升营养液A ，y 毫升营养液B ， 则每天的营养液费用为54z x y =+，由题意,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩，即20222252280,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩可行域如下图所示把54z x y =+变形为4415y x z =-+，得到斜率为54-，在y 轴上截距为14z 的一族平行直线．由图可以看出，当直线4415y x z =-+经过直线220x y +=和直线225x y +=的交点M 时，截距14z 最 小，此时z 最小．解方程组220225x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 为()5,10，∴min 545541065z x y =+=⨯+⨯=元，答：推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元． 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)线性规划型应用性问题解题的关键是正确的建立线性规划模型. 22．（1）见解析（2）12b >+. 【分析】（1）原不等式转化为()()10-+<x a x 然后利用分类讨论思想进行分类求解； （2）原不等式转化22(0)1x b x x +>>+ ，设()()222151214x t g x x t t t+===≤+-++-11b =⇒>. 【详解】 （1）当1,0b c ==时，()()()21100f x x a x a x >⇔---<≠()()10x a x ⇔-+<，讨论：①当1a <-时，原不等式的解集为(),1a -； ②当1a =-时，原不等式的解集为φ； ③当10a -<≤时，原不等式的解集为()1,a -； ④当0a >时，原不等式的解集为()()1,00,a -⋃. （2）当,2b c a ==时，()2211x f x bx b +<⇔<+22(0)1x b x x +⇔>>+ 设()221x g x x +=+，令()=22t x t +>， 则()()2221151214x t g x t x t t t+===≤=+=+-++-，时取等号，故1b >+. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用二次函数的性质，进行数形结合的讨论，难点在于对a 的分类讨论；由参变分离得到函数不等式区间D 上恒成立，一般有以下结论：min 1.():,()a f x x D a f x <∈<即可.max 2.():,()a f x x D a f x >∈>即可.23．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18.【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b +=-有意义， 则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥，即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥，又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b +=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞， 所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤，又13(3)()103()b a a b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭， 当且仅当1338a b a b +=+=时取“=”，即72a -=，32b +=或72a +=，32b -=时，等号成立， 所以103()64b a a b ++≤，即2218a b b a ab a b+=+≤ 所以22a b ab+的最大值为18. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．(1)1832,(26)2x y BC x x x =+=+≤<;(2)外周长的最小值为米，此时腰长为.【分析】()1由腰与底边所成的角为60︒，求出h x =，182x BC x =-，结合限制条件求出定义域26x ≤<，从而得到y 关于x 的函数关系式()2由()1得1832x y x =+，运用基本不等式求出结果 【详解】（1）()12AD BC h =+,其中2,22x AD BC BC x h x =+⋅=+= ∴18 2x BC x =-由2,261802h x x x BC x ⎧=≥⎪⎪≤<⎨⎪=->⎪⎩得 ∴1832,(26)2x y BC x x x =+=+≤<.(2)1832x y x =+≥=当且仅当[)1832,62x x x ==即时等号成立 ∴外周长的最小值为.【点睛】本题是一道函数的应用题，解题时需要理清题目中各数量之间的关系，然后根据题意列出函数表达式，在求最值时一般运用基本不等式来求解，注意等号成立的条件 25．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()23130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-，比较1m与-3的大小，进行讨论；试题 （1）由题意()()22f x g x x x -+-=--，即()()22f x g x x x -=--，又()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.（2）由题意不等式即()23130mx m x +--<， 当0m =时，即30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-， 故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m -<<； 当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m >； 若13m =-，即13m =-时，不等式的解为3x ≠-； 若13m <-，即13m >-时，不等式的解为1x m<或3x >-； 综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或； 当0m =时，不等式的解集为{}3x x -；当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏.26．（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩； （2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x =--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.。
高中数学北师大版必修五达标练习：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1b B ．b a ＞1C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；ba ＜0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <3解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， 所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )A ．－9B ．－15C ．15D ．±15解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3， 所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝±15.5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a 或x <a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1a；不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 解得a <x <1a.6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝asin A ，得b＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2 B ．32C.322D ．2解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、12，A 、D两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝ 5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.9．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析：选B.因为S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，所以sin B ＝22，所以B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元C.aγ（1＋γ）5（1＋γ）4－1万元 D ．aγ（1＋γ）5万元解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－23，35 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， 所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根． 又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， 所以a 3＝4，a 5＝1. 所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n2.T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________． 解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2， 所以S n ＝2n . 答案：2n14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里． 解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：1315．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b a ＋b2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确． 答案：①③④16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ， 由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －42bc ，即cos A ≥1－2bc ＝1－cos A ，所以cos A ≥12，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π3.S ＝12bc sin A ＝1cos A sin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－ba ，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3， 所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， 所以0＜x 2－4x ＋3≤3， 所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N ＋)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2× n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取“＝”号)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。
2019-2020高中北师版数学必修5章末综合测评3
章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④C [由1a <1b <0，得b <a <0，∴②③均不成立，a ＋b <0，ab >0，∴①成立． 而b a ＋ab －2＝(a －b )2ab >0， ∴b a ＋ab >2，④成立．故选C.]2．如果a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0C [c <b <a ，ac <0⇒a >0，c <0. 对于A ：⎭⎪⎬⎪⎫b >c a >0⇒ab >ac ，A 正确． 对于B ：⎭⎬⎫b <a ⇒b －a <0c <0⇒c (b －a )>0，B 正确； 对于C ：⎭⎬⎫c <a b 2≥0⇒cb 2≤ab 2即C 不一定成立，C 错．对于D ：ac <0，a －c >0⇒ac (a －c )<0，D 正确．]3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( )A ．(－3,4)B ．(－4,3)C ．(0，－3)D ．(－3,2)A [当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3,4)满足3x ＋2y ＋5>0.]4．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是 ( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4A [由Δ≤0，知a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4.]5．若集合A ＝{x |x 2＋x －6<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．(－3,3) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．[－2,3)B [A ＝{x |－3<x <2}＝(－3,2)，B ＝[－2,3)， ∴A ∩B ＝[－2,2)．]6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1A [根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图．令z ＝－2x ＋y ，则y ＝2x ＋z ，可知在图中A (1,1)处，z ＝－2x ＋y 取到最大值－1，故选A.]7．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2B[作出线性约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)的可行域．因为y ＝a (x －3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 有最小值，∴2×1－2a ＝1，∴a ＝12.]8．已知a >b ，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5C [∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b2a ，∵a >0，b >0，∴2a b ＋b2a ≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C.]9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0.则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]A [f (x )≥x 2⇔⎩⎨⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎨⎧ x ＞0－x ＋2≥x 2⇔⎩⎨⎧x ≤0，x 2－x －2≤0或 ⎩⎨⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎨⎧ x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎨⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1⇔－1≤x ≤1.]10．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－2,2)C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)C [当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式化为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．当a －2≠0时，即a ≠2时，由题意，得⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2.综上所述，a 的取值范围为－2＜a ≤2，故选C.]11．已知实数x ，y 满足2x ＋y －5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．210 A [∵y ＝5－2x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(5－2x )2＝5x 2－20x ＋25＝5(x －2)2＋5，∴当x ＝2时，x 2＋y 2的最小值为 5.]12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x －y ＝0对称，动点P (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋2≥0，kx －my ≤0，y ≥0，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝b －2a －1的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D [由题意分析直线y ＝kx ＋1与直线x －y ＝0垂直，所以k ＝－1，即直线y ＝－x ＋1.又圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2在直线x －y ＝0上，可求得m ＝－1.则不等式组为⎩⎨⎧－x －y ＋2≥0，－x ＋y ≤0，y ≥0，所表示的平面区域如图，ω＝b －2a －1的几何意义是点Q (1,2)与平面区域上点P (a ，b )连线斜率的取值范围．k OQ ＝2，k AQ ＝－2，故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．[－3,1] [不等式2x 2＋2x －4≤12化为2x 2＋2x －4≤2－1，∴x 2＋2x －4≤－1，∴x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]．]14．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 233[由x 2＋y 2＋xy ＝1得1＝(x ＋y )2－xy . ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得 －233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233.]15．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m 、4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________、宽为________．24 m 18 m [设鱼池的长宽分别为x m ，y m ，∴xy ＝432，∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立．]16．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，那么下列不等式：①ab ≤14；②ab ＋1ab ≥174；③a ＋b ≤2；④1a ＋12b ≥22中，正确的序号是________．①②③ [∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，ab ＋1ab ≥174，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋a ＋b ＝2，∴a ＋b ≤ 2.故①②③正确，∵1a ＋12b ＝a ＋b a ＋a ＋b 2b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2b a ·a 2b ＝32＋2，(当且仅当a 2＝2b 2时等号成立)．④不正确．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若函数f (x )＝lg(8＋2x －x 2)的定义域为M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为N ，求集合M ，N ，M ∩N . [解] 由8＋2x －x 2>0，即x 2－2x －8<0， ∴(x －4)(x ＋2)<0， ∴－2<x <4.∴M ＝{x |－2<x <4}． 由1－2x －1≥0，得x －3x －1≥0， ∴x ≥3或x <1.∴N ＝{x |x <1或x ≥3}．∴M ∩N ＝{x |－2<x <1或3≤x <4}．18．(本小题满分12分)当x >3时，求函数y ＝2x 2x －3的值域．[解] ∵x >3，∴x －3>0，∴y ＝2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12 ≥22(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3， 即x ＝6时，上式等号成立， ∴函数y ＝2x 2x －3的值域为[24，＋∞)．19．(本小题满分12分)不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0) (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值． (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． [解] (1)因为不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}， 所以，－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2＝2k ，(－3)×(－2)＝6.即k ＝－25.(2)若不等式的解集为R ， 则⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－4k ×6k <0， 即⎩⎨⎧k <0，1－6k 2<0， 解得：k <－66.20．(本小题满分12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A 、B 两种设备每月有效使用工时分别为400时和500时．如何安排生产可使月收入最大？[解]设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是⎩⎨⎧x ＋2y ≤4002x ＋y ≤500，x ≥0，y ≥0目标函数是f ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使f ＝3x ＋2y 取得最大值．作出可行域，如图．设3x ＋2y ＝a ，a 是参数，将它变形为y ＝－32x ＋a2，这是斜率为－32，随a 变化的一组直线．当直线与可行域相交且截距a2最大时，目标函数f 取得最大值．由⎩⎨⎧ x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝100.因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，可得最大收入800千元．21．(本小题满分12分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇔5x －14－3x ≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元．22．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.[解](1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧3a＝1＋b 2a ＝b，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，2<x <c ； ②当c <2时，c <x <2； ③当c ＝2时，原不等式无解．综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，原不等式的解集为∅.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(有答案解析)(3)
一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x +=，则2x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．()0,2 D ．[)0,23．若实数x ，y 满足1,,1,x yy x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．34．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b +-的最小值为（ ）A ．1 BC ．2 D．5．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14a b +的最小值为（ ）A ．9B ．9-C ．92 D ．92-6．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-8．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13]9．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}2x x ≥- C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥- 11．已知,20a b c a b c >>++=，则c a 的取值范围是（ ） A ．31c a -<<- B ．113c a -<<- C ．21c a -<<- D ．112c a -<<- 12．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163 B ．13 C ．2 D ．4二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．15．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________16．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x y x +的取值范围是__________． 17．已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ． 18．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ，A ，B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h ．若合理安排生产可使收入最大为______元．19．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．20．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x fx m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．已知函数()21f x x x =-++．（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值是m ，且3m a b +=，求212a b +的最小值． 23．已知2()2(2)f x x a x a =-++，a R ∈.（1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，求2112x x x x +的最小值. 24．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 25．设1x >，且4149(1)x x +--的最小值为m ． （1）求m ；（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．26．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-． (1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 . 【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”(1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域． 2．B解析：B【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解.【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<，综上，a 的取值范围为[)0,4.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立.3．D解析：D【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果.【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值.所以z 的最大值为：2213z =⨯-=故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 4．D解析：D【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩， 又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=，即0,0,1a b ab >>=，所以222()22a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．C解析：C【分析】由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式()12a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14a b+的最小值. 【详解】 由于代数式14a b+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根，由韦达定理可得220a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数，所以，()14114141495522222a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当242,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92. 故选：C.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z ， 由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小，所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．8．A解析：A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β）=（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩， 从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．9．B解析：B【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.故选：B.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 10．C解析：C【分析】 根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>， 根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题. 11．A解析：A【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求c a 的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=，所以0,0a c ><，2b a c =--，因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3c a>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->，即a c <-，得1c a <-， 所以31c a -<<-， 故选：A【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题 12．B解析：B【分析】 根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案.【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5， 又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13， 即2211x y y x +++的最小值为13， 所以3m ≤，则m 的最大值为13； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各解析：6 【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝当且仅当22 22141b aa b+=+, 又2212a b+=，即2212ab⎧=⎪⎨⎪=⎩时，取得等号.故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z最大由得A（10）代入目标函数z=解析：1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y得1122y x z=-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z=-，，1122y x z=-，的截距最小，此时z最大，由2222x yx y-⎧⎨+⎩＝＝，得A（1，0）．代入目标函数z=x-2y，得z=1-2×0=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析：12-【分析】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立，则有△＝m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，实数m 的最小值为：12-， 故答案为12-． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x 2+mx +m ≥0在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y ＝x 2+mx +m 在x ∈[1，2]上的最值问题．16．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1； 由图可知；OC k 最小，OA k 最大； 联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ，联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ，故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤，所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与定点()00O ，连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.17．【解析】试题分析:因故又因为因故即所以故应填答案考点：基本不等式的运用【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知 解析：()8,1,+∞【解析】试题分析:因20x y xy +-=,故,又因为.因,故,即,所以.故应填答案.8,1y >.考点：基本不等式的运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知20x y xy +-=,变形为,然后将其代入可得,最后达到获解之目的.关于的范围问题,则借助题设条件,推得,解之得.18．800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy 所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析：800000 【分析】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，列出实际问题中x 、y 所需满足的条件，作出可行域，数形结合求出目标函数30002000z x y =+的最大值. 【详解】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是2400250000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域如图所示，目标函数30002000z x y =+可转化直线3122000y x z =-+，数形结合知当直线经过点A 时z 取得最大值．解方程组24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩，可得点()200,100A ，则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元． 故答案为：800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题，属于基础题.19．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移， 当直线经过A 时，z 最大 由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.20．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成 解析：(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出22313304ax a x a a ++->对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立， 由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭． 因此，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或t = 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值； (2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可. 【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=- 又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=-0c ∴=；选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=， 由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立,32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-. (3) 因为函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根， 因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即12t >时，2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时， 要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t tx t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =， 综上：实数t 的取值范围为12t >或t =. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）[]23，-；（2）92． 【分析】（1）将()f x 解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得()5f x ≤时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出()f x 的最小值3m =，所以得1a b +=；再将212a b+构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值. 【详解】解：（1）21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤．故不等式()5f x ≤的解集为[]23，-. （2）由（1）可知3m =，则1a b +=， 则21212559()2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当23a =，13b =时，等号成立）． 故212a b +最小值为92． 【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 23．（1）答案见解析；（2）6. 【分析】（1）根据函数2()2(2)f x x a x a =-++的解析式，可将()0f x >化为(2)(1)0x a x -->，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，21x a ⇒>，利用韦达定理可得2222211212121212123()()21422141a x x x x x x x x a x x x x x x a a +++--+===-=+--，再结合均值不等式即可． 【详解】（1）由()0f x >得(2)(1)0x a x -->，当2a >时，原不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠，当2a <时，原不等式的解集为(-∞，)(12a⋃，)+∞；（2）方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ， 等价于22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根1x ，2x ，∴()()2121238103012102a a a x x a a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⇒>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，则2222211212121212123()()211622[(1)]21212a x x x x x x x x a a x x x x x x a +++-+===-=-++--12?62≥+= 当且仅当5a =时取等号，故2112x x x x +的最小值为6． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于综合题．24．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 25．（1）47=m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)x x +--的最小值； （2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．【详解】解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497x x x x +-=-+=--， 当且仅当4149(1)x x -=-，即217x -=，也即97x =时等号成立， 故47=m ． （2）由（1）知4,7m =， 若不等式2407ax ax -+ 的解集为R ，则 当0a = 时，407恒成立，满足题意；当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩， 解得1607a <， 综上，1607a ， 所以a 的取值范围为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．26．(1)3；(2)6b ≥-【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ，即可求出a 的值； (2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范围.【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x -≤+在[0,2]上恒成立，因为13()36x x +≥⨯=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-,综上，实数b 的取值范围为6b ≥-.【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题.。
2021年高中数学北师大版必修5达标练习：第3章 章末复习提升课 巩固提升训练 Word版含解析
1．集合A ＝{x |x 2－x －2<0 ,x ∈R } ,B ＝{x |x 2－1≥0 ,x ∈R } ,那么A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x ≤－1或1≤x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |1≤x <2}解析：选D.因为A ＝{x |－1<x <2} ,B ＝{x |x ≥1或x ≤－1} ,所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}．2．z ＝2x ＋y ,x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a且z 的最|大值是最|小值的4倍 ,那么实数a 的值是( )A.13B ．14 C.15 D ．16解析：选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0 ,平移该直线 ,当相应直线分别经过该平面区域内的点(a ,a )与(1 ,1)时 ,相应直线在x 轴上的截距到达最|小与最|大 ,此时z ＝2x ＋y 取得最|小值与最|大值 ,于是有2×1＋1＝4(2a ＋a ) ,a ＝14. 3．a ,b ,c 满足c ＜b ＜a ,且ac ＜0 ,那么以下选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．a (a －b )＞0解析：选C.由可得 ,c ＜0 ,a ＞0 ,b 不一定 ,假设b ＝0时 ,C 不一定成立 ,应选C.4．设x ,y ∈R ,且xy ≠0 ,那么(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最|小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9 ,当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2, 即|xy |＝22时等号成立． 答案：95．某小型服装厂生产一种风衣 ,日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ,生产x 件所需本钱为C ＝500＋30x 元 ,那么该厂日产量为__________时 ,日获利不少于1 300元．解析：由题意 ,得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300 ,化简得x 2－65x ＋900≤0 ,解之得20≤x ≤45.因此 ,该厂日产量为20件至|45件时 ,日获利不少于1 300元．答案：20件至|45件6．实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≤xx ＋2y ≤4 y ≥12x ＋m 且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最|小值为2 ,求实数m的取值范围．解：画出可行域如下图(阴影局部) ,由题意 ,知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2 ,过点(－1 ,1)作直线y ＝x 的垂线 ,垂足为原点O ,点(－1 ,1)与点O 之间距离的平方恰好为2 ,说明点O 一定在可行域内 ,那么直线y ＝12x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(包含答案解析)(5)
一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b a b+--的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．495．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6547．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<< C ．e 4e x x y -=+D．y =11．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-12．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.15．若,x y 满足约束条件5,5,25,x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则25x y +=的整数解的个数为___________.16．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．17．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是________.18．已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ．19．在平面四边形ABCD中，已知ABC的面积是ACD△的面积的3倍．若存在正实数x，y使得12 (2)(1)AC AB ADx y=-+-成立，则x y+的最小值为___________．20．当x，y满足270101x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a-≤恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y(单位；万件)与年促销费用()0x x≥(单位；万元)满足3010(ky kx=-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k的值，并写出该产品的利润L(单位:万元)与促销费用x(单位:万元)的函数关系﹔（2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．用铁皮做一个体积为350cm，高为2cm的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm时，用料最省？23．已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R=++>∈∈.(1)若函数()f x的最小值是()10f-=，且1c=，()()(),0,0f x xF xf x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，求()()22F F+-的值；(2)若1,0a c==，且()1f x≤在区间(]0,1上恒成立，试求b的取值范围.24．（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围．（2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．25．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x米，请用S表示蔬菜的种植面积，并求出x的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 26．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．C解析：C 【分析】 化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b +--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时，等号成立，因此，411a ba b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min22444z a a ⎛⎫==++， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到： 4164164416(1)216(1)161111111a a a ab a a a a +=+=+-≥⋅-=-------当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由23z x y =-得到233zy x =-， 平移直线233zy x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ，所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案.【详解】作出x，y满足约束条件261322x yx yy-≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y=-+可化为1y x z=+-，当直线1y x z=+-过点A时，此时直线在y轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A，所以目标函数的最小值为min2211z=-+=.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．9．B解析：B【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．10．C解析：C 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误； C 项，44e 4e e e 4e ex x x xx xy -=+=+≥⋅=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4exxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，221221y x x =+≥+2211x x +=+，时，等号成立，所以函数y =D项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各解析：6 【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
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章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1]解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x 2－3x ＋4＞0⇒－1＜x ＜1.2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值的变化而变化解析：选A.因f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，故f (x )>g (x )． 3．不等式x －2x ＋3≤2的解集是( )A ．{x |x ＜－8或x ＞－3}B ．{x |x ≤－8或x ＞－3}C ．{x |－3≤x ≤2}D ．{x |－3＜x ≤2}解析：选B.原不等式可化为x －2x ＋3－2≤0， 即－x －8x ＋3≤0， 即(x ＋3)(x ＋8)≥0且x ≠－3，解得：x ≤－8或x ＞－3. 4．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1 解析：选B.因为x 2y 2≤⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，所以(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34.因为x 2y 2≥0，所以34≤1－x 2y 2≤1.5．若不等式4x ＋1x ＋2<0和不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a ，b 的值分别为( )A ．－8，－10B ．－4，－9C ．－1，9D ．－1，2解析：选B.因为不等式4x ＋1x ＋2<0的解集为(－2，－14)，所以不等式ax 2＋bx －2>0的解集为(－2，－14)，所以二次方程ax 2＋bx －2＝0的两个根为－2，－14，所以⎩⎨⎧－2＋（－14）＝－ba －2×（－14）＝－2a，所以a ＝－4，b ＝－9.故选B.6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －3）＞10，x 2＋7x ＋12≤0的解集为( )A ．[－4，－3]B ．[－4，－2]C ．[－3，－2]D ．∅解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －3）＞10，x 2＋7x ＋12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3＜－5，（x ＋3）（x ＋4）≤0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，－4≤x ≤－3⇒－4≤x ≤－3. 7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析：选A.设车站到仓库距离为x (x ＞0)，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，因为x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，所以k 1＝20，k 2＝45，所以费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ×45x ＝8，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号． 8．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －4≤0，y ≥1则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1解析：选A.作出可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A (1，1)处，z 取得最大值，故z max＝－2×1＋1＝－1.9．已知x ＞0，y ＞0.若2y x ＋8xy ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜2解析：选D.因为x ＞0，y ＞0，所以2y x ＋8x y ≥8(当且仅当2y x ＝8x y 时取“＝”)．若2y x ＋8xy ＞m 2＋2m 恒成立，则m 2＋2m ＜8，解之得－4＜m ＜2.10．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．[3，6] C ．[6，7]D ．[4，5]解析：选A.设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )， 则(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ＝2x －3y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3，解得⎩⎨⎧λ＝－12，μ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．因为－1≤x ＋y ≤4， 所以－2≤－12(x ＋y )≤12.①因为2≤x －y ≤3， 所以5≤52(x －y )≤152.②①＋②得，3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，所以z 的取值范围是[3，8]．11．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－3解析：选C.因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，所以对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， ax ≥－x 2－1，即a ≥－x 2＋1x恒成立．令g (x )＝－x 2＋1x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x . 易知g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12内为增函数．所以当x ＝12时，g (x )max ＝－52，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，＋∞，即a 的最小值是－52.故选C. 12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到的最小值为25，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5D ．2解析：选B.画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当直线z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ，所以25－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20.构造函数m (a )＝5a 2－85a ＋20(5＞a ＞0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（85）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．函数y ＝2－x －4x (x ＞0)的值域为________．解析：当x ＞0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4x，x ＝2时取等号． 答案：(－∞，－2]14．若不等式x 2－4x ＋m <0的解集为空集，则不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集是________． 解析：由题意，知方程x 2－4x ＋m ＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m ≤0，解得m ≥4，又x 2－(m ＋3)x ＋3m <0等价于(x －3)(x －m )<0， 所以3<x <m . 答案：(3，m )15．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2内的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，因为OA →＝(－1，1)，OM →＝(x ，y )，所以OA →·OM →＝－x ＋y .取目标函数z ＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z .作斜率为1的一族平行线，当直线经过点C (1，1)时，z 取最小值，即z min ＝－1＋1＝0；当直线经过点B (0，2)时，z 取最大值，即z max ＝0＋2＝2，于是0≤z ≤2，即OA →·OM →的取值范围是[0，2]． 答案：[0，2]16．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________． 解析：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝63.答案：63三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ，解不等式f (x )－f (x －1)＞2x －1.解：由题意可得x 2＋2x －(x －1)2－2x －1＞2x －1，化简得2x （x －1）＜0，即x (x －1)＜0，解得0＜x ＜1.所以原不等式的解集为{x |0＜x ＜1}．18．(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 19．(本小题满分12分)已知x 、y 、z 是实数，a 、b 、c 是正实数，求证：b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋bc z 2≥2(xy ＋yz ＋xz )． 证明：法一：b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2－2(xy ＋yz ＋xz )＝b a x 2－2xy ＋a b y 2＋c a x 2－2xz ＋a c z 2＋cb y 2－2yz ＋bc z 2＝⎝⎛⎭⎫b ax －a b y 2＋⎝⎛⎭⎫c ax －a c z 2＋ ⎝⎛⎭⎫c by －b c z 2≥0. 所以b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋xz )成立．当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．法二：b ＋c a x 2＋a ＋c b y 2＋a ＋b c z 2＝⎝⎛⎭⎫b a x 2＋a b y 2＋⎝⎛⎭⎫c a x 2＋a c z 2＋⎝⎛⎭⎫c b y 2＋b c z 2≥2b a ·abxy ＋2c a ·a cxz ＋2c b ·bcyz ＝2(xy ＋yz ＋xz )．当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16.(1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， 所以(2x ＋4)(x －4)<0，所以－2<x <4， 所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， 所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 则x 2－4x ＋7≥m (x －1)．所以对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．又x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2（x －1）×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)．所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．21．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？ 解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1，3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)证明：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图像上的点都位于直线y ＝14的上方，求实数m的取值范围．解：(1)证明：由条件知：f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又因取x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，所以f (2)＝2.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，所以4a ＋c ＝2b ＝1.所以b ＝12，c ＝1－4a .又f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． 所以a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a (1－4a )≤0，解得：a ＝18，c ＝12.所以f (x )＝18x 2＋12x ＋12.(3)g (x )＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14，在x ∈[0，＋∞)上恒成立． 即x 2＋4(1－m )x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， ①Δ＜0，即[4(1－m )]2－8＜0. 解得：1－22＜m ＜1＋22. ②⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2（1－m ）≤0，f （0）＞0.解得：m ≤1－22，综上m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22.。