湖南省衡阳县第二中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学(理)试题含答案

衡阳县二中2016-2017年上期高二第一次月考数学（理）试题 第I 卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填写在答题卷相应位置上. 1．设命题p ：对x e R x x ln ,>∈∀+，则p ⌝为（ ） A ．00ln ,0x e R x x <∈∃+ B ．x e R x x ln ,<∈∀+ C ．00ln ,0x e R x x ≤∈∃+ D ．x e R x xln ,≤∈∀+2.在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝135°，则△ABC 的面积等于( )A.322B ．3 2C ．3D.3323.已知数列{}n a 满足21=a ，11-=-+n n a a ()+∈N n ，则此数列的通项n a 等于（ ） A.12+n B.1+n C.n -1D.n -34．“tan α＝1”是“α＝π4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( )A.1a >1bB.b a>1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b －16．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 ( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定7．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是（）A．[]6,1- D 8．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为{x |13<x <12}，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－69．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．(0，π3]B ．[π3，π]C ．(0，π6]D ．[π6，π)10.在ABC ∆中,sin 2cos cos cos 2sin sin A C AA C A+=-是角,,A B C 成等差数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件11.已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．812.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足15160,0S S ><则, 最大的项为 A.88S a B. 77S a C. 99S a D. 66Sa 第II 卷 非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝______. 45,A ∠则15．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 16．已知点(),A a b 与点()1,0B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法：①34100a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；2；④当0a >且1,0ab ≠>时，1b a -的取值范围是53,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中所有正确说法的序号是__________． 三、解答题17（10分）．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行． （1）求A ； （2）若a =b ＝2，求△ABC 的面积．18．已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．某企业要建造一个容积为18m 3，深为2m 的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？21.已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)． (1)证明数列{1a n}是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)记S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求S n .22.已知函数()()(1)2f x x R f x f x ∈+-=对任意都有．（1）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （2）数列{}n a 满足*)(),1()1()2()1()0(N n f n n f n f n f f a n ∈+-++++=求证：数列{}n a 是等差数列 （3）222212314,,121n n n nn n b S T b b b b a n ===++++-+，试比较n T 与n S 的大小．参考答案一、选择题二、填空题13. 25 14、(－∞，1) 16．③④ 三、解答题17.（1）因为m ∥n ，所以sin a B cos A ＝0，由正弦定理得sin sin A B cos B A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A =0<A<π，所以3A π=.（2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a b ＝2，3A π=得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为1sin 22b A =18. 解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，且随z 变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x －y ＝1，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线y ＝－12x ＋12z －1与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z max ＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.19、解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)S n ＝－2n1－2＋n ×1＋n n －2×2＝2n ＋1＋n 2－2.20．将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元. 设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元， 则由容积为18m 3，可得：2xy=16，因此xy=9，z=200×9+150（2×2x+2×2y ）=1800+600（x+y ）≥1800+600•2=5400当且仅当x=y=3时，取等号．所以，将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.21.解：(1)由已知，得a n ＋1＝a n3a n ＋1. ∴1a n ＋1＝1a n ＋3. 即1a n ＋1－1a n＝3.∴数列{1a n}是首项1a 1＝1，公差d ＝3的等差数列．∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2，∴a n ＝13n －2(n ∈N *).(2)∵a n a n ＋1＝1n －n ＋＝13(13n －2－13n ＋1)， ∴S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝13＝13(1－13n ＋1)＝n 3n ＋1. 22．（1）f （x ）对任意()(1)2x R f x f x ∈+-=都有1111()(1)2()12222x f f f =+-=∴=时有令111(*)()(1)2x n N f f n n n =∈+-=时有11()()2n f f n n-∴+=（2）证明：f （x ）对任意x ∈R 都有()(1)2,f x f x +-= 则令()()2k k n kx f f n n n-=+=时有 1121(0)()()()(1)121(1)()()()(0)11112[(0)(1)][()()][()()][(1)(0)]22n 1)(*)1(*)(2)(11(*)n n n n n n n n a f f f f f n n n n n a f f f f f n n nn n a f f f f f f f f n n n na n N a n n N a a n n n N +-=+++++--∴=+++++--∴=++++++++∴=+∈∴=+∈∴-=+-+=∈（）∴{a n }是等差数列．（3）解：由（2）有11(*)1n n b n N a n==∈- 22221444112()441(21)(21)2121n b n n n n n n n ∴==<==--+--+ 2222121111112[(1)()()]3352121142(1)2121n n nT b b b b n n nS n n ∴=++++<-+-++--+=-==++n n T S ∴<。