现代控制理论总复习【精选】

6）状态空间表达式经线性变换可化系统矩阵A为 对角线标准型或约当标准型。若系统矩阵A的特征 值互异，必存在非奇异变换阵，将系统矩阵A化为 对角线标准型。当系统矩阵A的特征值有重根时， 一般来说，经线性变换，可将A化为约当标准型； 但在有些情况下也能将A转换为对角线标准型； 7）线性非奇异变换不改变系统的基本特征量，如 线性非奇异变换不改变系统的特征值、传递函数阵 等；

bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
实现存在的条件：m≤n 当m<n时，d=0
x Ax bu
实现

y

cx

du
当m=n时，可以用长除法求得d =bm≠0，问题化为
W (s)

bn

(bn1

an1bn )sn1 (b1 sn an1sn1
x1 0

x2



0
x3 10

y 6 11


1 0 x1 0
0
1


x2


0 u
17 8 x3 1
x1
2

x2

x3
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6
5）微分方程、传递函数和方块图与状态空间表达 式之间可以相互转换。根据系统的传递函数可直 接写出系统的能控标准型实现。当系统的数学模 型以微分方程的形式描述且输入函数包含导数项 时，可先将其等效地转换为系统的传递函数，然 后利用传递函数的转换方法来建立系统的状态空 间表达式，这种方法可大大简化其求解过程；
7）掌握由组合系统的状态空间表达式求传 递函数阵的方法；
8）利用线性变换可将状态方程化为对角线 标准型或约当标准型；
状态空间表达式的建立（P25、 P26 ）
y(n)

a y(n1) n1


a1 y

a0
y

bmu ( m )

b u(m1) m1

b1u b0u
W (s)

Y (s) U(s)
a1bn )s a1s a0
(b0

a0bn )
输出含有与输入直接关联的项
能控标准Ⅰ型
x1 0 1 0

x2


0
0
1


xn1


0
0
0
xn a0 a1 a2
0 x1 0
0

x2

0


x1


y

0
0
0

x2

1 bnu


xn 1


xn
例 设系统传递函数如下，试写出其标准状态空间描述。
W (s)

s3
2s2 11s 6 8s2 17s 10
解：1）能控标准Ⅰ型
x1 0


x2

1
0
0
a0 x1 c0
0
a1


x2


c1


x3


0
0
0
a2 x3 c2 u



xn 0 0 0
an1 xn cn1
3）对于同一系统，由于系统状态变量的选择不惟一，故建 立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传递 函数阵却是惟一的，即所谓传递函数阵的不变性；没有零 极点对消的传递函数的实现称为最小实现，即在所有实现 中，它的阶数最小。
4）由于状态变量选择的不惟一，对于同一系统，其状态 空间表达式可能不同，但状态变量个数等于系统中独立储 能元件的个数；
x Ax Bu

y

Cx
z T -1ATz + T -1Bu = Jz + T -1Bu

y

CTz
（i=1，2，…，l）
特征值有重根求标准形（P38）
A的特征根有q个λ1的重根，其余（n - q ）个互异根，则
T p1 p2
1 p1 Ap1 0 1 p2 Ap2 p1
二、要求
1）掌握根据系统的物理机理建立系统状态空间表 达式的方法；
2）会用系统结构图与模拟结构图来描述系统的状 态空间表达式；
3）掌握由系统的微分方程式建立系统状态空间表 达式的两种方法；
4）掌握由系统方框图建立状态空间表达式的方法；
5）掌握由系统的传递函数建立系统状态空间表达 式的三种方法；
6）掌握由系统的状态空间表达式求传递函 数阵的方法；
u
1


xn1

0
an1 xn 1
x1
y c0
c1

cn1


x2


bnu
ci bi aibi1

xn

（i=0，1，2，…，n-1）
能控标准Ⅰ型
对偶
能观标准Ⅱ型
x1 0 0

x2


1
0
17

x2


11
u
x3 0 1 8 x3 2


x1
y 0

0
1

x2


x3
状态空间描述变换为标准形
选择适当的变换矩阵T，使变换后的相似矩阵J为 对角线型或约当标准形



x2



0
x3 10

y 6 11


1 0 x1 0
0
1


x2


0
u
17 8 x3 1Baidu Nhomakorabea
x1
2

x2

x3
2）能观标准Ⅱ型
W (s)

s3
2s2 11s 6 8s2 17s 10
课程总复习
第一章
一、基本概念 1）状态空间表达式是由状态方程和输出方程组成； 状态方程是一个一阶微分方程组，主要描述系统 输入与系统状态的变化关系；输出方程是一个代 数方程，主要描述系统的输出与状态和输入的关 系。因此，状态空间表达式反映了控制系统的全 部信息；
2）对于不同的控制系统，根据相应的物理和化学定理，可 建立其系统的状态空间表达式；