3.2圆的对称性(1)

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人教版九上数学第三章3.2圆的对称性(共19张ppt)

（2）你是怎么得出结论的？用折叠的方法
圆的轴对称性：圆是轴对称图形，
●O
其对称轴是任意一条过圆心的直线.
探究归纳一(2)圆的中心对称性
问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
探究归纳一、(3)圆的旋转不变性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
C
在同圆中，相归两一个(2纳)圆圆叫的做中由同心心对圆圆称性的旋转不变性，我们发现： 5、如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，等的圆心角所 ∵∠AOD=∠BOE，
那么，，弦AB=弦CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OC A
题设
结论
如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等
在
圆心角所对的弦相等
同
圆或
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等
等
圆中
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？

3.2 圆的对称性(教案)-北师大版数学九年级下册

第2节圆的对称性1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.【重点】理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.【难点】应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.【教师准备】多媒体课件和教学圆规.【学生准备】1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.2.圆规和自制圆形纸片.导入一:同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.课件出示:【引入】因为有圆,万物才显得富有生机,我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?[设计意图]从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心.导入二:我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.[设计意图]通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.[过渡语]我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?课件出示:如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?思路一猜想【学生活动】学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?【教师点评】圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.思路二折纸【学生活动】学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.师出示折叠示意图:【学生活动】学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.[过渡语]通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形.【想一想】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?【学生活动】学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.【师生小结】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.【教师点评】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.[设计意图]问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性.【做一做】在等圆☉O和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠、并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.【活动方式】分小组进行实验操作,小组之间交流.【师生活动】教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书.思路一旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,从而可以得到OA=OB=O'A'=O'B',∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A',AB=A'B',=,是通过证明△AOB≌△A'O'B'得到的.思路二由两圆旋转可知:点A与点A'重合,点B与点B'重合,所以=,AB=A'B'(叠合法).【学生小结】在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.【问题】你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?【学生活动】学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:证明:∵半径OA与O'A'重合,∠AOB=∠A'O'B',∴半径OB与O'B'重合.∵点A与点A'重合,点B与点B'重合,∴与重合,弦AB与弦A'B'重合.∴=,AB=A'B'.【议一议】上面的结论,在同圆中成立吗?【学生活动】学生思考、猜想后得出肯定的结论.【教师点评】圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相【想一想】(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?【学生活动】学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法.【教师活动】要求学生说明得出的结论的理由.(证明△AOB≌△A'O'B'或叠合法)【师生总结】在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【教师强调】注意事项:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系.[设计意图]“学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的如图所示,AB,DE是☉O的直径,C是☉O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系?为什么?〔解析〕通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是☉O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧相等,因为=,又=,继而可得=.解:BE=CE.理由是:∵∠AOD=∠BOE,∴=.又∵=,∴=.∴BE=CE.【议一议】在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.【学生活动】学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等.[设计意图]本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓展知识面,培养他们的概括、推理能力.1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形.2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线.故选D.2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为()A.45°B.90°C.135°D.270°解析:如图所示,∵圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,∴∠AOB∶大角∠AOB=1∶3,∴大角∠AOB=360°×=270°.故选D.3.如图所示,已知AB是☉O的直径,==,∠BOC=40°,那么∠AOE等于()A.40°B.60°C.80°D.120°解析:∵==,∠BOC=40°,∴∠BOE=3∠BOC=120°,∴∠AOE=180°-∠BOE=60°.故选B.(第4题图)4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°,交AD于点E,则∠DEF=.解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°,即∠BOF=120°,得∠COF=180°-∠BOF=60°,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠COF=60°.故填60°.2圆的对称性1.圆的对称性.(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心.2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.一、教材作业【必做题】1.教材第72页随堂练习第1,2,3题.2.教材第72页习题3.2第1,2题.【选做题】教材第73页习题3.2第3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在☉O中,∠B=37°,则劣弧AB的度数为()A.106°B.126°C.74°D.53°2.如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B等于()A.150°B.75°C.60°D.15°3.如图所示,=,若AB=3,则CD=.4.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD=.【能力提升】5.如图所示,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4cm,则☉O的周长为()A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm6.(2014·菏泽中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为.7.如图所示,=,D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?【拓展探究】8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且=.若∠AOD=110°,求的度数.【答案与解析】1.A(解析:连接OA,∵OA=OB,∠B=37°,∴∠A=∠B=37°,∠O=180°-2∠B=106°.)2.B(解析:在☉O中,∵=,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B==75°.故选B.)3.3(解析:∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.)4.125°(解析:连接OD,∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∠ACO=70°,∵D是弧BC的中点,∴∠COD=70°,∴∠OCD=55°,∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.)5.D(解析:如图所示,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,BC=CD=DA=4cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4cm,∴☉O的周长=2×4π=8π(cm).故选D.)6.70°(解析:∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠B=55°,连接CD,∵CB=CD,∴∠BDC=55°,∴∠BCD=70°.∴的度数为70°.)7.解:CD=CE.理由如下:如图所示,连接OC,∵D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE,又∵=,∴∠DOC=∠EOC,又OC=OC,∴△CDO≌△CEO,∴CD=CE.8.解:如图所示,连接OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOB=70°.又∵=,∴∠COD=∠DOB=70°,∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°,∴的度数为40°.本节课首先利用课件出示生活中的圆形图片,利用圆的对称美引入新课,极大地活跃了课堂气氛,激发了学生学习的积极性.然后在课堂上可以先给学生留有充足的动手实验和思考的时间,在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示,使探究的结论更加直观形象.同时,通过学生自己动手体验知识的形成过程,使学生获得成功的体验,使他们的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.本节课学生操作和自主学习的时间较多,所以教学时间不太容易把握,造成不能顺利完成课堂教学任务.合理安排时间,对于有些学生感觉有难度的知识点,可以通过小组交流讨论,这样既可以增强交流的意识,又节约了时间.随堂练习(教材第72页)1.解:如碗口、圆桌、方向盘等.2.解:如图所示.答案不唯一.3.解:四边形OACB是菱形.理由如下:如图所示,∵C是的中点,∴=.又∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形.∴OA=OB=AC=BC.∴四边形OACB是菱形.习题3.2(教材第72页)1.解:△ABC与△DCB全等.理由如下:∵AB=DC,BC=CB,∴=,∴AC=DB.∴在△ABC与△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS).2.解:(1)OE=OF.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠OEB=∠OFD,∠EOB=∠FOD,OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF.(2)AB=CD,=,∠AOB=∠COD.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵在Rt△BEO和Rt△DFO中,OB=OD,OE=OF,∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,同理,AE=CF,∴AB=CD,∴=,∠AOB=∠COD.3.解:=.理由如下:连接OC,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠A,∠ACO=∠COD.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BOD=∠COD,∴=.1.本节课的重点是通过实验探究出圆的对称性,并利用对称性总结归纳出圆心角、弧、弦之间的相等关系,所以动手操作是学生探究学习的重点.2.让学生在课前预习的同时准备好本节课所需要的学具;在探究的过程中,要亲身体验实验过程,切记眼高手低,要在与同伴一起的操作过程中深刻理解圆的对称性,并对所探究出的结论进行及时总结,得出一般性的结论.3.要注意类比、转化、数形结合思想在探究过程中的运用.。

北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》【教案】

《圆的对称性》教学设计圆的对称性是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第三章第二节内容，本章主要研究圆的性质及与圆有的关的应用；本节要求．理解圆的轴对称性及其相关性质；利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

该节内容分为2课时。

本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。

其对称轴是任一条过圆心的直线。

【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

【情感态度价值观目标】培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。

多媒体课件第一环节课前准备活动内容：（提前一天布置）1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）2.预习课本P88~P92内容活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。

实际教学效果：1.学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。

2.预习提纲，要简明扼要，学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。

第二环节创设问题情境，引入新课活动内容：教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。

活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。

实际教学效果：1.由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。

3.2 圆的对称性(第一课时)

①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
练习：在⊙O中，OC垂直于弦AB， AB = 8，OA = 5，则AC = 4 ，OC = 3 。
O
5 3 4 ┏
A
C
8
B
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C为弦AB 的中点，OC = 3，AB = 8，求OA的长。
●
想一想P88 2
圆的对称性

驶向胜利的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个问题.
读一读P88 3
圆的相关概念

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).

●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
想一想 P90 6
垂径定理

驶向胜利的彼岸
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
B
独立作业P91 16
挑战自我

驶向胜利的彼岸
P94:习题3.2
2题祝你成功!试一试P93 15挑战自我画一画

北师大版九年级数学下册3.2：圆的对称性(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的对称性的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的对称性的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级数学下册3.2：圆的对称性（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学下册第三章第二节：圆的对称性。教学内容主要包括以下两个方面：
1.圆的轴对称性：引导学生通过观察和操作，发现圆是轴对称图形，理解圆的直径所在的直线是圆的对称轴，以及圆上的任意一条弦所在的直线也是圆的对称轴。
2.圆的旋转对称性：让学生了解圆的旋转对称性，掌握圆心角、弧、弦的关系，以及圆周角定理。通过实例分析，让学生感受圆的旋转对称在生活中的应用。
本节课将结合教材内容，注重培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生对圆的对称性的认识和应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和操作，让学生发现圆的轴对称性和旋转对称性，提高对几何图形的认识和理解。
2.培养学生的逻辑推理能力，使学生能够运用圆的对称性解决相关问题，掌握圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理。
-在讲解圆周角定理的应用时，教师应强调定理的条件和结论，并通过典型例题进行讲解，让学生明确如何运用定理解下教学方法：
（1）采用直观演示法，通过动画、模型等手段，让学生直观地感受圆的旋转对称性。
（2）通过问题驱动法，设计具有启发性的问题，引导学生主动探究圆的对称性质及其应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的轴对称性和旋转对称性这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

3.2圆的轴对称性(1)

CD为直径 CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A
C
E B
O
D
CD平分弦AB 条件
结论 CD平分弧A B
CD平分弧ADB
Hale Waihona Puke 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒ 如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG ⌒ 交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ③BD=AD ①②③ 其中正确的是________（只需填写序号）
A
C 1 3D O
3
B
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC=BD
O A C B D
定理的推论2
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A O B D
A C
●
O D
B C
●
垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5、已知：圆O的半径为5cm，弦AB∥CD， AB=6cm，CD=8cm。求AB与CD间的距离。
C E
D
O E C A F B D A
O F B
变式：已知⊙O的半径为15cm，弦PQ∥MN，且 PQ=18cm，MN=24cm，求以平行弦为底的梯形的面积。
6、过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点 E
O C D
A
B
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm，求这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》是一节概念性较强的课程。

本节课主要让学生了解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴等特点。

通过学习，使学生能运用圆的对称性解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学中关于对称轴、对称图形等基本知识，他们对轴对称图形有了一定的认识。

但圆的对称性较为抽象，学生需要通过实例来更好地理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴等特点。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：圆的对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

2.难点：理解圆的对称性与轴对称图形的关系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和问题情境，引发学生的思考和探索。

2.引导发现法：教师引导学生发现圆的对称性，培养学生独立思考的能力。

3.合作交流法：学生在小组内进行讨论和交流，分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、圆规、直尺、练习题等。

2.教学环境：教室布置成有利于学生思考和交流的环境。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆对称现象，如圆形的钱币、圆桌、圆形的图案等，引导学生关注圆的对称性。

提问：这些圆形的物品有什么共同特点？学生回答后，教师总结：圆的对称性。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示圆的对称性，让学生观察和思考。

呈现圆的轴对称图形，引导学生发现圆有无数条对称轴。

同时，让学生尝试画出圆的对称轴，并观察圆的对称轴的特点。

3.操练（10分钟）教师提出问题：如何判断一个图形是否是圆的对称图形？让学生在小组内进行讨论和交流，总结出判断方法。

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解圆的对称性质，掌握圆的对称性的应用。

本节课的内容对于学生来说比较抽象，但与生活实际息息相关，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，并了解了一些基本的平面几何知识。

但是，对于圆的对称性的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，要注重启发学生思考，引导学生发现圆的对称性，并学会运用圆的对称性解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解圆的对称性质，学会运用圆的对称性解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。

四. 教学重难点1.重点：圆的对称性质的理解和应用。

2.难点：圆的对称性质在实际问题中的灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、案例教学法等，充分调动学生的积极性，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备等。

2.学具：学生每人一本教材，一份练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆对称现象，如圆形的挂钟、圆形的脸谱等，引导学生发现圆的对称性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍圆的对称性质，如圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆的任何一点关于圆心都有对称点等。

同时，引导学生发现圆的对称性质与生活的密切关系。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组设计一个具有圆对称性质的图案，并利用圆规和直尺进行绘制。

通过实践活动，加深学生对圆的对称性质的理解。

§3.2 圆的对称性1、2

§3.2 圆的对称性学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理，圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理重点:垂径定理及其应用，圆心角、弧、弦之间关系定理．难点:垂径定理及其应用，“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明学习过程:一、举例：【例1】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例2】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例3】如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、当堂训练：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.6.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF 7.在⊙O 中,弦AB ∥EF,连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB8.已知如图等腰三角形ABC 中,AB ＝AC,半径OB ＝5，圆心O 到BC 的距离为3，求ABC 的长 9.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F.求证：EC ＝DF 第6题 5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．三、课后练习：1.已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2.已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3.已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4.已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF 第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题第9题§3.2 圆的对称性（第二课时）学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．学习过程:一、例题讲解：【例1】如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF是否相等？为什么？【例2】如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．二、当堂训练：1、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）2、填空题⊙O 中，弦AB 的长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．3、选择题:如图，O 为两个同圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,OE ⊥AB ，垂足为E ，若AC ＝2.5 cm ，ED ＝1.5 cm ，OA ＝5 cm ，则AB 长度是___________．A 、6 cmB 、8 cmC 、7 cmD 、7.5 cm4、选择填空题: 如图2，过⊙O 内一点P 引两条弦AB 、CD ，使AB ＝CD ，求证：OP 平分∠BPD ．证明：过O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ．A.OM⊥PBB.OM⊥ABC.ON⊥CDD.ON⊥PD三、课后练习：1．下列命题中，正确的有（）A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（）A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（）A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（）A ．43RB ．23RC ．3RD ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（）A ．23B ．3C ．5D ．256．已知：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，则⊙O 的半径为（）第3题第4题例2图例1图A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（）A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．09．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1610．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为．12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为．13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．（1）求证：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．已知一弓形的弦长为4 ，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．6。

3.2+圆的对称性-教学设计++2022—2023学年北师大版数学九年级下册

3.2【圆的对称性】【学习目标】1、知道圆的轴对称性和中心对称性及相关性质；2、通过圆的旋转不变性，明白圆心角、弧、弦之间相等关系定理．【学习重点】教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．一、情境导入二、新知学习1、(1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决的？与同伴进行交流。

(2)想一想：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形呢？如果是，对称中心是什么？练习：1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴2、圆心角的概念：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

ABCO3、通过圆的旋转不变性，你能说出圆心角、弧、弦之间存在的相等关系定理吗？【做一做】在等圆☉O 和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠，并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,同圆或等圆可得OA=OB=O'A'=O'B',从而得∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A'，AB=A'B',圆心角定理：【想一想】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________．圆心角、弧、弦之间相等关系定理：注意：三、例题学习，BE 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且AD CE与CE的大小有什么关系？为什么？四、随堂练习1.如图，在⊙O中, ，∠A =30°，∠B=2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为()A.45B.90°C.135°D.270°3.如图所示,已知AB是☉O的直径，，∠BOC=40°，那么∠AOE等于()A.40°B.60°C.80°D.120°4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°,交AD于点E,则∠DEF=.5、如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 是的中点。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。

教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。

本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。

但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。

同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。

三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。

3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。

然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。

2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。

同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。

3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。

3.2圆的对称性

B O A E C
●
D
练一练：
C A
其实很简单！
AB 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
B
.o
例2:
OE=OF
在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F. (1) 如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有何关系?为什么?
B
O
┏ A′ D′ B′
由条件: 可推出 ①∠AOB=∠A′OB′
②AB=A′B′
⌒
⌒
③AB=A′B′
拓展与深化：

在同圆或等圆中,如果下面三组条件: ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,有一组量相等，那么其余三组量是否相等?
D
A
●
D O
A
●
B
B
O
┏ A′ D′ B′ ②AB=A′B′
⌒
⌒
可推出
①∠AOB=∠A′OB′ ③AB=A′B′
圆心角 , 弧,弦之间的关系定理: 圆心角定理的推论

在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
D
A
●
D
A
●
B
O
B
O
┏ A′ D′ B′ ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′OB′
②AB=A′B′
⌒ ⌒
例1:如图，AB，DE是⊙O的直径, C是⊙O上的一 CE ,BE与CE的大小有什么关系？为点 ,且 ⌒ AD = ⌒ 什么？
●
O
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.

3.2圆的对称性(1)

D海旺中学2012-2013学年九年级数学（下）学案§3.2 圆的对称性（第一课时）九（）班姓名：编制：蓝小燕审核：蓝福隆学习目标:1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2、理解圆的对称性及相关知识．3、理解并掌握垂径定理．学习重点: 垂径定理及其应用．学习难点: 垂径定理及其应用．学习过程：一、知识点1：圆的轴对称性【做一做1】（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你使用什么方法解决上述问题的？定理：圆是图形，其对称轴是任意一条的直线二、知识点2：圆的几个概念1、圆上任意两点间的部分叫做，简称弧AB 记作AB2、大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做优弧DCA劣弧AB 3、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径注意：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。

三、知识点3：垂径定理【做一做2】如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB 于M 。

1、左图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？2、你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.⌒⌒ ⌒垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ，（1）图中相等的线段有，相等的劣弧有；（2）若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC = 。

例1 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。

【举一反三1】如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 10，OC = 6，求AB 的长。

例2 如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上。

你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？【举一反三2】．（2012•南通）如图，⊙O 的半径为17cm ，弦AB ∥CD ，AB=30cm ，CD=16cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，求AB 和CD 的距离．⌒ ⌒例3 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心），其中CD =600m ，E 为CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF = 90m 。

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°

九年级数学圆的对称性

在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
做一做
8
驶向胜利的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
想一想
垂径定理的逆应用
9
驶向胜利的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
想一想
7
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E A D B
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545 m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
驶向胜利的彼岸
• 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
O
做一做
5
船能过拱桥吗
驶向胜利的彼岸
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
• 相信自己能独立完成解答.

3.21圆的对称性

【课题】：3.2圆的对称性（1）【课型】：新课【主备人】：袁秀丽【审核人】：王莉【学生姓名】：【备课时间】：2012.5.29【学习目标】：通过自学圆的有关概念，利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理【学习重点】：垂径定理及其应用【学习难点】：垂径定理及其应用【学习过程】：学习范围：教材96页至101页一、学前准备：1、在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做图形，这条直线叫做。

2、圆既是对称图形，它的对称中心就是；同时又是对称图形，有条对称轴，其中每一条所在的直线就是对称轴。

3、如图，CF=300cm，OC=xcm，OF=(x-90)cm，∠F=090，则OF= cm。

二、探讨交流：（一）独立思考·解决问题：认识弧、弦、直径、弦心距这些与圆有关的概念。

1．圆上任意两点之间的部分叫做，简称。

如图所示的圆指出以A，B为端点的弧记作，读作，2.连接圆上任意两点的线段叫做，指出图中的弦。

3.经过圆心的弦叫做。

指出图中的直径。

4. 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做。

5. 大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做。

6．从圆心到弦的距离叫做 ,（二）师生探究·合作交流：探索垂径定理：做一做：按下面的步骤做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。

2．得到一条折痕CD。

3．在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.问题：（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？（3）你能证明吗？小结垂径定理: 。

符号表示：例：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E 为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．探索垂径定理的逆定理想一想：如右图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？（3）你能证明吗？总结垂径定理的逆定理：。

3.2圆的轴对称性(1)

O
C
A
BC就是所要求的弦点D,E就是所要求的弦所对的两条弧的中点.
B
D
说能出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
总结回顾
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
C
m
F
E G
n
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O
8
10 6
P
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
讲解
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
B
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒如图，用直尺和圆规求作这条弧例1：已知AB 的中点。

圆的对称性 PPT课件 17 北师大版

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25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
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26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
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27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
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28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
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29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
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30、经验是由痛苦中粹取出来的。
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31、绳锯木断，水滴石穿。
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32、肯承认错误则错已改了一半。
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33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
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34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
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35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
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36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
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37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
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38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
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7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
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8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
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9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
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10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
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11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证： A
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合B⌒D合，重A，合⌒CA。、点因A和⌒D此B分点别重和合B⌒，C、AE和BE重