数学物理方法§04-2-13

1 i 2π
∫
C '−
f ( z )dz
[1]
其中C’¯是绕 z=0 的顺时针方向（对z= ∞ 是正方向） 。围道外只有无穷远点奇点。
2
王瑞平：数理方法
第四章第 2 节
可以证明，对无穷远点留数为：
Re sf (∞) = −b−1
b-1是在 z= ∞邻域洛朗展式中z 与有限区域孤立点留数比较： ⑴ 两者相差一负号；
−1− 1− ε 2
ε
> 1
点：
z0 =
1+ 1− ε 2
ε ε
ε
>1
⑷
不在圆内。对 z1 =
−1+ 1− ε 2
点：
5
王瑞平：数理方法
第四章第 2 节
z1 =
1 − (1 + ε )(1 − ε )
ε
<
1 − (1 − ε )
ε
=1 ⑸
在圆内。留数为：
Re sf ( z1 ) = lim ( z − z1 ) f ( z ) =
# 例题 5：求函数 f(z)=eiz/(z2-p2)2 在 z=p 点的留数。 解：由：
⑸
f ( x) =
e iz ( z + p) 2 ( z − p) 2
⑴
z=p 点为 f(z)的二阶奇点。
Re sf ( p ) =
1 d d e iz (ip − 1)e ip = lim [( z − p) 2 f ( z )] = [ ] | z= p (2 − 1)! z → p dz dz ( z + p ) 2 4 p3
k +1 k k +1
∞
2π
0
e i ( k +1)φ dφ
⑷
k = −∞
∑ b ir
2πδ k , −1 = i 2πb−1
即 f(z)在含有孤立奇点 z0 回路积分值等于 f(z)的洛朗展式中(z-z0)-1 项的系数 b-1 乘以 i2π。 由于 b-1 的特殊性和重要性，专门为其起个名称。 称为 f(z)在 z0 点的留数。 记为： 定义： f(z)在奇点 z0 的洛朗展开式中的(z-z0)-1 项系数 b-1， Resf(z0)。
P( z 0 ) Q' ( z 0 )
[3]
② 当 z0 为 m 阶极点时，留数为：
1 ⎛d ⎞ Re sf ( z 0 ) = lim ⎜ ⎟ (m − 1)! z → z0 ⎝ dz ⎠
三、 无穷远点的留数*
m −1
[( z − z 0 ) m f ( z )]
[4]
对无穷远点，留数定义为：
Re sf (∞) =
⑴
奇点为：z0=±ip，都为一阶奇点。
3
王瑞平：数理方法
第四章第 2 节
∴
Re sf (ip ) = lim ( z − ip ) f ( z ) = lim
z →ip
1 1 = z →ip z + ip i2 p
⑵
Re sf (−ip ) = lim ( z + ip) f ( z ) = lim
-1
[2]
的系数。
⑵ 对无限远点，留数只与展式 z 系数有关。与 z → ∞时，函数是否收敛无关。例如对函 数 e 与 e ，z → ∞时，前者 e 的留数为 0；后者 e 有留数为-1。 定理2（全平面留数定理）:有限孤立奇点函数f(z) 在全平面所有留数之和为0。
z 1/z z 1/z
-1
0=
这里包括无穷远点奇点的留数。 例如对函数：
证明：由柯西公式：
∫
C
f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z 为含有孤立奇点 bj 的圆回路积分。由留数定义：
∫
即有：
cj
= i 2π Re sf ( z j )
⑵
∫
c
f ( z ) = i 2π ∑ Re sf ( z j )
j =1
n
⑶
# 留数定理将具有有限个奇点的解析函数环路积分归结为被积函数在所围区域上各奇点 留数之和乘以 i2π。 三、留数求法： ⑴ 直接利用定义，做 f(z)的 z0 点洛朗级数：求 b-1=Resf(z0)。 ⑵ 对有限阶极点时： ① 当 z0 为一阶极点时，留数为：
#
⑵
例题 6：计算沿单位圆|z|=1 的回路积分（留数定理的具体应用） 。
I =∫
解：被积函数为：
dz z =1 εz + 2 z + ε
2
(0 < ε < 1)
f ( x) =
极点满足：
1 εz + 2 z + ε
2
⑴
εz +2z+ε=0
2
⑵
两个根为：
z 0,1 =
−1m 1− ε 2
ε
⑶
为 f(z)的单极点。对 z 0 =
例题 4：确定函数 f(z)=（z+i2）/(z5+4z3)的极点，求出函数在这些极点的留数。 解：化简：
f ( z) =
z + i2 z + i2 = 3 2 z ( z + 4) z ( z + i 2)( z − i 2)
3
⑴
极点为：z0=0, ±i2，但 z=-i2 为可去奇点。 z0= i2 为一阶奇点：
z → z1
1 1 1 | z = z1 = | z = z1 = 2εz + 2 (εz + 2 z + ε )' 2 1− ε 2
2
⑹
∴
I =∫
dz iπ = i 2π Re s[ f ( z1 )] = z =1 εz + 2 z + ε 1− ε 2
2
⑺
#
6
z → − ip
z → − ip
1 1 =− z − ip i2 p
⑶
# 例题 3：确定函数 f(z)=1/sinz 的极点，并求出这些极点的留数。 解： 奇点由 sinz=0 原函数无定义，解得奇点为： zn=nπ 计算：
z → nπp
(n∈Z)
z → nπ
⑴ ⑵
lim ( z − nπ ) f ( z ) = lim
二、
留数定理
对以上单个奇点推广到多个奇点时的情况。 定理 1（柯西留数定理） ：函数 f(z)在区域 B 除有限 n 个孤立奇点：z1,z2…,zn 外解析，则有：
∫
式中 c 为的境界线。
c
f ( z ) = i 2π ∑ Re sf ( z j )
j =1
n
[1]
1
王瑞平：数理方法
第四章第 2 节
f ( z) =
这样⑴式左端：
k = −∞
∑ b (z − z
k ∞
∞
0
)k
⑵
∫
上式积分：
Cr
f ( z )dz =
k = −∞
∑b ∫
k
Cr
( z − z 0 ) k dz
φ
⑶
φ
化为对幂函数积分。令：
z-z0=rei ，dz=irei dφ
∫
Cr
f ( z )dz = =
∞ k
k = −∞
∑ b ir ∫
2
⑶
4
王瑞平：数理方法
第四章第 2 节
a −1 =
i⎛1⎞ i ⎜ ⎟ =− 2 ⎝ i2 ⎠ 8
2
or
Resf(0)=-i/8
⑷
⑵由公式：
d2 i 1 d2 3 1 1 1 =− Re sf (0) = lim [ z f ( z )] = lim 2 ( ) = lim 3 0 0 z →0 2! dz 2 z → z → 8 2 dz z − i 2 ( z − i 2)
Re sf ( z 0 ) = lim ( z − z 0 ) f ( z )
z → z0
[2]
推论：当 f(z)可以表示 2 个函数之比形式：
f ( z) =
P( x) Q( x)
其中，P(z)、Q(z)在点 z0 及其邻域解析。z0 为 Q(z)的一阶 0 点，且 P(z0)≠0。则有：
Re sf ( z 0 ) =
Re sf (i 2) = lim[( z − i 2) f ( z )] = lim
z →i 2
z →i 2
1 1 i = = 3 3 8 (i 2) z
⑵
z0=0 为三阶奇点： ⑴由 f(z)的 z0=0 点洛朗级数：
f ( z) =
1 1 1 1 i ⎛ z⎞ ⎛ z⎞ [1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + L] = 3 = 3 3 z ( z − i 2) z (−i 2)(1 − z i 2) z (2) ⎝ i2 ⎠ ⎝ i2 ⎠
2
f ( z) =
∴
1 1 z z3 z3 z5 ( − + − L ) = − + −L ⑴ z 3! 5! z 3! 5! z2
b-1=1 # 即：Resf(0)=1 ⑵
——由展式系数。 例题 2：求 f(z)=1/（z +p ）在奇点处的留数。 解：
2 2
f ( z) =
1 ( z + ip )( z − ip)
z − nπ 1 = lim = (−1) n ≠ 0 z → nπ cos z sin z
上式求极限采用了 l’Hospital 法则，极限结果为有限值。所以 zn=nπ为 f(z)的单极 点。留数为：
Re sf (nπ ) = (−1) n
# 此题也可直接用： Re sf (nπ ) =