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PID控制在单级倒立摆系统中的分析与应用
摘要：作为现代控制理论在空间技术中的应用典范，倒立摆系统一直广受青睐。

随着技术进步，一级、二级、三级、四级倒立摆系列相继问世。

倒立摆系统实属多变量、非线性、强耦合系统。

本文首先基于牛顿力学与运动学知识建立其数学模型—动力学方程，并经过线性化处理得到其传递函数模型。

其次在MATLAB环境中进行了PID控制下的仿真。

最后由仿真结果指出了单级倒立摆系统的在应用中的优势与缺憾。

关键字：单级倒立摆；PID控制；MA TLAB；
一、引言
本质上，倒立摆是一个非线性自然不稳定系统。

倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。

常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。

在现代控制理论教学中，倒立摆系统一直是一个理想的实验平台。

尤其是在如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛性和系统抗干扰性等抽象的概念讲解中，都可以通过倒立摆系统形象的表现出来。

作为控制领域研究的热点。

近年来，国际上对倒立摆的研究的热情丝毫未减，在单级倒立摆的基础之上很多研究技术与手段已经实现了对一级、二级、三级甚至四级倒立摆的控制，如PID控制，状态反馈控制等。

本文中，主要以单级倒立摆为控制对象，运用牛顿动力学方法为其建立数学模型，并由此在MATLAB中建立基于PID校正的单级倒立摆闭环系统框图，研究并分析其阶跃响应结果。

二、单级倒立摆的数学模型
2.1系统运动方程
因为倒立摆是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。

在没有外界强加的控制力作用下，摆球将在任何微小的扰动作用下，偏离竖直方向的平衡位置向任何方向倾倒。

所以为了达到对系统控制的目的，外界需提供一个力，使得摆杆与竖直方向的夹角保持接近于零，即摆杆能尽量处于平衡处，单级倒立摆能处于稳定状态。

研究系统都是从数学模型开始的，而数学模型的建立需对物理环境进行抽象与对物理条件进行理想化。

将小车的物理环境进行二维理想化之后，如下示意图所示，将系统状态参数统计于下表：
在理想情况下（忽略杆子质量，驱动电机本身动力学特性及各种摩擦和风力的影响），典型的如图所示：
图1 倒立摆简易受力示意图
采用隔离法，分别对小车和摆球做受力分析，示意图如下。

图2小车和摆球受力示意图
对于小车，在水平方向有
221dt
y
d M T u =- ⑴
对于摆球，在水平方向有
2
21)sin (dt
l y d m T θ+= ⑵ 在竖直方向有
2
22)
cos (dt
l d m T mg θ=- ⑶ 摆球围绕其质点转动方程为
2
221212cos sin dt d ml l T l T θ
θθ=- ⑷
2.2系统线性化 显然，后三个方程实属非线性方程，因此有必要进行线性化处理才可以得出其数学模型。

如图1所示，假定单级倒立摆得到有效地控制，处于稳定状态，即θ值很小，近于零，可做以下线性化处理： ①02
=θ ②02
=∙θ
③0=∙
θθ ④θθ=sin ⑤1cos =θ
上述方程线性化后最终形式如下：
∙
∙=-y M T u 1 )(1∙
∙∙
∙+=θl y m T ∙
∙=-θθ12
212ml l T l T mg T =2 ⑸
若选定系统的输入变量为u 输出变量为θ，则消去中间的状态变量21T T y 、、,最后所得关于摆杆与竖直方向夹角θ的线性微分方程如下：
u g M m M m l Ml -=+-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++∙
∙θθ)()(12 ⑹ 不难得到经过Laplace 变换后的系统传递函数模型如下：
g M m s M m l Ml u G S S S )()(121
2
)
()
()(+-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-
==
θ ⑺
2.3 PID 控制器的设计
带入表中的具体数据后，可得传递函数：
10
1
2
)(--
=s G S ⑻ 给系统加入反馈回路21)(K s K H S +=,并于前向通道串联3)(K R S =,所得闭环系统传递函数：
10
1212
3
)
()()(3)('----=
+=
K s K s K H G G K G S S S S ⑼ 若使系统稳定，则系统特征方程010212
=---K s K s 的根皆位于左半平面，具有负实部。

由此可取11-=K ,152-=K ,13-=K 即
5
1
2
)('++=
s s G S ⑽ 若PID 得控制器传递函数为：
)1
1(s T s
T K G D I P P ++
= ⑾ 加入调节器之后的系统传递函数为：
5
1)11(2)(''++⋅++
==s s s T s T K G G G D I P S P P ⑿
则单位负反馈系统传递函数：
P
I P I D I P I I I D I P
P P
S K s T K T s T T K T s T s T s T T K G G +++++++=+=)5()(112
32'')
(φ ⒀ 三、MATLAB 系统仿真 3.1无PID 控制
无PID 控制参与下的闭环系统传递函数见⒀在MATLAB 中的阶跃响应曲线如下图所示
图3无PID 控制时系统阶跃响应
3.2有PID 控制
最终的PID 控制单位负反馈系统的传递函数见⒃，在MATLAB 中的阶跃响应情况如下图所示：
图4 有PID 控制时系统阶跃响应
经过多次参数的整定后，所得上述曲线的参数为：5.301
.05===D I P K K K 、、。

四、结论
比较图3与图4可以发现，在PID控制器的作用下，系统的稳态与动态性能都有所提高，尤其是超调量大大降低，调节时间缩短，系统响应加快，稳定性提高。

实际上，利用PID控制器进行串联校正时，不仅仅可以使系统的型别提高一级，还可以提供两个负实零点，因此与单独的P或者PI调节器相比,PID在提高系统动态性能方面占有更大优势，在各种工业控制场合得到了广泛的采用。

总的来说，作为一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定的单级倒立摆系统，在通过数学模型的正确建立之后，通过PID的校正作用，在MATLAB中得到了较为理想的响应曲线，从而实现了对单级倒立摆的精确控制。

因此，无论在军工、航天、机器人还是一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

然而实际应用中，倒立摆系统还是较难控制的，这一直成了学术界的难题所在，随着倒立摆系统级别的提高，控制的难度也越大，目前我国实验室采用变论域自适应模糊控制首次成功地实现了四级倒立摆。

随着研究的深入，突破这种瓶颈已成为并不遥远的话题。

参考文献
[1] 自动控制原理.第四版.北京:科学出版社,2001
[4] 控制系统数字仿真与CAD.北京:机械工业出版社,1999。